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高中数学人教A版（2019） 选修三 第六章 第六章 计数原理
一、单选题
1．（2021高二上·沈阳月考）2021年7月，我国河南郑州遭受千年一遇的暴雨，为指导防汛救灾工作，某部门安排甲 乙 丙 丁 戊五名专家赴三地工作,因工作需要，每地至少需要安排一名专家，其中甲 乙两名专家必须安排在同一地工作，则不同的安排方案的总数为（ ）
A．36 B．30 C．24 D．18
【答案】A
【考点】分类加法计数原理；排列、组合及简单计数问题
【解析】【解答】5名专家赴三地，各地人数有1，1，3和2，2，1两种.
若三地人数为1，1，3，则不同的安排方案数为；
若三地人数为2，2，1，则不同的安排方案数为；
故不同的安排方案的总数为36。
故答案为：A.
【分析】利用已知条件结合组合数公式和排列数公式，再结合分类加法计数原理，从而求出不同的安排方案的总数。
2．（2021高二上·上饶期末）在某市第一次全民核酸检测中，某中学派出了8名青年教师参与志愿者活动，分别派往2个核酸检测点，每个检测点需4名志愿者，其中志愿者甲与乙要求在同一组，志愿者丙与丁也要求在同一组，则这8名志愿者派遣方法种数为（ ）
A．20 B．14 C．12 D．6
【答案】B
【考点】排列、组合及简单计数问题
【解析】【解答】解：依题意甲乙丙丁四人再同一组，有种；
（甲乙），（丙丁）不在同一组，先从其余4人选2人与甲乙作为一组，另外2人与丙丁作为一组，再安排到两个核酸检测点，则有种，综上可得一共有种安排方法，
故答案为：B
【分析】根据题意由排列组合以及计数原理，结合已知条件计算出结果即可。
3．（2021高二下·荔湾期末）甲、乙、丙、丁和戊5名学生进行劳动技术比赛，决出第1名到第5名的名次．甲、乙两名参赛者去询问成绩，回答者对甲说“很遗憾，你和乙都没有得到冠军”；对乙说“你当然不会是最差的”．从上述回答分析，5人的名次排列有（ ）种不同情况
A．36 B．54 C．72 D．81
【答案】B
【考点】分类加法计数原理；分步乘法计数原理
【解析】【解答】解：根据题意，甲乙都没有得到冠军，而乙不是最后一名，
分2种情况讨论：
①、甲是最后一名，则乙可以为第二、三、四名，即乙有3种情况，
剩下的三人安排在其他三个名次，有 种情况，
此时有 种名次排列情况；
②、甲不是最后一名，甲乙需要排在第二、三、四名，有 种情况，
剩下的三人安排在其他三个名次，有 种情况，
此时有 种名次排列情况；
则一共有 种不同的名次排列情况，
故答案为：B．
【分析】 根据题意，分2种情况讨论：①、甲是最后一名，则乙可以为第二、三、四名，剩下的三人安排在其他三个名次，②、甲不是最后一名，甲乙需要排在第二、三、四名，剩下的三人安排在其他三个名次，由加法原理计算可得答案.
4．（2021高二下·潍坊期末） （ ）
A．25 B．35 C．70 D．90
【答案】B
【考点】组合及组合数公式
【解析】【解答】 .
故答案为：B
【分析】 由题意利用组合数公式，计算求得结果.
5．（2021高二上·宁德期末）已知，若，则自然数（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
【答案】B
【考点】二项式系数的性质
【解析】【解答】令，得，
令，得，
所以，.
故答案为：B.
【分析】 在二项展开式中令，得，取x=1,可得2n=32，由此求得n的值.
6．（2021高二下·阳江期末）用1，2，3，4，5这5个数组成没有重复数字的五位数，则组成的五位数中，比35241大的数有（ ）
A．8个 B．48个 C．50个 D．56个
【答案】C
【考点】分类加法计数原理
【解析】【解答】解：根据题意，分种情况讨论：
①五位数的首位为4或5时，有 个比35241大的数，
②五位数的首位为3时，有35421 35412，两个比35241大的数，
则有 个比35241大的数，
故答案为：C.
【分析】 根据题意,分2种情况讨论:①五位数的首位为4或5时，②五位数的首位为3时,由加法原理计算可得答案.
7．（2021高二下·番禺期末）在 的展开式中，常数项为（ ）
A．15 B． C．30 D．
【答案】A
【考点】二项式定理的应用
【解析】【解答】 ，
令 ，得 ，
所以常数项是 。
故答案为：A
【分析】利用已知条件结合二项式定理求出展开式中的通项公式，再利用通项公式求出展开式中的常数项。
8．（2021高二下·东莞期末） 展开式中的常数项为（ ）
A． B． C．20 D．40
【答案】D
【考点】二项式定理
【解析】【解答】由题意常数项为： ，
故答案为：D.
【分析】 把 按照二项式定理展开,可得 的展开式中常数项的值.
二、多选题
9．（2021高二上·重庆月考）下列说法正确的是（ ）
A．空间有10个点，其中任何4点不共面，以每4个点为顶点作1个四面体，则一共可以作210个不同的四面体
B．甲 乙 丙3个人值周，从周一到周六，每人值2天，但甲不值周一，乙不值周六，则可以排出42种不同的值周表
C．从 这10个数字中选出5个不同的数字组成五位数，其中大于13000的共有26544个
D．4个不同的小球放入编号为 的4个盒子中，恰有1个空盒的放法共有144种
【答案】A,B,C,D
【考点】排列、组合及简单计数问题
【解析】【解答】解：根据题意，依次分析选项：
对于 ，空间有10个点，其中任何4点不共面，以每4个点为顶点作1个四面体，可以有 种取法，即可以作210个不同的四面体，A符合题意；
对于B，分2种情况讨论：①甲排在星期六，有 种排法；②甲不排在星期六，有 种排法；则值班方案种数为 种，B符合题意；
对于C，分2种情况讨论：①五位数的首位为2 3 4 5 6 7 8 9时，有 个五位数，
②五位数的首位为1时，其千位数字不能为0 2，有 个五位数，
则共有 个大于13000五位数，C符合题意；
对于 ，分2步进行分析：①将4个小球分为3组，有 种分组方法，②在4个盒子中任选3个，放入三组小球，有 种情况，
则有 种不同的放法，D符合题意；
故答案为：ABCD.
【分析】根据题意，依次分析各个选项，综合可得答案。
10．（2021高二下·张家港期中）从6名男生和4名女生中选出4人去参加一项创新大赛，则下列说法正确的有（ ）
A．如果4人中男生女生各有2人，那么有30种不同的选法
B．如果男生中的甲和女生中的乙必须在内，那么有28种不同的选法
C．如果男生中的甲和女生中的乙至少要有1人在内，那么有140种不同的选法
D．如果4人中必须既有男生又有女生，那么有184种不同的选法
【答案】B,C
【考点】排列、组合及简单计数问题
【解析】【解答】根据题意，依次分析选项：
对于A，如果4人中男生女生各有2人，男生的选法有 种选法，女生的选法有 种选法，则4人中男生女生各有2人选法有 种选法，A不符合题意；
对于B，如果男生中的甲和女生中的乙必须在内，在剩下的8人中再选2人即可，有 种选法，B符合题意；
对于C，在10人中任选4人，有 种选法，甲乙都不在其中的选法有 ，
故男生中的甲和女生中的乙至少要有1人在内的选法有 种，C符合题意；
对于D，在10人中任选4人，有 种选法，只有男生的选法有 种，只有女生的选法有 种，则4人中必须既有男生又有女生的选法有 种，D不符合题意；
故答案为：BC.
【分析】利用已知条件结合组合数公式，再结合作差的方法得出如果男生中的甲和女生中的乙必须在内，那么有28种不同的选法， 如果男生中的甲和女生中的乙至少要有1人在内，那么有140种不同的选法，从而找出说法正确的选项。
11．（2021高二下·天河期末）已知 ，则下列结论正确的有（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A,D
【考点】二项式系数的性质
【解析】【解答】 ，
令 ，可得 ，A符合题意；
，B不符合题意；
在所给的等式中，令 ，可得 ，
，C不符合题意；
令 ，可得 ，
再令 ，可得 ，
两式相加除以 ，可得 ，D符合题意。
故答案为：AD．
【分析】利用已知条件结合赋值法，得出的值；再利用已知条件结合二项式定理求出展开式中的通项公式，再利用通项公式求出的值；利用已知条件结合赋值法，得出的值，利用已知条件结合赋值法，可得 和 ，再利用两式相加相除，从而得出的值，进而找出结论正确的选项。
12．（2021高二下·孝感期末）已知 的展开式中二项式系数之和为1024，则下列说法正确的（ ）
A．展开式中奇数项的二项式系数和为256
B．展开式的各项系数之和为1024
C．展开式中常数项为45
D．展开式中含 项的系数为45
【答案】B,C,D
【考点】二项式定理；二项式系数的性质
【解析】【解答】解：因为 的展开式中二项式系数之和为1024，
所以 ，得 ，
所以二项式展开式的通项公式为 ，
对于A，展开式中奇数项的二项式系数和为 ，所以A不符合题意，
对于B，因为 的展开式中二项式系数之和与展开式的各项系数之和相等，所以展开式的各项系数之和为1024，所以B符合题意，
对于C，令 ，解得 ，所以展开式中常数项为 ，所以C符合题意，
对于D，令 ，解得 ，所以展开式中含 项的系数为 ，所以D符合题意，
故答案为：BCD
【分析】 由题意利用二项式系数的性质,求得n = 10，再利用二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，注意判断各个选项，从而得出答案。
三、填空题
13．（2021高二上·上饶期末）展开式中的系数是 .
【答案】-24
【考点】二项式定理
【解析】【解答】解：由题意可得，展开式中含的项为，
而展开式中含的项为，
所以的系数为-24.
故答案为：-24.
【分析】根据题意首先求出二项展开式的通项公式，结合已知条件求出展开式里含和的项的系数，计算出结果即可。
14．（2021高二上·沈阳月考）从2，3，4，5，6，7任取三个不同的数字，组成无重复数字三位数，要求个位数最大，百位数最小，则这样的三位数的个数为 (用数字作答).
【答案】20
【考点】分步乘法计数原理；排列、组合及简单计数问题
【解析】【解答】先从6个数中任意取三个数，有种选法，再把三个数里最大的数排列在个位，有1种排法，把最小的排在百位，有1种排法，剩下的排在十位，有1种排法，共有种方法。
故答案为：20。
【分析】利用已知条件结合组合数公式和分步乘法计数原理，从而求出这样的三位数的个数。
15．（2021高二下·梅州期末） 的展开式中 的系数为 ．（用数字填写答案）
【答案】140
【考点】二项式定理
【解析】【解答】由二项式定理得 展开式的通项公式为： ，
故当 时， ，当 时， ,
所以 展开式中 的项为 ，
故 的展开式中 的系数为140.
故答案为：140．
【分析】 前面式子中的x，-2y分别与后面展开式中含x2y6、x3y5的项相乘后得到含 ,再相加即可求解系数.
16．（2021高二下·天河期末）二项式 的展开式中常数项为-20，则含 项的系数为 ．
【答案】15
【考点】二项式定理的应用
【解析】【解答】二项式 的展开式的通项公式为 ，令 ，求得 ，可得展开式中常数项为 ， ，
则令 ，求得 ，可得含 项的系数为 。
故答案为：15。
【分析】利用已知条件结合二项式定理求出展开式中的通项公式，再利用通项公式求出展开式中的常数项，再结合二项式 的展开式中常数项为 -20 ， 从而求出a的值，再结合展开式中的通项公式，进而求出含 项的系数。
四、解答题
17．（2021高二上·沈阳月考）
（1）若，求正整数；
（2）已知，求.
【答案】（1）由得，
，又，
∴，即，
∴正整数为8.
（2）由得，
，
∴即，
解得或，又，
∴，
∴.
【考点】排列及排列数公式；组合及组合数公式
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合排列数公式，进而求出正整数n的值。
（2）利用已知条件结合组合数公式，从而求出n的值，再结合组合数公式，进而求出的值。
18．（2021高二上·上饶期末）在二项式展开式中，第3项和第4项的二项式系数比为.
（1）求n的值及展开式中的常数项；
（2）求展开式中系数最大的项是第几项.
【答案】（1）解：二项式展开式的通项公式为，
因为第3项和第4项的二项式系数比为，
所以，化简得，解得，
所以，令，得，
所以常数项为
（2）解：设展开式中系数最大的项是第项，则，
，解得，
因为，所以，
所以展开式中系数最大的项是第5项
【考点】二项式定理
【解析】【分析】(1)根据题意求出二项展开式的通项公式，再由已知条件整理化简计算出结果即可。
(2)由已知条件即可得出关于r的不等式组，求解出r的取值范围，然后结合题意即可得出r的值。
19．（2021高二下·梅州期末）在 的展开式中，前3项的二项式系数的和为22．
（1）求 的值及展开式中二项式系数最大的项；
（2）求展开式中的有理项．
【答案】（1）依题意得： ，
即 ，得 或 ．
， ．
展开式中二项式系数最大的项为第四项，即 ．
（2）展开式的通项公式为： ， ，
依题： ，且 ，解得 或 ，
展开式中的有理项为 和240．
【考点】二项式定理；二项式系数的性质
【解析】【分析】 (1 )由题意利用二项式系数的性质求得n的值，可得展开式中二项式系数最大的项；
(2)在二项展开式的通项公式中,令x的幂指数为整数，求得r的值，可得展开式中的有理项.
20．（2021高二上·昌平期末）有7个人分成两排就座，第一排3人，第二排4人．
（1）共有多少种不同的坐法？
（2）如果甲和乙都在第二排，共有多少种不同的坐法？
（3）如果甲和乙不能坐在每排的两端，共有多少种不同的坐法？
【答案】（1）解：排成两排就座，第一排3人，第二排4人，有种方法．
（2）解：若甲和乙都在第二排，先从其余5人中选出2人有种选法，将这两人与甲、乙排在第二排，再将其余3人排在第一排，故一共有种排法；
（3）解：如甲和乙不能坐在每排的两端，则先将甲、乙安排在除每排的两端外的三个位置中的两个位置，再将其余人全排列即可，故一共有种排法；
【考点】排列、组合及简单计数问题
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合排列数公式，得出7个人分成两排就座，第一排3人，第二排4人的共有的不同的坐法种数。
（2）利用已知条件结合组合数公式和排列数公式，再结合分步乘法计数原理，进而求出如果甲和乙都在第二排，共有的不同的坐法种数。
（3）利用已知条件结合排列数公式，再结合分步乘法计数原理，进而求出如果甲和乙不能坐在每排的两端的共有的不同的坐法种数。
21．（2021高二下·长春期末）已知 ．
（1）求 ；
（2）求 … ；
（3）求 … ．
【答案】（1）二项展开式的通项公式 ，令 ，则
（2）令 得， 再令 得， …
∴ …
（3）令 得， … ①
再令 得， … ②
由 得： … ．
【考点】二项式定理；二项式系数的性质；二项式定理的应用
【解析】【分析】（1）根据二项展开式的通项公式求解即可；
（2）利用赋值法求解即可；
（3）利用赋值法求解即可.
22．（2021高二下·潍坊期末）已知 的展开式中各项系数之和为32．
（1）求n的值；
（2）求 展开式中的常数项．
【答案】（1）由题意，令 得 ，
解得 ．
（2）因为二项式 的通项为
，
所以 展开式中的常数项为
．
【考点】二项式定理；二项式系数的性质
【解析】【分析】 (1)对x赋值1,可求得n的值；
(2)先求得二项式 的通项，再求得x-1项与x项的系数，求和即可求得答案.
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高中数学人教A版（2019） 选修三 第六章 第六章 计数原理
一、单选题
1．（2021高二上·沈阳月考）2021年7月，我国河南郑州遭受千年一遇的暴雨，为指导防汛救灾工作，某部门安排甲 乙 丙 丁 戊五名专家赴三地工作,因工作需要，每地至少需要安排一名专家，其中甲 乙两名专家必须安排在同一地工作，则不同的安排方案的总数为（ ）
A．36 B．30 C．24 D．18
2．（2021高二上·上饶期末）在某市第一次全民核酸检测中，某中学派出了8名青年教师参与志愿者活动，分别派往2个核酸检测点，每个检测点需4名志愿者，其中志愿者甲与乙要求在同一组，志愿者丙与丁也要求在同一组，则这8名志愿者派遣方法种数为（ ）
A．20 B．14 C．12 D．6
3．（2021高二下·荔湾期末）甲、乙、丙、丁和戊5名学生进行劳动技术比赛，决出第1名到第5名的名次．甲、乙两名参赛者去询问成绩，回答者对甲说“很遗憾，你和乙都没有得到冠军”；对乙说“你当然不会是最差的”．从上述回答分析，5人的名次排列有（ ）种不同情况
A．36 B．54 C．72 D．81
4．（2021高二下·潍坊期末） （ ）
A．25 B．35 C．70 D．90
5．（2021高二上·宁德期末）已知，若，则自然数（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
6．（2021高二下·阳江期末）用1，2，3，4，5这5个数组成没有重复数字的五位数，则组成的五位数中，比35241大的数有（ ）
A．8个 B．48个 C．50个 D．56个
7．（2021高二下·番禺期末）在 的展开式中，常数项为（ ）
A．15 B． C．30 D．
8．（2021高二下·东莞期末） 展开式中的常数项为（ ）
A． B． C．20 D．40
二、多选题
9．（2021高二上·重庆月考）下列说法正确的是（ ）
A．空间有10个点，其中任何4点不共面，以每4个点为顶点作1个四面体，则一共可以作210个不同的四面体
B．甲 乙 丙3个人值周，从周一到周六，每人值2天，但甲不值周一，乙不值周六，则可以排出42种不同的值周表
C．从 这10个数字中选出5个不同的数字组成五位数，其中大于13000的共有26544个
D．4个不同的小球放入编号为 的4个盒子中，恰有1个空盒的放法共有144种
10．（2021高二下·张家港期中）从6名男生和4名女生中选出4人去参加一项创新大赛，则下列说法正确的有（ ）
A．如果4人中男生女生各有2人，那么有30种不同的选法
B．如果男生中的甲和女生中的乙必须在内，那么有28种不同的选法
C．如果男生中的甲和女生中的乙至少要有1人在内，那么有140种不同的选法
D．如果4人中必须既有男生又有女生，那么有184种不同的选法
11．（2021高二下·天河期末）已知 ，则下列结论正确的有（ ）
A．
B．
C．
D．
12．（2021高二下·孝感期末）已知 的展开式中二项式系数之和为1024，则下列说法正确的（ ）
A．展开式中奇数项的二项式系数和为256
B．展开式的各项系数之和为1024
C．展开式中常数项为45
D．展开式中含 项的系数为45
三、填空题
13．（2021高二上·上饶期末）展开式中的系数是 .
14．（2021高二上·沈阳月考）从2，3，4，5，6，7任取三个不同的数字，组成无重复数字三位数，要求个位数最大，百位数最小，则这样的三位数的个数为 (用数字作答).
15．（2021高二下·梅州期末） 的展开式中 的系数为 ．（用数字填写答案）
16．（2021高二下·天河期末）二项式 的展开式中常数项为-20，则含 项的系数为 ．
四、解答题
17．（2021高二上·沈阳月考）
（1）若，求正整数；
（2）已知，求.
18．（2021高二上·上饶期末）在二项式展开式中，第3项和第4项的二项式系数比为.
（1）求n的值及展开式中的常数项；
（2）求展开式中系数最大的项是第几项.
19．（2021高二下·梅州期末）在 的展开式中，前3项的二项式系数的和为22．
（1）求 的值及展开式中二项式系数最大的项；
（2）求展开式中的有理项．
20．（2021高二上·昌平期末）有7个人分成两排就座，第一排3人，第二排4人．
（1）共有多少种不同的坐法？
（2）如果甲和乙都在第二排，共有多少种不同的坐法？
（3）如果甲和乙不能坐在每排的两端，共有多少种不同的坐法？
21．（2021高二下·长春期末）已知 ．
（1）求 ；
（2）求 … ；
（3）求 … ．
22．（2021高二下·潍坊期末）已知 的展开式中各项系数之和为32．
（1）求n的值；
（2）求 展开式中的常数项．
答案解析部分
1．【答案】A
【考点】分类加法计数原理；排列、组合及简单计数问题
【解析】【解答】5名专家赴三地，各地人数有1，1，3和2，2，1两种.
若三地人数为1，1，3，则不同的安排方案数为；
若三地人数为2，2，1，则不同的安排方案数为；
故不同的安排方案的总数为36。
故答案为：A.
【分析】利用已知条件结合组合数公式和排列数公式，再结合分类加法计数原理，从而求出不同的安排方案的总数。
2．【答案】B
【考点】排列、组合及简单计数问题
【解析】【解答】解：依题意甲乙丙丁四人再同一组，有种；
（甲乙），（丙丁）不在同一组，先从其余4人选2人与甲乙作为一组，另外2人与丙丁作为一组，再安排到两个核酸检测点，则有种，综上可得一共有种安排方法，
故答案为：B
【分析】根据题意由排列组合以及计数原理，结合已知条件计算出结果即可。
3．【答案】B
【考点】分类加法计数原理；分步乘法计数原理
【解析】【解答】解：根据题意，甲乙都没有得到冠军，而乙不是最后一名，
分2种情况讨论：
①、甲是最后一名，则乙可以为第二、三、四名，即乙有3种情况，
剩下的三人安排在其他三个名次，有 种情况，
此时有 种名次排列情况；
②、甲不是最后一名，甲乙需要排在第二、三、四名，有 种情况，
剩下的三人安排在其他三个名次，有 种情况，
此时有 种名次排列情况；
则一共有 种不同的名次排列情况，
故答案为：B．
【分析】 根据题意，分2种情况讨论：①、甲是最后一名，则乙可以为第二、三、四名，剩下的三人安排在其他三个名次，②、甲不是最后一名，甲乙需要排在第二、三、四名，剩下的三人安排在其他三个名次，由加法原理计算可得答案.
4．【答案】B
【考点】组合及组合数公式
【解析】【解答】 .
故答案为：B
【分析】 由题意利用组合数公式，计算求得结果.
5．【答案】B
【考点】二项式系数的性质
【解析】【解答】令，得，
令，得，
所以，.
故答案为：B.
【分析】 在二项展开式中令，得，取x=1,可得2n=32，由此求得n的值.
6．【答案】C
【考点】分类加法计数原理
【解析】【解答】解：根据题意，分种情况讨论：
①五位数的首位为4或5时，有 个比35241大的数，
②五位数的首位为3时，有35421 35412，两个比35241大的数，
则有 个比35241大的数，
故答案为：C.
【分析】 根据题意,分2种情况讨论:①五位数的首位为4或5时，②五位数的首位为3时,由加法原理计算可得答案.
7．【答案】A
【考点】二项式定理的应用
【解析】【解答】 ，
令 ，得 ，
所以常数项是 。
故答案为：A
【分析】利用已知条件结合二项式定理求出展开式中的通项公式，再利用通项公式求出展开式中的常数项。
8．【答案】D
【考点】二项式定理
【解析】【解答】由题意常数项为： ，
故答案为：D.
【分析】 把 按照二项式定理展开,可得 的展开式中常数项的值.
9．【答案】A,B,C,D
【考点】排列、组合及简单计数问题
【解析】【解答】解：根据题意，依次分析选项：
对于 ，空间有10个点，其中任何4点不共面，以每4个点为顶点作1个四面体，可以有 种取法，即可以作210个不同的四面体，A符合题意；
对于B，分2种情况讨论：①甲排在星期六，有 种排法；②甲不排在星期六，有 种排法；则值班方案种数为 种，B符合题意；
对于C，分2种情况讨论：①五位数的首位为2 3 4 5 6 7 8 9时，有 个五位数，
②五位数的首位为1时，其千位数字不能为0 2，有 个五位数，
则共有 个大于13000五位数，C符合题意；
对于 ，分2步进行分析：①将4个小球分为3组，有 种分组方法，②在4个盒子中任选3个，放入三组小球，有 种情况，
则有 种不同的放法，D符合题意；
故答案为：ABCD.
【分析】根据题意，依次分析各个选项，综合可得答案。
10．【答案】B,C
【考点】排列、组合及简单计数问题
【解析】【解答】根据题意，依次分析选项：
对于A，如果4人中男生女生各有2人，男生的选法有 种选法，女生的选法有 种选法，则4人中男生女生各有2人选法有 种选法，A不符合题意；
对于B，如果男生中的甲和女生中的乙必须在内，在剩下的8人中再选2人即可，有 种选法，B符合题意；
对于C，在10人中任选4人，有 种选法，甲乙都不在其中的选法有 ，
故男生中的甲和女生中的乙至少要有1人在内的选法有 种，C符合题意；
对于D，在10人中任选4人，有 种选法，只有男生的选法有 种，只有女生的选法有 种，则4人中必须既有男生又有女生的选法有 种，D不符合题意；
故答案为：BC.
【分析】利用已知条件结合组合数公式，再结合作差的方法得出如果男生中的甲和女生中的乙必须在内，那么有28种不同的选法， 如果男生中的甲和女生中的乙至少要有1人在内，那么有140种不同的选法，从而找出说法正确的选项。
11．【答案】A,D
【考点】二项式系数的性质
【解析】【解答】 ，
令 ，可得 ，A符合题意；
，B不符合题意；
在所给的等式中，令 ，可得 ，
，C不符合题意；
令 ，可得 ，
再令 ，可得 ，
两式相加除以 ，可得 ，D符合题意。
故答案为：AD．
【分析】利用已知条件结合赋值法，得出的值；再利用已知条件结合二项式定理求出展开式中的通项公式，再利用通项公式求出的值；利用已知条件结合赋值法，得出的值，利用已知条件结合赋值法，可得 和 ，再利用两式相加相除，从而得出的值，进而找出结论正确的选项。
12．【答案】B,C,D
【考点】二项式定理；二项式系数的性质
【解析】【解答】解：因为 的展开式中二项式系数之和为1024，
所以 ，得 ，
所以二项式展开式的通项公式为 ，
对于A，展开式中奇数项的二项式系数和为 ，所以A不符合题意，
对于B，因为 的展开式中二项式系数之和与展开式的各项系数之和相等，所以展开式的各项系数之和为1024，所以B符合题意，
对于C，令 ，解得 ，所以展开式中常数项为 ，所以C符合题意，
对于D，令 ，解得 ，所以展开式中含 项的系数为 ，所以D符合题意，
故答案为：BCD
【分析】 由题意利用二项式系数的性质,求得n = 10，再利用二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，注意判断各个选项，从而得出答案。
13．【答案】-24
【考点】二项式定理
【解析】【解答】解：由题意可得，展开式中含的项为，
而展开式中含的项为，
所以的系数为-24.
故答案为：-24.
【分析】根据题意首先求出二项展开式的通项公式，结合已知条件求出展开式里含和的项的系数，计算出结果即可。
14．【答案】20
【考点】分步乘法计数原理；排列、组合及简单计数问题
【解析】【解答】先从6个数中任意取三个数，有种选法，再把三个数里最大的数排列在个位，有1种排法，把最小的排在百位，有1种排法，剩下的排在十位，有1种排法，共有种方法。
故答案为：20。
【分析】利用已知条件结合组合数公式和分步乘法计数原理，从而求出这样的三位数的个数。
15．【答案】140
【考点】二项式定理
【解析】【解答】由二项式定理得 展开式的通项公式为： ，
故当 时， ，当 时， ,
所以 展开式中 的项为 ，
故 的展开式中 的系数为140.
故答案为：140．
【分析】 前面式子中的x，-2y分别与后面展开式中含x2y6、x3y5的项相乘后得到含 ,再相加即可求解系数.
16．【答案】15
【考点】二项式定理的应用
【解析】【解答】二项式 的展开式的通项公式为 ，令 ，求得 ，可得展开式中常数项为 ， ，
则令 ，求得 ，可得含 项的系数为 。
故答案为：15。
【分析】利用已知条件结合二项式定理求出展开式中的通项公式，再利用通项公式求出展开式中的常数项，再结合二项式 的展开式中常数项为 -20 ， 从而求出a的值，再结合展开式中的通项公式，进而求出含 项的系数。
17．【答案】（1）由得，
，又，
∴，即，
∴正整数为8.
（2）由得，
，
∴即，
解得或，又，
∴，
∴.
【考点】排列及排列数公式；组合及组合数公式
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合排列数公式，进而求出正整数n的值。
（2）利用已知条件结合组合数公式，从而求出n的值，再结合组合数公式，进而求出的值。
18．【答案】（1）解：二项式展开式的通项公式为，
因为第3项和第4项的二项式系数比为，
所以，化简得，解得，
所以，令，得，
所以常数项为
（2）解：设展开式中系数最大的项是第项，则，
，解得，
因为，所以，
所以展开式中系数最大的项是第5项
【考点】二项式定理
【解析】【分析】(1)根据题意求出二项展开式的通项公式，再由已知条件整理化简计算出结果即可。
(2)由已知条件即可得出关于r的不等式组，求解出r的取值范围，然后结合题意即可得出r的值。
19．【答案】（1）依题意得： ，
即 ，得 或 ．
， ．
展开式中二项式系数最大的项为第四项，即 ．
（2）展开式的通项公式为： ， ，
依题： ，且 ，解得 或 ，
展开式中的有理项为 和240．
【考点】二项式定理；二项式系数的性质
【解析】【分析】 (1 )由题意利用二项式系数的性质求得n的值，可得展开式中二项式系数最大的项；
(2)在二项展开式的通项公式中,令x的幂指数为整数，求得r的值，可得展开式中的有理项.
20．【答案】（1）解：排成两排就座，第一排3人，第二排4人，有种方法．
（2）解：若甲和乙都在第二排，先从其余5人中选出2人有种选法，将这两人与甲、乙排在第二排，再将其余3人排在第一排，故一共有种排法；
（3）解：如甲和乙不能坐在每排的两端，则先将甲、乙安排在除每排的两端外的三个位置中的两个位置，再将其余人全排列即可，故一共有种排法；
【考点】排列、组合及简单计数问题
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合排列数公式，得出7个人分成两排就座，第一排3人，第二排4人的共有的不同的坐法种数。
（2）利用已知条件结合组合数公式和排列数公式，再结合分步乘法计数原理，进而求出如果甲和乙都在第二排，共有的不同的坐法种数。
（3）利用已知条件结合排列数公式，再结合分步乘法计数原理，进而求出如果甲和乙不能坐在每排的两端的共有的不同的坐法种数。
21．【答案】（1）二项展开式的通项公式 ，令 ，则
（2）令 得， 再令 得， …
∴ …
（3）令 得， … ①
再令 得， … ②
由 得： … ．
【考点】二项式定理；二项式系数的性质；二项式定理的应用
【解析】【分析】（1）根据二项展开式的通项公式求解即可；
（2）利用赋值法求解即可；
（3）利用赋值法求解即可.
22．【答案】（1）由题意，令 得 ，
解得 ．
（2）因为二项式 的通项为
，
所以 展开式中的常数项为
．
【考点】二项式定理；二项式系数的性质
【解析】【分析】 (1)对x赋值1,可求得n的值；
(2)先求得二项式 的通项，再求得x-1项与x项的系数，求和即可求得答案.
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