2021-2022学年人教版八年级数学下册18.2.2菱形（判定）课时练习（Word版含答案）

菱形（判定）
一、单选题
1．在四边形ABCD中，对角线AC，BD互相平分，若添加一个条件使得四边形ABCD是菱形，则这个条件可以是（ ）
A．∠ABC＝90° B．AC⊥BD C．AB＝CD D．AB∥CD
2．下列关于菱形、矩形的说法正确的是（　　）
A．对角线相等的四边形是矩形
B．矩形的对角线相等且互相平分
C．对角线互相垂直的四边形是菱形
D．一组对边相等，另一组对边平行的四边形是菱形
3．如图，下列条件能使平行四边形ABCD是菱形的为（ ）
①AC⊥BD；②∠BAD=90°；③AB=BC；④AC=BD．
A．①③ B．②③ C．③④ D．①
4．已知四边形ABCD是平行四边形，对角线AC、BD交于点0，给出下列条件：（1）AB＝AD；（2）AC＝BD；（3）∠BOC＝90°；（4）∠ABC＝∠BCD；（5）∠ADB＝∠CDB．其中能判定四边形ABCD是菱形的方法有（ ）
A．2种 B．3种 C．4种 D．5种
5．如图，下列条件：①；②；③；④，其中不能使平行四边形是菱形的是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
6．如图，在△中，平分，交于点，交于点，若，则四边形的周长是（ ）
A．24 B．28 C．32 D．36
7．将图1所示的长方形纸片对折后得到图2，图2再对折后得到图3，沿图3中的虚线剪下并展开，所得的四边形是（　　）
A．矩形 B．菱形 C．正方形 D．梯形
8．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠C=90°，AB=AD，连接BD，∠BAD的角平分线交BD、BC分别于点O、E，若EC=3，CD=4，则BO的长为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．3
9．如图，两张等宽的纸条交叉重叠在一起，重叠的部分为四边形ABCD，若测得点A，C之间的距离为6cm，点B，D之间的距离为8cm，则纸条的宽为（ ）
A．5cm B．4.8cm C．4.6cm D．4cm
10．如图，在平行四边形中，用直尺和圆规作的平分线交于点E；以点A为圆心，的长为半径画弧交于点F．若，则的长为（ ）
A．16 B．15 C．14 D．13
11．如图，矩形的对角线，相交于点O，．若，则四边形的周长为（ ）．
A．4 B．6 C．8 D．10
12．如图，矩形的对角线，相交于点，点是的中点，连接并延长至，使，连接，，若，则四边形的周长为（ ）
A．8 B．4 C．16 D．6
13．如图，在矩形ABCD中，E、F、G、H分别为边AB、BC、CD、DA的中点．若AB＝4，AD＝6，则图中阴影部分的面积为（　　）
A．12 B．6 C．24 D．3
14．如图，四边形ABCD的对角线相交于点O，且点O是BD的中点．若，，，则四边形ABCD的面积为（ ）
A．48 B．24 C．20 D．15
15．如图，在矩形ABCD中，AB＝5，AD＝12，对角线BD的垂直平分线分别与AD，BC边交于点E、F，则四边形BFDE的面积为（　　）
A． B． C． D．
二、填空题
16．△ABC中，延长BA至D使得AB=AD，延长CA至E使得AC=AE，当△ABC满足条件________时，四边形BCDE是菱形．
17．如图，在菱形中，，，，分别为菱形四条边的中点，连接与，交于点，则图中的菱形共有________个．
18．如图，，，，，那么____时，四边形是菱形．
19．有两个全等矩形纸条，长与宽分别为10和6，按如图所示的方式交叉叠放在一起，则重合部分构成的四边形BGDH的周长为___．
20．如图，在△ABC中，AB＝8，BC＝10，点D为BC边的中点，点E是AB边上一点，连接ED，将△EDB沿DE翻折，得到△DEP，连接PC，PB，PA，若DP经过AC的中点F，且PC＝2，则△AFP的面积是 _____．
三、解答题
21．如图，在 ABCD中，点O是对角线BD的中点，过点O作EF⊥BD，垂足为点O，且交AD，BC分别于点E，F．
求证：四边形BEDF是菱形．
22．如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别为边AB、CD的中点，BD是对角线，过A点作交CB的延长线于点G．
(1)求证：．
(2)若，求证：四边形DEBF是菱形．
23．如图，在四边形ABCD中，，，对角线AC、BD交于点O，AC平分∠BAD，过点C作交AB的延长线于点E．
(1)求证：四边形ABCD是菱形；
(2)若，，求CE的长．
24．如图，在平行四边形ABCD中，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F，AE、AF分别交BD于点G、H．AG=AH．
(1)如图1，求证：平行四边形ABCD是菱形；
(2)如图2，当∠ABC=60°时，连接CH，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中面积等于△BEG面积2倍的所有三角形．
25．如图，四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＝∠D，AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，连接EF．
(1)求证：△AEF是等腰三角形；
(2)若，求证：四边形ABCD为菱形．
26．两个不全等的直角三角形ABC和DEF重叠在一起，其中∠A＝60°，AC＝1．固定△ABC不动，将△DEF进行如下操作：
(1)如图（1），△DEF沿线段AB向右平移（D点在线段AB内移动），连接DC、CF、FB，四边形的形状在不断的变化，但它的面积不变化，请求出其面积；
(2)如图（2），当点移到的中点时，请你猜想四边形的形状，并说明理由．
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．B
解：略
2．B
解：A、错误，对角线相等的平行四边形是矩形；
B、 正确，根据矩形的性质：矩形的对角线相等且互相平分；
C、错误，对角线互相垂直的平行四边形是菱形；
D、错误，一组对边相等，另一组对边平行的四边形可能是等腰梯形、平行四边形、矩形、菱形、正方形．
故选：B．
3．A
解：① ABCD中，AC⊥BD，根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形，即可判定 ABCD是菱形；故①正确；
② ABCD中，∠BAD＝90°，根据有一个角是直角的平行四边形是矩形，即可判定 ABCD是矩形，而不能判定 ABCD是菱形；故②错误；
③ ABCD中，AB＝BC，根据一组邻边相等的平行四边形是菱形，即可判定 ABCD是菱形；故③正确；
④ ABCD中，AC＝BD，根据对角线相等的平行四边形是矩形，即可判定 ABCD是矩形，而不能判定 ABCD是菱形；故④错误．
故正确的为①③
故选：A．
4．B
解：如图，四边形ABCD是平行四边形
（1）四边形ABCD是平行四边形，AB＝AD
平行四边形ABCD是菱形；
（2）四边形ABCD是平行四边形，AC＝BD
平行四边形ABCD是矩形；
（3） ∠BOC＝90°
四边形ABCD是平行四边形
平行四边形ABCD是菱形；
（4）四边形ABCD是平行四边形
∠ABC＝∠BCD
平行四边形ABCD是矩形；
（5）四边形ABCD是平行四边形
∠ADB＝∠CDB
即
平行四边形ABCD是菱形．
其中，能判定四边形ABCD是菱形的方法有3种
故选：B．
5．A
解：①，对角线相等的平行四边形是矩形，故①符合题意；
②，对角线垂直的平行四边形是菱形，故②不符合题意；
③，邻边相等的平行四边形是菱形，故③不符合题意；
④，
∵,
∴,
∴，
∴,邻边相等的平行四边形是菱形，故④不符合题意；
故选：A．
6．C
解：∵
∴四边形是平行四边形
∴，
∵平分
∴
∴
∴平行四边形AEDF是菱形
∴
故选C．
7．B
解：
展得到的图形如上图，
由操作过程可知：AB=CD，BC=AD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AC⊥BD，
∴四边形ABCD为菱形，
故选：B．
8．C
解：连接DE．
在直角三角形CDE中，EC=3，CD=4，根据勾股定理，得DE=5．
∵AB=AD， AE平分
∴AE⊥BD，BO=OD，
∴AE垂直平分BD，∠BAE=∠DAE．
∴DE=BE=5．
∵AD∥BC，
∴∠DAE=∠AEB，
∴∠BAE=∠AEB，
∴AB=BE=5，
∴BC=BE+EC=8，
∴四边形ABED是菱形，
由勾股定理得出，
∴，
故选：C．
9．B
解：作AR⊥BC于R，AS⊥CD于S，连接AC、BD交于点O．
由题意知：AD∥BC，AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵两个矩形等宽，
∴AR=AS，
∵AR BC=AS CD，
∴BC=CD，
∴平行四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
在Rt△AOB中，
∵OA=3cm，OB=4cm，
∴AB==5cm，
∵平行四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC=5cm，
∴菱形ABCD的面积,即，
解得： cm.
故选：B．
10．A
解：如图，连接，设交于点，
平分
四边形是平行四边形
，
又
四边形是平行四边形
四边形是菱形
，
在中，，
故选A
11．C
解：，，
四边形是平行四边形，
四边形是矩形，，
，，，
，
四边形是菱形，
，
四边形的周长，
故选：C．
12．B
解：∵矩形的对角线，相交于点，
∴，
∴OC=OD=1，
∴△OCD是等腰三角形，
∵点是的中点，
∴OM是△OCD的中线，也是高，
∴OM⊥CD，DM=CM，
∵，
∴四边形OCED中，对角线OE与CD互相垂直且平分，
∴四边形OCED菱形，
∴四边形的周长为：；
故选：B．
13．A
解：连接AC，BD，FH，EG，
∵E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，DA的中点，
∴AH＝AD，BF＝BC，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC，ADBC，
∴AH＝BF，AHBF，
∴四边形AHFB是平行四边形，
∴FH＝AB＝2，
同理EG＝AD＝4，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AC＝BD，
∵E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，DA的中点，
∴HGAC，HG＝AC，EFAC，EF＝AC，EH＝BD，
∴EH＝HG，GH＝EF，GHEF，
∴四边形EFGH是平行四边形，
∴平行四边形EFGH是菱形，
∴FH⊥EG，
∴阴影部分EFGH的面积是×HF×EG＝×6×4＝12，
故选：A．
14．B
解：∵AB=AD，点O是BD的中点，
∴AC⊥BD，∠BAO=∠DAO，
∵∠ABD=∠CDB，
∴AB∥CD，
∴∠BAC=∠ACD，
∴∠DAC=∠ACD，
∴AD=CD，
∴AB=CD，
∴四边形ABCD是菱形，
∵AB=5，BO=BD=4，
∴AO=3，
∴AC=2AO=6，
∴四边形ABCD的面积=×6×8=24，
故选：B．
15．A
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠DEO＝∠BFO，∠EDO＝∠FBO，
∵对角线BD的垂直平分线分别与AD，BC边交于点E、F，
∴BO＝DO，EF⊥BD，
∴△DEO≌△BFO（AAS），
∴EO＝FO，
∵BO＝DO，
∴四边形BEDF是平行四边形，
∵EF⊥BD，
∴平行四边形BEDF是菱形，
∴BE＝DE，
∵AB＝5，AD＝12，∠A＝90°，
∴BD＝13，
设DE＝x，则AE＝12﹣x，
在Rt△AEB中，AB2+AE2＝BE2，
即52+（12﹣x）2＝x2，
∴x，
∴BE＝DE，
在Rt△BEO中，OE，
∴EF＝2EO，
∴菱形BEDF的面积，
故选：A．
16．∠BAC=90°
解：如图所示：∵AB=AD，EA=AC，
∴四边形EBCD是平行四边形；
当BD⊥EC时，四边形BCDE是菱形，
此时∠BAC=90°．
故答案为：∠BAC=90°．
17．5
解：∵四边形ABCD是菱形，E，F，F，H分别是菱形四边的中点，
∴AE=AH=HD=GD=CG=CF=FB=BE=OE=OG=OH=OF，
∴四边形AEOH，HOGD，EOFB，OFGC和ABCD均为菱形，共5个．
故答案为：5．
18．
解：当时，四边形是菱形，
证明：∵AD∥BC，AB∥CD，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴∠ADB=30°，
∵，
∴∠ABD=30°=∠ADB，
∴AB=AD，
∴四边形是菱形，
故答案为：．
19．##27.2
解：由题意得：矩形ABCD≌矩形BEDF，
∴∠A=90°，AB=BE=6，AD∥BC，BF∥DE，AD=10，
∴四边形BGDH是平行四边形，
∴平行四边形BGDH的面积=BG×AB=BH×BE，
∴BG=BH，
∴四边形BGDH是菱形，
∴BH=DH=DG=BG，
设BH=DH=x，则AH=10-x，
在Rt△ABH中，由勾股定理得：62+（10-x）2=x2，
解得：x=，
∴BH=，
∴四边形BGDH的周长=4BH=．
故答案为：
20．##
解：过点D作 DM⊥AB于点M，设ED与BP交于点O，
∵点D是BC边的中点，点F是AC的中点，
∴DP∥BE，
∴∠EBD＝∠PDC，
又∵∠EPD＝∠EBD，
∴∠EPD＝∠PDC，
∴EP∥BD，
∴四边形BDPE为平行四边形，
又∵BD＝DP，
∴平行四边形BDPE为菱形，
∴EP＝BD＝BE＝DP＝CD＝5，BP⊥ED，
∴四边形 EPCD为平行四边形，
∴ED＝PC＝2，ED∥CP，
∵DP∥BE，即DP∥EG，
∴四边形EDPG是平行四边形，
∴EG＝DP＝5，PG＝ED＝2，
∴PG＝CP，
∴PF是△ACG中位线，
∵AE＝AB﹣BE＝8﹣5＝3，
∴AG＝EG﹣AE＝5﹣3＝2，
∴PFAG＝1，
在 Rt△BOE中，
BE＝BD＝5，EODE＝1，
∴BO2，
∴S△BDEDE BO＝2BE DM，
∴DM，
∵平行线间的距离相等，△AFP以PF为底，高即为，
∴S△AFPPF1，
故答案为：．
21．证明见解析
解：∵四边形ABCD是平行四边形，O为对角线BD的中点，
∴BO=DO，AD∥BC，
∴∠EDB=∠FBO，
在△EOD和△FOB中，，
∴△DOE≌△BOF（ASA）；
∴OE=OF，
又∵OB=OD，
∴四边形BEDF是平行四边形，
∵EF⊥BD，
∴平行四边形BEDF为菱形．
22．(1)见解析 (2)见解析
(1)
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴，，，
∵E、F分别为边AB、CD的中点，
∴，．
∴四边形DEBF是平行四边形，
∴．
(2)
∵，，
∴．
又∵F分别为边CD的中点，
∴．
∴平行四边形DEBF是菱形．
23．(1)见解析； (2)
(1)
证明：∵，
∴，
∵AC平分∠BAD，
∴，
∴，
∴，
∵AB=AD，
∴，
∵，
∴四边形ABCD是平行四边形，
又∵，
∴四边形ABCD是菱形；
(2)
∵四边形ABCD是菱形，BD＝6，AC=8，
∴，，，
∴，
在中，根据勾股定理可知，
，
∴菱形的面积，
∵，
∴菱形面积，
∴．
24．(1)见解析；
(2)面积等于△BEG面积2倍的所有三角形有：△ABG，△ADH，△AGH，△DHC
(1)
证明：∵AG=AH，
∴∠AGH=∠AHG，
∵∠AGH=∠BGE，∠DHF=∠AHG，
∴∠BGE=∠DHF，
∵AE⊥BC，AF⊥CD，
∴∠BEG=∠DFH，
∴∠EBG=∠FDH，
∴∠CBD=∠CDB，
∴BC=CD，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴平行四边形ABCD是菱形；
(2)
解：面积等于△BEG面积2倍的三角形有：△ABG，△ADH，△AGH，△DHC，
∵四边形ABCD是菱形，∠ABC=60°，AE⊥BC，AF⊥CD，
∴∠DBC=∠ABD=∠BAE=∠DAF=30°，
设GE=a，
∴BG=2a，BE=a，
∵∠ABG=∠BAG=30°，
∴AG=BG=2a，
∴S△ABG=2S△BEG；
在△ABG和△ADH中，
，
∴△ABG≌△ADH（SAS），
同理△CDH≌△ADH（SAS），
∴△ABG≌△ADH≌△CDH，
∴S△ABG=S△ADH=S△CDH=2S△BEG；
∵∠GAH=120°-30°-30°=60°，AG=AH，
∴△AGH是等边三角形，
∴GH=AG=BG，
∴S△AGH=S△ABG=2S△BEG；
综上所述：面积等于△BEG面积2倍的所有三角形有：△ABG，△ADH，△AGH，△DHC．
25．(1)见解析 (2)见解析
(1)
证明：∵AE⊥BC，AF⊥CD，
∴∠AEB＝∠AFD＝90°，
在△ABE和△ADF中，
，
∴△ABE≌△ADF（AAS），
∴AE＝AF，
∴△AEF是等腰三角形；
(2)
∵，
∴∠B+∠C＝180°，
∵∠B＝∠D，
∴∠D+∠C＝180°，
∴，
∴四边形ABCD为平行四边形，
又∵AB＝AD，
∴平行四边形ABCD为菱形．
26．(1) (2)四边形是菱形，理由见解析
(1)
解:过点作，垂足是点．
由题可知，，，
则四边形是梯形．
在直角中，，，，
，
在直角中，，，，
，，
．
；
(2)
证明：四边形是菱形．
理由如下：在直角中，是的中点，
，
由（1），
，
又，
四边形是平行四边形．
，
四边形是菱形．
答案第1页，共2页