(共7张PPT)
4.3 公式法
（第二课时）
北师大版 八年级 下册
填空：
（1）（a+b)(a–b） = ；
（2）（a+b） = ；
（3）（a–b） = .
根据上面式子填空：
（1）a –b = ；
（2）a –2ab+b = ；
（3）a +2ab+b = .
结 论：形如a +2ab+b 与a –2ab+b 的式子称为完全平方式．
下列哪些式子是完全平方式？如果是，就把它们进行因式分解．
（1）x –4y （2）x +4xy–4y （3）4m –6mn+9n （4）m +6mn+9n
口诀：首平方、尾平方，首尾相乘两倍在中央；
完全平方公式 a –2ab+b =（a–b） a +2ab+b =（a+b）
答：第（4）题是完全平方式，其余都不是。
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
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2
2
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2
2
2
2
2
2
a –b
2
2
2
a +2ab+b
2
2
2
a – 2ab+b
2
（a+b)(a–b）
（a+b）
(a–b）
2
把下列各式因式分解：
（1）x –4x+4 （2）9a +6ab+b
（3）m – m + （4）
注意：完全平方公式中的a与b不仅可以表示单项式，也可以表示多项式
将下列各式因式分解：
（1）3ax +6axy+3ay （2）–x –4y +4xy
注意：提公因式法是分解因式首先应当考虑的方法
1
9
2
3
(m+n) +8(m+n)+16
2
2
2
2
2
解：原式=（x –2)
2
2
2
2
2
解：原式=（3a+b)
2
解：原式=(m – )
1
3
2
解：原式=（m+n+4)
2
解：原式=3a(x +2xy+y )
=3a(x+y)
2
2
2
解：原式= –(x –4xy +4y )
=–(x–2y)
2
2
2
1、判断正误：
（1）x +y =(x+y) ( )
（2）x –y = (x–y) ( )
（3）x –2xy –y = (x–y) ( )
（4）–x –2xy–y =–(x+y) ( )
2、下列多项式中，哪些是完全平方式？请把是完全平方式的多项式分解因式：
（1）x –x+ （2）9a b –3ab+1 （3） （4）x –10x +25
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
√
×
×
×
2
2
2
1
4
1
4
m +3mn+9n
2
2
6
5
解：第(1)(3)两小题是完全平方式。
(1)原式=(x – )
1
2
2
(3)原式=( m+3n)
1
2
2
3、把下列各式因式分解：
（1）m –12mn+36n （2）16a +24a b +9b
（3）–2xy–x –y （4）4–12（x–y）+9（x–y)
2
2
2
2
2
2
2
4
4
解：原式=(m–6n)
2
解：原式=(4a +3b )
2
2
2
解：原式= –(x +2xy+y )
=–(x+y)
2
2
2
解：原式=[2–3(x–y)]
=[2–3x+3y]
2
2
从今天的课程中，你学到了哪些知识？ 掌握了哪些方法？
你认为分解因式中的平方差公式以及完全平方公式与乘法公式有什么关系？
由分解因式与整式乘法的关系可以看出，如果把乘法公式反过来，那么就可以
用来把某些多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做运用公式法．
注意：（1）有公因式则先提取公因式；
课本第54页习题2．5第1、2、3题
（2）整式乘法的完全平方公式与因式分解的完全平方公式是互逆关系；
（3）完全平方公式中的a与b既可以是单项式，又可以是多项式.(共6张PPT)
（第二课时）
北师大版 八年级 下册
把下列各式因式分解：
（1）am+an （2）a b–5ab （3）m n+mn –mn （4）–2x y+4xy –2xy
因式分解：a（x–3）+2b（x–3）
2
2
2
2
2
解：（1） am+an=a(m+n)
（2）a b–5ab= ab(a –5)
（3）m n+mn –mn=mn(m+n –1)
（4）–2x y+4xy –2xy = –2xy(x–y+1)
2
2
2
2
2
解：a（x–3）+2b（x–3）
= （x–3）（a+2b)
（x–3）是公因式
在下列各式等号右边的括号前插入“+”或“–”号，使等式成立：
（1）2–a= （a–2）
（2）y–x= （x–y）
（3）b+a= （a+b）
（4）（b–a）= （a–b）
（5）–m–n= （m+n）
（6）–s +t = （s –t ）
将下列各式因式分解：
（1）a（x–y）+b（y–x） （2）3（m–n）–6（n–m）
–
–
–
–
2
2
2
2
2
2
2
3
+
+
解： （1）a（x–y）+b（y–x）= a（x–y）–b（x–y）= （x–y）（a–b)
2
2
2
3
3
（2）3（m–n）–6（n–m）= 3（m–n）–6（m–n）=3(m –n) (m –n –2)
填一填：
（1）3+a= （a+3） （2）1–x= （x–1）
（3）（m–n）= （n–m） （4）–m +2n = （m –2n ）
–
–
+
+
2
2
解： x（a+b）+y（a+b）
= （a+b）（x+y)
解： 3a（x–y）–（x–y）
= （x–y）（3a –1)
解： 6（p+q）–12（q+p）
= 6（p+q）–12（p+q）
= 6 （p+q）（p+q–2）
2
2
2
解： a（m–2）+b（2–m）
= a（m–2）–b（m–2）
= （m–2）（a –b)
解： 2（y–x）+3（x–y）
= 2（x–y）+3（x–y）
= （x–y）（2 x–y+3）
解： mn（m–n）–m（n–m）
= mn（m–n）–m（m–n）
= m（m–n）（n–n+m） =m (m–n)
2
2
2
2
2
2、把下列各式因式分解：
（1）x（a+b）+y（a+b） （2）3a（x–y）–（x–y）
2
2
（3）6（p+q）–12（q+p） （4）a（m–2）+b（2–m）
（5）2（y–x）+3（x–y） （6）mn（m–n）–m（n–m）
把(a＋b－c)(a－b＋c)＋(b－a＋c)(b－a－c)分解因式
从今天的课程中，你学到了哪些知识？ 掌握了哪些方法？
解： (a＋b－c)(a－b＋c)＋(b－a＋c)(b－a－c)
= (a＋b－c)(a－b＋c)＋(a－b －c)(a －b+c)
= (a－b＋c )(a＋b－c+ a－b －c)
= (a－b＋c) (2a－2c)
=2 (a－b＋c) (a－c)(共7张PPT)
北师大版 八年级 下册
7
9
× 13 - × 6+ × 2
7
9
7
9
计算:
解：原式= × （13-6+2）= × 9
=7
7
9
7
9
问：你是用什么方法计算的？这个式子的各项有相同的因数吗？
答：可用乘法的分配律的逆运算进行计算，这个式子的各项的相同因数是
7
9
多项式 ab+ac中，各项有相同的因式吗？多项式 x +4x呢？多项式mb +nb–b呢？
2
2
答：多项式ab+ac有相同的因式a，多项式x +4x有相同的因式x，
多项式mb +nb–b有相同的因式b
2
2
结论：多项式中各项式都含有的相同因式，叫做这个多项式各项的公因式．
多项式2x y+6x y 中各项的公因式是什么？你认为一个多项式的公因式是什么？
2
2
3
结论：（1）各项系数是整数，系数的最大公约数是公因式的系数；
（2）各项都含有的字母的最低次幂的积是公因式的字母部分；
（3）公因式的系数与公因式字母部分的积是这个多项式的公因式．
将以下多项式写成几个因式的乘积的形式：
（1）ab+ac （2）x +4x （3）mb +nb–b
2
2
如果一个多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而
将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法．
解：（1）ab+ac=a(b+c)
（2）x +4x=x(x+4)
（3）mb +nb – b=b(mb+n-1)
2
2
将下列多项式进行分解因式：
（1）3x+6 （2）7x –21x （3）8a b –12ab c+ab （4）–24x –12x +28x
3
2
2
2
3
3
提取公因式的步骤是：
（1）找公因式； （2）提公因式．
从上题的解答中，你能归纳出提公因式的步骤吗
解：（1） 3x+6 =3（x+2)
（2）7x –21x=7x(x – 3)
（3）8a b –12ab c+ab =ab(8a b – 12 b +1)
（4）–24x –12x +28x= –4x(6x +3x –7)
2
2
2
2
2
3
3
3
2
1、找出下列各多项式的公因式：
（1）4x+8y （2）am+an （3）48mn–24m n （4）a b–2ab +ab
3
2
2
2
3
3
2、将下列多项式进行分解因式：
（1）8x–72 （2）a b–5ab （3）4m –8m
（4）a b–2ab +ab （5）–48mn–24m n （6）–2x y+4xy –2xy
解：（1） 8x–72 =8（x–9)
（2） ab–5ab=ab(a –5)
（3） 4m –8m =4m (m–2)
（4）a b–2ab +ab = ab(a –2b+1)
（5） 48mn–24m n =24mn(2–mn )
（6） –2x y+4xy –2xy= –2xy（x –2y+1)
2
2
2
2
2
3
3
2
2
答：（1） 4x+8y 的公因式是4；
（2）am+an 的公因式是a；
（3）48mn–24m n的公因式是24mn；
（4）a b–2ab +ab 的公因式是ab．
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
从今天的课程中，你学到了哪些知识？你认为提公因式法与单项式乘多项式有什么关系？(共13张PPT)
4.1 因式分解
北师大版 八年级 下册
第1课时
1.
整式乘法有几种形式
(1)
单项式乘以单项式
(2)
单项式乘以多项式
:
a(m+n)=am+an
(3)
多项式乘以多项式
(
a+b)(m+n)=am+an+
bm
+
bn
2.
乘法公式有哪些
(1)
平方差公式
: (
a+b)(a
-
b)=a
2
-
b
2
(2)
完全平方公式
: (
a
±
b)
2
=a
2
±
2ab+b
2
复习：
做一做
计算下列个式
:
(1)
3
x(x
-
1)= _____
(2)
m(a+b+c) = _____
(3)
(m+4)(m
-
4)=
____
(4)
(x
-
3)
2
=
_______
(5)
a(a+1)(a
-
1)=
____
根据左面的算式填空
:
(1) 3
x
2
-
3x=_______
(2) ma+
mb
+mc=______
(3) m
2
-
16=_________
(4) x
2
-
6x+9=________
(5) a
3
-
a=______
3x+3x
ma+mb+mc
m-16
x-6x+9
a - a
3
2
2
2
3x(x-1)
m(a+b+c)
(m+4)(m-4)
(x-3)
a(a+1)(a-1)
2
议一议
:
由
a(a+1)(a
-
1)
得到
a
3
-
a
的变形是
什么运算
由
a
3
-
a
得到
a(a+1)(a
-
1)
的变形与
它有什么不同
1)
答
:
由
a(a+1)(a
-
1)
得到
a
3
-
a
的变形
是整式乘法
,
由
a
3
-
a
得到
a(a+1)(a
-
的变形与上面的变形互为逆过程
.
99
3
-
99
能被
100
整除吗
你是怎样想的
与同伴交流
.
99
3
-
99=99
×
99
2
-
99
×
1
=99
×
(99
2
-
1)
=99 (99+1)(99
-
1)
= 99
×
100
×
98
所以
, 99
3
-
99
能被
100
整除
.
想一想
: 99
3
-
99
还能被哪些整数整除
做一做
计算下列个式
:
(1)
3
x(x
-
1)= _____
(2)
m(a+b+c) = _____
(3)
(m+4)(m
-
4)=
____
(4)
(x
-
3)
2
=
_______
(5)
a(a+1)(a
-
1)=
____
根据左面的算式填空
:
(1) 3
x
2
-
3x=_______
(2) ma+
mb
+mc=______
(3) m
2
-
16=_________
(4) x
2
-
6x+9=________
(5) a
3
-
a=______
3x+3x
ma+mb+mc
m-16
x-6x+9
a - a
3
2
2
2
3x(x-1)
m(a+b+c)
(m+4)(m-4)
(x-3)
a(a+1)(a-1)
2
把
一个多项式化成几个
整式积的形式
,
这种变
形叫做把这个多项式
分
解因式
.
●
想一想
:
分解因式与整式乘法有何关系
定义：
把
一个多项式化成几个
整式积的形式
,
这种变
形叫做把这个多项式
分
解因式
.
●
想一想
:
分解因式与整式乘法有何关系
分解因式与整式乘法是
互逆
过程
定义：
练习一
理解概念
判断下列各式哪些是整式乘法
哪些是因式分解
(1).
x
2
-
4y
2
=(x+2y)(x
-
2y)
(2).2x(x
-
3y)=2x
2
-
6xy
(3).(5a
-
1)
2
=25a
2
-
10a+1
(4).x
2
+4x+4=(x+2)
2
(5).(a
-
3)(a+3)=a
2
-
9
(6).m
2
-
4=(m+4)(m
-
4)
(7).2
π
R+ 2
π
r= 2
π
(R+r)
下列由左边到右边的变形，哪些 是分解因式？哪些不是？说明理由。
(1) x2+3x+4=(x+2)(x+1)+2
(2) 6x2y3=3xy·2xy2
(3) (3x-2)(2x+1)=6x2-x-2
(4) 4ab+2ac=2a(2b+c)
练习二
试一试
把
下列个式写成乘积的形式
:
(1). 1
-
x
2
(2).
4a
2
+4a+1
(3). 4x
2
-
8x
(4). 2x
2
y
-
6xy
2
(5). 1
-
4x
2
(6). x
2
-
14x+49
=(1+x)(1-x)
=4x(x-2)
=2xy(x-3y)
=(1+2x)(1-2x)
=(2a+1)
2
=(x-7)
2
练习三
拓展应用
1.
计算
: 765
2
×
17
－
235
2
×
17
解
: 765
2
×
17
－
235
2
×
17
=17(765
2
－
235
2)
=17(765+235)(765
－
235)
=17
×
1000
×
530=9010000
解
:
∵
2004
2
+2004=2004(2004+1)
=2004
×
2005
∴
2004
2
+2004
能被
2005
整除
2. 能被2005 整除吗
2004
2
+2004
归纳小结
分解因式与整式乘法是互逆过程
.
分解因式要注意的问题:
1.
分解的对象必须是多项式
.
2.
分解的结果一定是几个整式的
乘积的形式
.
3.
要分解到不能分解为止
.
分解因式的概念(共22张PPT)
北师大版 八年级 下册
(1)a(b+c) =
ab+ac
(2)m(a+b+c)=
ma+mb+mc
(3)3(a-b)=
3a-3b
(4)ab(c+d)=
abc-abd
a(b+c)
m(a+b+c)
3(a-b)
ab(c+d)
(1)ab+ac
(2)ma+mb+mc
(3)3a-3b=
(4)abc-abd=
=
=
探究与交流
填一填
试一试
合作与探究
把一个多项式化为几个整式的乘积的形式叫因式分解.
因式分解的结果必定是乘积的形式.
因式分解与整式乘法互为逆运算
因式分解方法：1、找公因式 2、提公因式
多项式中各项都含有的相同因式，叫做这个多项式各项的公因式。
公因式
寻找过关武器
如果一个多项式的各项含有公因式，那么
就可以把这个公因式提出来，从而将多项式
化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的
方法叫做提公因式法。
例如： 各项的公因式是
尝试，把上式分解因式为：
ax+2bx-mx=x(a+2b-m)
1) a c+ b c
2)3 x2 +9xy
3) a2 b – 2a b2 + ab
4) 4xy2-6xy+8x3y
（1）确定下列各多项式中的公因式？
小组探究过关武器：
c
3x
ab
2xy
（2）多项式中的公因式是如何确定的？(交流探索）
过关秘密武器：
正确找出多项式各项公因式的关键是：
公因式的系数是多项式各项系数的最大公约数。
定系数：
字母取多项式各项中都含有的相同的字母。
相同字母的指数取各项中最小的一个，即字母最低次幂
定字母：
定指数：
例: 找 3 x 2 – 6 xy 的公因式。
定系数
3
定字母
x
所以，公因式是3 x 。
定指数
1
思考：如何确定各项提公因式后剩余的因式？
用公因式去除这个多项式，所得的商作为另一个因式
（1）把 3a2-9ab分解因式.
温馨提示
分两步
第一步，找出公因式；
第二步，提取公因式 ，
(即将多项式化为两个因式的乘积)
例1
解：原式 =3a a-3a 3b
=3a(a-3b)
例1. 将下列各式分解因式：
(1)
(2)
(3)
(4)
解：
(1)
（找公因式：把各项写成公因式与一个单项式
的乘积的形式。）
（提取公因式）
(2)
（找公因式）
（提取公因式）
（找公因式）
(3)
（提取公因式）
(4)
（先提出“—”号）
(1)
用提公因式法分解因式后，括号里的多项式中有没有公因式？
(2)
用提公因式法分解因式后，括号里多项式的项数与原多项式的项数相比，有没有什么变化？
(3)
以上4个式子从左向右的变形过程是提公因式分解因式 , 那从右向左的
变形过程是
，所以它们之间的关系是
；
因式的结果是否正确，我们可以采用什么方法呢？
( 不能再有公因式 )
( 项数相等，常利用这一点检验提公因式时是否出现“漏项”的错误 )
单项式乘多项式
互逆的
( 利用单项式乘多项式的法则乘回去，进行验证 )
练习
1. 因式分解
1）3a2-9ab
2)3x+6y
3)24xm2-16xm3
4）3x3-9x2+3x
思考：把 -24x3 –12x2 +28x 分解因式.
（2）把 -24x3 –12x2 +28x 分解因式.
当多项式第一项系数是负数，通常先提出“-”号，使括号内第一项系数变为正数，注意括号内各项都要变号。
解：原式=
=
2.把下列各多项式因式分解
1)-4a3b3+6a2b-2ab
2）-9a2b3-12ab4+15ab5
3)-4x3y+2x2y2+xy3
4 ) -x4y2-2x2y-xy
把下列多项式分解因式：
（1）12x2y+18xy2； （2）-x2+xy-xz；
（3）2x3+6x2+2x
现有甲、乙、丙三位同学各做一题，他们的解法如下：
你认为他们的解法正确吗？试说明理由。
甲同学：
解:12x2y+18xy2 =3xy(4x+6y)
乙同学：
解:-x2+xy-xz
=-x(x+y-z)
丙同学：
解:2x3+6x2+2x
=2x(x2+3x)
2、确定公因式的方法：
小结与反思
3、提公因式法分解因式步骤：
1、什么叫因式分解？
4、用提公因式法分解因式应注意的问题：
（1）公因式要提尽；
（2）小心漏掉
（3）多项式的首项取正号
第一步，找出公因式；
第二步，提公因式（ 把多项式化为两个因式的乘积）
1)定系数 2)定字母 3)定指数
课堂操练
、填空
(1) 5x-5y+5z =（ ）
(2) 7x2-21x= （ ）
(3) 2m2n-6mn2= （ ）
(4) 24x3-12x2+28x= （ ）
把下列各式分解因式
(1)-am2-an
(2)x4y2-4x2y-xy
(3)8a3b2-12ab3c+abc
(4) a2b-2ab2+ab
思考
把下列各式分解因式
(1)x(x+y)-y(x+y)
(2)am+an+bm+bn
1、分解因式计算（-2）101+（-2）100
2、某建筑工地需绕制半径分别为0.24米，0.37米，0.39米的三个钢筋环，问需钢筋多长？
3、已知a+b=5,ab=3,求a2b+ab2的值.
3、丁丁和冬冬分别用橡皮泥做了一个长方体和圆柱体，放在一起，恰好一样高。丁丁和冬冬想知道哪一个体积较大，但身边又没有尺子，只找到一根短绳，他们量得长方体底面的长正好是3个绳长，宽是2个绳长，圆柱体的底面周长是10个绳长。你知道哪一个体积较大吗？大多少？（提示：可设绳长为a厘米，长方体和圆柱体的高均为h厘米）如果给你一架天平，你有办法知道哪一个体积较大吗？
(共8张PPT)
4.1 因式分解
北师大版 八年级 下册
第2课时
用简便方法计算：
（1） =
（2）-2.67× 132+25×2.67+7×2.67=
（3）99 –1= ．
7
9
× 13 – × 6+ × 2
7
9
7
9
2
7
-267
9800
99 –99能被哪些数整除？你是怎么得出来的？
3
从以上问题的解决中，你知道解决这些问题的关键是什么？
答:能被100，99，98，300，200，33，49，3，20，50，5等数整除。
关键是：把这个式子分解成几个数的积的形式。
计算下列式子：
（1）3x(x-1)= ；
（2）m(a+b+c)= ；
（3）(m+4)(m-4)= ；
（4）(y-3) = ；
（5）a(a+1)(a-1)= ．
2
2
2
3
2
3x -3x
2
ma+mb+mc
m -16
2
y -6y+9
2
a -a
3
m(a+b+c)
3x(x-1)
(m+4)(m-4)
a(a+1)(a-1)
(y-3)
2
根据上面的算式填空：
（1）ma+mb+mc= ；
（2）3x -3x= ；
（3）m -16= ；
（4）a -a= ；
（5）y -6y+9= ．
以下两种运算有什么联系与区别
（1）a(a+1)(a-1)= a -a
（2）a -a= a(a+1)(a-1)
3
3
在上面的运算中还有其它类似的例子吗？除此之外，你还能找到类似的例子吗？
联系：第（2）式与第（1）式是互逆运算；
区别：第（1）式是将乘积化为多项式，而第（2）式是将多项式化为乘积形式。
结论：把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解．
注意：
下列变形是因式分解吗？为什么？
（1）a+b=b+a （2）4x y–8xy +1=4xy(x–y)+1
（3）a(a–b)=a –ab （4）a –2ab+b =(a–b)
2
2
2
2
2
2
答：第（4）式是因式分解，其余都不是。
（1）分解因式与整式的乘法是一种互逆关系；
（2）分解因式的结果要以积的形式表示；
（3）每个因式必须是整式，且每个因式的次数都必须低于原来的多项式的次数；
（4）必须分解到每个多项式不能再分解为止．
1、看谁连得准
x -y (x+1)
9-25 x y(x -y)
x +2x+1 (3-5 x)(3+5 x)
xy-y (x+y)(x-y)
2
2
2
2
2
2
2、下列哪些变形是因式分解，为什么？
（1）（a+3）(a -3)= a -9
（2）a -4=( a +2)( a -2)
（3）a -b +1=( a +b)( a -b)+1
（4）2mR+2mr=2m（R+r）
2
2
2
2
（不是）
（是）
（不是）
（是）
从今天的课程中，你学到了哪些知识？掌握了哪些方法？明白了哪些道理？
1、因式分解是把一个多项式化成几个整式的积的形式，
分解因式的结果要以积的形式表示
2、分解因式与整式的乘法是互逆关系
3、由因数分解可类比得到因式分解(共30张PPT)
北师大版 八年级 下册
第1课时
温故知新
1）
2）
3）
观察以上式子是满足什么乘法公式运算？
以上式子的右边的多项式有什么共同点？
（整式乘法）
（分解因式）
整式乘法
单项式乘以单项式
单项式乘以多项式
多项式乘以多项式
与分解因式无关
(a+b)(a-b)=a2-b2
与分解因式有关
乘法公式
平方差公式
完全平方公式
a2-b2=(a+b)(a-b)
x2-25
= x2-52=(x+5)(x-5)
9x2-y2
= (3x)2-y2=(3x+y)(3x-y)
判断下列各式能否用平方差公式分解因式：
(1) a2+4b2 ( )
(2) -x2-4y2 ( )
(3) x-4y2 ( )
(4) -4+0.09m2 ( )
具备什么特征的多项式是平方差式
答：一个多项式如果是由两项组成，两部分是两个式子(或数)的平方，并且这两项的符号为异号.
运用a2-b2=(a+b)(a-b)公式时,如何区分a、b
答:平方前符号为正，平方下的式子（数）
为ａ
平方前符号为负，平方下的式子（数）
为ｂ
(1)多项式 和 他们有什么共同特征
(2)尝试将它们分别写成两个因式的乘积,并与同伴交流.
例1:把下列各式分解因式
=(4+5x)(4-5x)
第一步，将两项写成平方的形式；找出a、b
第二步，利用a2-b2=(a-b)(a+b)分解因式
学会了吗？
第一步，将两项写成平方的形式；找出a、b
第二步，利用a2-b2=(a-b)(a+b)分解因式
当首项前有负号时.
第一步，连同符号交换位置.
第二步，将两项写成平方的形式；找出a、b
第三步，利用 a2-b2=(a-b)(a+b)分解因式
例2 :把下列各式分解因式
(3)a4-b4
=(2m+2n+m-n)(2m+2n-m+n)
=(3m+n)(m+3n)
通过做第(2)小题你总结出什么经验来了吗
分解因式时,通常先考虑是否能提公因式,然后再考虑能否进一步分解因式.
有公因式先提公因式，然后再进一步分解因式
通过做第(2)小题你总结出什么经验来了吗
当多项式的各项含有公因式时,通常先提出这个公因式,然后再进一步分解因式.
(3)解:a4-b4
=(a2-b2)(a2+b2)
=(a+b)(a-b)(a2+b2)
通过做第(3)小题你总结出什么吗
分解因式一直到不能分解为止.所以分解后一定检查括号内是否能继续分解.
练习: 把下列各式分解因式:
(3) 4(x-y)2-1;
(4) 9(m+n)2-4(m-n)2.
(5) 2x3-8x;
解：
（4）9(m+n)2－(m-n)2
9(m+n)2－(m-n)2
＝[3(m+n)]2－(m-n)2
＝[3(m+n)+(m-n)][3(m+n)-(m-n)]
＝(3m+3n+m-n) (3m+3n-m+n)
＝(4m+2n) (2m+4n)
＝4 (2m+n) (m+2n)
小 结
1.具备什么特征的多项式是平方差式
一个多项式如果是由两项组成，两部分是两个式子(或数)的平方，并且这两项的符号为异.
2.运用a2-b2=(a+b)(a-b)公式时,如何区分a、b
平方前符号为正，平方下的式子（数）为ａ
平方前符号为负，平方下的式子（数）为ｂ
3.分解因式时,通常先考虑是否能提公因式,然后再考虑能否进一步分解因式.
4.分解因式一直到不能分解为止.所以分解后一定检查括号内是否能继续分解.
思考: 把下列各式分解因式
(1)a2(m-n)-b2(n-m);
(2)625x4(a-1)-a+1.
反思总结
1、今天主要学习了利用平方差公式进行因式分解
2、当多项式的各项有公因式时,通常先提出这个公因式,然后进行因式分解
在多项式x +y , x -y ,-x +y , -x -y 中,能利用平方差公式分解的有( )
A 1个 B 2个 C 3个 D 4个
B
(1)x +y =(x+y)(x+y) ( )
(2)x -y =(x+y)(x-y) ( )
(3)-x +y =(-x+y)(-x-y)( )
(4)-x -y =-(x+y)(x-y)( )
判断正误
16-x 分解因式( )
A.(2-x)
B.(4+x )(4-x )
C.(4+x )(2+x)(2-x)
D.(2+x) (2-x)
C
P49页
拓展 练习
如果 ，并且
x，y都自然数，求x，y的值。
例1。下列分解因式是否正确？为什么？如果不正确，请给出正确的结果。
例2 分解因式：
若
求
的值
做一做
2、如图，在一块边长为 acm 的正方形的四角，各剪去一个边长为bcm的正方形，求剩余部分的面积。如果a=3.6，b=0.8呢
a
b
3.运用公式法分解因式:
(1) -9x2+4y2 (2) 64x2-y2z2
(3) a2(a+2b)2-4(x+y)2 (4) (a+bx)2-1
(5) (x-y+z)2-(2x-3y+4z)2
试一试
创新与应用
已知, x+ y =7, x-y =5,求代数式 x 2- y2-2y+2x 的值.(共23张PPT)
4.3 公式法
（第二课时）
北师大版 八年级 下册
提取公因式法：ma+mb+mc=m(a+b+c)
运用公式法： ① a2-b2=(a+b)(a-b)
练习
把下列各式分解因式
① ② x4-16
解:原式=ax2(x2-1)
=ax2(x+1)(x-1)
解:原式=(x2+4)(x2-4)
=(x2 +4)(x+2)(x-2)
课前复习：1、分解因式学了哪些方法
（有公因式，先提公因式。）
（因式分解要彻底。）
课前复习：
2．除了平方差公式外，还学过了哪些公式？
用公式法正确分解因式关键是什么？
熟知公式特征！
完全平方式
从项数看：
完全平方式
都是有 项
3
从每一项看：
都有两项可化为两个数(或整式)的平方,另一项为这两个数(或整式)的乘积的2倍.
从符号看：
平方项符号相同
a2 ± 2 a b + b2 = （ a ± b ）2
(一数) 2 ± 2(一数)(另一数)+(另一数)2=(一数±另一数)2
（即：两平方项的符号同号，首尾2倍中间项）
是否是完全平方式 a、b各表示什么 表示（a+b）2或（a－b）2
是
a表示2y，
b表示1
否
否
否
是
a表示2y，
b表示3x
是
a表示(a+b)，
b表示1
填一填
多项式
是
a表示x，
b表示3
是否是完全平方式 a、b各表示什么 表示（a+b）2或（a－b）2
否
否
是
a表示 ，
b表示3n
填一填
多项式
是
a表示x，
b表示1/2
填空：
（1）a2+ +b2=(a+b)2
（2）a2-2ab+ =(a-b) 2
（3）m2+2m+ =( ) 2
（4）n2-2n+ =( ) 2
（5）x2-x+0.25=( ) 2
（6）4x2+4xy+( ) 2=( ) 2
2ab
b2
1
m+1
1
n-1
x-0.5
y
2x+y
(1)
x2＋14x＋49
解：
(2)
解：
例题
(3)
3ax2＋6axy＋3ay2
解：
(4)
解：
例题
-x2-4y2＋4xy
解：
例题
(5)
解：
16x4-8x2＋1
（6）
解：
判断因式分解正误。
(1） -x2-2xy-y2= -(x-y)2
错。应为： -x2-2xy-y2
=-（ x2+2xy+y2）
=-（x+y)2
（2）a2+2ab-b2
错。此多项式不是完全平方式
因式分解：
（1）25x2＋10x＋1
解:原式=（5x)2+2×5x×1+12
=(5x+1)2
练一练
解:原式=（3a)2-2×3a×b+b2
=(3a-b)2
因式分解：
解:原式=（7a)2+2×7a×b+b2
=(7a+b)2
练一练
（4）-a2-10a -25
解:原式=-（a2+2×a×5+52)
=-(a+5)2
因式分解：
（5）-a3b3+2a2b3-ab3
解：原式=-ab3(a2-2a×1+12)
=-ab3(a-1)2
练一练
（6）9 - 12(a-b) + 4 (a-b)2
解:原式=32-2×3×2(a-b)+
=
=(3-2a+2b)2
分解因式：
（1）x2-12xy+36y2
(2)16a4+24a2b2+9b4
(3)-2xy-x2-y2
(4)4-12(x-y)+9(x-y)2
=(x-6y)2
=(4a2+3b2)2
=-(x+y)2
=(2-3x+3y)2
总结与反思：
1:整式乘法的完全平方公式是：
2:利用完全平方公式分解因式的公式形式是：
3:完全平方公式特点：
含有三项；两平方项的符号同号；首尾2倍中间项
3.已知x2+4x+y2-2y+5=0,求 x-y 的值。
解：由x2+4x+y2-2y+5=(x2+4x+4)+(y2-2y+1)
=(x+2)2+(y-1)2=0得
x+2=0,y-1=0
∴x=-2,y=1
∴x-y=(-2)-1=
分解因式：
2.
3.
=-(x+4)2
=(3x+y)2
=a(x+a)2
把下列各式因式分解
(7)(a+1)2-2(a2-1) ＋(a-1)2
把下列各式因式分解
=(a+1-a+1)2=4
因式分解：
(y2 + x2 )2 - 4x2y2
=(y+x)2(y-x)2
简便计算：
解：原式=（56+34）2=902=8100
1.已知 4x2+kxy+9y2 是一个完全平式，则k=
a2+b2
2
2.已知 a(a+1)-(a2-b)=-2, 求
+ab
的值。
±12
解: 由a(a+1)-(a2-b)=a2+a-a2+b=a+b=-2得
说说你的收获……(共7张PPT)
（第二课时）
北师大版 八年级 下册
（1）am+an （2）a b–5ab （3）m n+mn –mn （4）–2x y+4xy –2xy
2
2
2
2
2
解：（1） am+an=a(m+n)
（2）a b–5ab= ab(a –5)
（3）m n+mn –mn=mn(m+n –1)
（4）–2x y+4xy –2xy = –2xy(x–y+1)
2
2
2
2
2
把下列各式因式分解：
因式分解：a（x–3）+2b（x–3）
解：a（x–3）+2b（x–3）
= （x–3）（a+2b)
（x–3）是公因式
在下列各式等号右边的括号前插入“+”或“–”号，使等式成立：
（1）2–a= （a–2）
（2）y–x= （x–y）
（3）b+a= （a+b）
（4）（b–a）= （a–b）
（5）–m–n= （m+n）
（6）–s +t = （s –t ）
–
–
–
–
2
2
2
2
2
2
+
+
将下列各式因式分解：
（1）a（x–y）+b（y–x） （2）3（m–n）–6（n–m）
2
3
解： （1）a（x–y）+b（y–x）= a（x–y）–b（x–y）= （x–y）（a–b)
2
2
2
3
3
（2）3（m–n）–6（n–m）= 3（m–n）–6（m–n）=3(m –n) (m –n –2)
填一填：
（1）3+a= （a+3） （2）1–x= （x–1）
（3）（m–n）= （n–m） （4）–m +2n = （m –2n ）
–
–
+
+
2
2
解： x（a+b）+y（a+b）
= （a+b）（x+y)
解： 3a（x–y）–（x–y）
= （x–y）（3a –1)
解： 6（p+q）–12（q+p）
= 6（p+q）–12（p+q）
= 6 （p+q）（p+q–2）
2
2
2
解： a（m–2）+b（2–m）
= a（m–2）–b（m–2）
= （m–2）（a –b)
解： 2（y–x）+3（x–y）
= 2（x–y）+3（x–y）
= （x–y）（2 x–y+3）
解： mn（m–n）–m（n–m）
= mn（m–n）–m（m–n）
= m（m–n）（n–n+m） =m (m–n)
2
2
2
2
2
2、把下列各式因式分解：
（1）x（a+b）+y（a+b） （2）3a（x–y）–（x–y）
2
2
（3）6（p+q）–12（q+p） （4）a（m–2）+b（2–m）
（5）2（y–x）+3（x–y） （6）mn（m–n）–m（n–m）
把(a＋b－c)(a－b＋c)＋(b－a＋c)(b－a－c)分解因式
从今天的课程中，你学到了哪些知识？ 掌握了哪些方法？
解： (a＋b－c)(a－b＋c)＋(b－a＋c)(b－a－c)
= (a＋b－c)(a－b＋c)＋(a－b －c)(a －b+c)
= (a－b＋c )(a＋b－c+ a－b －c)
= (a－b＋c) (2a－2c)
=2 (a－b＋c) (a－c)(共6张PPT)
北师大版 八年级 下册
第1课时
填空：
（1）（x+3）（x-3） = ；
（2）（4x+y）（4x-y）= ；
（3）（1+2x）（1–2x）= ；
（4）（3m+2n）（3m–2n）= ．
根据上面式子填空：
（1）9m –4n = ；
（2）16x –y = ；
（3）x –9= ；
（4）1–4x = ．
观察上述第二组式子的左边有什么共同特征？把它们写成乘积形式以后又
有什么共同特征？
结论:平方差公式 a –b =（a+b）（a–b）
2
2
2
2
2
2
2
2
–
x –9
2
16x –y
2
1–4x
2
9m –4n
2
2
（3m+2n）（3m–2n）
（4x+y）（4x-y）
（x+3）（x-3）
（1+2x）（1–2x）
把下列各式因式分解：
（1）25–16x （2）9a –
1
4
b
2
2
2
将下列各式因式分解：
（1）9（x–y）–（x+y） （2）2x –8x
2
2
3
注意:1、平方差公式中的a与b不仅可以表示单项式，也可以表示多项式 ；
2、提公因式法是分解因式首先应当考虑的方法 .
解：原式=（5 –4x)(5+4x)
解：原式=（3a+ b)(3a – b)
2
1
2
1
解：（1）原式=[3（x –y)+(x+y)][3（x –y)+(x+y)]
=(3x –3y+x+y)(3x –3y – x – y)
=(4x –2y)(2x –4y)=4(2x –y)(x –2y)
（2）原式=2x(x – 4)= 2x(x+2)(x – 2)
2
1、判断正误：
（1）x +y =（x+y）(x–y) ( )
（2）–x +y =–（x+y）(x–y) ( )
（3）x –y =（x+y）(x–y) ( )
（4）–x –y =–（x+y）(x–y) ( )
2
2
2
2
2
2
2
2
2、把下列各式因式分解：
（1）4–m （2）9m –4n
（3）a b －m （4）(m－a) －(n＋b)
（5）–16x ＋81y （6）3x y–12xy
2
2
2
2
2
2
2
2
4
4
3
√
×
×
√
解：原式=（2+m)(2 －m)
解：原式=（3m+2n)(3m －2n)
解：原式=（ab+m)(ab －m)
解：原式=[(m －a)+(n+b)][(m －a) －(n+b)]
=( m －a+n+b)(m －a － n － b)
解：原式= －(4x +9y )(4x －9y )
= －(4x +9y )(2x+3y)(2x－3y)
2
2
2
2
2
2
解：原式=3xy(x －4)
=3xy (x+2)(x －2)
2
3、如图，在一块长为a的正方形纸片的四角，各剪去一个边长为b的正方形．
用a 与b表示剩余部分的面积，并求当a=3.6，b=0.8时的面积．
从今天的课程中，你学到了哪些知识？ 掌握了哪些方法？
