2021-2022学年人教版数学八年级下册18.2.3正方形（性质）课时练习（Word版含答案）

正方形（性质）
一、单选题
1．下列性质中，平行四边形，矩形，菱形，正方形共有的性质是（ ）
A．对角线相等 B．对角线互相垂直
C．对角线互相平分 D．对角线平分内角
2．正方形的一条对角线长为2，则正方形的周长为（ ）
A．4 B．8 C． D．
3．如图，直线l上有三个正方形A、B、C，若正方形A、C的边长分别为5和7，则正方形B的面积为（）
A．36 B．49 C．74 D．81
4．如图，延长正方形的边至点E，使得．连结交边于点F，则的大小是（ ）
A．105度 B．112.5度 C．120度 D．135度
5．如图，在正方形ABCD中，E、F是对角线BD上的点，AB＝BF＝DE，则∠EAF的度数为（ ）
A．22.5° B．30° C．45° D．67.5°
6．如图，正方形ABCD中，点F为AB上一点，CF与BD交于点E，连接AE，若∠BCF=20°，则∠AEF的度数（ ）
A．35° B．40° C．45° D．50°
7．如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD为正方形，点A的坐标为，点B的坐标为，点E为对角线的交点，点F与点E关于y轴对称，则点F的坐标为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，点P是线段AB上任意一点，在AB同侧作正方形ACDP、正方形PEFB，连接DF、PF，已知AB＝10，当△PDF的面积为8时，AP的长为（　 　）
A．2 B．8 C．2或8 D．4
9．如图，正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，H为CD边中点，正方形ABCD的周长为8，则OH的长为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
10．如图，正方形ABCD的边长为2，E为AB边的中点，点F在BC边上，点B关于直线EF的对称点记为B′，连接．当点F在BC边上移动使得四边形成为正方形时，的长为（ ）
A． B． C．2 D．3
11．正方形ABCD的一条对角线长为6，则这个正方形的面积是（　 　）
A．9 B．18 C．24 D．36
12．如图，长方形ABCD的周长是12cm，分别以AB，AD为边向外作正方形ABEF和正方形ADGH，若正方形ABEF和ADGH的面积之和为20 ，那么长方形ABCD的面积是（ ）
A．6 B．7 C．8 D．4
13．如图，正方形纸片的边长为12，点F是上一点，将沿折叠，点D落在点G处，连接并延长交于点E．若，则的长为（ ）
A． B． C． D．
14．如图，正方形ABCD的对角线相交于点O，以点O为顶点的正方形OEGF的两边OE，OF分别交正方形ABCD的两边AB，BC于点M，N，记的面积为，的面积为，若正方形的边长，，则的大小为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
15．如图，正方形纸片ABCD，P为正方形AD边上的一点（不与点A，点D重合）．将正方形纸片折叠，使点B落在点P处，点C落在点G处，PG交DC于点H，折痕为EF，连接BP，BH，BH交EF于点M，连接PM．下列结论：①BE＝PE；②BP＝EF；③PB平分∠APG；④PH＝AP+HC；⑤MH＝MF，其中正确结论的个数是（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
二、填空题
16．如图，在正方形ABCD中，点O在内，，则的度数为______．
17．如图，正方形ABCD的边长为4，点P是对角线BD上的一个动点，点E在AB上且AE＝1，则PAE周长的最小值为___．
18．三国时期，数学家赵爽绘制了“勾股圆方图”，又叫“赵爽弦图”，如图所示，△ABH、△BCG、△CDF和△DAE是四个全等的直角三角形，四边形ABCD和四边形EFGH都是正方形，如果EF＝2，AH＝6，那么四边形ABCD的面积等于_____．
19．如图所示，正方形的边长为1，其面积标记为，以为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为，…，按照此规律继续下去，则的值为_________．
20．如图，RtABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，以AB，BC，AC为边在AB同侧作正方形ABDE，正方形BCFG，正方形ACMN，点E恰好在边MN上，GF的延长线能经过点D．图中阴影部分的面积为_____________．
三、解答题
21．如图，点E是正方形ABCD外一点，点F是线段AE上一点，且△EBF是等腰直角三角形，其中∠EBF＝90°，连接CE、CF．求证：AF＝CE．
22．如图：正方形ABCD中，点E、F分别在边BC、CD上，BE＝CF，连接AE，BF交于点O，点M为AB中点，连接OM，求证：．
23．如图，在正方形ABCD中，E是BC的中点，连接AE，过点B作射线BM交CD于点F，
交AE于点O，且BF⊥AE ．
(1)求证：BF＝AE；
(2)连接OD，猜想OD与AB的数量关系，并证明．
24．在正方形ABCD中，点F是边AB上一点，连接DF，点E为DF中点．连接BE、CE、AE．
(1)求证：△AEB≌△DEC；
(2)当EB=BC时，求∠AFD的度数．
25．在边长为1的正方形ABCD中，点E是射线BC上一动点，AE与BD相交于点M，AE或其延长线与DC或其延长线相交于点F，G是EF的中点，连接CG．
(1)如图1，当点E在BC边上时．求证：CG⊥CM．
(2)如图2，当点E在BC的延长线上时，（1）中的结论是否成立？请说明理由．
(3)在点E运动过程中，当BE的长度多少时，△MCE是等腰三角形？请说明理由．
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．C
解：∵平行四边形的对角线互相平分，
∴矩形，菱形，正方形的对角线也必然互相平分．
故选：C．
2．D
解：因为正方形的一条对角线长为2，
设正方形的边长为，
根据勾股定理，得，
解得，
所以正方形的边长为，
则正方形的周长为．
故选：D．
3．C
解：根据正方形的性质得出∠EFG=∠EGH=∠HMG=90°，EG=GH，
∵∠FEG+∠EGF=90°，∠EGF+∠HGM=90°，
∴∠FEG=∠HGM，
在△EFG和△GMH中，
，
∴△EFG≌△GMH（AAS），
∴FG=MH，GM=EF，
∵A，C的边长分别为5和7，
∴EF2=52， HM2=72，
∴B的面积为EG2=EF2+FG2=EF2+HM2=25+49=74，
故答案为：C．
4．B
解：∵AC是正方形的对角线，
∴AC平分∠BCD，且∠BCD=90°，
∴∠ACD=∠ACB=45°，
∵∠DCE=∠BCD=90°，
∴∠ACE=∠ACD+∠DCE=45°+90°=135°，
∵AC=CE，
∴∠E=∠CAE=，
∴∠AFC=∠FDE+∠E=90°+22.5°=112.5°．
故选择B．
5．C
解：在正方形中，，，，
，
，
，
．
故选：C．
6．D
解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC=90°，BC=BA，∠ABE=∠CBE=45°．
又BE=BE，
∴△ABE≌△CBE（SAS）．
∴∠BAE=∠BCE=20°．
∵∠ABC=90°，∠BCF=20°
∴∠BFC=180°-∠ABC-∠BCF
=180°-90°-20°
=70°
∵∠BFC=∠BAE+∠AEF
∴∠AEF=∠BFC-∠BAE=70°-20°=50°
故选：D．
7．D
解：∵点A的坐标为（0，2），点B的坐标为（4，0），
∴OA＝2，OB＝4，
过D作DH⊥y轴于H，如图，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝AB，∠DAB＝90°，DE＝BE，
∵∠AHD＝∠AOB＝90°，
∴∠DAH+∠AHD＝∠AHD+∠BAO＝90°，
∴∠ADH＝∠BAO，
∴△ADH≌△BAO（AAS），
∴AH＝OB＝4，DH＝OA＝2，
∴OH＝6，
∴D（2，6），
∵点E是BD的中点，点B的坐标为（4，0），
∴点E的坐标是（，）,
∴E（3，3），
∵点F与点E关于y轴对称，
点F的坐标为（﹣3，3），
故选：D．
8．C
解：设，则，
四边形和四边形都是正方形，
，
，
即，解得或，
故选：C．
9．D
解：由题意知是的中位线
∴
∵正方形ABCD的周长为8
∴
∴
故选D．
10．A
解：如图，连接BB'，连接BD，
∵四边形ABCD是正方形，且边长为2，
∴BD=AB=，BD平分∠ABC，
∵点E是AB的中点，
∴AE=BE=1，
∵四边形是正方形，
∴，平分∠ABC，
∴点B，点，点D三点共线，
∴.
故选：A.
11．B
解：在正方形中，对角线相等，所以正方形ABCD的对角线长均为6，
∵正方形又是菱形，菱形的面积计算公式是（a、b是正方形对角线长度）
∴，
故选：B．
12．C
解：设AB=x，AD=y，
∵长方形ABCD的周长是12cm，正方形ABEF和ADGH的面积之和为20 ，
∴x+y=6，，
∴，
∴，
∴，
故选C．
13．C
解：设CF与DE交于点O，
将△CDF沿CF折叠，点D落在点G处，
GO=DO， CF⊥DG，
四边形ABCD是正方形，
AD=CD，∠A=∠ADC=90°=∠FOD， ，
∠CFD+∠FCD=90°=∠CFD+∠ADE，
∠ADE=∠FCD，
在△ADE和△DCF中，
( ASA )，
AE=DF=5，
AE=5， AD=12，
DE=，
CF⊥DG， ，
，
，
DO==GO，
EG=
故答案为：C
14．D
解：∵正方形ABCD的对角线AC，BD交于点O，
∴OC=OD=BO=AO，∠ABO=∠ACB=45°，AC⊥BD．
∵∠MOB+∠BON=90°，∠BON+∠CON=90°
∴∠BOM=∠CON，且OC=OB，∠ABO=∠ACB=45°，
∴△BOM≌△CON（ASA），=S△BOM，
∴，
∵=S正方形ABCD，正方形的边长，，
∴=S正方形ABCD -=.
故选：D.
15．B
解：∵折痕为EF，
∴四边形EBCF与四边形EPGF全等
∴BE=PE，
故①正确；
如图2，作FK⊥AB于K．设EF交BP于O．
∵四边形ABCD为正方形，
∴AB=BC，∠A=∠ABC=∠C=90°，
∵FK⊥AB，
∴∠FKB=90°，
∴∠FKB＝∠KBC＝∠C＝90°，
∴四边形BCFK是矩形，
∴KF＝BC＝AB，
∵EF为对称轴，点B与点P为对称点，
∴EF⊥PB，
∴∠BOE＝90°，
∵∠ABP+∠BEO＝90°，∠BEO+∠EFK＝90°，
∴∠ABP＝∠EFK，
在△ABP和△KFE中，
，
∴△ABP≌△KFE（ASA），
∴EF＝BP，故②正确，
∵BE=PE，
∴∠EBP＝∠EPB．
又∵∠EPH＝∠EBC＝90°，
∴∠EPH﹣∠EPB＝∠EBC﹣∠EBP．
即∠PBC＝∠BPH．
又∵AD∥BC，
∴∠APB＝∠PBC．
∴∠APB＝∠BPH．故③正确；
如图3，过B作BQ⊥PH，垂足为Q．
∴∠PQB=∠HQB=90°，
由（1）知∠APB＝∠BPH，
在△APB和△QPB中，
，
∴△ABP≌△QBP（AAS），
∴AP＝QP，AB=QB，
又∵AB＝BC，
∴BC＝BQ．
∵∠HQB=90°，∠C=90°
在Rt△BCH和Rt△BQH中
，
∴Rt△BCH≌Rt△BQH（HL），
∴CH＝QH，
∴QP+QH＝AP+CH，即PH＝AP+CH，故④正确；
设EF与BP的交点为点N，如图4，
∵Rt△ABP≌Rt△QBP，△BCH≌△BQH，
∴∠ABP＝∠QBP，∠CBH＝∠QBH，
∴∠QBP+∠QBH＝∠ABP+∠CBH，
即∠PBM＝45°，
由折叠知，∠BPM＝∠PBM＝45°，∠EBM＝∠EPM，∠PNF＝∠BNF＝90°，
∵AB∥CD，
∴∠MHF＝∠EBM＝∠EPM＝45°+∠EPN，
∵在四边形DPNF中，∠D＝∠PNF＝90°，
∴∠MFH+∠DPN＝180°，
∵∠DPN+∠APN＝180°，
∴∠APN＝∠MFH，
假设MH=MF，
∴∠MHF=∠MFH=∠APB，
在△ABP和△CBH中，
，
∴△ABP≌△CBH（AAS），
∴∠ABP=∠CBH，
∵∠ABP+∠CBH=45°，
∴∠ABP=∠CBH=22.5°，
∵点P在AD上，
∴0≤∠ABP≤45°，
∴∠ABP=22.5°与0≤∠ABP≤45°相矛盾，
∴假设不正确，故⑤错误．
故选：B．
16．135°
解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠CAD=45°，
∴∠OAC+∠OAD=45°，
又∵∠OAC=∠ODA，
∴∠ODA+∠OAD=45°，
∴∠AOD=180°-∠ODA-∠OAD=135°，
故答案为：135°．
17．6
解：连接CP，CE，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC，∠ABD＝∠CBP，
在△ABP和△CBP中，
，
∴△ABP≌△CBP（SAS），
∴AP＝CP，
∴AP＋PE最小值为CE的长，
∵AE＝1，
∴BE＝AB AE＝3，
在Rt△CBE中，由勾股定理得：
CE＝，
∴△PAE周长的最小值为CE＋AE＝5＋1＝6，
故答案为：6．
18．
解：∵四边形EFGH是正方形
∴GH=EF=2
∵△ABH≌△BCG
∴BG=AH=6
∴BH=BG+GH=6+2=8
∴
∵ △ABH、△BCG、△CDF和△DAE是四个全等的直角三角形
∴这四个直角三角形的面积均为24
∵四边形EFGH是正方形
∴
∴
故答案为：100
19．
解：由题意知，面积为的正方形的边长为1，
面积为的正方形的边长为，
面积为的正方形的边长为，
面积为的正方形的边长为，
……
推导一般性规律为：
∴
故答案为：．
20．13
解：解:如图,设CF与BD交于点Q,
∵∠ACB=90°,AC=4,BC=3
∴在Rt中,利用勾股定理得:
∵四边形ABDE是正方形,
∴∠ABQ=∠D=∠ACB=90°,AB=BD,
∴∠ABC+∠CAB=90°,∠ABC+∠PBD=90°,
∴∠PBD =∠CAB,
∴≌,
∴=,
∴-=-
即:=,
∴S阴=S正方形ABDE-2S△ABC==25-12=13,
故答案为13．
21．见解析
证明：∵正方形ABCD
∴BC＝AB，∠ABC＝90°，
∴∠EBF＝∠ABC＝90°，
∴∠ABF+∠FBC＝∠CBE+∠FBC
∴∠ABF＝∠CBE，
又∵BF＝BE，
∴△ABF≌△CBE（SAS），
∴AF＝CE．
22．见解析
证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC，∠ABE＝∠BCF＝90°，
又BE＝CF，
∴△ABE≌△BCF（SAS）．
∴∠BAE＝∠CBF．
∵∠ABO+∠CBF＝90°，
∴∠ABO+∠BAO＝90°，即∠AOB＝90°．
在Rt△ABO中，M点是斜边AB中点，
∴．
23．(1)见解析 (2)OD=AB，理由见解析
(1)
证明：在正方形ABCD中，∠ABC=∠C=90°，AB=BC，
∴∠BAE+∠AEB=90°，
∵BF⊥AE，
∴∠EOB=90°，
∴∠CBF+∠AEB=90°，
∴∠BAE=∠CBF，
∴△ABE≌△BCF，
∴BF=AE；
(2)
解：OD=AB，理由如下：
如图，延长AD交射线BM于点G，
由（1）得：△ABE≌△BCF，
∴BE=CF，
∵E是BC的中点，
∴，
∴CF=DF，
∵AD∥BC，
∴∠DGF=∠CBF，
在△DGF和△CBF中，
∵∠DGF=∠CBF，∠DFG=∠BFC，DF=CF，
∴△DGF≌△CBF，
∴DG=BC，
∴DG=AD，即OD为△AOG的中线，
∵BF⊥AE，
∴．
24．(1)见详解； (2)∠AFE=75°．
(1)
证明：∵四边形ABCD为正方形，
∴AB=DC，∠FAD=90°=∠CDA，
∵点E为DF中点．
∴AE=FE=DE，
∴∠EAD=∠EDA，
∴∠BAE-∠EAD=∠CDA-∠EDA，即∠BAE=∠CDE，
在△AEB和△DEC，
，
∴△AEB≌△DEC（SAS）；
(2)
解：∵△AEB≌△DEC；
∴BE=CE，
∵EB=BC，
∴BC=BE=CE，
∴∠EBC=∠ECB=∠BEC=60°
∴∠EBF=90°-∠EBC=90°-60°=30°，∠ECD=90°-∠ECB=90°-60°=30°，
∵CE=BC=CD，
∴∠DEC=∠EDC=，
∴∠FEB=180°-∠BEC-∠CED=180°-60°-75°=45°，
∵∠AFE为△FBE的外角，
∴∠AFE=∠FBE+∠FEB=30°+45°=75°．
25．(1)证明见解析 (2)成立，理由见解析 (3)戓，理由见解析
(1)
解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC，∠ABM＝∠CBM，
在△ABM和△CBM中，
，
∴△ABM≌△CBM（SAS）．
∴∠BAM＝∠BCM，
又∵∠ECF＝90°，G是EF的中点，
∴GC＝EF＝GF，
∴∠GCF＝∠GFC，
又∵AB∥DF，
∴∠BAM＝∠GFC，
∴∠BCM＝∠GCF，
∴∠BCM+∠GCE＝∠GCF+∠GCE＝90°，
∴GC⊥CM；
(2)
解：成立；理由如下：
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC，∠ABM＝∠CBM，
在△ABM和△CBM中，
，
∴△ABM≌△CBM（SAS），
∴∠BAM＝∠BCM，
又∵∠ECF＝90°，G是EF的中点，
∴GC＝GF，
∴∠GCF＝∠GFC，
又∵AB∥DF，
∴∠BAM＝∠GFC，
∴∠BCM＝∠GCF，
∴∠GCF+∠MCF＝∠BCM+∠MCF＝90°，
∴GC⊥CM；
(3)
解：分两种情况：①当点E在BC边上时，
∵∠MEC＞90°，要使△MCE是等腰三角形，必须EM＝EC，
∴∠EMC＝∠ECM，
∴∠AEB＝2∠BCM＝2∠BAE，
∴2∠BAE+∠BAE＝90°，
∴∠BAE＝30°，
∴，
∵，
∴
∴；
②当点E在BC的延长线上时，同①知BE＝ ．
综上①②，当BE＝戓BE＝时，△MCE是等腰三角形．
答案第1页，共2页