第二章基本初等函数讲义（常）

第二章、基本初等函数
一、基础知识（必会）
1.指数函数及其性质：形如y=ax(a>0, a1)的函数叫做指数函数，其定义域为R，值域为（0，+∞）
(1)指数函数的图象和性质 :
0 < a < 1
a > 1
图 象
性
质
定义域
R
值域
(0 , +∞)
定点
过定点（0，1），即x = 0时，y = 1
（1）a > 1，当x > 0时，y > 1；当x < 0时，0 < y < 1。
（2）0 < a < 1，当x > 0时，0 < y < 1；当x < 0时，y > 1。
单调性
在R上是减函数
在R上是增函数
对称性
和关于y轴对称
（2）有理指数幂的含义及其运算性质：
①； ②； ③。
(3)．分数指数幂：。
2．对数函数及其性质：形如y=logax(a>0, a1)的函数叫做对数函数
(1)对数函数的图象和性质:
0 < a < 1
a > 1
图
象
定义域
(0 , +∞)
值域
R
性
质
（1）过定点（1，0），即x = 1时，y = 0
（2）在R上是减函数
（2）在R上是增函数
（3）同正异负
即0 < a < 1 , 0 < x < 1或a > 1 , x > 1时，log a x > 0；
0 < a < 1 , x > 1或a > 1 , 0 < x < 1时，log a x < 0。
(2)．对数的性质（M>0, N>0）；
1）ax=Mx=logaM(a>0, a1)； 2）loga(MN)= loga M+ loga N；
3）loga（）= loga M- loga N； 4）loga Mn=n loga M（万能恒等式）
5）loga =loga M； 6）aloga M=M; 7) loga b=(a,b,c>0, a, c1).
3．幂函数:
（1）幂函数中的为任意实数。（一般只考虑的图象）（2）形如等形式的函数都不是幂函数。
（3）典型幂函数的性质：
表1
定义域
R
R
R
奇偶性
奇
奇
奇
非奇非偶
奇
在第Ⅰ象限单调增减
在第Ⅰ象限单调递增
在第Ⅰ象限单调递增
在第Ⅰ象限单调递增
在第Ⅰ象限单调递增
在第Ⅰ象限单调递减
定点
（1,1）
（1,1）
（1,1）
（1,1）
（1,1）

（4）、幂函数性质归纳：
a.所有幂函数在都有定义，并且图像都过点；
b.时，幂函数的图像通过原点，并且在区间上是增函数。特别地，当时，幂函数的图像下凸；当时，幂函数的图像上凸；
c.时，幂函数的图像在区间是减函数。在第一象限内，当从右边趋向原点时，图像在轴右方无限地逼近轴正半轴，当趋于时，图像在轴上方无限地逼近轴正半轴。
d.注意在第一象限，作直线，它同各幂函数图像相交，按交点从下到上的顺序，幂指数按从小到大的顺序排列；
e.当为奇数时，幂函数为奇函数；
f.当为偶数时，幂函数为偶函数；
g.幂指数互为倒数的幂函数在第一象限内的图像关于直线对称；
二、解题方法分析
1．理解指（对）数函数的概念与性质，从函数表达式的特征上寻找解题途径。
【方法点拨】能根据指（对）数函数表达式有意义和单调性求定义域和值域。解题时特别注意对数的真数大于零。
例1求下列函数的定义域、值域：
（1） （2） （3）
2．弄清根式和分数指数幂的意义，掌握从指数转化上处理指数问题
【方法点拨】类比整数指数幂的运算性质理解分数指数幂的运算，根式一般先转化成分数指数幂，然后再利用有理指数幂的运算性质进行运算；
例2化简下列各式（）

（3）
3．理解对数的概念及其运算性质，会利用对数运算性质化简、计算及求值
【方法点拨】一方面，要理解对数的概念和运算性质，理解对数式和指数式的互化，另一方面，计算、化简及求值首先寻找同底转化，当不同底时，要灵活运用换底公式处理。
例3计算：（1）lg14－2lg+lg7－lg18 ⑵ ２25＋３64 （3），．
4．掌握指（对）数函数单调性的应用
【方法点拨】利用指（对）数函数的单调性可以比较函数值或自变量值的大小，求某些函数的值或最值，解不等式。有些含字母参数的问题，要对参数范围进行讨论。
例4 已知f（x）=loga（a－ax）
（1）当0＜a ＜1时，求f（x）的定义域；（2）判断f（2）是否大于零，并说明理由。
5．掌握有关指（对）数函数奇偶性的判定
【方法点拨】对于和指（对）数函数有关的函数的奇偶性的判定，首先看函数定义域是否关于原点对称,然后寻找与的关系,并由此判断函数的奇偶性.
例5判断下列函数的奇偶性：
（1）f(x)= （a＞0且a≠1） （2）f(x)= lg（－1）
三、考点阐述
考点1 指数函数的概念及其意义；指数函数的单调性与特殊点
1、已知 （1）讨论的奇偶性； （2）讨论的单调性.
2、已知函数.
（1）求该函数的图象恒过的定点坐标；（2）指出该函数的单调性.
考点2 指数函数模型的应用
3、光线通过一块玻璃,其强度要损失,把几块这样的玻璃重叠起来,设光线原来的强度为,通过块玻璃后强度为.（1）写出关于的函数关系式；（2）通过多少块玻璃后，光线强度减弱到原来的以下? (
考点3 对数的概念及其运算性质
4、已知 （ ）
（A） （B） （C） （D）
5、计算（1）＝
（2）＝
考点4 换底公式的应用
6、计算；
考点5 对数函数的概念及其意义；对数函数的单调性与特殊点
7、已知f(x)=(a2－1)x在区间(－∞,+∞)内是减函数,则实数a的取值范围是 ( )
(A)|a|＜1 (B)|a|＞1 (C)|a|＜ (D)1＜|a|＜
考点6 指数函数与对数函数互为反函数
8、函数的反函数的图象是 （ ）

（A） （B） （C） （D）
9、函数的反函数的定义域为( )
（A） （B） （C） （D）
考点7 幂函数的概念
10、幂函数的图象过点，则的解析式是_____________。
11、若，上述函数是幂函数的个数是（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
考点8 有理指数幂的含义
12、化简的结果是（ ）.
A. B. C. 3 D.5
考点9 幂的运算
13、（1）计算：；
（2）化简：
14、已知，求的值。
四、同步练习
1．指数函数y=ax的图像经过点（2，16）则a的值是 （ ）
A． B． C．2 D．4
2．下列函数是幂函数的是（ ）
Ａ、 B、 C、 D、
3．计算（ ）
A. B. C. D.3
4．在区间上不是增函数的是 ( )
A. B. C. D.
5．方程的解为 （ ）
A、5或-2 B、5 C、-2 D、无解
6．函数在上的最大值与最小值之和为，则的值为 （ ）
A. B. C. 2 D. 4
7．函数的定义域是 ．
8．若lg2＝a，lg3＝b，则log512＝________．
9．已知函数的值为
10．函数在定义域内是减函数，则的取值范围是
11．计算：

12．设函数, 求满足=的x的值．

13．已知，是一次函数，并且点在函数的图象上，点在函数的图象上，求的解析式．
14．画出函数的图象，并利用图象回答：k为何值时，方程|3x－１｜＝k无解？有一解？有两解？
15．已知定义域为的函数是奇函数。
（Ⅰ）求的值； （Ⅱ）判断函数的单调性;
（Ⅲ）若对任意的，不等式恒成立，求的取值范围．
16.已知：x，y，z均为正实数，且3x＝4y＝6z.
求证：－＝.
17.若－3≤logx≤－，求f(x)＝·的最大值和最小值．
18.已知函数f(x)＝·x3.
(1)求f(x)的定义域；(2)判断f(x)的奇偶性；(3)求证：f(x)>0.
19.已知函数f(x)＝－2，求f(x)的定义域，并证明在f(x)的定义域内，当x1f(x2)．
20.已知函数f(x)＝loga(x＋1)，g(x)＝loga(1－x)(a>0，且a≠1)，令F(x)＝f(x)－g(x)．
(1)求函数y＝F(x)的定义域；
(2)判断函数y＝F(x)的奇偶性；
(3)证明：F(x)＋F(y)＝F.