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高中数学人教A版（2019）选择性必修二 5.2 导数的运算 基本初等函数的导数
一、单选题
1．（2022·海南模拟）已知函数（是的导函数），则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】导数的四则运算
【解析】【解答】，，
，，
故答案为：D.
【分析】利用导数的运算进行求解，即可得出答案。
2．（2021高二上·太原期末）已知函数，则（ ）
A．-1 B．0 C．1 D．2
【答案】D
【知识点】导数的四则运算
【解析】【解答】由题设，，
∴.
故答案为：D.
【分析】根据题意对函数求导，再把数值代入到导函数的解析式，计算出结果即可。
3．下列结论正确的个数是（ ）
①若f(x)=ln2，则f'(x)= ；②若f(x)= ，则f'(3)=-；③若 f(x)=2x，则f'(x)=2xln2；④若f(x )=log2x，则f'(x)=
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】D
【知识点】导数的四则运算
【解析】【解答】解：①f'(x)=(ln2)'=0，故错误；
②由f(x)= 得f'(x)=-2x-3，则，故正确；
③因为f(x)=2x，所以f'(x)=2xln2，故正确；
④因为f(x)=log2x，所以，故正确；
故答案为：D
【分析】根据导数的运算法则求解即可.
4．y =x2在x=c处的导数为2，则c的值为（ ）
A．-1 B．0 C．1 D．2
【答案】C
【知识点】导数的四则运算
【解析】【解答】解：由题意得y'=2x，则由f'(c)=2c=2，解得c=1，
故答案为：C
【分析】根据导数的计算公式求解即可.
5．函数 的导数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】导数的四则运算
【解析】【解答】 。
故答案为：C
【分析】利用已知条件结合根式与分式指数幂的互化公式，再利用导数的公式，进而求出函数 的导数。
6．（2021高三上·安庆月考）已知函数 的导函数为 ，且满足关系式 ，则 的值等于（ ）
A．-2 B． C． D．
【答案】D
【知识点】导数的四则运算
【解析】【解答】依题意 ，令 得 ， ，
故答案为：D.
【分析】 根据导数公式先求出f'(x) ，然后令x=2即可得到 的值.
7．（2021高二下·大荔期末）设 在 处可导，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】导数的几何意义；导数的四则运算
【解析】【解答】因为 在 处可导，
所以，由导数的定义可得： .
故答案为：A
【分析】根据题意，由极限的运算性质以及导数的定义分析可得答案.
8．（2021高二下·双鸭山月考）若直线 是函数 的一条切线，则函数 不可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】导数的几何意义；导数的四则运算
【解析】【解答】解：对于A，由得，令无解，故A正确；
对于B，由f(x)=x4得f'(x)=4x3，令，解得，故B错误；
对于C，由f(x)=sinx得f'(x)=cosx，令，有解，故C错误；
对于D，由f(x)=ex得f'(x)=ex，令，解得x=-ln2，故D错误.
故答案为：A
【分析】根据导数的运算及导数的几何意义求解即可.
二、多选题
9．已知函数 及其导数 ，若存在 ，使得 ，则称 是 的一个“巧值点”．下列函数中，有“巧值点”的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A,C,D
【知识点】导数的四则运算
【解析】【解答】在A中，若 ，则 ，则 ，这个方程显然有解，A符合要求；
在B中，若 ，则 ，即 ，此方程无解，B不符合要求；
在C中，若 ，则 ，由 ，令 ， （ ），作出两函数的图象如图所示，由两函数图象有一个交点可知该方程存在实数解，C符合要求；
在D中，若 ，则 ，由 ，可得 ，D符合要求．
故答案为：ACD．
【分析】由已知条件分别求出函数的导函数，令求出x的值由此对选项逐一判断即可得出答案。
10．（2020高三上·湖北月考）已知函数 ，其导函数为 ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B,C
【知识点】导数的四则运算
【解析】【解答】因为 ，
所以 ．
因为 ，所以 ．
故 ．
故答案为：BC
【分析】先令 代入函数可得 ，再对函数求导后把 代入导函数中可得 ，从而可求得
11．（2020高二下·淄博期末）经济学中经常用弹性函数研究函数的相对变化率和相对改变量.一般的，如果函数 存在导函数 ，称 为函数 的弹性函数，下列说法正确的是（ ）
A．函数 （ 为常数）的弹性函数是
B．函数 的弹性函数是
C．
D．
【答案】A,B,D
【知识点】变化的快慢与变化率；导数的四则运算
【解析】【解答】对于A， ，即A符合题意；
对于B， ，即B符合题意；
对于C， 而 ，二者不相等，即C不符合题意；
对于D，
即D符合题意
故答案为：ABD
【分析】根据题意结合基本初等函数的求导法则、导数的乘除运算法则以及弹性函数的定义式，逐一判断每个选项即可．
12．（2020高二下·河北期中）若函数 的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称 具有T性质，下列函数中具有T性质的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A,D
【知识点】导数的四则运算；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【解答】由题意 具有T性质，则存在 ， ，使得 .
对于A，因为 ，存在 ， ，使得 ；
对于B，因为 ，不存在 ， ，使得 ；
对于C，因为 ，不存在 ， ，使得 ；
对于D，因为 ，存在 ， ，使得 .
故答案为：AD.
【分析】 由题意可得y=f（x）具有T性质，则存在x1，x2，使得 对选项一一分析，即可得到结论．
三、填空题
13．（2021高二上·牡丹江月考）已知函数，则 .
【答案】-2
【知识点】导数的四则运算
【解析】【解答】因为
所以，则，故。
故答案为：-2。
【分析】利用已知条件结合导数的运算法则，得出导函数，再利用代入法得出导函数的值。
14．设函数f(x)=2x3＋ax2+x ，f'(1)=9，则a= .
【答案】1
【知识点】函数的值；导数的四则运算
【解析】【解答】 ，则 。
【分析】利用导数的运算法则求出导函数，再利用代入法求出导函数的值，再结合已知条件，从而求出a的值。
15．下列结论正确的有 .
①若 ，则 ；
②若 ，则 ；
③若 ，则 ；
④若 ，则 .
【答案】①③④
【知识点】导数的四则运算
【解析】【解答】对于①， ，正确；
对于②， ， ，不正确；
对于③，
，正确；
对于④， ，
，正确。
【分析】利用已知条件结合导数的公式，进而求出结论正确的序号。
16．（2021高二下·天津月考）若 ，则 .
【答案】-12
【知识点】导数的四则运算
【解析】【解答】因为 ，
，
，
。
故答案为：-12。
【分析】利用已知条件结合导数与极限的关系，再结合变形的方法，从而求出的值。
17．在曲线 的所有切线中，斜率最小的切线方程是 ．
【答案】3x-y-11=0
【知识点】导数的四则运算；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【解答】由题意 ，易知 时， ，又 时， ，
∴所求切线方程为 ，即3x-y-11=0．
故答案为：3x-y-11=0．
【分析】根据题意求出函数的导函数再把x==1代入导函数的解析式求出y的值，由此得出切线的斜率从而得出切线的方程。
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高中数学人教A版（2019）选择性必修二 5.2 导数的运算 基本初等函数的导数
一、单选题
1．（2022·海南模拟）已知函数（是的导函数），则（ ）
A． B． C． D．
2．（2021高二上·太原期末）已知函数，则（ ）
A．-1 B．0 C．1 D．2
3．下列结论正确的个数是（ ）
①若f(x)=ln2，则f'(x)= ；②若f(x)= ，则f'(3)=-；③若 f(x)=2x，则f'(x)=2xln2；④若f(x )=log2x，则f'(x)=
A．0 B．1 C．2 D．3
4．y =x2在x=c处的导数为2，则c的值为（ ）
A．-1 B．0 C．1 D．2
5．函数 的导数是（ ）
A． B． C． D．
6．（2021高三上·安庆月考）已知函数 的导函数为 ，且满足关系式 ，则 的值等于（ ）
A．-2 B． C． D．
7．（2021高二下·大荔期末）设 在 处可导，则 （ ）
A． B． C． D．
8．（2021高二下·双鸭山月考）若直线 是函数 的一条切线，则函数 不可能是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．已知函数 及其导数 ，若存在 ，使得 ，则称 是 的一个“巧值点”．下列函数中，有“巧值点”的是（ ）
A． B． C． D．
10．（2020高三上·湖北月考）已知函数 ，其导函数为 ，则（ ）
A． B． C． D．
11．（2020高二下·淄博期末）经济学中经常用弹性函数研究函数的相对变化率和相对改变量.一般的，如果函数 存在导函数 ，称 为函数 的弹性函数，下列说法正确的是（ ）
A．函数 （ 为常数）的弹性函数是
B．函数 的弹性函数是
C．
D．
12．（2020高二下·河北期中）若函数 的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称 具有T性质，下列函数中具有T性质的是（ ）
A． B． C． D．
三、填空题
13．（2021高二上·牡丹江月考）已知函数，则 .
14．设函数f(x)=2x3＋ax2+x ，f'(1)=9，则a= .
15．下列结论正确的有 .
①若 ，则 ；
②若 ，则 ；
③若 ，则 ；
④若 ，则 .
16．（2021高二下·天津月考）若 ，则 .
17．在曲线 的所有切线中，斜率最小的切线方程是 ．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】导数的四则运算
【解析】【解答】，，
，，
故答案为：D.
【分析】利用导数的运算进行求解，即可得出答案。
2．【答案】D
【知识点】导数的四则运算
【解析】【解答】由题设，，
∴.
故答案为：D.
【分析】根据题意对函数求导，再把数值代入到导函数的解析式，计算出结果即可。
3．【答案】D
【知识点】导数的四则运算
【解析】【解答】解：①f'(x)=(ln2)'=0，故错误；
②由f(x)= 得f'(x)=-2x-3，则，故正确；
③因为f(x)=2x，所以f'(x)=2xln2，故正确；
④因为f(x)=log2x，所以，故正确；
故答案为：D
【分析】根据导数的运算法则求解即可.
4．【答案】C
【知识点】导数的四则运算
【解析】【解答】解：由题意得y'=2x，则由f'(c)=2c=2，解得c=1，
故答案为：C
【分析】根据导数的计算公式求解即可.
5．【答案】C
【知识点】导数的四则运算
【解析】【解答】 。
故答案为：C
【分析】利用已知条件结合根式与分式指数幂的互化公式，再利用导数的公式，进而求出函数 的导数。
6．【答案】D
【知识点】导数的四则运算
【解析】【解答】依题意 ，令 得 ， ，
故答案为：D.
【分析】 根据导数公式先求出f'(x) ，然后令x=2即可得到 的值.
7．【答案】A
【知识点】导数的几何意义；导数的四则运算
【解析】【解答】因为 在 处可导，
所以，由导数的定义可得： .
故答案为：A
【分析】根据题意，由极限的运算性质以及导数的定义分析可得答案.
8．【答案】A
【知识点】导数的几何意义；导数的四则运算
【解析】【解答】解：对于A，由得，令无解，故A正确；
对于B，由f(x)=x4得f'(x)=4x3，令，解得，故B错误；
对于C，由f(x)=sinx得f'(x)=cosx，令，有解，故C错误；
对于D，由f(x)=ex得f'(x)=ex，令，解得x=-ln2，故D错误.
故答案为：A
【分析】根据导数的运算及导数的几何意义求解即可.
9．【答案】A,C,D
【知识点】导数的四则运算
【解析】【解答】在A中，若 ，则 ，则 ，这个方程显然有解，A符合要求；
在B中，若 ，则 ，即 ，此方程无解，B不符合要求；
在C中，若 ，则 ，由 ，令 ， （ ），作出两函数的图象如图所示，由两函数图象有一个交点可知该方程存在实数解，C符合要求；
在D中，若 ，则 ，由 ，可得 ，D符合要求．
故答案为：ACD．
【分析】由已知条件分别求出函数的导函数，令求出x的值由此对选项逐一判断即可得出答案。
10．【答案】B,C
【知识点】导数的四则运算
【解析】【解答】因为 ，
所以 ．
因为 ，所以 ．
故 ．
故答案为：BC
【分析】先令 代入函数可得 ，再对函数求导后把 代入导函数中可得 ，从而可求得
11．【答案】A,B,D
【知识点】变化的快慢与变化率；导数的四则运算
【解析】【解答】对于A， ，即A符合题意；
对于B， ，即B符合题意；
对于C， 而 ，二者不相等，即C不符合题意；
对于D，
即D符合题意
故答案为：ABD
【分析】根据题意结合基本初等函数的求导法则、导数的乘除运算法则以及弹性函数的定义式，逐一判断每个选项即可．
12．【答案】A,D
【知识点】导数的四则运算；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【解答】由题意 具有T性质，则存在 ， ，使得 .
对于A，因为 ，存在 ， ，使得 ；
对于B，因为 ，不存在 ， ，使得 ；
对于C，因为 ，不存在 ， ，使得 ；
对于D，因为 ，存在 ， ，使得 .
故答案为：AD.
【分析】 由题意可得y=f（x）具有T性质，则存在x1，x2，使得 对选项一一分析，即可得到结论．
13．【答案】-2
【知识点】导数的四则运算
【解析】【解答】因为
所以，则，故。
故答案为：-2。
【分析】利用已知条件结合导数的运算法则，得出导函数，再利用代入法得出导函数的值。
14．【答案】1
【知识点】函数的值；导数的四则运算
【解析】【解答】 ，则 。
【分析】利用导数的运算法则求出导函数，再利用代入法求出导函数的值，再结合已知条件，从而求出a的值。
15．【答案】①③④
【知识点】导数的四则运算
【解析】【解答】对于①， ，正确；
对于②， ， ，不正确；
对于③，
，正确；
对于④， ，
，正确。
【分析】利用已知条件结合导数的公式，进而求出结论正确的序号。
16．【答案】-12
【知识点】导数的四则运算
【解析】【解答】因为 ，
，
，
。
故答案为：-12。
【分析】利用已知条件结合导数与极限的关系，再结合变形的方法，从而求出的值。
17．【答案】3x-y-11=0
【知识点】导数的四则运算；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【解答】由题意 ，易知 时， ，又 时， ，
∴所求切线方程为 ，即3x-y-11=0．
故答案为：3x-y-11=0．
【分析】根据题意求出函数的导函数再把x==1代入导函数的解析式求出y的值，由此得出切线的斜率从而得出切线的方程。
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