(共27张PPT)
直线与圆的位置关系
一、教学目标、教学重点
二、复习引入
三、讲解新课
1、直线与圆的位置关系
相离：直线和圆没有公共点.
相切：直线和圆有唯一公共点.
相交：直线和圆有两个公共点.
小结
学生练习
2、圆心到直线的距
离d与半径r之间的关系
3、讲解例题
四、总 结
五、布置作业
六、随堂检测
小结
学生练习
1、直线与圆相离 <=> d>r
2、直线与圆相切 <=> d=r
3、直线与圆相交 <=> d直线和圆的位置关系
教学目标：
1、理解直线和圆相交、相切、相离等概念.
2、掌握直线和圆的位置关系的性质和判定.
3、通过直线和圆的相对运动，揭示直线和圆的位置关系，
培养运动变化的辩证唯物主义观点.
教学重点：
利用圆心到直线的距离与半径的关系判别直线与圆
的位置关系.
1、点与圆有几种位置关系？
复习提问：
2、若将点改成直线，那么直线与圆的
位置关系又如何呢？
.A
.A
.A
.A
.A
. B
.A
.A
.C
.A
.A
.O
a
b
c
1、直线 与圆的位置关系
a
.O
图 1
b
.A
.O
图 2
c
.
F
.E
.O
图 3
相离
相切
相交
这时直线叫圆的割线 .
公共点叫直线与圆的交点.
小结：
直线与圆有_____种位置关系，是
用直线与圆的________的个数来定义
的.这也是判断直线 与圆的位置关系
的重要方法.
三
公共点
练习1
１、直线与圆最多有两个公共
点.………………（ ）
２、若直线与圆相交，则直线上的
点都在圆内.… … … …( )
√
×
判断
.A
.B
.C
.O
.O
m
3 、若A、B是⊙O外两点， 则直线AB
与⊙O相离.… … … … …( )
4 、若C为⊙O内与O点不重合的一点，
则直线CO与⊙O相交.（ ）
√
×
.A
.B
.C
.O
想一想？
若C为⊙O内的一点，A为任意一点，
则直线AC与⊙O一定相交.是否正确？
.O
.C
复习提问：
.A
. B
C.
.O
3、如何根据圆心到点的距离d与半径r的
关系判别点与圆的位置关系？
1、什么叫点到直线的距离？
2、连接直线外一点与直线上所有点
的线段中，最短的是______？
直线外一点到这条直线
垂线段的长度叫点到直线 的距离.
垂线段
1、点到圆心的距离___于半径时，点在圆外.
2、点到圆心的距离___于半径时，点在圆上.
3、点到圆心的距离___于半径时，点在圆内.
.E
.
D
a
d
d
d
.O
.O
.O
r
r
r
相离
相切
相交
1、直线与圆相离 => d>r
2、直线与圆相切 => d=r
3、直线与圆相交 => d<
<
<
看一看想一想
当直线与圆
相离、相切、
相交时，d与
r有何关系？
l
l
l
.A
.B
.
C
.D
.E
.F
. N
H.
Q.
讲解
符号“<=> ”读作___________，它表示两个方面：
（1）“＝＞”即从____端可以推出___端
（反映直线与圆的某种位置关系的性质）；
（2）“＜＝”即从____端可以推出___端
（反映直线与圆的某种位置关系的判定）
等价于
左
右
右
左
3、直线与圆相交 <=> d1、直线与圆相离 <=> d>r
2、直线与圆相切 <=> d=r
直线与圆的位置关系
直线与圆的位置关系 相交 相切 相离
公共点个数
公共点名称
直线名称
图形
圆心到直线距离d与半径r的关系
d归纳与小结
d=r
d>r
2
交点
割线
1
切点
切线
0
总结：
判定直线与圆的位置关系的方法有____种：
（1）根据定义，由________________
的个数来判断；
（2）根据性质，由_________________ ______________的关系来判断.
在实际应用中，常采用第二种方法判定.
两
直线与圆的公共点
圆心到直线的距离d
与半径r
练习2
填空：
1、已知⊙O的半径为5cm，O到直线a的距离为3cm，则⊙O与直线a的位置关系是_____.直线a与⊙O的公共点个数是____.
2、已知⊙O的半径是4cm，O到直线a的距离是4cm，则⊙O与直线a的位置关系是 ___ _.
动动脑筋
相交
相切
两个
3、已知⊙O的半径为6cm，O到直线a的距离为7cm，则直线a与⊙O的公共点个数是____.
4、已知⊙O的直径是6cm，O到直线a的距离是4cm，则⊙O与直线a的位置关系是 ___ _.
零
相离
思考：圆心A到X轴、
Y轴的距离各是多少
例题1：
.A
O
X
Y
已知⊙A的直径为6，点A的坐标为
（-3，-4），则⊙A与X轴的位置关系是_____,⊙A与Y轴的位置关系是______.
B
C
4
3
相离
相切
思考：图中线段AB的长度
为多少？怎样求圆心C到直
线AB的距离？
例题2：
讲解
在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3cm，
BC=4cm，以C为圆心，r为半径的圆
与AB有怎样的位置关系？为什么？
（1）r=2cm；（2）r=2.4cm； (3)r=3cm.
B
C
A
分析：要了解AB与⊙C的位置
关系，只要知道圆心C到AB的
距离d与r的关系.
解：过C作CD⊥AB，垂足为D.
在Rt△ABC中，
AB= =
=5（cm）
根据三角形面积公式有
CD·AB=AC·BC
∴CD= =
=2.4（cm）.
2
2
2
2
D
4
5
3
2.4cm
C
即圆心C到AB的距离d=2.4cm.
（1）当r=2cm时， ∵d＞r，
∴⊙C与AB相离.
（2）当r=2.4cm时，∵d=r，
∴⊙C与AB相切.
（3）当r=3cm时， ∵d＜r，
∴⊙C与AB相交.
A
B
A
D
4
5
3
d=2.4cm
解：过C作CD⊥AB，垂足为D.
在Rt△ABC中，
AB= =
=5（cm）
根据三角形面积公式有
CD·AB=AC·BC
∴CD= =
=2.4（cm）.
2
2
2
2
在Rt△ABC中，∠C=90°，
AC=3cm，BC=4cm，
以C为圆心，r为半径的圆
与AB有怎样的位置关系？
为什么？（1）r=2cm；
（2）r=2.4cm (3)r=3cm.
C
讨论
在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3cm，
BC=4cm，以C为圆心，r为半径作圆.
1、当r满足________________时，
⊙C与直线AB相离.
2、当r满足____________ 时，
⊙C与直线AB相切.
3、当r满足____________时，
⊙C与直线AB相交.
.
4
d=2.4cm
3
0cmr=2.4cm
r＞2.4cm
B
A
D
5
C
在Rt△ABC中，∠C=90°，
AC=3cm，BC=4cm，
以C为圆心，r为半径作圆.
想一想
当r满足___________
_____________时,⊙C与线
段AB只有一个公共点.
r=2.4cm或 3cmB
A
D
4
5
3
d=2.4cm
.
学生练习
选择:
1、设⊙O的半径为r，点O到直线a的距离为d，
若⊙O与直线a至多只有一个公共点，则d与r的
关系是……………………（ ）
A、d≤r B、d＜r C、d≥r D、d＝r
2、设⊙O的半径为r，直线a上一点到圆心的
距离为d，若d=r，则直线a与⊙O的位置关系
是……………………………………………（ ）
A、相交 B、相切 C、相离 D、相切或相交
C
D
.
布置作业：
1、必做题：教材P1051、 P1152；
2、选做题：教材 P1153 .
B
B
C
A
D
4
5
3
2.4cm
放映幻灯片 18结束
D
4
3
B
C
A
B
5
2.4cm
放映结束
随堂检测
1． ⊙O的半径为3 ,圆心O到直线l的距离为d,若直线l
与⊙O没有公共点，则d为（ ）：
A．d ＞3 B．d＜3 C．d ≤3 D．d =3
2．圆心O到直线的距离等于⊙O的半径，则直线
和⊙O的位置关系是（ ）：
A．相离 B.相交 C.相切 D.相切或相交
判断：若线段和圆没有公共点,该圆圆心
到线段的距离大于半径. （ ）
请做随堂检测！
A
C
×
4.判断:若直线和圆相切,则该直线和
圆一定有一个公共点. ( )
√
5、在等腰△ABC中，AB=AC=2cm，若以
A为圆心，1cm为半径的圆与BC相切，则
∠BAC的度数为多少？( )
A、30°B、60°C、90°D、120°
A
C
B
2
2
D
解:过A点作AD⊥BC于D，
∵⊙O与BC相切，AD⊥BC
∴AD=⊙O的半径 =1cm，
在Rt△ABD中，∠ADB=90°
∵BC=1/2 AD，∴∠ABC=30°.
∠BAC=120°.
D
.(共42张PPT)
24.1 旋转 （第3课时）
1.如图所示，△ABC是由△DEF绕点O旋转得到的，且∠AOD=120°。
F
A
B
C
D
E
O
（1） △ABC和△DEF的关系是_______；
（2）OC=____，OE=______；
（3）∠COF=______°;
（4）指出旋转过程；
复习回顾
2.如图所示，P是等边 ABC内的一点，把 ABP按不同的
方向通过旋转得到 BQC和 ACR。
指出旋转中心、旋转方向和旋转角度？
A
B
C
P
Q
R
复习回顾
（1）如图所示，把其中一个图案绕点O旋转
180°，你有什么发现？
（2）如图所示，线段AC，BD相交于点O，OA=OC，OB=OD
把△OCD绕点O旋转180 °，你能发现什么？
O
A
B
C
D
O
探究
（1）如图所示，把其中一个图案绕点O旋转
180°，你有什么发现？
（2）如图所示，线段AC，BD相交于点O，OA=OC，OB=OD
把△OCD绕点O旋转180 °，你能发现什么？
O
探究
（1）如图所示，把其中一个图案绕点O旋转
180°，你有什么发现？
（2）如图所示，线段AC，BD相交于点O，OA=OC，OB=OD
把△OCD绕点O旋转180 °，你能发现什么？
O
探究
（1）如图所示，把其中一个图案绕点O旋转
180°，你有什么发现？
（2）如图所示，线段AC，BD相交于点O，OA=OC，OB=OD
把△OCD绕点O旋转180 °，你能发现什么？
O
探究
（1）如图所示，把其中一个图案绕点O旋转
180°，你有什么发现？
（2）如图所示，线段AC，BD相交于点O，OA=OC，OB=OD
把△OCD绕点O旋转180 °，你能发现什么？
O
探究
（1）如图所示，把其中一个图案绕点O旋转
180°，你有什么发现？
（2）如图所示，线段AC，BD相交于点O，OA=OC，OB=OD
把△OCD绕点O旋转180 °，你能发现什么？
O
探究
（1）如图所示，把其中一个图案绕点O旋转
180°，你有什么发现？
（2）如图所示，线段AC，BD相交于点O，OA=OC，OB=OD
把△OCD绕点O旋转180 °，你能发现什么？
O
探究
（1）如图所示，把其中一个图案绕点O旋转
180°，你有什么发现？
（2）如图所示，线段AC，BD相交于点O，OA=OC，OB=OD
把△OCD绕点O旋转180 °，你能发现什么？
O
探究
（1）如图所示，把其中一个图案绕点O旋转
180°，你有什么发现？
（2）如图所示，线段AC，BD相交于点O，OA=OC，OB=OD
把△OCD绕点O旋转180 °，你能发现什么？
O
探究
（1）如图所示，把其中一个图案绕点O旋转
180°，你有什么发现？
（2）如图所示，线段AC，BD相交于点O，OA=OC，OB=OD
把△OCD绕点O旋转180 °，你能发现什么？
O
探究
（1）如图所示，把其中一个图案绕点O旋转
180°，你有什么发现？
（2）如图所示，线段AC，BD相交于点O，OA=OC，OB=OD
把△OCD绕点O旋转180 °，你能发现什么？
O
探究
（1）如图所示，把其中一个图案绕点O旋转
180°，你有什么发现？
（2）如图所示，线段AC，BD相交于点O，OA=OC，OB=OD
把△OCD绕点O旋转180 °，你能发现什么？
O
探究
（1）如图所示，把其中一个图案绕点O旋转
180°，你有什么发现？
（2）如图所示，线段AC，BD相交于点O，OA=OC，OB=OD
把△OCD绕点O旋转180 °，你能发现什么？
O
探究
（1）如图所示，把其中一个图案绕点O旋转
180°，你有什么发现？
（2）如图所示，线段AC，BD相交于点O，OA=OC，OB=OD
把△OCD绕点O旋转180 °，你能发现什么？
O
A
B
C
D
O
探究
1.中心对称：
把一个图形绕着某一点旋转180°，如果它能够与另一个图象重合，那么就说这两个图象关于这个点对称或中心对称。这个点叫
做对称中心，这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点。
O
A
B
C
探究：旋转三角尺，画出关于点O对称的两个三角形。
总结新知
1.中心对称：
把一个图形绕着某一点旋转180°，如果它能够与另一个图象重合，那么就说这两个图象关于这个点对称或中心对称。这个点叫
做对称中心，这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点。
O
A
B
C
探究：旋转三角尺，画出关于点O对称的两个三角形。
总结新知
1.中心对称：
把一个图形绕着某一点旋转180°，如果它能够与另一个图象重合，那么就说这两个图象关于这个点对称或中心对称。这个点叫
做对称中心，这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点。
O
A
B
C
探究：旋转三角尺，画出关于点O对称的两个三角形。
总结新知
1.中心对称：
把一个图形绕着某一点旋转180°，如果它能够与另一个图象重合，那么就说这两个图象关于这个点对称或中心对称。这个点叫
做对称中心，这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点。
O
A
B
C
探究：旋转三角尺，画出关于点O对称的两个三角形。
总结新知
1.中心对称：
把一个图形绕着某一点旋转180°，如果它能够与另一个图象重合，那么就说这两个图象关于这个点对称或中心对称。这个点叫
做对称中心，这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点。
O
A
B
C
探究：旋转三角尺，画出关于点O对称的两个三角形。
总结新知
1.中心对称：
把一个图形绕着某一点旋转180°，如果它能够与另一个图象重合，那么就说这两个图象关于这个点对称或中心对称。这个点叫
做对称中心，这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点。
O
A
B
C
探究：旋转三角尺，画出关于点O对称的两个三角形。
总结新知
1.中心对称：
把一个图形绕着某一点旋转180°，如果它能够与另一个图象重合，那么就说这两个图象关于这个点对称或中心对称。这个点叫
做对称中心，这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点。
O
A
B
C
探究：旋转三角尺，画出关于点O对称的两个三角形。
总结新知
1.中心对称：
把一个图形绕着某一点旋转180°，如果它能够与另一个图象重合，那么就说这两个图象关于这个点对称或中心对称。这个点叫
做对称中心，这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点。
O
A
B
C
探究：旋转三角尺，画出关于点O对称的两个三角形。
总结新知
1.中心对称：
把一个图形绕着某一点旋转180°，如果它能够与另一个图象重合，那么就说这两个图象关于这个点对称或中心对称。这个点叫
做对称中心，这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点。
O
A
B
C
探究：旋转三角尺，画出关于点O对称的两个三角形。
总结新知
1.中心对称：
把一个图形绕着某一点旋转180°，如果它能够与另一个图象重合，那么就说这两个图象关于这个点对称或中心对称。这个点叫
做对称中心，这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点。
O
A
B
C
探究：旋转三角尺，画出关于点O对称的两个三角形。
总结新知
1.中心对称：
把一个图形绕着某一点旋转180°，如果它能够与另一个图象重合，那么就说这两个图象关于这个点对称或中心对称。这个点叫
做对称中心，这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点。
O
A
B
C
D
F
E
探究：旋转三角尺，画出关于点O对称的两个三角形。
2.中心对称的性质：
（1）中心对称的两个图形，对称点的连线段都经过对称中
心，并且被对称中心所平分；
（2）中心对称的两个图形是全等图形。
3.画中心对称图形
总结新知
A
O
A'
连结OA，
并延长到A’，使OA’=OA，
例1、已知A点和O点，画出点A关于点O的对称点A'
则A’是所求的点
例2、已知线段AB和O点，画出线段AB关于点O的
对称线段A’B’
O
A'
B'
A
B
连结AO并延长到A’，使OA’＝OA，
则得A的对称点A’
连结BO并延长到B’，使OB’＝OB，
则得B的对称点B’
连结A’B’，则线段A’B’是所画线段
例题讲解
如图，选择点O为对称中心,画出与△ABC关于点O对称的△A′B′C′.
解:
A′
C′
B′
△A′B′C′即为所求的三角形。
练习
画出△ABC关于点O的对称△A / B/ C /
O
A
B
C
C /
B/
A /
练习
例3，已知四边形ABCD和O点，画出四边形ABCD
关于O点的对称图形。
.
C
D
A
B
D
C
O
A
B
画法:
1.连结AO 并延长到A ,使OA=OA ,得到点A的对称点A .
2.同样画B、C、D的对称点B 、C 、D
3、顺次连结A 、B 、C 、D 各点
所以，四边形A B C D 就是所求的四边形
例题讲解
画一个与已知四边形ABCD中心对称图形。
（1）以顶点A为对称中心；
（2）以BC边的中点O为对称中心。
A
B
C
D
O
练习
1.如图，已知△ABC与△A’B’C’中心对称，求出它们的对称中心O。
A
B
C
A’
B’
C’
例题讲解
解法一：根据观察，B、B’应是对应点，连结BB’，用刻度尺找出BB’的中点O，则点O即为所求（如图）
A
B
C
A’
B’
C’
O
例题讲解
O
解法二：根据观察，B、B’及C、C’应是两组对应点，连结BB’、CC’，BB’、CC’相交于点O，则点O即为所求（如图）。
A
B
C
A’
B’
C’
例题讲解
A’
B’
C’
O
A
B
C
2. 如图，已知等边三角形ABC和点O，画△A’B’C’,使△A’B’C’和△ABC关于点O成中心对称。
例题讲解
A
B
C
D
F
E
O
3.如图，点O是平行四边形的对称中心，点A、C关于点O对称，有AO=CO，那么OE=OF吗？
对称中心平分连结两个对称点的线段.
EF经过点O，分别交AB、CD于E、F。
解：∵平行四边形是中心对称图形，O是对称中心.
∴点E、F是关于点O的对称点。
∴OE=OF。
A
B
C
D
F
E
O
例题讲解
中心对称的判定:
如果两个图形对应点连线 都经过某一点,
并且被在个点平分那么这两个图形关于这一点对称。
总结新知
中心对称与轴对称有什么区别 又有什么联系
轴对称 中心对称
有一条对称轴---直线 有一个对称中心---点
图形沿对称轴对折(翻折1800)后重合 图形绕对称中心旋转1800后重合
对称点的连线被对称轴垂直平分 对称点连线经过对称中心,且被对称中心平分
小结(共32张PPT)
24.2 圆的基本性质 （第3课时）
复习
1、圆的对称性有哪几方面？
O
轴对称性
导入
2、将圆绕圆心任意旋转：
O
α
圆具有旋转不变性,是中心对称图形
.
O
A
B
圆绕圆心旋转
.
O
A
B
圆绕圆心旋转
.
O
A
B
圆绕圆心旋转
.
O
A
B
圆绕圆心旋转
.
O
A
B
圆绕圆心旋转
.
O
A
B
圆绕圆心旋转
.
O
B
A
圆绕圆心旋转
.
O
B
圆绕圆心旋转
A
.
O
A
B
圆绕圆心旋转
.
O
A
B
圆绕圆心旋转
.
O
B
A
180°
所以圆是中心对称图形.
圆绕圆心旋转180°后仍与原来的圆重合。
圆心就是它的对称中心.
圆心角 所对
的弧为 AB，
过点O作弦AB的垂线, 垂足
为M,
O
A
B
M
有关概念： 顶点在圆心的角,叫圆心角，
如 ,
所对的弦为AB；
则垂线段OM的长度,即圆心到弦的距离，叫弦心距 ,
如图，OM为AB弦的弦心距。
1、判别下列各图中的角是不是圆心角，
并说明理由。
①
②
③
④
任意给圆心角，对应出现四个量：
圆心角
弧
弦 弦心距
探究
O
α
A
B
A′
B ′
α
将∠AOB绕O旋转到∠A/OB/ ，你能发现哪些等量关系？
·
O
A
B
A′
B′
同样，还可以得到：
在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角_____， 所对的弦________；
在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么他们所对的圆心角______，所对的弧_________．
这样，我们就得到下面的定理：
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．
相等
相等
相等
相等
同圆或等圆中，
两个圆心角、两
条弧、两条弦中
有一组量相等，
它们所对应的其
余各组量也相
等．
定理
∵∠AOB=∠A｀OB｀
AB
⌒
A′B′,
⌒
=
∴
·
O
A
B
A′
B′
新授
O
α
A
B
A′
B ′
α
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对
的弧相等，所对的弦相等，所对的弦
的弦心距相等。
等对等定理
(1) 圆心角
(2) 弧
(3) 弦
(4) 弦心距
延伸
O
α
A
B
A′
B ′
α
(1) 圆心角
(2) 弧
(3) 弦
(4) 弦心距
等对等定理整体理解：
知一得三
1、如图3，AB、CD是⊙O的两条弦。
（1）如果AB=CD，那么 ， 。
（2）如果AB=CD，那么 ， 。
（3）如果∠AOB=∠COD，那么 ， 。
（4）如果AB=CD，OE⊥AB于E，OF⊥CD于F，OE与OF相等吗？为什么？
基础训练
⌒
⌒
例题解析
例1 如图1，在⊙O中，AB=AC，∠ACB=60°，
求证∠AOB=∠BOC=∠AOC。
⌒
⌒
例题解析
例2 已知：如图2，AB、CD是⊙O的弦，且AB与CD不平行，M、N分别是AB、CD的中点，AB=CD，那么∠AMN与∠CNM的大小关系是什么？为什么？
解：连结OM、ON，
∵M、N分别为弦AB、CD的中点，
∴∠AMO=∠CNO=90°
∵ AB=CD
∴ OM=ON
∴∠OMN=∠CNM
∴∠AMN=∠CNM
2、如图4，AB是⊙O的直径，BC=CD=DE，∠COD=35°，求∠AOE的度数。
基础训练
⌒
⌒
⌒
3、如图，点O是∠EPF角平分线上的一点，以O为圆心的圆和角的两边分别交于点A、B和C、D。
求证：AB= CD。
O
A
B
P
C
D
E
F
M
N
基础训练
4、在⊙O中，一条弦AB所对的劣弧为圆周的1/4，则弦AB所对的圆心角为 。
5、在半径为2的⊙O中，圆心O到弦AB的距离为1，则弦AB所对的圆心角的度数为 。
6、如图5，在⊙O中AB=AC，∠C=75°，求∠A的度数。
基础训练
⌒
⌒
7、如图，已知AD=BC、求证AB=CD
变式：如图，如果AD=BC，求证：AB=CD
基础训练
⌒
⌒
如图7所示，CD为⊙O的弦，在CD上取CE=DF，连结OE、OF，并延长交⊙O于点A、B。
（1）试判断△OEF的形状，并说明理由；
（2）求证：AC=BD
拓展训练
⌒
⌒
1.如图，⊙O中两条相等的弦AB、CD分别延长到E、F，使BE= DF。
求证：EF的垂直平分线必经过点O。
O
A
B
C
D
E
F
M
N
课后思考题
2.如图，已知AB、CD是⊙O中互相垂直的两 条直径，又两条弦AE、CF垂直相交与点G，
试证明：AE=CF
P
. O
A
B
C
D
┌
┐
G
E
F(共11张PPT)
24.2 圆的基本性质 （第4课时）
确定圆的条件
类比确定直线的条件:
经过一点可以作无数条直线；
读一读
驶向胜利的彼岸
经过两点只能作一条直线.
●A
●A
●B
驶向胜利的彼岸
确定圆的条件
1.想一想,经过一点可以作几个圆 经过两点,三点,…,呢？
猜一猜
1.作圆,使它过已知点A.你能作出几个这样的圆
●O
●A
●O
●O
●O
●O
2.作圆,使它过已知点A,B.你能作出几个这样的圆
●A
●B
●O
●O
●O
●O
确定圆的条件
2. 过已知点A,B作圆,可以作无数个圆.
读一读
驶向胜利的彼岸
经过两点A,B的圆的圆心在线段AB的垂直平分线上.
以线段AB的垂直平分线上的任意一点为圆心,这点到A或B的距离为半径作圆.
你准备如何(确定圆心,半径)作圆？
其圆心的分布有什么特点 与线段AB有什么关系？
●A
●B
●O
●O
●O
●O
确定圆的条件
3.作圆,使它过已知点A,B,C(A,B,C三点不在同一条直线上),你能作出几个这样的圆
想一想
驶向胜利的彼岸
老师提示:
能否转化为2的情况:经过两点A,B的圆的圆心在线段AB的垂直平分线上.
你准备如何(确定圆心,半径)作圆？
其圆心的位置有什么特点 与A,B,C有什么关系？
┓
●B
●C
经过两点B,C的圆的圆心在线段AB的垂直平分线上.
┏
●A
经过三点A,B,C的圆的圆心应该这两条垂直平分线的交点O的位置.
●O
确定圆的条件
请你作圆,使它过已知点A,B,C(A,B,C三点不在同一条直线上).
以O为圆心,OA(或OB,或OC)为半径,作⊙O即可.
想一想
驶向胜利的彼岸
请你证明你做得圆符合要求.
●B
●C
●A
●O
证明:∵点O在AB的垂直平分线上，
∴⊙O就是所求作的圆,
┓
E
D
┏
G
F
∴OA=OB.
同理,OB=OC.
∴OA=OB=OC.
∴点A,B,C在以O为圆心的圆上.
这样的圆可以作出几个 为什么 .
三点定圆
定理 不在一条直线上的三个点确定一个圆.
在上面的作图过程中.
议一议
驶向胜利的彼岸
老师期望:
将这个结论及其证明作为一种模型对待.
∵直线DE和FG只有一个交点O,并且点O到A,B,C三个点的距离相等,
∴经过点A,B,C三点可以作一个圆,并且只能作一个圆.
●B
●C
●A
●O
┓
E
D
┏
G
F
驶向胜利的彼岸
三角形与圆的位置关系
因此,三角形的三个顶点确定一个圆,这圆叫做三角形的外接圆.这个三角形叫做圆的内接三角形.
做一做
外接圆的圆心是三角形三边垂直平分线的的交点,叫做三角形的外心.
老师提示:
多边形的顶点与圆的位置关系称为接.
●O
A
B
C
驶向胜利的彼岸
三角形与圆的位置关系
分别作出锐角三角形,直角三角形,钝角三角形的外接圆,并说明与它们外心的位置情况
随堂练习
锐角三角形的外心位于三角形内,直角三角形的外心位于直角三角形斜边中点,钝角三角形的外心位于三角形外.
老师期望:
作三角形的外接圆是必备基本技能,定要熟练掌握.
A
B
C
●O
A
B
C
C
A
B
┐
●O
●O
结束寄语
盛年不重来,一日难再晨,及时宜自勉,岁月不待人.
下课了!(共22张PPT)
●O
E
F
A
B
C
1.圆心角的定义
顶点在圆心的角叫圆心角.
2.在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。
.
O
B
C
忆一忆
若圆心角的顶点位置发生改变，可能出现哪些情形？
·
·
·
·
·
想一想
在射门游戏中,球员射中球门的难易与它所处的位置B对球门AC的张角（ ∠ABC ）有关.
思考：图中的∠ABC的顶点各在圆的什么位置？∠ABC的两边和圆是什么关系？
A
B
C
D
E
B
A
C
A
B
C
D
E
●O
观察图中的∠ABC ,它的顶点在圆上,它的两边分别与圆另有一个交点.像这样的角,叫做圆周角.
⑵角的两边分别和圆相交
●
注意：
⑴顶点在圆上
●
●
1.判别下列各图形中的角是不是圆周角，并说明理由。
不是
不是
是
不是
不是
图１
图２
图３
图４
图５
做一做
在下图中,当球员在B,D,E处射门时，它所处的位置对球门AC分别形成三个张角∠ABC.∠ADC. ∠AEC.这三个角的大小有什么关系？
在同圆或等圆中，相等的弧所对的圆心角相等.那么在同圆或等圆中，相等的弧所对的圆周角有什么关系
A
B
C
D
E
类比圆心角探知圆周角
在同圆或等圆中,相等的弧所对的圆心角相等.
在同圆或等圆中,相等的弧所对的圆周角有什么关系？
A
B
C
●O
E
F
我们先来研究一条弧所对的圆周角和圆心角的关系
圆周角和圆心角的关系
如图,观察圆周角∠ABC与圆心角∠AOC,它们的大小有什么关系
说说你的想法,并与同伴交流.
议一议
教师提示:注意圆心与圆周角的位置关系.
●O
A
B
C
●O
A
B
C
●O
A
B
C
如图,在⊙O中,观察圆周角∠ABC 与圆心角∠AOC ,它们的大小有什么关系
O
A
C
B
议一议
即∠ABC的一边BC过圆心O.
∵ ∠AOC 是△ABO的外角，
∴ ∠AOC = ∠ABO+ ∠BAO.
∵OA=OB
∴ ∠ABO = ∠BAO
∴ ∠AOC =2 ∠ABO
O
A
C
B
你能写出这个命题吗
一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.
①.首先考虑一种特殊情况：
试一试
②当圆心(O)在圆周角(∠ABC)的内部时,圆周角
∠ABC与圆心角∠AOC的大小关系会怎样
提示:能否转化为①的情况
过点B作直径BD.由①可得:
∠ABD = ∠AOD,∠CBD = ∠COD,
∴ ∠ABC = ∠AOC.
你能写出这个命题吗
●O
A
B
C
D
一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.
试一试
③当圆心(O)在圆周角(∠ABC)的外部时,圆周
角∠ABC与圆心角∠AOC的大小关系会怎样
提示:能否也转化为①的情况
过点B作直径BD.由①可得:
∠ABD = ∠AOD,∠CBD = ∠COD,
∴ ∠ABC = ∠AOC.
你能写出这个命题吗
●O
A
B
C
一条弧所对的圆周角等于
它所对的圆心角的一半.
D
试一试
圆周角定理
同一条弧所对的圆周角等
于它所对的圆心角的一半
●O
A
B
C
●O
A
B
C
●O
A
B
C
·
·
·
·
100°
A
O
20°
O
90°
A
B
A
B
B
C
O
B
A
C
C
(1)
(2)
(3)
(4)
AB为直径,求∠ACB
求∠AOB
求∠AOB
求∠A
做一做
2、如图 .已知圆心角∠AOB的度数为100°.求圆周角∠ACB的度数.
A
O
B
C
做一做
驶向胜利的彼岸
3.如图(1),在⊙O中,∠BAC=50°,求∠C的大小.
猜一猜
4.如图(2),在⊙O中,∠B,∠D,∠E的大小有什么关系 为什么
●O
●O
C
A
B
D
B
A
C
D
E
(1) (2)
做一做
2.如图.在⊙O中.∠BOC=50°，求∠BAC 的大小.
B
O
C
A
1.举出生活中含有圆周角的例子.
随堂练习
解: ∠A= ∠BOC = 25°.
习 题
证明：
∠ACB= ∠AOB
1
2
∠BAC= ∠BOC
2
∠AOB=2∠BOC
A
O
B
C
∠ACB=2∠BAC
1
规律:解决圆周角和圆心角的计算和证明问题,要准确找出同弧所对的圆周角和圆心角,然后再灵活运用圆周角定理
AB所对圆周角是∠ACB, 圆心角是∠AOB. 则∠ACB= ∠AOB.
BC所对圆周角是∠ BAC , 圆心角是∠BOC, 则∠ BAC= ∠BOC
1
___
分析:
2
再 见(共12张PPT)
24.1 旋转 （第5课时）
如图，是一个6×6的棋盘，两人各持若干张1×2的卡片轮流在棋盘上盖卡片，每人每次用一张卡片盖住相邻的两
个空格，谁找不
出相邻的两个空
格放卡片就算谁
输，你用什么办
法战胜对手呢？
思考
x
y
o
复习回顾
x
y
o
A (3，0)
A1 (-3，0)
A
A1
B (0，-2)
B1 (0，2)
C (2，1)
C1 (-2，-1)
在直角坐标系中，做出下列已知点
关于原点的对称点。
D (-1，2)
D1 (1，-2)
复习回顾
两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P(x,y)关于原点的对称点为P1(-x,-y)
总结新知
下列各点中哪两个点关于原点O对称？
A(-5,0), B(0,2), C(2,-1),
D(2,0), E(0,5), F(-2,-1), G(-2,1)
两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P(x,y)关于原点的对称点为P1(-x,-y)
练习
x
y
o
例1：如图，利用关于原点对称的点的坐标的特点，作出与⊿ABC关于原点对称的图形。
两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P(x,y)关于原点的对称点为P1(-x,-y)
A
B
C
例题讲解
x
y
o
解：点P(x,y)关于原点的对称点为P1(-x,-y)，因此⊿ABC的三个顶点A(-3,1),B(-1,-1),C(-2,2)关于原点的对称点分别为A1(3,-1),B1(1,1),C1(2,-2),依次连接A1B1, B1C1, C1A1,就可得到与⊿ABC关于原点对称的⊿A1B1C1.
A
B
C
A1
B1
C1
例题讲解
1．下列函数中，图象一定关于原点对称的图象是（ ）
A．y= B．y=2x+1
C．y=-2x+1 D．以上三种都不可能
2．如果点P（-3，1），那么点P（-3，1）关于原点
的对称点P/的坐标是P/_______．
3．写出函数y=- 与y= 具有的一个共同
性质________（用对称的观点写）．
练习
4、画⊿AOB关于原点对称的⊿A ’O B ’
你有什么发现？
0
规律：对应点关于原点对称。即对应点的
横坐标和纵坐标互为相反数
X
Y
A
B
B’
A’
如图，直线AB与x轴、y轴分别相交于A、B两点，将直线AB绕点O顺时针旋转90°得到直线A1B1．
（1）在图中画出直线A1B1．
（2）求出线段A1B1中点的反比例函数表达式．
（3）是否存在另一条与直线AB平行的直线y=kx+b，它与双曲线只有一个交点，若存在，求此直线的函数表达式，若不存在，请说明理由．
☆应用拓展(共11张PPT)
1.旋转的要素：旋转中心，旋转方向，旋转角度；
2.旋转前后的大小、形状不变；
3.对应边，对应角相等
讨论:
（1）图形上的点绕着旋转中心转过的角度之间 有何关系？
（2）你能发现图中线段之间、角之间有什么关系？
（3）ΔABC和ΔA’B’C’的形状、大小有何变化？
1、图形中每一点都绕着旋转中心旋转了同样大小
的角度（任意一对对应点与旋转中心的连线所
成的角都是旋转角）。
2、对应点到旋转中心的距离相等。
已知线段AB和点O，请画出线段AB绕点O按逆时针旋转1000后的图形.
例题
N
A
B
O
B′
A′
M
⑴如图,画出△ABC绕点A按逆时针方向旋转900后的对应三角形;
例题
D'
B'
D
A
B
C
C'
A
B
C
⑵如果点D是AC的中点,那么经过上述旋转后,点D旋转到什么位置 请在图中将点D的对应点
D′表示出来.
（3）.如果AD=1cm,那么点D旋转过的路径是多少
☆如图所示的方格纸中，将△ABC向右平移8格，再以O为旋转中心逆时针旋转900，画出旋转后的三角形.
O
C
B
A
A
B
C
D
E
F
2、如图,ΔDEF是由△ABC绕某一中心旋转一定的角度得到,请你找出这旋转中心.
.
O
旋转中心在对应点连线的垂直平分线上。
练习.如图，将点阵中的图形绕点O按逆时针方向旋转900，画出旋转后的图形.
·
2.在等腰直角△ABC中，∠C=900，BC=2cm，如果以AC的中点O为旋转中心，将这个三角形旋转1800，点B落在点B′处，求BB′的长度.
A/
B/
C/
3.已知：如图，在△ABC中，∠BAC=1200，以BC为边向形外作等边三角形△BCD，把△ABD绕着点D按顺时针方向旋转600后得到△ECD，若AB=3，AC=2，求∠BAD的度数与AD的长.(共19张PPT)
(2) 当直线与圆有唯一公共点时，叫做直线与圆 .
(3) 当直线与圆没有公共点时，叫做直线与圆 .
(1) 当直线与圆有两个公共点时，叫做直线与圆 .
相离
相切
相交
(1)
(3)
(2)
这条直线叫做圆的切线，公共点叫做切点.
O
O
O
直线与圆的位置关系
●O
●O
●O
直线与圆的位置关系量化
r
r
r
┐d
d
┐
d
┐
如果⊙O的半径为r,圆心O到直线l 的距离为d,那么
(1)d＜r 直线l与⊙O相交
(2) d=r 直线l与⊙O相切
(3) d＞r 直线l与⊙O相离
请按照下述步骤作图:
如图,在⊙O上任取一点A,连接OA,过点A作直线l⊥OA,
O
A
思考以下问题:
(1)圆心O到直线l的距离和圆的半径有什么关系
(2)直线l和⊙O的位置有什么关系 根据什么
(3)由此你发现了什么
相等
d=r
相切
特征①：直线l 经过半径OA的外端点A
特征②：直线l 垂直于半径OA
一般地,有以下直线与圆相切的判定定理:
经过半径的外端并且垂直这条半径的直线是圆的切线
O
A
l
∵l⊥OA 且OA为圆O的半径
∴ l是⊙O的切线
几何语言表示:
判断下图中的l 是否为⊙O的切线
⑴半径
⑵外端
⑶垂直
证明一条直线为圆的切线时，必须两个条件缺一不可：
①过半径外端;
②垂直于这条半径.
经过半径的外端并且垂直这条半径的直线是圆的切线
O
A
O
A
A
O
l
l
l
做一做：
如图AB是⊙O的直径，请分别过A、B作⊙O的切线．
A
O
B
问：如何过圆上一个已知点做圆的切线呢？
1.如图,Q在⊙O上,分别根据下列条件,判定直线PQ与⊙O是否相切:
(1)OQ=6，OP=10，PQ=8
Q
O
P
(2)∠O=67.3 ，∠P=22 42′
2、如图，AB是⊙O的直径， AT=AB，∠ABT=45°.
求证：AT是⊙O的切线
一般情况下，要证明一条直线为圆的切线，它过半径外端（即一点已在圆上）是已知给出时，只需证明直线垂直于这条半径.
B
O
T
A
例1.已知:如图，A是⊙O外一点，AO的延长线交⊙O于点C，点B在圆上，且AB=BC，∠A=30°.求证:直线AB是⊙O的切线
A
B
C
O
证明：连接OB
∵OB=OC，AB=BC，∠A=30°
∴∠OBC=∠C=∠A=30°
∴∠AOB=∠C+ ∠OBC =60°
∵∠ABO=180°-（∠AOB+∠A）
=180°-（60°+30°）
=90°
∴AB⊥OB
∴AB为⊙O的切线
如图，AB是⊙O的直径，BC⊥AB，弦AD∥OC. 求证：CD是⊙O的切线.
A
O
D
C
B
.
例2.如图,台风P(100,200)沿北偏东30°方向移动,受台风影响区域的半径为200km，那么下列城市A(200,380)，B(600,480)，C(550,300)，D(370,540)中,哪些受到这次台风的影响,哪些不受到台风的影响
0
100
400
500
600
700
300
200
x(km)
y(km)
600
500
400
300
200
100
30°
P
A
B
C
D
如图,OP是⊙O的半径,∠POT=60°,OT交⊙O于S点.
(1)过点P作⊙O的切线.
(2)过点P的切线交OT于Q,判断S是不是OQ的中点,并说明理由.
O
P
S
T
Q
判断下列命题是否正确．
(1)经过半径外端的直线是圆的切线．( )
(2)垂直于半径的直线是圆的切线．( )
(3)过直径的外端并且垂直于这条直径的直线是圆的切线．( )
(4)和圆有一个公共点的直线是圆的切线．( )
(5)以等腰三角形的顶点为圆心，底边上的高为半径的 圆与底边相切．( )
×
×
√
√
√
请任意画一个圆,并在这个圆所在的平面内任意取一点P.
(1)过点P是否都能作这个圆的切线
(2)点P在什么位置时,能作并且只能作一条切线
(3)点P在什么位置时,能作两条切线 这两条切线有什么特性
(4)能作多于2条的切线吗
点在圆内不能作切线
点在圆上
点在圆外
相等
不能
经过半径的外端并且垂直这条半径的直线是圆的切线
切线的判定定理:
这个定理不仅可以用来判定圆的切线,还可以依据它来画切线.
在判定切线的时候,如果已知点在圆上,则连半径是常用的辅助线
1、如图,已知AB是⊙O的直径,⊙O过BC的中点D,且DE⊥AC.
(1)求证:DE是⊙O的切线.
(2)若∠C=30°,CD=10cm,求⊙O的半径．
O
A
B
C
D
E
2、如图，在Rt△ABC中，∠ACB=Rt∠，CD⊥AB于点D.
（1）求证：BC是△ADC的外接圆的切线；
（2） △BDC的外接圆的切线是哪一条？为什么？
（3）若AC=5，BC=12，以C为圆心作圆C，使圆C与 AB相切，则圆C的半径是多少？
A
D
C
B(共17张PPT)
●O
B
A
C
D
E
特征：
① 角的顶点在圆上.
② 角的两边都与圆相交.
1、圆周角定义: 顶点在圆上,并且两边都和圆相交的角叫圆周角.
1.什么是圆周角？
●O
B
A
C
D
E
温故知新:
圆周角定理
圆周角定理 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.
老师提示:圆周角定理是承上启下的知识点,要予以重视.
●O
A
B
C
●O
A
B
C
●O
A
B
C
即 ∠ABC = ∠AOC.
温故知新:
问题2.如图2,在⊙O中,若弧AB等于弧EF.能否得到∠C =∠G呢？
图2
问题1、如图1,在⊙O中,∠B,∠D,∠E的大小有什么关系 为什么
∠B = ∠D= ∠E
●O
B
A
C
D
E
图1
∠C =∠G
问题讨论
问题讨论
问题3、如图2，BC是⊙O的直径，A是⊙O上任一点，你能确定∠BAC的度数吗
B
A
O
C
图2
问题4、如图3，圆周角∠BAC =90 ，弦BC经过圆心O吗？为什么？
∠BAC =90
●O
B
C
A
图3
问题解答
1、圆周角定理的推论1：
同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等；
同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等。
2、圆周角定理的推论2：
半圆（或直径）所对的圆周角是直角；
90°的圆周角所对的弦是直径。
用于找相等的角
用于找相等的弧
用于判断某个圆周角是否是直角
用于判断某条线是否过圆心
例1
已知：如图，在△ABC中，AB=AC,
以AB为直径的圆交BC于D,交AC于E,
求证：⌒ ⌒
BD=DE
证明：连接AD.
∵AB是圆的直径，点D在圆上，
∴∠ADB=90°，
∴AD⊥BC，
∵AB=AC，
∴AD平分顶角∠BAC，即∠BAD=∠CAD，
∴ ⌒ ⌒
BD= DE
（同圆或等圆中，相等的圆周角所对弧相等）。
A
B
C
D
E
例2
如图，P是△ABC的外接圆上的一点
∠APC=∠CPB=60°。求证：△ABC是等边三角形
·
·
A
P
B
C
O
证明：∵∠ABC和∠APC
都是⌒所对的圆周角。
AC
∴∠ABC=∠APC=60°
(同弧所对的圆周角相等）
同理，∵∠BAC和∠CPB都是⌒ 所对的圆周角，
BC
∴∠BAC=∠CPB=60°。
∴△ABC等边三角形。
·o
C
E
A
B
P
(1)当船与两个灯塔的夹角∠α大于
“危险角”时,船位于哪个区域 为什么
(2)当船与两个灯塔的夹角∠α小
于“危险角”时,船位于哪个区域
为什么
船在航行过程中,船长常常通过测定角度来确定是否会遇到暗礁.如图所示,A,B表示灯塔,暗礁分布在经过A,B两点的一个圆形区域内,C表示一个危险临界点∠ACB就是“危险角”,当船与两个灯塔的夹角大于“危险角”时,就有可能触礁.
做一做
·o
C
E
A
B
P
答(1)船位于暗礁区域内(即圆o内).
理由:假设船在⊙O上,则有∠α=∠C,这与
∠α＞ ∠ C矛盾.所以船不可能在⊙O上;
假设船在⊙O外,则有∠ α＜ ∠AEB,即
∠ α ＜ ∠C,这与∠ α ＞ ∠C矛盾.
所以:
船不可能在⊙O外.
因此,船只能位于⊙O内.
(2)船位于暗礁区域外(即⊙O外).
2、如图,哪个角与∠BAC 相等
1、为什么有些电影院的坐位排列(横排)呈圆弧形 说一说这种设计的合理性
随堂练习
3.如图.⊙O的直径AB=10cm,C是⊙O上的一点.
∠ABC =30°.求AC的长.
解：
∵ AB是直径
∴ ∠ACB= 90
即:AC = 5cm
∵∠ABC= 30°
∴AC= AB
随堂练习
4.小明想用直角尺检查某些工件是否恰好为半圆形. 根据下图, 你能判断哪个是半圆形吗 为什么
随堂练习
我手中有一个量角器和一个直角三角尺,你用什么方法可以确定量角器是半圆形
想一想
讨论与思考
A
B
C
D
O
E
如图，CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD于E，那么你能得到什么结论？
结论：
（1）AE = BE，AC = BC，AD = BD
（2）AC = BC，∠CAB = ∠ABC = ∠D，
∠ACE =∠BCE =∠DAB
（3）BC2 = AC2 = CE · CD，AD2 = DE · DC
BE2 = AE2 = DE · CE
1、本节课我们学习了哪些知识？
2、圆周角定理及其推论的用途你都知道 了吗？
3、证明题思路的寻找方法如何？
4、证明等积式的一般思路你掌握了吗？(共23张PPT)
24.7 弧长与扇形面积 （第1课时）
在田径二百米跑比赛中，每位运动员的起跑位置相同吗？每位运动员弯路的展直长度相同吗？
问题:（讨论）在一块空旷的草地上有一根柱子，柱子上拴着一条长5m的绳子，绳子的另一端拴着一头牛，如图所示:这头牛吃草的最大活动区域有多大？你能画出这区域吗
制造弯形管道时，经常要先按中心线计算“展直长度”(图中虚线的长度)，再下料，这就涉及到计算弧长的问题
（1）半径为R的圆,周长是多少？
C=2πR
（3）1°圆心角所对弧长是多少？
（4）140°圆心角所对的弧长
是多少？
（2）圆的周长可以看作是多少度的圆心角所对的弧？
n°
A
B
O
若设⊙O半径为R， n°的圆心角所对的弧长为 ，则
例1：
已知圆弧的半径为50厘米，圆心角为60°，
求此圆弧的长度。
=
(cm)
答：此圆弧的长度为
cm
解：
例2制造弯形管道时，要先按中心线计算“展直长度”，再下料，试计算图所示管道的展直长度L(单位：mm，精确到1mm)
解：由弧长公式，可得弧AB 的长
L （mm）
因此所要求的展直长度
L （mm）
答：管道的展直长度为2970mm．
1.已知弧所对的圆心角为900，半径是4，则弧长为______
2. 已知一条弧的半径为9，弧长为8 ，那么这条弧所对的圆心角为____。
3. 钟表的轴心到分针针端的长为5cm,那么经过40分钟,分针针端转过的弧长是( )
A. B. C. D.
4、有一段弯道是圆弧形的,道长是12m,弧所对的圆心角是81o,求这段圆弧的半径R(精确到0.1m).
如下图，由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形。
半径
半径
圆心角
圆心角
弧
A
B
O
B
A
扇形
那么： 在半径为R 的圆中,n°的圆心角所对的扇形面积的计算公式为
如果圆的半径为R，则圆的面积为 ，
l°的圆心角对应的扇形面积为 ，
°的圆心角对应的扇形面积为
n°
l
O
比较扇形面积(S)公式和弧长(l)公式,你能用弧长来表示扇形的面积吗
探索弧长与扇形面积的关系
S
R
想一想：扇形的面积公式与什么公式类似？
A
B
O
O
比较扇形面积与弧长公式, 用弧长表示扇形面积:
1个圆面积
个圆面积
个圆面积
个圆面积
1、已知扇形的圆心角为120°，半径为2，则这个扇形的面积，
S扇=____．
2、已知半径为2的扇形，面积为 ，则它的圆心角的度数
为___．
120°
例4：如图、水平放置的圆柱形排水管道的截面半径是0.6cm，其中水面高0.3cm，求截面上有水部分的面积。（精确到0.01cm）。
0
B
A
C
D
有水部分的面积 = S扇- S△
解：如图，连接OA、OB，作弦AB的垂直平分线，垂足为D，交弧AB于点C.
∵OC=0.6，DC=0.3 ∴OD=OC—DC=0.3
在Rt△OAD中，OA=0.6，利用勾股定理可得：AD=0.3√3
在Rt△ OAD中，∵OD=1/2OA
∴∠ OAD=30° ∴∠A OD=60°， ∠ AOB=120°
有水部分的面积
0
B
A
D
C
3、已知扇形的圆心角为1500，弧长为 ，则扇形的面积为__________．
2、已知扇形的圆心角为300，面积为 ，则这个扇形的半径R=____．
1、已知扇形的圆心角为120°，半径为2，则这个扇形的面积为_______.
6cm
做一做：
1. 如图,一根 长的绳子,一端栓在柱子上,另一端栓着一只羊, 羊的活动最大区域面积是 .
5
3m
5m
5m
o
4m
5m
o
4m
A
B
C(共9张PPT)
多姿多彩的正多边形:生活中的正多边形图案
几种常见的正多边形
由于正多边形在生产、生活实际中有广泛的应用性，所以会画正多边形应是学生必备能力之一。
怎样画一个正多边形呢？
问题1：已知⊙O的半径为2cm，求作圆的内接正三角形.
120 °
①用量角器度量，使∠AOB=∠BOC=∠COA=120°．
②用量角器或30°角的三角板度量，使∠BAO=∠CAO=30°．
A
O
C
B
你能用以上方法画出正四边形、正五边形、正六边形吗？
·
A
B
C
D
O
·
A
B
C
D
E
O
O
A
B
C
D
E
F
·
90°
72°
60°
你能尺规作出正四边形、正八边形吗？
·
A
B
C
D
O
只要作出已知⊙O的互相垂直的直径即得圆内接正方形，再过圆心作各边的垂线与⊙O相交，或作各中心角的角平分线与⊙O相交，即得圆接正八边形，照此方法依次可作正十六边形、正三十二边形、正六十四边形……
你能尺规作出正六边形、正三角形、正十二边形吗？
O
A
B
C
E
F
·
D
以半径长在圆周上截取六段相等的弧，依次连结各等分点，则作出正六边形.
先作出正六边形，则可作正三角形，正十二边形，正二十四边形………
说说作正多边形的方法有哪些
归纳
（1）用量角器等分圆周作正n边形；
（2）用尺规作正方形及由此扩展作正八边形, 用尺规作正六边形及由此扩展作正12边形、正三角形．(共64张PPT)
24.2 圆的基本性质 （第2课时）
知识回顾：
1.如图所示，AB是⊙O的直径，AC是弦，
O
A
B
C
（1）若∠B=40 ° ，则∠AOC=______
（2）若∠AOC=70 ° ，则∠B=______
2.如图所示：在△ABC中， ∠C=90 ° ，
C
A
B
（1）AB=10，BC=6，则AC=________
（2）AC=6，BC=2，则AB=________
80°
35°
8
问题 ：你知道赵州桥吗 它的主桥是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37.4m, 拱高(弧的中点到弦的距离)为7.2m，你能求出赵洲桥主桥拱的半径吗？
赵州桥主桥拱的半径是多少？
O
观察现象：
O
观察现象：
O
观察现象：
O
观察现象：
O
观察现象：
O
观察现象：
O
观察现象：
O
观察现象：
O
观察现象：
O
观察现象：
O
观察现象：
O
观察现象：
O
观察现象：
O
观察现象：
你能得到什么结论？
圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴。它有无数条对称轴
●O
圆的对称性及特性
圆也是中心对称图形,它的对称中心就是圆心.
用旋转的方法可以得到:
一个圆绕着它的圆心旋转任意一个角度,都能与原来的图形重合.
这是圆特有的一个性质:圆的旋转不变性
●O
垂直于弦的直径
1.圆的轴对称性：
圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴。
思考：
如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD，
使CD⊥AB，垂足为E。
（1）此图是轴对称图形吗？如果是，
它的对称轴是什么？
（2）你能发现图中有哪些相等的线
段和弧？为什么？
A
B
D
C
O
E
垂直于弦的直径
1.圆的轴对称性：
圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴。
思考：
如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD，
使CD⊥AB，垂足为E。
（1）此图是轴对称图形吗？如果是，
它的对称轴是什么？
（2）你能发现图中有哪些相等的线
段和弧？为什么？
A
B
D
C
O
E
垂直于弦的直径
1.圆的轴对称性：
圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴。
思考：
如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD，
使CD⊥AB，垂足为E。
（1）此图是轴对称图形吗？如果是，
它的对称轴是什么？
（2）你能发现图中有哪些相等的线
段和弧？为什么？
A
B
D
C
O
E
垂直于弦的直径
1.圆的轴对称性：
圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴。
思考：
如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD，
使CD⊥AB，垂足为E。
（1）此图是轴对称图形吗？如果是，
它的对称轴是什么？
（2）你能发现图中有哪些相等的线
段和弧？为什么？
A
B
D
C
O
E
垂直于弦的直径
1.圆的轴对称性：
圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴。
思考：
如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD，
使CD⊥AB，垂足为E。
（1）此图是轴对称图形吗？如果是，
它的对称轴是什么？
（2）你能发现图中有哪些相等的线
段和弧？为什么？
A
B
D
C
O
E
垂直于弦的直径
1.圆的轴对称性：
圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴。
思考：
如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD，
使CD⊥AB，垂足为E。
（1）此图是轴对称图形吗？如果是，
它的对称轴是什么？
（2）你能发现图中有哪些相等的线
段和弧？为什么？
A
B
D
C
O
E
垂直于弦的直径
1.圆的轴对称性：
圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴。
思考：
如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD，
使CD⊥AB，垂足为E。
（1）此图是轴对称图形吗？如果是，
它的对称轴是什么？
（2）你能发现图中有哪些相等的线
段和弧？为什么？
A
B
D
C
O
E
垂直于弦的直径
1.圆的轴对称性：
圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴。
思考：
如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD，
使CD⊥AB，垂足为E。
（1）此图是轴对称图形吗？如果是，
它的对称轴是什么？
（2）你能发现图中有哪些相等的线
段和弧？为什么？
A
B
D
C
O
E
垂直于弦的直径
1.圆的轴对称性：
圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴。
思考：
如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD，
使CD⊥AB，垂足为E。
（1）此图是轴对称图形吗？如果是，
它的对称轴是什么？
（2）你能发现图中有哪些相等的线
段和弧？为什么？
A
B
D
C
O
E
垂直于弦的直径
1.圆的轴对称性：
圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴。
思考：
如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD，
使CD⊥AB，垂足为E。
（1）此图是轴对称图形吗？如果是，
它的对称轴是什么？
（2）你能发现图中有哪些相等的线
段和弧？为什么？
A
B
D
C
O
E
垂直于弦的直径
1.圆的轴对称性：
圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴。
思考：
如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD，
使CD⊥AB，垂足为E。
（1）此图是轴对称图形吗？如果是，
它的对称轴是什么？
（2）你能发现图中有哪些相等的线
段和弧？为什么？
A
B
D
C
O
E
垂直于弦的直径
1.圆的轴对称性：
圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴。
思考：
如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD，
使CD⊥AB，垂足为E。
（1）此图是轴对称图形吗？如果是，
它的对称轴是什么？
（2）你能发现图中有哪些相等的线
段和弧？为什么？
A
B
D
C
O
E
垂直于弦的直径
1.圆的轴对称性：
圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴。
思考：
如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD，
使CD⊥AB，垂足为E。
（1）此图是轴对称图形吗？如果是，
它的对称轴是什么？
（2）你能发现图中有哪些相等的线
段和弧？为什么？
A
B
D
C
O
E
垂直于弦的直径
1.圆的轴对称性：
圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴。
思考：
如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD，
使CD⊥AB，垂足为E。
（1）此图是轴对称图形吗？如果是，
它的对称轴是什么？
（2）你能发现图中有哪些相等的线
段和弧？为什么？
（A）
B
D
C
O
E
A
垂直于弦的直径
1.圆的轴对称性：
圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴。
（A）
B
D
C
O
E
A
2.垂径定理：
垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所
对的两条弧。
垂径定理 垂直于弦的直径平分弦,并且平分
弦所对的两 条弧.
●O
A
B
C
D
M└
CD⊥弦AB,
如图∵ CD是⊙O的直径（ ⊙O中，CD经过点O）,
∴AM=BM,
⌒
⌒
AC =BC,
⌒
⌒
AD =BD.
AM=BM
⊙O 中CD为直径
CD⊥AB于M
⌒
⌒
AC =BC,
⌒
⌒
AD =BD.
符号语言：
O
A
B
D
C
O
E
A
B
C
O
D
A
B
C
O
D
A
B
C
应用垂径定理的几个基本图形
请结合图形说出符合垂径定理的条件和结论。
O
探究：
A
B
D
C
E
如图，若直径CD平分弦AB交AB于E时，你认为都有哪些结论成立？
A
B
D
C
O
E
A
B
O
E
C
D
AB是弦，但不能是直径时，才有垂直AB，平分AB所对的两条弧。
·
O
A
B
C
D
E
垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧．
（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．
（2)弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧
（3）平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧
垂径定理及其的推论：
直线CD （1） 过圆心 （2）垂直于弦 （3） 平分弦 （4）平分弦所对的劣弧 （5）平分弦所对的优弧 以上五个中只要符合两个条件，就能得到其它三个结论。
A
P
D
C
B
O
┓
判断下列图形，能否使用垂径定理？
注意：定理中的两个条件（直径，垂直于弦）缺一不可！
1、填空：如图，在⊙O中
（1）若MN⊥AB，MN为直径；则
（ ），（ ），（ ）；
（2）若AC＝BC，MN为直径；AB不是直径，则
（ ），（ ），（ ）；
（3）若MN⊥AB，AC＝BC，则
（ ），（ ），（ ）；
（4）若AM＝BM，MN为直径，则
（ ），（ ），（ ）。
C
O
B
A
M
N
2、判断
（1）垂直于弦的直线平分弦，并且平分弦所对的弧…………………………………………..( )
（2）弦所对的两弧中点的连线，垂直于弦，并且经过圆心……………………………………..( )
（3）圆的不与直径垂直的弦必不被这条直径平分…………………………………………...( )
（4）平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧………………………………………( )
（5）圆内两条非直径的弦不能互相平分（ ）
×
√
×
×
√
问题 ：你知道赵州桥吗 它的主桥是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37.4m, 拱高(弧的中点到弦的距离)为7.2m，你能求出赵洲桥主桥拱的半径吗？
赵州桥主桥拱的半径是多少？
A
B
O
D
C
解：用AB表示主拱桥，设AB所在圆的
圆心为O，过点O作AB的垂线交AB于C。
由垂径定理可知，D是AB的中点，C是AB
的中点，CD就是拱高。
AB=37.4，CD=7.2 ，∴AD=18.7，设OA=OC=R
OD=OC-CD=R-7.2.
在Rt△AOD中，OA2 = AD2 + OD2
即 R2 = 18.72 + (R-7.2)2 解得 R≈27.9
因此，赵州桥的主桥拱的半径约为27.9米。
例1.如图所示，已知AB是⊙O的弦，OC⊥AB于C，且AB=8，OC=3，求⊙O的半径。
O
A
C
B
练习：1.如图⊙O的半径为8，OC ⊥弦AB于C，且OC=6，
求弦长AB。
2.如图⊙O的半径为6，弦AB=8，求圆心O到AB的距离。
O
A
C
B
O
A
C
B
例2：如图，已知在圆O中，弦AB的长为8㎝，
圆心O到AB的距离为3 ㎝，求圆O的半径。
变式1:在半径为5 ㎝的圆O中，有长8 ㎝的
弦AB，求点O与AB的距离。
E
2：在半径为5 ㎝的圆O中，圆心O到弦AB的距离为3 ㎝，求AB的长。
O
A
B
例3 已知：如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C，D两点，AC与BD相等吗？为什么？
P
.
A
C
D
B
O
注意：解决有关弦的问题，过圆心作弦的垂线，或作垂直于弦的直径，也是一种常用辅助线的添法．
例5．某居民区一处圆形下水管道破裂，修理人员准备更换一段新管道．
如图所示，污水水面宽度为60cm，水面至管道顶部距离为10cm，问修理人员应准备半径多大的管道？
A
B
O
如图,M为⊙O内的一点,利用尺规作一条弦AB,使AB过点M.并且AM=BM.
●O
●M
A
B
例4
变式．如图，过⊙O内一点P，作⊙O的弦AB，使它以点P为中点。
Ａ
Ｂ
Ｅ
Ｆ
解：过Ｏ点作ＯＥ⊥ＡＢ，
并延长ＯＥ交⊙Ｏ于Ｆ，连接ＯＡ
垂径定理和勾股定理相结合，构
造直角三角形，把圆的问题化归
为直线形问题解决。
A
B
O
思考: 在例2中,我们已计算出⊙Ｏ的半径Ｒ＝５０cm,如果水面宽度由60cm变为80cm,那么污水面下降了多少cm
A
B
O
C
D
两弦在圆心同旁
两弦在圆心两旁
Ｄ
Ｃ
O
·
Ｂ
Ａ
F
E
O
·
Ｂ
Ａ
Ｄ
Ｃ
F
E
Ｒ＝５０cm；
ＣＤ＝８０cm
C
D
作垂径，连半径，构造
直角三角形
注意圆的对称性
1.如图，AB,CD是⊙O的两条平行弦，AC与BD相等吗？为什么？
⌒
⌒
2.在半径为5cm的⊙ O中，弦AB∥CD,且AB=6cm,CD=8cm,求AB,CD之间的距离
3.如图，∠C=90°，⊙C与AB交于点D，AC=5,CB=12,求AD的长
B
O
C
D
A
D
B
C
A
四、圆的问题可以化归为直线型问题解决。这是
一种研究数学的重要思想
二、垂径定理：
一、圆是轴对称图形，其对称轴是
垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧．
三、垂径定理和勾股定理相结合，构造
直角三角形，可解决计算弦长、半
径、圆心到弦的距离等问题．
任意一
条过圆心的直线（或直径所在直线．）
小结
练习1.如图，⊙O的直径是10，弦 AB的长为8，P是AB上的一个动点，
①则OP的求值范围是 。
②使线段OP的长度为整数值的P点
位置有 个。
p1
p2
P
C
注意圆的轴对称性
3≤OP≤5
5
2．以矩形ABCD的边ＡＢ为直径
的⊙Ｏ交ＣＤ于E、F，DE=1cm,
EF=3cm,则AB=___
3.如上图，⊙O的直径是10，
线段OP的长为3，则过点P
的所有弦中，①最大弦长为 ，
②最短弦长为 ，③弦长为整数
的有 条？
Ａ
Ｂ
Ｃ
Ｄ
连半径，构造
直角三角形
4.CD为⊙O的直径,弦AB⊥CD于点E,CE=1,AB=10,求CD的长.
C
D
A
B
E
O
.
5.如图，OA=OB，AB交⊙O与点C、D，AC与BD是否相等？为什么？
6.在直径为650mm的圆柱形油罐内装进一些油后，其横截面如图，若油面宽AB=600mm，求油的最大深度。
E
D
┌
600
7．如图，在⊙O中，AB、AC为互相垂直且相等的两条弦，OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，求证四边形ADOE是正方形．
D
·
O
A
B
C
E
证明：
∴四边形ADOE为矩形，
又 ∵AC=AB
∴ AE=AD
∴ 四边形ADOE为正方形.
1.判断下列说法的正误
①平分弧的直径必平分弧所对的弦
②平分弦的直线必垂直弦
③垂直于弦的直径平分这条弦
④平分弦的直径垂直于这条弦
⑤弦的垂直平分线是圆的直径
⑥平分弦所对的一条弧的直径必垂直这条弦
⑦在圆中，如果一条直线经过圆心且平分弦，
必平分此弦所对的弧
⑧分别过弦的三等分点作弦的垂线，将弦所对
的两条弧分别三等分
3.:在圆O中，直径CE⊥AB于
D，OD=4 ㎝，弦AC= ㎝ ，
求圆O的半径。
反思：在⊙ O中，若⊙ O的半径r、
圆心到弦的距离d、弦长a中，
任意知道两个量，可根据 定理求出第三个量：
C
D
B
A
O
2.如图，圆O的弦AB＝8 ㎝ ，
DC＝2㎝，直径CE⊥AB于D，
求半径OC的长。
垂径
4.如图，已知圆O的直径AB与
弦CD相交于G，AE⊥CD于E，
BF⊥CD于F，且圆O的半径为
10㎝，CD=16 ㎝，求AE-BF的长。
5.:如图，CD为圆O的直径，弦
AB交CD于E， ∠ CEB=30°，
DE=9㎝，CE=3㎝，求弦AB的长。
6.已知：如图,⊙O 中,弦AB∥CD,AB＜CD,
直径MN⊥AB,垂足为E,交弦CD于点F.
图中相等的线段有 :
.
图中相等的劣弧有:
.
D
O
B
A
C
M
N
F
E
圆的两条平行弦所夹的弧相等。
小 结
直径平分弦
直径垂直于弦=>
直径平分弦所对的弧
直径垂直于弦
直径平分弦（不是直径）
直径平分弦所对的弧
直径平分弧所对的弦
直径平分弧
直径垂直于弧所对的弦
=>
=>
１、圆的轴对称性
２、垂径定理及其逆定理的图式(共16张PPT)
正多边形：
各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形。
正n边形：如果一个正多边形有n(n≥3)条边，那么这个正多边形叫做正n边形。
三条边相等，三个角也相等（60度）。
四条边都相等，四个角也相等（90度）。
1、菱形是正多边形吗？矩形呢？正方形呢
为什么？
２、正多边形都是轴对称图形，一个正n边形共有n条对称轴，每条对称轴都通过n边形的中心。
３、边数是偶数的正多边形还是中心对称图形，它的中心就是对称中心。
弦相等（多边形的边相等）
弧相等—
圆周角相等（多边形的角相等）
—多边形是正多边形
A
B
C
D
A
B
C
⌒
⌒
⌒
1
2
3
A
B
C
D
E
4
⌒
⌒
5
证明：∵AB=BC=CD=DE=EA
∴AB=BC=CD=DE=EA
∵BCE=CDA=3AB
∴∠1=∠2
同理∠2=∠3=∠4=∠5
又∵顶点A、B、C、D、E都在⊙O上，
∴五边形ABCDE是⊙O的内接五边形.
⌒
⌒
⌒
⌒
⌒
⌒
⌒
⌒
E
F
C
D
.
.
O
中心角
半径R
边心距r
正多边形的中心:一个正多边形的外接圆的圆心.
正多边形的半径:
外接圆的半径
正多边形的中心角:
正多边形的每一条
边所对的圆心角.
正多边形的边心距：
中心到正多边形的一边的距离.
A
B
E
F
C
D
.
.
O
中心角
A
B
G
边心距把△AOB分成
2个全等的直角三角形
设正多边形的边长为a,半径为R,它的周长为L=na.
R
a
例 有一个亭子它的地基是半径为4m的正六边形,
求地基的周长和面积(精确到0.1平方米).
F
A
D
E
.
.
O
B
C
r
R
P
解:
∴亭子的周长 L=6×4=24(m)
1、正n边形的一个内角的度数是_________;
中心角是___________;
２、正多边形的中心角与外角的大小关系是 ________.
相等
3、正方形ABCD的外接圆圆心
O叫做正方形ABCD的_______.
4、正方形ABCD的内切圆的
半径OE叫做正方形
ABCD的_________.
中心
边心距
.O
A
B
C
D
E
O
５、图中正六边形ABCDEF的中心角是
它的度数是
B
A
E
F
C
D
.O
∠AOB
60度
能力提升
1. 如图，在同心圆中，两圆半径分别为2、1，∠AOB= 120°，则阴影部分的面积为 ( )
A.4π B.2π C.4/3π D.π
B
2. 如图，△ABC为等腰直角三角形，∠A=90°，AB=AC=2，⊙A与BC相切，则图中阴影部分的面积为( )
A.1- B.1-
C.１- D.１-
C
●
A
B
C
D
E
F
3、 如图所示, 已知正六边形ABCDEF的边长为2厘米, 分别以每个顶点为圆心, 以1厘米为半径作弧, 求这些弧所围成的图形(阴影部分)面积.(精确到0.1平方厘米).
H
G
O(共14张PPT)
学 习 目 的
掌握切线的性质定理及其推论，并能运用它们解决有关问题.
问题：
⒈前面我们已学过的切线的性质有哪些？
答：
①切线和圆有且只有一个公共点；
②切线和圆心的距离等于半径.
⒉切线还有什么性质？
观察右图：
如果直线AT是⊙O的切线，A为切点，那么AT和半径OA是不是一定垂直？
A
T
O
M
直线AT切圆O于A AT OA
B
C
[切线的性质定理]
圆的切线垂直于经过切点的半径
推论1 经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点
推论2 经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心
经过圆心
垂直于切线
直线经过切点
垂直于切线
经过圆心
直线经过切点
直线经过切点
经过圆心
切线垂直于半径
1
2
3
O
B
A
C
D
例 如图，AB为⊙O的直径， C为⊙O上一点，AD和过C点的切线互相垂直，垂足为D.
求证：AC平分∠DAB.
CD是⊙O的切线
OC⊥CD
AD⊥CD
OC∥AD
∠1=∠2
OC = OA
∠1=∠3
∠1=∠3
AC平分∠DAB
1
2
3
O
B
A
C
D
证明：如图，连接OC.
(2) 如果半径OA⊥AB，那么AB是
按图填空：(口答)
(1) 如果AB切⊙O于A，
那么
A
O
B
⊙O的切线
切点
(3) 如果AB是⊙O的切线，OA⊥AB，那么A是
⊥
OA
AB.
练习2
如图的两个圆是以O为圆心的同心圆，大圆的弦AB是小圆的切线， C为切点.求证：C是AB的中点.
C
A
B
O
证明：如图，
∴ C是AB的中点.
AC=BC
根据垂径定理，得
OC⊥AB
连接OC, 则
D
C
B
O
A
练习3
如图，在⊙O中，AB为直径， AD为弦， 过B点的切线与AD的延长线交于点C，且AD=DC
求∠ABD的度数.
解： AB为直径
BC为切线
∠ABC=90°
△ABC为直角三角形
AD=DC
∠ADB=90°
AD=DB
∠ADC=90°
△ABD为等腰直角三角形
∠ABD=45°
求证：经过直径两端点的切线互相平行
练习4
D
C
B
A
O
已知：如图，AB 是⊙O的直径，AC、BD是⊙O的切线.
证明：如图，
AB 是⊙O的直径
AC、BD是⊙O的切线
AB⊥AC
AB⊥BD
AC∥BD
求证: AC∥BD
① 切线和圆有且只有一个公共点
③ 圆的切线垂直于经过切点的半径
④ 经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点
⑤ 经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心
② 切线和圆心的距离等于半径
再见(共18张PPT)
24.7 弧长与扇形的面积 (第2课时)
请 你 欣 赏
根据你以前的所学，说说你对圆锥的一些认识。
圆锥的高
母线
S
A
O
B
r
我们把连接圆锥的顶点和底面圆上任一点的线段叫做
圆锥的母线。
连接顶点与底面圆的圆心O的线段叫做圆锥的高
思考圆锥的母线和圆锥的高有哪些性质？
h
l
r
由勾股定理得：
如果用r表示圆锥底面的半径, h表示圆锥的高线长,l表示圆锥的母线长,那么r,h,l之间有怎样的数量关系呢？
r2 + h 2 = l 2
填空: 根据下列条件求值（其中r、h、l分别是圆锥的底面半径、高线、母线长）
（1） l = 2，r = 1 则 h =_______
(2) h = 3, r = 4 则 l =_______
(3) l = 10, h = 8 则r =_______
5
6
A
B
O
C
圆锥的侧面展开图是扇形
A
B
O
C
其侧面展开图扇形的半径=母线的长l
l
S
A
O
B
r
S
A
O
B
侧面展开图扇形的弧长=底面周长
请推导出圆锥的侧面积公式.
S 侧 =πrl (r表示圆锥底面的半径, l 表示圆锥的母线长 )
圆锥的侧面积与底面积的和叫做圆锥的全面积(或表面积).
l
r
做一做
(2)已知一个圆锥的底面半径为12cm，母线长为20cm，则这个圆锥的侧面积为_________，全面积为_______
(1)已知一个圆锥的高为6cm，半径为8cm，则这个圆锥的母长为_______
例1、圆锥形烟囱帽(如图)的母线长为80cm，高为38.7cm,求这个烟囱帽的面积（ 取3.14，结果保留2个有效数字）
解：∵l=80，h=38.7
∴r=
∴S侧=πrl≈3.14×70×80≈1.8×104（cm2）
答：烟囱帽的面积约为1.8×104cm2。
l
h
r
例2：如图所示的扇形中，半径R=10，圆心角θ=144°用这个扇形围成一个圆锥的侧面.
(1)求这个圆锥的底面半径r;
(2)求这个圆锥的高.
A
C
O
B
r
r=4
1.圆锥的底面直径为80cm.母线长为90cm,求它的全面积.
S全=5200 cm2
2.扇形的半径为30,圆心角为120°用它做一个圆锥模型的侧面,求这个圆锥的底面半径和高.
r=10;h=
做一做
例3、蒙古包可以近似地看成由圆锥和圆柱组成的.如果想在某个牧区搭建20个底面积为35m2,高为3.5m,外围高1.5m的蒙古包.那么至少需要用多少m2的帆布 (结果取整数).
·
·
r
h1
h2
思考题：如图，圆锥的底面半径为1，母线长为3，一只蚂蚁要从底面圆周上一点B出发，沿圆锥侧面爬到过母线AB的轴截面上另一母线AC上，问它爬行的最短路线是多少？
A
B
C(共57张PPT)
24.2 圆的基本性质 （第1课时）
“一切立体图形中最美的是球，一切平面图形中最美的是圆”。这是古希腊的数学家毕达哥拉斯一句话。
圆也是一种和谐、美丽的图形，无论从哪个角度看，它都具有同一形状。：
圆有哪些性质？为什么车轮做成圆形？怎样设计一个运动场的跑道？怎样计算蒙古包的用料？在这一章，我们将进一步认识圆，用图形变换等方法研究它，并用圆的知识解决一些实际问题。
一石激起千层浪
奥运五环
福建土楼
乐在其中
小憩片刻
祥子
一、 创设情境 引入新课
如图，在一个平面内，线段OA绕它固定的一个
端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆．
·
r
O
A
固定的端点O叫做圆心
线段OA叫做半径
以点O为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”．
圆的概念
注意:(1)圆是一条封闭曲线(而不是一个圆面)
(2)圆是由圆心和半径确定的,圆心确定圆的位置,半径确定圆的大小)
·
r
O
A
（1）圆上各点到定点（圆心O）的距离都等于定长（半径r）；
（2）到定点的距离等于定长的点都在同一个圆上．
动态：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆．
静态：圆心为O、半径为r的圆可以看成是所有到定点O的距离等于定长r 的点组成的图形．
同心圆
等圆
圆心相同，半径不同
半径相同，圆心不同
确定一个圆的要素:
一是圆心，
二是半径．
把车轮做成圆形，车轮上各点到车轮中心（圆心）的距离都等于车轮的半径，当车轮在平面上滚动时，车轮中心与平面的距离保持不变，因此，当车辆在平坦的路上行驶时，坐车的人会感觉到非常平稳，这也是车轮都做成圆形的数学道理．
思考
思考
车轮做成三角形、正方形可以吗？
练习
1、填空：
（1）根据圆的定义，“圆”指的是“ ”，而不是“圆面”。
（2）圆心和半径是确定一个圆的两个必需条件，圆心决定圆的 ，半径决定圆的 ，二者缺一不可。
圆周
位置
大小
（3）圆上各点到定点 （圆心）的距离都等于 。
定长（半径r)
（4）到定点的距离等于定长的点都在 。
同一个圆上
经过圆心的弦（如图中的AB）叫做直径．
·
C
O
A
B
连接圆上任意两点的线段（如图AC）叫做弦，
与圆有关的概念
弦
(1)直径是弦,但弦不一定是直径
(2)直径是最长的弦
注意
圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧．以A、B为端点的弧记作 ，读作“圆弧AB”或“弧AB”。
圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆。
·
C
O
A
B
弧
AB
大于半圆的弧（用三个字母表示，如图中的 ）叫做优弧。
小于半圆的弧（如图中的 ）叫做劣弧；
·
C
O
A
B
劣弧与优弧
AC
ABC
o
同圆内，半径有无数条，
长度都相等。
思考
o
同圆内，直径有无数条，
长度都相等。
思考
判断下列说法的正误：
(1)弦是直径；
(2)半圆是弧；
(3)过圆心的线段是直径；
(6)圆心相同，半径相等的两个圆是同心圆。
(4)半圆是最长的弧；
(5)直径是最长的弦；
同步练习
1.如何在操场上画一个半径是5m的圆？说出你的理由
首先确定圆心, 然后用5米长的绳子一端固定为圆心端,另一端系在一端尖木棒,木棒以5米长尖端划动一周,所形成的图形就是所画的圆.
根据圆的形成定义
练习
2.设AB=3cm，作图说明满足下列要求的图形：
（1）到点A的距离都等于2cm的点组成的
图形.
（2 )到点B的距离都等于2cm的点组成的图形.
练习
A
B
设AB=3cm，作图说明满足下列要求的图形：
（３）到点A和点B的距离都等于2cm的所有点
组成的图形.
练习
设AB=3cm，作图说明满足下列要求的图形：
（4）到点A和点B的距离都小于2cm的所有点
组成的图形.
练习
设AB=3cm，作图说明满足下列要求的图形：
（5）到点A的距离小于2cm，且到点Ｂ的距离
大于２cm的所有点组成的图形.
练习
变式练习
设ＡＢ＝４cm，作图说明满足下列要求的图形
１．和点Ａ的距离等于３cm,和点Ｂ的距离等于２cm的所有点组成的集合．
设ＡＢ＝４cm，作图说明满足下列要求的图形
２．和点Ａ的距离小于３cm,和点Ｂ的距离小于２cm的所有点组成的集合．
变式练习
同步练习
1、从树木的年轮，可以很清楚的看出树生长的年龄。如果一棵20年树龄的红杉树的树干直径是23cm,这棵红杉树的半径平均每年增加多少？
23÷20=1.15
1.15÷2=0.575
同步练习
（2）如图，图中有 条直径， 条非直径的弦，圆中以A为一个端点的优弧有 条，劣弧有 条。
2.（1） 是圆中最长的弦，它是 的2倍。
直径
半径
一
二
四
四
同步练习
3、判断
（1）半圆是弧，但弧不是半圆。（ ）
（2）过圆上任意一点只能作一条弦，且这条弦是直径。（ ）
（3）弦是直径，但直径不是弦。（ ）
（4）直径是圆中最长的弦。（ ）
同步练习
4、选择
（1）下列说法中，正确的是（ ）。
①线段是弦；②直径是弦；③经过圆心的弦是直径；④经过圆上一点有无数条直径。
A、①② B、②③
C、②④ D、③④
B
（2）如图，⊙O中，点A、O、D以及点B、O、C分别在一条直线上，图中弦的条数为（ ）。
A、2 B、3
C、4 D、5
同步练习
B
同步练习
5、在图中，找出两条弦，一条优弧，一条劣弧。
弦：GH 、CD；
优弧：
劣弧：
6.如图，请正确的方式表示出以点A为端点的优弧及劣弧.
同步练习
议一议
1.小明和小强为了探究 中有没有最长的弦，经过了大量的测量，最后得出一致结论，直径是圆中最长的弦，你认为他们的结论对吗？试说说你的理由.
⊙O
投圈游戏
2. 一些学生正在做投圈游戏,他们呈“一”字型排开,这样的队形对每个人公平吗 你认为他们应当排成什么样的队形
课堂小结：
定义一： 在同一平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫圆。固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径。
１、从运动和集合的观点理解圆的定义：
定义二：圆是到定点的距离等于定长的点的集合。(共26张PPT)
24.1 旋转 （第4课时）
探究
探究
A
B
C
D
O
探究
O
如果一个图形绕一个点旋转180°后，能和原来的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形；这个点叫做它的对称中心；互相重合的点叫做对称点.
B
A
C
D
总结新知
①中心对称图形的概念
②两个图形成中心对称的概念
③成中心对称的两个图形的特征
一个图形绕着中心点旋转1800后能与自身重合，我们就把这种图形叫做中心对称图形, 这个中心点叫做对称中心。
把一个图形绕着某一点旋转1800，如果它能够和另一个图形重合，那么，我们就说这两个图形成中心对称，
在成中心对称的两个图形中，连结对称点的线段都经过对称中心，并且被对称中心平分。
小结
判断下列图形是否是中心对称图形 如果是,那么对称中心在哪
练习
观察图形，并回答下面的问题：
（１）哪些只是轴对称图形？
（２）哪些只是中心对称图形？
（３）哪些既是轴对称图形，又是中心对称图形？
（１）
（３）
（２）
（４）
（５）
（６）
（3）（4）（6）
（1）
（2）（5）
练习
旋转前后的图形完全重合
轴对称图形
中心对称图形
1
有一条对称轴
——
直线
有一个对称中心
——
点
2
图形沿轴对折（翻转
180°
）
图形绕对称中心旋转
180°
3
翻转前后的图形完全重合
中心对称图形与轴对称图形有什么区别与联系？
小结
名称 中心对称 中心对称图形
定义 把一个图形绕着某一个点旋转180 ,如果他能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这点对称，这个点叫做对称中心,两个图形关于点对称也称中心对称，这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点 如果一个图形绕着一个点旋转180 后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心
性质 ①两个图形完全重合；
②对应点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分
————-
区别 ①两个图形的关系
②对称点在两个图形上 ①具有某种性质的一个图形
②对称点在一个图形上
联系 若把中心对称图形的两部分分别看作两个图形，则它们成中心对称，若把中心对称的两个图形看作一个整体，则成为中心对称图形。
小结
中心对称与中心对称图形是两个既有联系又有
区别的概念
区别: 中心对称指两个全等图形的相互位置关系
中心对称图形指一个图形本身成中心对称
联系: 如果将中心对称图形的两个图形看成一个整体,
则它们是中心对称图形
如果将中心对称图形,把对称的部分看成两个图形,则它们是关于中心对称。
小结
中心对称图形与轴对称图形的不同之处为:
中心对称图形 轴对称图形
有一个对称中心——点 有一条对称轴——直线
图形绕中心旋转1800旋转
后仍与原图形重合
图形一部分沿对称轴 翻折
1800,翻折后与另一部
图形重合
小结
下列图形哪些是中心对称图形
巩固练习
等腰三角形
正方形
菱形
矩形
平行四边形
角
线段
指出对称中心或对称轴
是否是轴对称图形
是否是中心对称图形
图形
是
是
是
是
是
是
是
是
是
否
是
是
否
否
练习
1、
2 选择题：
⑴下列图形中即是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A 角 B 等边三角形 C 线段 D平行四边形
C
(2) 下列多边形中，是中心对称图形而不是轴对称图形的是（ ）
A平行四边形 B矩形 C菱形 D正方形
A
(3) 已知：下列命题中真命题的个数是（ ）
①关于中心对称的两个图形一定不全等
②关于中心对称的两个图形是全等形
③两个全等的图形一定关于中心对称
A 0 B 1 C 2 D 3
B
3.已知:如图AD是△ABC中∠A的平分线,DE//AC交AB
于E.DF//AB交AC于E
求证：点E，F关于直线AD对称
证明：∵DE//AC DF//AB
∴四边形AEDF是平行四边形
∵AD平分∠BAC ∴∠1=∠2
∵∠1=∠3 ∴∠2=∠3 ∴AD=DF
∴ AEDF是菱形
∴AD垂直平分EF
则：E, F关于AD对称
2.在①线段、 ②角、 ③等腰三角形、 ④等腰梯形、⑤平行四边形、 ⑥矩形、 ⑦菱形、 ⑧正方形和⑨圆中，是轴对称图形的有__________________,是中心对称图形的有____________,既是轴对称图形又是中心对称图形的有____________.
①⑤⑥⑦⑧⑨
①②③④⑥⑦⑧⑨
①⑥⑦⑧⑨
B
巩固练习
3.下列图形中，属于中心对称图形的有 ；
属于轴对称图形的有 ；
既是中心对称图形又是轴对称图形的有 .
a、b、c、d、e、f、g
a、b、f、g、h
a、b、f、g
a、线段
b、圆
c、等腰梯形
d、等边三角形
e、五角星
f、矩形
g、菱形
h、太极图
4. 判断下列说法是否正确
（1）轴对称图形也是中心对称图形。（ ）
（2）旋转对称图形也是中心对称图形。（ ）
（3）平行四边形、长方形和正方形都是中心对称图形，对角线的交点是它们的对称中心。（ ）
（4）角是轴对称图形也是中心对称图形。（ ）
（5）在成中心对称的两个图形中，对应线段平行
（或在同一直线上）且相等。 （ ）
×
√
×
√
×
5.若两个图形关于某一点成中心对称，那么下列说法：
对称点的连线必过对称中心；
这两个图形一定全等；
对应线段一定平行且相等；
将一个图形绕对称中心旋转180°必定与另一个图形重合。
其中正确的是（ ）。
(A) ①② (B) ①③ (C) ①②③ (D) ①②③④
6.如图，如果正方形CDEF旋转后能与正 方形ABCD重合，那么图形所在的平面 上可以作为旋转中心的点共有（ ）。
(A) 4 (B) 3 (C) 2 (D) 1
C
B
A
B
C
D
E
F
7.正三角形是中心对称图形吗？正方形呢？正五边形呢？正六边形呢？……你能发现什么规律？
边数为偶数的正多边形都是中心对称图形。
8.下面的扑克牌中，哪些牌面是中心对称图形？
9.在26个英文大写正体字母中，哪些字母是中心对称图形？
A B C D E F G H I J K L M
N O P Q R S T U V W X Y Z
中心对称图形
轴对称图形
既是中心对称图形，又是轴对称图形
H I M N
H I N
H I M
H I
10、(共24张PPT)
平移变换
轴对称变换
刮水器
转动的车轮
转动的时针
荡秋千
这些运动有什么共同的特征？
B
O
A
45
0
点Ａ绕＿＿点，往＿＿＿方向，转动了＿＿度到点Ｂ．
Ｏ
顺时针
45
认识旋转
图形的旋转
认识旋转
O
B
A
B
/
A
/
60
0
35
0
B
A
认识旋转
B
A
C
C
O
100
0
O
B
A
B
/
A
/
B
A
B
A
C
C
O
把一个平面图形绕着平面内某一点O转动一个角度，就叫做图形的旋转。
B
O
A
认识旋转
点O叫做旋转中心，
旋转的概念
旋转的三要素:
旋转中心,
旋转方向,
旋转角度.
转动的角叫做旋转角.
你能给旋转下个定义吗
B
A
B
A
C
C
O
找一找
请仔细观察此图,
点A,线段AB,∠ABC分
别转到了什么位置？
点A
点A
线段A
B
∠ B
A
C
线段AB
∠ABC
对应点
对应线段
对应角
试一试
A
B
O
C
D
点B的对应点是________;
线段OB的对应线段是________;
线段CD的对应线段是________;
∠AOB的对应角是________;
∠B的对应角是________;
旋转中心是________;
旋转角是_________________;
如图,△ABO绕点O旋转得到△CDO,则:
点D
线段OD
线段AB
∠COD
∠D
点O
∠AOC
∠BOD
D
E
A
B
F
C
O
问题：
旋转前后的图形全等;
对应点到旋转中心的距离相等;
对应点与旋转中心连线段的夹角等于旋转角.
旋转的性质：
1.在图形的旋转过程中,哪些发生了改变 哪些没有发生
改变
2.分别连结对应点A、D与旋转中心O，量一量线段OA与
线段OD,它们有什么关系 任意找一对对应点,量一下
它们与旋转中心的连线段，你能发现什么规律
3.量一下∠AOD的度数，再任意找几对对应点，分别量
一下对应点与旋转中心连线段的度数，你又能发现
什么规律？
◆旋转前、后的图形全等.
◆对应点到旋转中心的距离相等.
◆每一对对应点与旋转中心的连线所成的角彼此相等.
旋转的基本性质
◆图形的旋转是由旋转中心和旋转的角度决定.
例１：钟表的分针匀速旋转一周需要60分．
（１）指出它的旋转中心；
（２）经过20分，分针旋转了多少度？
解：（１）它的旋转中心是钟表的轴心；
（２）分针匀速旋转一周需要60
分，因此旋转20分，分针
旋转的角度为
例2.如图,正方形ABCD中，E是AD上一点，以点C为中心将△CDE逆时针旋转90°画出旋转后的图形.
B
C
A
D
E
M
如连接EM,那么△CEM是怎样的三角形
等腰直角三角形
1.下列现象中属于旋转的有( )个
①地下水位逐年下降；②传送带的移动；③方向盘的转动；④水龙头开关的转动；⑤钟摆的运动；⑥荡秋千运动.
A.2 B.3 C.4 D.5
随堂练习
2. 下列说法正确的是( )
A.旋转改变图形的形状和大小
B.平移改变图形的位置
C. 图形可以向某方向旋转一定距离
D.由平移得到的图形也一定可由旋转得到
B
C
3.如图，如果正方形CDEF旋转后能与正方形ABCD重合，那么图
形所在的平面上可以作为旋转中心的点共有______个.
3
●
4、 如图：P是等边 ABC内的一点，把 ABP按不同的方向通过旋转得到 BQC和 ACR，
（1）指出旋转中心、旋转方向和旋转角度？
（2） ACR是否可以直接通过把 BQC旋转得到？
A
Q
R
P
C
B
●
O
(1)旋转中心是哪一点
(2)旋转角是多少度
5.如图,在正方形ABCD中,E是CB延长线上一点,△ABE经过旋转后得到△ADF,请按图回答:
A
B
F
C
E
G.
D
. H
(3)∠EAF等于多少度
(4)经过旋转,点B与点E分别移动到
什么位置
(5)若点G是线段BE的中点,经过旋转
后,点G移到了什么位置 请在图形
上作出.
(6)连结EF,请判断△AEF的形状,并说明理由.
(7)试判断四边形ABCD与AFCE面积的大小关系.
6.已知，如图边长为1的正方形EFOG绕与之边长相等的正方形ABCD的中心O旋转任意角度，求图中阴影部分的面积.
6.已知，如图边长为1的正方形EFOG绕与之边长相等的正方形ABCD的中心O旋转任意角度，求图中阴影部分的面积.
可以看作是一个花瓣连续4次旋转所形成的，每次旋转分别等于720 ， 1440 ， 2160 ， 2880
1.香港区徽可以看作是什么“基本图案”通过怎样的旋转而得到的？
2.本图案可以看做是一个菱形通过几次旋转得到的？每次旋转了多少度？
也可以看做是二个相邻菱形通过几次旋转得到的？每次旋转了多少度？
还可以看做是几个菱形通过几次旋转得到的？每次旋转了多少度？
3个 1次 1800
2次 1200 , 2400
5次 600, 1200, 1800, 2400, 3000
3个 1次 600
这节课你学到了什么知识？
你是用什么方法获得这些知识的？
本节课你还有什么地方没有解决吗？
旋转的定义：将一个平面图形绕着平面内某一点O转动一个角度，就叫做图形的旋转. 点O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角.
旋转的性质：
旋转不改变图形的大小与形状，但可改变定向；
旋转前后两图形任意一对对应点与旋转中心的连线所成的角都是旋转角，
对应点到旋转中心的距离相等.(共20张PPT)
1、确定一个圆的位置与大小的条件是什么？
①圆心与半径
2、叙述角平分线的性质与判定
性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等.
判定：到这个角的两边距离相等的点在这个角的平分线上.
3、下图中△ABC与圆O的关系？
△ABC是圆O的内接三角形；
圆O是△ABC的外接圆
圆心O点叫△ABC的外心
或②不在同一直线上的三点
A
B
C
O
李明在一家木料厂上班，工作之余想对厂里的三角形废料进行加工：裁下一块圆形用料，且使圆的面积最大.
下图是他的几种设计，请同学们帮他确定一下.
A
B
C
D
F
E
O
r
C
B
A
思考下列问题：
1．如图1，若⊙O与∠ABC的两边相切，那么圆心O的位置有什么特点？
圆心O在∠ABC的平分线上.
2．如图2，如果⊙O与△ABC的内角∠ABC的两边相切，且与内角∠ACB的两边也相切，那么此⊙O的圆心在什么位置？
圆心O在∠BAC、∠ABC与∠ACB的三个角的角平分线的交点上.
O
M
A
B
C
N
O
图2
A
B
C
探究：三角形内切圆的作法
图1
3．如何确定一个与三角形三边都相切的圆的圆心位置与半径的长？
4．你能作出几个与一个三角形的三边都相切的圆么？内切圆圆心能否在三角形外部？
作出三个内角的平分线，三条内角
平分线相交于一点，这点就是符合
条件的圆心，过圆心作一边的垂线，
垂线段的长是符合条件的半径.
只能作一个，圆心也只能在三角形内部,因为三角形的三条内角平分线在三角形内部,且相交只有一个交点.
I
F
C
A
B
E
D
I
D
作法：
A
B
C
1. 作∠B、∠C的平分线
BM和CN，交点为I.
2．过点I作ID⊥BC，
垂足为D.
3．以I为圆心，ID为
半径作⊙I.
⊙I就是所求的圆.
M
N
试一试,你能画出一个三角形的内切圆吗？
每个学习小组请交流你们的画图方法
1、定义：和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形.
2、性质: 内心到三角形三边的距离相等；内心与顶点连线平分内角.
O
A
B
C
名称 确定方法 图形 性质
外心：三角形外接圆的圆心
内心：三角形内切圆的圆心
三角形三边
中垂线的交
点
1.OA=OB=OC
2.外心不一定在三角形的内部．
三角形三条
角平分线的
交点
1.到三边的距离
相等；
2.OA、OB、OC分别平分∠BAC、∠ABC、∠ACB
3.内心在三角形内部．
O
A
B
C
O
A
B
C
例1 如图，一个木模的上部是圆柱，下部是底面为等边三角形的直三棱柱. 圆柱的下底面圆是直三棱柱上底面等边三角形的内切圆，已知直三棱柱的底面等边三角形的边长为3cm，求圆柱底面圆的半径.
C
A
B
r
O
D
由等边三角形和三角形内切圆的性质可以想到什么
如图是这个木模的俯视图
C
A
B
r
O
D
例1 如图，一个木模的上部是圆柱，下部是底面为等边三角形的直三棱柱.圆柱的下底面圆是直三棱柱上底面等边三角形的内切圆，已知直三棱柱的底面等边三角形的边长为3cm，求圆柱底面圆的半径.
解： 如图是这个木模的俯视图，设圆O切AB于点D，连接OA、
OB、OD.
∵圆O是△ABC的内切圆,
∴AO、BO是∠BAC、∠ABC的角平分线
∵ △ABC是等边三角形,
∴ ∠OAB=∠OBA=30o
∵OD⊥AB，AB=3cm，
∴AD=BD= AB=1.5(cm)
∴OD=AD· tan30o= (cm)
答:圆柱底面圆的半径为 cm.
例２ 如图，已知⊙O 是△ABC的内切圆，切点分别点D、E、F，设△ABC周长为L.
求证：AE＋BC= L
O
A
B
C
F
E
想一想：
常用辅助线及切线的性质
D
圆内接平行四边形是矩形
圆外切平行四边形是_______
F
A
C
B
D
·
O
·
A
B
C
D
O
延伸与拓展
菱形
E
G
H
变式：
求边长为a的等边三角形的
内切圆半径r与外接圆半径R的比.
课本课内练习题1：
求边长为6 cm的等边三角形的内切圆半径r与外接圆半径R.
老师提示：
先画草图，由等腰三角形底边上的中垂
线与顶角平分线重合的性质知，等边三角形
的内切圆与外接圆是两个同心圆.
C
A
B
R
r
O
D
sin∠OBD = sin30°=
A
B
C
O
D
E
F
A
B
C
D
E
F
O
课本课内练习题２：
设△ABC的面积为S，周长为L， △ABC内切圆
的半径为r，你能
得到S= Lr吗？
想想：
要求出三角形的面积
需要哪些量
根据三角形内心的性质,
可以如何添加辅助线
A
B
C
O
c
D
E
r
如：直角三角形的两直角边分别是5cm，12cm，则其内切圆的半径为______.
补充题：
如图，直角三角形的两直角边分别是a、b,斜边为c，则其内切圆的半径r为：
（以含a、b、c的代数式表示r）
2cm
r =
a+b-c
2
以某三角形的内心为圆心，
作一个圆使它与这个三角形
的某一条边（或所在的直线）有两个交点，那么这个圆与其他两边（或所在的直线）有怎样的位置关系？
仔细观察图形，你还能发现什么规律？再作几个三角形试一试，是否有同样的规律？请说明理由．
O
A
B
C
F
Ｅ
D
G
H
I
我有哪些收获？
---与大家共分享！
学 而 不 思 则 罔
回头一看，我想说…
１.定义
２.内心的性质
４.初步应用
３.画三角形的内切圆
如图，设△ABC的边BC=a，CA=b，AB=c，s= (a+b+c)，内切圆I和各边分别相切于D、E、F.
求证：AE=AF=s-a
BF=BD=s-b
CD=CE=s-c
C
B
A
E
D
F
O
r
知 识 的 应 用
再见
