吉林省长春市十一高中2012-2013学年高二上学期期中考试 数学理

长春市十一高中2012-2013学年度高二上学期期中考试
数 学 试 题（理科）
一、选择题（每小题5分，共60分）
1.已知命题，则是（ ）
A. B. C. D.
2.已知命题：存在，使；命题：任意，都有。下列结论正确的是（ ）
A.命题“”是真命题 B.命题“”是假命题
C.命题“”是真命题 D.命题“”是真命题
3.“”是“直线和直线垂直”的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
4.已知点A（1,-2），B（m,2），且线段AB的垂直平分线的方程是，则实数m的值是（ ）
A.-2 B.-7 C.3 D.1
5.若为圆的弦的中点，则直线的方程为（ ）
A. B. C. D.
6.已知双曲线的渐近线方程是，则其离心率为（ ）
A. B. C. D.5
7.已知双曲线中，给出的下列四个量，①渐近线；②焦距；③焦点坐标；④离心率.其中与参数无关的是（ ）
A.①② B.②③ C.③④ D.①④
8.以抛物线的焦点为圆心，3为半径的圆与直线相交的弦长为（ ）
A. B. C. D. 8
9.直线与抛物线交于两点，若，则弦的中点到直线的距离等于（ ）
A. B. 2 C. D.4
10.设定点,动点P满足条件，则点P的轨迹是（ ）
A.椭圆 B.线段 C.不存在 D.椭圆或线段
11.已知点是椭圆的两个焦点，点是该椭圆上的一个动点，那么的最小值是（ ）
A.0 B.1 C.2 D.
12.点P是双曲线右支（在第一象限内）上的任意一点，分别是左右顶点，是坐标原点，直线的斜率分别为，则斜率之积的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
二、填空题（每小题5分，共20分）
13.若实数满足不等式组，则的最小值是 .
14.过点作圆的切线方程为 .
15.已知椭圆的中心在原点，焦点在y轴上，是椭圆的两个焦点，为椭圆上的一个动点，若的周长为12，离心率，则此椭圆的标准方程为 .
16.连接双曲线和（其中）的四个顶点的四边形面积为，连接四个焦点的四边形的面积为，则当的值最大时，双曲线的离心率为 .
三、解答题（本大题共6小题，共70分）
17.(本小题满分10分)过点且平行于直线的直线与两坐标轴围成
的三角形面积为，求的值.
18.（本小题满分12分）圆与直线相切于点，并且过点，
求圆的方程.
19.（本小题满分12分）已知动圆与圆外切，与圆
内切，求动圆圆心的轨迹方程.
20.（本小题满分12分）椭圆的两个焦点为，点在
椭圆上，且，.（1）求椭圆的方程；（2）若直
线过（-2,1），交椭圆于两点，且关于点对称，求直线的方程.
21.（本小题满分12分）已知抛物线的焦点为，过点的直线交抛物线于
两点.（1）若，求直线的斜率；（2）设点在线段上运动，
原点关于点的对称点为，求四边形面积的最小值.
22.（本小题满分12分）如图，已知抛物线和⊙，
过抛物线上一点作两条直线与⊙相切于两点，与抛物线分
别交于两点，圆心到抛物线准线的距离为.（1）求抛物线的方程；（2）当
的角平分线垂直于轴时，求直线的斜率；（3）若直线在轴上的截距
为，求的最小值.
数 学 试 题（理科答案）
一、BDCCC ADABD CD
二、13. 4 14. 15. 16.
三、17.解析：由题意知，即，又过点且平行于直线
的直线方程可写为，此直线与轴的交点为，与轴的交
点为，由已知条件，得，解得.
18.解析：设圆心为，则
解得
即所求圆的方程为.
19.解析：设动圆的半径为，则由已知，
∴.又，∴，∴.
根据双曲线定义知，点的轨迹是以为焦点的双曲线的右支.
∵，∴
∴点的轨迹方程是.
20.解析：（1）因为点在椭圆上，所以，.
在Rt中，，
故椭圆的半焦距，从而.
所以椭圆的方程为.
（2）设的坐标分别为.已知的坐标为.可设直线的方程为.代入椭圆的方程得，
.
因为关于点对称，所以，解得，
所以直线的方程为，即.
经检验，所求直线方程符合题意.
（本题也可用点差法求解）
21.解析：(1)依题意得，设直线方程为。将直线的方程与
抛物线的方程联立，消去得。设，所以
。① 因为，所以.②
联立①和②，消去，得，所以直线的斜率是.
（2）由点与原点关于点对称，得是线段的中点，从而点与点到直线的距离相等，所以四边形的面积等于.因为，所以时，四边形的面积最小，最小值是4.
22.解析：（1）∵点到抛物线准线的距离为，∴.即抛物线的方
程为.
（2）解法一：∵当的角平分线垂直于轴时，点，∴，
设
∴ ∴
∴
.
解法二：当的角平分线垂直于轴时，点
∴，可得.
∴直线的方程为，
联立方程组 得
∵， ∴，
同理可得 ∴.
（3）解法一：设
∵ ∴
可得，直线的方程为
即.
又∴
∴直线的方程为，
同理，直线的方程为，
∴
∴直线的方程为，
即
令，可得，
∵关于的函数在上单调递增，
∴.
解法二：设点，
∴
以为圆心，为半径的圆的方程为，①
⊙的方程为.②
①-②得直线的方程为.
当时，直线在轴上的截距，
∵关于的函数在上单调递增，∴.