第三章函数的应用讲义（常）
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第三章 函数的应用
一、基本内容
1．函数与方程：
（1）方程的根与函数的零点：如果函数在区间 [a , b] 上的图象是连续不断的一条曲线，并且有，那么，函数在区间 (a , b) 内有零点，即存在，使得，这个c也就是方程的根。
（2）二分法：二分法主要应用在求函数的变号零点当中，牢记二分法的基本计算步骤，即基本思路为：任取两点x1和x2，判断（x1，x2）区间内有无一个实根，如果f（x1）和f（x2）符号相反，说明（x1，x2）之间有一个实根，取（x1，x2）的中点x，检查f（x）与f（x1）是否同符号，如果不同号，说明实根在（x，x1）区间，这样就已经将寻找根的范围减少了一半了．然后用同样的办法再进一步缩小范围，直到区间相当小为止．
2．函数的模型及其应用
（1）几类不同增长的函数模型
利用计算工具，比较指数函数、对数函数以及幂函数增长差异；结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的含义。
(2) 函数模型及其应用
建立函数模型解决实际问题的一般步骤：①收集数据；②画散点图，选择函数模型；③待定系数法求函数模型；④检验是否符合实际，如果不符合实际，则改用其它函数模型，重复②至④步；如果符合实际，则可用这个函数模型来解释或解决实际问题．
解函数实际应用问题的关键：耐心读题，理解题意，分析题中所包含的数量关系（包括等量关系和不等关系）．
二、考点阐述
考点1 函数的零点与方程根的联系
一般结论：函数y＝f(x)的零点就是方程f(x)＝0的实数根，也就是函数y＝f(x)的图象与x轴的交点的横坐标．所以方程f(x)＝0有实数根?函数y＝f(x)的图象与x轴有交点?函数y＝f(x)有零点．
1 对于函数f(x)＝x2＋mx＋n，若f(a)>0，f(b)>0.则函数f(x)在区间(a，b)内( )
A．一定有零点 B．一定没有零点
C．可能有两个零点 D．至多有一个零点
2、．如果二次函数有两个不同的零点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3、 求零点的个数为 （ ）
A． B． C． D．
4、函数的零点个数为
5设函数f(x)＝ax2＋bx＋c，且f(1)＝－，3a>2c>2b，求证：
(1)a>0且－3<<－；(2)函数f(x)在区间(0,2)内至少有一个零点；
(3)设x1，x2是函数f(x)的两个零点，则≤|x1－x2|<.
考点2 用二分法求方程的近似解
6．用“二分法”求方程在区间内的实根，取区间中点为，那么下一个有根的区间是 。
7．设,用二分法求方程内近似解的过程中得则方程的根落在区间（ ）
A． B． C． D．不能确定
考点3 函数的模型及其应用
8、某地区1995年底沙漠面积为95万公顷，为了解该地区沙漠面积的变化情况，进行了连续5年的观测，并将每年年底的观测结果记录如下表。根据此表所给的信息进行预测：（1）如果不采取任何措施，那么到2010年底，该地区的沙漠面积将大约变为多少万公顷；（2）如果从2000年底后采取植树造林等措施，每年改造0.6万公顷沙漠，那么到哪一年年底该地区沙漠面积减少到90万公顷？
观测时间
1996年底
1997年底
1998年底
1999年底
2000年底
该地区沙漠比原有面积增加数（万公顷）
0.2000
0.4000
0.6001
0.7999
1.0001
三、解题方法分析
1．函数零点的求法
【方法点拨】对于一些比较简单的方程，我们可以通过因式分解、公式等方法求函数的
对于不能用公式解决的方程，我们可以把这些方程与函数联系起来，并利用函数的图象和性质找出零点，从而求出方程的根。
例1求函数y＝x3－2x2－x＋2的零点．
2．二分法求方程近似解
【方法点拨】对于在区间，上连续不断，且满足·的函数，
通过不断地把函数的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，
进而得到零点近似值．
例2、用二分法求方程x3＋3x－5＝0的一个近似解(精确度0.1)．
3．利用给定函数模型解决实际问题
【方法点拨】这类问题是指在问题中明确了函数关系式，我们需要根据函数关系式来处
理实际问题，有时关系式中带有需确定的参数，这些参数需要根据问题的内容或性质来
确定之后，才能使问题本身获解．
例3有甲乙两种产品，生产这两种产品所能获得的利润依次是P和Q万元，它们与投入资金x（万元）的关系为：,,今投入3万元资金生产甲、乙两种产品，为获得最大利润，对甲、乙两种产品的资金投入分别应为多少？最大利润是多少？
例4.
某公司试销一种成本单价为500元/件的新产品，规定试销时销售单价不低于成本单价，又不高于800元/件．经试销调查，发现销售量y(件)与销售单价x(元/件)可近似看作一次函数y=kx+b的关系(如图所示)．
(1)根据图象，求一次函数y=kx+b的表达式；
(2)设公司获得的毛利润(毛利润=销售总价-成本总价)为S元．试用销售单价x表示利润S；并求销售单价定为多少时，该公司可获得最大毛利润？最大毛利润是多少？此时的销售量是多少？
四、课堂练习
1．函数f(x)=2x+7的零点为 （ ）
A、7 B、 C、 D、-7
2．方程的一个实数解的存在区间为 （ ）
A、（0，1） B、（0.5，1.5） C、（-2，1） D、（2，3）
3．设,用二分法求方程内近似解的过程中得则方程的根落在区间（ ）
A B C D 不能确定
4．函数在区间（1，2）内的函数值为（ ）
A、大于等于0 B、等于0 C、大于0 D、小于0
5．某人骑自行车沿直线匀速旅行，先前进了a千米，休息了一段时间，又沿原路返回b千米（b6．方程的实数解的个数为________。
7．某轮船在航行中每小时所耗去的燃料费与该船航行速度的立方成正比，且比例系数为a，其余费用与船的航行速度无关，约为每小时b元，若该船以速度v千米/时航行，航行每千米耗去的总费用为 y （元），则y与v的函数解析式 ________．
8．有一块长为20厘米,宽为12厘米的矩形铁皮，将其四个角各截去一个边长为x的小正方形，然后折成一个无盖的盒子。则盒子的容积V与x的函数关系式是 。
9．已知函数的图象是连续不断的，有如下的，对应值表：
－2
－1.5
－1
－0.5
0
0.5
1
1.5
2
－3.51
1.02
2.37
1.56
－0.38
1.23
2.77
3.45
4.89
函数在哪几个区间内有零点？为什么？
10．一个体户有一种货，如果月初售出可获利100元，再将本利都存入银行，已知银行月息为2．4%，如果月末售出可获利120元，但要付保管费5元，问这种货是月初售出好，还是月末售出好？
11．某工厂今年1月、2月、3月生产某种产品的数量分别是1万件、1.2 万件、1.3 万件，为了估测以后每个月的产量，以这三个月的产品数量为依据，用一个函数模拟该产品的月产量与月份x的关系，模拟函数可以选用二次函数或函数（其中为常数）已知4月份该产品的产量为1.37万件， 请问用以上哪个函数作为模拟函数较好，并说明理由
12．某农产品从5月1日起开始上市，通过市场调查，得到该农产品种植成本Q(单位：元/102 kg)与上市时间t(时间：天)的数据如下表：
时间t
50
110
250
种植成本Q
150
108
150
(1)根据上表数据，从下列函数中选取一个函数描述该农产品种植成本Q与上市时间t的变化关系：Q＝at＋b，Q＝at2＋bt＋c，Q＝abt，Q＝alogbt；
(2)利用你选取的函数，求该农产品种植成本最低时的上市时间及最低种植成本．
一、基本内容
1．函数与方程：
（1）方程的根与函数的零点：如果函数在区间 [a , b] 上的图象是连续不断的一条曲线，并且有，那么，函数在区间 (a , b) 内有零点，即存在，使得，这个c也就是方程的根。
（2）二分法：二分法主要应用在求函数的变号零点当中，牢记二分法的基本计算步骤，即基本思路为：任取两点x1和x2，判断（x1，x2）区间内有无一个实根，如果f（x1）和f（x2）符号相反，说明（x1，x2）之间有一个实根，取（x1，x2）的中点x，检查f（x）与f（x1）是否同符号，如果不同号，说明实根在（x，x1）区间，这样就已经将寻找根的范围减少了一半了．然后用同样的办法再进一步缩小范围，直到区间相当小为止．
2．函数的模型及其应用
（1）几类不同增长的函数模型
利用计算工具，比较指数函数、对数函数以及幂函数增长差异；结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的含义。
(2) 函数模型及其应用
建立函数模型解决实际问题的一般步骤：①收集数据；②画散点图，选择函数模型；③待定系数法求函数模型；④检验是否符合实际，如果不符合实际，则改用其它函数模型，重复②至④步；如果符合实际，则可用这个函数模型来解释或解决实际问题．
解函数实际应用问题的关键：耐心读题，理解题意，分析题中所包含的数量关系（包括等量关系和不等关系）．
二、考点阐述
考点1 函数的零点与方程根的联系
一般结论：函数y＝f(x)的零点就是方程f(x)＝0的实数根，也就是函数y＝f(x)的图象与x轴的交点的横坐标．所以方程f(x)＝0有实数根?函数y＝f(x)的图象与x轴有交点?函数y＝f(x)有零点．
1 对于函数f(x)＝x2＋mx＋n，若f(a)>0，f(b)>0.则函数f(x)在区间(a，b)内( )
A．一定有零点 B．一定没有零点
C．可能有两个零点 D．至多有一个零点
2、．如果二次函数有两个不同的零点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3、 求零点的个数为 （ ）
A． B． C． D．
4、函数的零点个数为
5设函数f(x)＝ax2＋bx＋c，且f(1)＝－，3a>2c>2b，求证：
(1)a>0且－3<<－；(2)函数f(x)在区间(0,2)内至少有一个零点；
(3)设x1，x2是函数f(x)的两个零点，则≤|x1－x2|<.
考点2 用二分法求方程的近似解
6．用“二分法”求方程在区间内的实根，取区间中点为，那么下一个有根的区间是 。
7．设,用二分法求方程内近似解的过程中得则方程的根落在区间（ ）
A． B． C． D．不能确定
考点3 函数的模型及其应用
8、某地区1995年底沙漠面积为95万公顷，为了解该地区沙漠面积的变化情况，进行了连续5年的观测，并将每年年底的观测结果记录如下表。根据此表所给的信息进行预测：（1）如果不采取任何措施，那么到2010年底，该地区的沙漠面积将大约变为多少万公顷；（2）如果从2000年底后采取植树造林等措施，每年改造0.6万公顷沙漠，那么到哪一年年底该地区沙漠面积减少到90万公顷？
观测时间
1996年底
1997年底
1998年底
1999年底
2000年底
该地区沙漠比原有面积增加数（万公顷）
0.2000
0.4000
0.6001
0.7999
1.0001
三、解题方法分析
1．函数零点的求法
【方法点拨】对于一些比较简单的方程，我们可以通过因式分解、公式等方法求函数的
对于不能用公式解决的方程，我们可以把这些方程与函数联系起来，并利用函数的图象和性质找出零点，从而求出方程的根。
例1求函数y＝x3－2x2－x＋2的零点．
2．二分法求方程近似解
【方法点拨】对于在区间，上连续不断，且满足·的函数，
通过不断地把函数的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，
进而得到零点近似值．
例2、用二分法求方程x3＋3x－5＝0的一个近似解(精确度0.1)．
3．利用给定函数模型解决实际问题
【方法点拨】这类问题是指在问题中明确了函数关系式，我们需要根据函数关系式来处
理实际问题，有时关系式中带有需确定的参数，这些参数需要根据问题的内容或性质来
确定之后，才能使问题本身获解．
例3有甲乙两种产品，生产这两种产品所能获得的利润依次是P和Q万元，它们与投入资金x（万元）的关系为：,,今投入3万元资金生产甲、乙两种产品，为获得最大利润，对甲、乙两种产品的资金投入分别应为多少？最大利润是多少？
例4.
某公司试销一种成本单价为500元/件的新产品，规定试销时销售单价不低于成本单价，又不高于800元/件．经试销调查，发现销售量y(件)与销售单价x(元/件)可近似看作一次函数y=kx+b的关系(如图所示)．
(1)根据图象，求一次函数y=kx+b的表达式；
(2)设公司获得的毛利润(毛利润=销售总价-成本总价)为S元．试用销售单价x表示利润S；并求销售单价定为多少时，该公司可获得最大毛利润？最大毛利润是多少？此时的销售量是多少？
四、课堂练习
1．函数f(x)=2x+7的零点为 （ ）
A、7 B、 C、 D、-7
2．方程的一个实数解的存在区间为 （ ）
A、（0，1） B、（0.5，1.5） C、（-2，1） D、（2，3）
3．设,用二分法求方程内近似解的过程中得则方程的根落在区间（ ）
A B C D 不能确定
4．函数在区间（1，2）内的函数值为（ ）
A、大于等于0 B、等于0 C、大于0 D、小于0
5．某人骑自行车沿直线匀速旅行，先前进了a千米，休息了一段时间，又沿原路返回b千米（b
7．某轮船在航行中每小时所耗去的燃料费与该船航行速度的立方成正比，且比例系数为a，其余费用与船的航行速度无关，约为每小时b元，若该船以速度v千米/时航行，航行每千米耗去的总费用为 y （元），则y与v的函数解析式 ________．
8．有一块长为20厘米,宽为12厘米的矩形铁皮，将其四个角各截去一个边长为x的小正方形，然后折成一个无盖的盒子。则盒子的容积V与x的函数关系式是 。
9．已知函数的图象是连续不断的，有如下的，对应值表：
－2
－1.5
－1
－0.5
0
0.5
1
1.5
2
－3.51
1.02
2.37
1.56
－0.38
1.23
2.77
3.45
4.89
函数在哪几个区间内有零点？为什么？
10．一个体户有一种货，如果月初售出可获利100元，再将本利都存入银行，已知银行月息为2．4%，如果月末售出可获利120元，但要付保管费5元，问这种货是月初售出好，还是月末售出好？
11．某工厂今年1月、2月、3月生产某种产品的数量分别是1万件、1.2 万件、1.3 万件，为了估测以后每个月的产量，以这三个月的产品数量为依据，用一个函数模拟该产品的月产量与月份x的关系，模拟函数可以选用二次函数或函数（其中为常数）已知4月份该产品的产量为1.37万件， 请问用以上哪个函数作为模拟函数较好，并说明理由
12．某农产品从5月1日起开始上市，通过市场调查，得到该农产品种植成本Q(单位：元/102 kg)与上市时间t(时间：天)的数据如下表：
时间t
50
110
250
种植成本Q
150
108
150
(1)根据上表数据，从下列函数中选取一个函数描述该农产品种植成本Q与上市时间t的变化关系：Q＝at＋b，Q＝at2＋bt＋c，Q＝abt，Q＝alogbt；
(2)利用你选取的函数，求该农产品种植成本最低时的上市时间及最低种植成本．