高中数学苏教版（2019）选择性必修第二册第6章 空间向量与立体几何 章末检测试卷 （word版含解析）
文档属性
| 名称 | 高中数学苏教版（2019）选择性必修第二册第6章 空间向量与立体几何 章末检测试卷 （word版含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 436.4KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 苏教版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-03-21 10:58:14 | ||
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文档简介
第6章 空间向量与立体几何 章末检测试卷
(时间：120分钟 满分：150分)
一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．在长方体ABCD－A1B1C1D1中，＋＋－等于( )
A. B.
C. D.
2．已知a＝(2，－1,3)，b＝(－1,4，－2)，c＝(1,3，λ)，若a，b，c三向量共面，则实数λ等于( )
A．1 B．2 C．3 D．4
3．已知平面α上的两个向量a＝(2,3,1)，b＝(5,6,4)，则平面α的一个法向量为( )
A．(1，－1,1) B．(2，－1,1)
C．(－2,1,1) D．(－1,1,1)
4．A，B，C，D是空间不共面的四点，且满足·＝0，·＝0，·＝0，M为BC中点，则△AMD的形状为( )
A．等腰三角形 B．锐角三角形
C．直角三角形 D．钝角三角形
5．已知空间向量a＝(1，n,2)，b＝(－2,1,2)，若2a－b与b垂直，则|a|等于( )
A. B. C. D.
6．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，以D为原点建立空间直角坐标系，E为BB1的中点，F为A1D1的中点，则下列向量中，能作为平面AEF的法向量的是( )
A．(1，－2,4) B．(－4,1，－2)
C．(2，－2,1) D．(1,2，－2)
7.如图，AB＝AC＝BD＝1，AB 平面α，AC⊥平面α，BD⊥AB，BD与平面α成30°角，则C，D间的距离为( )
A．1 B．2 C. D.
8．在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为棱AA1，BB1的中点，G为棱A1B1上的一点，且A1G＝λ(0<λ<2)，则点G到平面D1EF的距离为( )
A．2 B. C. D.
二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分)
9．空间四个点O，A，B，C，，，为空间的一个基底，则下列说法正确的是( )
A．O，A，B，C四点不共线
B．O，A，B，C四点共面，但不共线
C．O，A，B，C四点中任意三点不共线
D．O，A，B，C四点不共面
10．如图，已知E是棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1的棱BC的中点，F是棱BB1的中点，设点D到平面AED1的距离为d，直线DE与平面AED1所成的角为θ，二面角D1－AE－D的夹角为α，则( )
A．DF⊥平面AED1 B．d＝
C．sin θ＝ D．cos α＝
11.如图所示，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，底面是以∠ABC为直角的等腰直角三角形，AC＝2a，BB1＝3a，D是A1C1的中点，点E在棱AA1上，要使CE⊥平面B1DE，则AE的值可能是( )
A．a B.a
C．2a D.a
12．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点P在线段B1C上运动，则( )
A．直线BD1⊥平面A1C1D
B．三棱锥P－A1C1D的体积为定值
C．异面直线AP与A1D所成的角的取值范围是
D．直线C1P与平面A1C1D所成角的正弦值的最大值为
三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13．已知点B(1,0,0)，C′(1,1,1)，D′(0,1,1)，若点E的坐标为(－2,1，m)，且点B，C′，D′，E四点共面，则实数m的值为________．
14．已知平面α经过点B(1,0,0)，且α的法向量n＝(1,1,1)，则P(2,2,0)到平面α的距离为________．
15．已知在正四棱台ABCD－A1B1C1D1中，上底面A1B1C1D1的边长为1，下底面ABCD的边长为2，侧棱与底面所成的角为60°，则异面直线AD1与B1C所成的角的余弦值为________．
16.如图，有一长方形的纸片ABCD，AB的长度为4 cm，BC的长度为3 cm，现沿它的一条对角线AC把它折叠成90°的二面角，则折叠后·＝________，线段BD的长是________cm.
四、解答题(本大题共6小题，共70分)
17．(10分)如图所示，在四棱锥M－ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，侧棱AM的长为3，且AM和AB，AD的夹角都是60°，N是CM的中点，设a＝，b＝，c＝，试以a，b，c为基向量表示出向量，并求BN的长．
.
18．(12分)已知空间内三点A(0,2,3)，B(－2,1,6)，C(1，－1,5)．
(1)求以向量，为一组邻边的平行四边形的面积S；
(2)若向量a与向量，都垂直，且|a|＝，求向量a的坐标．
19.(12分)如图，在四棱锥P－ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD为正方形，PD＝DC，E，F分别是AB，PB的中点．
(1)求证：EF⊥CD；
(2)在平面PAD内求一点G，使GF⊥平面PCB，并证明你的结论．
20．(12分)如图所示，已知点P在正方体ABCD－A′B′C′D′的对角线BD′上，∠PDA＝60°.
(1)求DP与CC′所成角的大小；
(2)求DP与平面AA′D′D所成角的大小．
21．(12分)如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD⊥AB，AB∥DC，AD＝DC＝AP＝2，AB＝1，点E为棱PC的中点．
(1)求证：BE⊥DC；
(2)若F为棱PC上一点，满足BF⊥AC，求二面角F－AB－P的余弦值．
22．(12分)如图所示，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AD＝AB＝BC＝2，CD＝4，E为CD的中点，AE与BD交于点O，将△ADE沿AE折起，使点D到达点P的位置(P 平面ABCE)．
(1)证明：平面POB⊥平面ABCE；
(2)若PB＝，试判断线段PB上是否存在一点Q(不含端点)，使得直线PC与平面AEQ所成角的正弦值为，若存在，求出的值；若不存在，说明理由．
答案与解析
第6章 空间向量与立体几何 章末检测试卷
(时间：120分钟 满分：150分)
一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．在长方体ABCD－A1B1C1D1中，＋＋－等于( )
A. B.
C. D.
答案 A
解析 ＋＋－＝＋＝.
2．已知a＝(2，－1,3)，b＝(－1,4，－2)，c＝(1,3，λ)，若a，b，c三向量共面，则实数λ等于( )
A．1 B．2 C．3 D．4
答案 A
解析 若向量a，b，c共面，则c＝xa＋yb，其中x，y∈R，
即(1,3，λ)＝(2x，－x,3x)＋(－y,4y，－2y)＝(2x－y，－x＋4y,3x－2y)，
则解得
3．已知平面α上的两个向量a＝(2,3,1)，b＝(5,6,4)，则平面α的一个法向量为( )
A．(1，－1,1) B．(2，－1,1)
C．(－2,1,1) D．(－1,1,1)
答案 C
解析 显然a与b不平行，
设平面α的法向量为n＝(x，y，z)，
则所以
令z＝1，得x＝－2，y＝1.
所以n＝(－2,1,1)．
4．A，B，C，D是空间不共面的四点，且满足·＝0，·＝0，·＝0，M为BC中点，则△AMD的形状为( )
A．等腰三角形 B．锐角三角形
C．直角三角形 D．钝角三角形
答案 C
解析 ∵M为BC中点，∴＝(＋)．
∴·＝(＋)·
＝·＋·＝0.
∴AM⊥AD，△AMD为直角三角形．
5．已知空间向量a＝(1，n,2)，b＝(－2,1,2)，若2a－b与b垂直，则|a|等于( )
A. B. C. D.
答案 B
解析 因为a＝(1，n,2)，b＝(－2,1,2)，
所以2a－b＝(4,2n－1,2)．
因为2a－b与b垂直，
所以(2a－b)·b＝0，所以－8＋2n－1＋4＝0，
解得n＝，所以a＝，
所以|a|＝＝.
6．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，以D为原点建立空间直角坐标系，E为BB1的中点，F为A1D1的中点，则下列向量中，能作为平面AEF的法向量的是( )
A．(1，－2,4) B．(－4,1，－2)
C．(2，－2,1) D．(1,2，－2)
答案 B
解析 设正方体的棱长为2，
则A(2,0,0)，E(2,2,1)，F(1,0,2)，
所以＝(0,2,1)，＝(－1,0,2)．
设向量n＝(x，y，z)是平面AEF的法向量，
则取y＝1，得x＝－4，z＝－2，
则n＝(－4,1，－2)是平面AEF的一个法向量．结合其他选项，检验可知只有B选项是平面AEF的法向量．
7.如图，AB＝AC＝BD＝1，AB 平面α，AC⊥平面α，BD⊥AB，BD与平面α成30°角，则C，D间的距离为( )
A．1 B．2 C. D.
答案 C
解析 ||2＝|＋＋|2＝||2＋||2＋||2＋2·＋2·＋2·＝1＋1＋1＋0＋0＋2×1×1·cos 120°＝2.
∴||＝.
8．在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为棱AA1，BB1的中点，G为棱A1B1上的一点，且A1G＝λ(0<λ<2)，则点G到平面D1EF的距离为( )
A．2 B. C. D.
答案 D
解析 以D为坐标原点，DA所在直线为x轴，DC所在直线为y轴，DD1所在直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则G(2，λ，2)，D1(0,0,2)，E(2,0,1)，F(2,2,1)，
所以＝(－2,0,1)，＝(0,2,0)，＝(0，λ，1)．
设平面D1EF的法向量为n＝(x，y，z)，
则
取x＝1，得n＝(1,0,2)为平面D1EF的一个法向量，
∴点G到平面D1EF的距离为
d＝＝＝.
二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分)
9．空间四个点O，A，B，C，，，为空间的一个基底，则下列说法正确的是( )
A．O，A，B，C四点不共线
B．O，A，B，C四点共面，但不共线
C．O，A，B，C四点中任意三点不共线
D．O，A，B，C四点不共面
答案 ACD
解析 若O，A，B，C四点共面，则，，共面，则，，不可能为空间的一个基底，故A，D正确，B不正确；若O，A，B，C中有三点共线，则四点一定共面，故C正确．
10．如图，已知E是棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1的棱BC的中点，F是棱BB1的中点，设点D到平面AED1的距离为d，直线DE与平面AED1所成的角为θ，二面角D1－AE－D的夹角为α，则( )
A．DF⊥平面AED1 B．d＝
C．sin θ＝ D．cos α＝
答案 BCD
解析 以A为坐标原点，，，的方向为x，y，z轴的正方向，建立空间直角坐标系(图略)，
则A(0,0,0)，E(2,1,0)，D(0,2,0)，D1(0,2,2)，
A1(0,0,2)，F(2,0,1)，
所以＝(2,1,0)，＝(0,2,2)，＝(2，－1,0)，＝(2，－2,1)．
设平面AED1的法向量为m＝(x，y，z)，
则由
得
令x＝1，则y＝－2，z＝2，
故m＝(1，－2,2)．
∵＝(2，－2,1)，不存在λ使m＝λ，
即与m不共线，
∴DF与平面AED1不垂直，故A错误；
又∵＝(0,0,2)，
∴d＝＝＝，故B正确；
又＝(2，－1,0)．
∴sin θ＝|cos〈，m〉|＝＝.
故C正确；
又＝(0,0,2)为平面AED的一个法向量，
由图知α为锐角，
∴cos α＝＝＝，故D正确．
11.如图所示，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，底面是以∠ABC为直角的等腰直角三角形，AC＝2a，BB1＝3a，D是A1C1的中点，点E在棱AA1上，要使CE⊥平面B1DE，则AE的值可能是( )
A．a B.a
C．2a D.a
答案 AC
解析 以B为坐标原点，BA，BC，BB1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则D，
B1(0,0,3a)，C(0，a,0)．
设点E的坐标为(a,0，z)(0≤z≤3a)，
则＝，
＝(a，－a，z)，＝(a,0，z－3a)．
由CE⊥平面B1DE，得CE⊥DE，CE⊥B1E，
故
即
解得z＝a或z＝2a，即AE＝a或2a.
12．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点P在线段B1C上运动，则( )
A．直线BD1⊥平面A1C1D
B．三棱锥P－A1C1D的体积为定值
C．异面直线AP与A1D所成的角的取值范围是
D．直线C1P与平面A1C1D所成角的正弦值的最大值为
答案 ABD
解析 对于选项A，连接B1D1(图略)，由正方体可得A1C1⊥B1D1，且BB1⊥平面A1B1C1D1，
则BB1⊥A1C1，所以A1C1⊥平面BD1B1，
故A1C1⊥BD1；
同理，连接AD1，易证得A1D⊥BD1，
则BD1⊥平面A1C1D，故A正确；
对于选项B，
因为点P在线段B1C上运动，
所以＝A1D·AB，面积为定值，
且C1到平面A1PD的距离即为C1到平面A1B1CD的距离，也为定值，故体积为定值，故B正确；
对于选项C，当点P与线段B1C的端点重合时，AP与A1D所成的角取得最小值为60°，故C错误；
对于选项D，因为直线BD1⊥平面A1C1D，
所以若直线C1P与平面A1C1D所成角的正弦值最大，
则直线C1P与直线BD1所成的角的余弦值最大，
则P运动到B1C中点处，即所成的角为∠C1BD1，
设棱长为1，在Rt△D1C1B中，cos∠C1BD1＝＝＝，故D正确．
三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13．已知点B(1,0,0)，C′(1,1,1)，D′(0,1,1)，若点E的坐标为(－2,1，m)，且点B，C′，D′，E四点共面，则实数m的值为________．
答案 1
解析 ∵B(1,0,0)，C′(1,1,1)，D′(0,1,1)，E(－2,1，m)，
∴＝(0,1,1)，＝(－1,1,1)，＝(－3,1，m)，
根据空间向量基本定理，存在实数x，y，
使得＝x＋y，
则有
解得m＝1.
14．已知平面α经过点B(1,0,0)，且α的法向量n＝(1,1,1)，则P(2,2,0)到平面α的距离为________．
答案
解析 ∵向量n＝(1,1,1)为平面α的法向量，点B(1,0,0)，P(2,2,0)，
∴＝(1,2,0)，
∴P(2,2,0)到平面α的距离d＝＝＝.
15．已知在正四棱台ABCD－A1B1C1D1中，上底面A1B1C1D1的边长为1，下底面ABCD的边长为2，侧棱与底面所成的角为60°，则异面直线AD1与B1C所成的角的余弦值为________．
答案
解析 设上、下底面中心分别为O1，O，则OO1⊥平面ABCD，以O为原点，直线BD，AC，OO1分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系．
因为AB＝2，A1B1＝1，
所以AC＝BD＝2，A1C1＝B1D1＝.
因为平面BDD1B1⊥平面ABCD，
所以∠B1BO为侧棱与底面所成的角，故∠B1BO＝60°.
设棱台高为h，则tan 60°＝，h＝，
所以A(0，－，0)，D1，B1，
C(0，，0)，
所以＝，
＝，
故cos〈，〉＝＝，
故异面直线AD1与B1C所成的角的余弦值为.
16.如图，有一长方形的纸片ABCD，AB的长度为4 cm，BC的长度为3 cm，现沿它的一条对角线AC把它折叠成90°的二面角，则折叠后·＝________，线段BD的长是________cm.
答案 －7
解析 如图所示，
作DE⊥AC，BF⊥AC，
垂足分别为E，F，
则AC＝5，DE＝BF＝，
AE＝CF＝，EF＝，
折叠后，DE，EF，FB的长度保持不变，
所以·＝·(＋)＝·＋·＝5×4×＋5×3×＝－7，
故||2＝(＋＋)2
＝||2＋||2＋||2＋2·＋2·＋2·
＝||2＋||2＋||2＋0＋0＋0
＝2＋2＋2＝，
得BD＝.
四、解答题(本大题共6小题，共70分)
17．(10分)如图所示，在四棱锥M－ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，侧棱AM的长为3，且AM和AB，AD的夹角都是60°，N是CM的中点，设a＝，b＝，c＝，试以a，b，c为基向量表示出向量，并求BN的长．
解 ＝＋＝＋
＝＋(－)
＝＋[－(＋)]
＝－＋＋.
所以＝－a＋b＋c，
||2＝2＝2
＝(a2＋b2＋c2－2a·b－2a·c＋2b·c)＝.
所以||＝，即BN的长为.
18．(12分)已知空间内三点A(0,2,3)，B(－2,1,6)，C(1，－1,5)．
(1)求以向量，为一组邻边的平行四边形的面积S；
(2)若向量a与向量，都垂直，且|a|＝，求向量a的坐标．
解 (1)∵＝(－2，－1,3)，＝(1，－3,2)，
∴cos∠BAC＝＝＝，
又∵∠BAC∈[0，π]，
∴∠BAC＝，
∴S＝||||sin ＝7.
(2)设a＝(x，y，z)，
由a⊥，得－2x－y＋3z＝0，
由a⊥，得x－3y＋2z＝0，
由|a|＝，得x2＋y2＋z2＝3，
∴x＝y＝z＝1或x＝y＝z＝－1.
∴a＝(1,1,1)或a＝(－1，－1，－1)．
19.(12分)如图，在四棱锥P－ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD为正方形，PD＝DC，E，F分别是AB，PB的中点．
(1)求证：EF⊥CD；
(2)在平面PAD内求一点G，使GF⊥平面PCB，并证明你的结论．
(1)证明 如图，以D为原点，分别以DA，DC，DP所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，
设AD＝a，则D(0,0,0)，
A(a,0,0)，B(a，a,0)，C(0，a,0)，
E，P(0,0，a)，
F.
＝，＝(0，a,0)，
∵·＝0，∴⊥，即EF⊥CD.
(2)解 设G(x,0，z)，则＝，
若使GF⊥平面PCB，则需·＝0且·＝0，
由·＝·(a,0,0)
＝a＝0，得x＝，
由·＝·(0，－a，a)
＝＋a＝0，
得z＝0.
∴G点坐标为，即G为AD的中点时，GF⊥平面PCB.
20．(12分)如图所示，已知点P在正方体ABCD－A′B′C′D′的对角线BD′上，∠PDA＝60°.
(1)求DP与CC′所成角的大小；
(2)求DP与平面AA′D′D所成角的大小．
解 (1)如图所示，以D为原点，DA，DC，DD′分别为x轴，y轴，z轴正方向建立空间直角坐标系，设DA＝1.
则＝(1,0,0)，＝(0,0,1)．
连接BD，B′D′.
在平面BB′D′D中，延长DP交B′D′于H.
设＝(m，m,1)(m>0)，
由已知得〈·〉＝60°，
由·＝||||cos〈，〉，
可得2m＝.
解得m＝，
所以＝.
因为cos〈，〉＝＝，
所以〈，〉＝45°，
即DP与CC′所成的角为45°.
(2)由题意得，平面AA′D′D的一个法向量是
＝(0,1,0)，
因为cos〈，〉
＝＝，
所以〈，〉＝60°，
可得DP与平面AA′D′D所成的角为30°.
21．(12分)如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD⊥AB，AB∥DC，AD＝DC＝AP＝2，AB＝1，点E为棱PC的中点．
(1)求证：BE⊥DC；
(2)若F为棱PC上一点，满足BF⊥AC，求二面角F－AB－P的余弦值．
(1)证明 依题意，以点A为坐标原点建立空间直角坐标系(如图)，可得A(0,0,0)，
B(1,0,0)，C(2,2,0)，D(0,2,0)，
P(0,0,2)．
由E为棱PC的中点，得E(1,1,1)，
所以＝(0,1,1)，＝(2,0,0)，
故·＝0，
所以BE⊥DC.
(2)解 ＝(1,2,0)，＝(－2，－2,2)，＝(2,2,0)，＝(1,0,0)．
由点F在棱PC上，设＝λ(0≤λ≤1)，
故＝＋＝＋λ＝(1－2λ，2－2λ，2λ)．
由BF⊥AC，得·＝0，
则2(1－2λ)＋2(2－2λ)＝0，解得λ＝，
即＝.
设n1＝(x，y，z)为平面FAB的法向量，
则
即
不妨令z＝1，可得n1＝(0，－3,1)为平面FAB的一个法向量．
易知向量n2＝(0,1,0)为平面ABP的一个法向量，
则cos〈n1，n2〉＝＝＝－.
由图可知，二面角F－AB－P为锐角，
所以二面角F－AB－P的余弦值为.
22．(12分)如图所示，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AD＝AB＝BC＝2，CD＝4，E为CD的中点，AE与BD交于点O，将△ADE沿AE折起，使点D到达点P的位置(P 平面ABCE)．
(1)证明：平面POB⊥平面ABCE；
(2)若PB＝，试判断线段PB上是否存在一点Q(不含端点)，使得直线PC与平面AEQ所成角的正弦值为，若存在，求出的值；若不存在，说明理由．
(1)证明 在梯形ABCD中，连接BE(图略)，
∵AD＝AB＝BC＝2，CD＝4，E为中点，
∴四边形ABED为菱形，∴BD⊥AE，
∴OB⊥AE，OD⊥AE，
即OB⊥AE，OP⊥AE，且OB∩OP＝O，
OB 平面POB，OP 平面POB，
∴AE⊥平面POB.
又AE 平面ABCE，∴平面POB⊥平面ABCE.
(2)由(1)可知四边形ABED为菱形，
∴AD＝DE＝2，
在等腰梯形ABCD中，AE＝BC＝2，
∴△PAE为正三角形，∴OP＝，同理OB＝，
∵PB＝，∴OP2＋OB2＝PB2，∴OP⊥OB.
由(1)可知OP⊥AE，OB⊥AE，
以O为原点，，，分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系O－xyz，
则P(0,0，)，A(－1,0,0)，B(0，，0)，C(2，，0)，
E(1,0,0),
∴＝(1,0，)，＝(0，，－)，
＝(2，，－)，＝(2,0,0)，
设＝λ(0<λ<1)，
＝＋＝＋λ＝(1，λ，－λ)，
设平面AEQ的一个法向量为n＝(x，y，z)，
则即
取x＝0，y＝1，得z＝，
∴n＝，
设直线PC与平面AEQ所成角为θ，θ∈，
则sin θ＝|cos〈，n〉|＝＝，
即＝，
化简得4λ2－4λ＋1＝0，解得λ＝，
∴存在点Q为PB的中点时，使直线PC与平面AEQ所成角的正弦值为.
(时间：120分钟 满分：150分)
一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．在长方体ABCD－A1B1C1D1中，＋＋－等于( )
A. B.
C. D.
2．已知a＝(2，－1,3)，b＝(－1,4，－2)，c＝(1,3，λ)，若a，b，c三向量共面，则实数λ等于( )
A．1 B．2 C．3 D．4
3．已知平面α上的两个向量a＝(2,3,1)，b＝(5,6,4)，则平面α的一个法向量为( )
A．(1，－1,1) B．(2，－1,1)
C．(－2,1,1) D．(－1,1,1)
4．A，B，C，D是空间不共面的四点，且满足·＝0，·＝0，·＝0，M为BC中点，则△AMD的形状为( )
A．等腰三角形 B．锐角三角形
C．直角三角形 D．钝角三角形
5．已知空间向量a＝(1，n,2)，b＝(－2,1,2)，若2a－b与b垂直，则|a|等于( )
A. B. C. D.
6．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，以D为原点建立空间直角坐标系，E为BB1的中点，F为A1D1的中点，则下列向量中，能作为平面AEF的法向量的是( )
A．(1，－2,4) B．(－4,1，－2)
C．(2，－2,1) D．(1,2，－2)
7.如图，AB＝AC＝BD＝1，AB 平面α，AC⊥平面α，BD⊥AB，BD与平面α成30°角，则C，D间的距离为( )
A．1 B．2 C. D.
8．在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为棱AA1，BB1的中点，G为棱A1B1上的一点，且A1G＝λ(0<λ<2)，则点G到平面D1EF的距离为( )
A．2 B. C. D.
二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分)
9．空间四个点O，A，B，C，，，为空间的一个基底，则下列说法正确的是( )
A．O，A，B，C四点不共线
B．O，A，B，C四点共面，但不共线
C．O，A，B，C四点中任意三点不共线
D．O，A，B，C四点不共面
10．如图，已知E是棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1的棱BC的中点，F是棱BB1的中点，设点D到平面AED1的距离为d，直线DE与平面AED1所成的角为θ，二面角D1－AE－D的夹角为α，则( )
A．DF⊥平面AED1 B．d＝
C．sin θ＝ D．cos α＝
11.如图所示，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，底面是以∠ABC为直角的等腰直角三角形，AC＝2a，BB1＝3a，D是A1C1的中点，点E在棱AA1上，要使CE⊥平面B1DE，则AE的值可能是( )
A．a B.a
C．2a D.a
12．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点P在线段B1C上运动，则( )
A．直线BD1⊥平面A1C1D
B．三棱锥P－A1C1D的体积为定值
C．异面直线AP与A1D所成的角的取值范围是
D．直线C1P与平面A1C1D所成角的正弦值的最大值为
三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13．已知点B(1,0,0)，C′(1,1,1)，D′(0,1,1)，若点E的坐标为(－2,1，m)，且点B，C′，D′，E四点共面，则实数m的值为________．
14．已知平面α经过点B(1,0,0)，且α的法向量n＝(1,1,1)，则P(2,2,0)到平面α的距离为________．
15．已知在正四棱台ABCD－A1B1C1D1中，上底面A1B1C1D1的边长为1，下底面ABCD的边长为2，侧棱与底面所成的角为60°，则异面直线AD1与B1C所成的角的余弦值为________．
16.如图，有一长方形的纸片ABCD，AB的长度为4 cm，BC的长度为3 cm，现沿它的一条对角线AC把它折叠成90°的二面角，则折叠后·＝________，线段BD的长是________cm.
四、解答题(本大题共6小题，共70分)
17．(10分)如图所示，在四棱锥M－ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，侧棱AM的长为3，且AM和AB，AD的夹角都是60°，N是CM的中点，设a＝，b＝，c＝，试以a，b，c为基向量表示出向量，并求BN的长．
.
18．(12分)已知空间内三点A(0,2,3)，B(－2,1,6)，C(1，－1,5)．
(1)求以向量，为一组邻边的平行四边形的面积S；
(2)若向量a与向量，都垂直，且|a|＝，求向量a的坐标．
19.(12分)如图，在四棱锥P－ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD为正方形，PD＝DC，E，F分别是AB，PB的中点．
(1)求证：EF⊥CD；
(2)在平面PAD内求一点G，使GF⊥平面PCB，并证明你的结论．
20．(12分)如图所示，已知点P在正方体ABCD－A′B′C′D′的对角线BD′上，∠PDA＝60°.
(1)求DP与CC′所成角的大小；
(2)求DP与平面AA′D′D所成角的大小．
21．(12分)如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD⊥AB，AB∥DC，AD＝DC＝AP＝2，AB＝1，点E为棱PC的中点．
(1)求证：BE⊥DC；
(2)若F为棱PC上一点，满足BF⊥AC，求二面角F－AB－P的余弦值．
22．(12分)如图所示，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AD＝AB＝BC＝2，CD＝4，E为CD的中点，AE与BD交于点O，将△ADE沿AE折起，使点D到达点P的位置(P 平面ABCE)．
(1)证明：平面POB⊥平面ABCE；
(2)若PB＝，试判断线段PB上是否存在一点Q(不含端点)，使得直线PC与平面AEQ所成角的正弦值为，若存在，求出的值；若不存在，说明理由．
答案与解析
第6章 空间向量与立体几何 章末检测试卷
(时间：120分钟 满分：150分)
一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．在长方体ABCD－A1B1C1D1中，＋＋－等于( )
A. B.
C. D.
答案 A
解析 ＋＋－＝＋＝.
2．已知a＝(2，－1,3)，b＝(－1,4，－2)，c＝(1,3，λ)，若a，b，c三向量共面，则实数λ等于( )
A．1 B．2 C．3 D．4
答案 A
解析 若向量a，b，c共面，则c＝xa＋yb，其中x，y∈R，
即(1,3，λ)＝(2x，－x,3x)＋(－y,4y，－2y)＝(2x－y，－x＋4y,3x－2y)，
则解得
3．已知平面α上的两个向量a＝(2,3,1)，b＝(5,6,4)，则平面α的一个法向量为( )
A．(1，－1,1) B．(2，－1,1)
C．(－2,1,1) D．(－1,1,1)
答案 C
解析 显然a与b不平行，
设平面α的法向量为n＝(x，y，z)，
则所以
令z＝1，得x＝－2，y＝1.
所以n＝(－2,1,1)．
4．A，B，C，D是空间不共面的四点，且满足·＝0，·＝0，·＝0，M为BC中点，则△AMD的形状为( )
A．等腰三角形 B．锐角三角形
C．直角三角形 D．钝角三角形
答案 C
解析 ∵M为BC中点，∴＝(＋)．
∴·＝(＋)·
＝·＋·＝0.
∴AM⊥AD，△AMD为直角三角形．
5．已知空间向量a＝(1，n,2)，b＝(－2,1,2)，若2a－b与b垂直，则|a|等于( )
A. B. C. D.
答案 B
解析 因为a＝(1，n,2)，b＝(－2,1,2)，
所以2a－b＝(4,2n－1,2)．
因为2a－b与b垂直，
所以(2a－b)·b＝0，所以－8＋2n－1＋4＝0，
解得n＝，所以a＝，
所以|a|＝＝.
6．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，以D为原点建立空间直角坐标系，E为BB1的中点，F为A1D1的中点，则下列向量中，能作为平面AEF的法向量的是( )
A．(1，－2,4) B．(－4,1，－2)
C．(2，－2,1) D．(1,2，－2)
答案 B
解析 设正方体的棱长为2，
则A(2,0,0)，E(2,2,1)，F(1,0,2)，
所以＝(0,2,1)，＝(－1,0,2)．
设向量n＝(x，y，z)是平面AEF的法向量，
则取y＝1，得x＝－4，z＝－2，
则n＝(－4,1，－2)是平面AEF的一个法向量．结合其他选项，检验可知只有B选项是平面AEF的法向量．
7.如图，AB＝AC＝BD＝1，AB 平面α，AC⊥平面α，BD⊥AB，BD与平面α成30°角，则C，D间的距离为( )
A．1 B．2 C. D.
答案 C
解析 ||2＝|＋＋|2＝||2＋||2＋||2＋2·＋2·＋2·＝1＋1＋1＋0＋0＋2×1×1·cos 120°＝2.
∴||＝.
8．在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为棱AA1，BB1的中点，G为棱A1B1上的一点，且A1G＝λ(0<λ<2)，则点G到平面D1EF的距离为( )
A．2 B. C. D.
答案 D
解析 以D为坐标原点，DA所在直线为x轴，DC所在直线为y轴，DD1所在直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则G(2，λ，2)，D1(0,0,2)，E(2,0,1)，F(2,2,1)，
所以＝(－2,0,1)，＝(0,2,0)，＝(0，λ，1)．
设平面D1EF的法向量为n＝(x，y，z)，
则
取x＝1，得n＝(1,0,2)为平面D1EF的一个法向量，
∴点G到平面D1EF的距离为
d＝＝＝.
二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分)
9．空间四个点O，A，B，C，，，为空间的一个基底，则下列说法正确的是( )
A．O，A，B，C四点不共线
B．O，A，B，C四点共面，但不共线
C．O，A，B，C四点中任意三点不共线
D．O，A，B，C四点不共面
答案 ACD
解析 若O，A，B，C四点共面，则，，共面，则，，不可能为空间的一个基底，故A，D正确，B不正确；若O，A，B，C中有三点共线，则四点一定共面，故C正确．
10．如图，已知E是棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1的棱BC的中点，F是棱BB1的中点，设点D到平面AED1的距离为d，直线DE与平面AED1所成的角为θ，二面角D1－AE－D的夹角为α，则( )
A．DF⊥平面AED1 B．d＝
C．sin θ＝ D．cos α＝
答案 BCD
解析 以A为坐标原点，，，的方向为x，y，z轴的正方向，建立空间直角坐标系(图略)，
则A(0,0,0)，E(2,1,0)，D(0,2,0)，D1(0,2,2)，
A1(0,0,2)，F(2,0,1)，
所以＝(2,1,0)，＝(0,2,2)，＝(2，－1,0)，＝(2，－2,1)．
设平面AED1的法向量为m＝(x，y，z)，
则由
得
令x＝1，则y＝－2，z＝2，
故m＝(1，－2,2)．
∵＝(2，－2,1)，不存在λ使m＝λ，
即与m不共线，
∴DF与平面AED1不垂直，故A错误；
又∵＝(0,0,2)，
∴d＝＝＝，故B正确；
又＝(2，－1,0)．
∴sin θ＝|cos〈，m〉|＝＝.
故C正确；
又＝(0,0,2)为平面AED的一个法向量，
由图知α为锐角，
∴cos α＝＝＝，故D正确．
11.如图所示，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，底面是以∠ABC为直角的等腰直角三角形，AC＝2a，BB1＝3a，D是A1C1的中点，点E在棱AA1上，要使CE⊥平面B1DE，则AE的值可能是( )
A．a B.a
C．2a D.a
答案 AC
解析 以B为坐标原点，BA，BC，BB1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则D，
B1(0,0,3a)，C(0，a,0)．
设点E的坐标为(a,0，z)(0≤z≤3a)，
则＝，
＝(a，－a，z)，＝(a,0，z－3a)．
由CE⊥平面B1DE，得CE⊥DE，CE⊥B1E，
故
即
解得z＝a或z＝2a，即AE＝a或2a.
12．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点P在线段B1C上运动，则( )
A．直线BD1⊥平面A1C1D
B．三棱锥P－A1C1D的体积为定值
C．异面直线AP与A1D所成的角的取值范围是
D．直线C1P与平面A1C1D所成角的正弦值的最大值为
答案 ABD
解析 对于选项A，连接B1D1(图略)，由正方体可得A1C1⊥B1D1，且BB1⊥平面A1B1C1D1，
则BB1⊥A1C1，所以A1C1⊥平面BD1B1，
故A1C1⊥BD1；
同理，连接AD1，易证得A1D⊥BD1，
则BD1⊥平面A1C1D，故A正确；
对于选项B，
因为点P在线段B1C上运动，
所以＝A1D·AB，面积为定值，
且C1到平面A1PD的距离即为C1到平面A1B1CD的距离，也为定值，故体积为定值，故B正确；
对于选项C，当点P与线段B1C的端点重合时，AP与A1D所成的角取得最小值为60°，故C错误；
对于选项D，因为直线BD1⊥平面A1C1D，
所以若直线C1P与平面A1C1D所成角的正弦值最大，
则直线C1P与直线BD1所成的角的余弦值最大，
则P运动到B1C中点处，即所成的角为∠C1BD1，
设棱长为1，在Rt△D1C1B中，cos∠C1BD1＝＝＝，故D正确．
三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13．已知点B(1,0,0)，C′(1,1,1)，D′(0,1,1)，若点E的坐标为(－2,1，m)，且点B，C′，D′，E四点共面，则实数m的值为________．
答案 1
解析 ∵B(1,0,0)，C′(1,1,1)，D′(0,1,1)，E(－2,1，m)，
∴＝(0,1,1)，＝(－1,1,1)，＝(－3,1，m)，
根据空间向量基本定理，存在实数x，y，
使得＝x＋y，
则有
解得m＝1.
14．已知平面α经过点B(1,0,0)，且α的法向量n＝(1,1,1)，则P(2,2,0)到平面α的距离为________．
答案
解析 ∵向量n＝(1,1,1)为平面α的法向量，点B(1,0,0)，P(2,2,0)，
∴＝(1,2,0)，
∴P(2,2,0)到平面α的距离d＝＝＝.
15．已知在正四棱台ABCD－A1B1C1D1中，上底面A1B1C1D1的边长为1，下底面ABCD的边长为2，侧棱与底面所成的角为60°，则异面直线AD1与B1C所成的角的余弦值为________．
答案
解析 设上、下底面中心分别为O1，O，则OO1⊥平面ABCD，以O为原点，直线BD，AC，OO1分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系．
因为AB＝2，A1B1＝1，
所以AC＝BD＝2，A1C1＝B1D1＝.
因为平面BDD1B1⊥平面ABCD，
所以∠B1BO为侧棱与底面所成的角，故∠B1BO＝60°.
设棱台高为h，则tan 60°＝，h＝，
所以A(0，－，0)，D1，B1，
C(0，，0)，
所以＝，
＝，
故cos〈，〉＝＝，
故异面直线AD1与B1C所成的角的余弦值为.
16.如图，有一长方形的纸片ABCD，AB的长度为4 cm，BC的长度为3 cm，现沿它的一条对角线AC把它折叠成90°的二面角，则折叠后·＝________，线段BD的长是________cm.
答案 －7
解析 如图所示，
作DE⊥AC，BF⊥AC，
垂足分别为E，F，
则AC＝5，DE＝BF＝，
AE＝CF＝，EF＝，
折叠后，DE，EF，FB的长度保持不变，
所以·＝·(＋)＝·＋·＝5×4×＋5×3×＝－7，
故||2＝(＋＋)2
＝||2＋||2＋||2＋2·＋2·＋2·
＝||2＋||2＋||2＋0＋0＋0
＝2＋2＋2＝，
得BD＝.
四、解答题(本大题共6小题，共70分)
17．(10分)如图所示，在四棱锥M－ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，侧棱AM的长为3，且AM和AB，AD的夹角都是60°，N是CM的中点，设a＝，b＝，c＝，试以a，b，c为基向量表示出向量，并求BN的长．
解 ＝＋＝＋
＝＋(－)
＝＋[－(＋)]
＝－＋＋.
所以＝－a＋b＋c，
||2＝2＝2
＝(a2＋b2＋c2－2a·b－2a·c＋2b·c)＝.
所以||＝，即BN的长为.
18．(12分)已知空间内三点A(0,2,3)，B(－2,1,6)，C(1，－1,5)．
(1)求以向量，为一组邻边的平行四边形的面积S；
(2)若向量a与向量，都垂直，且|a|＝，求向量a的坐标．
解 (1)∵＝(－2，－1,3)，＝(1，－3,2)，
∴cos∠BAC＝＝＝，
又∵∠BAC∈[0，π]，
∴∠BAC＝，
∴S＝||||sin ＝7.
(2)设a＝(x，y，z)，
由a⊥，得－2x－y＋3z＝0，
由a⊥，得x－3y＋2z＝0，
由|a|＝，得x2＋y2＋z2＝3，
∴x＝y＝z＝1或x＝y＝z＝－1.
∴a＝(1,1,1)或a＝(－1，－1，－1)．
19.(12分)如图，在四棱锥P－ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD为正方形，PD＝DC，E，F分别是AB，PB的中点．
(1)求证：EF⊥CD；
(2)在平面PAD内求一点G，使GF⊥平面PCB，并证明你的结论．
(1)证明 如图，以D为原点，分别以DA，DC，DP所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，
设AD＝a，则D(0,0,0)，
A(a,0,0)，B(a，a,0)，C(0，a,0)，
E，P(0,0，a)，
F.
＝，＝(0，a,0)，
∵·＝0，∴⊥，即EF⊥CD.
(2)解 设G(x,0，z)，则＝，
若使GF⊥平面PCB，则需·＝0且·＝0，
由·＝·(a,0,0)
＝a＝0，得x＝，
由·＝·(0，－a，a)
＝＋a＝0，
得z＝0.
∴G点坐标为，即G为AD的中点时，GF⊥平面PCB.
20．(12分)如图所示，已知点P在正方体ABCD－A′B′C′D′的对角线BD′上，∠PDA＝60°.
(1)求DP与CC′所成角的大小；
(2)求DP与平面AA′D′D所成角的大小．
解 (1)如图所示，以D为原点，DA，DC，DD′分别为x轴，y轴，z轴正方向建立空间直角坐标系，设DA＝1.
则＝(1,0,0)，＝(0,0,1)．
连接BD，B′D′.
在平面BB′D′D中，延长DP交B′D′于H.
设＝(m，m,1)(m>0)，
由已知得〈·〉＝60°，
由·＝||||cos〈，〉，
可得2m＝.
解得m＝，
所以＝.
因为cos〈，〉＝＝，
所以〈，〉＝45°，
即DP与CC′所成的角为45°.
(2)由题意得，平面AA′D′D的一个法向量是
＝(0,1,0)，
因为cos〈，〉
＝＝，
所以〈，〉＝60°，
可得DP与平面AA′D′D所成的角为30°.
21．(12分)如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD⊥AB，AB∥DC，AD＝DC＝AP＝2，AB＝1，点E为棱PC的中点．
(1)求证：BE⊥DC；
(2)若F为棱PC上一点，满足BF⊥AC，求二面角F－AB－P的余弦值．
(1)证明 依题意，以点A为坐标原点建立空间直角坐标系(如图)，可得A(0,0,0)，
B(1,0,0)，C(2,2,0)，D(0,2,0)，
P(0,0,2)．
由E为棱PC的中点，得E(1,1,1)，
所以＝(0,1,1)，＝(2,0,0)，
故·＝0，
所以BE⊥DC.
(2)解 ＝(1,2,0)，＝(－2，－2,2)，＝(2,2,0)，＝(1,0,0)．
由点F在棱PC上，设＝λ(0≤λ≤1)，
故＝＋＝＋λ＝(1－2λ，2－2λ，2λ)．
由BF⊥AC，得·＝0，
则2(1－2λ)＋2(2－2λ)＝0，解得λ＝，
即＝.
设n1＝(x，y，z)为平面FAB的法向量，
则
即
不妨令z＝1，可得n1＝(0，－3,1)为平面FAB的一个法向量．
易知向量n2＝(0,1,0)为平面ABP的一个法向量，
则cos〈n1，n2〉＝＝＝－.
由图可知，二面角F－AB－P为锐角，
所以二面角F－AB－P的余弦值为.
22．(12分)如图所示，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AD＝AB＝BC＝2，CD＝4，E为CD的中点，AE与BD交于点O，将△ADE沿AE折起，使点D到达点P的位置(P 平面ABCE)．
(1)证明：平面POB⊥平面ABCE；
(2)若PB＝，试判断线段PB上是否存在一点Q(不含端点)，使得直线PC与平面AEQ所成角的正弦值为，若存在，求出的值；若不存在，说明理由．
(1)证明 在梯形ABCD中，连接BE(图略)，
∵AD＝AB＝BC＝2，CD＝4，E为中点，
∴四边形ABED为菱形，∴BD⊥AE，
∴OB⊥AE，OD⊥AE，
即OB⊥AE，OP⊥AE，且OB∩OP＝O，
OB 平面POB，OP 平面POB，
∴AE⊥平面POB.
又AE 平面ABCE，∴平面POB⊥平面ABCE.
(2)由(1)可知四边形ABED为菱形，
∴AD＝DE＝2，
在等腰梯形ABCD中，AE＝BC＝2，
∴△PAE为正三角形，∴OP＝，同理OB＝，
∵PB＝，∴OP2＋OB2＝PB2，∴OP⊥OB.
由(1)可知OP⊥AE，OB⊥AE，
以O为原点，，，分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系O－xyz，
则P(0,0，)，A(－1,0,0)，B(0，，0)，C(2，，0)，
E(1,0,0),
∴＝(1,0，)，＝(0，，－)，
＝(2，，－)，＝(2,0,0)，
设＝λ(0<λ<1)，
＝＋＝＋λ＝(1，λ，－λ)，
设平面AEQ的一个法向量为n＝(x，y，z)，
则即
取x＝0，y＝1，得z＝，
∴n＝，
设直线PC与平面AEQ所成角为θ，θ∈，
则sin θ＝|cos〈，n〉|＝＝，
即＝，
化简得4λ2－4λ＋1＝0，解得λ＝，
∴存在点Q为PB的中点时，使直线PC与平面AEQ所成角的正弦值为.