19.2.1 菱形的性质 课件（28张ppt）

2022年春华师大版数学
八年级下册数学精品课件
19.2.1 菱形的性质
学习目标
了解菱形的概念及其与平行四边形的关系.探索并证明菱形的性质定理.
应用菱形的性质定理解决相关计算或证明问题.
平行四边形有哪些性质？
边
角
对角线
对称性
平行四
边形
对边平行
且相等
对角相等
邻角互补
对角线互
相平分
中心对称图形
复习回顾
前面我们学习了平行四边形和矩形，知道了如果平行四边形有一个角是直角时,成为什么图形?
(矩形,由角变化得到)
如果从边的角度,将平行四边形特殊化,又会得到什么特殊的四边形呢?
情境引入
在平行四边形中，如果内角大小保持不变，仅改变边的长度，请仔细观察和思考，在这变化过程中，哪些关系没变？哪些关系变了？
知识精讲
平行四边形
定义：有一组邻边相等的平行四边形叫菱形.
菱形
邻边相等
菱形是特殊的平行四边形.
平行四边形不一定是菱形.
针对练习
下列哪个图形能够反映四边形、平行四边形、菱形的关系的是（ ）
D
C
四边形
菱形
平行四边形
四边形
菱形
平行四边形
四边形
菱形
平行四边形
平行四边形
菱形
四边形
A
B
C
知识精讲
生活中的实例
有同学是这样做的：将一张长方形的纸对折、再对折，然后沿图中的虚线剪下，打开即可.你知道其中的道理吗？
如何利用折纸、剪切的方法，既快又准确地剪出一个菱形的纸片？
知识精讲
知识精讲
B
D
A
C
菱形是轴对称图形
(2)从图中你能得到哪些结论?并说明理由.
提示:从边、角、对角线、面积等方面来探讨.
(1)观察得到的菱形,它是中心对称图形吗?它是轴对称图形吗?如果是，有几条对称轴?对称轴之间有什么位置关系?
菱形是中心对称图形
知识精讲
由于平行四边形的对边相等，而菱形的邻边相等，故：
菱形是特殊的平行四边形，具有平行四边形的所有性质.
菱形的性质1：菱形的四条边都相等.
∵四边形ABCD是菱形
∴AB=BC=CD=AD
知识精讲
已知：菱形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，如下图，
证明：∵四边形ABCD是菱形
A
B
C
D
O
在△ABD中，　　
又∵BO=DO
∴AB=AD（菱形的四条边都相等）
∴AC⊥BD，AC平分∠BAD
同理： AC平分∠BCD；BD平分∠ABC和∠ADC
求证：AC⊥BD ； AC平分∠BAD和∠BCD ；BD平分∠ABC和∠ADC
命题：菱形的对角线互相垂直平分，并且每一条对角线平分一组对角.
知识精讲
菱形的性质2：菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角.
∵四边形ABCD是菱形
∴AC⊥BD，AC平分∠BAD和∠BCD ；BD平分∠ABC和∠ADC
知识精讲
A
B
C
D
O
如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O.
（2）有哪些特殊的三角形？
（1）图中有哪些线段是相等的？哪些角是相等的？
知识精讲
相等的线段：
相等的角：
等腰三角形：
直角三角形：
全等三角形：
已知四边形ABCD是菱形.
AB=CD=AD=BC
OA=OC OB=OD
∠DAB=∠BCD ∠ABC =∠CDA
∠AOB=∠DOC=∠AOD=∠BOC =90°
∠1=∠2=∠3=∠4 ∠5=∠6=∠7=∠8
△ABC △DBC △ACD △ABD
Rt△AOB Rt△BOC Rt△COD Rt△DOA
Rt△AOB ≌ Rt△BOC≌ Rt△COD ≌ Rt△DOA
△ABD≌△BCD △ABC≌△ACD
问题1 菱形是特殊的平行四边形,那么能否利用平行四边形面积公式计算菱形ABCD的面积吗?
A
B
C
D
思考 前面我们已经学习了菱形的对角线互相垂直,那么能否利用对角线来计算菱形ABCD的面积呢?
能.过点A作AE⊥BC于点E,
则S菱形ABCD=底×高
=BC·AE.
E
知识精讲
问题2 如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD交于点O,试用对角线表示出菱形ABCD的面积.
A
B
C
D
O
解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD,
∴S菱形ABCD=S△ABC +S△ADC
= AC·BO+ AC·DO
= AC(BO+DO)
= AC·BD.
你有什么发现？
菱形的面积 = 底×高 = 对角线乘积的一半
知识精讲
典例解析
例1 四边形ABCD是菱形，O是两条对角线的 交点，已知AB=5cm，AO=4cm，求对角线BD的长.
A
B
C
D
O
解：∵四边形ABCD是菱形
∴AC⊥BD
∴
∴OB=3
∴ BD=2OB=6cm
5
4
3
有关菱形问题可转化为直角三角形或等腰三角形的问题来解决.
针对练习
已知:如图,四边形ABCD是边长为13cm的菱形,其中对角线BD长10cm.
求:(1).对角线AC的长度; (2).菱形的面积
解:(1)
∵四边形ABCD是菱形,
=2×△ABD的面积
∴∠AED=900,
(2)菱形ABCD的面积=△ABD的面积+△CBD的面积
∴AC=2AE=2×12=24(cm).
D
B
C
A
E
例2 如图，在菱形ABCD中，CE⊥AB于点E，CF⊥AD于点F，求证：AE＝AF.
证明：连接AC.
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC平分∠BAD，
即∠BAC＝∠DAC.
∵CE⊥AB，CF⊥AD，
∴∠AEC＝∠AFC＝90°.
又∵AC＝AC，
∴△ACE≌△ACF.
∴AE＝AF.
【点睛】菱形是轴对称图形，它的两条对角线所在的直线都是它的对称轴，每条对角线平分一组对角．
典例解析
例3 如图，E为菱形ABCD边BC上一点，且AB=AE，AE交BD于O，且∠DAE=2∠BAE，求证：OA=EB.
A
B
C
D
O
E
证明：∵四边形ABCD为菱形，
∴AD∥BC，AD=BA，
∠ABC＝∠ADC＝2∠ADB ，
∴∠DAE＝∠AEB，
∵AB=AE,∴∠ABC＝∠AEB，
∴∠ABC=∠DAE，?
∵∠DAE＝2∠BAE，∴∠BAE＝∠ADB.?
又∵AD＝BA ，
∴△AOD≌△BEA ，
∴AO＝BE .
典例解析
例4 如图，在菱形ABCD中，点O为对角线AC与BD的交点，且在△AOB中，OA＝5，OB＝12.求菱形ABCD两对边的距离h.
解：在Rt△AOB中，OA＝5，OB＝12，
∴S△AOB＝ OA·OB＝ ×5×12＝30，
∴S菱形ABCD＝4S△AOB＝4×30＝120.
∵
又∵菱形两组对边的距离相等，
∴S菱形ABCD＝AB·h＝13h，
∴13h＝120，得h＝ .
典例解析
【点睛】菱形的面积计算有如下方法：(1)一边长与两对边的距离(即菱形的高)的积；(2)四个小直角三角形的面积之和(或一个小直角三角形面积的4倍)；(3)两条对角线长度乘积的一半．
1.菱形两条对角线长为6和8，菱形的边长为 ，面积为 .
2.菱形ABCD的面积为96，对角线AC长为16 ，此菱形的边长为 .
3.菱形对角线的平方和等于一边平方的 （ ）
A. 2倍 B. 3倍 C.4倍 D. 5倍
5
4
10
C
达标检测
4.已知菱形的周长是12cm，那么它的边长是______.
3cm
达标检测
5.菱形ABCD中∠ABC＝60度，则∠BAC＝_______.
60度
6.菱形的两条对角线长分别为6cm和8cm，则菱形的边长是（ ）
C
A.10cm B.7cm C. 5cm D.4cm
A
B
C
D
O
3
4
7.在菱形ABCD中，AE⊥BC，AF⊥CD，E、F分别为BC，CD的中点，那么∠EAF的度数是（ ）
A.75°B.60°C.45°D.30°
B
8.如图，菱形ABCD的边长为4cm，∠BAD＝120°。对角线AC、BD相交于点O，求这个菱形的对角线长和面积.
∴∠BAC＝60°
∴ △ BAC是等边三角形
∴ AC＝AB= 4cm
∴B O ＝23
?
∴B D ＝ 43
?
解：∵ 四边形ABCD为菱形
∵ ∠BAD＝120°
∴AD∥BC，AC⊥BD，AB=BC
达标检测
矩形和菱形的性质
矩形
菱形
定义
有一个角是直角的平行四边形
有一组邻边相等的平行四边形
性
质
1、具有平行四边形的一切性质
2、四个角都是直角
3、矩形的对角线相等
1、具有平行四边形的一切性质
2、菱形的四条边都相等
3、菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角
小结梳理
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