2021-2022学年人教版八年级数学下册18.2.3正方形（判定）课时练习（Word版含答案）
文档属性
| 名称 | 2021-2022学年人教版八年级数学下册18.2.3正方形（判定）课时练习（Word版含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 897.9KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-03-21 12:11:51 | ||
图片预览
文档简介
正方形（判定）
一、单选题
1．在四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=90°．如果再添加一个条件可推出四边形是正方形，那么这个条件可以是（ ）
A．AB=CD B．BC=CD C．∠D=90° D．AC=BD
2．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，下列条件：①AC⊥BD，②AB=BC，③∠ACB=45°，④OA=OB．上述条件能使矩形ABCD是正方形的是（ ）
A．①②③④ B．①②③ C．②③④ D．①③④
3．如图，在正方体的两个面上画了两条对角线、，则等于（ ）
A．135° B．90° C．75° D．60°
4．如图，在正方形ABCD中，以对角线BD为边作菱形BDFE，连接BF，则∠AFB＝（ ）
A．22.5° B．25° C．30° D．不能确定
5．如图，在边长为的正方形ABCD中，点E是对角线AC上一点，且于点F，连接DE，当时，（ ）
A．1 B． C． D．
6．如图，正方形ABCD的边长为2，E是BC的中点，点P是AC边上的一个动点，连结BP，EP，则BP＋EP的最小值为（ ）
A． B． C． D．＋1
7．如图，在正方形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，M是边AD上一点，连接OM，过点O作ON⊥OM交CD于点N．若S四边形MOND＝2，则BD的长为（ ）
A．2 B． C．4 D．2
8．在正方形中，，，，则点、之间的距离是（ ）
A． B． C．5 D．6
9．如图，以RtABC的斜边AB为边，在AB的右侧作正方形ABDE，对角线AD，BE交于点O，已知，AC=10，BC=6，则OC的长为（ ）
A． B．8 C．12 D．
10．正方形与正方形按如图方式放置，点，，在同一直线上，已知，，连接并取中点，则的长为（ ）
A． B． C． D．
11．如图，将图1中的菱形纸片沿对角线剪成4个直角三角形，拼成如图2的四边形（相邻纸片之间不重叠，无缝隙）．若四边形的面积为13，中间空白处的四边形的面积为1，直角三角形的两条直角边分别为和，则（ ）
A．12 B．13 C．24 D．25
12．将5个边长为2cm的正方形按如图所示摆放，点，，，是正方形的中心，则这个正方形重叠部分的面积和为（ ）
A． B． C． D．
13．如图，矩形ABCD中，AC交BD于点O，且AB=24，BC=10，将AC绕点C顺时针旋转90°至CE．连接AE，且F、G分别为AE、EC的中点，则四边形OFGC的面积是（ ）
A．100 B．144 C．169 D．225
14．如图，已知四边形是正方形，点为对角线上一点，连结，过点作，交延长线上于点，以，为邻边作矩形，连结．若，则的值为（ ）．
A．2 B．3 C．4 D．5
15．如图，已知正方形的边长为4，是对角线上一点，于点，于点，连接，．给出下列结论：①；②四边形的周长为8；③；④的最小值为；⑤；⑥．其中正确结论有几个（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
二、填空题
16．如图，连接四边形ABCD各边的中点，得到四边形EFGH，还要添加_________，才能保证四边形EFGH是正方形．
17．如图在3×3的正方形网格中∠1+∠2﹣∠3+∠4+∠5＝___度．
18．如图，在正方形ABCD中，点M，N为CD，BC上的点，且DM＝CN，AM与DN交于点P，连接AN，点Q为AN中点，连接PQ，若AB＝10，DM＝4，则PQ的长为 __________________．
19．如图，在正方形ABCD中，AB＝4，点E，F分别在边AB，AD上，且AE＝DF＝1．连接CE，BF交于点G，则四边形CDFG（图中阴影部分）的面积是 __________________．
20．如图在正方形ABCD中，∠EAF的两边分别交CB、DC延长线于E、F点且∠EAF＝45°，如果BE＝1，DF＝7，则EF＝__．
三、解答题
21．如图，在正方形ABCD中，E是AD的中点，F是BA延长线上一点，AF＝AB，求证：BE＝FD．
22．如图，四边形ABCD是一个正方形，E、F分别在AD、DC边上，且DE=CF，AF、BE交于O点，请说出线段AF和BE的关系，并证明你的结论．
23．如图，E是正方形ABCD内一点，△BCE是等边三角形，连接DE，AE，延长DE交AB于点F
（1）求证：△ABE≌△DCE；
（2）求∠AED的度数
24．如图，正方形ABCD的对角线交于点O，点E是线段OD上一点，连接EC，作BF⊥CE于点F，交OC于点G．
（1）求证：BG=CE；
（2）若AB=4，BF是∠DBC的角平分线，求OG的长．
25．如图，E、F是正方形ABCD的边AD上的两个动点，满足AE=DF．连接CF交BD于G，连接BE交AG于H．已知正方形ABCD的边长为4cm，解决下列问题：
（1）求证：BE⊥AG；
（2）求线段DH的长度的最小值．
26．在正方形ABCD中，点E是CD边上任意一点．连接AE，过点B作BF⊥AE于F．交AD于H．
(1)如图1，过点D作DG⊥AE于G，求证：△AFB≌△DGA；
(2)如图2，点E为CD的中点，连接DF，求证：FH+FE＝DF；
(3)如图3，AB＝1，连接EH，点P为EH的中点，在点E从点D运动到点C的过程中，点P随之运动，请直接写出点P运动的路径长．
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．B
解：∵∠A=∠B=∠C=90°，
∴四边形ABCD是矩形，
当BC=CD时，四边形ABCD是正方形，
故选：B．
2．B
解：①添加AC⊥BD，根据对角线互相垂直的矩形是正方形，故添加AC⊥BD，能使矩形ABCD成为正方形；
②添加AB=BC，根据有一组邻边相等的矩形是正方形，故添加AB=BC，能使矩形ABCD成为正方形；
③添加∠ACB=45°，
∵∠ABC=90°，
∴∠ACB=B∠AC=45°，
∴AB=BC，根据有一组邻边相等的矩形是正方形，故添加∠ACB=45°，能使矩形ABCD成为正方形；
④∵矩形ABCD中，
∴AC=BD，则AO=BO，故添加OA=OB，不能使矩形ABCD成为正方形；
综上，①②③符合题意，
故选：B．
3．D
解：连接BC，
∵AC、AB、BC是正方形的对角线，
∴AC=AB=BC，
∴△ABC为等边三角形．
∴∠BAC=60°．
故选D．
4．A
解：在正方形ABCD中，∠ADB=∠ADC=×90°=45°，
在菱形BDFE中，BD=DF，
所以，∠DBF=∠AFB，
在△BDF中，∠ADB=∠DBF+∠AFB=2∠AFB=45°，
解得∠AFB=22.5°．
故选：A．
5．C
解：四边形是正方形，
，，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，
故选：C．
6．A
解：连接BD，
∵正方形是轴对称图形，所在的直线是正方形的一条对称轴，
∴无论P在什么位置，都有PD＝PB；
故均有BP+EP＝PD+PE成立；
连接DE与AC，所得的交点，即为BP+EP的最小值时的位置，
如图所示：
此时BP+EP＝DE，
∵正方形ABCD的边长为2，
∴DC＝BC＝2，
∵E是BC的中点，
∴EC＝1，
在Rt△DEC中，
DE＝＝＝，
故选：A．
7．C
解：∵四边形ABCD为正方形，
∴OD＝OB＝OC，∠COD＝90°，∠OCD＝∠ODA＝45°，
∵ON⊥OM，
∴∠MON＝90°，
∵∠CON＋∠DON＝90°，∠DOM＋∠DON＝90°，
∴∠CON＝∠DOM，
在△OCN和△ODM中，
，
∴△OCN≌△ODM（ASA），
∴S△OCN＝S△ODM，
∴S△OCN＋S△DON=S△ODM＋S△DON，
即S△ODC＝S四边形MOND＝2，
∵OD OC＝2，
而OD＝OC，
∴OD＝2，
∴BD＝2OD＝4．
故选：C．
8．A
解：如图所示：
四边形是正方形，
，，
，
在和中，
，
，
，
，
，
，
同理：，
，
即，
同理：，
在和中，
，
，
，，
同理：，，
，
，
四边形是正方形，
；
故选：A．
9．B
解：过点O作OM垂直于CA于点M，作ON垂直于CB的延长线于点N，
∴∠OMC=∠ONC=90°，
∵∠ACB=90°
∴四边形MCNO是矩形，
∴∠MON=90°，
∵正方形ABDE对角线交于点O，
∴OA=OB，∠AOB=90°，
∴∠MON-∠AON=∠AOB-∠AON，
∴∠AOM=∠NOB，
∵∠OMA=∠ONB=90°，
在△AOM和△BON中，
，
∴△AOM≌△BON（AAS），
∴OM=ON，AM=BN，
∴矩形MCNO是正方形，
∴∠ACO=∠BCO=45°，CM=CN=ON
∵AC=10，BC=6，
∴CN=CM=，
由勾股定理得：OC=8．
故选：B．
10．A
解：延长AM交BC于H点，∵四边形与四边形都是正方形，，，
∴BF=，AB=AD=CD=BC=3，
∵点，，在同一直线上，
∴ADCF
∴∠DAM=∠FHM，∠ADM=∠HFM，
又是DF中点，DM=FM
∴△ADM≌△HFM
∴AD=FH=3，AM=HM=AH
∴BH=FH-BF=1
在Rt△ABH中，AH=
∴AM=AH=
故选A．
11．D
解：菱形的对角线互相垂直平分，
个直角三角形全等；
，，
，
四边形是正方形，又正方形的面积为13，
正方形的边长为，
根据勾股定理，则，
中间空白处的四边形的面积为1，
个直角三角形的面积为，
，
，
，
．
故选D．
12．C
解：如图，连接AP，AN，点A是正方形的对角线的交
则AP=AN，∠APF=∠ANE=45°，
∵∠PAF+∠FAN=∠FAN+∠NAE=90°，
∴∠PAF=∠NAE，
∴△PAF≌△NAE，
∴四边形AENF的面积等于△NAP的面积，
而△NAP的面积是正方形的面积的，而正方形的面积为4，
∴四边形AENF的面积为1cm2，四块阴影面积的和为4cm2．
故选C．
13．C
解：四边形为矩形，，
，
分别为的中点，
，
，
四边形为平行四边形，
又绕点顺时针旋转，
，
，
平行四边形为正方形，
四边形的面积是，
故选：C．
14．C
解：如图，作EK⊥BC于点K，EP⊥DC于点P，
∵四边形ABCD为正方形，AC为对角线，
∴，，
∵，，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，
∴矩形DEFG为正方形，
∵，，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：C．
15．D
解：如图，过点作于点，连接，
由题意知
∴四边形为平行四边形
∵
∴四边形为矩形
∴
∵
∴
∵
∴
∴是等腰直角三角形
∴
①∵，
∴为等腰直角三角形
∴
，
∴
∴四边形是平行四边形
∴
∴
故①正确；
②∵
∴四边形为矩形
∴四边形的周长
故②正确；
③四边形为矩形
∵在和中
∵
∴
∴
∴
故③正确；
④∵
当最小时，最小
∴当时，即时，的最小值等于
故④正确；
⑤在和中，，
∴
故⑤正确；
⑥如图1，延长与交于点
∵在和中
∵
∴
∴
∵
∴
∴
故⑥正确；
综上，①②③④⑤⑥正确，
故选：．
16．AC⊥BD，AC=BD## AC=BD， AC⊥BD
解：当AC⊥BD，AC=BD时，四边形EFGH为正方形．
∵点E、F、G、H分别为AB、BC、CD、DA的中点，
∴EF∥AC，EF=AC，GH∥AC，GH=AC，EH∥BD，EH=BD，
∴EF∥GH，EF=GH，
∴四边形EFGH为平行四边形，
当AC⊥BD，AC=BD时，EF⊥EH，EF=EH，
∴四边形EFGH为正方形．
故答案为：AC⊥BD，AC=BD．
17．135°
解：观察图形可知∠1与∠5所在的三角形全等，二角互余，∠2与∠4所在的三角形全等，二角互余，∠3＝45°
∴∠1＋∠5＝90°，∠2＋∠4＝90°，∠3＝45°，
∴∠1＋∠2-∠3＋∠4＋∠5＝（∠1＋∠5）＋（∠2＋∠4）-∠3＝135°．
故答案为：135°．
18．
解：在正方形ABCD中，
AD＝CD，∠ADC＝∠DCN＝90°，
在△ADM与△DCN中，
∵AD＝CD，DM＝CN，∠ADC＝∠DCN，
∴△ADM≌△DCN（SAS），
∴∠DAM＝∠CDN，
∴∠DMA＝∠CND，
在△DPM中，∠PDM+∠PMD＝90°，
∴∠DPM＝90°，
∵∠DPM＝∠APN，
∴△ANP为直角三角形，
AN为直角三角形的斜边，由直角三角形的性质得PQ＝AN，
在△ANB中，AN＝＝2，
∴PQ＝，
故答案为：．
19．
解：连接，
四边形是正方形，
，，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
故答案为：．
20．6
解：如图，把△ABE绕点A逆时针旋转90°到DA，交CD于点G，
由旋转的性质可知，AG＝AE，DG＝BE，∠DAG＝∠BAE，
∵∠EAF＝45°，
∴∠DAG+∠BAF＝45°，
又∵∠BAD＝90°，
∴∠GAF＝45°，
在△AEF和△AGF中，
，
∴△AEF≌△AGF（SAS）
∴EF＝GF，
∵BE＝1，DF＝7，
∴EF＝GF＝DF﹣DG＝DF﹣BE＝7﹣1＝6.
故答案为：6．
21．见解析
证明：∵E是AD的中点，
∴AE=AD，
∵AF=AB，
∵正方形ABCD，
∴AB=AD，∠DAB=∠DAF=90°，
∴AF=AE，
∴Rt△ADF≌Rt△ABE（SAS），
∴BE=DF．
22．AF=BE，AF⊥BE，证明见解析．
解：AF⊥BE，AF=BE,证明如下：
∵正方形ABCD
∴AB=AD=DC,∠D=∠BAD=90°
∵CF=DE
∴AE=AD-DE,DF=DC-CF
∴AE=DF
在△AEB和△AFD中
AB=AD, ∠D=∠BAD, AE=DF
∴△ABE≌△DAF（SAS）
∴∠ABE=∠FAD，AF=BE
∵∠BAD=90°
∴∠ABE+∠AEB=90°
∴∠FAD +∠AEB=90°
∴∠AOE=90°，AF⊥BE．
∴AF=BE，AF⊥BE．
23．（1）见解析；（2）150°
（1）证明：在正方形ABCD中，AB＝DC，∠ABC＝∠BCD＝90°，
∵ △BCE为等边三角形，
∴ BE＝CE，∠EBC＝∠ECB＝60°，
∴ ∠ABC－∠EBC＝∠BCD－∠ECB ，
即：∠ABE＝∠DCE＝30° ，
在△ABE和△DCE中， ，
∴ △ABE≌△DCE，
（2）在正方形ABCD中，∠BAD＝∠ADC＝90°，BC＝CD，
∵ △BCE为等边三角形，
∴ CE＝BC， ，
∵ ，
∴ ，
∴△CDE为等腰三角形， ，
由（1）得：∠DCE＝30°，
∴ ，
由（1）得：△ABE≌△DCE，
∴ ，
∴△ADE为等腰三角形，
∴ ，
∴ ，
24．（1）见解析；（2）．
（1）证明：正方形中，、相交于，
，，
，
，
，
，
，
．
（2）解：是的角平分线，
，
，，
，
，
在中，,
解得：，
，
，
．
25．（1）见解析；(2)2-2．.
（1）证明：在正方形ABCD中，AB=AD=CD，∠BAD=∠CDA，∠ADG=∠CDG，
在△ABE和△DCF中，
，
∴△ABE≌△DCF（SAS），
∴∠1=∠2，
在△ADG和△CDG中，
，
∴△ADG≌△CDG（SAS），
∴∠2=∠3，
∴∠1=∠3，
∵∠BAH+∠3=∠BAD=90°，
∴∠1+∠BAH=90°，
∴∠AHB=180°-90°=90°，
∴BE⊥AG；
（2）解：如图，取AB的中点O，连接OH、OD，
则OH=AO=AB=2，
在Rt△AOD中，OD=，
根据三角形的三边关系，OH+DH＞OD，
∴当O、D、H三点共线时，DH的长度最小，
DH的最小值=OD-OH=2-2．
26．(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)
(1)
证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD，∠BAD＝90°
∵DG⊥AE，BF⊥AE
∴∠AFB＝∠DGA＝90°
∵∠FAB+∠DAG＝90°，∠DAG+∠ADG＝90°
∴∠BAF＝∠ADG
在△AFB和△DGA中
∵
∴△AFB≌△DGA（AAS）．
(2)
证明：如图2，过点D作DK⊥AE于K，DJ⊥BF交BF的延长线于J
由题意知∠BAH＝∠ADE＝90°，AB＝AD＝CD
∵BF⊥AE
∴∠AFB＝90°
∵∠DAE+∠EAB＝90°，∠EAB+∠ABH＝90°
∴∠DAE＝∠ABH
在△ABH和△DAE中
∵
∴△ABH≌△DAE（ASA）
∴AH＝DE
∵点E为CD的中点
∴DE＝EC＝ CD
∴AH＝DH
∴DE＝DH
∵DJ⊥BJ，DK⊥AE
∴∠J＝∠DKE＝∠KFJ＝90°
∴四边形DKFJ是矩形
∴∠JDK＝∠ADC＝90°
∴∠JDH＝∠KDE
在△DJH和△DKE中
∵
∴△DJH≌△DKE（AAS）
∴DJ＝DK，JH＝EK
∴四边形DKFJ是正方形
∴FK＝FJ＝DK＝DJ
∴DF＝FJ
∴
∴FH+FE＝FJ﹣HJ+FK+KE＝2FJ＝DF．
(3)
解：如图3，取AD的中点Q，连接PQ，延长QP交CD于R，过点P作PT⊥CD于T，PK⊥AD于K，设PT＝b
由（2）得△ABH≌△DAE（ASA）
∴AH＝DE
∵∠EDH＝90°，点P为EH的中点
∴PD＝EH＝PH＝PE
∵PK⊥DH，PT⊥DE
∴∠PKD＝∠KDT＝∠PTD＝90°
∴四边形PTDK是矩形
∴PT＝DK＝b，PK＝DT
∵PH＝PD＝PE，PK⊥DH，PT⊥DE
∴PT是△DEH的中位线
∴DH＝2DK＝2b，DE＝2DT
∴AH＝DE＝1﹣2b
∴PK＝ DE＝﹣b，QK＝DQ﹣DK＝﹣b
∴PK＝QK
∵∠PKQ＝90°
∴△PKQ是等腰直角三角形
∴∠KQP＝45°
∴点P在线段QR上运动，△DQR是等腰直角三角形
∴QR＝DQ＝
∴点P的运动轨迹的长为．
答案第1页，共2页
一、单选题
1．在四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=90°．如果再添加一个条件可推出四边形是正方形，那么这个条件可以是（ ）
A．AB=CD B．BC=CD C．∠D=90° D．AC=BD
2．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，下列条件：①AC⊥BD，②AB=BC，③∠ACB=45°，④OA=OB．上述条件能使矩形ABCD是正方形的是（ ）
A．①②③④ B．①②③ C．②③④ D．①③④
3．如图，在正方体的两个面上画了两条对角线、，则等于（ ）
A．135° B．90° C．75° D．60°
4．如图，在正方形ABCD中，以对角线BD为边作菱形BDFE，连接BF，则∠AFB＝（ ）
A．22.5° B．25° C．30° D．不能确定
5．如图，在边长为的正方形ABCD中，点E是对角线AC上一点，且于点F，连接DE，当时，（ ）
A．1 B． C． D．
6．如图，正方形ABCD的边长为2，E是BC的中点，点P是AC边上的一个动点，连结BP，EP，则BP＋EP的最小值为（ ）
A． B． C． D．＋1
7．如图，在正方形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，M是边AD上一点，连接OM，过点O作ON⊥OM交CD于点N．若S四边形MOND＝2，则BD的长为（ ）
A．2 B． C．4 D．2
8．在正方形中，，，，则点、之间的距离是（ ）
A． B． C．5 D．6
9．如图，以RtABC的斜边AB为边，在AB的右侧作正方形ABDE，对角线AD，BE交于点O，已知，AC=10，BC=6，则OC的长为（ ）
A． B．8 C．12 D．
10．正方形与正方形按如图方式放置，点，，在同一直线上，已知，，连接并取中点，则的长为（ ）
A． B． C． D．
11．如图，将图1中的菱形纸片沿对角线剪成4个直角三角形，拼成如图2的四边形（相邻纸片之间不重叠，无缝隙）．若四边形的面积为13，中间空白处的四边形的面积为1，直角三角形的两条直角边分别为和，则（ ）
A．12 B．13 C．24 D．25
12．将5个边长为2cm的正方形按如图所示摆放，点，，，是正方形的中心，则这个正方形重叠部分的面积和为（ ）
A． B． C． D．
13．如图，矩形ABCD中，AC交BD于点O，且AB=24，BC=10，将AC绕点C顺时针旋转90°至CE．连接AE，且F、G分别为AE、EC的中点，则四边形OFGC的面积是（ ）
A．100 B．144 C．169 D．225
14．如图，已知四边形是正方形，点为对角线上一点，连结，过点作，交延长线上于点，以，为邻边作矩形，连结．若，则的值为（ ）．
A．2 B．3 C．4 D．5
15．如图，已知正方形的边长为4，是对角线上一点，于点，于点，连接，．给出下列结论：①；②四边形的周长为8；③；④的最小值为；⑤；⑥．其中正确结论有几个（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
二、填空题
16．如图，连接四边形ABCD各边的中点，得到四边形EFGH，还要添加_________，才能保证四边形EFGH是正方形．
17．如图在3×3的正方形网格中∠1+∠2﹣∠3+∠4+∠5＝___度．
18．如图，在正方形ABCD中，点M，N为CD，BC上的点，且DM＝CN，AM与DN交于点P，连接AN，点Q为AN中点，连接PQ，若AB＝10，DM＝4，则PQ的长为 __________________．
19．如图，在正方形ABCD中，AB＝4，点E，F分别在边AB，AD上，且AE＝DF＝1．连接CE，BF交于点G，则四边形CDFG（图中阴影部分）的面积是 __________________．
20．如图在正方形ABCD中，∠EAF的两边分别交CB、DC延长线于E、F点且∠EAF＝45°，如果BE＝1，DF＝7，则EF＝__．
三、解答题
21．如图，在正方形ABCD中，E是AD的中点，F是BA延长线上一点，AF＝AB，求证：BE＝FD．
22．如图，四边形ABCD是一个正方形，E、F分别在AD、DC边上，且DE=CF，AF、BE交于O点，请说出线段AF和BE的关系，并证明你的结论．
23．如图，E是正方形ABCD内一点，△BCE是等边三角形，连接DE，AE，延长DE交AB于点F
（1）求证：△ABE≌△DCE；
（2）求∠AED的度数
24．如图，正方形ABCD的对角线交于点O，点E是线段OD上一点，连接EC，作BF⊥CE于点F，交OC于点G．
（1）求证：BG=CE；
（2）若AB=4，BF是∠DBC的角平分线，求OG的长．
25．如图，E、F是正方形ABCD的边AD上的两个动点，满足AE=DF．连接CF交BD于G，连接BE交AG于H．已知正方形ABCD的边长为4cm，解决下列问题：
（1）求证：BE⊥AG；
（2）求线段DH的长度的最小值．
26．在正方形ABCD中，点E是CD边上任意一点．连接AE，过点B作BF⊥AE于F．交AD于H．
(1)如图1，过点D作DG⊥AE于G，求证：△AFB≌△DGA；
(2)如图2，点E为CD的中点，连接DF，求证：FH+FE＝DF；
(3)如图3，AB＝1，连接EH，点P为EH的中点，在点E从点D运动到点C的过程中，点P随之运动，请直接写出点P运动的路径长．
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．B
解：∵∠A=∠B=∠C=90°，
∴四边形ABCD是矩形，
当BC=CD时，四边形ABCD是正方形，
故选：B．
2．B
解：①添加AC⊥BD，根据对角线互相垂直的矩形是正方形，故添加AC⊥BD，能使矩形ABCD成为正方形；
②添加AB=BC，根据有一组邻边相等的矩形是正方形，故添加AB=BC，能使矩形ABCD成为正方形；
③添加∠ACB=45°，
∵∠ABC=90°，
∴∠ACB=B∠AC=45°，
∴AB=BC，根据有一组邻边相等的矩形是正方形，故添加∠ACB=45°，能使矩形ABCD成为正方形；
④∵矩形ABCD中，
∴AC=BD，则AO=BO，故添加OA=OB，不能使矩形ABCD成为正方形；
综上，①②③符合题意，
故选：B．
3．D
解：连接BC，
∵AC、AB、BC是正方形的对角线，
∴AC=AB=BC，
∴△ABC为等边三角形．
∴∠BAC=60°．
故选D．
4．A
解：在正方形ABCD中，∠ADB=∠ADC=×90°=45°，
在菱形BDFE中，BD=DF，
所以，∠DBF=∠AFB，
在△BDF中，∠ADB=∠DBF+∠AFB=2∠AFB=45°，
解得∠AFB=22.5°．
故选：A．
5．C
解：四边形是正方形，
，，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，
故选：C．
6．A
解：连接BD，
∵正方形是轴对称图形，所在的直线是正方形的一条对称轴，
∴无论P在什么位置，都有PD＝PB；
故均有BP+EP＝PD+PE成立；
连接DE与AC，所得的交点，即为BP+EP的最小值时的位置，
如图所示：
此时BP+EP＝DE，
∵正方形ABCD的边长为2，
∴DC＝BC＝2，
∵E是BC的中点，
∴EC＝1，
在Rt△DEC中，
DE＝＝＝，
故选：A．
7．C
解：∵四边形ABCD为正方形，
∴OD＝OB＝OC，∠COD＝90°，∠OCD＝∠ODA＝45°，
∵ON⊥OM，
∴∠MON＝90°，
∵∠CON＋∠DON＝90°，∠DOM＋∠DON＝90°，
∴∠CON＝∠DOM，
在△OCN和△ODM中，
，
∴△OCN≌△ODM（ASA），
∴S△OCN＝S△ODM，
∴S△OCN＋S△DON=S△ODM＋S△DON，
即S△ODC＝S四边形MOND＝2，
∵OD OC＝2，
而OD＝OC，
∴OD＝2，
∴BD＝2OD＝4．
故选：C．
8．A
解：如图所示：
四边形是正方形，
，，
，
在和中，
，
，
，
，
，
，
同理：，
，
即，
同理：，
在和中，
，
，
，，
同理：，，
，
，
四边形是正方形，
；
故选：A．
9．B
解：过点O作OM垂直于CA于点M，作ON垂直于CB的延长线于点N，
∴∠OMC=∠ONC=90°，
∵∠ACB=90°
∴四边形MCNO是矩形，
∴∠MON=90°，
∵正方形ABDE对角线交于点O，
∴OA=OB，∠AOB=90°，
∴∠MON-∠AON=∠AOB-∠AON，
∴∠AOM=∠NOB，
∵∠OMA=∠ONB=90°，
在△AOM和△BON中，
，
∴△AOM≌△BON（AAS），
∴OM=ON，AM=BN，
∴矩形MCNO是正方形，
∴∠ACO=∠BCO=45°，CM=CN=ON
∵AC=10，BC=6，
∴CN=CM=，
由勾股定理得：OC=8．
故选：B．
10．A
解：延长AM交BC于H点，∵四边形与四边形都是正方形，，，
∴BF=，AB=AD=CD=BC=3，
∵点，，在同一直线上，
∴ADCF
∴∠DAM=∠FHM，∠ADM=∠HFM，
又是DF中点，DM=FM
∴△ADM≌△HFM
∴AD=FH=3，AM=HM=AH
∴BH=FH-BF=1
在Rt△ABH中，AH=
∴AM=AH=
故选A．
11．D
解：菱形的对角线互相垂直平分，
个直角三角形全等；
，，
，
四边形是正方形，又正方形的面积为13，
正方形的边长为，
根据勾股定理，则，
中间空白处的四边形的面积为1，
个直角三角形的面积为，
，
，
，
．
故选D．
12．C
解：如图，连接AP，AN，点A是正方形的对角线的交
则AP=AN，∠APF=∠ANE=45°，
∵∠PAF+∠FAN=∠FAN+∠NAE=90°，
∴∠PAF=∠NAE，
∴△PAF≌△NAE，
∴四边形AENF的面积等于△NAP的面积，
而△NAP的面积是正方形的面积的，而正方形的面积为4，
∴四边形AENF的面积为1cm2，四块阴影面积的和为4cm2．
故选C．
13．C
解：四边形为矩形，，
，
分别为的中点，
，
，
四边形为平行四边形，
又绕点顺时针旋转，
，
，
平行四边形为正方形，
四边形的面积是，
故选：C．
14．C
解：如图，作EK⊥BC于点K，EP⊥DC于点P，
∵四边形ABCD为正方形，AC为对角线，
∴，，
∵，，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，
∴矩形DEFG为正方形，
∵，，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：C．
15．D
解：如图，过点作于点，连接，
由题意知
∴四边形为平行四边形
∵
∴四边形为矩形
∴
∵
∴
∵
∴
∴是等腰直角三角形
∴
①∵，
∴为等腰直角三角形
∴
，
∴
∴四边形是平行四边形
∴
∴
故①正确；
②∵
∴四边形为矩形
∴四边形的周长
故②正确；
③四边形为矩形
∵在和中
∵
∴
∴
∴
故③正确；
④∵
当最小时，最小
∴当时，即时，的最小值等于
故④正确；
⑤在和中，，
∴
故⑤正确；
⑥如图1，延长与交于点
∵在和中
∵
∴
∴
∵
∴
∴
故⑥正确；
综上，①②③④⑤⑥正确，
故选：．
16．AC⊥BD，AC=BD## AC=BD， AC⊥BD
解：当AC⊥BD，AC=BD时，四边形EFGH为正方形．
∵点E、F、G、H分别为AB、BC、CD、DA的中点，
∴EF∥AC，EF=AC，GH∥AC，GH=AC，EH∥BD，EH=BD，
∴EF∥GH，EF=GH，
∴四边形EFGH为平行四边形，
当AC⊥BD，AC=BD时，EF⊥EH，EF=EH，
∴四边形EFGH为正方形．
故答案为：AC⊥BD，AC=BD．
17．135°
解：观察图形可知∠1与∠5所在的三角形全等，二角互余，∠2与∠4所在的三角形全等，二角互余，∠3＝45°
∴∠1＋∠5＝90°，∠2＋∠4＝90°，∠3＝45°，
∴∠1＋∠2-∠3＋∠4＋∠5＝（∠1＋∠5）＋（∠2＋∠4）-∠3＝135°．
故答案为：135°．
18．
解：在正方形ABCD中，
AD＝CD，∠ADC＝∠DCN＝90°，
在△ADM与△DCN中，
∵AD＝CD，DM＝CN，∠ADC＝∠DCN，
∴△ADM≌△DCN（SAS），
∴∠DAM＝∠CDN，
∴∠DMA＝∠CND，
在△DPM中，∠PDM+∠PMD＝90°，
∴∠DPM＝90°，
∵∠DPM＝∠APN，
∴△ANP为直角三角形，
AN为直角三角形的斜边，由直角三角形的性质得PQ＝AN，
在△ANB中，AN＝＝2，
∴PQ＝，
故答案为：．
19．
解：连接，
四边形是正方形，
，，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
故答案为：．
20．6
解：如图，把△ABE绕点A逆时针旋转90°到DA，交CD于点G，
由旋转的性质可知，AG＝AE，DG＝BE，∠DAG＝∠BAE，
∵∠EAF＝45°，
∴∠DAG+∠BAF＝45°，
又∵∠BAD＝90°，
∴∠GAF＝45°，
在△AEF和△AGF中，
，
∴△AEF≌△AGF（SAS）
∴EF＝GF，
∵BE＝1，DF＝7，
∴EF＝GF＝DF﹣DG＝DF﹣BE＝7﹣1＝6.
故答案为：6．
21．见解析
证明：∵E是AD的中点，
∴AE=AD，
∵AF=AB，
∵正方形ABCD，
∴AB=AD，∠DAB=∠DAF=90°，
∴AF=AE，
∴Rt△ADF≌Rt△ABE（SAS），
∴BE=DF．
22．AF=BE，AF⊥BE，证明见解析．
解：AF⊥BE，AF=BE,证明如下：
∵正方形ABCD
∴AB=AD=DC,∠D=∠BAD=90°
∵CF=DE
∴AE=AD-DE,DF=DC-CF
∴AE=DF
在△AEB和△AFD中
AB=AD, ∠D=∠BAD, AE=DF
∴△ABE≌△DAF（SAS）
∴∠ABE=∠FAD，AF=BE
∵∠BAD=90°
∴∠ABE+∠AEB=90°
∴∠FAD +∠AEB=90°
∴∠AOE=90°，AF⊥BE．
∴AF=BE，AF⊥BE．
23．（1）见解析；（2）150°
（1）证明：在正方形ABCD中，AB＝DC，∠ABC＝∠BCD＝90°，
∵ △BCE为等边三角形，
∴ BE＝CE，∠EBC＝∠ECB＝60°，
∴ ∠ABC－∠EBC＝∠BCD－∠ECB ，
即：∠ABE＝∠DCE＝30° ，
在△ABE和△DCE中， ，
∴ △ABE≌△DCE，
（2）在正方形ABCD中，∠BAD＝∠ADC＝90°，BC＝CD，
∵ △BCE为等边三角形，
∴ CE＝BC， ，
∵ ，
∴ ，
∴△CDE为等腰三角形， ，
由（1）得：∠DCE＝30°，
∴ ，
由（1）得：△ABE≌△DCE，
∴ ，
∴△ADE为等腰三角形，
∴ ，
∴ ，
24．（1）见解析；（2）．
（1）证明：正方形中，、相交于，
，，
，
，
，
，
，
．
（2）解：是的角平分线，
，
，，
，
，
在中，,
解得：，
，
，
．
25．（1）见解析；(2)2-2．.
（1）证明：在正方形ABCD中，AB=AD=CD，∠BAD=∠CDA，∠ADG=∠CDG，
在△ABE和△DCF中，
，
∴△ABE≌△DCF（SAS），
∴∠1=∠2，
在△ADG和△CDG中，
，
∴△ADG≌△CDG（SAS），
∴∠2=∠3，
∴∠1=∠3，
∵∠BAH+∠3=∠BAD=90°，
∴∠1+∠BAH=90°，
∴∠AHB=180°-90°=90°，
∴BE⊥AG；
（2）解：如图，取AB的中点O，连接OH、OD，
则OH=AO=AB=2，
在Rt△AOD中，OD=，
根据三角形的三边关系，OH+DH＞OD，
∴当O、D、H三点共线时，DH的长度最小，
DH的最小值=OD-OH=2-2．
26．(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)
(1)
证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD，∠BAD＝90°
∵DG⊥AE，BF⊥AE
∴∠AFB＝∠DGA＝90°
∵∠FAB+∠DAG＝90°，∠DAG+∠ADG＝90°
∴∠BAF＝∠ADG
在△AFB和△DGA中
∵
∴△AFB≌△DGA（AAS）．
(2)
证明：如图2，过点D作DK⊥AE于K，DJ⊥BF交BF的延长线于J
由题意知∠BAH＝∠ADE＝90°，AB＝AD＝CD
∵BF⊥AE
∴∠AFB＝90°
∵∠DAE+∠EAB＝90°，∠EAB+∠ABH＝90°
∴∠DAE＝∠ABH
在△ABH和△DAE中
∵
∴△ABH≌△DAE（ASA）
∴AH＝DE
∵点E为CD的中点
∴DE＝EC＝ CD
∴AH＝DH
∴DE＝DH
∵DJ⊥BJ，DK⊥AE
∴∠J＝∠DKE＝∠KFJ＝90°
∴四边形DKFJ是矩形
∴∠JDK＝∠ADC＝90°
∴∠JDH＝∠KDE
在△DJH和△DKE中
∵
∴△DJH≌△DKE（AAS）
∴DJ＝DK，JH＝EK
∴四边形DKFJ是正方形
∴FK＝FJ＝DK＝DJ
∴DF＝FJ
∴
∴FH+FE＝FJ﹣HJ+FK+KE＝2FJ＝DF．
(3)
解：如图3，取AD的中点Q，连接PQ，延长QP交CD于R，过点P作PT⊥CD于T，PK⊥AD于K，设PT＝b
由（2）得△ABH≌△DAE（ASA）
∴AH＝DE
∵∠EDH＝90°，点P为EH的中点
∴PD＝EH＝PH＝PE
∵PK⊥DH，PT⊥DE
∴∠PKD＝∠KDT＝∠PTD＝90°
∴四边形PTDK是矩形
∴PT＝DK＝b，PK＝DT
∵PH＝PD＝PE，PK⊥DH，PT⊥DE
∴PT是△DEH的中位线
∴DH＝2DK＝2b，DE＝2DT
∴AH＝DE＝1﹣2b
∴PK＝ DE＝﹣b，QK＝DQ﹣DK＝﹣b
∴PK＝QK
∵∠PKQ＝90°
∴△PKQ是等腰直角三角形
∴∠KQP＝45°
∴点P在线段QR上运动，△DQR是等腰直角三角形
∴QR＝DQ＝
∴点P的运动轨迹的长为．
答案第1页，共2页