第十五章因式分解复习
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课件40张PPT。15.4.1 因式分解（初级篇）——因式分解的定义与提公因式法复习回顾口答：
试试看
(将下列多项式写成几个整式的乘积) 上面我们把一个多项式化成了几个整式的积的形式，像这样的式子变形叫做把这个多项式 ，也叫做把这个多项式 。分解因式因式分解因式分解整式乘法因式分解与整式乘法是互逆关系 依照定义，判断下列变形是不是因式分解（把多项式化成几个整式的连乘形式） 在式子ma + mb + mc中，m是这个多项式中每一个项都含有的因式，叫做 。公因式ma + mb + mc = m ( a + b + c )ma + mb + mc = m ( a + b + c ) 在下面这个式子的因式分解过程中，先找到这个多项式的公因式，再将原式除以公因式，得到一个新多项式，将这个多项式与公因式相乘即可。
这种方法叫做提公因式法。 提公因式法一般步骤：
1、找到该多项式的公因式，
2、将原式除以公因式，得到一个新多项式
3、把它与公因式相乘。如何准确地找到
多项式的公因式呢？： （1）系数——取各项的最大公约数
（2）字母——取各项相同字母
（3）指数——取各项相同字母的最低次幂
即：相同字母指数取最低的数字
例题精讲最大公因数为3= 3a的最低指数为1ab的最低指数为1b(3a–5bc)= – 4st2(3s2–2t+1)做一做用提公因式法因式分解。提高训练(一)提高训练(二)15.4.2 公式法（中级篇1）——利用平方差公式进行因式分解复习回顾还记得学过的两个最基本的乘法公式吗？平方差公式：完全平方公式：计算：此即运用平方差公式进行因式分解 用文字表述为： 两个数的平方差等于这两个数的和与这两个数的差的积。 尝试练习(对下列各式因式分解)：
① a2 – 9 = ___________________
② 49 – n2 = __________________
(a+3)(a–3)(7+n)(7–n)③ 5s2 – 20t2 = ________________
④ 100x2 – 9y2 =_______________5(s+2t)(s–2t)(10x+3y)(10x–3y) 判断下列各式是否可以
运用平方差公式进行因式分解① x2 + 4
② – 4x2 + y2
③ x4 – 1
④ 6x3 – 54xy2
⑤ (x+p)2 – (x–q)2= y2 – 4x2 = (y+2x)(y–2x)
② – 4x2 + y2
或者= – ( 4x2 – y2 ) = – (2x+y)(2x–y)= (x2)2 – 12
= (x2+1) (x2–1)③ x4 – 1(x2–1)(x+1)(x–1)因式分解一定要分解彻底 !④ x2 – x6
= x2 – (x3)2
= (x+x3)(x–x3)
= x·(1+x2)·x·(1–x2)
= x2(1+x2)(1+x)(1–x)④ x2 – x6
= x2 (1–x4)
= x2 (1+x2)(1–x2)
= x2 (1+x2)(1+x)(1–x)更简便！ 在我们现学过的因式分解方法中，
先考虑提取公因式，再考虑用公式法。⑤ 6x3 – 54xy2
= 6x (x2–9y2)
= 6x (x+3y)(x–3y)
⑥ (x+p)2 – (x–q)2
= [ (x+p)+(x–q) ]·[ (x+p)–(x–q) ]
= (2x+p–q)(p+q)YXYXYX提高训练(一)15.4.2 公式法（中级篇2）——利用完全平方公式进行因式分解复习回顾还记得前面学的完全平方公式吗？计算：这个公式可以用文字表述为： 两个数的平方和加上（或减去）这两个数的积的两倍，等于这两个数的和（或差）的平方。 牛刀小试(对下列各式因式分解)：
① a2+6a+9 = _________________
② n2–10n+25 = _______________
③ 4t2–8t+4 = _________________
④ 4x2–12xy+9y2 = _____________(a+3)2(n–5)24(t–1)2(2x–3y)2 判断下列各式是否可以
运用完全平方公式进行因式分解① 16x2 + 24x + 9
② – 4x2 + 4xy – y2
③ x2 + 2x – 1
④ 4x2 – 8xy + 4y2
⑤ 1 – 2a2 + a4
⑥ (p+q)2 – 12(p+q) + 36 形如a2±2ab+b2的式子叫做完全平方式。 完全平方式一定可以利用完全平方公式因式分解完全平方式的特点：
1、必须是三项式（或可以看成三项的）
2、有两个同号的平方项
3、有一个乘积项（等于平方项底数的±2倍）
简记口诀：
首平方，尾平方，首尾两倍在中央。① 16x2 + 24x + 9
② – 4x2 + 4xy – y2
④ 4x2 – 8xy + 4y2= (4x+3)2= – (4x2–4xy+y2)= – (2x–y)2= 4 (x2–2xy+y2)= 4 (x–y)2 – 2a2 +
⑥ (p+q)2 – 12(p+q) + 36a41= (a2–1)2= (a+1)2 (a–1)2= [(a+1) (a–1)]2= (p+q–6)2XXX做一做 用完全平方公式进行因式分解。做一做 用恰当的方法进行因式分解。备选方法：
提公因式法
平方差公式
完全平方公式
15.4.3* 因式分解（高级篇）——因式分解的其他常用方法知识结构因式分解常用方法提公因式法
公式法
十字相乘法
一、提公因式法 只需找到多项式中的公因式，然后用原多项式除以公因式，把所得的商与公因式相乘即可。往往与其他方法结合起来用。三、十字相乘法①前面出现了一个公式：
(x+p)(x+q)=x2+(p+q)x+pq
我们可以用它进行因式分解（适用于二次三项式）例1：因式分解x2+4x+3
可以看出常数项 3 = 1×3
而一次项系数 4 = 1 + 3
∴原式=(x+1)(x+3)暂且称为p、q型因式分解例2：因式分解x2–7x+10
可以看出常数项10 = (–2)×(–5)
而一次项系数 –7 = (–2) + (–5)
∴原式=(x–2)(x–5) 既然是二次式，就可以写成(ax+b)(cx+d)的形式。
(ax+b)(cx+d)=acx2+(ad+bc)x+bd
这个公式简单的说，，需要将二次项系数与常数项分别拆成两个数的积，而这四个数中，两个数的积与另外两个数的积之和刚好等于一次项系数，那么因式分解就成功了。三、十字相乘法②试因式分解6x2+7x+2。
这里就要用到十字相乘法（适用于二次三项式）。= 173 x2 + 11 x + 106 x2 + 7 x + 22
31
24+ 3= 7∴6x2+7x+2=(2x+1)(3x+2)1
35
22+ 15= 111
32
55+ 6∴3x2+11x+10=(x+2)(3x+5)
试试看
(将下列多项式写成几个整式的乘积) 上面我们把一个多项式化成了几个整式的积的形式，像这样的式子变形叫做把这个多项式 ，也叫做把这个多项式 。分解因式因式分解因式分解整式乘法因式分解与整式乘法是互逆关系 依照定义，判断下列变形是不是因式分解（把多项式化成几个整式的连乘形式） 在式子ma + mb + mc中，m是这个多项式中每一个项都含有的因式，叫做 。公因式ma + mb + mc = m ( a + b + c )ma + mb + mc = m ( a + b + c ) 在下面这个式子的因式分解过程中，先找到这个多项式的公因式，再将原式除以公因式，得到一个新多项式，将这个多项式与公因式相乘即可。
这种方法叫做提公因式法。 提公因式法一般步骤：
1、找到该多项式的公因式，
2、将原式除以公因式，得到一个新多项式
3、把它与公因式相乘。如何准确地找到
多项式的公因式呢？： （1）系数——取各项的最大公约数
（2）字母——取各项相同字母
（3）指数——取各项相同字母的最低次幂
即：相同字母指数取最低的数字
例题精讲最大公因数为3= 3a的最低指数为1ab的最低指数为1b(3a–5bc)= – 4st2(3s2–2t+1)做一做用提公因式法因式分解。提高训练(一)提高训练(二)15.4.2 公式法（中级篇1）——利用平方差公式进行因式分解复习回顾还记得学过的两个最基本的乘法公式吗？平方差公式：完全平方公式：计算：此即运用平方差公式进行因式分解 用文字表述为： 两个数的平方差等于这两个数的和与这两个数的差的积。 尝试练习(对下列各式因式分解)：
① a2 – 9 = ___________________
② 49 – n2 = __________________
(a+3)(a–3)(7+n)(7–n)③ 5s2 – 20t2 = ________________
④ 100x2 – 9y2 =_______________5(s+2t)(s–2t)(10x+3y)(10x–3y) 判断下列各式是否可以
运用平方差公式进行因式分解① x2 + 4
② – 4x2 + y2
③ x4 – 1
④ 6x3 – 54xy2
⑤ (x+p)2 – (x–q)2= y2 – 4x2 = (y+2x)(y–2x)
② – 4x2 + y2
或者= – ( 4x2 – y2 ) = – (2x+y)(2x–y)= (x2)2 – 12
= (x2+1) (x2–1)③ x4 – 1(x2–1)(x+1)(x–1)因式分解一定要分解彻底 !④ x2 – x6
= x2 – (x3)2
= (x+x3)(x–x3)
= x·(1+x2)·x·(1–x2)
= x2(1+x2)(1+x)(1–x)④ x2 – x6
= x2 (1–x4)
= x2 (1+x2)(1–x2)
= x2 (1+x2)(1+x)(1–x)更简便！ 在我们现学过的因式分解方法中，
先考虑提取公因式，再考虑用公式法。⑤ 6x3 – 54xy2
= 6x (x2–9y2)
= 6x (x+3y)(x–3y)
⑥ (x+p)2 – (x–q)2
= [ (x+p)+(x–q) ]·[ (x+p)–(x–q) ]
= (2x+p–q)(p+q)YXYXYX提高训练(一)15.4.2 公式法（中级篇2）——利用完全平方公式进行因式分解复习回顾还记得前面学的完全平方公式吗？计算：这个公式可以用文字表述为： 两个数的平方和加上（或减去）这两个数的积的两倍，等于这两个数的和（或差）的平方。 牛刀小试(对下列各式因式分解)：
① a2+6a+9 = _________________
② n2–10n+25 = _______________
③ 4t2–8t+4 = _________________
④ 4x2–12xy+9y2 = _____________(a+3)2(n–5)24(t–1)2(2x–3y)2 判断下列各式是否可以
运用完全平方公式进行因式分解① 16x2 + 24x + 9
② – 4x2 + 4xy – y2
③ x2 + 2x – 1
④ 4x2 – 8xy + 4y2
⑤ 1 – 2a2 + a4
⑥ (p+q)2 – 12(p+q) + 36 形如a2±2ab+b2的式子叫做完全平方式。 完全平方式一定可以利用完全平方公式因式分解完全平方式的特点：
1、必须是三项式（或可以看成三项的）
2、有两个同号的平方项
3、有一个乘积项（等于平方项底数的±2倍）
简记口诀：
首平方，尾平方，首尾两倍在中央。① 16x2 + 24x + 9
② – 4x2 + 4xy – y2
④ 4x2 – 8xy + 4y2= (4x+3)2= – (4x2–4xy+y2)= – (2x–y)2= 4 (x2–2xy+y2)= 4 (x–y)2 – 2a2 +
⑥ (p+q)2 – 12(p+q) + 36a41= (a2–1)2= (a+1)2 (a–1)2= [(a+1) (a–1)]2= (p+q–6)2XXX做一做 用完全平方公式进行因式分解。做一做 用恰当的方法进行因式分解。备选方法：
提公因式法
平方差公式
完全平方公式
15.4.3* 因式分解（高级篇）——因式分解的其他常用方法知识结构因式分解常用方法提公因式法
公式法
十字相乘法
一、提公因式法 只需找到多项式中的公因式，然后用原多项式除以公因式，把所得的商与公因式相乘即可。往往与其他方法结合起来用。三、十字相乘法①前面出现了一个公式：
(x+p)(x+q)=x2+(p+q)x+pq
我们可以用它进行因式分解（适用于二次三项式）例1：因式分解x2+4x+3
可以看出常数项 3 = 1×3
而一次项系数 4 = 1 + 3
∴原式=(x+1)(x+3)暂且称为p、q型因式分解例2：因式分解x2–7x+10
可以看出常数项10 = (–2)×(–5)
而一次项系数 –7 = (–2) + (–5)
∴原式=(x–2)(x–5) 既然是二次式，就可以写成(ax+b)(cx+d)的形式。
(ax+b)(cx+d)=acx2+(ad+bc)x+bd
这个公式简单的说，，需要将二次项系数与常数项分别拆成两个数的积，而这四个数中，两个数的积与另外两个数的积之和刚好等于一次项系数，那么因式分解就成功了。三、十字相乘法②试因式分解6x2+7x+2。
这里就要用到十字相乘法（适用于二次三项式）。= 173 x2 + 11 x + 106 x2 + 7 x + 22
31
24+ 3= 7∴6x2+7x+2=(2x+1)(3x+2)1
35
22+ 15= 111
32
55+ 6∴3x2+11x+10=(x+2)(3x+5)