2021-2022学年湘教版七年级数学下册第3章因式分解知识点分类训练（Word版含答案）
文档属性
| 名称 | 2021-2022学年湘教版七年级数学下册第3章因式分解知识点分类训练（Word版含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 50.0KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 湘教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-03-21 12:11:44 | ||
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文档简介
2021-2022学年湘教版七年级数学下册《第3章因式分解》知识点分类训练（附答案）
一．因式分解的意义
1．已知多项式ax2+bx+c因式分解的结果为（x﹣1）（x+4），则abc为（ ）
A．12 B．9 C．﹣9 D．﹣12
2．下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（ ）
A．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b） B．a（x﹣y）＝ax﹣ay
C．x2+2x+1＝x（x+2）+1 D．（x+1）（x+3）＝x2+4x+3
3．仔细阅读下面例题，解答问题：
例题：已知二次三项式x2﹣4x+m有一个因式是（x+3），求另一个因式以及m的值．
解：设另一个因式为（x+n），得
x2﹣4x+m＝（x+3）（x+n）
则x2﹣4x+m＝x2+（n+3）x+3n
∴．
解得：n＝﹣7，m＝﹣21
∴另一个因式为（x﹣7），m的值为﹣21
问题：仿照以上方法解答下面问题：
已知二次三项式2x2+3x﹣k有一个因式是（2x﹣5），求另一个因式以及k的值．
二．公因式
4．6x3y2﹣3x2y3分解因式时，应提取的公因式是（ ）
A．3xy B．3x2y C．3x2y3 D．3x2y2
5．多项式3a2b﹣6a3b各项的公因式是 ．
三．因式分解-提公因式法
6．因式分解：x（m﹣1）+y（1﹣m）＝ ．
7．分解因式：2a（y﹣z）﹣3b（z﹣y）＝ ．
8．因式分解：3x4﹣9x2＝ ．
9．若ab＝2，a+b＝﹣1，则代数式a2b+ab2的值等于 ．
四．因式分解-运用公式法
10．下列各式能用公式法因式分解的是（ ）
A．﹣x2+y2 B．﹣x2﹣y2 C．4x2+4xy﹣y2 D．x2+xy+y2
11．下列各式中，能用平方差公式分解因式的是（ ）
A．x2+4y2 B．﹣x2+4y2 C．x2﹣2y+1 D．﹣x2﹣4y2
12．我们所学的多项式因分解的方法主要有：①提公因式法；②平方差公式法；③完全平方公式法．现将多项式（x﹣y）3+4（y﹣x）进行因式分解，使用的方法有（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
13．分解因式：a2﹣4ab+4b2＝ ．
五．提公因式法与公式法的综合运用
14．因式分解：
（1）4m2﹣36；
（2）2a2b﹣8ab2+8b3．
15．分解因式：
（1）2x2﹣8y2；
（2）4+12（m﹣1）+9（m﹣1）2．
六．因式分解-分组分解法
16．因式分解
（1）m2（x﹣2）+m（2﹣x）
（2）（x+y）2﹣4（x+y﹣1）；
（3）（x2+y2）2﹣4x2y2；
（4）x3+x2y﹣xy2﹣y3．
17．阅读下面的文字与例题．
将一个多项式分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法是分组分解法．
例如：
（1）am+an+bm+bn
＝（am+bm）+（an+bn）
＝m（a+b）+n（a+b）
＝（a+b）（m+n）
（2）x2﹣y2﹣2y﹣1＝x2﹣（y2+2y+1）
＝x2﹣（y+1）2
＝（x+y+1）（x﹣y﹣1）
试用上述方法分解因式a2+ab+2ac+bc+c2＝ ．
18．因式分解：4x2﹣y2﹣2y﹣1＝ ．
七．因式分解-十字相乘法等
19．甲乙两人完成因式分解x2+ax+b时，甲看错了a的值，分解的结果是（x+6）（x﹣2），乙看错了b的值，分解的结果为（x﹣8）（x+4），那么x2+ax+b分解因式正确的结果为 ．
20．分解因式：2a2﹣a﹣6＝ ．
21．分解因式：
（1）3ax2+6axy+3ay2； （2）（4m2+9）2﹣144m2；
（3）x2﹣xy+4x﹣4y； （4）（x2﹣3）2+（x2﹣3）﹣2．
22．阅读下列材料：整体思想是数学解题中常见的一种思想方法：下面是某同学对多项式（x2+2x）（x2+2x+2）+1进行因式分解的过程．将“x2+2x”看成一个整体，令x2+2x＝y，则原式＝y2+2y+1＝（y+1）2再将“y”还原即可．
解：设x2+2x＝y．
原式＝y（y+2）+1（第一步）
＝y2+2y+1（第二步）
＝（y+1）2（第三步）
＝（x2+2x+1）2（第四步）．
问题：（1）①该同学因式分解的结果不正确，请直接写出正确的结果 ；
②根据材料1，请你模仿以上方法尝试对多项式（x2﹣6x+8）（x2﹣6x+10）+1进行因式分解；
（2）根据材料1，请你模仿以上方法尝试计算：
（1﹣2﹣3﹣…﹣2020）×（2+3+…+2021）﹣（1﹣2﹣3﹣…﹣2021）×（2+3+…+2020）．
23．在对某些多项式分解因式时，需要恢复那些被合并或相互抵消的项，即把多项式中的某一项拆成两项或多项，或者在多项式中添上两个仅符合相反的项，前者称为拆项，后者称为添项．先阅读，再分解因式：
x4+4＝（x4+4x2+4）﹣4x2＝（x2+2）2﹣（2x）2＝（x2﹣2x+2）（x2+2x+2）．
（1）按照这种方法把多项式x4+4y4分解因式；
（2）分解因式：a4+a2b2+b4．
八．实数范围内分解因式
24．在实数范围内分解因式：a2﹣3b2＝ ．
25．在实数范围内分解因式：x2y﹣2y＝ ．
26．因式分解：
（1）x2﹣2（实数范围内）； （2）﹣3ax2+18axy﹣27ay2．
九．因式分解的应用
27．把一个两位数交换十位数字和个位数字后得到一个新的两位数，若将这个新的两位数与原两位数相加，则所得的和一定是（ ）
A．偶数 B．奇数 C．11的倍数 D．9的倍数
28．（阅读材料）
我们知道，任意一个正整数n都可以进行这样的分解：n＝p×q（p，q是正整数，且p≤q）．在n的所有这种分解中，如果p，q两因数之差的绝对值最小，我们就称p×q是n的最佳分解，并规定当p×q是n的最佳分解时，F（n）＝．
例如：18可以分解成1×18，2×9或3×6，因为18﹣1＞9﹣2＞6﹣3，所以3×6是18的最佳分解，从而F（18）＝＝．
（探索规律）
（1）F（15）＝ ，F（24）＝ ，…；
（2）F（4）＝1，F（9）＝1，F（25）＝ ，…；
猜想：F（x2）＝ （x是正整数）．
（应用规律）
（3）若F（x2+x）＝，且x是正整数，求x的值；
（4）若F（x2﹣11）＝1，请直接写出x的值．
29．阅读材料：若m2﹣2mn+2n2﹣8n+16＝0，求m、n的值．
解：∵m2﹣2mn+2n2﹣8n+16＝0，∴（m2﹣2mn+n2）+（n2﹣8n+16）＝0
∴（m﹣n）2+（n﹣4）2＝0，∴（m﹣n）2＝0，（n﹣4）2＝0，∴n＝4，m＝4．
根据你的观察，探究下面的问题：
（1）已知x2﹣2xy+2y2+6y+9＝0，求xy的值；
（2）已知△ABC的三边长a、b、c都是正整数，且满足a2+b2﹣10a﹣12b+61＝0，求△ABC的最大边c的值；
（3）已知a﹣b＝8，ab+c2﹣16c+80＝0，求a+b+c的值．
参考答案
一．因式分解的意义
1．解：∵（x﹣1）（x+4），
＝x2+3x﹣4，
＝ax2+bx+c，
∴a＝1，b＝3，c＝﹣4．
则abc＝﹣12．
故选：D．
2．解：A、a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），把一个多项式化为几个整式的积的形式，故此选项符合题意；
B、a（x﹣y）＝ax﹣ay，是整式的乘法，不是因式分解，故此选项不符合题意；
C、x2+2x+1＝x（x+2）+1，没把一个多项式化为几个整式的积的形式，不是因式分解，故此选项不符合题意；
D、（x+1）（x+3）＝x2+4x+3，是整式的乘法，不是因式分解，故此选项不符合题意；
故选：A．
3．解：设另一个因式为（x+a），得：
2x2+3x﹣k＝（2x﹣5）（x+a），
则2x2+3x﹣k＝2x2+（2a﹣5）x﹣5a
∴．
解得：a＝4，k＝20．
故另一个因式为（x+4），k的值为20．
二．公因式
4．解：6x3y2﹣3x2y3＝3x2y2（2x﹣y），
因此6x3y2﹣3x2y3的公因式是3x2y2．
故选：D．
5．解：∵3a2b﹣6a3b＝3a2b（1﹣2a），
∴公因式为：3a2b．
故答案为：3a2b．
三．因式分解-提公因式法
6．解：原式＝x（m﹣1）﹣y（m﹣1）
＝（m﹣1）（x﹣y）．
故答案为：（m﹣1）（x﹣y）．
7．解：2a（y﹣z）﹣3b（z﹣y）
＝2a（y﹣z）+3b（y﹣z）
＝（y﹣z）（2a+3b）．
8．解：3x4﹣9x2
＝3x2（x2﹣3）．
故答案为：3x2（x2﹣3）．
9．解：∵ab＝2，a+b＝﹣1，
∴原式＝ab（a+b）＝2×（﹣1）＝﹣2．
故答案为：﹣2．
四．因式分解-运用公式法
10．解：A、﹣x2+y2可以用平方差分解，故此选项符合题意；
B、﹣x2﹣y2不能用平方差分解，故此选项不符合题意；
C、4x2+4xy﹣y2不能用完全平方分解，故此选项不符合题意；
D、x2+xy+y2不能用完全平方分解，故此选项不符合题意；
故选：A．
11．解：A．x2+4y2两项的符号相同，不能用平方差公式分解因式；
B．﹣x2+4y2是2y与x的平方的差，能用平方差公式分解因式；
C．x2﹣2y+1是三项不能用平方差公式分解因式；
D．﹣x2﹣4y2两项的符号相同，不能用平方差公式分解因式．
故选：B．
12．解：（x﹣y）3+4（y﹣x）
＝（x﹣y）3﹣4（x﹣y）
＝（x﹣y）[（x﹣y）2﹣4]
＝（x﹣y）（x﹣y+2）（x﹣y﹣2），
故将多项式（x﹣y）3+4（y﹣x）进行因式分解，使用的方法有：①提公因式法；②平方差公式法；
故选：A．
13．解：原式＝a2﹣2×a×2b+（2b）2＝（a﹣2b）2，
故答案为：（a﹣2b）2．
五．提公因式法与公式法的综合运用
14．解：（1）原式＝4（m2﹣9）
＝4（m+3）（m﹣3）；
（2）原式＝2b（a2﹣4ab+4b2）
＝2b（a﹣2b）2．
15．解：（1）2x2﹣8y2
＝2（x2﹣4y2）
＝2（x+2y）（x﹣2y）．
（2）4+12（m﹣1）+9（m﹣1）2
＝[2+3（m﹣1）]2
＝（3m﹣1）2．
六．因式分解-分组分解法
16．解：（1）m2（x﹣2）+m（2﹣x）
＝m2（x﹣2）﹣m（x﹣2）
＝（x﹣2）（m2﹣m）
＝m（x﹣2）（m﹣1）；
（2）（x+y）2﹣4（x+y﹣1）
＝（x+y）2﹣4（x+y）+4
＝（x+y﹣2）2；
（3）（x2+y2）2﹣4x2y2
＝（x2+y2+2xy）（x2+y2﹣2xy）
＝（x+y）2（x﹣y）2；
（4）x3+x2y﹣xy2﹣y3
＝x2（x+y）﹣y2（x+y）
＝（x+y）（x2﹣y2）
＝（x+y）2（x﹣y）．
17．解：a2+ab+2ac+bc+c2
＝（a+c）2+b（a+c）
＝（a+c+b）（a+c）．
故答案为：（a+c+b）（a+c）．
18．解：4x2﹣y2﹣2y﹣1
＝4x2﹣（y2+2y+1）
＝（2x）2﹣（y+1）2
＝（2x+y+1）（2x﹣y﹣1）．
故答案为：（2x+y+1）（2x﹣y﹣1）．
七．因式分解-十字相乘法等
19．解：因式分解x2+ax+b时，
∵甲看错了a的值，分解的结果是（x+6）（x﹣2），
∴b＝6×（﹣2）＝﹣12，
又∵乙看错了b的值，分解的结果为（x﹣8）（x+4），
∴a＝﹣8+4＝﹣4，
∴原二次三项式为x2﹣4x﹣12，
因此，x2﹣4x﹣12＝（x﹣6）（x+2），
故答案为：（x﹣6）（x+2）．
20．解：原式＝（2a+3）（a﹣2）．
故答案为：（2a+3）（a﹣2）．
21．解：（1）3ax2+6axy+3ay2
＝3a（x2+2xy+y2）
＝3a（x+y）2；
（2）（4m2+9）2﹣144m2；
＝（4m2+9+12m）（4m2+9﹣12m）
＝（2m+3）2（2m﹣3）2；
（3）x2﹣xy+4x﹣4y
＝（x2﹣xy）+（4x﹣4y）
＝x（x﹣y）+4（x﹣y）
＝（x﹣y）（x+4）；
（4）（x2﹣3）2+（x2﹣3）﹣2
＝（x2﹣3+2）（x2﹣3﹣1）
＝（x2﹣1）（x2﹣4）
＝（x+1）（x﹣1）（x+2）（x﹣2）．
22．解：（1）①设x2+2x＝y．
原式＝y（y+2）+1（第一步）
＝y2+2y+1（第二步）
＝（y+1）2（第三步）
＝（x2+2x+1）2（第四步）
＝（x+1）4，
故答案为：（x+1）4；
②设x2﹣6x＝y，
原式＝（y+8）（y+10）+1
＝y2+18y+80+1
＝（y+9）2
＝（x2﹣6x+9）2
＝（x﹣3）4；
（2）设1﹣2﹣3﹣…﹣2020＝y，
原式＝y（2+3+…+2021）﹣（y﹣2021）（2+3+…+2020）
＝y（2+3+…+2020）+2021y﹣y（2+3+…+2020）+2021（2+3+…+2020）
＝2021y+2021（2+3+…+2020）
＝2021（y+2+3+…+2020）
＝2021（1﹣2﹣3﹣…﹣2020+2+3+…+2020）
＝2021×1
＝2021．
23．解：（1）x4+4y4
＝x4+4x2y2+4y4﹣4x2y2
＝（x2+2y2）2﹣4x2y2
＝（x2+2y2+2xy）（x2+2y2﹣2xy）；
（2）a4+a2b2+b4
＝a4+2a2b2+b4﹣a2b2
＝（a2+b2）2﹣（ab）2
＝（a2+b2+ab）（a2+b2﹣ab）．
八．实数范围内分解因式
24．解：a2﹣3b2
＝a2﹣（）2
＝（a+）（a﹣）．
25．解：x2y﹣2y＝y（x2﹣2）＝y（x+）（x﹣）．
故答案为：y（x+）（x﹣）．
26．解：（1）原式＝（x+）（x﹣）；
（2）原式＝﹣3a（x2﹣6xy+9y2）
＝﹣3a（x﹣3y）2．
九．因式分解的应用
27．解：设原两位数十位上的数字是a，个位上的数字是b，则原两位数为10a+b，新两位数为10b+a，
∴这两个数的和为11a+11b＝11（a+b），
∴所得的和一定是11的倍数，
故选：C．
28．解：（1）∵3×5＝15，
∴F（15）＝；
∵4×6＝24，
∴F（24）＝；
故答案为：；；
（2）∵4，9，25都是平方数，
∴F（25）＝1，F（X2）＝1，
故答案为：1；1；
（3）∵F（x2+x）＝，且x2+x＝x（x+1），
∴x（x+1）＝8×9，
∴x＝8，
即x的值为8；
（4）∵F（x2﹣11）＝1，
∴（x2﹣11）是一个完全平方数，
∴x2﹣11＝x2﹣12+1，
∴2x＝12，
∴x＝6，
即x的值为6．
29．解：（1）∵x2﹣2xy+2y2+6y+9＝0，
∴（x2﹣2xy+y2）+（y2+6y+9）＝0，
∴（x﹣y）2+（y+3）2＝0，
∴x﹣y＝0，y+3＝0，
∴x＝﹣3，y＝﹣3，
∴xy＝（﹣3）×（﹣3）＝9，
即xy的值是9．
（2）∵a2+b2﹣10a﹣12b+61＝0，
∴（a2﹣10a+25）+（b2﹣12b+36）＝0，
∴（a﹣5）2+（b﹣6）2＝0，
∴a﹣5＝0，b﹣6＝0，
∴a＝5，b＝6，
∵6﹣5＜c＜6+5，c≥6，
∴6≤c＜11，
∴△ABC的最大边c的值可能是6、7、8、9、10．
（3）∵a﹣b＝8，ab+c2﹣16c+80＝0，
∴a（a﹣8）+16+（c﹣8）2＝0，
∴（a﹣4）2+（c﹣8）2＝0，
∴a﹣4＝0，c﹣8＝0，
∴a＝4，c＝8，b＝a﹣8＝4﹣8＝﹣4，
∴a+b+c＝4﹣4+8＝8，
即a+b+c的值是8．
一．因式分解的意义
1．已知多项式ax2+bx+c因式分解的结果为（x﹣1）（x+4），则abc为（ ）
A．12 B．9 C．﹣9 D．﹣12
2．下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（ ）
A．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b） B．a（x﹣y）＝ax﹣ay
C．x2+2x+1＝x（x+2）+1 D．（x+1）（x+3）＝x2+4x+3
3．仔细阅读下面例题，解答问题：
例题：已知二次三项式x2﹣4x+m有一个因式是（x+3），求另一个因式以及m的值．
解：设另一个因式为（x+n），得
x2﹣4x+m＝（x+3）（x+n）
则x2﹣4x+m＝x2+（n+3）x+3n
∴．
解得：n＝﹣7，m＝﹣21
∴另一个因式为（x﹣7），m的值为﹣21
问题：仿照以上方法解答下面问题：
已知二次三项式2x2+3x﹣k有一个因式是（2x﹣5），求另一个因式以及k的值．
二．公因式
4．6x3y2﹣3x2y3分解因式时，应提取的公因式是（ ）
A．3xy B．3x2y C．3x2y3 D．3x2y2
5．多项式3a2b﹣6a3b各项的公因式是 ．
三．因式分解-提公因式法
6．因式分解：x（m﹣1）+y（1﹣m）＝ ．
7．分解因式：2a（y﹣z）﹣3b（z﹣y）＝ ．
8．因式分解：3x4﹣9x2＝ ．
9．若ab＝2，a+b＝﹣1，则代数式a2b+ab2的值等于 ．
四．因式分解-运用公式法
10．下列各式能用公式法因式分解的是（ ）
A．﹣x2+y2 B．﹣x2﹣y2 C．4x2+4xy﹣y2 D．x2+xy+y2
11．下列各式中，能用平方差公式分解因式的是（ ）
A．x2+4y2 B．﹣x2+4y2 C．x2﹣2y+1 D．﹣x2﹣4y2
12．我们所学的多项式因分解的方法主要有：①提公因式法；②平方差公式法；③完全平方公式法．现将多项式（x﹣y）3+4（y﹣x）进行因式分解，使用的方法有（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
13．分解因式：a2﹣4ab+4b2＝ ．
五．提公因式法与公式法的综合运用
14．因式分解：
（1）4m2﹣36；
（2）2a2b﹣8ab2+8b3．
15．分解因式：
（1）2x2﹣8y2；
（2）4+12（m﹣1）+9（m﹣1）2．
六．因式分解-分组分解法
16．因式分解
（1）m2（x﹣2）+m（2﹣x）
（2）（x+y）2﹣4（x+y﹣1）；
（3）（x2+y2）2﹣4x2y2；
（4）x3+x2y﹣xy2﹣y3．
17．阅读下面的文字与例题．
将一个多项式分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法是分组分解法．
例如：
（1）am+an+bm+bn
＝（am+bm）+（an+bn）
＝m（a+b）+n（a+b）
＝（a+b）（m+n）
（2）x2﹣y2﹣2y﹣1＝x2﹣（y2+2y+1）
＝x2﹣（y+1）2
＝（x+y+1）（x﹣y﹣1）
试用上述方法分解因式a2+ab+2ac+bc+c2＝ ．
18．因式分解：4x2﹣y2﹣2y﹣1＝ ．
七．因式分解-十字相乘法等
19．甲乙两人完成因式分解x2+ax+b时，甲看错了a的值，分解的结果是（x+6）（x﹣2），乙看错了b的值，分解的结果为（x﹣8）（x+4），那么x2+ax+b分解因式正确的结果为 ．
20．分解因式：2a2﹣a﹣6＝ ．
21．分解因式：
（1）3ax2+6axy+3ay2； （2）（4m2+9）2﹣144m2；
（3）x2﹣xy+4x﹣4y； （4）（x2﹣3）2+（x2﹣3）﹣2．
22．阅读下列材料：整体思想是数学解题中常见的一种思想方法：下面是某同学对多项式（x2+2x）（x2+2x+2）+1进行因式分解的过程．将“x2+2x”看成一个整体，令x2+2x＝y，则原式＝y2+2y+1＝（y+1）2再将“y”还原即可．
解：设x2+2x＝y．
原式＝y（y+2）+1（第一步）
＝y2+2y+1（第二步）
＝（y+1）2（第三步）
＝（x2+2x+1）2（第四步）．
问题：（1）①该同学因式分解的结果不正确，请直接写出正确的结果 ；
②根据材料1，请你模仿以上方法尝试对多项式（x2﹣6x+8）（x2﹣6x+10）+1进行因式分解；
（2）根据材料1，请你模仿以上方法尝试计算：
（1﹣2﹣3﹣…﹣2020）×（2+3+…+2021）﹣（1﹣2﹣3﹣…﹣2021）×（2+3+…+2020）．
23．在对某些多项式分解因式时，需要恢复那些被合并或相互抵消的项，即把多项式中的某一项拆成两项或多项，或者在多项式中添上两个仅符合相反的项，前者称为拆项，后者称为添项．先阅读，再分解因式：
x4+4＝（x4+4x2+4）﹣4x2＝（x2+2）2﹣（2x）2＝（x2﹣2x+2）（x2+2x+2）．
（1）按照这种方法把多项式x4+4y4分解因式；
（2）分解因式：a4+a2b2+b4．
八．实数范围内分解因式
24．在实数范围内分解因式：a2﹣3b2＝ ．
25．在实数范围内分解因式：x2y﹣2y＝ ．
26．因式分解：
（1）x2﹣2（实数范围内）； （2）﹣3ax2+18axy﹣27ay2．
九．因式分解的应用
27．把一个两位数交换十位数字和个位数字后得到一个新的两位数，若将这个新的两位数与原两位数相加，则所得的和一定是（ ）
A．偶数 B．奇数 C．11的倍数 D．9的倍数
28．（阅读材料）
我们知道，任意一个正整数n都可以进行这样的分解：n＝p×q（p，q是正整数，且p≤q）．在n的所有这种分解中，如果p，q两因数之差的绝对值最小，我们就称p×q是n的最佳分解，并规定当p×q是n的最佳分解时，F（n）＝．
例如：18可以分解成1×18，2×9或3×6，因为18﹣1＞9﹣2＞6﹣3，所以3×6是18的最佳分解，从而F（18）＝＝．
（探索规律）
（1）F（15）＝ ，F（24）＝ ，…；
（2）F（4）＝1，F（9）＝1，F（25）＝ ，…；
猜想：F（x2）＝ （x是正整数）．
（应用规律）
（3）若F（x2+x）＝，且x是正整数，求x的值；
（4）若F（x2﹣11）＝1，请直接写出x的值．
29．阅读材料：若m2﹣2mn+2n2﹣8n+16＝0，求m、n的值．
解：∵m2﹣2mn+2n2﹣8n+16＝0，∴（m2﹣2mn+n2）+（n2﹣8n+16）＝0
∴（m﹣n）2+（n﹣4）2＝0，∴（m﹣n）2＝0，（n﹣4）2＝0，∴n＝4，m＝4．
根据你的观察，探究下面的问题：
（1）已知x2﹣2xy+2y2+6y+9＝0，求xy的值；
（2）已知△ABC的三边长a、b、c都是正整数，且满足a2+b2﹣10a﹣12b+61＝0，求△ABC的最大边c的值；
（3）已知a﹣b＝8，ab+c2﹣16c+80＝0，求a+b+c的值．
参考答案
一．因式分解的意义
1．解：∵（x﹣1）（x+4），
＝x2+3x﹣4，
＝ax2+bx+c，
∴a＝1，b＝3，c＝﹣4．
则abc＝﹣12．
故选：D．
2．解：A、a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），把一个多项式化为几个整式的积的形式，故此选项符合题意；
B、a（x﹣y）＝ax﹣ay，是整式的乘法，不是因式分解，故此选项不符合题意；
C、x2+2x+1＝x（x+2）+1，没把一个多项式化为几个整式的积的形式，不是因式分解，故此选项不符合题意；
D、（x+1）（x+3）＝x2+4x+3，是整式的乘法，不是因式分解，故此选项不符合题意；
故选：A．
3．解：设另一个因式为（x+a），得：
2x2+3x﹣k＝（2x﹣5）（x+a），
则2x2+3x﹣k＝2x2+（2a﹣5）x﹣5a
∴．
解得：a＝4，k＝20．
故另一个因式为（x+4），k的值为20．
二．公因式
4．解：6x3y2﹣3x2y3＝3x2y2（2x﹣y），
因此6x3y2﹣3x2y3的公因式是3x2y2．
故选：D．
5．解：∵3a2b﹣6a3b＝3a2b（1﹣2a），
∴公因式为：3a2b．
故答案为：3a2b．
三．因式分解-提公因式法
6．解：原式＝x（m﹣1）﹣y（m﹣1）
＝（m﹣1）（x﹣y）．
故答案为：（m﹣1）（x﹣y）．
7．解：2a（y﹣z）﹣3b（z﹣y）
＝2a（y﹣z）+3b（y﹣z）
＝（y﹣z）（2a+3b）．
8．解：3x4﹣9x2
＝3x2（x2﹣3）．
故答案为：3x2（x2﹣3）．
9．解：∵ab＝2，a+b＝﹣1，
∴原式＝ab（a+b）＝2×（﹣1）＝﹣2．
故答案为：﹣2．
四．因式分解-运用公式法
10．解：A、﹣x2+y2可以用平方差分解，故此选项符合题意；
B、﹣x2﹣y2不能用平方差分解，故此选项不符合题意；
C、4x2+4xy﹣y2不能用完全平方分解，故此选项不符合题意；
D、x2+xy+y2不能用完全平方分解，故此选项不符合题意；
故选：A．
11．解：A．x2+4y2两项的符号相同，不能用平方差公式分解因式；
B．﹣x2+4y2是2y与x的平方的差，能用平方差公式分解因式；
C．x2﹣2y+1是三项不能用平方差公式分解因式；
D．﹣x2﹣4y2两项的符号相同，不能用平方差公式分解因式．
故选：B．
12．解：（x﹣y）3+4（y﹣x）
＝（x﹣y）3﹣4（x﹣y）
＝（x﹣y）[（x﹣y）2﹣4]
＝（x﹣y）（x﹣y+2）（x﹣y﹣2），
故将多项式（x﹣y）3+4（y﹣x）进行因式分解，使用的方法有：①提公因式法；②平方差公式法；
故选：A．
13．解：原式＝a2﹣2×a×2b+（2b）2＝（a﹣2b）2，
故答案为：（a﹣2b）2．
五．提公因式法与公式法的综合运用
14．解：（1）原式＝4（m2﹣9）
＝4（m+3）（m﹣3）；
（2）原式＝2b（a2﹣4ab+4b2）
＝2b（a﹣2b）2．
15．解：（1）2x2﹣8y2
＝2（x2﹣4y2）
＝2（x+2y）（x﹣2y）．
（2）4+12（m﹣1）+9（m﹣1）2
＝[2+3（m﹣1）]2
＝（3m﹣1）2．
六．因式分解-分组分解法
16．解：（1）m2（x﹣2）+m（2﹣x）
＝m2（x﹣2）﹣m（x﹣2）
＝（x﹣2）（m2﹣m）
＝m（x﹣2）（m﹣1）；
（2）（x+y）2﹣4（x+y﹣1）
＝（x+y）2﹣4（x+y）+4
＝（x+y﹣2）2；
（3）（x2+y2）2﹣4x2y2
＝（x2+y2+2xy）（x2+y2﹣2xy）
＝（x+y）2（x﹣y）2；
（4）x3+x2y﹣xy2﹣y3
＝x2（x+y）﹣y2（x+y）
＝（x+y）（x2﹣y2）
＝（x+y）2（x﹣y）．
17．解：a2+ab+2ac+bc+c2
＝（a+c）2+b（a+c）
＝（a+c+b）（a+c）．
故答案为：（a+c+b）（a+c）．
18．解：4x2﹣y2﹣2y﹣1
＝4x2﹣（y2+2y+1）
＝（2x）2﹣（y+1）2
＝（2x+y+1）（2x﹣y﹣1）．
故答案为：（2x+y+1）（2x﹣y﹣1）．
七．因式分解-十字相乘法等
19．解：因式分解x2+ax+b时，
∵甲看错了a的值，分解的结果是（x+6）（x﹣2），
∴b＝6×（﹣2）＝﹣12，
又∵乙看错了b的值，分解的结果为（x﹣8）（x+4），
∴a＝﹣8+4＝﹣4，
∴原二次三项式为x2﹣4x﹣12，
因此，x2﹣4x﹣12＝（x﹣6）（x+2），
故答案为：（x﹣6）（x+2）．
20．解：原式＝（2a+3）（a﹣2）．
故答案为：（2a+3）（a﹣2）．
21．解：（1）3ax2+6axy+3ay2
＝3a（x2+2xy+y2）
＝3a（x+y）2；
（2）（4m2+9）2﹣144m2；
＝（4m2+9+12m）（4m2+9﹣12m）
＝（2m+3）2（2m﹣3）2；
（3）x2﹣xy+4x﹣4y
＝（x2﹣xy）+（4x﹣4y）
＝x（x﹣y）+4（x﹣y）
＝（x﹣y）（x+4）；
（4）（x2﹣3）2+（x2﹣3）﹣2
＝（x2﹣3+2）（x2﹣3﹣1）
＝（x2﹣1）（x2﹣4）
＝（x+1）（x﹣1）（x+2）（x﹣2）．
22．解：（1）①设x2+2x＝y．
原式＝y（y+2）+1（第一步）
＝y2+2y+1（第二步）
＝（y+1）2（第三步）
＝（x2+2x+1）2（第四步）
＝（x+1）4，
故答案为：（x+1）4；
②设x2﹣6x＝y，
原式＝（y+8）（y+10）+1
＝y2+18y+80+1
＝（y+9）2
＝（x2﹣6x+9）2
＝（x﹣3）4；
（2）设1﹣2﹣3﹣…﹣2020＝y，
原式＝y（2+3+…+2021）﹣（y﹣2021）（2+3+…+2020）
＝y（2+3+…+2020）+2021y﹣y（2+3+…+2020）+2021（2+3+…+2020）
＝2021y+2021（2+3+…+2020）
＝2021（y+2+3+…+2020）
＝2021（1﹣2﹣3﹣…﹣2020+2+3+…+2020）
＝2021×1
＝2021．
23．解：（1）x4+4y4
＝x4+4x2y2+4y4﹣4x2y2
＝（x2+2y2）2﹣4x2y2
＝（x2+2y2+2xy）（x2+2y2﹣2xy）；
（2）a4+a2b2+b4
＝a4+2a2b2+b4﹣a2b2
＝（a2+b2）2﹣（ab）2
＝（a2+b2+ab）（a2+b2﹣ab）．
八．实数范围内分解因式
24．解：a2﹣3b2
＝a2﹣（）2
＝（a+）（a﹣）．
25．解：x2y﹣2y＝y（x2﹣2）＝y（x+）（x﹣）．
故答案为：y（x+）（x﹣）．
26．解：（1）原式＝（x+）（x﹣）；
（2）原式＝﹣3a（x2﹣6xy+9y2）
＝﹣3a（x﹣3y）2．
九．因式分解的应用
27．解：设原两位数十位上的数字是a，个位上的数字是b，则原两位数为10a+b，新两位数为10b+a，
∴这两个数的和为11a+11b＝11（a+b），
∴所得的和一定是11的倍数，
故选：C．
28．解：（1）∵3×5＝15，
∴F（15）＝；
∵4×6＝24，
∴F（24）＝；
故答案为：；；
（2）∵4，9，25都是平方数，
∴F（25）＝1，F（X2）＝1，
故答案为：1；1；
（3）∵F（x2+x）＝，且x2+x＝x（x+1），
∴x（x+1）＝8×9，
∴x＝8，
即x的值为8；
（4）∵F（x2﹣11）＝1，
∴（x2﹣11）是一个完全平方数，
∴x2﹣11＝x2﹣12+1，
∴2x＝12，
∴x＝6，
即x的值为6．
29．解：（1）∵x2﹣2xy+2y2+6y+9＝0，
∴（x2﹣2xy+y2）+（y2+6y+9）＝0，
∴（x﹣y）2+（y+3）2＝0，
∴x﹣y＝0，y+3＝0，
∴x＝﹣3，y＝﹣3，
∴xy＝（﹣3）×（﹣3）＝9，
即xy的值是9．
（2）∵a2+b2﹣10a﹣12b+61＝0，
∴（a2﹣10a+25）+（b2﹣12b+36）＝0，
∴（a﹣5）2+（b﹣6）2＝0，
∴a﹣5＝0，b﹣6＝0，
∴a＝5，b＝6，
∵6﹣5＜c＜6+5，c≥6，
∴6≤c＜11，
∴△ABC的最大边c的值可能是6、7、8、9、10．
（3）∵a﹣b＝8，ab+c2﹣16c+80＝0，
∴a（a﹣8）+16+（c﹣8）2＝0，
∴（a﹣4）2+（c﹣8）2＝0，
∴a﹣4＝0，c﹣8＝0，
∴a＝4，c＝8，b＝a﹣8＝4﹣8＝﹣4，
∴a+b+c＝4﹣4+8＝8，
即a+b+c的值是8．