2021-2022学年人教版数学九年级下册27.2.1相似三角形的判定课时练习（Word版含答案）

相似三角形的判定
一、单选题
1．如图，小正方形边长均为1，则下列图形中的三角形（阴影）与相似的是（　　）
A． B． C． D．
2．如图所示，若，则需满足（　　）
A． B． C． D．
3．如图，在Rt△ABC中，∠CAB＝90°，AD⊥CB，两两相似的三角形对数为（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
4．如图，下列选项中不能判定的是（　　）
A． B．
C． D．
5．如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于O，且将这个四边形分成①、②、③、④四个三角形．若OA：OC＝OB：OD，则下列结论中一定正确的是（　　）
A．①与②相似 B．①与③相似
C．①与④相似 D．②与④相似
6．如图，在中，点分别在边上，与不平行，那么下列条件中，不能判定△ADE∽△ABC的是（　　）
A． B．
C． D．
7．如图所示，点A、B、C、D在同一个圆上，弦AD、BC的延长线交于点E，则图中相似三角形共有（　　）
A．2对 B．3对 C．4对 D．5对
8．如图，矩形ABCD中，AD＝2，AB＝5，在边CD上取一点P，使得△PAD与△PBC相似，则这样的点P共有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
9．如图，在△ABC中，DE∥BC，MN∥AB，则图中与△ABC相似的三角形有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
10．将两个完全相同的等腰直角三角形△ABC与△AFG摆成如图的样子，两个三角形的重叠部分为△ADE，那么图中一定相似的三角形是（　　）
A．△ABC与△ADE B．△ABD与△AEC C．△ABE与△ACD D．△AEC与△ADC
11．如图，点D、E分别在的边AB、AC的反向延长线上，下面比例式中，不一定能判断的是（ ）
A． B．
C． D．
12．如图，在正方形ABCD中，点E为AD边上的一个动点（与点A，D不重合），∠EBM＝45°，BE交对角线AC于点F，BM交对角线AC于点G，交CD于点M，下列结论中错误的是（　　）
A．△AEF∽△CBF B．△CMG∽△BFG C．△ABF∽△CBG D．△BDE∽△BCG
二、填空题
13．如图，，请你再添加一个条件______，使得△ADE∽△ABC．
14．不等长的两条对角线AC、BD相较于点O，且将四边形ABCD分成甲、乙、丙丁四个三角形．若OA：OC＝OB：OD，则甲、乙、丙、丁这4个三角形中，一定相似的有_______．
15．如图，AC与BD相交于点O，在△AOB和△DOC中，已知，又因为________可证明△AOB∽△DOC．
16．如图，的高AD，BE相交于点O，写出一个与相似的三角形，这个三角形可以是______．
17．如图，点在的边的延长线上，连接分别交、于、．图中相似的两个三角形共有______对．
三、解答题
18．如图，在中，CD是斜边AB上的高．
求证：．
19．如图，在矩形ABCD中，，，将矩形纸片ABCD沿对角线BD折叠，点C的对应点为E，BE交AD于点F．求证：．
20．如图，在△ABC中，点D、E、F分别在AB、BC、AC边上，DE∥AC，∠DEF＝∠A．求证：△BDE∽△EFC．
21．如图，在中，，，BD为角平分线，，垂足为E．
(1)证明；
(2)证明．
22．如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在CD，AD上，连结AE，BF，AE⊥BF且AE＝BF．
(1)求证：AB＝AD．
(2)连结EF，BE，线段FD是线段AD与AF的比例中项．
①若AD＝4，求线段FD的长．
②求证：△DEF∽△CEB．
23．如图，已知矩形OABC中，OA=2，AB=4，双曲线（k＞0）与矩形两边AB、BC分别交于E、F．
（1）若E是AB的中点，求F点的坐标；
（2）若将△BEF沿直线EF对折，B点落在x轴上的D点，作EG⊥OC，垂足为G，求证：△EGD∽△DCF．
（3）在第（2）的条件下求k的值．
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．C
解：由正方形的性质可知，∠ABC=180°-45°=135°，
A、B、D图形中的钝角都不等于135°，
由勾股定理得，BC=，AB=2，
对应的图形C中的边长分别为和1，
∵，
∴图C中的三角形（阴影部分）与△ABC相似，
故选：C．
2．B
解：是公共角，要使
只需，即
故选：B．
3．B
解：∵AD⊥CB，
∴∠ADC＝∠BDA＝90°，
∴∠BAC＝∠ADC＝90°
又∵∠C＝∠C，
∴△ADC∽△BAC，
同理：△ADB∽△CAB，
∴△ADC∽△BAC∽△BDA，
故选：B．
4．B
解：根据题意得：∠A=∠A，
A、若，可利用有两角相等的两个三角形相似判定，故本选项不符合题意；
B、若，则，不能判定，故本选项符合题意；
C、若，则，可利用两边对应成比例及其夹角相等的两个三角形相似判定，故本选项不符合题意；
D、若，可利用有两角相等的两个三角形相似判定，故本选项不符合题意；
故选：B
5．B
解：∵OA：OC＝OB：OD，
∠AOB＝∠COD（对顶角相等），
∴①与③相似．
故选：B．
6．C
解：根据题意得：∠A=∠A，
A、，可利用两角对应相等的两个三角形相似，故本选项不符合题意；
B、，可利用两角对应相等的两个三角形相似，故本选项不符合题意；
C、，不能判定两个三角形相似，故本选项符合题意；
D、，可利用两边对应成比例，及其夹角对应相等的两个三角形相似，故本选项不符合题意；
故选：C
7．C
解：取的交点为，如下图：
为公共角，根据同弧所对的圆周角相等，
，可得，
又由于，可得，
由，，可得，
由，，可得，
故选：C．
8．C
解：如图，以AB为直径作⊙O交CD于点P1，P2，连接AP1，BP1，AP2，BP2．
∵AB为⊙O直径，
∴ ，
∴ ，
为矩形， ，
∴ ，
∴ ，
∴△ADP1∽△P1CB，
同理△ADP2∽△P2CB，
取CD的中点P3，连接AP3，BP3，则同理△ADP3∽△P3CB，
故选：C．
9．C
解：如图，
根据题意，DE∥BC，MN∥AB，
可得△ADE，△MNC，△MGE均与△ABC相似，共3个，
故选：C．
10．C
解：A.是直角三角形，不是直角三角形，故不能判断△ABC与△ADE相似；
B.只有，不能判断B选项中△ABD与△AEC相似；
D. 只有，不能判断D选项中△AEC与△ADC相似；
C.是等腰直角三角形，则
设，则，
，
，
，
△ABE与△DCA
故选C．
11．C
解：对于A选项．
∵，
∴．
∴．
∴．
又∵，
∴．
∴．
∴．
故A选项不符合题意．
对于B选项．
∵，，
∴．
∴．
∴．
故B选项不符合题意．
对于D选项．
∵，
∴．
又∵，
∴．
∴．
∴．
故D选项不符合题意．
故选：C．
12．C
解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB∥CD，AD∥BC，∠DCA=∠ACB=∠DAC=∠CAB=∠EBM=45°，
∴△AEF∽△CBF，故选项A不合题意；
∵∠EBM=∠DCA，∠MGC=∠BGF，
∴△CMG∽△BFG，故选项B不合题意；
∵∠CAB=∠ACB=∠FBG=45°，
∴∠ABF+∠CBG=45°，
∴∠ABF与∠CBG不一定相等，
∴△ABF与△CBG不一定相似，
故选项C符合题意；
△BDE∽△BCG，故D不符合题意；
故选：C．
13．（答案不唯一）
解：∵，
∴，
即，
∴当或或或时两三角形相似．
故答案为：（答案不唯一）．
14．甲和丙
解：略
15．∠AOB＝∠DOC
解：略
16．（答案不唯一）
解：本题答案不唯一；
与相似的三角形有：，，，
选择求证：．
证明：的高，交于点，
．
，
，
故答案是：．
17．6
解：是平行四边形，
，，
，，，，五对，还有一对特殊的相似三角形即，
共6对，
故答案是；6．
18．见解析
证明：如图，
∵在中，CD是斜边AB上的高
∴
∵是公共角
∴．
19．证明见解析
证明： 矩形ABCD，
由折叠可得：
20．见解析
解：证明，
，
又，
，
，
，
．
21．(1)见解析 (2)见解析
(1)
证明：∵，，
∴，
∵BD为角平分线，
∴，
在和中，
∵，
∴
(2)
证明：∵，，
∴，
∵BD为角平分线，
∴，
∵，
∴．
22．(1)见解析 (2)①； ②见解析
(1)
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD=∠ADE=90°，
∴∠ABF+∠AFB=90°，
∵AE⊥BF，
∴∠DAE+∠AFB=90°，
∴∠ABF=∠DAE，
在△ABF和△DAE中，
，
∴△ABF≌△DAE（AAS），
∴AB=AD；
(2)
①∵线段FD是线段AD与AF的比例中项
∴FD2=AD·AF，
∵AD=4，设FD=x，则AF=4-x，
∴x2=4（4-x），
解得：x=或（舍），
∴FD=；
②由（1）可知，△ABF≌△DAE，
∴AF=DE，
∴DF=CE，
∵线段DF是线段AF与AD的比例中项，
∴DF2=AF AD，
∴，
∵∠FDE=∠BCE=90°，
∴△FDE∽△BCE．
23．（1）；（2）见解析；（3）
解：（1）∵点E是的中点，，，
∴点E的坐标为，
将点E的坐标代入，可得，
∴反比例函数解析式为：，
∵点F的横坐标为4，
∴点F的纵坐标，
∴点F的坐标为；
（2）由折叠的性质可得：，，，
∵，，
∴，
又∵，
∴；
（3）结合图形可设点E坐标为，点F坐标为，
则，
在中，
∵，
∴，即，
∴，
解得：.
答案第1页，共2页