(共28张PPT)
9.1 图形的旋转
第9章 中心对称图形——平行四边形
逐点
导讲练
课堂小结
作业提升
课时讲解
1
课时流程
2
旋转的定义
旋转的性质
旋转作图
知识点
旋转的定义
知1－讲
1
1. 定义 将图形绕一个定点旋转一定的角度，这样的图形运动称为图形的旋转. 这一定点叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角．
2. 相关概念 旋转得到的图形能与原图形重合，我们把能够重合的点叫对应点，能够重合的线段叫对应线段，能够重合的角叫对应角.
知1－讲
3. 旋转的三要素：旋转中心、旋转角、旋转方向
易错警示 旋转的范围是在平面内，否则就形成立体图形，不是我们研究的范围，因此“在平面内”不可忽略.
知1－讲
特别解读 ：
1. 旋转中心可以在图形的外部，也可以在图形的内部，还可以在图形的边上.
2. 将一个图形绕一个定点沿某个方向转动一个角度,意味着图形上每一个点同时按相同方向旋转相同的角度.
知1－讲
例 1
下列现象中：①地下水位逐年下降；②传送带的移动；③方向盘的转动；④水龙头开关的转动；⑤钟摆的运动；⑥荡秋千运动．属于旋转的有( )
A. 2 个 B. 3 个
C. 4 个 D. 5 个
C
知1－讲
解题秘方：紧扣平移和旋转的定义对各小题依次
判断即可求解.
解析：由题意知：①中“地下水位逐年下降”是平移现象；②中“传送带的移动”是平移现象；③中“方向盘的转动”是旋转现象；④中“水龙头开关的转动”是旋转现象；⑤中“钟摆的运动”是旋转现象；⑥中“荡秋千运动”是旋转现象．所以属于旋转的有③、④、⑤、⑥，共4 个．
知1－讲
解法提醒：
判断一种运动是否属于旋转现象的前提是图形在同一平面内运动，其次要紧扣旋转的“三要素”，看是否同时具有：旋转中心、旋转角、旋转方向.
知1－讲
例2
如图9.1-1 所示，△ ABC 是直角三角形，延长AB 到点D，使BD=BC，在BC 上取BE=AB，连接DE．
△ABC 旋转后能与△ EBD 重合，那么旋转中是_____；旋转的角度是_____；AC 的对
应边是_____; ∠ A 的对应角是______；
点C 的对应点是______．
点B
90°
ED
∠ BED
点D
解题秘方：按照旋转的相关概念进行判断即可求解.
知1－讲
方法点拨：
△ABC经过旋转后得到△ EBD：
1. 两个三角形在旋转过程中不动的点是旋转中心.
2. 由两个三角形重合，可知△ ABC ≌△ EBD，可得对应边相等，对应角相等.
知2－讲
知识点
旋转的性质
2
1. 性质1 旋转前、后的两个图形全等.
2. 性质2 一个图形和它经过旋转所得到的图形中，对应点到旋转中心距离相等，两组对应点分别与旋转中心连线所成的角相等.
3. 分析旋转形成的方法 “三个一”, 即分析一个中心、一个方向、一个角度.
知2－讲
易错警示：
画旋转图形时容易忽略对旋转方向的要求，除了旋转中心及旋转角之外，还应指明旋转方向是顺时针还是逆时针，若无特别说明，则应考虑两种情况．
知2－讲
例 3
如图9.1-2，将△ ABC 绕点C 按顺时针方向旋转至△A′B′C，使点A′ 落在BC 的延长线上，已知∠ A=30°，∠ B=40°，求旋转角的度数.
知2－讲
解：∵∠ A=30°，∠ B=40°，
∴∠ ACA′= ∠ A+ ∠ B=30° +40° =70° .
∵△ ABC 绕点C 按顺时针方向旋转至△ A′B′C，
∴旋转角的度数为70° .
知2－讲
解题秘方：先根据三角形外角的性质求出∠ACA′=70°，再由△ ABC 绕点C 按顺时针方向旋转至△ A′B′C，得到∠ ACA′ 为旋转角，于是可得旋转角的度数为70° .
知2－讲
解题通法：
利用旋转求角度的方法：
一般要用到旋转的性质或由旋转而得到的全等关系，以及和角有关的定理（如三角形内角和定理）来解决问题．
知2－讲
例4
如图9.1-3， 在△ ABC 中，AB=4，BC=7， ∠ B=60°， 将△ ABC 绕点A 按顺时针方向旋转一定角度得到△ADE，若点B 的对应点D 恰好落在BC 边上，则CD 的长为_________.
3
知2－讲
解题秘方：由旋转的性质可证得△ ABD 为等边三角形，则可求得BD 的长，再利用线段的和差关系，即可求得答案.
解析：由旋转的性质可得AB=AD，
∵∠ B=60°，∴△ ABD 为等边三角形.
又∵ AB=4，BC=7，
∴ BD=AB=4. ∴ CD=BC-BD=7-4=3.
知2－讲
思路点拨：
根据旋转的特征，若旋转角为60°，则一组对应边与旋转角组成的三角形是等边三角形.然后利用等边三角形的特殊性求线段的长.
知3－讲
知识点
旋转作图
3
1. 作图依据
旋转的性质，即对应点到旋转中心距离相等，每组对应点都旋转相同的角度.
知3－讲
2. 旋转作图的一般步骤
(1)确定旋转中心、旋转方向和旋转角.(2)找出图形的关键点，一般是图形中的转折点.(3)作旋转后的对应点，方法如下：①连：连接图形的每个关键点与旋转中心；②转：把连线绕旋转中心按旋转方向旋转相同的角度(作旋转角)；③截：在作得的角的另一边截取与关键点到旋转中心的距离相等的线段，得到各个关键点的对应点.
知3－讲
(4)按原图形的顺序连接这些对应点，所得到的图形就是旋转后的图形.(5)写出结论，说明作出的图形即为所求作的图形.
知3－讲
特别提醒：
确定旋转中心的方法：
在图形的旋转过程中，判断旋转中心的位置，要看旋转中心是在图形上还是不在图形上.
若在图形上，哪一点在旋转的过程中位置没有改变，哪一点就是旋转中心.
若不在图形上，对应点连线的垂直平分线的交点就是旋转中心.
知3－讲
例 5
如图9.1-4，△ ABC 绕点O 旋转，使点A 旋转到点D 处，画出顺时针旋转后的三角形，并写出简要作法．
知3－讲
解：如图9.1-5 所示，作法：(1)连接OA、OB、OC、OD；
(2)分别以OB、OC 为边作∠ BOM= ∠ CON= ∠ AOD；
(3)分别在OM、ON 上截取OE=OB，OF=OC；
(4)依次连接DE、EF、FD. △ DEF 就
是所求作的三角形．
知3－讲
解题秘方：抓住“关键点”A、B、C、D，旋转中心O，旋转角这些要素，按步骤“连——转——截——连”即可得出所求作的三角形.
知3－讲
方法点拨：
旋转作图时，要紧扣以下三点：
(1)旋转的方向相同；
(2)旋转的角度相等；
(3)对应点到旋转中心距离相等.
图形的旋转
图形的旋转
定义
性质
三要素
作图
旋转中心
旋转角
旋转方向(共30张PPT)
9.2 中心对称与中心对称图形
第9章 中心对称图形——平行四边形
逐点
导讲练
课堂小结
作业提升
课时讲解
1
课时流程
2
中心对称
中心对称的性质
中心对称的作图
中心对称图形
知识点
中心对称
知1－讲
1
1. 定义 一个图形绕着某一点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或成中心对称，这个点叫做对称中心. 这两个图形在旋转后能重合的对应点叫做关于对称中心的对称点．
知1－讲
2. 中心对称与轴对称的关系
中心对称 轴对称
区别 有一个对称中心 有一条对称轴
图形绕对称中心旋转180° 图形沿对称轴折叠
旋转后与另一个图形重合 折叠后与另一个图形重合
相同点 都是两个图形之间的关系，并且变换前、后的两个图形全等
知1－讲
特别解读：
1. 中心对称是特殊的旋转，其旋转角为180° .
2. 中心对称是指两个图形的位置关系，必须涉及两个图形.
3. 中心对称的两个图形，只有一个对称中心.这个对称中心可能在图形的外部，也可能在图形的内部或边上.
知1－讲
例 1
下列各组图形中，△ A'B'C' 与△ ABC 成中心对称的是( )
D
知1－讲
解题秘方：紧扣中心对称等相关定义对各选项判断即可求解．
解析：由题意可知，选项A 是平移变换，选项B 是轴对称，选项C 是旋转变换，选项D 是中心对称．
知1－讲
解法提醒：
中心对称是对两个图形而言，它表示两个图形之间的对称关系；中心对称是一种特殊的旋转，旋转角为180° .
知2－讲
知识点
中心对称的性质
2
1. 性质
(1)成中心对称的两个图形，对应点的连线都经过对称中心，而且被对称中心所平分；反之，如果两个图形的对应点的连线都经过某一点，并且被这一点平分，那么这两个图形关于这一点成中心对称，利用这一性质可以识别中心对称；
知2－讲
(2)中心对称的两个图形是全等图形，对应角相等，对应线段平行(或在同一直线上)且相等.
2. 确定对称中心的方法
方法一：连接任意一对对称点，取这条线段的中点，则该中点为对称中心；
方法二：连接任意两对对称点，这两条线段的交点就是对称中心.
知2－讲
特别解读：
由性质可以得到如下
结论：
(1) 对称中心在一对对称点的连线上;
(2) 对称中心到一对对称点的距离相等.
全等的图形不一定成中心对称，而成中心对称的两个图形一定是全等的图形.
知2－讲
例2
如图9.2-1，已知四边形ABCD 的中心对称图形是四边形A1B1C1D1，请回答下列问题：
(1)点A 的对称点是点______，点B 的对称点是点_______，对称中心是点________；
A1
B1
O
知2－讲
(2)指出图中在同一条直线上的三点；
(3)指出图中相等的线段和全等的三角形.
解：A、O、A1；B、O、B1；C、O、C1；D、O、D1.
解：图中相等的线段有OA=OA1，OB=OB1，OC=OC1，OD=OD1，AB=A1B1，BC=B1C1，CD=C1D1，DA=D1A1；全等的三角形有△ ABO 与△ A1B1O，△ ADO与
△ A1D1O，△ BCO 与△ B1C1O，△ DCO 与△ D1C1O.
知2－讲
解题秘方：紧扣中心对称的性质进行判断.
知2－讲
解法提醒：
找对称点是解决问题的关键，每一对对称点与对称中心在同一条直线上，根据对称点来找对应线段、对应角，由中心对称的性质得到对应线段、对应角的相等关系，从而确定三角形的形状和大小关系.
知3－讲
知识点
中心对称的作图
3
1. 作图关键 确定对称中心，再作出原图形上关键点关于对称中心的对称点.
知3－讲
2. 作图步骤
(1)连接：分别将原图形上的所有关键点与对称中心连接；
(2)延长：将以上连线延长找对称点，使得对称点与对称中心的距离和关键点与对称中心的距离相等；
(3)连接：将对称点按原图形的形状顺次连接起来，即可得出关于对称中心对称的图形.
知3－讲
特别提醒：
作一个图形关于某点成中心对称的图形，要运用中心对称的性质，将已知图形的关键点与对称中心连接并延长至某点，使之到对称中心的距离与已知关键点到对称中心的距离相等.
知3－讲
例 3
如图9.2-2，已知四边形ABCD 和点O，画四边形A′B′C′D′，
使四边形A′B′C′D′ 与四边形ABCD 关于点O 成中心对称．
解：(1)连接AO并延长AO到A′，使OA′=OA，于是
得到点A关于点O的对称点A′；
(2)同样画出点B、C和点D关于点O的对称点B′、C′ 和D′；
(3)连接A′B′、B′C′、C′D′、D′A′，则四边形A′B′C′D′ 即为所求作的图形．如图9.2-3 所示．
知3－讲
知3－讲
解题秘方：要作四边形ABCD 关于点O 成中心对称的图形，只要作出点A、B、C、D 关于点O 的对称点，然后顺次连接即可.
知3－讲
作图通法:
作已知图形关于某一点对称的图形：
1.作图依据:对称中心是对称点所连线段的中点.
2.作图步骤( 概括为)：
(1)连接；
(2)延长；
(3)等长截取；
(4)顺次连接对称点.
知4－讲
知识点
中心对称图形
4
1. 中心对称图形
把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心.
知4－讲
2. 中心对称图形的性质
(1)中心对称图形上对称点的连线必经过对称中心，且被对称中心平分，即过对称中心的直线与中心对称图形所交的两点是对称点. 中心对称图形上所有的点关于对称中心的对称点都在这个图形上；
(2)过对称中心的任一直线把中心对称图形分成全等的两部分.
知4－讲
判断中心对称图形的方法：
1. 中心对称图形的“三要素”：
(1)对称中心；
(2)旋转180°；
(3)与本身重合.
2. 常见的中心对称图形：线段、平行四边形、矩形、菱形、边数是偶数的正多边形、圆等.
知4－讲
3. 中心对称与中心对称图形的区别和联系
中心对称 中心对称图形
区别 (1)是针对两个图形而言的； (2)是指两个图形的( 位置) 关系； (3)对称点在两个图形上 (1)是针对一个图形而言的；
(2)是指具有某种性质的一
个图形；
(3)对称点在一个图形上
联系 若把成中心对称的两个图形视为一个整体，则整个图形是中心对称图形; 若把中心对称图形相互对称的两部分看作两个图形，则这两个图形成中心对称
知4－讲
例4
[ 中考·德州] 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是( ).
B
知4－讲
解题秘方：根据轴对称图形与中心对称图形的概念判断.A 是中心对称图形；B 既是轴对称图形又是中心对称图形；C 是轴对称图形；D 既不是轴对称图形又不是中心对称图形，故选B.
知4－讲
方法点拨：
判断一个图形是不是轴对称图形，就看是否存在一条直线(对称轴)，使得这个图形沿这条直线对折后两边能完全重合；判断一个图形是不是中心对称图形，可以把纸倒过来看(相当于旋转180°)，如果看到的图形与原来的图形完全相同，就是中心对称图形，否则就不是．
旋转180°
重合
中心对称与中心对称图形
旋转图形
两个图形
一个图形
中心对称
中心对称图形(共54张PPT)
9.3 平行四边形
第9章 中心对称图形——平行四边形
逐点
导讲练
课堂小结
作业提升
课时讲解
1
课时流程
2
平行四边形的定义及表示方法
平行四边形的性质
平行四边形的判定
反证法
知识点
平行四边形的定义及表示方法
知1－讲
1
1. 定义
两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形.
2. 表示方法
平行四边形用符号“ ”表示，如图9.3-1，平行四边形ABCD 记作“ ABCD”，读作“平行四边
形ABCD”.
知1－讲
注意：
(1)平行四边形的表示一定要按顺时针或逆时针依次注明各顶点，不能打乱顺序；
(2)“ ”作为表示平行四边形的符号，不可单独使用它来代替“平行四边形”.
知1－讲
特别提醒：
1. 平行四边形的定义有两个要素：
(1)是四边形；
(2)两组对边分别平行.作为四边形，平行四边形具有一般四边形的一切性质，如有四条边，四个内角，两条对角线，内角和为360°，外角和为360°等.作为平行四边形，它区别于其他一般四边形的特殊性质为：平行四边形的两组对边分别平行.
2.平行四边形的定义既是它的一个性质，又是它的一种判定方法.
知1－讲
3. 平行四边形的基本元素
基本元素 主要内容 图形
边 邻边 AD和AB，AD和DC，DC和BC，BC和AB，共有四对
对边 AB和DC，AD和BC，共有两对 角 邻角 ∠ BAD 和∠ ADC，∠ ADC 和∠ DCB，∠ DCB 和∠ ABC，∠ DAB 和∠ ABC，共有四对 对角 ∠ BAD和∠ BCD，∠ ADC和 ∠ ABC，共有两对 对角线 AC和BD，共有两条
知1－讲
例 1
如图9.3-2，在 ABCD 中，∠ 1= ∠ 2. 求证：四边形BEDF是平行四边形.
知1－讲
证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴ CD∥AB(平行四边形的两组对边分别平行)，即DE∥BF .
∴∠ 1= ∠ DFA.
∵∠ 1= ∠ 2，∴∠ 2= ∠ DFA，
∴ DF∥BE. ∴四边形BEDF 是平行四边形
(两组对边分别平行的四边形是平行四边形).
知1－讲
解题秘方：紧扣平行四边形的定义中的双重功能：“性质功能和判定功能”进行证明.
知1－讲
解法提醒：
当题目的条件中有平行四边形时，应立即想到两组对边分别平行；当题目的结论要证平行四边形时，首先应联想到它的两组对边是否分别平行.逆向利用及正向利用平行四边形的定义是后面学习平行四边形的性质及判定的主要依据.
知2－讲
知识点
平行四边形的性质
2
1. 性质定理 平行四边形的对边相等，对角相等，对角线互相平分.
2. 对称性 平行四边形是中心对称图形，对角线的交点是它的对称中心.
知2－讲
平行四边形的性质可用表格归纳如下：
图形 类型 文字语言 符号语言
边 对边平行且相等 ∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴ AB∥CD，AB=CD，AD∥BC，AD=BC
角 对角相等 ∵四边形ABCD 是平行四边形，∴∠ DAB=∠BCD，∠ABC= ∠CDA
对角线 对角线互相平分
对称性 中心对称图形，对角线的交点是它的对称中心
知2－讲
特别提醒：
由于平行四边形的基本元素有边、角和对角线，因此讨论其性质也应从边、角和对角线这三个方面去看.
1. 从边看：平行四边形的对边平行且相等.
2. 从角看：平行四边形的对角相等，而且邻角互补.
3. 从对角线看：对角线互相平分.
注意：已知平行四边形，要根据推理证明的需要选择恰当的性质.
知2－讲
3. 拓展性质
(1)平行四边形的一条对角线将平行四边形分成面积相等的两部分，两条对角线将平行四边形分成面积相等的四部分；
(2)若一条直线过平行四边形两条对角线的交点，则该直线平分平行四边形的周长和面积.
知2－讲
例2
如图9.3-3，在 ABCD 中，BF 平分∠ ABC，交AD 于点F，CE 平分∠ BCD 交AD 于点E，AB ＝ 6，BC ＝ 10，则EF 长为( )
A．1
B．2
C．3
D．4
B
知2－讲
解题秘方：紧扣数学模型“角平分线+ 平行线＝等腰三角形”转化线段即可求解．
知2－讲
解析：∵四边形ABCD 是平行四边形，AB=6，BC=10，
∴ AD∥BC，AD＝BC＝ 10，DC＝AB＝6(平行四边形的对边平行且相等)． ∴∠ AFB ＝∠ FBC．
∵ BF 平分∠ ABC，∴∠ ABF ＝∠ FBC．
∴∠ AFB＝∠ ABF．∴ AF＝AB ＝ 6．
同理DE＝DC＝ 6．
∴ EF ＝ AF+DE ﹣ AD ＝ 6+6 ﹣ 10 ＝ 2．
知2－讲
思路点拨：
此题由平行四边形的性质可知AD∥BC，易得∠AFB ＝∠FBC，由角平分线可得∠ABF＝∠FBC， 所以∠ AFB＝∠ABF，所以AF ＝ AB ＝6，同理可得DE ＝CD ＝6，由图形可知EF ＝AF+DE ﹣AD，代入即可求解．
知2－讲
例 3
如图9.3-4， 在 ABCD 中， 已知∠ A+ ∠ C=120 °， 求
ABCD 中各角的度数.
知2－讲
解：在 ABCD 中，∠A=∠C，∠B=∠D，
∠A+∠ D=180° .
∵∠ A+ ∠ C=120°，∴∠ A= ∠ C=60° .
∴∠ D=180° - ∠ A=180° -60° =120° .
∴∠ B= ∠ D=120° .
知2－讲
解题秘方：由平行四边形的对角相等，得∠ A= ∠ C，结合已知条件∠ A+ ∠ C=120°，即可求出∠ A 和∠ C 的度数，再根据平行线的性质，进而求出∠ B、∠ D 的度数.
知2－讲
方法点拨：
求平行四边形中有关角度的方法：利用平行四边形的对角相等、邻角互补的性质，在已知一个角的度数或已知两角的度数关系时可求出待求角的度数.
知2－讲
例4
如图9.3-5，已知 ABCD 的周长是60，对角线AC、BD 相交于点O. 若△ AOB 的周长比△ BOC 的周长长8，求这个平行四边形各边的长.
知2－讲
解：∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴ OA=OC，AB=CD，AD=BC.
∵ AB+BC+CD+DA=60，OA+AB+OB-(OB+BC+OC)=8，
∴ AB+BC=30，AB-BC=8. ∴ AB=CD=19，BC=AD=11.
即这个平行四边形各边的长分别为19、11、19、11.
知2－讲
解题秘方：紧扣平行四边形对角线、边的性质进行解答.
知2－讲
规律点拨：
由“平行四边形的对角线互相平分”可以得出“平行四边形被它的两条对角线分成四个小三角形，相邻两个小三角形的周长之差等于平行四边形中对应的两邻边之差”.
知2－讲
例 5
如图9.3-6，在 ABCD 中，对角线AC、BD 相交于点O，过点O 作直线EF，分别交AD、BC 于点E、F. 判断四边形ABFE 的面积与四边形FCDE 的面积有何关系？试说明理由.
知2－讲
解：S四边形ABFE=S四边形FCDE. 理由如下：
∵四边形ABCD 是平行四边形，∴ OA=OC，AD∥BC. ∴∠ 1= ∠ 2.又∵∠ 3= ∠ 4，∴△ AOE ≌△ COF.
∴ S△ AOE=S△ COF.∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴ AB=CD，BC=DA，∠ ABC= ∠ CDA.
∴△ ABC ≌△ CDA. ∴ S△ ABC=S△ CDA.
∵ S四边形ABFE=S△ABC-S△COF+S△AOE=S△ABC，
S四边形FCDE=S△CDA-S△AOE+S△COF=S△CDA，
∴ S四边形ABFE=S四边形FCDE.
知2－讲
解题秘方：紧扣平行四边形的对角线性质、全等三角形的性质进行解答.
知2－讲
特别提醒：
这是平行四边形对角线的两个拓展性质，即
1. 平行四边形的一条对角线将平行四边形分成两个面积相等的三角形.
2. 过平行四边形的两条对角线交点的一条直线将平行四边形分成两个面积相等的梯形.
本例的实质是对知识点中的两条拓展性质的部分结论的证明.
知3－讲
知识点
平行四边形的判定
3
1. 判定方法
判定平行四边形可以从对边和对角线两个方面进行，如图9.3-7，在 ABCD 中，AC、BD 相交于点O. 具体判定方法如下表所示.
知3－讲
特别提醒：
平行四边形的判定定理和性质定理是互逆定理，解题时要注意区别，不能混淆.
1. 由平行四边形这一条件得到边、角、对角线的关系是性质.
2. 由边、对角线的关系得到平行四边形是判定.
知3－讲
条件类型 文字语言(判定方法) 符号语言
对边关系 两组对边分别平行的四边形是平行四边形(定义法) ∵ AD∥BC，AB∥CD，
∴四边形ABCD 是平行四边形
两组对边分别相等的四边形是平行四边形 ∵ AD=BC，AB=CD，
∴四边形ABCD 是平行四边形
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 ∵ AD BC(或AB CD)，∴四边形ABCD 是平行四边形
对角线 关系 对角线互相平分的四边形是平行四边形 ∵ OA=OC，OB=OD，
∴四边形ABCD 是平行四边形
知3－讲
2. 灵活选择平行四边形判定定理的方法
(1)已知一组对边平行，可证明该组对边相等或证明另一组对边平行；
(2)已知一组对边相等，可证明该组对边平行或证明另一组对边相等；
(3)已知条件与对角线有关，可证明对角线互相平分；
(4)已知条件与角有关，可证明两组对边分别平行.
知3－讲
3. 易错警示
一组对边平行，另一组对边相等的四边形不一定是平行四边形；两组邻边分别相等的四边形不一定是平行四边形.
知3－讲
例6
如图9.3-8，已知BE ∥ DF，∠ ADF= ∠ CBE，AF=CE，求证：四边形DEBF 是平行四边形.
知3－讲
证明：∵ BE ∥ DF，
∴∠ AFD= ∠ CEB.
∵∠ ADF= ∠ CBE，AF=CE，
∴△ ADF ≌△ CBE. ∴ DF=BE.
∵ BE ∥ DF，BE=DF，
∴四边形DEBF是平行四边形(一组对边平行且相等的四边形是平行四边形).
知3－讲
解题秘方：紧扣条件“BE ∥ DF”需说明“BE=DF”或“DE ∥ BF”即可得到四边形DEBF 是平行四边形.
知3－讲
另解：
∵ BE ∥ DF，∴∠ AFD= ∠ CEB.
∵∠ ADF= ∠ CBE，AF=CE，
∴△ ADF ≌△ CBE.∴∠ A= ∠ C，AD=CB.
又∵ AF=CE.∴ AE=CF，∴△ ADE ≌△ CBF.
∴∠ AED= ∠ CFB.∴∠ DEF= ∠ BFE.∴ DE ∥ BF.
又∵ BE ∥ DF，∴ 四边形DEBF是平行四边形.
知3－讲
例 7
如图9.3-9，分别以△ ABC 的三边为一边，在BC 的同侧作等边三角形ABD，等边三角形BCE，等边三角形ACF，连接DE、EF.求证：四边形ADEF 是平行四边形.
知3－讲
证明：∵△ ABD、△ BCE、△ ACF 都为等边三角形，
∴ DB=AB=AD，BE=BC，AC=AF，∠ DBA=60°，
∠ EBC=60° .∴∠ DBE=60° - ∠ EBA，∠ ABC=60° - ∠ EBA.∴∠ DBE= ∠ ABC. ∴△ DBE ≌△ ABC.
∴ DE=AC.又∵ AC=AF，∴ AF=DE.
同理可证△ ABC ≌△ FEC.∴ AB=FE. 又∵ AB=AD，FE=AD.∴四边形ADEF 是平行四边形(两组对边分别相等的四边形是平行四边形).
知3－讲
解题秘方：由等边三角形的性质可以得到线段相等，角相等，进而可以通过全等三角形证明四边形ADEF 的两组对边分别相等，最后根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形进行判定.
知3－讲
解题秘方：
由边的关系判定平行四边形的方法：
1. 若已知一组对边平行，则可采用证这组对边相等或另一组对边平行这两种方法判定平行四边形.
2. 若已知一组对边相等，则可采用证这组对边平行或另一组对边相等这两种方法判定平行四边形.
知3－讲
例8
[ 中考·徐州] 已知：如图9.3-10，在平行四边形ABCD 中，点E、F 在AC 上，且AE=CF. 求证：四边形BEDF 是平行四边形.
知3－讲
证明：如图9.3-10，连接BD，设对角线AC、BD 交于点O.
∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴ OA=OC，OB=OD.
又∵ AE=CF，∴ OA-AE=OC-CF，
即OE=OF.
∴四边形BEDF 是平行四边形(对角线互相平分的四边形是平行四边形).
知3－讲
解题秘方：由于条件都与四边形的对角线相关，因此需紧扣对角线关系判定平行四边形.
知3－讲
解法提醒：
当条件都与四边形的对角线相关时，应从对角线的角度考虑，利用对角线的关系判定平行四边形，一般结合平行四边形的性质，利用已知平行四边形得到要证明的四边形对角线的关系，从而判定该四边形是平行四边形.
知4－讲
知识点
反证法
4
1. 定义
在证明时，不是从已知条件出发直接证明命题的结论成立，而是先提出与结论相反的假设，然后由这个“假设”出发推导出矛盾的结果，说明假设是错误的，因而命题的结论成立，这种证明的方法称为反证法.
知4－讲
2. 步骤
(1)假设命题的结论不成立，即假设结论的反面成立；
(2)从这个假设出发，通过推理论证，得出矛盾；
(3)由矛盾断定假设不正确，从而肯定原命题的结论成立.
警示误区：(1)假设否定的是命题的结论，而不是已知
条件；
(2)在推理论证时，要把假设作为新增条件参加论证.
知4－讲
例 9
[ 模拟·苏州] 用反证法求证：三角形的一个外角等于与它不
相邻的两个内角的和．已知：如图9.3-11，∠ 1 是△ ABC 的一个外角．求证：∠ 1 ＝∠ A+ ∠ B.
知4－讲
证明：假设∠ 1 ≠∠ A+ ∠ B，
∵∠ 1+ ∠ ACB ＝ 180°，
∴∠ A+ ∠ B + ∠ ACB ≠ 180° .
与“三角形的内角和等于180°”这个定理相矛盾.
∴假设不成立, 即原命题成立.
∴∠ 1 ＝∠ A+ ∠ B．
知4－讲
解题秘方：紧扣假设和平角的定义进行推理，由“三角形的内角和等于180°”即可求证.
知4－讲
思路点拨:
此题的解题步骤是：
①假设命题的结论不成立，即∠1≠∠A+∠B；②从假设出发，经过推理论证，得到∠ A+ ∠ B +∠ACB≠180°，得出矛盾；③由矛盾判定假设∠ 1 ≠∠ A+ ∠ B 不正确，从而肯定∠ 1 ＝∠ A+ ∠ B 正确．
平行四边形
平行四边形
定义
性质
判定
表示方法
边的关系
角的关系
对角线的关系
边的关系
对角线的关系(共50张PPT)
9.4.1 矩形
第9章 中心对称图形——平行四边形
逐点
导讲练
课堂小结
作业提升
课时讲解
1
课时流程
2
矩形的定义及其性质
矩形的判定
两条平行线之间的距离
知识点
矩形的定义及其性质
知1－讲
1
1. 定义 有一个角是直角的平行四边形叫做矩形. 矩形也叫长方形.
知1－讲
2. 特殊性质如下表
图形 文字语言(性质) 符号语言
矩形的四个角都是直角 ∵四边形ABCD 是矩形，
∴∠DAB= ∠DCB= ∠ADC= ∠ABC=90°
矩形的对角线相等 ∵四边形ABCD 是矩形，
∴ AC=BD
矩形是轴对称图形，它有两条对称轴，矩形也是中心对称图形
知1－讲
特别提醒：(1)矩形是特殊的平行四边形，它
具有平行四边形的一切性质，如对边平行且相等，对角相等，对角线互相平分；
(2)利用矩形的性质可以证明线段相等或倍分关系、直线平行、角相等等；
(3)矩形的一条对角线把矩形分成两个全等的直角三角形，矩形的两条对角线将矩形分成两对全等的等腰三角形，分成四个面积相等的等腰三角形，因此有关矩形的计算问题经常转化成直角三角形或等腰三角形来解决.
知1－讲
特别提醒：
由矩形的定义知，矩形一定是平行四边形，但平行四边形不一定是矩形.矩形的定义可以作为判定一个平行四边形是矩形的一种方法.
知1－讲
例 1
如图9.4.1-1，在矩形ABCD 中，对角线AC、BD 相交于点O，∠ BOC ＝ 120°，AB ＝ 6，求：(1)对角线的长；
知1－讲
知1－讲
(2)BC 的长；
知1－讲
(3)矩形ABCD 的面积．
知1－讲
解题秘方：紧扣矩形的“角、对角线的性质”进行计算.
知1－讲
方法点拨：
1. 有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.
2. 矩形的两条对角线把矩形分成四个等腰三角形；另外，矩形的对角线与两邻边构成四个直角三角形，矩形中的相关计算通常需要用到等腰三角形或直角三角形的有关知识.
知1－讲
注意：本例也可通过∠ BOC=120°，OB=OC，得∠BCA=30°，再由含30°角的直角三角形的性质求对角线、BC 的长将更简便，请读者试一试.
知1－讲
例2
如图9.4.1-2 所示，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AE ⊥ BD 于点E，∠DAE∶∠ BAE=
3 ∶ 1，求∠ BAO 和∠ EAO 的度数.
知1－讲
知1－讲
思路点拨：
由∠ DAE 与∠ BAE之和为矩形的一个内角及两角之比即可求出∠ DAE 和∠ BAE 的度数，从而得出∠ ABE 的度数，由矩形的性质易得∠BAO=∠ABE，即可求出
∠ BAO 的度数，再由∠ EAO= ∠ BAO- ∠ BAE可得
∠ EAO 的度数.
知1－讲
解题秘方：紧扣矩形的性质，将矩形问题转化为直角三角形和等腰三角形的相关问题即可求解.
知1－讲
例 3
如图9.4.1-3，已知四边形ABCD 是矩形，△ PBC 和△ QCD都是等边三角形，且点P 在矩形的上方，点Q 在矩形内. 连接PA、PQ.求证：(1)∠ PBA= ∠ PCQ=30°；
知1－讲
证明：∵四边形ABCD 是矩形，∴∠ ABC= ∠ BCD=90° .
∵△ PBC 和△ QCD 都是等边三角形，
∴∠ PBC= ∠ PCB= ∠ QCD=60° .
∴∠ PBA= ∠ ABC- ∠ PBC=30°，
∠ PCD= ∠ BCD- ∠ PCB=30° .
∴∠ PCQ= ∠ QCD- ∠ PCD=30° .
∴∠ PBA= ∠ PCQ=30° .
知1－讲
(2)PA=PQ.
证明：∵四边形ABCD 是矩形，∴ AB=DC.
∵△ PBC 和△ QCD 都是等边三角形，
∴ PB=PC，QC=DC=AB.
又由(1)知∠ PBA= ∠ PCQ，∴△ PAB ≌△ PQC.
∴ PA=PQ.
知1－讲
思路点拨：
(1)矩形的四个内角都等于90°.利用△PBC和△QCD都是等边三角形，容易求得∠ PBA和∠PCQ的度数，从而得证；
(2)利用(1)的结论以及矩形的性质进一步证明△ PAB ≌△ PQC，从而证得PA=PQ.
知2－讲
知识点
矩形的判定
2
1. 判定
图形 文字语言(判定) 符号语言
有一个角是直角的平行四边形叫做矩形(定义法) ∵∠ BAD=90°(或∠ ABC=
90°或∠ BCD=90°或∠ ADC
=90°)，∴ ABCD 是矩形
三个角是直角的四边形是矩形(判定一) ∵∠ DAB= ∠ ABC= ∠ BCD=
90°，∴四边形ABCD 是矩形
对角线相等的平行四边形是矩形(判定二) ∵ AC=BD，
∴ ABCD 是矩形
知2－讲
2. 易错警示
(1)用定义判定一个四边形是矩形必须满足两个条件：一是有一个角是直角，二是四边形是平行四边形. 也就是说有一个角是直角的四边形不一定是矩形，必须加上“平行四边形”这个条件它才是矩形；
(2)用“对角线相等的平行四边形是矩形”判定一个四边形是矩形必须满足两个条件：一是对角线相等，二是四边形是平行四边形. 也就是说两条对角线相等的四边形不一定是矩形，必须加上“平行四边形”这个条件它才是矩形.
知2－讲
特别解读：
1.矩形的判定和性质互为逆定理.
2. 矩形判定的常见思路.
(1)从角的角度证明：
①四边形 矩形；
②平行四边形 矩形；
(2)从对角线的角度证明：
①平行四边形 矩形；
②四边形 矩形.
有三个直角
有一个直角
对角线相等
对角线互相平分且相等
知2－讲
例4
[ 模拟·南通] 如图9.4.1-4，在平行四边形ABCD 中，E、F为BC 上两点，且BE ＝ CF，AF ＝ DE，求证：
(1)△ ABF ≌△ DCE；
知2－讲
证明：∵ BE ＝ CF，BF ＝ BE+EF，CE ＝ CF+EF，
∴ BF＝CE．∵四边形ABCD 是平行四边形，∴ AB＝DC．
在△ ABF 和△ DCE 中，
AB=DC，
BF=CE，
AF=DE，
∴△ ABF ≌△ DCE．
知2－讲
(2)四边形ABCD 是矩形．
证明：∵△ ABF ≌△ DCE，∴∠ B ＝∠ C．
∵四边形ABCD 是平行四边形，∴ AB ∥ CD．
∴∠ B+ ∠ C ＝ 180°．∴∠ B ＝∠ C ＝ 90°．
∴ ABCD 是矩形(有一个角是直角的平行四边形是矩形)．
知2－讲
解题秘方：紧扣矩形定义的“两个条件”进行证明.
知2－讲
解法提醒：
由定义来判定矩形，要在平行四边形的前提下，证明有一个角是90°，若在四边形的前提下，则需先证明是平行四边形，再证明有一个角是90°.矩形的定义既是矩形的性质也是矩形的判定.
知2－讲
例 5
[ 模拟·苏州] 如图9.4.1-5， 在四边形ABCD 中，AD ∥ BC，
AB ∥ DE，AF ∥ DC，E、F 两点在边BC 上，且四边形AEFD 是平行四边形．
(1)AD 与BC 有何等量关系？请说明理由；
知2－讲
解：BC ＝ 3AD．理由如下：
∵ AD ∥ BC，AB ∥ DE，AF ∥ DC，
∴四边形ABED 和四边形AFCD 都是平行四边形．
∴ AD ＝ BE，AD ＝ FC.
又∵四边形AEFD 是平行四边形，∴ AD ＝ EF．
∴ AD ＝ BE ＝ EF ＝ FC．∴ BC ＝ 3AD．
知2－讲
(2)当AB ＝ DC 时，求证： AEFD 是矩形．
证明：∵四边形ABED和四边形AFCD都是平行四边形，
∴ DE ＝ AB，AF ＝ DC．
又∵ AB ＝ DC，∴ DE ＝ AF．
又∵四边形AEFD 是平行四边形，
∴ AEFD 是矩形(对角线相等的平行四边形是矩形)．
知2－讲
解题秘方：紧扣“平行四边形”这一前提，从“对角线相等”入手(或从“有一个角是直角”入手)进行证明.
知2－讲
证明一个平行四边形为矩形的两种方法：
一种是证明有一个角是直角，另一种是证明两条对角线相等.本例采用的是对角线相等的方法. 若采用有一个角是直角的方法，可证DE=DC，EF=FC， 利用等腰三角形的“三线合一”可得∠ DFE=90° .
知2－讲
例6
[ 模拟·南昌] 如图9.4.1-6，在△ ABC 中，AB ＝ AC，AE ⊥ BC，AD 平分∠ FAC，CD ⊥ AD 于点D．求证：四边形AECD 是矩形．
知2－讲
知2－讲
知2－讲
解题秘方：题中证明矩形的条件是建立在四边形基础上，且都与角相关，可从证直角入手进行判定.
知2－讲
思路点拨：
要判定一个四边形是矩形，通常选用“三个角是直角的四边形是矩形”来证明；也可以先判定它是平行四边形，再根据平行四边形成为矩形应满足的条件，证明有一个角是直角或对角线相等.
知3－讲
知识点
两条平行线之间的距离
3
1. 定义 两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线之间的距离.
知3－讲
三种距离之间的区别与联系
类别 两点间的距离 点到直线的距离 两条平行线间的距离
区别 连接两点的线段的长度 点到直线的垂线段的长度 两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的垂线段的长度
联系 最后都归结为两点间的一条线段的长度
知3－讲
特别提醒：
1. 距离是指垂线段的长度，它是正值.
2. 当两条平行线确定后，它们之间的距离是一个定值.
3. 平行线间的距离处处相等，因此在作平行四边形的高时，可根据需要灵活选择位置.
4. 任何两条平行线间的距离都是存在的、唯一的，都是两条平行线间最短线段的长度.
知3－讲
2. 性质 如果两条直线平行，那么一条直线上所有的点到另一条直线的距离都相等，即平行线间的距离处处相等.
数学表达式：如图9.4.1-7，A、C 是l1上任意两点.
∵ l1∥ l2，AB ⊥ l2，CD ⊥ l2，∴ AB=CD.
知3－讲
3. 拓展
(1)夹在两条平行线间的任何平行线段都相等；
(2)等底等高的平行四边形(包括矩形等)的面积相等；
(3) 平行四边形(包括矩形等)的面积= 底× 高=ah(其中a 是平行四边形的任意一条边长，h 必须是这条边与它的对边之间的距离）. 如图9.4.1-8 所示， 在 ABCD
中，AE ⊥ BC 于点E，CF ⊥ AB 于点F，
则S ABCD=BC·AE=AB·CF.
知3－讲
例 7
如图9.4.1-9，已知直线a ∥ b，点C、D 在直线a 上，点A、
B 在直线b 上，线段BC、AD 相交于点E，若△ ABC 的面积为20，AB ＝ 5，CD ＝ 2，则△ ACD 的面积为______．
8
知3－讲
解题秘方：紧扣等底等高的三角形面积相等作三角形的高进行解答.
知3－讲
解析：如图9.4.1-9，过点C 作CH1 ⊥直线b，垂足为H1，
过点A 作AH2 ⊥直线a，垂足为H2.
∵直线a ∥ b，CH1 ⊥直线b，
AH2 ⊥直线a，
∴ CH1=AH2(平行线间的距离处
处相等).
知3－讲
知3－讲
特别提醒：
1. 由平行线间的距离处处相等，可知顶点都在两平行线上的三角形的高相等.
2. 解顶点在两平行线上的三角形的面积问题时常作高(两平行线间的垂线段)进行解答.
矩形
矩形
边的性质
性质
角的性质
对角线的性质
定义
判定
角的关系
两条平行线之间的距离
对角线关系(共31张PPT)
9.4.2 菱形
第9章 中心对称图形——平行四边形
逐点
导讲练
课堂小结
作业提升
课时讲解
1
课时流程
2
菱形的定义及其性质
菱形的判定
知识点
菱形的定义及其性质
知1－讲
1
1. 定义
有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.
知1－讲
2. 特殊性质如下表
图形 文字语言(性质) 符号语言
菱形的四条边都相等 ∵四边形ABCD 是菱形，
∴ AB=BC=CD=AD
菱形的两条对角线互相垂直 ∵四边形ABCD 是菱形，
∴ BD ⊥ AC
菱形既是轴对称图形，有两条对称轴，又是中心对称图形
知1－讲
(1)菱形的性质可以用来证明线段相等，角相等，
直线平行、垂直以及进行相关的计算；
(2)菱形的性质与勾股定理联系，可得对角线长与边长之间的关系，即边长的平方等于两条对角线长一半的平方和；
(3)如果菱形的一个内角为60°，那么菱形的两条边与较短的对角线构成的三角形为等边三角形；
(4)菱形的面积= 底× 高= 两条对角线长乘积的一半(填空题、选择题直接运用).
知1－讲
特别提醒：
1. 菱形必须满足两个条件：一是平行四边形；二是一组邻边相等.二者必须同时具备，缺一不可.
2. 菱形的定义既是菱形的基本性质，也是菱形的基本判定方法.
3. 菱形是特殊的平行四边形，它具有平行四边形的一切性质，如对边平行且相等，对角相等，对角线互相平分.
知1－讲
3. 矩形和菱形的区别
(1)矩形和菱形都是建立在平行四边形的基础上，矩形是附加一直角，而菱形是附加一组邻边相等；
(2)矩形的两条对角线把矩形分割成四个面积相等的等腰三角形，而菱形的两条对角线把菱形分割成四个全等的直角三角形；
(3)矩形的对称轴是两条过两组对边中点的直线，而菱形的对称轴是两条对角线所在的直线.
知1－讲
例 1
[ 一模·泰安] 已知：如图9.4.2-1，在菱形ABCD 中，E、F分别是BC、CD 上的点.
(1)如图①，若CE ＝ CF，求证：AE ＝ AF；
知1－讲
证明：∵四边形ABCD 为菱形，
∴∠ B ＝∠ D，AB ＝ BC ＝ CD ＝ DA(菱形的对角相等，四条边相等)．又∵ CE ＝ CF，∴ BE ＝ DF．
在△ ABE 和△ ADF 中，
AB=AD，
∠ B= ∠ D，
BE=DF，
∴△ ABE ≌△ ADF．∴ AE ＝ AF．
知1－讲
解题秘方：紧扣菱形的性质、等边三角形的判定与性质等知识求解.
知1－讲
技巧点拨：
在求与菱形有关的角的问题时，由于菱形的每条对角线都把菱形分成两个全等的等腰三角形，因此通常通过连接对角线，把四边形问题转化为特殊三角形(等边三角形、等腰三角形等)问题来解答.
知1－讲
(2)如图②，若∠ B ＝∠ EAF ＝ 60°，∠ BAE ＝ 20°，求∠ CEF的度数．
知1－讲
解：如图9.4.2-2 所示，连接AC．
∵四边形ABCD 为菱形，∠ B ＝ 60°，
∴ AB ＝ BC ＝ CD ＝ DA，∠ D ＝∠ B ＝ 60°．
∴△ ABC 与△ CDA 为等边三角形．
∴ AB ＝ AC，∠ B ＝∠ ACF ＝
∠ BAC ＝ 60°．
∵∠ EAF ＝ 60°，∴∠ BAE ＝∠ CAF．
知1－讲
在△ ABE 和△ ACF 中，
∠ BAE= ∠ CAF，
AB=AC，
∠ B= ∠ ACF，
∴△ ABE ≌△ ACF．∴ AE ＝ AF．∵∠ EAF ＝ 60°，∴△ EAF 为等边三角形．∴∠ AEF ＝ 60°．
∵∠ AEC ＝∠ B+ ∠ BAE ＝∠ AEF+ ∠ CEF，
∴ 60° +20°＝ 60° + ∠ CEF．∴∠ CEF ＝ 20°．
知1－讲
在菱形中如果出现“30 °“”60 °“”120 °“”一边等于最短对角线”这些词语时，往往都指向等边三角形，我们需用等边三角形的知识来解决.
知2－讲
知识点
菱形的判定
2
1. 判定
图形 文字语言(判定) 符号语言
有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形(定义法) ∵ AB=BC(或AB=AD 或AD=CD 或BC=CD)
∴ ABCD 是菱形
四边相等的四边形是菱形(判定1) ∵ AB=BC=AD=CD，
∴四边形ABCD 是菱形
对角线互相垂直的平行四边形是菱形(判定2) ∵ AC ⊥ BD.
∴ ABCD 是菱形
知2－讲
2. 易错警示 判定菱形时，一定要明确前提是从“四边形”出发的，还是从“平行四边形”出发的：(1)若从“四边形”出发，则还需四条边相等；(2)若从“平行四边形”出发，则还需一组邻边相等或对角线互相垂直.
知2－讲
特别提醒：
1.菱形的判定定理和性质定理是互逆定理.
2.判定菱形的常见思路
四
边
形
可依据题目特点选取不同的方法.
四条边都相等→菱形对角线互相垂直且平分→菱形
平行四边形
对角线互相垂直→菱形
有一组邻边相等→菱形
知2－讲
例2
已知：如图9.4.2-3，在△ ABC 中，CD 平分∠ ACB 交AB 于点D，DE ∥ AC 交BC 于点E，DF ∥ BC 交AC 于点F. 四边形DECF 是菱形吗？为什么？
知2－讲
解：四边形DECF 是菱形. 理由如下：
∵ DE ∥ FC，DF ∥ EC，
∴四边形DECF 为平行四边形.∵ AC ∥ DE，∴∠ 2= ∠ 3.
∵ CD 平分∠ ACB，∴∠ 1= ∠ 2. ∴∠ 1= ∠ 3.
∴ DE=EC.
∴平行四边形DECF 为菱形(有一组邻边相等的平行四边形是菱形).
知2－讲
解题秘方：紧扣定义中“两个条件”进行判断.
知2－讲
解法提醒:
菱形的定义既是菱形的性质，也是菱形的一种判定方法.
在用菱形的定义判定一个四边形是菱形时，首先判定这个四边形是平行四边形，再证一组邻边相等.
平行
四边形
一组邻边相等
菱形
知2－讲
例 3
如图9.4.2-4，在平行四边形ABCD 中，对角线AC、BD 相交于点O，过点O 作直线EF ⊥ BD，分别交AD、BC 于点E 和点F，连接BE、DF. 求证：四边形BEDF 是菱形.
证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴ OB=OD，AD ∥ BC.
∴∠ EDO= ∠ FBO，∠ OED= ∠ OFB.
∴△ OED ≌△ OFB. ∴ DE=BF.
又∵ DE ∥ BF，∴四边形BEDF 是平行四边形.
∵ EF ⊥ BD，
∴平行四边形BEDF 是菱形(对角线互相垂直的平行四边形是菱形).
知2－讲
知2－讲
解题秘方：紧扣“对角线垂直”这一条件，从判定平行四边形入手判定菱形.
解法点拨：
证明一个四边形是菱形的方法：
若已知要证的四边形的对角线互相垂直，则要考虑证明这个四边形是平行四边形，用“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”进行证明.
知2－讲
平行
四边形
对角线互
相垂直
菱形
知2－讲
例4
如图9.4.2-5，在Rt △ ACB 中，∠ ACB=90°，
∠ BAC=60°，DE 垂直平分BC，垂足为D，交AB 于点E，点F 在DE 的延长线上，且AF=CE. 求证：四边形ACEF 是菱形.
证明：∵ DE 垂直平分BC，∴ BE=CE.
∵∠ ACB=90° , ∠ BAC=60° ,
∴∠ BCE= ∠ B=30° . ∴∠ ACE=60° .
∴△ ACE 为等边三角形. ∴ AE=CE=AC.
∵∠ AEF= ∠ BED=90° - ∠ B=60°，AF=CE=AE，
∴△ AEF 为等边三角形.
∴ AE=AF=EF. ∴ AC=CE=EF=AF.
∴四边形ACEF 是菱形(四条边相等的四边形是菱形).
知2－讲
知2－讲
解题秘方：由线段垂直平分线的性质得出BE=CE，再得出△ ACE 和△ AEF 都是等边三角形，进而得出四边形ACEF 是菱形.
方法点拨：
有较多线段相等的条件时，我们可考虑通过证明四条边相等来证明这个四边形是菱形.注意：本例也可以先证四边形ACEF是平行四边形，再证一组邻边相等，只不过步骤复杂一点，读者不妨试一试.
知2－讲
菱形
菱形
边的性质
性质
角的性质
对角线的性质
定义
判定
边的关系
对称性
对角线关系(共22张PPT)
9.4.3 正方形
第9章 中心对称图形——平行四边形
逐点
导讲练
课堂小结
作业提升
课时讲解
1
课时流程
2
正方形的定义及其性质
正方形的判定及特殊四边形间的关系
知识点
正方形的定义及其性质
知1－讲
1
1. 正方形的定义
有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形.
知1－讲
2. 正方形的性质如下表
图形 文字语言(性质) 符号语言
边 对边平行，四条边都相等 ∵四边形ABCD 是正方形，
∴ AB ∥ CD，AD ∥ BC，
AB=BC=CD=AD
角 四个角都是直角 ∵四边形ABCD 是正方形，∴∠ A= ∠ B= ∠ C= ∠ D=90°
知1－讲
图形 文字语言(性质) 符号语言
对角线 对角线互相垂直平分且相等 ∵四边形ABCD 是正方形，∴ AC ⊥ BD，AC=BD，OA=OC=OB=OD
对称性 既是轴对称图形，又是中心对称图形
知1－讲
3. 特别提醒 正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质.
特别提醒：
1.矩形、菱形、正方形都是特殊的平行
四边形，它们之间的关系如图9.4.3-1
所示.
知1－讲
2. 正方形的特殊性质：
(1)正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形；两条对角线把正方形分成四个全等的小等腰直角三角形；
(2)周长相等的四边形中，正方形的面积最大；
(3)面积为边长的平方或对角线平方的一半.
知1－讲
例 1
如图9.4.3-2，正方形ABCD 的边长为1 cm，AC 是对角线，AE 平分∠ BAC，EF ⊥ AC，垂足为F．求BE 的长．
知1－讲
解：∵四边形ABCD是边长为1cm的正方形，AC是对角线，
∴ AB ⊥ BC，AB ＝ BC ＝ 1 cm，∠ ACB ＝ 45°．
∵ EF ⊥ AC，∴△ EFC是等腰直角三角形．
∴ FE ＝ CF．
∵ AE 平分∠ BAC，EF ⊥ AC，∴ BE ＝ FE ＝ CF．
在Rt △ ABC 中，∠ ABC ＝ 90°，
知1－讲
知1－讲
解题秘方：紧扣正方形的性质，从中获取边、角的信息.
解法提醒：
解有关正方形的问题，要充分利用正方形的四边相等、四角相等、对角线互相垂直平分且相等等性质.正方形的性质、等腰直角三角形的特点、勾股定理是解决正方形的相关证明与计算问题的三把钥匙.
知2－讲
知识点
正方形的判定及特殊四边形间的关系
2
1. 正方形的判定如下表
图形 文字语言(判定) 符号语言
有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形(定义法) ∵ AB=BC(或AB=AD 或AD=CD 或BC=CD)，
∠ A=90°(或∠ B=90°或∠ C=90 °或∠D=90 °)，
∴ ABCD 是正方形
知2－讲
图形 文字语言(判定) 符号语言
有一组邻边相等的矩形是正方形(判定1) ∵ AB=BC(或AB=AD 或AD=CD或BC=CD)，
∴矩形ABCD 是正方形
有一个角是直角的菱形是正方形(判定2) ∵∠ A=90°(或∠ B=90°或∠ C=90°或∠ D=90°)，
∴菱形ABCD 是正方形
知2－讲
常见的判定思路：
(1)从四边形出发：①先证明四边形是平行四边形；②再证明平行四边形是正方形；
(2)从平行四边形出发：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形是正方形；
(3)从矩形出发：有一组邻边相等的矩形是正方形；
(4)从菱形出发：有一个角是直角的菱形是正方形.
知2－讲
2. 特殊四边形间的关系
四边形、平行四边形、矩形、菱形、正方形间的转化关系如下所示.
知2－讲
例2
如图9.4.3-3，在Rt △ ABC 与Rt △ ABD 中，∠ABC=∠BAD=90°，AC=BD，AC、BD 相交于点G， 过点A 作AE ∥ DB 交CB 的延长线于点E， 过点B 作BF ∥ CA 交DA 的延长线于点F，AE、BF 相交于点H．
知2－讲
(1)证明：△ ABD ≌△ BAC；
证明：在Rt △ BAC 与Rt △ ABD 中，
∠ ABC ＝∠ BAD ＝ 90°，
AB=BA，
AC=BD，
∴ Rt △ BAC ≌ Rt △ ABD．
知2－讲
(2)证明：四边形AHBG 是菱形；
证明：∵ AH ∥ GB，BH ∥ GA，
∴四边形AHBG 是平行四边形．
∵△ ABC ≌△ BAD，
∴∠ BAC ＝∠ ABD．∴ GA ＝ GB．
∴平行四边形AHBG 是菱形(有一组邻边相等的平行四边形是菱形)．
知2－讲
(3)若AB ＝ BC，证明四边形AHBG 是正方形．
证明：∵ AB ＝ BC，∠ ABC ＝ 90°，
∴△ ABC 是等腰直角三角形．∴∠ BAG ＝ 45°．
∴∠ ABG ＝∠ BAG ＝ 45°．
∴∠AGB＝90°．
∴菱形AHBG是正方形(有一个角是直角的菱形是正方形)．
知2－讲
解题秘方：紧扣正方形的判定方法，先证明四边形是菱形，再证明有一个角为直角即可得到四边形是正方形．
知2－讲
思路点拨：
(1)根据“HL”即可证明结论；
(2)先证明四边形AHBG是平行四边形，再由(1)中的全等易得GA ＝ GB， 从而证明平行四边形AHBG 是菱形；
(3)根据“△ABC是等腰直角三角形”，得出∠BAG＝ 45°，再由(2)可知“∠ABG＝∠BAG＝45°”，根据三角形的内角和定理易得∠AGB＝90°，最后根据判定2即可证明结论．
正方形
正
方
形
性质
判定
特殊的平行四边形
特殊的矩形
特殊的菱形
边、角、对角线、对称性
一组邻边相等
且一个角是直角
一组邻边相等
一个角是直角(共18张PPT)
9.5 三角形的中位线
第9章 中心对称图形——平行四边形
逐点
导讲练
课堂小结
作业提升
课时讲解
1
课时流程
2
三角形的中位线
中点四边形
知识点
三角形的中位线
知1－讲
1
1. 概念和定理
图形 文字语言 符号语言
概念 连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线 ∵ AD=BD，AE=EC，
∴ DE 是△ ABC 的中
位线
定理 三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半
知1－讲
2. 三角形的中位线的应用
(1)三角形的中位线定理反映了三角形的中位线与第三边的双重关系：一是位置关系，可以用来证两直线平行；二是数量关系，可以用来证线段的倍分关系.
(2)中位线具有平移角、倍分转化线段的功能，因此当遇到中点或中线时，应考虑构造中位线，即我们常说的“遇到中点想中位线”；相应地，若知道了三角形的中位线，则三角形两边的中点即可找到.
知1－讲
特别解读：
1. 一个三角形有三条中位线.
2. 三条中位线将原三角形分割成四个全等的小三角形.
3. 三角形的中位线与三角形的中线的区别：三角形的中线是连接一顶点和它的对边中点的线段，而三角形的中位线则是连接两边中点的线段.
4. 三角形的一条中位线与第三边上的中线互相平分.
知1－讲
例 1
[ 二模·苏州] 如图9.5-1，在Rt △ ABC中，∠ ACB ＝ 90°，CM 是斜边AB 上的中线，E、F分别为MB、BC 的中点，若EF ＝ 1，则AB 等于( )
A. 3
B. 3.5
C. 4
D. 4.5
C
知1－讲
解题秘方：紧扣三角形中位线定理求出CM，然后结合直角三角形斜边上中线的性质进行求解.
解析：在△ BMC 中，∵ E、F 分别为MB、BC 的中点，
∴ BE ＝ EM，BF ＝ FC. ∴ CM ＝ 2EF ＝ 2．
在Rt △ ABC 中，∠ ACB ＝ 90°，
CM 是斜边AB 上的中线，
∴ AB ＝ 2CM ＝ 4．
知1－讲
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
知1－讲
方法点拨：
此题根据已知条件可得EF 是△ MBC 的中位线，得到CM 与EF 的数量关系，再结合直角三角形中CM 与 AB 的数量关系，即可求出AB 的值.
知2－讲
知识点
中点四边形
2
1. 定义 顺次连接任意一个四边形各边的中点所得的四边形叫做中点四边形. 如图9.5-2，在四边形ABCD 中，E、F、G、H 分别是边AB、BC、CD、DA 的中点，则四边形EFGH 就是中点四边形.
知2－讲
2. 利用中位线定理判定平行四边形，一般用“一组对边平行且相等”判定平行四边形.
知2－讲
特别解读：
1. 所有的中点四边形都是平行四边形.
2.常见四边形的中点
四边形：
原四边形 中点四边形
任意四边形 平行四边形
平行四边形 平行四边形
矩形 菱形
菱形 矩形
正方形 正方形
知2－讲
3. 中点四边形的形状取决于原四边形的两条对角线
的位置关系和数量关系, 具体如下表
对角线AC 与BD的关系 既不垂直也不相等 AC ⊥ BD AC=BD AC ⊥ BD 且AC=BD
图形
中点四边形 四边形EFGH是平行四边形 四边形EFGH 是矩形 四边形EFGH 是菱形 四边形EFGH 是正方形
知2－讲
例2
[ 月考·兴化市] 若四边形的两条对角线长分别为35 cm和25 cm， 则连接这个四边形各边的中点所得的四边形的周长是_______cm．
60
知2－讲
解题秘方：紧扣三角形中位线定理中的数量关系即可求解．
方法点拨：
解答有关中点四边形问题时，常利用三角形的中位线定理求解.根据三角形的中位线定理，易证四边形各边中点所得的四边形（中点四边形）的各边长度是原四边形的对角线的一半．
知2－讲
解析：如图9.5-3 所示，E、F、G、H 分别是四边形ABCD 四边的中点. 令AC=25 cm，BD=35 cm.
知2－讲
三角形的中位线
三角形的中位线
概念
定理
位置关系
数量关系
中点四边形
平行四边形
菱形
矩形
正方形
