(共32张PPT)
18.2.1矩形的判定
人教版 八年级下
新知导入
问题1 矩形的定义是什么？
有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.
问题2 矩形有哪些性质？
矩形
边：
角：
对角线：
对边平行且相等
四个角都是直角
对角线互相平分且相等
新知导入
思考 工人师傅在做门窗或矩形零件时，如何确保图形是矩形呢？现在师傅带了两种工具（卷尺和量角器），他说用这两种工具的任意一种就可以解决问题，这是为什么呢？
这节课我们一起探讨矩形的判定吧.
新知讲解
类比平行四边形的定义也是判定平行四边形的一种方法，那么矩形的定义也是判定矩形的一种方法.
问题1 除了定义以外，判定矩形的方法还有没有呢？
矩形是特殊的平行四边形.
类似地，那我们研究矩形的性质的逆命题是否成立.
新知讲解
问题2 上节课我们已经知道“矩形的对角线相等”，反过来，小明猜想对角线相等的四边形是矩形，你觉得对吗？
我猜想：对角线相等的平行四边形是矩形.
不对，等腰梯形的对角线也相等.
不对，矩形是特殊的平行四边形，所以它的对角线不仅相等且平分.
思考 你能证明这一猜想吗？
新知讲解
已知：平行四边形ABCD，AC=BD。
求证：四边形ABCD是矩形。
A
B
C
D
分析：平行四边形的性质
邻角相等
90°
矩形的定义，得证。
新知讲解
证明：∵AB = DC,BC = CB,AC = DB,
∴ △ABC≌△DCB ,
∴∠ABC = ∠DCB.
∵AB∥CD,
∴∠ABC + ∠DCB = 180°,
∴ ∠ABC = 90°,
∴ □ ABCD是矩形（矩形的定义）.
新知讲解
例2 如图，在 ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且OA=OD，∠OAD=50°．求∠OAB的度数．
A
B
C
D
O
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC= AC，
OB=OD= BD.
又∵OA=OD，
∴AC=BD，
∴四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD=90°.
又∵∠OAD=50°，
∴∠OAB=40°.
新知讲解
问题1 上节课我们研究了矩形的四个角，知道它们都是直角，它的逆命题是什么？成立吗？
逆命题：四个角是直角的四边形是矩形.
成立
问题2 至少有几个角是直角的四边形是矩形？
A
B
D
C
(有一个角是直角)
A
B
D
C
(有二个角是直角)
A
B
D
C
(有三个角是直角)
猜测：有三个角是直角的四边形是矩形.
新知讲解
已知：四边形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C＝90°
D
A
B
C
求证：四边形ABCD是矩形.
证明：∵∠A＝∠B＝90°
∴∠A＋∠B＝180°
∴AD∥BC
同理：AB∥CD
∴四边形ABCD是平行四边形
∵∠A＝90°
∴四边形ABCD是矩形。
新知讲解
矩形的判定定理1：
对角线相等的平行四边形是矩形.
几何语言描述：
在平行四边形ABCD中，∵AC=BD，
∴平行四边形ABCD是矩形.
A
B
C
D
新知讲解
矩形的判定定理2：
有三个角是直角的四边形是矩形.
几何语言描述：
在四边形ABCD中，∵ ∠A=∠B=∠C=90°,
∴四边形ABCD是矩形.
A
B
C
D
课堂练习
1.能判断四边形是矩形的条件是( )
A．两条对角线互相平分
B．两条对角线相等
C．两条对角线互相平分且相等
D．两条对角线互相垂直
C
课堂练习
2.已知O为四边形ABCD对角线的交点，下列条件能使四边形ABCD成为矩形的是( )
A．OA＝OC，OB＝OD
B．AC＝BD
C．AC⊥BD
D．∠ABC＝∠BCD＝∠CDA＝90°
D
课堂练习
3.如图，△ABC中，AC的垂直平分线分别交AC，AB于点D，F，BE⊥DF交DF的延长线于点E，已知∠A＝30°，BC＝2，AF＝BF，则四边形BCDE的面积是( )
A．
B．
C．4
D．
A
课堂练习
4.如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AD∥BC，AC＝BD.试添加一个条件 ，使四边形ABCD为矩形．
答案不唯一，如：AB∥CD
课堂练习
5.如图，在四边形ABCD中，对角线AC⊥BD，垂足为O，点E，F，G，H分别为边AD，AB，BC，CD的中点．若AC＝8，BD＝6，则四边形EFGH的面积为 ．
12
课堂练习
6.如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的中线，四边形ADBE是平行四边形，求证：四边形ADBE是矩形．
证明：∵AB＝AC，AD是BC边上的中线，
∴AD⊥BC.
∴∠ADB＝90°.
又∵四边形ADBE是平行四边形，
∴四边形ADBE是矩形．
课堂练习
7.已知：如图，在 ABCD中，AF，BH，CH，DF分别是∠BAD，∠ABC，∠BCD，∠ADC的平分线．求证：四边形EFGH为矩形．
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠DAB＋∠ADC＝180°.
∵AF，DF分别平分∠DAB，∠ADC，
∴∠FAD＝∠BAF＝ ∠DAB，∠ADF＝∠CDF＝ ∠ADC.
∴∠FAD＋∠ADF＝90°.∴∠AFD＝90°.
同理可得：∠BHC＝∠HEF＝90°.
∴四边形EFGH是矩形．
课堂练习
8.如图，将 ABCD的边AB延长至点E，使AB＝BE，连接BD，DE，EC，DE交BC于点O.
(1)求证：△ABD≌△BEC；
(2)若∠BOD＝2∠A，求证：四边形BECD是矩形．
证明：(1)∵在 ABCD中，AD＝BC，AB＝CD，AD∥CB，
∴∠A＝∠EBC.
在△ABD和△BEC中
∴△ABD≌△BEC(SAS)．
课堂练习
(2)∵在 ABCD中，AB∥ CD，且AB＝BE，BE CD
∴四边形BECD为平行四边形．
∴OB＝ BC，OE＝ ED.
∵∠BOD＝2∠A＝2∠EBC，
且∠BOD＝∠EBC＋∠BEO，
∴∠EBC＝∠BEO.∴OB＝OE.∴BC＝ED.
∴四边形BECD是矩形．
课堂总结
有一个角是直角的平行四边形是矩形.
对角线相等的平行四边形是矩形.
有三个角是直角的四边形是矩形.
运用定理进行计算和证明
矩形的判定
定义
判定定理
拓展提升
1.如图，在平行四边形ABCD中，角线AC、BD相交于点O，动点E以1个单位每秒的速度从点A出发沿AC向运动，点F同时以1个单位每秒的速度从点C发沿CA方向运动，若AC=12，BD=8，求出经过几秒后，四边形BPDQ是矩形？
拓展提升
拓展提升
2.如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AD＝24cm，BC＝26cm，动点P从点A出发沿AD方向向点D以1cm/s的速度运动，动点Q从点C开始沿着CB方向向点B以3cm/s的速度运动．点P、Q分别从点A和点C同时出发，当其中一点到达端点时，另一点随之停止运动．
(1)经过多长时间，四边形PQCD是平行四边形？
解：设经过xs，四边形PQCD为平行四边形，
即PD＝CQ，
所以24－x＝3x，
解得x＝6.
即经过6s，四边形PQCD
是平行四边形；
拓展提升
(2)经过多长时间，四边形PQBA是矩形？
解：设经过ys，四边形PQBA为矩形，
即AP＝BQ，
∴y＝26－3y，
解得y＝6.5，
即经过6.5s，四边形PQBA是矩形．
拓展提升
3.如图，在△ABC中，点O是边AC上一个动点，过O作直线MN∥BC.设MN交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F.
(1)求证：OE＝OF；
(2)若CE＝12，CF＝5，求OC的长；
(3)当点O在边AC上运动到什么位置时，四边形AECF是矩形？并说明理由．
拓展提升
解：(1)证明：∵CF平分∠ACD，且MN∥BD，
∴∠ACF＝∠FCD＝∠CFO.
∴OF＝OC.
同理可证：OC＝OE.
∴OE＝OF.
拓展提升
(2)由(1)，知∠OCF＝∠OFC，∠OCE＝∠OEC，
∴∠OCF＋∠OCE＝∠OFC＋∠OEC.
∵(∠OCF＋∠OCE)＋(∠OFC＋∠OEC)＝180°，
∴∠ECF＝∠OCF＋∠OCE＝90°.
∴
又∵OE＝OF，
∴OC＝ EF＝ .
拓展提升
(3)当点O移动到AC中点时，四边形AECF为矩形．
理由：连接AE，AF.
当点O移动到AC中点时，OA＝OC，
又∵OE＝OF，
∴四边形AECF为平行四边形．
又∵∠ECF＝90°，
∴四边形AECF为矩形．
https://www.21cnjy.com/help/help_extract.php中小学教育资源及组卷应用平台
18.2.1矩形的判定
一、选择题
1、下列命题是真命题的是（ ）
A.有一个角是直角的四边形是矩形 B.一组对边平行且相等的四边形是矩形
C.对角线互相平分且相等的四边形是矩形 D.对角线互相垂直平分的四边形是矩形
2、陈师傅应客户要求加工4个长为4cm、宽为3cm的矩形零件，在交付客户之前，陈师傅需要对4个零件进行检测。根据零件的检测结果，图中有可能不合格的零件是（ ）
A B C D
3、在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，下列条件中不能判定平行四边形ABCD是矩形的是（ ）
A.AC=BD B.AB⊥BC C.OA=OB=OC=OD D.AC⊥BD
4、如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，对于下列条件：①；②BC2+CD2=AC2；③；④AC⊥BD。能判定四边形ABCD是矩形的个数是（ ）
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
（第4题图） （第5题图）
5、如图，四边形ABCD中，E、F分别是边AD、BC的中点，G、H分别是对角线BD、AC的中点。若四边形EGFH是矩形，则四边形ABCD需满足的条件是（ ）
A.AC=BD B.AC⊥BD C.AB=DC D.AB⊥DC
二、填空题
6、如图，在△ABC中，AB=AC，点D在BC边上，DF∥AB，DE∥AC，则当∠B=_____°时，四边形AEDF是矩形。
（第6题图） （第7题图） （第8题图）
7、如图，四边形ABCD的对角线相交于点O，且OA=OB=OC=OD，则它是______形。若∠AOB=60°，则AB：AC=________
8、如图，为了检查平行四边形书架ABCD是侧边是否与上、下边都垂直，工人师傅用一根绳子比较了其对角线AC、BD的长度。若二者长度相等，则该书架的侧边与上、下边都垂直。请你说出其中的数学原理_______________________________________________。
9、如图，在矩形ABCD中，BC=20cm，点P在BC边上由点B向点C运动，点Q在DA边上由点D向点A运动，两点同时运动同时停止，若点P与点Q的速度分别为3cm/s和1cm/s，则经过 s后，四边形ABPQ成为矩形．
（第9题图） （第10题图）
10、四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AD∥BC，AC=BD。试添加一个条件_______________，使四边形ABCD为矩形。
三、解答题
11、如图，已知平行四边形ABCD，若M、N是BD上两点，且BM=DN，AC=2MO。
求证：四边形AMCN是矩形。
12、如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，垂足为D。AG是△ABC的外角∠FAC的平分线，
DE∥AB，交AG于点E。求证：四边形ADCE是矩形。
13、如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AD⊥BD，点E是CD的中点，过点E作EF∥BD，交BC于点F。
（1）求证：四边形OEFB是矩形；
（2）若AD=6，S矩形OEFB=12，求AB的长。
【参考答案】
一、选择题
1、C
2、C
3、D
4、C
5、D
二、填空题
6、45
7、矩 1:2
8、对角线相等的平行四边形是矩形
9、5
10、AD=BC（或AB∥CD）
三、解答题
11、证明：∵四边形ABCD是平行四边形
∴OA=OC，OB=OD
∵BM=DN
∴OB-BM=OD-DN
即OM=ON
∵OA=OC
∴四边形AMCN是平行四边形
∵OM=ON
∴MN=2MO
∵AC=2MO
∴MN=AC
∴四边形AMCN是矩形。
12、证明：∵AB=AC
∴∠B=∠ACB
∵AG是∠FAC的平分线
∴∠FAE=∠EAC
∵∠B+∠ACB=∠B+∠ACB
∴∠B=∠ACB=∠B=∠ACB
∴AE∥CD
∵DE∥AB
∴四边形ABDE是平行四边形
∴AE∥BD，AE=BD
∵AD⊥BC，AB=AC
∴BD=CD
∴AE∥CD，AE=CD
∴四边形ADCE是平行四边形
∵∠ADC=90°
∴平行四边形ADCE是矩形。
∴四边形ADCE是矩形。
13、（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形
∴BO=DO，AD∥BC，AB∥CD
∵点E是CD的中点
∴OE是△BCD的中位线
∴OE=BC=AD，OE∥BC
∵EF∥BD，OE∥BC
∴四边形OEFB是平行四边形
∵AD⊥BD，AD∥BC
∴BC⊥BD
∵∠CBD=90°
∴四边形OEFB是矩形。
（2）解：∵OE=BC=AD=3，S矩形OEFB=OB×OE=12
∴OB=4
∴BD=2OB=2×4=8
∵AD⊥BD
∴∠ADB=90°
由勾股定理得，
∴AB的长为10。
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)
