(共13张PPT)
6.3 三角形的中位线
北师大版八年级下册
问题导入
仅给一把有刻度的卷尺，能否测出一沙堆底部两端Ａ、Ｂ间的距离？(注意﹕不能直接测量)
．
·
情景创设
怎样将一张三角形纸片剪成两部分，使分成的两部分能拼成一个平行四边形？
1。剪一个三角形，记为ΔABC
2．分别取AB、AC的中点D、E，并连接DE
3．沿DE将ΔABC剪成两部分，并将ΔADE绕点E旋转180°得四边形DBCF
做一做：
四边形DBCF是什么特殊的四边形？为什么？
想一想：
答：四边形DBCF是平行四边形。
由操作可知：ΔADE与ΔCFE关于点E成中心对称
则CF=AD,∠F=∠ADE
由∠F=∠ADE可得：AB∥CF
又由CF=AD，AD=DB可得：DB=CF
所以四边形BCFD是平行四边形 理由：一组对边平行且 相等的四边形是平行四边形
图中线段DE 是连接ΔABC两边的中点D、E所得的线段，称此线段DE为ΔABC的中位线
读一读：
三角形中位线的概念
连接三角形两边的中点的线段叫做三角形的中位线
三角形的中位线与三角形的中线的区别是什么？
答：三角形的中位线的两端都是中点
三角形的中线一端是中点，另一端是顶点
想一想：
议一议：
ΔABC的中位线DE与BC有怎样的位置和数量关系？
为什么？
答：DE∥BC，DE= BC
通过探索得知：四边形BCFD是平行四边形
则DF∥BC DF=BC
即DE∥BC DE= DF= BC
三角形中位线的性质:
三角形的中位线平行与第三边，并且等于它的一半。
说明 此性质的特点：同一条件下有2个结论
因为DE为ΔABC的中位线
所以①DE∥BC，②DE= BC
↓ ↓
位置关系 数量关系
试一试：
你能解决本节课开始提出的问题了吗？
解答：先在沙堆外取一点C， 连接 CA、CB
再取 CA、CB 的中点D、E,并量得D、E间的距离，假设其大小为 m
则A、B 间的距离为 2m 。 根据是： 三角形的中位线等于第三边的一半
A
B
C
D
E
m
2m
课堂训练
练一练：1。如图（1）ΔABC中，
AB=6㎝， AC=8㎝，BC=10㎝，
D﹑E﹑F分别是ABACBC的中点
则ΔDEF的周长是＿＿＿＿ ，
面积是＿＿＿＿。
2．如图（2）ΔABC中，DE是
中位线，AF是中线，则DE与
AF的关系是＿＿＿＿
F
A
B
c
D
E
(1)
A
C
B
D
E
F
(2)
互相平分
6cm2
12cm
3．如图,梯形ABCD中，AD∥BC，E﹑F分别是AC﹑BD的中点
（１）EF与AD﹑BC的关系如何？为什么？
（２）若AD=a，BC=b，求EF的长。
A
B
C
D
E
F
G
解：（１）AD∥EF∥BC
因为AD∥BC ，则∠DAF＝∠GCF，∠ADF＝∠CGF
连接DF并延长DF交BC于G
又AF＝FC
所以△ADF≌△CFG(AAS)
所以DF=FG
而DE=EB
所以EF∥ BC
理由是：三角形的中位线平行于第三边
又AD∥BC
所以AD∥EF∥BC
４．如图,梯形ABCD中，AD∥BC，E﹑F分别是AC﹑BD的中点
（１）EF与AD﹑BC的关系如何？为什么？
（２）若AD=a，BC=b，求EF的长。
A
E
G
D
F
C
B
解：（2）
所以EF=BG= (BC-GC)
理由是：三角形的中位线 等于第三边的一半。
而GC=AD
所以EF= (BC-AD)= (b-a)
由（１）可知：EF是△DBG的中位线
探索研究：
已知：△ABC的周长为a，面积为s，连接各边中点得△A1B1C1，再连接△A1B1C1各边中点得△A2B2C2 ……，
则（１） 第３次连接所得
△A3B3C3的周长＝＿＿＿＿,面积＝＿＿＿＿
（２）第n次连接所得
△AnBnCn的周长＝＿＿＿＿，面积＝＿＿＿＿
A
B
C
次序
1
2
3
……
n
所得三角形周长
……
得三角形面积所
……
A１
B１
C１
A２
B２
C２
分析：填表
本课小结
１．理解三角形中位线的概念：连接三角形两边的中点的线段叫做三角形的中位线.
２．掌握三角形中位线的性质：三角形的中位线平行与第三边，并且等于它的一半.
3．能应用三角形中位线的性质解决有关计算或说理等问题.(共20张PPT)
（第1课时）
北师大版 八年级 上册
6.4多边形的内角和与
外角和
看一看
生活中的平面图形
三角形
长方形
四边形
六边形
八边形
考考你
工人师傅将一个四边形的桌面用锯子锯掉一个角，还剩几个角？
如果在五边形的桌面上再锯掉一个角，得到六边形的桌面，这些角的和又是多少？
考考你
多边形
F
A
B
C
D
E
在平面内，内角都相等，边也都相等的多边形叫做正多边形。
※议一议
一个多边形的边都相等，它的内角一定相等吗？
一个多边形的内角都相等，它的边一定相等吗？
多边形
凸多边形
凹多边形
我们所说的多边形都是指凸多边形
多边形
探索研究
利用三角形知识探索四边形内角和等于多少度？你能想到几种办法？
活动计划
1. 四人小组合作，在纸上完成四边形的分割．
2 . 探究不同的分割方式所得到的四边形内角和．
注意事项
1 . 用直尺作图，分割线条用虚线“ ”表示．
2 . 尽可能多地想出不同的方法求其内角和．
活动一：探索四边形内角和
A
B
C
D
A
B
C
D
A
B
C
D
A
B
C
D
探索研究
活动二：探索五边形内角和
A
C
D
E
B
A
C
D
E
B
A
C
D
E
B
A
C
D
E
B
探索研究
探索n边形内角和
n边形的内角和=（n-2）·180°
4
边数
3
180°
内角和
5
360°
…
540°
…
n
※议一议
正多边形的一个内角的度数是多少？
探索研究
学以致用
小明有一个设想：
今年是2010年，要是能在2010年上海世博会上设计一个内角和是2010°的多边形花坛该多有意义啊！小明的这个想法能实现吗？
1. 正八边形的内角和为_______.
2. 已知多边形的内角和为900 ° ，则这个多边形的边数为_______.
抢答题
1080°
七边形
3.多边形的边数增加一条，内角和就增加______。
180°
千万别认为是八边形啊
4. ____边形内角和是四边形内角和的2倍。
六
抢答题
5. 一个多边形每个内角的度数是150 °，则这个多边形的边数是____________.
十二边形
抢答题
如图所示的模板,按规定AB,CD的延长线相交成80°的角, 因交点不在板上, 不便测量，质检员测得∠BAE=122°，∠DCF=155°. 如果你是质检员,如何知道模板是否合格 为什么
分析：
∵五边形内角和为540°，
∴∠G= 540°-122°-155°-180°=83°≠80°
因此这个模板不合格。
学以致用
本节课你的收获有哪些？
今天哪些小组或同学的表现最出色，值得你学习？
在探求过程中我们使用了观察、归纳的数学方法，并且运用了类比、转化等数学思想。
课时小结(共15张PPT)
6.2平行四边形的判定
（第一课时）
北师大版 八年级 上册
边
对角线
平行四边形的
性质：
角
平行四边形的对边平行
平行四边形的对边相等
平行四边形的对角相等
平行四边形的对角线
互相平分
复习
回顾
平行四边形的定义：
两组对边分别平行的
四边形是平行四边形．
我们知道一个四边形如果是平行四边形,那么我们可以得到它的边、角、对角线的关系.反过来,当一个四边形边、角、对角线具备怎样的条件时,它是一个平行四边形呢
（1）根据定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形.
所以定义既是性质也是判别．
将两根木条AC、BD的中点重合，并用钉子固定，然后用木条AB、BC、CD、DA加固。
操作一
D
B
A
C
O
两条对角线互相平分的四边形是平行四边形。
∵AO=OC，OB=OD
∴四边形ABCD是平行四边形
操作二
将两根同样长的木条AB、CD平行放置，再用木条AD、BC加固。
A
B
C
D
C
D
一组对边平行且相等的四边形是
平行四边形。
∵AD∥BC ， AD=BC
∴四边形ABCD是平行四边形
判别方法归纳：
（1）两组对边分别平行的四边形
叫做平行四边形.（定义）
（2）两条对角线互相平分的四边形
是平行四边形。
（3）一组对边平行且相等的四边形
是平行四边形。
思考：判别和性质有何区别
？
A
B
C
D
O
∵AD∥BC，AB∥CD
∴四边形ABCD是平行四边形
∵AO=OC，OB=OD
∴四边形ABCD是平行四边形
∵AD∥BC，AD=BC
∴四边形ABCD是平行四边形
如图，AB∥CD，点E在AB上且AE=EB=DC 。找出图中的平行四边形，并说明理由。
A
C
B
E
D
大显身手
［随堂练习］：1、已知：在平行四边形ABCD 中，点E、F在对角线AC上，并且ＯE=ＯF。
D
B
O
A
C
E
F
(１)OA与OC、OB与OD相等吗？
(２)四边形BFDE是平行四边形吗？
课 堂 检 测
1)下列条件中,能判别一个四边形是平行四边形的是( )
A)一组对边相等 B)一组对边平行
C)两条对角线相等 D)两条对角线互相平分
2)判断题:一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形。（ ）
3)已知：如图，∠BAC= ∠DCA， ∠BCA= ∠DAC，
四边形ABCD是不是平行四边形？为什么？
A
B
D
C
［拓展提高]
已知,如图,在平行四边形ABCD 中，点E、F在对角线AC上，并且AE=CF,
求证:四边形BFDE是平行四边形(试一试你有几种方法证明)
A
B
C
D
E
F
课堂小结：
两条对角线互相平分的四边形
是平行四边形。
边
对角线
角
平行四边形的判定方法
1、两组对边分别平行的四边形
叫做平行四边形.（定义）
2、一组对边平行且相等的四边形
是平行四边形。(共18张PPT)
6.1 平行四边形性质
（第二课时）
北师大版 八年级 上册
1.平行四边形是_________对称图形
2. 平行四边形ABCD
A
B
D
C
O
A的对称点是____,B的对称点是____,
对称中心是_____.
中心
C
D
O
除了这些性质以外,平行四边形还有没有其他的性质呢
3.我们回忆一下,平行四边形有哪些性质
1、平行四边形的 对边平行；
2、平行四边形的 对边相等；
3、平行四边形的 对角相等；
4、平行四边形的 邻角互补.
A
B
C
D
Ａ
Ｄ
Ｃ
Ｂ
Ｏ
如下图所示,请同学们在方格纸上任意画出一个平行四边形,并量出OA与OC,OB与OD的长度,看他们的长度有什么关系
OA=OC,OB=OD
平行四边形的性质：
平行四边形的对角线互相平分.
几何语言表示为：
∵四边形ABCD是平行四边形
∴AO=CO BO=DO（平行四边形的对角线 互相平分）
何为互相平分？
O
A
B
C
D
例1:如图,在□ABCD中,已知对角线AC和BD相交于点O,△AOB的周长为15,AB=6,那么对角线AC与BD的和是多少
O
A
B
C
D
1，已知，如图，O是□ABCD的对角线的交点AC=24,BD=38，AD=14。求 △BOC的周长.
O
A
B
C
D
如图,在□ABCD中,请您判断△ABC和△DBC的面积相等吗 为什么呢
A
B
C
D
O
E
F
在笔直的铁轨上, 夹在两根铁轨之间的枕木是否一样长
a
b
例2、已知直线a∥b， 过直线 a 上任意两点A 、 B 分别向直线 b 作垂线,交直线b于点C、点D.
A
B
C
D
(1) 线段AC 、 BD所在的直线有怎样的位置关系
(2) 比较线段AC 、 BD 的数量关系。
“平行线间的距离 ”
因此 , 如果两条直线平行 , 则其中一条直线上任意一点到另一条直线的距离相等 .
a
b
A
B
C
D
在例 2 中, 线段 AC 的长是点A到直线 b 的距离;同样, 线段BD的长是点 B 到直线 b 的距离, 且 AC = BD.
这个距离称为平行线之间的距离.
=
“ 平行线间的垂线段的长度 ”
平行线间的距离处处相等.
平行线间的距离处处相等.
a
b
A
B
D
C
几何语言表示为：
∵a∥b AC⊥ｂ，
BD⊥ｂ
∴AC=BD(平行线间的距离处处相等)
如图,在□ABCD中,请您判断△ABC和△DBC的面积相等吗 为什么呢
A
B
C
D
O
E
F
如图，如果直线l1∥l2,那么△ABC的面积和△DBC的面积是相等的.你能说出理由吗 你还能在这两条平行线l1，l2,之间画出其它与△ABC面积相等的三角形吗
A
B
C
D
l1
l2
如右图所示,平行四边形ABCD的对角线相交于O,AC⊥BC垂足为C,已知AC=6,BC=4,求BD的长
A
B
C
D
O
2、 的周长是20，已知AB＝6，则BC＝＿＿，CD＝＿＿.
1、判断正误：平行线间的线段相等。（ ）
3、如图, ABCD中，AE＝CF，图中有＿＿对全等三角形。
4
ABCD
A
D
C
B
E
F
6
3
4、 中， ∠A比∠B大 30° ， 则∠A＝ ，∠D＝＿＿.
ABCD
5、若A、B、C三点不共线，则以这三点为顶点的平行四边形有＿＿个。
3
105°
75 °
这节课您学到了什么 你还有什么不明白 (共18张PPT)
6.2 平行四边形的判定 （第二课时）
北师大版 八年级 上册
已知：四边形ABCD中， AB∥CD， BC∥AD，
那么四边形ABCD是平行四边形吗？
你的根据是什么？
A
D
C
B
根据平行四边形的定义，
两组对边互相平行的四边形
是平行四边形
AB∥CD
BC∥AD
四边形ABCD
是平行四边形
已知：四边形ABCD中， AO=OC，BO=OD，
那么四边形ABCD是平行四边形吗？
你的根据是什么？
A
D
C
B
O
根据平行四边形的判别1，
对角线互相平分的四边形是平行四边形
四边形ABCD
是平行四边形
AO=OC
BO=OD
已知：四边形ABCD中， AB∥CD， AB=CD
那么四边形ABCD是平行四边形吗？
你的根据是什么？
A
D
C
B
根据平行四边形的判别2，
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
四边形ABCD
是平行四边形
AB∥CD
AB=CD
如图，AB ∥DC∥EF, 且AB=DC=EF,则图中的平行四边形__________________理由是:
□ABCD、□CDEF
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
用两根长40cm的木条和两根长30cm的木条作为四边形的四条边，能否拼成一个平行四边形？与同伴交流．
根据图中的条件，你能证明
四边形ABCD是平行四边形吗？试试看
（可用多种方法证明）
平行四边形的判别3
两组对边分别相等的四边形是平行四边形
A
D
C
B
四边形ABCD
是平行四边形
AD=BC
AB=CD
说一说：
在下图中，AB=CD=EF=15，AD=BC=16，DE=CF=9，图中有哪些互相平行的线段．
一组对边平行，另一组对边相等的四边形一定是平行四边形吗？
题目如何变化得到的四边形一定是平行四边形？
平行四边形的判别方法 ：
1、两组对边分别平行的四边形是平行四边形；
2、两组对边分别相等的四边形是平行四边形；
3、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；
4、两条对角线互相平分的四边形是平行四边形．
课堂练习：
1．有两条边相等，并且另外的两条边也相等的四边形一定是平行四边形吗？
答：如果相等的两组边分别是对边，那么这个四边形一定是平行四边形；如果相等的边分别是邻边，那么这个四边形未必是平行四边形．
2．如图，四个全等三角形拼成一个大的三角形，找出图中所有的平行四边形，并说明理由．
解：图中的平行四边形有：
□A1A2A5A3、
□A2A4A5A3、
□A2A5A6A3．
3．已知四边形ABCD中，AC与BD交于O点，如果只给出条件“AB∥CD”，那么还不能判定四边形ABCD为平行四边形．给出以下四种说法其中，正确的说法是（ ）
①如果再加上条件“BC=AD”，那么四边形ABCD一定是平行四边形
②如果再加上条件“∠BAD=∠BCD”，那么四边形ABCD一定是平行四边形
③如果再加上条件“OA=OC”那么四边形ABCD是平行四边形 ④如果再加上条件“∠DBA=∠CAB”，那么四边形ABCD一定是平行四边形．
A ①和② B ①③和④ C ②和③ D ②③和④
C
课时小结 ：
文字语言
图形语言
符号语言
定义
判别一
判别二
判别三
两组对边分别平行的四边形是平行四边形
两组对边分别相等的四边形是平行四边形
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
两条对角线互相平分的四边形是平行四边形
AB∥CD
AD∥BC
四边形ABCD是□
AB=CD
AB∥CD
四边形ABCD是□
四边形ABCD是□
四边形ABCD是□
OA=OC
OB=OD
AB=CD
AD=BC
活动与探究
已知四边形ABCD，从（1）AB∥CD；
（2）AB=CD；（3）AD∥BC；（4）AD=BC；
（5）∠A=∠C；（6）∠B=∠D中取出两个
条件加以组合，能推出四边形ABCD是平行四边
形的有哪几种情形？请具体写出这些组合．(共23张PPT)
北师大版 八年级 上册
（第一课时）
第六章 四边形性质探索
活动：
剪两个全等的三角形，并将它们相等的一组边重合，可以得到平行四边形吗？你有几种方案？
如果你剪的三角形是：
（1）直角三角形
（2）锐角三角形
（3）钝角三角形
（4）以上三类中特殊的三角形——等腰三角形
？
长方形
平行四边形
注：还能拼出三角形。
返回
平行四边形
一般的四边形（有三种）
返回
平行四边形
一般的四边形（三种）
返回
正方形
平行四边形
注：还能拼出三角形。
等腰直角三角形
注：还能拼出一般的四边形。
平行四边形
等腰锐角三角形
平行四边形
注：还能拼出一般的四边形。
等腰钝角三角形
平行四边形
注：还能拼出一般的四边形。
返回
等边三角形
大家知道什么样的四边形叫平行四形吗？
平行四边形
（1）定义及表示方法：
（2）课堂演示：
（3）平行四边形的性质：
（4）学有所用：
（5）知识出击：
（6）超级演练：
（8）本课总结：这节课你学到了什么？
（7）能力冲浪：
2
1
A
B
C
D
∵∠1=∠2 ∴AD∥BC
同理：AB∥DC ∴四边形ABCD是平行四边形
2
定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形
记作： ABCD 读作：平行四边形ABCD
A
B
C
D
返回
平行四边形中 ， 相对的边 ， 称为 对边 相对的角 ， 称为 对角
其中线段BD就是 ABCD的一条对角线。
返回总结
课堂演示：
将复制后的四边形绕一个顶点旋转180°，你能平移该纸片，使它与原来的四边形ABCD重合吗？
对边之间、对角之间分别有什么关系？由此你能得到什么结论？
返回
平形四边形的性质：
平行四边形的对边相等
平行四边形的对角相等
返回
A
B
C
D
56°
32cm
30cm
学有所用：
返回
得出结论：平行四边形邻角互补。
30cm
30cm
32cm
32cm
124°
124°
56°
56°
124°
124°
已知 ABCD中,AD=32cm ,CD=30cm,
∠A= 56° ,
求：BC= AB=
∠B = ∠C= ∠D=
能确定其他三个内角的度数吗？为什么？
若已知平行四边形的一个内角的度数
∠B＝
132°
C
A
B
D
48°
BC=3 cm
∠C＝
48°
AD＝
返回
3 cm
平行四边形ABCD中,
BC=3cm, ∠B= 48°
求：
1、四边形ABCD是平行四边形，则∠ADC= ， ∠BCD= 。
AB= ，BC= 。
2、在 ABCD 中， ∠A=48°，BC=3cm，则∠B= ， ∠C= ，AD= 。
3、在 ABCD 中， ∠ADC=125° ∠CAD=21°，求∠ABC， ∠CAB的度数
（1题图）
（3题图）
返回
超级演练
（2题图）
A
B
D
C
E
9cm
5cm
ABCD中，若BE平分∠ABC，则ED＝
4cm
1
2
3
5cm
5cm
4cm
返回
能力冲浪
总结
ABCD
② 角
① 边
对边平行且相等
对角相等
邻角互补
返回
进入
知识点（一）：定义及表示方法
知识点（二）：性质(共13张PPT)
6.4多边形的内角和与外角和
（第二课时）
北师大版 八年级 上册
清晨，小明沿一个五边形广场周围的小路，按逆时针方向跑步。
（1）小明每从一条街道转到下一条街道时，身体转过的角是哪个角？
（2）他每跑完一圈，身体转过的角度之和是多少？
（3）在上图中，你能求出 1+ 2+ 3+ 4+ 5=吗？你是怎样得到的？
A
B
C
D
E
A'
C'
D'
E'
B'
O
β
γ
δ
θ
α
1
2
3
4
5
结论：
1， 2， 3， 4， 5的和等于360
想一想：
如果广场的形状是六边形、八边形，那么还有类似的结论吗？
多边形内角的一边与另一边的反向延长线所组成的角叫做这个多边形的外角。
在每个顶点处取这个多边形的一个外角，它们的和叫做这个多边形的外角和。
多边形的外角和等于360
想一想：
（1）还有什么方法可以推导出多边形外角和公式？
（2）利用多边形外角和的结论，能否推导出多边形内角和的结论？
议一议：
利用多边形外角和的结论，能推导多边形内角和的结论吗？反过来呢？
例1：一个多边形的内角和等于它的外角和的3倍，它是几边形？
随堂练习：
1.一个多边形的外角和都等于60,这个多边形是几边形
2.下图是三个不完全相同的正多边形拼成的无缝隙、不重叠的图形的一部分，这种多边形是几边形？为什么？
你学习了本节课有哪些收获？
多边形的外角的定义；
多边形的外角和的定义；
多边形的外角和公式。
补充练习：
1.一个多边形的外角和是内角和的一半，则它是边形（ ）
A.7 B.6 C.5 D.4
2.一个多边形的内角和与外角和为540°，则它是边形（ ）
A.5 B.4 C.3 D.不确定
3.若等角n边形的一个外角不大于40°，则它是边形（ ）
A.n=8 B.n=9 C.n＞9 D.n≥9
4.若一个n边形的内角都相等，且内角的度数与和它相邻的外角的度数比为3∶1，那么，这个多边形的边数为________.
5.若一个十边形的每个外角都相等，则它的每个外角的度数为________，每个内角的度数为________.
6.若一个凸多边形的内角和等于它的外角和，则它 的边数是_________.
7.如果一个多边形的每一个外角都相等，并且它的内角和为2880°，那么它的内角为_________.
8.已知多边形的内角和与某一个外角的度数总和为1350°，求多边形的边数.
