19.1.1 矩形的性质 课件(共26张PPT)

(共26张PPT)
2022年春华师大版数学
八年级下册数学精品课件
19.1.1 矩形的性质
学习目标
理解矩形的概念，知道矩形与平行四边形的区别与联系.
会证明矩形的性质，会用矩形的性质解决简单的问题.
平行四边形有哪些性质？
边 角 对角线 对称性
平行四 边形
对边平行
且相等
对角相等
邻角互补
对角线互
相平分
中心对称图形
复习回顾
有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.
如图，用四根木条做一个平行四边形的活动木框，将其直立在地面并轻轻推动，你会发现什么？
矩形的定义：
知识精讲
矩形是特殊的平行四边形.
平行四边形不一定是矩形.
针对练习
下列哪个图形能够反映四边形、平行四边形、矩形的关系的是（ ）
D
C
四边形
矩形
平行四边形
四边形
矩形
平行四边形
四边形
矩形
平行四边形
平行四边形
矩形
四边形
A
B
C
知识精讲
生活中的实例
知识精讲
我们已经知道矩形是特殊的平行四边形，因此矩形除具有平行四边形的性质外，还有它的特殊性质.观察下图并说说出矩形有哪些性质.
5.矩形的两条对角线互相平分
3.矩形的两组对角分别相等
2.矩形的两组对边分别相等
1.矩形的两组对边分别平行
4.矩形的邻角互补
我们发现矩形既是中心对称图形，也是轴对称图形，对称轴为通过对边中点的直线.
A
B
C
D
□
O
D
C
B
A
相等的线段：
AB=CD AD=BC AC=BD OA=OC=OB=OD= AC= BD
相等的角：
∠DAB=∠ABC=∠BCD=∠CDA=90°
∠AOB=∠DOC ∠AOD=∠BOC
∠OAB=∠OBA=∠ODC=∠OCD ∠OAD=∠ODA=∠OBC=∠OCB
等腰三角形有：
△OAB △ OBC △OCD △OAD
直角三角形有：
Rt△ABC Rt△BCD Rt△CDA Rt△DAB
全等三角形有：
Rt△ABC ≌ Rt△BCD ≌ Rt△CDA ≌ Rt△DAB
△OAB≌△OCD △OAD≌△OCB
如图：已知四边形ABCD是矩形
知识精讲
知识精讲
矩形作为特殊的平行四边形，除了具有平行四边形的所有性质外，矩形一定还会具有一些特殊的性质.请思考并猜想矩形具有，而平行四边形不具有的性质有什么？
探究活动
A
O
D
C
B
边
角
对角线
四个角都是90°.
对角线相等.
猜想：矩形的四个角都是直角.
已知：四边形ABCD是矩形
求证：∠A=∠B=∠C=∠D=90°
D
C
B
A
证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∠C=90°
∴∠A=∠C=90° ∠B+∠C=180 °
∴∠B=180－∠C=90°
∴∠D=∠B=90°
即∠A=∠B=∠C=∠D=90°
知识精讲
知识精讲
矩形性质定理1：矩形的四个角都是直角.
A
D
B
C
∵四边形ABCD是矩形
∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°
知识精讲
已知：四边形ABCD是矩形
求证：AC = BD
A
B
C
D
证明：在矩形ABCD中
∵∠ABC = ∠DCB = 90°
又∵AB = DC ， BC = CB
∴△ABC≌△DCB
∴AC = BD
猜想：矩形的对角线相等.
知识精讲
矩形性质定理2：矩形的对角线相等.
∵四边形ABCD是矩形
∴AC=BD
A
O
D
C
B
例1 如图，矩形ABCD被两条对角线分成四个小三角形，如果四个小三角形的周长的和是86cm，对角线的长是13cm，那么矩形的周长是多少？
解：在矩形ABCD中,有
AD=BC;AB=CD;AC=DB;
AO=OC=OB=OD
∴AD+BC+AB+DC+2AC+2BD=86
又∵AC=DB=13
∴AD+AB+BC+DC=86－52=34
A
B
C
D
O
典例解析
针对练习
已知：矩形ABCD的两条对角线相交与O，∠AOD=120°，AB = 4cm.求矩形对角线的长
∴BD = 2AB=2×4=8cm
A
B
C
D
O
1
解：∵四边形ABCD是矩形
∴OA = OD（ ）
∵ ∠AOD=120°
∴ ∠1=30°
又∵ ∠ABC=90°（ ）
矩形的对角线相等且平分
矩形的每个内角都是直角
例2 如图,在矩形ABCD中,E是BC上一点,AE=AD,DF⊥AE ,垂足为F.
求证：DF=DC.
A
B
C
D
E
F
证明：连接DE.
∵AD =AE,∴∠AED =∠ADE.
∵四边形ABCD是矩形,
∴AD∥BC,∠C=90°.
∴∠ADE=∠DEC,
∴∠DEC=∠AED.
又∵DF⊥AE, ∴∠DFE=∠C=90°.
又∵DE=DE,
∴△DFE≌△DCE,
∴DF=DC.
典例解析
例3 如图，将矩形ABCD沿着直线BD折叠，使点C落在C′处，BC′交AD于点E，AD＝8，AB＝4，求△BED的面积．
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，∠A＝90°，
∴∠2＝∠3.
又由折叠知∠1＝∠2，
∴∠1＝∠3，∴BE＝DE.
设BE＝DE＝x，则AE＝8－x.
∵在Rt△ABE中，AB2＋AE2＝BE2，
∴42＋(8－x)2＝x2，
解得x＝5，即DE＝5.
∴S△BED＝ DE·AB＝ ×5×4＝10.
矩形的折叠问题常与勾股定理结合考查
典例解析
1.如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O， 下列说法错误的是 （　　）
A．AB∥DC B．AC=BD
C．AC⊥BD D．OA=OB
A
B
C
D
O
C
达标检测
2.如图，EF过矩形ABCD对角线的交点O，且分别交AB、CD于E、F，那么阴影部分的面积是矩形ABCD面积的_________.
　　　　　　　　　　　　　
达标检测
达标检测
3.矩形具有而平行四边形不具有的性质（ ）
（A）内角和是360度 （B）对角相等
（C）对边平行且相等 （D）对角线相等
D
4.在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O,已知AB=6，BC=8，则AC=____，BD=____，矩形ABCD的周长是____，面积是_____.
D
C
B
A
o
10
10
28
48
达标检测
5.已知:如图,过矩形ABCD的顶点作CE//BD，交AB的延长线于E.
求证：∠CAE=∠CEA.
A
B
C
D
E
证明：∵四边形ABCD是矩形
∴AB∥CD, BD=AC
∵CE∥BD
∴四边形BECD为平行四边形
∴CE=BD
∴AC=CE
∴∠CAE=∠CEA
6.如图，在矩形ABCD中，AE⊥BD于E，∠DAE：∠BAE＝3：1，求∠BAE和∠EAO的度数．
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠DAB＝90°，
AO＝ AC，BO＝ BD，AC＝BD，
∴∠BAE＋∠DAE＝90°，AO＝BO.
又∵∠DAE：∠BAE＝3：1，
∴∠BAE＝22.5°，∠DAE＝67.5°.
∵AE⊥BD，
∴∠ABE＝90°－∠BAE＝90°－22.5°＝67.5°，
∴∠OAB＝∠ABE＝67.5°
∴∠EAO＝67.5°－22.5°＝45°.
达标检测
小结梳理
有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.
矩形是特殊的平行四边形.
1.矩形的定义：
2.矩形的性质：
（2）矩形的四个角都是直角.
（3）矩形的对角线相等.
（1）具备平行四边形的所有性质.
A
O
D
C
B
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