(共34张PPT)
12.1 二次根式
第12章 二次根式
逐点
导讲练
课堂小结
作业提升
课时讲解
1
课时流程
2
二次根式的定义
二次根式有意义的条件
二次根式的性质
知识点
二次根式的定义
知1－讲
1
知1－讲
知1－讲
知1－讲
例 1
知1－讲
知1－讲
知1－讲
知1－讲
知1－讲
解题秘方：紧扣二次根式的定义中“两个条件”进行识别.
知2－讲
知识点
二次根式有意义的条件
2
知2－讲
3. 求使含有字母的式子有意义的字母取值范围的方法
(1)如果一个式子含有多个二次根式，那么它有意义的条件是：各个二次根式中的被开方数(式)都必须是非负数.
(2)如果一个式子中既含有二次根式又含有分式，那么它有意义的条件是：二次根式中的被开方数(式)是非负数，分式的分母不等于0.
知2－讲
(3)如果一个式子中既含有零指数幂或负整数指数幂又含有二次根式，那么它有意义的条件是：二次根式中的被开方数(式)是非负数且零指数幂或负整数指数幂的底数不等于0.
知2－讲
巧记口诀：
二次根式有意义，被开方数非负数；
二次根式无意义，被开方数是负数；
单个二次根式时，列出不等式求解；
复合形式的式子，列不等式组求解.
知2－讲
例2
知2－讲
知2－讲
知2－讲
知2－讲
解题秘方：紧扣“求使含有字母的式子有意义的字母取值范围的方法”求解.
解法提醒：
求式子有意义时字母的取值范围的方法：
第一步，明确不同式子有意义的条件；
第二步，利用式子中所有有意义的条件，建立不等式或不等式组；
第三步，求出不等式或不等式组的解集，即得字母的取值范围.
知2－讲
例 3
4
知2－讲
解题秘方：紧扣二次根式有意义的条件，结合“x ≥ y且x≤ y，得到x=y”进行解答．
知2－讲
知3－讲
知识点
二次根式的性质
3
知3－讲
知3－讲
知3－讲
表达式
区别 取值范围不同 a 为全体实数 a ≥ 0
运算顺序不同
运算结果不同
联系
知3－讲
例4
知3－讲
知3－讲
知3－讲
知3－讲
知3－讲
二次根式
二次根式
二次根式的定义
二次根式有意义的条件
二次根式的性质
(共43张PPT)
12.2 二次根式的乘除
第12章 二次根式
逐点
导讲练
课堂小结
作业提升
课时讲解
1
课时流程
2
二次根式的乘法
二次根式乘法法则的逆用(积的算术平方根)
二次根式的除法
二次根式除法法则的逆用(商的算术平方根)
最简二次根式
知识点
二次根式的乘法
知1－讲
1
知1－讲
特别提醒：
1. 法则中的被开方数a、b既可以是数，也可以是式子，但都必须是非负的.
2. 不要把字母表示正数误认为含该字母的式子的值就是正数.
3. 二次根式相乘，被开方数的积中有开得尽方的因数或因式时一定要开方.
知1－讲
知1－讲
知1－讲
例 1
知1－讲
注意确定积的符号.
知1－讲
解题秘方：紧扣“二次根式乘法法则”进行计算.
解法提醒：
(1)(2)直接用法则计算，且(2)中字母取值未加说明为正数，不需讨论.
(3)按推广中（1）计算.
(4)按推广中（2）计算，但注意要将带分数化为假分数计算.
知2－讲
知识点
二次根式乘法法则的逆用(积的算术平方根)
2
知2－讲
2. 法则的应用
(1)逆用二次根式的乘法法则实际是两个非负因数(式)的积的算术平方根运算，它对两个以上因数(式)的积的算术平方根同样适用.
(2)运用此公式化简二次根式时，关键是将被开方数分解因数(或因式)，把含有a2 形式的a(a>0)移到根号外面.
知2－讲
特别提醒：
公式中的a、b既可以是一个数，也可以是一个式子.积中各个因式必须都为非负的，若不是非负的，应将其化成非负的再运用公式化简.
知2－讲
例2
被开方数是乘积的形式
被开方数转化为乘积的形式
知2－讲
知2－讲
知2－讲
解题秘方：紧扣“二次根式乘法法则的逆用公式”进行化简.
知3－讲
知识点
二次根式的除法
3
知3－讲
知3－讲
知3－讲
特别提醒：
1. 法则中的被开方数a、b既可以是数，也可以是式子，但都必须是非负的且b 不为0；若b=0，则式子无意义.
2. 进行二次根式的除法运算时，若两个被开方数可以整除，就直接运用二次根式的除法法则进行计算；若两个被开方数不能整除，可以对二次根式化简或变形后再相除.
知3－讲
例 3
知3－讲
知3－讲
解题秘方：紧扣“二次根式除法法则”进行计算.
知3－讲
知3－讲
例4
B
知3－讲
解题秘方：紧扣“二次根式除法法则”成立的条件求解.
解析：根据二次根式除法法则成立的条件，得
x-1≥0，
x-2 ＞ 0，解不等式组，得x ＞ 2.
注意：分母不能为0.
知3－讲
解法提醒：
要求使等式成立的字母的取值范围，只需使等式的每部分都有意义. 这里包括二次根式的被开方数是非负数，分式的分母不为零，零指数幂和负整数指数幂的底数不为零等.
知4－讲
知识点
二次根式除法法则的逆用(商的算术平方根)
4
知4－讲
二次根式除法法则的逆用(商的算术平方根)
2. 法则的应用
(1)逆用二次根式的除法法则实际是两个非负数的商的算术平方根的运算，其中被除数是非负数，除数是正数.
(2)逆用二次根式的除法法则的作用：化简二次根式，将分母中的根号去掉.
知4－讲
二次根式除法法则的逆用(商的算术平方根)
知4－讲
特别提醒
1.公式中的a、b，既可以是一个数，也可以是一个式子，但必须满足a ≥ 0，b ＞ 0.
2.利用商的算术平方根的公式可以把被开方数中含有分母的二次根式化成被开方数不含分母的二次根式.
知4－讲
例 5
知4－讲
知4－讲
解题秘方：紧扣“二次根式除法法则的逆用公式”进行化简.
知4－讲
逆用二次根式除法法则的公式化简二次根式的方法：
1. 若被开方数(式)的分母是一个完全平方数(式)，则可以直接逆用二次根式除法法则的公式，先将分子、分母分别开平方，然后求商.
2. 若被开方数(式)的分母不是完全平方数(式)，可根据分式的基本性质，先将分式的分子、分母同时乘一个不等于0 的数(整式)，使分母变成一个完全平方数(式)，然后逆用二次根式除法法则的公式进行化简.
知5－讲
知识点
最简二次根式
5
1. 定义 如果一个二次根式满足以下三个条件，那么这个二次根式叫做最简二次根式：(1)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；(2)被开方数中不含分母；(3)分母中不含有根号.
知5－讲
2. 二次根式化简成最简二次根式的步骤
(1)“一分”，即利用因数(式)分解的方法把被开方数的分子、分母都化成质因数(式)的幂的乘积形式；
(2)“二移”，即把能开得尽方的因数(式)用它的算术平方根代替，移到根号外. 其中把根号内的分母中的因数(式)移到根号外时，要注意应写在分母的位置上；
(3)“三化”，即化去被开方数中的分母.
知5－讲
3. 注意
(1)分母中含有根号的式子不是最简二次根式；
(2)二次根式化简时，容易忽视隐含条件，将负号移到根号外.
知5－讲
例6
解：不是最简二次根式，因为被开方数中含有分母.
知5－讲
解：是最简二次根式.
不是最简二次根式，因为被开方数是小数(即含有分母).
不是最简二次根式，因为被开方数24x 中含有能开得尽方的因数4，4=22.
知5－讲
解：不是最简二次根式，因为x3+6x2+9x=x(x2+6x+9)=
x(x+3)2，被开方数中含有能开得尽方的因式.
不是最简二次根式，因为分母中有二次根式.
知5－讲
解题秘方：紧扣“最简二次根式的定义”进行判断.
二次根式的乘除
二次根式
的乘除
顺用逆用
互逆关系
积的算术
平方根
二次根式
的乘法
顺用逆用
互逆关系
二次根式
的除法
商的算术
平方根
最
简
二
次
根
式(共28张PPT)
12.3 二次根式的加减
第12章 二次根式
逐点
导讲练
课堂小结
作业提升
课时讲解
1
课时流程
2
同类二次根式
二次根式的加减
二次根式的混合运算
知识点
同类二次根式
知1－讲
1
1. 同类二次根式的定义
经过化简后，被开方数相同的二次根式，叫做同类二次根式.
2. 判断同类二次根式的步骤
(1)化为最简二次根式；
(2)看被开方数是否相同.
知1－讲
知1－讲
知1－讲
例 1
知1－讲
知1－讲
解题秘方：紧扣“判断同类二次根式的步骤”进行识别.
方法点拨：
识别同类二次根式的方法：先化二次根式为最简二次根式，最简二次根式只要被开方数相同，就是同类二次根式，与根号外面的因数或因式无关.
知2－讲
知识点
二次根式的加减
2
1. 二次根式加减的法则：
二次根式相加减，先化简每个二次根式，然后合并同类二次根式.
2. 二次根式加减运算的步骤
(1)“化”：将每个二次根式都化成最简二次根式；
(2)“找”：找出同类二次根式；
(3)“并”：将同类二次根式合并成一项，保留没有同类二次根式的项，作为结果的一部分.
知2－讲
3. 二次根式的乘除法与二次根式的加减法的区别
运算 二次根式的乘除法 二次根式的加减法
系数 系数相乘除 系数相加减
被开方数 被开方数相乘除 被开方数不变
化简 结果化为最简二次根式或整式 先化为最简二次根式，再合并同类二次根式
知2－讲
特别提醒：
1. 化成最简二次根式后被开方数不相同的二次根式不能合并，但是不能丢弃，它们也是结果的一部分.
2. 整式加减运算中的交换律、结合律、去括号法则等在二次根式加减运算中仍然适用.
3. 根号外的因数就是这个二次根式的系数，二次根式的系数是带分数的要化为假分数的形式.
知2－讲
例2
知2－讲
解题秘方：题目中的每个二次根式都不是最简二次根式，因此应按化简、去括号、合并的步骤进行.
知2－讲
解法提醒：
二次根式加减运算的技巧：
(1)将每个二次根式都化为最简二次根式，若被开方数中含有带分数，则要先化成假分数；若含有小数，则要化成分数，进而化为最简二次根式.
(2)原式中若有括号，要先去括号，再应用加法交换律、结合律将被开方数相同的二次根式进行合并.
知2－讲
例 3
知2－讲
知2－讲
解法提醒：
解答此题的关键是运用分类讨论思想对等腰三角形的边分情况说明.
解答此题的难点是讨论三条线段长度能否组成三角形的三边长，即利用“三角形的任意两边之和大于第三边”，判断是否能组成三角形．
知3－讲
知识点
二次根式的混合运算
3
1. 二次根式的混合运算种类
二次根式的加、减、乘、除、乘方(或开方)的混合运算.
2. 二次根式的混合运算顺序 先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，如果有括号就先算括号里面的；与整式的混合运算顺序相同.
知3－讲
3. 二次根式混合运算中的运算律
实数运算中的运算律(交换律、结合律、分配律)和整式乘法中的乘法公式(平方差公式和完全平方公式)在二次根式的混合运算中仍然适用.
知3－讲
特别提醒：
1. 二次根式混合运算的结果应写成最简二次根式(或整式)的形式.
2. 进行二次根式的开方运算时，应使开出的因数(式)是非负数(式).
3. 在进行计算时，能用乘法公式的要尽量使用乘法公式，同时注意合理地使用运算律.
知3－讲
例4
解题秘方：先利用二次根式的乘法法则运算，然后化简后合并即可；
知3－讲
解题秘方：根据二次根式的乘除法法则运算；
知3－讲
解题秘方：先化简二次根式，再合并同类二次根式，最后计算除法即可求解.
知3－讲
方法点拨：
学习二次根式的混合运算应注意以下几点：
①与有理数的混合运算一致，运算顺序先乘方再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的.
②在运算中每个根式可以看成一个“单项式”.
知3－讲
例 5
解题秘方：根据三角形的面积公式可以解答本题；
知3－讲
(2)斜边AB 的长.
解题秘方：根据勾股定理可以求得斜边AB 的长.
知3－讲
解法提醒：
这类问题需在理解题意的基础上，结合几何知识列出算式，再根据二次根式的混合运算顺序进行运算.
二次根式的加减
二次根式
的加减
同类二
次根式
法则
合并同类二次根式
二次根式的混合运算
整式运算的法则、
公式、运算律
