(共17张PPT)
11.1 反比例函数
第11章 反比例函数
逐点
导讲练
课堂小结
作业提升
课时讲解
1
课时流程
2
反比例函数的定义
根据实际问题确定反比例函数的表达式
知识点
反比例函数的定义
知1－讲
1
1. 定义 一般地, 形如y= (k 为常数，k ≠ 0)的函数叫做反比例函数，其中x 是自变量，y 是x 的函数. 自变量x 的取值范围是不等于0 的一切实数.
知1－讲
2. 反比例函数的表达式的三种形式
① y= , ② y=kx－1, ③ xy=k.(其中k 为常数，k ≠ 0)
特别提醒: 形如y= +1、(x+1)y=3、y=(x+1)－1 等函数都不是y 关于x 的反比例函数.
知1－讲
3. 反比例关系与反比例函数的关系
(1)如果xy=k(k 为常数，k ≠ 0), 那么x 与y 这两个量成反比例关系，这里的x 和y 既可以代表单项式, 也可以代表多项式; 当x、y 只代表一次单项式时，x、y 这两个量才成反比例函数关系；
知1－讲
(2)成反比例关系不一定是反比例函数，但反比例函数中的两个变量必成反比例关系. 示例：y= (k 为不等于0 的常数)，y 与x2 成反比例关系，但y不是关于x 的反比例函数；
(3)反比例函数中有自变量和函数的区分, 而反比例关系中的两个变量没有这种区分.
知1－讲
特别提醒 ：
反比例函数的表达式y= (k 为常数，k ≠ 0)中无论变量x、y 怎样变化，k 的值始终等于x 与y的乘积，因此人们习惯上称k 为比例系数. 若k=0，则y= =0恒成立，失去了x，y 成反比例关系的意义. 所以k ≠ 0.
知1－讲
例 1
[月考·泰兴] 下列函数：① y=x－2，② y= ，③ y=x－1，④ y= ，y 是x 的反比例函数的有( )
A. 0 个 B. 1 个 C. 2 个 D. 3 个
C
知1－讲
解题秘方：紧扣反比例函数的定义及表达式的“三种形式”进行识别.
方法提醒 ：
判断一个函数是不是反比例函数的两种方法：
1. 按照反比例函数的定义判断.
2. 看两个变量的关系式是否符合反比例函数的表达式的三种形式中的一种.
知1－讲
解：① y ＝ x－2 是一次函数；② y ＝ 是反比例函数；③ y ＝ x－1 是反比例函数；④ y ＝ 不是y 关于x的反比例函数. 则y是x 的反比例函数的是：②③，共2 个．
知2－讲
知识点
根据实际问题确定反比例函数的表达式
2
反比例函数是继正比例函数和一次函数后学生学习的一种新的函数，揭示的是两个变量之间的反比例关系，是刻画现实世界中特定数量关系的一种数学模型.
能根据实际问题中的已知条件，或已有的数量关系确定函数的表达式，判断两个变量之间是否成反比例关系.
知2－讲
特别解读 ：
实际问题中函数的自变量的取值范围，不仅使函数的表达式有意义，而且使实际问题有意义.
知2－讲
例2
[二模·唐山] 下列各问题中，两个变量之间的关系不
是反比例函数的是( )
A. 小明完成100 m 赛跑时，时间t(s)与他跑步的平均速度v(m/s)之间的关系
B. 菱形的面积为48 cm2，它的两条对角线的长y(cm)与x(cm)的关系
C. 一个玻璃容器的体积为30 L，所盛液体的质量m(kg)与所盛液体的体积V(L)之间的关系
D. 压力为600N 时，压强p(Pa)与受力面积S(m2)之间的关系
C
知2－讲
解题秘方：紧扣问题的实际意义列出函数的表达式，并根据反比例函数的定义进行判断.
知2－讲
方法点拨 ：
用反比例函数的表达式表示实际问题的方法：先找出两个变量之间的等量关系，然后经过变形即可得出.
注意：实际问题中的反比例函数，自变量的取值范围一般都是大于零的实数.
知2－讲
解：由选项A 中的题意，得vt=100，即t ＝ ，t 是v 的反比例函数；由选项B 中的题意，得 xy ＝ 48，即y ＝ ，y 是x 的反比例函数；
由选项C 中的题意，得m ＝ ρV，m 不是V 的反比例函数；
由选项D 中的题意，得p ＝ ，p 是S 的反比例函数.
反比例函数(共45张PPT)
11.2 反比例函数的图像与性质
第11章 反比例函数
逐点
导讲练
课堂小结
作业提升
课时讲解
1
课时流程
2
反比例函数的图像
反比例函数的性质
求反比例函数的表达式
反比例函数y= (k ≠ 0)中k 的几何性质
知识点
反比例函数的图像
知1－讲
1
1. 图像的画法(描点法)
(1)列表: 先取一些自变量的值, 在原点的两边取三对或三对以上互为相反数的值，如1 和－1，2 和－2，3 和－3 等. 求y 值时，只需计算原点一侧的函数值，另一侧的函数值可以随之得出；
知1－讲
(2)描点: 根据表中提供的数据，即点的坐标，在平面直角坐标系中描出对应的点；
(3)连线: 用平滑的曲线依次把这些点连接起来并延伸，注意双曲线的两支是断开的，延伸部分有逐渐靠近坐标轴的趋势，但永远不与坐标轴相交.
知1－讲
2. 图像的特点
(1)反比例函数y= (k 为常数，k ≠ 0)的图像是双曲线；
(2)反比例函数图像的两支分别位于第一、第三象限或第二、第四象限；
(3)双曲线的两支都无限接近坐标轴，但永远不与坐标轴相交；
(4)双曲线既是中心对称图形(对称中心是原点)，又是轴对称图形(对称轴是直线y=x 和直线y=－x).
知1－讲
如图11.2-1 所示.
知1－讲
特别提醒 ：
①因为反比例函数图像的两个分支关于原点对称,所以只要画出它在一个象限内的分支,就可以对称地画出另一个分支.
②画实际问题中的反比例函数的图像时,要考虑自变量取值范围的限制,一般地,实际问题的图像是反比例函数图像在第一象限内的一支或其中一部分.
知1－讲
例 1
在平面直角坐标系中画出反比例函数y=－ 的图像.
解:(1)列表：
解题秘方：紧扣画图像的“一列、二描、三连”的步骤作图.
知1－讲
(2)描点、连线得到如图11.2-2 所示的图像.
知1－讲
活学巧记 ：
点越多，越精确，
平滑曲线把点过，
两个分支不能少，
对称关系很奇妙.
知2－讲
知识点
反比例函数的性质
2
反比例函数的性质主要研究它的图像的位置和函数值的增减情况，如下
表所示.
知2－讲
特别提醒 ：
在描述反比例函数的增减性时,必须指明“在每一个象限内”.因为当k＞0(k＜ 0) 时，整个函数不是y随x 的增大而减小(增大)，而是函数在每一个象限内，y随x的增大而减小(增大)，所以笼统地说“对于函数y= ，y随x的增大而减小”是错误的.
知2－讲
例2
已知反比例函数y= (m ≠ 0)的图像过点(－3，－12)
且反比例函数y= 的图像位于第二、四象限.
(1)求m 的值；
(2)对于反比例函数y= ，当x>2 时，求y 的取值范围.
知2－讲
解题秘方：紧扣“k 的符号、双曲线的位置、函数的增减性三者相互依存，知一推二”这一规律解题.
知2－讲
解：(1)把点(－3，－12)代入y= 中，得－12= ，
∴ m2=36. ∴ m=±6.
∵反比例函数y= 的图像位于第二、四象限，
∴ m ＜ 0. ∴ m=－6.
知2－讲
(2)∵ m=－6，∴反比例函数y= 的表达式为y=－ .
∵ x ＞ 2，∴此部分图像在第四象限.
当x=2 时，y=－ =－3.
∵在第四象限内，y 随x 的增大而增大，
∴当x ＞ 2 时，－3 ＜ y ＜ 0.
知2－讲
技巧点拨 ：
由双曲线的位置可确定比例系数的正负性，反之亦可；实际上，在比例系数的正负性、双曲线的位置、函数的增减性这三者中，它们是“相互依存，知一推二”的关系.
知2－讲
活学巧记 ：
反比例函数两性质，
掌握性质要记清：
k正图像在一三，
k 负图像在二四；
图像一三函数减，
图像二四函数增.
知1－讲
例 3
在反比例函数y= (k ＜ 0)的图像上有三点P1(x1，y1)、
P2(x2，y2)、P3(x3，y3)，若x1＜ x2＜0＜x3，则下列结论正确的是( )
A. y1 ＜ y2 ＜ y3 B. y3 ＜ y1 ＜ y2
C. y3 ＜ y2 ＜ y1 D. y1 ＜ y3 ＜ y2
B
知1－讲
解题秘方：紧扣反比例函数的增减性及不同象限的函数值的关系比较大小.
知1－讲
解: ∵ k ＜ 0，∴反比例函数y= 的图像在第二、第 四象限，且在每个象限内，y 随x 的增大而增大.
∵ x1 ＜ x2 ＜ 0，∴ P1(x1，y1)、P2(x2，y2)都在第二象限内，∴ 0 ＜ y1 ＜ y2.
∵ x3 ＞ 0，∴ P3(x3，y3)在第四象限内，∴ y3 ＜ 0，∴ y3 ＜ y1 ＜ y2.
知1－讲
图像法和特殊值法也是解决此类问题的常用方法,图像法形象直观，特殊值法简单直接.
知识点
求反比例函数的表达式
知3－讲
3
1. 确定反比例函数表达式的方法是待定系数法，由于在反比例函数y= (k≠ 0)中只有一个待定系数，因此只需要一对x、y 的对应值或图像上一个点的坐标，即可求出k 的值，从而写出表达式.
知3－讲
2. 用待定系数法求反比例函数的表达式的一般步骤
知3－讲
特别解读 ：
①用待定系数法求反比例函数的表达式的实质是代入一对对应值，解一元一次方程；
②当题目中已经明确表示“y是x的反比例函数”或“y与x成反比例关系”时，可直接设函数的表达式为y= (k为常数，k ≠ 0).
知3－讲
已知y 是x 的反比例函数，当x=3 时，y=6.
(1)求出y 关于x 的函数表达式；
(2)当x=－2 时，求y 的值；
(3)若y=4.5，求x 的值.
解题秘方：紧扣反比例函数的表达式，用待定系数法求解.
例4
知3－讲
解：(1)由题意，设反比例函数的表达式为y= (k ≠ 0), 把x=3，y=6代入表达式，得6= ，k=3×6=18，所以y 关于x 的函数表达式是y= ；
(2)把x=－2 代入y= ，得y= =－9；
(3)把y=4.5 代入y= ，得4.5= ，解得x=4.
知3－讲
方法点拨 ：
确定反比例函数表达式的方法：
在明确两个变量为反比例函数关系的前提下，先设出反比例函数的表达式，然后把满足反比例函数关系的一组对应值代入设出的表达式中构造方程，解方程求出待定系数，从而确定反比例函数的表达式.
知3－讲
[模拟·无锡] 已知反比例函数的图像经过点A(－2，－3)．
(1)求该反比例函数的表达式；
(2)判断点B(2 ，－ )是否在该反比例函数的图像上，并说明理由．
解题秘方：紧扣用待定系数法求出反比例函数的表达式，然后根据反比例函数的图像上点的坐标特征进行判断．
例 5
知3－讲
方法点拨 ：
确定反比例函数表达式的方法：
在明确两个变量为反比例函数关系的前提下，先设出反比例函数的表达式，然后把满足反比例函数关系的一组对应值代入设出的表达式中构造方程，解方程求出待定系数，从而确定反比例函数的表达式.
知3－讲
解：(1)设反比例函数的表达式为y= (k ≠ 0)．
∵图像经过点A(－2，－3)，
把x=－2，y=－3 代入y= ，
解得k=(－2)×(－3)=6，
∴反比例函数的表达式为y= .
知3－讲
(2)点B(2 ，－ )不在该反比例函数的图像上．
理由：∵当x=2 时，y= = ≠ － ，
∴点B(2 ，－ )不在该反比例函数的图像上．
知3－讲
另解：
因为反比例函数y= 的图像的两支分别在第一、三象限内，而点B(2 ，－ )在第四象限，所以点B不在反比例函数y= 的图像上．
知4－讲
知识点
反比例函数y= (k≠0)中k的几何性质
4
1. 矩形的面积
如图11.2-3 所示，过双曲线上任意一点P(x，y)分别作x 轴、y 轴的垂线PM、PN，交x 轴、y 轴于点M、N. 所得的矩形PMON 的面积S=PM·PN= |y|·|x|=|xy|. 因为y= , 所以xy=k，所以S=|k|，即过双曲线上任意一点作x 轴、y 轴的垂线，所得的矩形的面积为|k|.
知4－讲
2. 三角形的面积
如图11.2-3 所示，过双曲线上任意一点E 作EF 垂直于y 轴，垂足为F，连接EO，则S △ EOF = ，即过双曲线上任意一点作一坐标轴的垂线，
并连接该点与原点，所构成的三角
形的面积为 .
知4－讲
方法点拨 ：
①在反比例函数y= (k≠0)中利用k的几何性质确定k的值时，不仅要注意矩形面积的大小，还要注意函数图像的位置.
②因为y= (k ≠ 0)中的k 有正、负之分，所以在利用函数表达式求矩形或三角形面积时，都要加上绝对值符号.
知4－讲
例2
[中考· 齐齐哈尔] 如图11.2-4 所示， 点A 是反比例函数图像上的一点， 过点A 作AB ⊥ y 轴于点B, 点C、D 在x 轴上， 且BC ∥ AD， 四边形ABCD 的面积为3， 则这个反比例函数的表达式为 ___________.
知4－讲
解题秘方：紧扣“k的几何性质”，用“等面积法”将四边形的面积转化为符合k的几何性质的矩形面积来求解.
知4－讲
解: 设这个反比例函数的表达式为y= (k ≠ 0)，过点A 向x 轴作垂线，垂足为E，如图11.2-4 所示. 已知四边形ABCD 为平行四边形，根据反比例函数中k 的几何性质，可得|k|=S 四边形AEOB=S 四边形ABCD=3.
又∵函数的图像有一支在第二象限，
∴ k=－3，即函数的表达式为y=－ .
知4－讲
解题通法 ：
①若已知反比例函数表达式，则利用反比例函数y= (k≠ 0)中k的几何性质可求相关几何图形的面积；反之，若已知相关几何图形的面积及函数图像的位置，则可求比例系数k，进而可求反比例函数的表达式.
②过反比例函数的图像上任意一点作两坐标轴的垂线，这两条垂线与坐标轴围成的矩形的面积是一个不变的值.
知4－讲
[中考·牡丹江] 如图11.2-5 所示，点A 在反比例函数y1= (x＞ 0)的图像上，过点A 作AB ⊥ x 轴，垂足为B，交反比例函数y2= (x＞ 0)的图像于点C．P 为y 轴上一点，连接PA、PC，则△ APC 的面积为( )
A. 5 B. 6 C. 11 D. 12
B
例 7
知4－讲
解题秘方：紧扣“k 的几何性质”，用“作差法”将阴影部分的面积转化为符合k 的几何性质的三角形面积的差来求解.
知4－讲
技巧点拨 ：
求阴影部分面积的方法：
当它无法直接求出时，一般都采用“转化”的方法，将它转化为已知图形面积的和或差来进行计算.如本例就是将阴影部分的面积转化为两个与比例系数k相关的特殊三角形的面积的差来求，要注意转化思想和作差法的运用.
知4－讲
解：如图11.2-5 所示连接OA 和OC．
根据AB ∥ y 轴，可得S △ APC =S △ AOC ．
根据反比例函数中比例系数k 的几何性质，可得
S △ OAB = ×18=9，S △ OBC = ×6=3．
∴ S △ AOC=S △ OAB － S △ OBC =9－3=6，
即S △ APC =6．
反比例函数的图像与性质(共16张PPT)
11.3 用反比例函数解决问题
第11章 反比例函数
逐点
导讲练
课堂小结
作业提升
课时讲解
1
课时流程
2
建立反比例函数模型解决实际问题
知识点
建立反比例函数模型解决实际问题
知1－讲
1
在生活与生产中, 如果某些问题的两个量成反比例关系, 那么可以根据这种关系建立反比例函数模型, 再利用反比例函数的相关知识解决实际问题.
知1－讲
1. 运用反比例函数解决实际问题时常用的两种思路
(1)已知反比例函数的表达式, 运用反比例函数的图像及性质解决问题；
(2)通过问题提供的信息, 明确变量之间的函数关系, 先设出相应的函数表达式, 再根据题目条件确定函数表达式中的待定系数的值.
知1－讲
2. 求反比例函数的表达式常用的两种方法
(1)列方程法:
若题目所给的信息中两个变量之间的函数关系不明确, 通常列出关于两个变量的方程, 通过变形得到反比例函数表达式；
(2)待定系数法：若题目提供的信息中明确此函数是反比例函数，则设函数的表达式为y= (k 为常数，k ≠ 0)，再求出k 的值.
知1－讲
3. 用反比例函数解决实际问题的一般步骤
(1)审：审清题意，找出题目中的常量、变量；
(2)设：根据常量、变量间的关系，设出函数表达式，待定的系数用字母表示；
(3)列：由题目中的已知条件列出方程，求出待定系数；
(4)写：写出函数表达式，并注意表达式中自变量的取值范围;
(5)解：用函数的图像和性质去解决实际问题.
知1－讲
特别提醒 ：
利用反比例函数解决实际问题时应注意：
①要理清题目中的常量与变量及其数量关系，将实际问题抽象成数学问题，建立数学模型；
②要分清自变量和因变量，以便写出正确的函数表达式，结合问题的实际意义，确定自变量的取值范围；
③要熟练掌握反比例函数的意义、图像和性质，特别是图像，要做到数形结合，这样有利于分析和解决问题.
知1－讲
活学巧用 ：
反比例函数应用广，
解决思路有两条，
建立模型列方程；
求表达式两方法，
待定系数与变形；
解决问题五步骤，
审设列写后再解.
知1－讲
例 1
某学校要种植一块面积为200 m2 的长方形草坪，要求两边长均不小于10 m，则草坪的一边长y(单位：m)随另一边长x(单位：m)的变化而变化的图像可能是( )
C
知1－讲
解题秘方：紧扣长方形的面积公式求出函数的表达式，根据自变量的取值范围确定双曲线的位置，即可得出其函数图像．
知1－讲
解：∵ xy=200，∴ y ＝ .
∵ y ≥ 10，∴ x ≤ 20．
∴ x 的取值范围为10 ≤ x ≤ 20．
用图像表示大致为如图11.3-1 所示.
知1－讲
已知某品牌显示器的使用寿命为定值．这种显示器可工作的天数y 与平均每天工作的小时数x 是反比例函数关系，图像如图11.3-2所示．如果这种显示器至少要用2 000 天，那么显示器平均每
天工作的小时数x 应控制在( )
A. 0 ＜ x ≤ 10 B. 10 ≤ x ≤ 24
C. 0 ＜ x ≤ 20 D. 20 ≤ x ≤ 24
A
例2
知1－讲
解题秘方：紧扣反比例函数的一般形式，用待定系数法确定反比例函数的表达式，并根据图像确定自变量的取值范围．
知1－讲
方法点拨 ：
根据反比例函数的性质，在第一象限内，y 随x的增大而减小，因此为确保这种显示器至少要用2000天，则显示器平均每天工作的小时数x应控制在0 ＜ x ≤ 10．
知1－讲
解：设y 与x 的函数表达式为y = (k ≠ 0)．
把x=20，y=1 000 代入y = ，得1 000 = ，
解得k＝20 000．
∴ y 与x 的函数表达式为y = (x ＞ 0)．
当y＝ 2 000 时，x ＝ 10．
观察图像可知，当y ≥ 2 000 时，0 ＜ x ≤ 10．
用反比例函数解决问题
