19.3 正方形 课件(共26张PPT)

(共26张PPT)
2022年春华师大版数学
八年级下册数学精品课件
19.3 正方形
学习目标
探索并证明正方形的性质和判定定理，并了解平行四边形、矩形、菱形之间的联系和区别.
会应用正方形的性质和判定定理解决相关证明及计算问题.
菱形的性质
菱形的性质
边:
四条边相等
对角线:
互相垂直平分
分别平分两组对角
角:
具有平行四边形一切性质
对角相等,邻角互补
复习回顾
复习回顾
平行四边形有哪些性质 矩形与平行四边形比较有哪些特殊的性质
平行四边形
边:
角:
对角线:
对边平行且相等
对角相等,邻角互补
对角线互相平分
矩形
角:
四个角是直角
对角线:
对角线相等且互相平分
边：
对边平行且相等
矩 形
〃
〃
问题1：矩形怎样变化后就成了正方形呢 你有什么发现？
正方形
知识精讲
问题2：菱形怎样变化后就成了正方形呢 你有什么发现？
正方形
知识精讲
邻边相等
矩形
〃
〃
正方形
〃
〃
菱 形
一个角是直角
正方形
∟
正方形定义：
有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫正方形.
知识精讲
定义法
菱形法
矩形法
(1)有一组邻边相等且有一个角是直角的的平行四边形是正方形.
(2)有一个角是直角的菱形是正方形.
(3)有一组邻边相等的矩形是正方形.
正方形是特殊的平行四边形，也是特殊的矩形，也是特殊的菱形.
知识精讲
正方形是中心对称图形,对称中心为点O.
它也是轴对称图形,有4条对称轴.
(1)它具有平行四边形的一切性质
两组对边分别平行且相等，两组对角相等，对角线互相平分.
(2)具有矩形的一切性质
四个角都是直角，对角线相等.
(3)具有菱形的一切性质
四条边相等；对角线互相垂直，每条对角线平分一组对角.
O
A
B
C
D
(A)
(B)
(C)
(D)
对称性
特殊性质
知识精讲
1.正方形ABCD，对角线交于0，
(1)若AB=2 ㎝，则AC=________,OA=_________,周长=______，面积=_______.
(2)若OB=2 ㎝，则AC=_______,AB=__________,周长=__________，
面积=__________.
(3)若AC+BD=8 ㎝，则AC=_______,AB=___________,正方形面积=_________.
2.已知正方形的面积为9 cm,它的周长为 _______.
3.正方形的边长为a,当边长增加1时,其面积增加了_______.
O
A
B
C
D
针对练习
2 cm
cm
8 cm
4 cm2
4 cm
2 cm
8 cm2
8 cm
12 cm
4 cm
2 cm
8 cm2
2a+1
你能从这个变化过程中总结出一种正方形的判定方法吗？
边相等
有一组邻
操作1：你能否利用手中的矩形白纸裁出一个正方形呢？请你与同学交流一下，你能说说矩形与正方形的关系吗？
总结：矩形+（ ）=正方形
判定方法：有一组邻边相等的矩形是正方形.
知识精讲
判定方法：有一个角是直角的菱形是正方形.
是直角
有一个角
操作2:你能否利用手中的可以活动的菱形模型变成一个正方形吗？如何变？
总结：菱形+（ ）=正方形
你能从这个变化过程中总结出一种正方形的判定方法吗？
知识精讲
判定方法：有一个角是直角一组邻边相等的平行四边形叫做正方形.
边相等
有一组邻
是直角
有一个角
思考：如果是平行四边形呢？
（ ）+ （ ）+平行四边形=正方形.
边相等
有一组邻
是直角
有一个角
你能从这个变化过程中总结出一种正方形的判定方法吗？
知识精讲
例1 如图，在正方形ABCD中， ΔBEC是等边三角形.求证： ∠EAD＝∠EDA＝15° .
证明：∵ ΔBEC是等边三角形，
∴BE=CE=BC,∠EBC=∠ECB=60°，
∵ 四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD,∠ABC=∠DCB=90°，
∴AB=BE=CE=CD, ∠ABE= ∠DCE=30°，
∴△ABE，△DCE是等腰三角形，
∴∠BAE= ∠BEA= ∠CDE= ∠CED=75°，
∴∠EAD= ∠EDA=90°-75°=15°.
典例解析
四边形ABCD是正方形，以正方形ABCD的一边作等边△ADE，求∠BEC的大小．
解：当等边△ADE在正方形ABCD外部时，如图①，
AB＝AE，∠BAE＝90°＋60°＝150°.
∴∠AEB＝15°.
同理可得∠DEC＝15°.
∴∠BEC＝60°－15°－15°＝30°；
针对练习
当等边△ADE在正方形ABCD内部时，如图②，
AB＝AE，∠BAE＝90°－60°＝30°，
∴∠AEB＝75°.
同理可得∠DEC＝75°.
∴∠BEC＝360°－75°－75°－60°＝150°.
综上所述，∠BEC的大小为30°或150°.
【点睛】因为等边△ADE与正方形ABCD有一条公共边，所以边相等．本题分两种情况：等边△ADE在正方形的外部或在正方形的内部．
针对练习
例2 如图，在正方形ABCD中，P为BD上一点，PE⊥BC于E， PF⊥DC于F.试说明：AP=EF.
A
B
C
D
P
E
F
解:
连接PC，AC.
又∵PE⊥BC ， PF⊥DC,
∵四边形ABCD是正方形,
∴∠FCE=90°, AC垂直平分BD,
∴四边形PECF是矩形,
∴PC=EF.
∴AP=PC.
∴AP=EF.
【点睛】在正方形的条件下证明两条线段相等：通常连接对角线构造垂直平分的模型，利用垂直平分线性质，角平分线性质，等腰三角形等来说明.
典例解析
例3 在正方形ABCD中，点E、F、M、N分别在各边上，且AE=BF=CM=DN．四边形EFMN是正方形吗 为什么
证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD=DA，∠A=∠B=∠C=∠D=90°.
∵AE=BF=CM=DN，
∴AN=BE=CF=DM.
分析：由已知可证△AEN≌△BFE≌△CMF≌△DNM，得四边形EFMN是菱形，再证有一个角是直角即可.
典例解析
在△AEN、△BFE、△CMF、△DNM中，
AE=BF=CM=DN,
∠A=∠B=∠C=∠D,
AN=BE=CF=DM,
∴△AEN≌△BFE≌△CMF≌△DNM,
∴EN=FE=MF=NM，∠ANE=∠BEF,
∴四边形EFMN是菱形，
∠NEF=180°－（∠AEN+∠BEF）
=180°－（∠AEN+∠ANE）
=180°－90°=90°.
∴四边形EFMN是正方形 .
典例解析
证明：∵ DE⊥AC，DF⊥AB ，
∴∠DEC= ∠DFC=90°.
又∵ ∠C=90 °，
∴四边形ADFC是矩形.
过点D作DG⊥AB，垂足为G.
∵AD是∠CAB的平分线
DE⊥AC，DG⊥AB，
∴ DE=DG.
同理得DG=DF，
∴ED=DF，
∴四边形ADFC是正方形.
例4 如图，在直角三角形中，∠C=90°，∠A、∠B的平分线交于点D.
DE⊥AC，DF⊥AB.求证:四边形CEDF为正方形.
A
B
C
D
E
F
G
典例解析
例5 如图，EG,FH过正方形ABCD的对角线的交点O,且EG⊥FH.求证：四边形EFGH是正方形.
证明：∵四边形ABCD为正方形,
∴OB=OC,∠ABO=∠BCO =45°,
∠BOC=90°=∠COH+∠BOH.
∵EG⊥FH,
∴∠BOE+∠BOH=90°,
∴∠COH=∠BOE,
∴△CHO ≌△BEO,∴OE=OH.
同理可证：OE=OF=OG,
B
A
C
D
O
E
H
G
F
典例解析
∴OE=OF=OG=OH.
又∵EG⊥FH,
∴四边形EFGH为菱形.
∵EO+GO=FO+HO ,即EG=HF,
∴四边形EFGH为正方形.
B
A
C
B
O
E
H
G
F
典例解析
5种识
别方法
三个角是直角
四条边相等
一个角是直角
或对角线相等
一组邻边相等
或对角线垂直
一组邻边相等
或对角线垂直
一个角是直角
或对角线相等
一个角是直角且一组邻边相等
平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定小结
每条对角线都平分一组对角
小结梳理
https://www.21cnjy.com/help/help_extract.php