高中数学人教A版（2019）选择性必修二 5.3 导数在研究函数中的应用 函数的单调性
一、单选题
1．（2021高三上·诸暨期末）已知，满足，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】，
又，
，
若，则不满足条件，
若、时， ，不满足条件，
当、时，成立；
又因为函数的图像恒在上方，
设，，所以，
构造函数，，，
令，（），
，且在定义域内单调递增，故，
因此可知，所以在范围内单调递增，，
。
故选：D
【分析】利用，再利用，得出，再结合分类讨论的方法结合不等式的性质和对数函数的单调性，得出当、时，成立，再利用当时的函数的图像恒在上方，设，再利用，所以，构造函数，，再结合求导的方法判断函数的单调性，从而求出函数的值域，因此可知，所以在范围内单调递增，所以，，进而找出正确的选项。
2．（2022·桂林模拟）设是函数的导函数，若，且对，且总有，则下列选项正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】函数单调性的性质；利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】由，得在R上单调递增
因为，所以，A不正确；
对，且，总有，可得函数的图象是向上凸，可用如图的图象来表示，
由表示函数图象上各点处的切线的斜率，由函数图象可知，
随着x的增大，的图象越来越平缓，即切线的斜率越来越小，
所以，B不正确；
，表示点与点连线的斜率，
由图可知，所以D符合题意，C不正确．
故答案为：D．
【分析】根据题意由已知条件即可得出函数的单调性，由此作出函数的图象结合数形结合法，结合切线的性质以及函数的单调性，由此对选项逐一判断即可得出答案。
3．（2022·马鞍山模拟）若仅存在一条直线与函数（）和的图象均相切，则实数（ ）
A．e B． C．2e D．
【答案】C
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【解答】设直线与的切点为，
由可知，该直线的斜率为，即该直线的方程为，
即为，
设直线与的切点为，
由可知，该直线的斜率为，即该直线的方程为，
即为，
∵仅存在一条直线与函数（）和的图象均相切，
∴ ，∴即，
令，则，
当时，即，当时，即，
即在上单调递增，在上单调递减，则在处取得最大值，，图像为
∵切线只有一条，即的值唯一，∴只有。
故答案为：C.
【分析】设直线与函数的切点为，再利用求导的方法求出函数在切点处的切线的方程，即为，设直线与的切点为，再利用求导的方法求出函数（）在切点处的切线的方程，即为，利用仅存在一条直线与函数（）和的图象均相切，所以，令，再利用求导的方法判断函数的单调性，进而求出函数的最大值，再结合函数的图像结合切线只有一条，得出的值唯一，进而得出a的值。
4．（2021高三上·湖北月考）已知函数，若不等式在区间上恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】解：由已知可得即为，
设，，
则，
当时，显然，当时，在上也成立，
所以时，在上单调递减，恒成立；
当时，当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
于是，存在，使得，不满足，舍去此情况，
综上所述，.
故答案为：A.
【分析】由已知可得即为，设，，求出函数的导函数，分和讨论函数的单调性，求出函数在区间上的最小值，即可得答案。
5．（2022·眉山模拟）函数的单调递减区间为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】由题可知，由，解得.
所以单调递减区间为.
故答案为：A.
【分析】首先对函数求导，由导函数的性质即可得出x的取值范围，由此即可得出函数的单调区间。
6．（2021高二上·大同期末）已知函数（m＞0）的单调递减区间为，若，则m的最大值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．6
【答案】D
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】由，可得，（m＞0）
令，解得，
即函数（m＞0）的单调递减区间为，
∴，
∴，即m的最大值为6.
故答案为：D
【分析】根据题意首先对函数求导，由函数的单调性即可得出导函数的正负，由此求解出x的取值范围，结合已知条件由函数的单调性即可求出m的取值范围，从而即可得出m的最大值。
7．（2021高二上·长沙期末）已知函数是定义在上的奇函数，是的导函数，且，当时，则使得成立的的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】函数单调性的性质；奇函数与偶函数的性质；利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解：由题意可知，函数是奇函数，
令函数，则函数为偶函数，
又当时，，
所以函数在上单调递减，
根据对称性可知，函数在上单调递增，
又，所以，所以，
函数的大致图象如图所示：
数形结合可知，使得成立的的取值范围是，，．
故答案为：B．
【分析】由已知条件结合函数的奇偶性整理化简即可得出函数的解析式，然后由导函数的性质即可得出函数的单调性，由函数的单调性即可求出函数的图象，利用数形结合法即可求出不等式的解集。
8．（2022·攀枝花模拟）已知函数 ，若关于 的不等式 恒成立，则实数 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】函数单调性的性质；利用导数研究函数的单调性；不等式的综合；分段函数的应用
【解析】【解答】当 时，由 恒成立，二次函数的对称轴为 ，
（1）当 时， 在 上单调递减，则 恒成立，
（2）当 时， ，所以
综上可知，当 时， 在 上恒成立；
当 时， 恒成立，即 在 上恒成立，
令 ，则 ，
当 时， ，函数单增，又 ，所以 ；
综上可知， 的取值范围是 ，
故答案为：D
【分析】根据题意由已知条件，结合二次函数的图象和性质即可得出不等式恒成立，然后由分离参数法得出关于a的不等式，构造函数再对其求导结合导函数的性质即可得出函数g(x)的单调性，由函数的单调性即可得出函数的最值，由此即可得出a的取值范围。
9．（2021高三上·河南月考）已知定义在上的函数满足，且有，则的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】函数单调性的性质；利用导数研究函数的单调性；不等式的综合
【解析】【解答】设，则，
所以函数在上单调递增，又，所以．
又等价于，即，所以，
即所求不等式的解集为．
故答案为：B
【分析】根据题意设出，然后对其求导结合导函数的性质即可得出函数的单调性，由函数的单调性即可得出不等式，即从而求解出x的取值范围，由此即可得出不等式的解集。
10．（同步练习册数学选择性必修 周周清7【xm】）函数fx)的导函数f'(x)的图象如图所示，那么f(x)的图象最有可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】函数的图象；利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】由题意可得在(-∞，-2)，(-1，+∞)上，f'(x)＜0，f(x)单调递减；在(-2，-1)上，f'(x)>0，f(x)单调递增，从而得出结论.
故答案为：B
【分析】利用已知条件结合求导的方法判断函数的单调性，再结合导函数的图象，从而找出函数最可能的图象。
11．（同步练习册数学选择性必修 周周清7【xm】）若函数f(x)=x2- lnx+1在其定义域内的一个子区间(k-1，k+1)内不是单调函数，则实数k的取值范围为（ ）
A．[1，+∞) B．[1. ) C．[1，2) D．[ ，2)
【答案】B
【知识点】利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解：显然函数f(x)的定义域为(0，+∞) ， ．
由f'(x)>0，得函数f(x)的单调递增区间为；
由f'(x)<0，得函数f(x)单调递减区间为．
因为函数在区间 (k-1，k+1) 上不是单调函数，
所以 ，解得 ，
又因为(k-1，k+1) 为定义域内的一个子区间，
所以k-1≥0 ，解得k≥1 ．
综上可知实数k的取值范围是 ．
故答案为：B
【分析】利用导数研究函数的单调性求解即可.
12．（同步练习册数学选择性必修 单元卷（二）【xm】）若函数f(x)=2x3+ax2+1(a为常数)在区间(-∞，0)和(2，＋∞)上单调递增，且在区间(0，2)上单调递减，则a的值为（ ）
A．1 B．2 C．-6 D．-12
【答案】C
【知识点】利用导数研究函数的单调性；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】令 ，得 或 .
由题意，知 的两根为0，2，所以 ，
所以 。
故答案为：C
【分析】利用求导的方法判断函数的单调性，进而求出函数的极值点，再结合已知条件得出 的两根为0，2，再利用韦达定理得出a的值。
二、填空题
13．（2022高二下·桐乡开学考）若函数 在 上有两个不同的零点，则实数 的取值范围为 .
【答案】
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；函数的零点与方程根的关系；函数零点存在定理；函数的零点
【解析】【解答】解：令
则m=x2-2lnx ，
令g(x)= x2-2lnx，
则由知，
g(x)在 上单调递减，在[1，e]上单调递增
且[g(x)]min=g(1)=1 ， ， .
显然，
作出函数v的图像，如下图所示：
所以 函数 在 上有两个不同的零点，
则实数m的取值范围为 .
故答案为： .
【分析】利用导数研究函数的单调性与最值，结合参数分离与数形结合思想求解即可.
14．（2021高二上·长沙期末）已知函数在上是单调递增函数，则实数的取值范围是 .
【答案】k≥1
【知识点】函数单调性的性质；利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解：若在上是单调递增函数，
则在上恒成立，
即，，
故k≥1，
故答案为：k≥1
【分析】首先对函数求导，由函数的单调性即可得出导函数的正负，结合一元二次不等式与一元二次方程之间的关系，求解出k的取值范围即可。
15．（同步练习册数学选择性必修 单元卷（二）【xm】）已知函数f(x)=x3-3ax2-bx，其中 a ，b为实数.若f(x)在区间[-1，2]上为减函数，且b=9a，则a的取值范围是 .
【答案】[1，+∞)
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】由题知 对 恒成立， ，所以 ，即 对 恒成立.因为 ，所以 对 恒成立，容易求得 。
【分析】由题可知 对 恒成立， ，所以 对 恒成立，再利用 ，所以 对 恒成立，再利用不等式恒成立问题求解方法，再结合函数求最值的方法，进而求出的最值，从而求出实数a的取值范围。
16．（2021高三上·东莞月考）函数f(x)＝1＋x＋cosx在上的单调递增区间是 .
【答案】
【知识点】利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】f′(x)＝－sinx.
由，解得0所以f(x)在上的单调递增区间是.
故答案为：
【分析】根据题意，求出函数的导数，由函数导数与单调性的关系结合正弦函数的性质可求得x的取值范围，进而得出f(x)在上的单调递增区间.
三、解答题
17．（2021高三上·上虞期末）已知函数，为自然对数的底数，．
（1）讨论函数的单调性；
（2）当时，证明：．
【答案】（1）解：函数的定义域为，求导得：，
当时，，则在上单调递增，
当时，当时，，当时，，则在上单调递增，在上单调递减，
所以当时，在上单调递增，当时，在上单调递增，在上单调递减.
（2）解：当时，，，
令，则，当时，，当时，，
于是得在上递增，在上递减，则有，即，当且仅当时取“=”，
令，求导得：，显然函数在上单调递增，
而，则当时，，即，当时，，即，
于是有在上单调递减，在上单调递增，则，
即，当且仅当时取“=”，
因不等式与等号成立的条件不一致，则，
所以成立.
【知识点】利用导数研究函数的单调性
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合分类讨论的方法，再结合求导的方法判断函数的单调性，进而讨论出函数的单调性。
（2） 当时，得出函数的解析式，即，再利用，令，再利用求导的方法判断函数的单调性，从而求出函数的最大值，即，令，再利用求导的方法判断函数的单调性，从而求出函数的最小值，即，再利用不等式与等号成立的条件不一致，则，从而证出不等式成立。
18．（2022高三下·大连开学考）已知函数 ．
（1）讨论函数 的单调性；
（2）若函数 有两个不同的零点，求 的取值范围．
【答案】（1）解： ，
①当 时， 恒成立，
令 ，则 ，所以 的单调增区间为 ，
令 ，则 ，所以 的单调减区间为 ；
②当 时，令 ，则 或 ，
（ⅰ）当 ，即 时，
令 ，则 或 ，令 ，则 ，
所以 的单调增区间为 和 ，单调减区间为 ；
（ⅱ）当 ，即 时，
当 时， ， ，所以 ，同理 时， ，
故 的单调增区间为 ；
（ⅲ）当 ，即 时，
令 ，则 或 ，令 ，则 ，
所以 的单调增区间为 和 ，单调减区间为 ；
综上所述，当 时， 的单调增区间为 和 ，单调减区间为 ；
当 时， 的单调增区间为 ；
当 时， 的单调增区间为 和 ，单调减区间为 ；
当 时， 的单调增区间为 ，单调减区间为 .
（2）解：因为 ，所以 有一个零点 ，
由于 有两个零点，所以 只有一个不是1的零点，
令 ， ，
当 时， 恒成立，所以 在 上单调递增，
对任意 ， ， ，
由零点存在定理 在 上存在零点，
因为 在 上单调递增，所以 只有一个不是1的零点，
所以当 时，满足题意；
当 时， 无零点，舍去；
当 时，令 ，解得： ，
令 ，解得： ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以 在 取得极小值，也是最小值，
所以函数 ，
依题意 只有一个不是1的零点，
由于当 时， ，且 在 上单调递减，在 上单调递增，
则 或 ，
解得： 或 ，
综上所得， 的取值范围为 ， .
【知识点】利用导数研究函数的单调性；函数零点存在定理
【解析】【分析】 (1)求导，分类讨论，根据导数与函数单调性的关系，即可判断函数f(x)的单调性；
(2)由题意构造辅助函数 ，求导，根据函数的单调性求得g(x)的最值，由 只有一个不是1的零点，即可求得a的取值范围.
19．（2021高二上·舟山期末）已知函数，为的导函数．
（1）求的定义域和导函数；
（2）当时，求函数的单调区间；
（3）若对，都有成立，且存在，使成立，求实数a的取值范围．
【答案】（1）解：的定义域为，；
（2）解：当时，，
恒成立，所以在和上递减；
（3）解：若对，都有成立，
即，即，
令，，则，
对于函数，，
当时，，当时，，
所以函数在上递增，在上递减，
所以，
当时，，
所以，所以，
故恒成立，在为减函数，
所以，所以，
由（1）知，，所以，
记，
令，，则原式的值域为，
因为存在，使成立，
所以，，所以，
综上，．
【知识点】函数的定义域及其求法；函数恒成立问题；导数的加法与减法法则；导数的乘法与除法法则；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】（1）利用分式函数的定义域合对数函数的定义域，再结合交集的运算法则，进而求出函数 的定义域，再利用导数的运算法则，进而求出函数 的导函数。
（2）利用a的值求出函数的解析式，再利用求导的方法判断函数的单调性，从而求出函数的单调区间。
（3） 若对，都有成立，则恒成立，令，，再利用求导的方法判断函数的单调性，进而求出函数的最值，所以，当时，，所以，故恒成立，再利用求导的方法判断函数的单调性，得出函数的最小值，所以，由（1）知，，再利用代入法得出，记，令，，再利用二次函数的图象求值域的方法得出函数的值域，从而得出存在，使成立，进而得出实数a的取值范围。
1 / 1高中数学人教A版（2019）选择性必修二 5.3 导数在研究函数中的应用 函数的单调性
一、单选题
1．（2021高三上·诸暨期末）已知，满足，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·桂林模拟）设是函数的导函数，若，且对，且总有，则下列选项正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2022·马鞍山模拟）若仅存在一条直线与函数（）和的图象均相切，则实数（ ）
A．e B． C．2e D．
4．（2021高三上·湖北月考）已知函数，若不等式在区间上恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
5．（2022·眉山模拟）函数的单调递减区间为（ ）
A． B． C． D．
6．（2021高二上·大同期末）已知函数（m＞0）的单调递减区间为，若，则m的最大值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．6
7．（2021高二上·长沙期末）已知函数是定义在上的奇函数，是的导函数，且，当时，则使得成立的的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
8．（2022·攀枝花模拟）已知函数 ，若关于 的不等式 恒成立，则实数 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
9．（2021高三上·河南月考）已知定义在上的函数满足，且有，则的解集为（ ）
A． B． C． D．
10．（同步练习册数学选择性必修 周周清7【xm】）函数fx)的导函数f'(x)的图象如图所示，那么f(x)的图象最有可能是（ ）
A． B．
C． D．
11．（同步练习册数学选择性必修 周周清7【xm】）若函数f(x)=x2- lnx+1在其定义域内的一个子区间(k-1，k+1)内不是单调函数，则实数k的取值范围为（ ）
A．[1，+∞) B．[1. ) C．[1，2) D．[ ，2)
12．（同步练习册数学选择性必修 单元卷（二）【xm】）若函数f(x)=2x3+ax2+1(a为常数)在区间(-∞，0)和(2，＋∞)上单调递增，且在区间(0，2)上单调递减，则a的值为（ ）
A．1 B．2 C．-6 D．-12
二、填空题
13．（2022高二下·桐乡开学考）若函数 在 上有两个不同的零点，则实数 的取值范围为 .
14．（2021高二上·长沙期末）已知函数在上是单调递增函数，则实数的取值范围是 .
15．（同步练习册数学选择性必修 单元卷（二）【xm】）已知函数f(x)=x3-3ax2-bx，其中 a ，b为实数.若f(x)在区间[-1，2]上为减函数，且b=9a，则a的取值范围是 .
16．（2021高三上·东莞月考）函数f(x)＝1＋x＋cosx在上的单调递增区间是 .
三、解答题
17．（2021高三上·上虞期末）已知函数，为自然对数的底数，．
（1）讨论函数的单调性；
（2）当时，证明：．
18．（2022高三下·大连开学考）已知函数 ．
（1）讨论函数 的单调性；
（2）若函数 有两个不同的零点，求 的取值范围．
19．（2021高二上·舟山期末）已知函数，为的导函数．
（1）求的定义域和导函数；
（2）当时，求函数的单调区间；
（3）若对，都有成立，且存在，使成立，求实数a的取值范围．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】，
又，
，
若，则不满足条件，
若、时， ，不满足条件，
当、时，成立；
又因为函数的图像恒在上方，
设，，所以，
构造函数，，，
令，（），
，且在定义域内单调递增，故，
因此可知，所以在范围内单调递增，，
。
故选：D
【分析】利用，再利用，得出，再结合分类讨论的方法结合不等式的性质和对数函数的单调性，得出当、时，成立，再利用当时的函数的图像恒在上方，设，再利用，所以，构造函数，，再结合求导的方法判断函数的单调性，从而求出函数的值域，因此可知，所以在范围内单调递增，所以，，进而找出正确的选项。
2．【答案】D
【知识点】函数单调性的性质；利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】由，得在R上单调递增
因为，所以，A不正确；
对，且，总有，可得函数的图象是向上凸，可用如图的图象来表示，
由表示函数图象上各点处的切线的斜率，由函数图象可知，
随着x的增大，的图象越来越平缓，即切线的斜率越来越小，
所以，B不正确；
，表示点与点连线的斜率，
由图可知，所以D符合题意，C不正确．
故答案为：D．
【分析】根据题意由已知条件即可得出函数的单调性，由此作出函数的图象结合数形结合法，结合切线的性质以及函数的单调性，由此对选项逐一判断即可得出答案。
3．【答案】C
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【解答】设直线与的切点为，
由可知，该直线的斜率为，即该直线的方程为，
即为，
设直线与的切点为，
由可知，该直线的斜率为，即该直线的方程为，
即为，
∵仅存在一条直线与函数（）和的图象均相切，
∴ ，∴即，
令，则，
当时，即，当时，即，
即在上单调递增，在上单调递减，则在处取得最大值，，图像为
∵切线只有一条，即的值唯一，∴只有。
故答案为：C.
【分析】设直线与函数的切点为，再利用求导的方法求出函数在切点处的切线的方程，即为，设直线与的切点为，再利用求导的方法求出函数（）在切点处的切线的方程，即为，利用仅存在一条直线与函数（）和的图象均相切，所以，令，再利用求导的方法判断函数的单调性，进而求出函数的最大值，再结合函数的图像结合切线只有一条，得出的值唯一，进而得出a的值。
4．【答案】A
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】解：由已知可得即为，
设，，
则，
当时，显然，当时，在上也成立，
所以时，在上单调递减，恒成立；
当时，当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
于是，存在，使得，不满足，舍去此情况，
综上所述，.
故答案为：A.
【分析】由已知可得即为，设，，求出函数的导函数，分和讨论函数的单调性，求出函数在区间上的最小值，即可得答案。
5．【答案】A
【知识点】利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】由题可知，由，解得.
所以单调递减区间为.
故答案为：A.
【分析】首先对函数求导，由导函数的性质即可得出x的取值范围，由此即可得出函数的单调区间。
6．【答案】D
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】由，可得，（m＞0）
令，解得，
即函数（m＞0）的单调递减区间为，
∴，
∴，即m的最大值为6.
故答案为：D
【分析】根据题意首先对函数求导，由函数的单调性即可得出导函数的正负，由此求解出x的取值范围，结合已知条件由函数的单调性即可求出m的取值范围，从而即可得出m的最大值。
7．【答案】B
【知识点】函数单调性的性质；奇函数与偶函数的性质；利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解：由题意可知，函数是奇函数，
令函数，则函数为偶函数，
又当时，，
所以函数在上单调递减，
根据对称性可知，函数在上单调递增，
又，所以，所以，
函数的大致图象如图所示：
数形结合可知，使得成立的的取值范围是，，．
故答案为：B．
【分析】由已知条件结合函数的奇偶性整理化简即可得出函数的解析式，然后由导函数的性质即可得出函数的单调性，由函数的单调性即可求出函数的图象，利用数形结合法即可求出不等式的解集。
8．【答案】D
【知识点】函数单调性的性质；利用导数研究函数的单调性；不等式的综合；分段函数的应用
【解析】【解答】当 时，由 恒成立，二次函数的对称轴为 ，
（1）当 时， 在 上单调递减，则 恒成立，
（2）当 时， ，所以
综上可知，当 时， 在 上恒成立；
当 时， 恒成立，即 在 上恒成立，
令 ，则 ，
当 时， ，函数单增，又 ，所以 ；
综上可知， 的取值范围是 ，
故答案为：D
【分析】根据题意由已知条件，结合二次函数的图象和性质即可得出不等式恒成立，然后由分离参数法得出关于a的不等式，构造函数再对其求导结合导函数的性质即可得出函数g(x)的单调性，由函数的单调性即可得出函数的最值，由此即可得出a的取值范围。
9．【答案】B
【知识点】函数单调性的性质；利用导数研究函数的单调性；不等式的综合
【解析】【解答】设，则，
所以函数在上单调递增，又，所以．
又等价于，即，所以，
即所求不等式的解集为．
故答案为：B
【分析】根据题意设出，然后对其求导结合导函数的性质即可得出函数的单调性，由函数的单调性即可得出不等式，即从而求解出x的取值范围，由此即可得出不等式的解集。
10．【答案】B
【知识点】函数的图象；利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】由题意可得在(-∞，-2)，(-1，+∞)上，f'(x)＜0，f(x)单调递减；在(-2，-1)上，f'(x)>0，f(x)单调递增，从而得出结论.
故答案为：B
【分析】利用已知条件结合求导的方法判断函数的单调性，再结合导函数的图象，从而找出函数最可能的图象。
11．【答案】B
【知识点】利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解：显然函数f(x)的定义域为(0，+∞) ， ．
由f'(x)>0，得函数f(x)的单调递增区间为；
由f'(x)<0，得函数f(x)单调递减区间为．
因为函数在区间 (k-1，k+1) 上不是单调函数，
所以 ，解得 ，
又因为(k-1，k+1) 为定义域内的一个子区间，
所以k-1≥0 ，解得k≥1 ．
综上可知实数k的取值范围是 ．
故答案为：B
【分析】利用导数研究函数的单调性求解即可.
12．【答案】C
【知识点】利用导数研究函数的单调性；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】令 ，得 或 .
由题意，知 的两根为0，2，所以 ，
所以 。
故答案为：C
【分析】利用求导的方法判断函数的单调性，进而求出函数的极值点，再结合已知条件得出 的两根为0，2，再利用韦达定理得出a的值。
13．【答案】
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；函数的零点与方程根的关系；函数零点存在定理；函数的零点
【解析】【解答】解：令
则m=x2-2lnx ，
令g(x)= x2-2lnx，
则由知，
g(x)在 上单调递减，在[1，e]上单调递增
且[g(x)]min=g(1)=1 ， ， .
显然，
作出函数v的图像，如下图所示：
所以 函数 在 上有两个不同的零点，
则实数m的取值范围为 .
故答案为： .
【分析】利用导数研究函数的单调性与最值，结合参数分离与数形结合思想求解即可.
14．【答案】k≥1
【知识点】函数单调性的性质；利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解：若在上是单调递增函数，
则在上恒成立，
即，，
故k≥1，
故答案为：k≥1
【分析】首先对函数求导，由函数的单调性即可得出导函数的正负，结合一元二次不等式与一元二次方程之间的关系，求解出k的取值范围即可。
15．【答案】[1，+∞)
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】由题知 对 恒成立， ，所以 ，即 对 恒成立.因为 ，所以 对 恒成立，容易求得 。
【分析】由题可知 对 恒成立， ，所以 对 恒成立，再利用 ，所以 对 恒成立，再利用不等式恒成立问题求解方法，再结合函数求最值的方法，进而求出的最值，从而求出实数a的取值范围。
16．【答案】
【知识点】利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】f′(x)＝－sinx.
由，解得0所以f(x)在上的单调递增区间是.
故答案为：
【分析】根据题意，求出函数的导数，由函数导数与单调性的关系结合正弦函数的性质可求得x的取值范围，进而得出f(x)在上的单调递增区间.
17．【答案】（1）解：函数的定义域为，求导得：，
当时，，则在上单调递增，
当时，当时，，当时，，则在上单调递增，在上单调递减，
所以当时，在上单调递增，当时，在上单调递增，在上单调递减.
（2）解：当时，，，
令，则，当时，，当时，，
于是得在上递增，在上递减，则有，即，当且仅当时取“=”，
令，求导得：，显然函数在上单调递增，
而，则当时，，即，当时，，即，
于是有在上单调递减，在上单调递增，则，
即，当且仅当时取“=”，
因不等式与等号成立的条件不一致，则，
所以成立.
【知识点】利用导数研究函数的单调性
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合分类讨论的方法，再结合求导的方法判断函数的单调性，进而讨论出函数的单调性。
（2） 当时，得出函数的解析式，即，再利用，令，再利用求导的方法判断函数的单调性，从而求出函数的最大值，即，令，再利用求导的方法判断函数的单调性，从而求出函数的最小值，即，再利用不等式与等号成立的条件不一致，则，从而证出不等式成立。
18．【答案】（1）解： ，
①当 时， 恒成立，
令 ，则 ，所以 的单调增区间为 ，
令 ，则 ，所以 的单调减区间为 ；
②当 时，令 ，则 或 ，
（ⅰ）当 ，即 时，
令 ，则 或 ，令 ，则 ，
所以 的单调增区间为 和 ，单调减区间为 ；
（ⅱ）当 ，即 时，
当 时， ， ，所以 ，同理 时， ，
故 的单调增区间为 ；
（ⅲ）当 ，即 时，
令 ，则 或 ，令 ，则 ，
所以 的单调增区间为 和 ，单调减区间为 ；
综上所述，当 时， 的单调增区间为 和 ，单调减区间为 ；
当 时， 的单调增区间为 ；
当 时， 的单调增区间为 和 ，单调减区间为 ；
当 时， 的单调增区间为 ，单调减区间为 .
（2）解：因为 ，所以 有一个零点 ，
由于 有两个零点，所以 只有一个不是1的零点，
令 ， ，
当 时， 恒成立，所以 在 上单调递增，
对任意 ， ， ，
由零点存在定理 在 上存在零点，
因为 在 上单调递增，所以 只有一个不是1的零点，
所以当 时，满足题意；
当 时， 无零点，舍去；
当 时，令 ，解得： ，
令 ，解得： ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以 在 取得极小值，也是最小值，
所以函数 ，
依题意 只有一个不是1的零点，
由于当 时， ，且 在 上单调递减，在 上单调递增，
则 或 ，
解得： 或 ，
综上所得， 的取值范围为 ， .
【知识点】利用导数研究函数的单调性；函数零点存在定理
【解析】【分析】 (1)求导，分类讨论，根据导数与函数单调性的关系，即可判断函数f(x)的单调性；
(2)由题意构造辅助函数 ，求导，根据函数的单调性求得g(x)的最值，由 只有一个不是1的零点，即可求得a的取值范围.
19．【答案】（1）解：的定义域为，；
（2）解：当时，，
恒成立，所以在和上递减；
（3）解：若对，都有成立，
即，即，
令，，则，
对于函数，，
当时，，当时，，
所以函数在上递增，在上递减，
所以，
当时，，
所以，所以，
故恒成立，在为减函数，
所以，所以，
由（1）知，，所以，
记，
令，，则原式的值域为，
因为存在，使成立，
所以，，所以，
综上，．
【知识点】函数的定义域及其求法；函数恒成立问题；导数的加法与减法法则；导数的乘法与除法法则；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】（1）利用分式函数的定义域合对数函数的定义域，再结合交集的运算法则，进而求出函数 的定义域，再利用导数的运算法则，进而求出函数 的导函数。
（2）利用a的值求出函数的解析式，再利用求导的方法判断函数的单调性，从而求出函数的单调区间。
（3） 若对，都有成立，则恒成立，令，，再利用求导的方法判断函数的单调性，进而求出函数的最值，所以，当时，，所以，故恒成立，再利用求导的方法判断函数的单调性，得出函数的最小值，所以，由（1）知，，再利用代入法得出，记，令，，再利用二次函数的图象求值域的方法得出函数的值域，从而得出存在，使成立，进而得出实数a的取值范围。
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