2021-2022学年苏科版八年级数学下册9.2中心对称与中心对称图形自主训练（Word版含答案）

2021-2022学年苏科版八年级数学下册《9-2中心对称与中心对称图形》自主训练（附答案）
一．选择题
1．如图，线段AB与线段CD关于点P对称，若点A（a，b）、B（5，1）、D（﹣3，﹣1），则点C的坐标为（　　）
A．（﹣a，﹣b） B．（﹣a+2，﹣b）
C．（﹣a﹣1，﹣b+1） D．（﹣a+1，﹣b﹣1）
2．如图，△ABC与△A′B'C'关于O成中心对称，下列结论中不成立的是（　　）
A．OC＝OC′ B．∠ABC＝∠A'C'B'
C．点B的对称点是B′ D．BC∥B'C'
3．如图，点A，B分别是两个半圆的圆心，则该图案的对称中心是（　　）
A．点A B．点B
C．线段AB的中点 D．无法确定
4．如图，△ABC与△A′B′C′关于点O成中心对称，则下列结论不成立的是（　　）
A．点A与点A′是对称点 B．BO＝B′O
C．AB∥A′B′ D．∠ACB＝∠C′A′B′
5．如图，在平面直角坐标系中，△ABC与△A'B'C'关于D（﹣1，0）成中心对称．已知点A的坐标为（﹣3，﹣2），则点A'的坐标是（　　）
A．（1，3） B．（1，2） C．（3，2） D．（2，3）
6．已知点A（2，7），B（﹣5，0），C（0，﹣1），在平面直角坐标系中△A'B'C'以点P（5，6）为对称中心与△ABC成中心对称，则点A'的坐标为（　　）
A．（﹣2，﹣7） B．（7，2） C．（8，8） D．（8，5）
7．不考虑颜色，对如图的对称性表述，正确的是（　　）
A．中心对称图形
B．轴对称图形
C．既是轴对称图形又是中心对称图形
D．既不是轴对称图形又不是中心对称图形
8．下列各组图形中，△A'B'C'与△ABC成中心对称的是（　　）
A． B．
C． D．
9．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点A在第一象限，点B，C的坐标分别为（2，1），（6，1），∠BAC＝90°，AB＝AC，直线AB交y轴于点P，若△ABC与△A′B′C′关于点P成中心对称，则点A′的坐标为（　　）
A．（﹣4，﹣5） B．（﹣5，﹣4） C．（﹣3，﹣4） D．（﹣4，﹣3）
二．填空题
10．如图，△ABC与△A′B′C′关于点O成中心对称，有以下结论：①点A与点A′是对称点；②BO＝B′O；③AB∥A′B′；④∠ACB＝∠C′A′B′．其中正确结论的个数为 　 　．
11．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝1，BC＝2，以AB、AC为邻边作平行四边形ABDC．若点E、F分别在边AC、BD上运动，且EF平分 ABDC的面积，当线段EF取最小时，AE的值为 　 　．
12．已知，点A（a，1）和点B（3，b）关于点（5，0）成中心对称，则a+b的值为　 　．
13．如图，三个边长均为2的正方形重叠在一起，O1，O2是其中两个正方形的对角线交点，若把这样的n个小正方形按如图所示方式摆放，则重叠部分的面积为　 　．
14．在平面直角坐标系中，平行四边形ABCD的对称中心是坐标原点，顶点A、B的坐标分别是（﹣1，1）、（2，1），将平行四边形ABCD沿x轴向右平移3个单位长度，则顶点C的对应点C1的坐标是 　 　．
15．如甲图所示是飞镖型地漏实物图，图中正方形地漏处正方形地砖的正中心，各边与正方形地砖相互平行，它们的四周设计按甲图的实线切开，可以形成4块全等的“飞镖”型地砖．乙图是它的结构图，切割线AF＝4，且AB∥EF，∠ABG＝60°，则地漏正方形EFGH的面积为　 　．
三．解答题
16．知识背景：过中心对称图形的对称中心的任意一条直线都将其分成全等的两个部分．
（1）如图①，直线m经过平行四边形ABCD对角线的交点O，则S四边形AEFB　 　S四边形DEFC（填“＞”“＜”“＝”）；
（2）如图②，两个正方形如图所示摆放，O为小正方形对角线的交点，求作过点O的直线将整个图形分成面积相等的两部分；
（3）八个大小相同的正方形如图③所示摆放，求作直线将整个图形分成面积相等的两部分（用三种方法分割）．
17．如图在平行四边形的纸片上有一个圆洞，请画一条直线把纸片分成分成面积相等的两部分．
18．数学兴趣小组活动时，提出了如下问题：如图1，在△ABC中若AB＝5，AC＝3，求BC边上的中线AD的取值范围．
解决方法：延长AD到E．使得DE＝AD．再连接BE（或将MCD绕点D逆时针旋转180°得到△EBD）．把AB，AC，2AD集中在△ABE中，利用三角形的三边关系可得2＜AE＜8，则1＜AD＜4．
感悟：解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑构造以中点为对称中心的中心对称图形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中．
迁移应用：请参考上述解题方法，证明下列命题：
如图2，在△ABC中，D是BC边上的中点，DE⊥DF，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF．
（1）求证：BE+CF＞EF；
（2）若∠A＝90°，探索线段BE，CF，EF之间的等量关系，并加以证明．
19．如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，△A'BD与△ACD关于点D成中心对称．
（1）直接写出图中所有相等的线段．
（2）若AB＝5，AC＝3，求线段AD的取值范围．
20．如图，已知△ABM与△ACM关于直线AF成轴对称，△ABE与△DCE关于点E成中心对称，点E，D，M都在线段AF上，BM的延长线交CF于点P．
（1）求证：AC＝CD；
（2）若∠BAC＝2∠MPC，请你判断∠F与∠MCD的数量关系，并说明理由．
参考答案
一．选择题
1．解：设C（m，n），
∵线段AB与线段CD关于点P对称，
点P为线段AC、BD的中点．
∴，，
∴m＝2﹣a，n＝﹣b，
∴C（2﹣a，﹣b），
故选：B．
2．解：∵△ABC与△A′B'C'关于O成中心对称，
∴OC＝OC′，BC∥B′C′，点B的对称点B′，
故A，C，D正确，
故选：B．
3．解：如图对称中心是AB的中点，
故选：C．
4．解：∵△ABC与△A′B′C′关于点O成中心对称，
∴点A与点A′是对称点，BO＝B′O，AB∥A′B′，
故A，B，C正确，
故选：D．
5．解：设点A'的坐标是（a，b），
根据题意知：＝﹣1，＝0．
解得a＝1，b＝2．
即点A'的坐标是（1，2），
故选：B．
6．解：设A′（m，n），
由题意，A（2，7），A′（m，n）关于P（5，6）对称，
∴5＝，6＝，
∴m＝8，n＝5，
∴A′（8，5），
故选：D．
7．解：根据中心对称图形的概念和轴对称图形的概念可知：
此图形是中心对称图形，不是轴对称图形，
所以A选项正确．
故选：A．
8．解：A、是平移变换图形，故本选项错误；
B、是轴对称图形，故本选项错误；
C、是旋转变换图形，故本选项错误；
D、是中心对称图形，故本选项正确．
故选：D．
9．解：∵点B，C的坐标分别为（2，1），（6，1），∠BAC＝90°，AB＝AC，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴A（4，3），
设直线AB解析式为y＝kx+b，则
，
解得，
∴直线AB解析式为y＝x﹣1，
令x＝0，则y＝﹣1，
∴P（0，﹣1），
又∵点A与点A'关于点P成中心对称，
∴点P为AA'的中点，
设A'（m，n），则＝0，＝﹣1，
∴m＝﹣4，n＝﹣5，
∴A'（﹣4，﹣5），
故选：A．
二．填空题
10．解：∵△ABC与△A′B′C′关于点O成中心对称，
∴△ABC≌△A′B′C′，
∴点A与点A′是对称点，BO＝B′O，AB∥A′B′，
故①②③正确，
故答案为：3个．
11．解：如图，
∵EF平分 ABDC的面积，
∴EF经过BC的中点O，
当EF⊥AC时，EF的值最小，
在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝1，BC＝2，
∴AC＝＝＝，
∵∠OCE＝∠ACB，∠OEC＝∠ABC＝90°，
∴AE＝AC﹣EC＝﹣＝．
故答案为：．
12．解：∵点A（a，1）和点B（3，b）关于点（5，0）成中心对称，
∴，
解得，，
∴a+b＝6，
故答案为：6．
13．解：连接O1B、O1C，如图：
∵∠BO1F+∠FO1C＝90°，∠FO1C+∠CO1G＝90°，
∴∠BO1F＝∠CO1G，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠O1BF＝∠O1CG＝45°，
在△O1BF和△O1CG中，
，
∴△O1BF≌△O1CG（ASA），
∴O1、O2两个正方形阴影部分的面积是S正方形＝1，
同理另外两个正方形阴影部分的面积也是S正方形＝1，
∴把这样的n个小正方形按如图所示方式摆放，则重叠部分的面积为（n﹣1）．
故答案为：n﹣1
14．解：∵平行四边形ABCD的对称中心是坐标原点，
∴点A,点C关于原点对称，
∵A(﹣1,1),
∴C(1,﹣1),
∴将平行四边形ABCD沿x轴向右平移3个单位长度，则顶点C的对应点C1的坐标是(4,﹣1),
故答案为：（4，﹣1）．
15．解：如图，延长GF交AB于点M．
由题意可知正方形ABCD被分成8个全等的直角三角形，一个正方形EFGH，
∵AF＝BG＝4，且AB∥EF，∠ABG＝60°，∴BM＝BG＝2，MG＝BG＝2，
∴AB＝2+2，
∴地漏正方形EFGH的面积＝（2+2）2﹣8××2×2＝16﹣8，
故答案为：16﹣8．
三．解答题
16．解：（1）如图①，直线m经过平行四边形ABCD对角线的交点O，则S四边形AEFB＝S四边形DEFC；
（2）如图所示：
（3）如图所示：
故答案为：＝．
17．解：如图，直线l为所作．
18．（1）证明：如图，延长FD到G，使得DG＝DF，连接BG、EG．
（或把△CFD绕点D逆时针旋转180°得到△BGD），
∴CF＝BG，DF＝DG，
∵DE⊥DF，
∴EF＝EG．
在△BEG中，BE+BG＞EG，即BE+CF＞EF．
（2）解：BE2+CF2＝EF2．证明如下：
∵∠A＝90°，
∴∠EBC+∠FCB＝90°，
由（1）知∠FCD＝∠DBG，EF＝EG，
∴∠EBC+∠DBG＝90°，即∠EBG＝90°，
∴在Rt△EBG中，BE2+BG2＝EG2，
∴BE2+CF2＝EF2．
19．解：（1）∵AD是△ABC的中线，
∴BD＝DC，
∵△A'BD与△ACD关于点D成中心对称
∴△A′BD≌△ACD，
∴BD＝CD，AD＝A'D，AC＝A'B．
（2）∵AD＝A'D，
∴AA'＝2AD，
∵AC＝A'B，AC＝3，
∴A'B＝3，
在ΔAA'B中，AB﹣A'B＜AA'＜AB+A'B，即5﹣3＜2AD＜5+3．
∴1＜AD＜4．
20．证明：（1）∵△ABM与△ACM关于直线AF成轴对称，
∴△ABM≌△ACM，
∴AB＝AC，
又∵△ABE与△DCE关于点E成中心对称，
∴△ABE≌△DCE，
∴AB＝CD，
∴AC＝CD；
（2）∠F＝∠MCD．
理由：由（1）可得∠BAE＝∠CAE＝∠CDE，∠CMA＝∠BMA，
∵∠BAC＝2∠MPC，∠BMA＝∠PMF，
∴设∠MPC＝α，则∠BAE＝∠CAE＝∠CDE＝α，
设∠BMA＝β，则∠PMF＝∠CMA＝β，
∴∠F＝∠CPM﹣∠PMF＝α﹣β，
∠MCD＝∠CDE﹣∠DMC＝α﹣β，
∴∠F＝∠MCD．