19.2.2 菱形的判定 课件(共32张PPT)
文档属性
| 名称 | 19.2.2 菱形的判定 课件(共32张PPT) |  | |
| 格式 | pptx | ||
| 文件大小 | 3.5MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 华师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-03-22 09:25:02 | ||
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文档简介
(共32张PPT)
2022年春华师大版数学
八年级下册数学精品课件
19.2.2 菱形的判定
学习目标
经历菱形判定定理的探究过程，掌握菱形的判定定理．
会用这些菱形的判定方法进行有关的证明和计算.
复习回顾
有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.
菱形的定义：
一组邻边相等
平行四边形
菱形
边
对角线
角
菱形的性质
菱形的两条对角线互相平分.
菱形的两组对边平行.
菱形的四条边相等.
菱形的两组对角分别相等.
菱形的邻角互补.
菱形的两条对角线互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角.
矩形 菱形
定义
有一角是直角的平行四边形叫做矩形.
有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.
具有平行四边形的一切性质
性质
边
角
对角线
四个角都是直角
相等
互相垂直且平分每一组对角
判定
有一角是直角的平行四边形
对角线相等的平行四边形
三个角都是直角的四边形
四条边都相等
你的想法正确吗？
如何证明你的猜想？
复习回顾
根据菱形的定义,可得菱形的第一个判定的方法.
∵四边形ABCD是平行四边形且AB=AD
∴四边形ABCD是菱形
几何语言：
有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.
还有其它方法吗
知识精讲
先画两条等长的线段AB、AD，然后分别以B、D为圆心，AB为半径画弧，得到两弧的交点C，连接BC、CD，就得到了一个四边形，猜一猜，这是什么四边形？说出你的理由.
猜想：有四条边相等的四边形是菱形.
A
B
C
D
O
知识精讲
命题：有四条边相等的四边形是菱形.
已知：在四边形ABCD中,AB=BC=CD=DA.
求证：四边形ABCD是菱形
证明：
∵AB=CD,AD=BC
∴四边形ABCD是平行四边形
又∵AB=AD,
∴四边形ABCD是菱形
知识精讲
菱形的判定定理1：
四条边都相等的四边形是菱形.
AB=BC=CD=DA
A
B
C
D
菱形ABCD
∵在四边形ABCD中,AB=BC=CD=DA
∴四边形ABCD是菱形
四边形ABCD
A
B
C
D
几何语言
知识精讲
用一长一短两根细木条,在它们的中点处固定一个小钉,做成一个可以转动的十字,四周围上一根橡皮筋,做成一个四边形.转动木条,这个四边形什么时候变成菱形
猜想：对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
知识精讲
命题：对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
已知：在 中，AC ⊥ BD.
ABCD
ABCD
求证： 是菱形.
A
B
C
D
O
∟
证明：
∵四边形ABCD是平行四边形
∴OA=OC
又∵AC⊥BD;
∴BA=BC
∴ ABCD是菱形
知识精讲
菱形的判定2：
对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
AC⊥BD
∵在□ABCD中，AC⊥BD
∴ □ABCD是菱形
A
B
C
D
菱形ABCD
A
B
C
D
□ABCD
几何语言:
知识精讲
1.判断下列三个图形是菱形吗
5
5
3
4
3
4
5
5
5
5
有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.
对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
有四条边相等的四边形是菱形.
3
3
4
4
┍
针对练习
2.判断下列说法是否正确？为什么？
(1)对角线互相垂直的四边形是菱形； （ ）
(2)对角线互相垂直平分的四边形是菱形；（ ）
(3)对角线互相垂直,且有一组邻边相等的四边形是菱形； （ ）
(4)两条邻边相等，且一条对角线平分一组对角的四边形是菱形．（ ）
╳
√
╳
╳
∟
A
D
B
C
∟
A
B
C
D
针对练习
例1 如图， ABCD的两条对角线AC、BD相交于点O，AB=5，AO=4，BO=3.
求证：四边形ABCD是菱形.
A
B
C
D
O
又∵四边形ABCD是平行四边形，
∵ OA=4,OB=3,AB=5，
证明：
即AC⊥BD，
∴ AB2=OA2+OB2，
∴△AOB是直角三角形，
∴四边形ABCD是菱形.
典例解析
例2 如图,矩形ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD、BC分别交于点E、F,求证：四边形AFCE是菱形．
A
B
C
D
E
F
O
1
2
证明: ∵四边形ABCD是矩形,
∴AE∥FC，∴∠1=∠2.
∵EF垂直平分AC，
∴AO = OC .
又∠AOE =∠COF，
∴△AOE≌△COF，∴EO =FO.
∴四边形AFCE是平行四边形.
又∵EF⊥AC
∴ 四边形AFCE是菱形.
典例解析
证明： ∵ ∠1= ∠2,
又∵AE=AC,AD=AD,
∴ △ACD≌ △AED (SAS).
同理△ACF≌△AEF(SAS) .
∴CD=ED, CF=EF.
又∵EF=ED,∴CD=ED=CF=EF,
∴四边形ABCD是菱形.
例3 如图,在△ABC中, AD是角平分线,点E、F分别在AB、 AD上,且AE=AC,
EF = ED.求证：四边形CDEF是菱形.
典例解析
例4 如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝6cm，BC＝8cm.将△ABC沿射线BC方向平移10cm，得到△DEF，A，B，C的对应点分别是D，E，F，连接AD.求证：四边形ACFD是菱形．
证明：由平移变换的性质得CF＝AD＝10cm，
DF＝AC.
∵∠B＝90°，AB＝6cm，BC＝8cm，
∴AC＝DF＝AD＝CF＝10cm，
∴四边形ACFD是菱形．
【点睛】 四边形的条件中存在多个关于边的等量关系时，运用四条边都相等来判定一个四边形是菱形比较方便．
典例解析
H
G
F
E
D
C
B
A
证明：连接AC、BD.
∵四边形ABCD是矩形，
∴AC=BD.
∵点E、F、G、H为各边中点，
∴EF=FG=GH=HE，
∴四边形EFGH是菱形.
例5 如图，顺次连接矩形ABCD各边中点，得到四边形EFGH，求证：四边形EFGH是菱形.
典例解析
C
A
B
D
E
F
G
H
如图，顺次连接对角线相等的四边形ABCD各边中点，得到四边形EFGH是什么四边形？
解：四边形EFGH是菱形.
又∵AC=BD,
∵点E、F、G、H为各边中点，
∴EF=FG=GH=HE，
∴四边形EFGH是菱形.
【点睛】顺次连接对角线相等的四边形的各边中点，得到四边形是菱形.
理由如下：连接AC、BD
知识精讲
A
B
C
D
E
F
G
H
拓展1 如图，顺次连接平行四边形ABCD各边中点，得到四边形EFGH是什么四边形？
解：连接AC、BD.
∵点E、F、G、H为各边中点，
∴四边形EFGH是平行四边形.
拓展2 如图，若四边形ABCD是菱形，顺次连接菱形ABCD各边中点，得到四边形EFGH是什么四边形？
四边形EFGH是矩形.
知识精讲
例6 如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，BE＝2DE，延长DE到点F，使得EF＝BE，连接CF.
(1)求证：四边形BCFE是菱形；
(1)证明：∵D、E分别是AB、AC的中点，
∴DE∥BC且2DE＝BC.
又∵BE＝2DE，EF＝BE，
∴EF＝BC，EF∥BC，
∴四边形BCFE是平行四边形．
又∵EF＝BE，
∴四边形BCFE是菱形；
典例解析
(2)解：∵∠BCF＝120°，
∴∠EBC＝60°，
∴△EBC是等边三角形，
∴菱形的边长为4，高为 ，
∴菱形的面积为 .
(2)若CE＝4，∠BCF＝120°，求菱形BCFE的面积．
【点睛】判定一个四边形是菱形时，要结合条件灵活选择方法．如果可以证明四条边相等，可直接证出菱形；如果只能证出一组邻边相等或对角线互相垂直，可以先尝试证出这个四边形是平行四边形．
典例解析
1.已知 □ ABCD的对角线AC、BD相交于点O,分别添加下列条件：（1）∠ABC=900
（2）AC ⊥BD （3）AB=BC （4）AC平分∠BAD （5）AO=DO 使得四边形ABCD是菱形的条件的序号有_________.
2.下列条件中,不能判定四边形ＡＢＣＤ为菱形的是（ ）
Ａ.AC⊥BD ，AC与BD互相平分
Ｂ.AB=BC=CD=DA
Ｃ.AB=BC，AD=CD，且AC ⊥BD
Ｄ.AB=CD，AD=BC，AC ⊥BD
(2) (3) (4)
C
B
O
A
D
C
达标检测
3.□ABCD的对角线AC与BD相交于点O，
（1）若AB=AD，则□ABCD是 形；
（2）若AC=BD，则□ABCD是 形；
（3）若∠ABC是直角，则□ABCD是 形；
（4）若∠BAO=∠DAO，则□ABCD是 形.
A
B
C
D
O
矩
菱
矩
菱
达标检测
4.下列命题中正确的是（ ）
A.一组邻边相等的四边形是菱形 B.三条边相等的四边形是菱形
C.四条边相等的四边形是菱形 D.四个角相等的四边形是菱形
C
5.对角线互相垂直且平分的四边形是（ ）
A.矩形 B.一般的平行四边形
C.菱形 D.以上都不对
C
6.下列条件中，不能判定四边形ABCD为菱形的是（ ）
A.AC⊥BD,AC与BD互相平分 B.AB=BC=CD=DA
C.AB=BC,AD=CD,且AC⊥BD D.AB=CD,AD=BC,AC⊥BD
C
达标检测
24㎝
菱形
7.一边长为5cm平行四边形的两条对角线的长分别为6cm和8cm，则这个平行四边形为______，其面积为_________.
A
B
C
D
E
F
8.如图在菱形ABCD中,CE⊥AB,CF⊥AD则CE____CF，BE____DF.
＝
＝
达标检测
9.如图 ABCD的两条对角线AC、BD相交于点O，AB=5，AC=8，DB=6.求证:四边形ABCD是菱形.
A
B
C
D
O
∴四边形ABCD是菱形.
∴OA=OC=4 OB=OD=3
证明:
又∵AB=5
∴AC⊥BD
∴∠AOB=90°
又∵ 四边形ABCD是平行四边形
∵ 四边形ABCD是平行四边形
∴AB2=AO2+BO2
达标检测
10.已知：如图，AD平分∠BAC，DE∥AC 交AB于E，DF∥AB交AC于F．求证：四边形AEDF是菱形.
∴ □AEDF是菱形
证明：∵DE∥AC DF∥AB
∴四边形AEDF是平行四边形
∵ DE∥AC
∴∠2=∠3
∵ AD是△ABC的角平分线
∴ ∠1=∠2
∴AE=DE
∴ ∠1=∠3
达标检测
四条边都相等
菱形
一组邻边相等
对角线互相垂直
对角线互相平分
一组对边平行且相等
两组对边分别平行或相等
四边形
平行四边形
两组对角分别相等
每条对角线平分一组对角
小结梳理
https://www.21cnjy.com/help/help_extract.php
2022年春华师大版数学
八年级下册数学精品课件
19.2.2 菱形的判定
学习目标
经历菱形判定定理的探究过程，掌握菱形的判定定理．
会用这些菱形的判定方法进行有关的证明和计算.
复习回顾
有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.
菱形的定义：
一组邻边相等
平行四边形
菱形
边
对角线
角
菱形的性质
菱形的两条对角线互相平分.
菱形的两组对边平行.
菱形的四条边相等.
菱形的两组对角分别相等.
菱形的邻角互补.
菱形的两条对角线互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角.
矩形 菱形
定义
有一角是直角的平行四边形叫做矩形.
有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.
具有平行四边形的一切性质
性质
边
角
对角线
四个角都是直角
相等
互相垂直且平分每一组对角
判定
有一角是直角的平行四边形
对角线相等的平行四边形
三个角都是直角的四边形
四条边都相等
你的想法正确吗？
如何证明你的猜想？
复习回顾
根据菱形的定义,可得菱形的第一个判定的方法.
∵四边形ABCD是平行四边形且AB=AD
∴四边形ABCD是菱形
几何语言：
有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.
还有其它方法吗
知识精讲
先画两条等长的线段AB、AD，然后分别以B、D为圆心，AB为半径画弧，得到两弧的交点C，连接BC、CD，就得到了一个四边形，猜一猜，这是什么四边形？说出你的理由.
猜想：有四条边相等的四边形是菱形.
A
B
C
D
O
知识精讲
命题：有四条边相等的四边形是菱形.
已知：在四边形ABCD中,AB=BC=CD=DA.
求证：四边形ABCD是菱形
证明：
∵AB=CD,AD=BC
∴四边形ABCD是平行四边形
又∵AB=AD,
∴四边形ABCD是菱形
知识精讲
菱形的判定定理1：
四条边都相等的四边形是菱形.
AB=BC=CD=DA
A
B
C
D
菱形ABCD
∵在四边形ABCD中,AB=BC=CD=DA
∴四边形ABCD是菱形
四边形ABCD
A
B
C
D
几何语言
知识精讲
用一长一短两根细木条,在它们的中点处固定一个小钉,做成一个可以转动的十字,四周围上一根橡皮筋,做成一个四边形.转动木条,这个四边形什么时候变成菱形
猜想：对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
知识精讲
命题：对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
已知：在 中，AC ⊥ BD.
ABCD
ABCD
求证： 是菱形.
A
B
C
D
O
∟
证明：
∵四边形ABCD是平行四边形
∴OA=OC
又∵AC⊥BD;
∴BA=BC
∴ ABCD是菱形
知识精讲
菱形的判定2：
对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
AC⊥BD
∵在□ABCD中，AC⊥BD
∴ □ABCD是菱形
A
B
C
D
菱形ABCD
A
B
C
D
□ABCD
几何语言:
知识精讲
1.判断下列三个图形是菱形吗
5
5
3
4
3
4
5
5
5
5
有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.
对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
有四条边相等的四边形是菱形.
3
3
4
4
┍
针对练习
2.判断下列说法是否正确？为什么？
(1)对角线互相垂直的四边形是菱形； （ ）
(2)对角线互相垂直平分的四边形是菱形；（ ）
(3)对角线互相垂直,且有一组邻边相等的四边形是菱形； （ ）
(4)两条邻边相等，且一条对角线平分一组对角的四边形是菱形．（ ）
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√
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∟
A
D
B
C
∟
A
B
C
D
针对练习
例1 如图， ABCD的两条对角线AC、BD相交于点O，AB=5，AO=4，BO=3.
求证：四边形ABCD是菱形.
A
B
C
D
O
又∵四边形ABCD是平行四边形，
∵ OA=4,OB=3,AB=5，
证明：
即AC⊥BD，
∴ AB2=OA2+OB2，
∴△AOB是直角三角形，
∴四边形ABCD是菱形.
典例解析
例2 如图,矩形ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD、BC分别交于点E、F,求证：四边形AFCE是菱形．
A
B
C
D
E
F
O
1
2
证明: ∵四边形ABCD是矩形,
∴AE∥FC，∴∠1=∠2.
∵EF垂直平分AC，
∴AO = OC .
又∠AOE =∠COF，
∴△AOE≌△COF，∴EO =FO.
∴四边形AFCE是平行四边形.
又∵EF⊥AC
∴ 四边形AFCE是菱形.
典例解析
证明： ∵ ∠1= ∠2,
又∵AE=AC,AD=AD,
∴ △ACD≌ △AED (SAS).
同理△ACF≌△AEF(SAS) .
∴CD=ED, CF=EF.
又∵EF=ED,∴CD=ED=CF=EF,
∴四边形ABCD是菱形.
例3 如图,在△ABC中, AD是角平分线,点E、F分别在AB、 AD上,且AE=AC,
EF = ED.求证：四边形CDEF是菱形.
典例解析
例4 如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝6cm，BC＝8cm.将△ABC沿射线BC方向平移10cm，得到△DEF，A，B，C的对应点分别是D，E，F，连接AD.求证：四边形ACFD是菱形．
证明：由平移变换的性质得CF＝AD＝10cm，
DF＝AC.
∵∠B＝90°，AB＝6cm，BC＝8cm，
∴AC＝DF＝AD＝CF＝10cm，
∴四边形ACFD是菱形．
【点睛】 四边形的条件中存在多个关于边的等量关系时，运用四条边都相等来判定一个四边形是菱形比较方便．
典例解析
H
G
F
E
D
C
B
A
证明：连接AC、BD.
∵四边形ABCD是矩形，
∴AC=BD.
∵点E、F、G、H为各边中点，
∴EF=FG=GH=HE，
∴四边形EFGH是菱形.
例5 如图，顺次连接矩形ABCD各边中点，得到四边形EFGH，求证：四边形EFGH是菱形.
典例解析
C
A
B
D
E
F
G
H
如图，顺次连接对角线相等的四边形ABCD各边中点，得到四边形EFGH是什么四边形？
解：四边形EFGH是菱形.
又∵AC=BD,
∵点E、F、G、H为各边中点，
∴EF=FG=GH=HE，
∴四边形EFGH是菱形.
【点睛】顺次连接对角线相等的四边形的各边中点，得到四边形是菱形.
理由如下：连接AC、BD
知识精讲
A
B
C
D
E
F
G
H
拓展1 如图，顺次连接平行四边形ABCD各边中点，得到四边形EFGH是什么四边形？
解：连接AC、BD.
∵点E、F、G、H为各边中点，
∴四边形EFGH是平行四边形.
拓展2 如图，若四边形ABCD是菱形，顺次连接菱形ABCD各边中点，得到四边形EFGH是什么四边形？
四边形EFGH是矩形.
知识精讲
例6 如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，BE＝2DE，延长DE到点F，使得EF＝BE，连接CF.
(1)求证：四边形BCFE是菱形；
(1)证明：∵D、E分别是AB、AC的中点，
∴DE∥BC且2DE＝BC.
又∵BE＝2DE，EF＝BE，
∴EF＝BC，EF∥BC，
∴四边形BCFE是平行四边形．
又∵EF＝BE，
∴四边形BCFE是菱形；
典例解析
(2)解：∵∠BCF＝120°，
∴∠EBC＝60°，
∴△EBC是等边三角形，
∴菱形的边长为4，高为 ，
∴菱形的面积为 .
(2)若CE＝4，∠BCF＝120°，求菱形BCFE的面积．
【点睛】判定一个四边形是菱形时，要结合条件灵活选择方法．如果可以证明四条边相等，可直接证出菱形；如果只能证出一组邻边相等或对角线互相垂直，可以先尝试证出这个四边形是平行四边形．
典例解析
1.已知 □ ABCD的对角线AC、BD相交于点O,分别添加下列条件：（1）∠ABC=900
（2）AC ⊥BD （3）AB=BC （4）AC平分∠BAD （5）AO=DO 使得四边形ABCD是菱形的条件的序号有_________.
2.下列条件中,不能判定四边形ＡＢＣＤ为菱形的是（ ）
Ａ.AC⊥BD ，AC与BD互相平分
Ｂ.AB=BC=CD=DA
Ｃ.AB=BC，AD=CD，且AC ⊥BD
Ｄ.AB=CD，AD=BC，AC ⊥BD
(2) (3) (4)
C
B
O
A
D
C
达标检测
3.□ABCD的对角线AC与BD相交于点O，
（1）若AB=AD，则□ABCD是 形；
（2）若AC=BD，则□ABCD是 形；
（3）若∠ABC是直角，则□ABCD是 形；
（4）若∠BAO=∠DAO，则□ABCD是 形.
A
B
C
D
O
矩
菱
矩
菱
达标检测
4.下列命题中正确的是（ ）
A.一组邻边相等的四边形是菱形 B.三条边相等的四边形是菱形
C.四条边相等的四边形是菱形 D.四个角相等的四边形是菱形
C
5.对角线互相垂直且平分的四边形是（ ）
A.矩形 B.一般的平行四边形
C.菱形 D.以上都不对
C
6.下列条件中，不能判定四边形ABCD为菱形的是（ ）
A.AC⊥BD,AC与BD互相平分 B.AB=BC=CD=DA
C.AB=BC,AD=CD,且AC⊥BD D.AB=CD,AD=BC,AC⊥BD
C
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24㎝
菱形
7.一边长为5cm平行四边形的两条对角线的长分别为6cm和8cm，则这个平行四边形为______，其面积为_________.
A
B
C
D
E
F
8.如图在菱形ABCD中,CE⊥AB,CF⊥AD则CE____CF，BE____DF.
＝
＝
达标检测
9.如图 ABCD的两条对角线AC、BD相交于点O，AB=5，AC=8，DB=6.求证:四边形ABCD是菱形.
A
B
C
D
O
∴四边形ABCD是菱形.
∴OA=OC=4 OB=OD=3
证明:
又∵AB=5
∴AC⊥BD
∴∠AOB=90°
又∵ 四边形ABCD是平行四边形
∵ 四边形ABCD是平行四边形
∴AB2=AO2+BO2
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10.已知：如图，AD平分∠BAC，DE∥AC 交AB于E，DF∥AB交AC于F．求证：四边形AEDF是菱形.
∴ □AEDF是菱形
证明：∵DE∥AC DF∥AB
∴四边形AEDF是平行四边形
∵ DE∥AC
∴∠2=∠3
∵ AD是△ABC的角平分线
∴ ∠1=∠2
∴AE=DE
∴ ∠1=∠3
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四条边都相等
菱形
一组邻边相等
对角线互相垂直
对角线互相平分
一组对边平行且相等
两组对边分别平行或相等
四边形
平行四边形
两组对角分别相等
每条对角线平分一组对角
小结梳理
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