2021-2022学年苏科版八年级数学下册9.3平行四边形知识点分类训练（Word版含答案）

2021-2022学年苏科版八年级数学下册《9-3平行四边形》知识点分类训练（附答案）
一．平行四边形的性质
1．如图，在 ABCD中，AC＝11，BC＝7，BD⊥AB，则AB＝　 　．
2．在平面直角坐标系xOy中，已知四边形ABCD是平行四边形，且点A（0，﹣2），点B（m，m+1），点C（6，2）．
（1）线段AC的中点E的坐标为　 　；
（2）对角线BD长的最小值为　 　．
3．在平行四边形ABCD中，BC边上的高为AE＝4，AB＝5，EC＝7，则平行四边形ABCD的周长等于　 　．
4．如图，在平行四边形ABCD中，∠B＜90°，BC＞AB，点E、F分别在边BC和CD上，AE＝6，AF＝8，∠EAF＝60°．
（1）若AE⊥BC，AF⊥CD，则CD：BC＝　 　；
（2）若点E、F在分别是边BC和CD的中点，则AD＝　 　．
5．在平行四边形ABCD中，∠A＝45°，BC＝2，则AB与CD之间的距离为　 　．
6．如图所示，在 ABCD中，点E在线段BC上且BE＝2CE，点F是CD边的中点，若AE＝4，AF＝4，且∠EAF＝45°，则AB的长是　 　．
7．如图，在 ABCD中，AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，∠EAF＝45°，且AE+AF＝5，则平行四边形ABCD的周长为　 　．
8．如图，过平行四边形ABCD的对角找BD上一点M分别作平行四边形两边的平行线EF与GH，那么图中的平行四边形AEMG的面积S1与平行四边形HCFM的面积S2的大小关系是　 　．
二．平行四边形的判定
9．如图，点E，F是 ABCD对角线上两点，在条件：①DE＝BF；②∠ADE＝∠CBF；③AF＝CE；④∠AEB＝∠CFD中，选择一个条件添加，使四边形DEBF是平行四边形可添加的条件有　 　（写出所有正确条件的序号）
10．若以A（﹣0.5，0），B（2，0），C（0，1）三点为顶点要画平行四边形，则第四个顶点不可能在第　 　象限．
11．在平面直角坐标系xOy中，有A（3，2），B（﹣1，﹣4），P是x轴上的一点，Q是y轴上的一点，若以点A，B，P，Q四个点为顶点的四边形是平行四边形，则Q点的坐标是　 　．
三．平行四边形的判定与性质
12．如图，在 ABCD中，AC，BD相交于点O，点E，F在对角线BD上，有下列条件：①BF＝DE；②AE＝CF；③∠EAB＝∠FCD；④AF∥CE．其中一定能判定四边形AECF是平行四边形的是 　 　．
13．四边形ABCD中，若∠DAC＝∠BCA，∠DCA＝∠BAC，且∠D＝52°，则∠B＝　 　．
14．如图，平行四边形ABCD中，AB＝8cm，AD＝12cm，点P在AD边上以每秒1cm的速度从点A向点D运动，点Q在BC边上，以每秒4cm的速度从点C出发，在CB间往返运动，两个点同时出发，当点P到达点D时停止（同时点Q也停止），在运动以后，以P、D、Q、B四点组成平行四边形的次数有　 　次．
15．如图，已知DE∥BC，AB∥CD，E为AB的中点，∠A＝∠B．下列结论：
①AC＝DE；②CD＝AE；
③AC平分∠BCD；④O点是DE的中点；
⑤AC＝AB．其中正确的番号有　 　．
16．如图， ABCD的对角线AC恰好平分∠DAB，点H、点F分别在AD、BC上，点E、点G分别在BA、DC的延长线上，且AE＝AH＝CG＝CF．
（1）求证：四边形EFGH为平行四边形．
（2）写出△HEA和四边形EFGH的面积之间的数量关系，并说明理由．
17．已知，如图，在平行四边形ABCD中，点G，H分别是AB，CD的中点，点E，F在对角线AC上，且AE＝CF．
（1）求证：四边形EGFH是平行四边形．
（2）连接BD交AC于点O，若BD＝12，AE＝EF﹣CF，求EG的长．
18．如图，已知四边形ABCD是平行四边形，AE⊥BD于点E，CF⊥BD于点F，延长AE，CF分别交CD，AB于点M，N．
（1）求证：四边形CMAN是平行四边形；
（2）已知DE＝4，FN＝3，求△BFN的周长．
19．如图，在 ABCD，点E为AD的中点，延长BE、CD交于点F，连接AF，BD，CE．
（1）求证：四边形ABDF为平行四边形．
（2）若BE为∠ABC的角平分线，AB＝5，CE＝6，求△AEF的面积．
20．已知：如图，在 ABCD中，点E、F分别在AD、BC上，EF与BD相交于点O，AE＝CF．求证：BD、EF互相平分．
21．已知：如图所示，在平行四边形ABCD中，DE、BF分别是∠ADC和∠ABC的角平分线，交AB、CD于点E、F，连接BD、EF．
（1）求证：BD、EF互相平分；
（2）若∠A＝60°，AE＝2EB，AD＝4，求线段BD的长．
参考答案
一．平行四边形的性质
1．解：延长AB，过点C作CE⊥AB交于点E，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝DC，BC＝AD，DC∥AB，
∵DC∥AB，∠ABD＝90°，
∴∠CDB＝90°，
可得：∠CDB＝∠DBC＝∠BEC＝90°，
则四边形DBEC是矩形，
∴DC＝BE＝AB，
设AB＝BE＝x，
∵AC2﹣AE2＝CE2，BC2﹣BE2＝CE2，
∴112﹣（2x）2＝72﹣x2，
∴x＝2．
∴AB＝2
故答案为：2．
2．解：（1）∵点A（0，﹣2），点C（6，2），
∴线段AC中点E的坐标为（3，0），
故答案为：（3，0）；
（2）∵点B（m，m+1），
∴点B在直线y＝x+1上运动，
则直线y＝x+1与x轴交于点F（﹣1，0），∠BFO＝45°，
如图，当BE⊥直线y＝x+1时，BE有最小值，即BD有最小值，
此时，EF＝3﹣（﹣1）＝4，
∵∠BFE＝45°，∠EBF＝90°，
∴∠BFE＝∠BEF，
∴BE＝BF，EF＝BE，
∴BE＝2，
∴BD的最小值＝4，
故答案为4．
3．解：如图1，当∠ABC是锐角时，
在直角△ABE中，AB＝5，AE＝4，
由勾股定理得，BE＝3，又EC＝7，
∴BC＝10，
∴ ABCD的周长等于30；
如图2，当∠ABC是钝角时，
在直角△ABE中，AB＝5，AE＝4，
由勾股定理得，BE＝3，又EC＝7，
∴BC＝4，
∴ ABCD的周长等于18；
故答案为18或30．
4．解：（1）连接AC，如图，
∵平行四边形ABCD，
∴S△ABC＝S△ACD，
即 BC AE＝CD AF，
∵AE＝6，AF＝8，
∴3BC＝4AF，
∴CD：BC＝3：4，
故答案为：3：4．
（2）延长AF与BC延长线交于点M，过点M作MN⊥AE交AE的延长线于点N，如图，
∵平行四边形ABCD，
∴AD＝BC，AD∥BM，
∴∠ADF＝∠MCF，
∵F为CD的中点，
∴CF＝DF，
在△AFD和△MFC，
，
∴△AFD≌△MFC（ASA），
∴AD＝CM，AF＝FM，
∴AM＝2AF＝16，
∵∠EAF＝60°，∠N＝90°，
∴∠AMN＝30°，
∴AN＝AM＝8，MN＝＝8，
∵AE＝6，
∴EN＝AN﹣AE＝2，
∴EM＝＝14，
∵E为BC中点，
∴EC＝＝AD＝，
∴EM＝EC+CM＝CM＝AD，
∴AD＝EM＝，
故答案为：．
5．解：过点D作DE⊥AB于E，
∵四边形ABCD是平行四边形
∴AD＝BC＝2，
∵∠A＝45°，DE⊥AB，
∴∠A＝∠ADE＝45°，
∴DE＝AE，
∵DE2+AE2＝AD2＝4，
∴DE＝，
故答案为．
6．解：如图，过点F作FM⊥AE于点M，过点M作MG∥AB交BC于点G，连接EF，
∵∠EAF＝45°，
∴△AMF是等腰直角三角形，
∴AM＝MF＝AF＝2，
∵AE＝4，
∴EM＝AE﹣AM＝2，
∴AM＝EM，
∵MG∥AB，
∴BG＝GE，
∴GM是三角形AEB的中位线，
∴GM∥AB，GM＝AB，
∴GM＝CD，
∵点F是CD边的中点，
∴CF＝CD，
∴GM∥CF，GM＝CF，
∴四边形GMFC是平行四边形，
∴GC＝MF＝2，
∵BE＝2BG＝2GE，BE＝2CE，
∴BG＝GE＝EC，
∴BE＝GC＝2，
∵FM⊥AE，FM∥GC，
∴AE⊥GC，
∵AE＝4，
∴AB＝＝＝2．
故答案为：2．
7．解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，∠B＝∠D，
∴∠DAE+∠AEC＝180°，
∵∠AEC＝90°，∠EAF＝45°，
∴∠EAD＝90°，∠AGE＝45°，
∴∠FAD＝45°，
∵AF⊥CD，
∴∠AFD＝90°，
∴∠D＝45°，
∴△ABE和△AFD都是等腰直角三角形，
∵AE+AF＝5，
∴设AE＝x，则AF＝5﹣x，
∴AB＝x，AD＝（5﹣x），
∴平行四边形ABCD的周长为：[x+（5﹣x）]×2＝10，
故答案为：10．
8．解：∵四边形ABCD是平行四边形，EF∥BC，HG∥AB，
∴AD＝BC，AB＝CD，AB∥GH∥CD，AD∥EF∥BC，
∴四边形HBEM、GMFD是平行四边形，
在△ABD和△CDB中，
，
∴△ABD≌△CDB（SSS），
即△ABD和△CDB的面积相等；
同理△BEM和△MHB的面积相等，△GMD和△FDM的面积相等，
故四边形AEMG和四边形HCFM的面积相等，即S1＝S2．
故答案为：S1＝S2．
二．平行四边形的判定
9．解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC，AB∥CD，
∴∠DAE＝∠BCF，∠DCF＝∠BAE，
①DE＝BF时，不能证明△ADE≌△CBF，
不能证明四边形DEBF是平行四边形；
②∠ADE＝∠CBF时，
在△ADE和△CBF中，，
∴△ADE≌△CBF（ASA），
∴DE＝BF，∠AED＝∠CFB，
∴∠DEF＝∠BFE，
∴DE∥BF，
∴四边形DEBF是平行四边形；
③AF＝CE时，AE＝CF，
在△ADE和△CBF中，，
∴△ADE≌△CBF（SAS），
∴DE＝BF，∠AED＝∠CFB，
∴∠DEF＝∠BFE，
∴DE∥BF，
∴四边形DEBF是平行四边形；
④∠AEB＝∠CFD时，
在△ABE和△CDF中，，
∴△ABE≌△CDF（AAS），
∴BE＝DF，
∵∠AEB＝∠CFD，
∴∠BEF＝∠DFE，
∴BE∥DF，
∴四边形DEBF是平行四边形；
故答案为：②③④．
10．解：分别以AB、AC、BC为对角线画图即可，
如图所示，第四个顶点不可能在第三象限，
故答案为：三．
11．解：如图所示，
当AB为边，①即当四边形ABQ2P2是平行四边形，所以AB＝P2Q2，AP2＝BQ2，
∴Q2点的坐标是：（0，﹣6），
②当四边形QPBA是平行四边形，所以AB＝PQ，QA＝PB，
∴Q点的坐标是：（0，6），
当AB为对角线，即当四边形P1AQ1B是平行四边形，所以AP1＝Q1B，
AQ1＝BP1，
∴Q1点的坐标是：（0，﹣2）．
故答案为：（0，﹣6）或（0，﹣2）或（0，6）．
三．平行四边形的判定与性质
12．解：①∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD，OB＝OD，OA＝OC，
∵BF＝DE，
∴BF﹣OB＝DE﹣OD，
即OF＝OE，
∴四边形AECF是平行四边形；
③∵AB∥CD，
∴∠ABE＝∠CDF，
∵∠BAE＝∠DCF，
在△ABE和△CDF中，
，
∴△ABE≌△CDF（ASA），
∴BE＝DF，
∵AO＝CO，BO＝DO，
∴OE＝OF，
∴四边形AECF是平行四边形；
④∵AF∥CE，
∴∠AFB＝∠CED，
在△ABF和△CDE中，
，
∴△ABF≌△CDE（AAS），
∴BF＝DE，
∴BF﹣OB＝DE﹣OD，
即OF＝OE，
又∵OA＝OC，
∴四边形AECF是平行四边形；
②∵AE＝CF，不能判定△ABE≌△CDF，
∴不能判定四边形AECF是平行四边形；
∴一定能判定四边形AECF是平行四边形的是①③④，
故答案为：①③④．
13．解：如图，∵∠DAC＝∠BCA，∠DCA＝∠BAC，
∴AD∥BC，AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴∠B＝∠D＝52°．
故答案为：52°．
14．解：设经过t秒，以点P、D、Q、B为顶点组成平行四边形，
∵以点P、D、Q、B为顶点组成平行四边形，
∴DP＝BQ，
分为以下情况：①点Q的运动路线是C﹣B，方程为12﹣4t＝12﹣t，
此时方程t＝0，此时不符合题意；
②点Q的运动路线是C﹣B﹣C，方程为4t﹣12＝12﹣t，
解得：t＝4.8；
③点Q的运动路线是C﹣B﹣C﹣B，方程为12﹣（4t﹣24）＝12﹣t，
解得：t＝8；
④点Q的运动路线是C﹣B﹣C﹣B﹣C，方程为4t﹣36＝12﹣t，
解得：t＝9.6；
∴共3次．
故答案为：3．
15．解：∵已知DE∥BC，AB∥CD，
∴四边形BCDE为平行四边形，
∴CB＝DE；
∵∠A＝∠B，
∴AC＝BC，
∴AC＝DE，即可得①正确；
根据平行线等分线段性质可得AO＝CO，
∵AB∥CD，
∴∠A＝∠DCO，
又∵∠AOE＝∠COD，
∴△AOE≌△COD（ASA），
∴AE＝CD，即可得②正确；OE＝OD，O点是DE的中点；即可得④正确；
结论③⑤无法证明．
故答案填：①②④．
16．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DC＝AB，AD＝BC，∠B＝∠D，
∵AE＝AH＝CG＝CF，
∴AB+AE＝CD+CG，BC﹣CF＝AD﹣AH，
即EB＝GD，BF＝DH，
在△BFE和△DHG中，
，
∴△BFE≌△DHG（SAS），
∴EF＝GH，
∵∠DAB＝∠DCB，
∴∠EAH＝∠FCG，
同理△EAH≌△GCF（SAS），
∴EH＝FG，
∴四边形EFGH是平行四边形；
（2）解：△AEH的面积＝平行四边形EFGH的面积，理由如下：
如图，设AC与GH交于点P，连接PE、PF，
∵AH＝AE＝CF＝CG，∠BAD＝∠AEH+∠AHE，AC平分∠DAB，
∴∠AEH＝∠AHE＝∠DAC＝∠BAC，
∴EH∥AP，
∴△AEH的面积＝△PEH的面积，
同理可得：△GCF的面积＝△PFG的面积，
由（1）得：△EAH≌△GCF，
∴△EAH的面积＝△GCF的面积，
∴△AEH的面积+△PFG的面积＝2△AEH的面积＝平行四边形EFGH的面积，
∴△AEH的面积＝平行四边形EFGH的面积．
17．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD，
∴∠GAE＝∠HCF，
∵点G，H分别是AB，CD的中点，
∴AG＝CH，
在△AGE和△CHF中，
，
∴△AGE≌△CHF（SAS），
∴GE＝HF，∠AEG＝∠CFH，
∴∠GEF＝∠HFE，
∴GE∥HF，
又∵GE＝HF，
∴四边形EGFH是平行四边形；
（2）解：连接BD交AC于点O，如图：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，OB＝OD，
∵BD＝12，
∴OB＝OD＝6，
∵AE＝CF，OA＝OC，
∴OE＝OF，
∵AE＝EF﹣CF，
∴AE+CF＝EF，AE＝CF，
∴2AE＝EF＝2OE，
∴AE＝OE，
又∵点G是AB的中点，
∴EG是△ABO的中位线，
∴EG＝OB＝3．
18．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∵AM⊥BD，CN⊥BD，
∴AM∥CN，
∴四边形CMAN是平行四边形；
（2）解：∵四边形CMAN是平行四边形，
∴AN＝CM，
∵CD＝AB，
∴DM＝BN，
∵CD∥AB，
∴∠MDE＝∠NBF，
在△BNF和△DME中，
，
∴△DME≌△BNF（AAS），
∴BF＝DE＝4，
在Rt△BFN中，BN＝＝＝5，
∴△BFN的周长＝FN+BF+BN＝3+4+5＝12．
19．解：（1）证明：由题意得，AB∥CF，
∴∠ABE＝∠DFE，
又∵点E为AD的中点，
∴AE＝DE，
在△ABE和△DFE中，
，
∴△ABE≌△DFE（AAS）
∴AB＝DF，
又∵AB∥DF，
∴四边形ABDF为平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）；
（2）过点F作AD的垂线交AD延长线于点K，过点D作DH⊥EC，过点E作EG⊥CD，
∵S△AEF＝；，
∴S△AEF＝S△EDF，
又∵BE为∠ABC的角平分线，
∴∠ABE＝∠EBC，
又∵AD∥BC，
∴∠EBC＝∠FED，
而∠ABE＝∠DFE，
∴∠FED＝∠DFE，
∴ED＝FD，
由（1）可知AB＝DC＝FD＝5，
∴ED＝FD＝DC＝5，
又∵S△EFD＝，S△EDC＝，
∴S△AEF＝S△EDF＝S△ECD，
在等腰△EDC中，ED＝CD＝5，EC＝6，
∵DH⊥EC，
∴EH＝＝＝3，
在Rt△EHD中，ED＝5，EH＝3，
∴DH＝＝＝4，
∴S△ECD＝＝12，
∴S△AEF＝S△EDF＝S△ECD＝12，
故S△AEF＝12．
20．证明：连接BE、DF，如图所示：
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD＝BC，AD∥BC，
又∵AE＝CF，
∴DE＝BF，
∴四边形EBFD为平行四边形，
∴BD、EF互相平分．
21．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD∥AB，CD＝AB，AD＝BC，
∵DE、BF分别是∠ADC和∠ABC的角平分线，
∴∠ADE＝∠CDE，∠CBF＝∠ABF，
∵CD∥AB，
∴∠AED＝∠CDE，∠CFB＝∠ABF，
∴∠AED＝∠ADE，∠CFB＝∠CBF，
∴AE＝AD，CF＝CB，
∴AE＝CF，
∴AB﹣AE＝CD﹣CF 即BE＝DF，
∵DF∥BE，
∴四边形DEBF是平行四边形．
∴BD、EF互相平分；
（2）∵∠A＝60°，AE＝AD，
∴△ADE是等边三角形，
∵AD＝4，
∴DE＝AE＝4，
∵AE＝2EB，
∴BE＝GE＝2，
∴BG＝4，
过D点作DG⊥AB于点G，
在Rt△ADG中，AD＝4，∠A＝60°，
∴AG＝AD＝2，
∴DG＝＝2，
∴BD＝＝＝2．