高中数学人教A版（2019）选择性必修二 5.3 导数在研究函数中的应用 函数的最大（小）值

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高中数学人教A版（2019）选择性必修二 5.3 导数在研究函数中的应用 函数的最大（小）值
一、单选题
1．（2022高三上·汕头期末）已知函数在区间(0，1)上有最小值，则实数a的取值范围是（　　）
A．(-e，2) B．(-e，1-e) C．(1，2) D．
【答案】A
【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值
【解析】【解答】在区间上单调递增，由题意只需
，
这时存在，使得在区间上单调递减，在区间[x0,1)上单调递增，即函数在区间上有极小值也即是最小值．
所以的取值范围是.
故答案为：A
【分析】根据题意对函数求导，由导函数的性质即可得出函数的单调性，再由函数的单调性结合极值的定义，即可得出答案。
2．函数 在区间 上的最大值是（　　）
A．10 B．-71 C．-15 D．-22
【答案】A
【考点】利用导数求闭区间上函数的最值
【解析】【解答】 ，今 ，得 ，当 时，函数有极大值 时函数有极小值 ，而 ，所以最大值是 。
故答案为：A
【分析】利用已知条件结合求导的方法判断函数的单调性，从而求出函数的极值，进而结合比较法求出函数在给定区间的最大值。
3．函数 与 的最小值分别为a，b，则（　　）
A． B．
C． D．a，b的大小不能确定
【答案】A
【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值
【解析】【解答】 的定义域是 ，
令 ，解得 ，今 ，解得 ， 在 上单调递减，在 上单调递增， 的最小值是 ，故 ，
，定义域为
今 ，则 ， ，
则可得 在 上单调递增，且 ，
故存在 ，使得 ，即 ，即
当 时， ，函数 单调递减;
当 时， ，函数 单调递增.故当 时，函数取得最小值为 ，即 ，所以 。
故答案为：A.
【分析】利用已知条件结合求导的方法判断函数的单调性，从而求出函数的极值，再结合比较法求出函数的最小值，再利用函数 与 的最小值分别为a，b，从而求出a,b的值，进而比较出a,b的大小关系。
4．（2021高三上·太原期中）若 是函数 的极值点，则函数（　　）
A．有最小值 ，无最大值
B．有最大值 ，无最小值
C．有最小值 ，最大值
D．无最大值，无最小值
【答案】A
【考点】函数在某点取得极值的条件；利用导数求闭区间上函数的最值
【解析】【解答】由题设， 且 ，
∴ ，可得 .
∴ 且 ，
当 时 ， 递减；当 时 ， 递增；
∴ 有极小值 ，无极大值.
综上，有最小值 ，无最大值。
故答案为：A
【分析】利用已知条件结合求导的方法判断函数的单调性，从而求出函数的极值点，再利用 是函数 的极值点， 从而求出实数a的值，再利用求导的方法求出函数的最值。
5．（2021高三上·广东月考）已知函数 ， ,若 都有 ，则实数 的取值范围为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值
【解析】【解答】解：函数g(x)的导数g'(x)= 3x2-2x=x(3x-2)，
所以函数g(x)在上单调递减，则上单调递增，
，g(2)=8-4-5=-1，
若对任意的，都有f(x1)-g(x2)≥2成立，
即当时，f(x)≥1恒成立，即恒成立，
即a≥x- x2·lnx在上恒成立，令h(x)=x- x2·lnx，h'(x)=1-2xlnx-x，h"(x)=-3-2lnx，
当在时，h"(x)=-3-2lnx<0，即h'(x)=-1-2xlnx-x在上单调递减，
由于h'(1)=0，当时，h'(x)>0，当1≤x≤2时，h'(x)<0，
所以h(x)≤h(1)=1，
所以a≥1，
故a的取值范围是a≥1.
故答案为：B
【分析】根据化归思想，将不等式成立问题等价转化为求函数的最值问题，再利用导数研究函数的单调性、最值求解即可.
6．（2021高二上·重庆月考）函数 直线 与 的图象相交于A、B两点，则 的最小值为（　　）
A．3 B． C． D．
【答案】C
【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值
【解析】【解答】联立 解得 可得点 ．联立 解得 可得点 ．由题意可得 解得 ，令 ，其中 ，∴ ．∴函数 单调递减； ．因此， 的最小值为 ．
故答案为：C
【分析】先求出A,B坐标，表示出， 规定函数 ，其中 ，利用导数求最小值。
7．（2021高三上·广东开学考）若函数 在 上存在单调递减区间，则实数 的取值范围为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值
【解析】【解答】因为 在 上存在单调递减区间，所以 在 上有解，所以当 时 有解，而当 时， ， （此时 ），所以 ，所以 的取值范围是 。
故答案为：B.
【分析】利用函数 在 上存在单调递减区间，再利用求导的方法判断函数的单调性，所以 在 上有解，所以当 时 有解，而当 时， ， 再利用二次函数的图像求最值的方法，从而求出，进而求出实数 的取值范围。
8．（2021高二下·天津期末）已知函数 在 处取得极小值-3，且 在区间 上存在最小值，则 的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数求闭区间上函数的最值
【解析】【解答】由题意函数 在 处取得极小值 ，则有
，则 ，解得 ，又因为 在区间 上存在最小值， ，当 或 时 ，当 时， ，所以函数 在 上单调递增，在 上单调递减，在 上单调递增，故函数 的极小值为 ，令 ，则 或 ，因为 区间 上存在最小值，则有 ，则有 ，则 .
故答案为：D
【分析】 由f(x)在x = 1处取得极小值-3，得f'(1)=0且f(1)=3，解得a, b,对g(x)求导，得g' (x)的单调性，进而可得g (x)的最值，即可得出c的取值范围，即可得出答案.
9．（2021高二下·重庆期末）已知函数 ， ，若对任意 ，存在 ，使 ，则实数b的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值
【解析】【解答】因为对任意 ，存在 ，使 ，
所以 即可。
，
所以 ， ， 为减函数， ， ， 为增函数，
所以
又因为 ，对称轴为
当 时， 在 为增函数， ，
所以 ，无解
当 时， 在 为减函数，在 为增函数，
所以 ，
所以
当 时， 在 为减函数， ，
所以
综上：
故答案为：C
【分析】 首先对f (x)进行求导,利用导数研究函数f (x)的最值问题，根据题意对任意 ，存在 ，使 ,只要f(x)的最小值大于等于g (x)的最小值即可，对g (x)的图象进行讨论根据对称轴研究g (x)的最值问题，从而进行求解.
10．（2021·佛山模拟）已知函数 ，则下列结论中正确的是（　　）
A．存在实数a，使 有最小值且最小值大于0
B．对任意实数a， 有最小值且最小值大于0
C．存在正实数a和实数 ，使 在 上递减，在 上递增
D．对任意负实数a，存在实数 ，使 在 上递减，在 上递增
【答案】C
【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数求闭区间上函数的最值
【解析】【解答】 ，令 ，则 ，
当 时， 恒成立， 即 在 为增函数， 有且只有一个实根 ，且 时， ， 递减， 时， ， 递增， 是极小值点，也是最小值点．C显然正确．
时， ， ，
时， ， ， ， ，
，B不符合题意，
当 时， ，而 不是最小值点（因为 ），因此存在 ，使得 ，综上得A不符合题意，
由 得 ， ， 或 时， ， 时， ，即 在 和 上递增，在 上递减，
所以 极大值＝ ，当 时， 极大值 ， 极小值＝ ，
因此 即 在 ， ， 上各有一个零点，从小到大依次为 ，
在 ， 上 ， 递减，在 ， 上 ， 递增，D不符合题意．
故答案为：C．
【分析】根据题意首先对函数求导结合导函数的性质即可得出函数f(x)的单调性，再由函数的单调性即可求出函数的最值以及单调区间由此对选项逐一判断即可得出答案。
二、多选题
11．（2021高二上·长沙期末）已知函数，若区间的最小值为-1且最大值为1，则的值可以是（　　）
A．0 B．4 C． D．
【答案】A,B
【考点】利用导数求闭区间上函数的最值
【解析】【解答】，
令，解得或.
①当时，可知在上单调递增，
所以在区间的最小值为，最大值为.
此时，满足题设条件当且仅当，，
即，.A符合题意.
②当时，可知在上单调递减，
所以在区间的最大值为，最小值为.
此时，满足题设条件当且仅当，，
即，.B符合题意.
③当时，可知在的最小值为，
最大值为b或或，，
则，与矛盾.
若，，
则或或，与矛盾.C D不符合题意.
故答案为：AB
【分析】根据题意对函数求导，令求解出x的取值，然后对a分情况讨论即可得出导函数的性质，从而得出函数的单调性，由函数的单调性即可求出函数的最值，结合已知条件计算出a的取值，由此对选项逐一判断即可得出答案。
12．（2021高三上·临沂月考）若函数 在 上有最大值，则a的取值可能为（　　）
A．－6 B．－5 C．－3 D．－2
【答案】A,B
【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值
【解析】【解答】 ，则 ，
当 和 时， ，函数单调递增；
当 时， ，函数单调递减.
在 处取极大值为 .
函数 在 上有最大值，
故 ，且 ，即 ，
解得 .
故答案为：AB.
【分析】根据题意首先对函数求导，由对函数的性质即可得出函数的单调性，结合极值的定义以及已知条件即可求解出a的取值范围。
13．（2021高三上·福州月考）若存在直线 ，使得函数 和 对其公共定义域上的任意实数 都满足 ，则称此直线 为 和 的“隔离直线”，已知函数 ， ， ，下列命题为真命题的是（　　）
A． 在 内单调递增
B． 和 之间存在“隔离直线”，且 的最小值为
C． 和 之间存在“隔离直线”，且 的取值范围是
D． 和 之间存在唯一的“隔离直线”
【答案】A,C,D
【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数求闭区间上函数的最值
【解析】【解答】解：A选项， ，所以 ，
对于函数 ，其判别式 ，
所以 ，令 解得 ，
所以 在区间 内 ， 单调递增，A符合题意．
BC选项，画出 ， 的图象如下图所示，
由图可知， 是“隔离直线”，且 ．
设 （ ， ）分别是 与 图象上的一点，且直线AB是 与 图象的公切线．因为 ，
过A点的切线方程为 ，即 ，
令 ，令 ，则 ，
所以 ，即 ，解得 ．
所以公切线AB方程为 ．
结合图象可知，k的取值范围是 ．
所以B不符合题意，C符合题意．
对于D选项，构造函数 ，
，
所以 在区间 上 ， 单调递减；在区间 上 ， 单调递增．
所以 在定义域 上的极小值也即是最小值为 ，
所以 有唯一零点，也即 与 有唯一公共点 ．
由上述分析可知，公切线方程为 ，D选项正确．
故答案为：ACD．
【分析】 利用导数判断A选项的正确性；.利用公切线,结合图象判断BC选项的正确性；利用公切线结合导数判断D选项的正确性.
三、填空题
14．函数f
(x)=x+2cosx，x∈[0， ]，的最大值是　 　.
【答案】
【考点】利用导数求闭区间上函数的最值
【解析】【解答】 .当 时， ，
所以 在 上单调递增;
当 时， ，所以 在 上单调递减，
所以 。
【分析】利用已知条件结合求导的方法判断函数的单调性，从而求出函数 f (x)=x+2cosx，x∈[0， ]的最大值。
15．已知 ，则曲线 在点 处的切线方程是　 　．若方程 至少有三个不同的实数根，则实数 的取值范围是　 　．
【答案】；
【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【解答】 ， ，曲线 在点 处的切线斜率为 ．
又 ，由点斜式得切线方程为 ，即 ；
，
即 至少有三个不等的实数根．
令 得 ，即
因为 ，令 得 ，令 得 ，
所以在 上单调递增，在 上单调递减
的最大值 ，当 时，函数 的图象无限接近 轴．
令函数 ，函数必须有两个零点为 ， 才能满足题意，
①当 ， 时， ， ，解得 不符合题意；
②当 ， 时， ，此时方程化为 ，解得 不符合题意；
③当 ， ，则 ，即 ，解得 ．
④当 时， ，至少有一个根小于 ，不成立；
综上所述： .，
故答案为： ； .
【分析】对求得切线的斜率，再由点斜式方程，可得切线方程；令 得，求导可得的单调性，进而求出的最值，令函数 ，分 ， ， ， ， ， ，，四种情况求解可得实数 的取值范围 。
16．（2021高三上·珠海月考）函数 的最大值为　 　．
【答案】
【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值
【解析】【解答】 ，
所以 在 递增，在 递减，
所以当 时， 取得最大值为 .
故答案为：
【分析】根据题意对函数求导，由导函数的性质即可得出函数的单调性，再由函数的单调性即可求出函数的最值。
四、解答题
17．（2022高三下·哈尔滨开学考）设函数 ．
（1）若 恒成立，求整数k的最大值．
（2）求证： ．
请考生在22，23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分．
【答案】（1）解：原不等式即 ，
令 ，则 ，
令 ，则 对 恒成立，
∴ 在 上单调递增，
∵ ， ， ， ，
∴存在 ，使得 ，即 ，
从而当 时，有 ， ，∴ 在 上单调递增；
当 时，有 ， ，∴ 在 上单调递减．
∴ ，
∴ ， ．
（2）证明：由（1）知 恒成立，
∴ ．
令 ，则 ．
∴
，即 ，
∴ ．
【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值；不等关系与不等式
【解析】【分析】（1）将不等式变形为 ，构造函数 ，利用导数研究函数h(x)的单调性并确定其最值，从而得到正整数k的最大值；
（2）根据（1）的结论得到 ，利用不等式的基本性质可证得结论.
18．（2021高二上·舟山期末）已知函数，为的导函数．
（1）求的定义域和导函数；
（2）当时，求函数的单调区间；
（3）若对，都有成立，且存在，使成立，求实数a的取值范围．
【答案】（1）解：的定义域为，；
（2）解：当时，，
恒成立，所以在和上递减；
（3）解：若对，都有成立，
即，即，
令，，则，
对于函数，，
当时，，当时，，
所以函数在上递增，在上递减，
所以，
当时，，
所以，所以，
故恒成立，在为减函数，
所以，所以，
由（1）知，，所以，
记，
令，，则原式的值域为，
因为存在，使成立，
所以，，所以，
综上，．
【考点】函数的定义域及其求法；函数恒成立问题；导数的加法与减法法则；导数的乘法与除法法则；利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值
【解析】【分析】（1）利用分式函数的定义域合对数函数的定义域，再结合交集的运算法则，进而求出函数 的定义域，再利用导数的运算法则，进而求出函数 的导函数。
（2）利用a的值求出函数的解析式，再利用求导的方法判断函数的单调性，从而求出函数的单调区间。
（3） 若对，都有成立，则恒成立，令，，再利用求导的方法判断函数的单调性，进而求出函数的最值，所以，当时，，所以，故恒成立，再利用求导的方法判断函数的单调性，得出函数的最小值，所以，由（1）知，，再利用代入法得出，记，令，，再利用二次函数的图象求值域的方法得出函数的值域，从而得出存在，使成立，进而得出实数a的取值范围。
19．（2022·宝鸡模拟）已知函数
（1）当时，求函数在区间上最大值和最小值；
（2）令，当函数恰有两个极值点时，求实数的取值范围.
【答案】（1）解：因为 ，所以
当 时，，
因为 ，所以，
所以在上单调递增，
，
（2）解： ，则
由于函数恰有两个极值点，所以在上有两个零点，
且在两个零点的附近变号.
设，则，
当时，，故在上单调递增，
在上至多一个零点，与题设矛盾，故舍.
当时，
若，则；若，则，
故在上为减函数，在为增函数，
所以，
因为在上有两个不同的零点，故即.
当时，，故，
而，，
令，
则，故在上为减函数，
故即，
由的单调性及零点存在定理可得：
当时，在上有两个零点.
【考点】利用导数研究函数的单调性；函数在某点取得极值的条件；利用导数求闭区间上函数的最值；函数零点的判定定理
【解析】【分析】（1）利用a的值求出函数的解析式，再结合求导的方法判断函数的单调性，进而求出函数在区间上最大值和最小值 。
（2）利用函数f(x)的解析式求出函数 ，再利用求导的方法判断函数的单调性，从而求出函数的极值点，由于函数恰有两个极值点，所以在上有两个零点，且在两个零点的附近变号，设，再利用求导的方法判断函数的单调性，再结合零点存在性定理和已知条件，得出函数在上至多一个零点，与题设矛盾，故舍；再利用求导的方法判断函数的单调性，进而求出函数的最小值，再利用函数零点存在性定理结合函数在上有两个不同的零点，故，即，当时，故，而，，令，再利用求导的方法判断函数的单调性，从而求出函数的值域，故，即，由的单调性及零点存在定理可得，当时，在上有两个零点，从而得出当函数恰有两个极值点时的实数的取值范围 。
20．（2022·岳阳模拟）已知函数，，其中t为实数．
（1）当时，讨论函数的单调性；
（2）当时，若恒成立，求最大的整数t．
【答案】（1）解：，令，则
当时，，对恒成立
所以在时单调递减
当时，时
当时
所以在时单调递增，在时单调递减
综上所述，当时在时单调递减
当时在时单调递增，在单调递减
（2）解：记
则，
当时，，
所以
当时，，
所以
所以在时单调递增，在时单调递减
所以当时，有极大值也是最大值，且
所以，所以恒成立，只要即可
令，则
当时，，当时，，
所以在时单调递减，在是单调递增
所以时取到最小值，且
又，，所以时最大的整数t取2
综上所述，当时，若恒成立，则最大的整数t为2.
【考点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数求闭区间上函数的最值
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合分类讨论的方法，再结合求导的方法判断函数的单调性，进而讨论出函数的单调性。
（2） 记，再利用分类讨论的方法结合求导的方法判断函数的单调性，进而求出函数的的极大值也是最大值，所以，所以恒成立，再利用不等式恒成立问题求解方法，只要即可，令，再利用求导的方法判断函数的单调性，从而求出函数的最小值，即，再利用代入法得出，，所以，进而求出最大的整数t的值，从而得出当时，若恒成立时的最大的整数t的值。
21．（2021高三上·海淀期末）函数.
（1）求曲线在点处的切线方程；
（2）当时，求函数在上的最小值；
（3）直接写出的一个值，使恒成立，并证明.
【答案】（1）解：由，知，切点为
求导，则切线斜率
所以切线方程为：，即
（2）解：求导，
，，，所以函数在上单调递增，
，即函数在上的最小值为.
（3）解：取，下面证明恒成立，即证恒成立，
令，即证恒成立
求导，
（i）当时，，，此时
所以函数在上单调递减，，即成立
（ii）当时，令，，
因为，，所以，所以函数在上单调递增，
，所以函数在上单调递增，，
综上可知，恒成立，即恒成立
【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【分析】(1)求出f (0)及f (x)的导函数，从而可得f' (0)，利用点斜式方程求解即可得曲线在点处的切线方程；
(2)利用导数求出f (x )的单调性，即可求解出函数在上的最小值；
(3)取 ，证明证明恒成立，即证恒成立，令，利用导数分别证得当x∈(-∞，0)和x∈(0, +∞)时, g(x)≥0即可.
22．（2022·巴中模拟）已知函数 .
（1）若曲线 在点 处的切线方程为 ，求a的值；
（2）若 恒成立，求a的取值范围
【答案】（1）解：∵ ， ,
∴ ,
∵曲线 在点 处的切线方程为 ,
∴ ，即 ，
解得 ；
（2）解： 恒成立，即 恒成立，
即 ，
令 ，
则 ，故 在 上是单调递增函数，
∴ ，
∴ ，即 ，
令 ，则 ，
当 时， ，此时 单调递增，
当 时， ，此时 单调递减，
∴ ，
故 ，则 ，
即 .
【考点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合求导的方法和代入法，进而求出曲线在切点处的切线的方程，再利用曲线 在点 处的切线方程为 ， 从而求出a的值。
（2）利用 恒成立，即 恒成立，即 ，令 ，再利用求导的方法判断函数的单调性，进而求出函数的最小值，所以 ，令 ，再利用求导的方法判断函数的单调性，从而求出函数的最大值，所以 ，再结合对数函数的单调性得出实数a的取值范围。
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高中数学人教A版（2019）选择性必修二 5.3 导数在研究函数中的应用 函数的最大（小）值
一、单选题
1．（2022高三上·汕头期末）已知函数在区间(0，1)上有最小值，则实数a的取值范围是（　　）
A．(-e，2) B．(-e，1-e) C．(1，2) D．
2．函数 在区间 上的最大值是（　　）
A．10 B．-71 C．-15 D．-22
3．函数 与 的最小值分别为a，b，则（　　）
A． B．
C． D．a，b的大小不能确定
4．（2021高三上·太原期中）若 是函数 的极值点，则函数（　　）
A．有最小值 ，无最大值
B．有最大值 ，无最小值
C．有最小值 ，最大值
D．无最大值，无最小值
5．（2021高三上·广东月考）已知函数 ， ,若 都有 ，则实数 的取值范围为（　　）
A． B． C． D．
6．（2021高二上·重庆月考）函数 直线 与 的图象相交于A、B两点，则 的最小值为（　　）
A．3 B． C． D．
7．（2021高三上·广东开学考）若函数 在 上存在单调递减区间，则实数 的取值范围为（　　）
A． B． C． D．
8．（2021高二下·天津期末）已知函数 在 处取得极小值-3，且 在区间 上存在最小值，则 的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
9．（2021高二下·重庆期末）已知函数 ， ，若对任意 ，存在 ，使 ，则实数b的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
10．（2021·佛山模拟）已知函数 ，则下列结论中正确的是（　　）
A．存在实数a，使 有最小值且最小值大于0
B．对任意实数a， 有最小值且最小值大于0
C．存在正实数a和实数 ，使 在 上递减，在 上递增
D．对任意负实数a，存在实数 ，使 在 上递减，在 上递增
二、多选题
11．（2021高二上·长沙期末）已知函数，若区间的最小值为-1且最大值为1，则的值可以是（　　）
A．0 B．4 C． D．
12．（2021高三上·临沂月考）若函数 在 上有最大值，则a的取值可能为（　　）
A．－6 B．－5 C．－3 D．－2
13．（2021高三上·福州月考）若存在直线 ，使得函数 和 对其公共定义域上的任意实数 都满足 ，则称此直线 为 和 的“隔离直线”，已知函数 ， ， ，下列命题为真命题的是（　　）
A． 在 内单调递增
B． 和 之间存在“隔离直线”，且 的最小值为
C． 和 之间存在“隔离直线”，且 的取值范围是
D． 和 之间存在唯一的“隔离直线”
三、填空题
14．函数f
(x)=x+2cosx，x∈[0， ]，的最大值是　 　.
15．已知 ，则曲线 在点 处的切线方程是　 　．若方程 至少有三个不同的实数根，则实数 的取值范围是　 　．
16．（2021高三上·珠海月考）函数 的最大值为　 　．
四、解答题
17．（2022高三下·哈尔滨开学考）设函数 ．
（1）若 恒成立，求整数k的最大值．
（2）求证： ．
请考生在22，23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分．
18．（2021高二上·舟山期末）已知函数，为的导函数．
（1）求的定义域和导函数；
（2）当时，求函数的单调区间；
（3）若对，都有成立，且存在，使成立，求实数a的取值范围．
19．（2022·宝鸡模拟）已知函数
（1）当时，求函数在区间上最大值和最小值；
（2）令，当函数恰有两个极值点时，求实数的取值范围.
20．（2022·岳阳模拟）已知函数，，其中t为实数．
（1）当时，讨论函数的单调性；
（2）当时，若恒成立，求最大的整数t．
21．（2021高三上·海淀期末）函数.
（1）求曲线在点处的切线方程；
（2）当时，求函数在上的最小值；
（3）直接写出的一个值，使恒成立，并证明.
22．（2022·巴中模拟）已知函数 .
（1）若曲线 在点 处的切线方程为 ，求a的值；
（2）若 恒成立，求a的取值范围
答案解析部分
1．【答案】A
【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值
【解析】【解答】在区间上单调递增，由题意只需
，
这时存在，使得在区间上单调递减，在区间[x0,1)上单调递增，即函数在区间上有极小值也即是最小值．
所以的取值范围是.
故答案为：A
【分析】根据题意对函数求导，由导函数的性质即可得出函数的单调性，再由函数的单调性结合极值的定义，即可得出答案。
2．【答案】A
【考点】利用导数求闭区间上函数的最值
【解析】【解答】 ，今 ，得 ，当 时，函数有极大值 时函数有极小值 ，而 ，所以最大值是 。
故答案为：A
【分析】利用已知条件结合求导的方法判断函数的单调性，从而求出函数的极值，进而结合比较法求出函数在给定区间的最大值。
3．【答案】A
【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值
【解析】【解答】 的定义域是 ，
令 ，解得 ，今 ，解得 ， 在 上单调递减，在 上单调递增， 的最小值是 ，故 ，
，定义域为
今 ，则 ， ，
则可得 在 上单调递增，且 ，
故存在 ，使得 ，即 ，即
当 时， ，函数 单调递减;
当 时， ，函数 单调递增.故当 时，函数取得最小值为 ，即 ，所以 。
故答案为：A.
【分析】利用已知条件结合求导的方法判断函数的单调性，从而求出函数的极值，再结合比较法求出函数的最小值，再利用函数 与 的最小值分别为a，b，从而求出a,b的值，进而比较出a,b的大小关系。
4．【答案】A
【考点】函数在某点取得极值的条件；利用导数求闭区间上函数的最值
【解析】【解答】由题设， 且 ，
∴ ，可得 .
∴ 且 ，
当 时 ， 递减；当 时 ， 递增；
∴ 有极小值 ，无极大值.
综上，有最小值 ，无最大值。
故答案为：A
【分析】利用已知条件结合求导的方法判断函数的单调性，从而求出函数的极值点，再利用 是函数 的极值点， 从而求出实数a的值，再利用求导的方法求出函数的最值。
5．【答案】B
【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值
【解析】【解答】解：函数g(x)的导数g'(x)= 3x2-2x=x(3x-2)，
所以函数g(x)在上单调递减，则上单调递增，
，g(2)=8-4-5=-1，
若对任意的，都有f(x1)-g(x2)≥2成立，
即当时，f(x)≥1恒成立，即恒成立，
即a≥x- x2·lnx在上恒成立，令h(x)=x- x2·lnx，h'(x)=1-2xlnx-x，h"(x)=-3-2lnx，
当在时，h"(x)=-3-2lnx<0，即h'(x)=-1-2xlnx-x在上单调递减，
由于h'(1)=0，当时，h'(x)>0，当1≤x≤2时，h'(x)<0，
所以h(x)≤h(1)=1，
所以a≥1，
故a的取值范围是a≥1.
故答案为：B
【分析】根据化归思想，将不等式成立问题等价转化为求函数的最值问题，再利用导数研究函数的单调性、最值求解即可.
6．【答案】C
【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值
【解析】【解答】联立 解得 可得点 ．联立 解得 可得点 ．由题意可得 解得 ，令 ，其中 ，∴ ．∴函数 单调递减； ．因此， 的最小值为 ．
故答案为：C
【分析】先求出A,B坐标，表示出， 规定函数 ，其中 ，利用导数求最小值。
7．【答案】B
【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值
【解析】【解答】因为 在 上存在单调递减区间，所以 在 上有解，所以当 时 有解，而当 时， ， （此时 ），所以 ，所以 的取值范围是 。
故答案为：B.
【分析】利用函数 在 上存在单调递减区间，再利用求导的方法判断函数的单调性，所以 在 上有解，所以当 时 有解，而当 时， ， 再利用二次函数的图像求最值的方法，从而求出，进而求出实数 的取值范围。
8．【答案】D
【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数求闭区间上函数的最值
【解析】【解答】由题意函数 在 处取得极小值 ，则有
，则 ，解得 ，又因为 在区间 上存在最小值， ，当 或 时 ，当 时， ，所以函数 在 上单调递增，在 上单调递减，在 上单调递增，故函数 的极小值为 ，令 ，则 或 ，因为 区间 上存在最小值，则有 ，则有 ，则 .
故答案为：D
【分析】 由f(x)在x = 1处取得极小值-3，得f'(1)=0且f(1)=3，解得a, b,对g(x)求导，得g' (x)的单调性，进而可得g (x)的最值，即可得出c的取值范围，即可得出答案.
9．【答案】C
【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值
【解析】【解答】因为对任意 ，存在 ，使 ，
所以 即可。
，
所以 ， ， 为减函数， ， ， 为增函数，
所以
又因为 ，对称轴为
当 时， 在 为增函数， ，
所以 ，无解
当 时， 在 为减函数，在 为增函数，
所以 ，
所以
当 时， 在 为减函数， ，
所以
综上：
故答案为：C
【分析】 首先对f (x)进行求导,利用导数研究函数f (x)的最值问题，根据题意对任意 ，存在 ，使 ,只要f(x)的最小值大于等于g (x)的最小值即可，对g (x)的图象进行讨论根据对称轴研究g (x)的最值问题，从而进行求解.
10．【答案】C
【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数求闭区间上函数的最值
【解析】【解答】 ，令 ，则 ，
当 时， 恒成立， 即 在 为增函数， 有且只有一个实根 ，且 时， ， 递减， 时， ， 递增， 是极小值点，也是最小值点．C显然正确．
时， ， ，
时， ， ， ， ，
，B不符合题意，
当 时， ，而 不是最小值点（因为 ），因此存在 ，使得 ，综上得A不符合题意，
由 得 ， ， 或 时， ， 时， ，即 在 和 上递增，在 上递减，
所以 极大值＝ ，当 时， 极大值 ， 极小值＝ ，
因此 即 在 ， ， 上各有一个零点，从小到大依次为 ，
在 ， 上 ， 递减，在 ， 上 ， 递增，D不符合题意．
故答案为：C．
【分析】根据题意首先对函数求导结合导函数的性质即可得出函数f(x)的单调性，再由函数的单调性即可求出函数的最值以及单调区间由此对选项逐一判断即可得出答案。
11．【答案】A,B
【考点】利用导数求闭区间上函数的最值
【解析】【解答】，
令，解得或.
①当时，可知在上单调递增，
所以在区间的最小值为，最大值为.
此时，满足题设条件当且仅当，，
即，.A符合题意.
②当时，可知在上单调递减，
所以在区间的最大值为，最小值为.
此时，满足题设条件当且仅当，，
即，.B符合题意.
③当时，可知在的最小值为，
最大值为b或或，，
则，与矛盾.
若，，
则或或，与矛盾.C D不符合题意.
故答案为：AB
【分析】根据题意对函数求导，令求解出x的取值，然后对a分情况讨论即可得出导函数的性质，从而得出函数的单调性，由函数的单调性即可求出函数的最值，结合已知条件计算出a的取值，由此对选项逐一判断即可得出答案。
12．【答案】A,B
【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值
【解析】【解答】 ，则 ，
当 和 时， ，函数单调递增；
当 时， ，函数单调递减.
在 处取极大值为 .
函数 在 上有最大值，
故 ，且 ，即 ，
解得 .
故答案为：AB.
【分析】根据题意首先对函数求导，由对函数的性质即可得出函数的单调性，结合极值的定义以及已知条件即可求解出a的取值范围。
13．【答案】A,C,D
【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数求闭区间上函数的最值
【解析】【解答】解：A选项， ，所以 ，
对于函数 ，其判别式 ，
所以 ，令 解得 ，
所以 在区间 内 ， 单调递增，A符合题意．
BC选项，画出 ， 的图象如下图所示，
由图可知， 是“隔离直线”，且 ．
设 （ ， ）分别是 与 图象上的一点，且直线AB是 与 图象的公切线．因为 ，
过A点的切线方程为 ，即 ，
令 ，令 ，则 ，
所以 ，即 ，解得 ．
所以公切线AB方程为 ．
结合图象可知，k的取值范围是 ．
所以B不符合题意，C符合题意．
对于D选项，构造函数 ，
，
所以 在区间 上 ， 单调递减；在区间 上 ， 单调递增．
所以 在定义域 上的极小值也即是最小值为 ，
所以 有唯一零点，也即 与 有唯一公共点 ．
由上述分析可知，公切线方程为 ，D选项正确．
故答案为：ACD．
【分析】 利用导数判断A选项的正确性；.利用公切线,结合图象判断BC选项的正确性；利用公切线结合导数判断D选项的正确性.
14．【答案】
【考点】利用导数求闭区间上函数的最值
【解析】【解答】 .当 时， ，
所以 在 上单调递增;
当 时， ，所以 在 上单调递减，
所以 。
【分析】利用已知条件结合求导的方法判断函数的单调性，从而求出函数 f (x)=x+2cosx，x∈[0， ]的最大值。
15．【答案】；
【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【解答】 ， ，曲线 在点 处的切线斜率为 ．
又 ，由点斜式得切线方程为 ，即 ；
，
即 至少有三个不等的实数根．
令 得 ，即
因为 ，令 得 ，令 得 ，
所以在 上单调递增，在 上单调递减
的最大值 ，当 时，函数 的图象无限接近 轴．
令函数 ，函数必须有两个零点为 ， 才能满足题意，
①当 ， 时， ， ，解得 不符合题意；
②当 ， 时， ，此时方程化为 ，解得 不符合题意；
③当 ， ，则 ，即 ，解得 ．
④当 时， ，至少有一个根小于 ，不成立；
综上所述： .，
故答案为： ； .
【分析】对求得切线的斜率，再由点斜式方程，可得切线方程；令 得，求导可得的单调性，进而求出的最值，令函数 ，分 ， ， ， ， ， ，，四种情况求解可得实数 的取值范围 。
16．【答案】
【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值
【解析】【解答】 ，
所以 在 递增，在 递减，
所以当 时， 取得最大值为 .
故答案为：
【分析】根据题意对函数求导，由导函数的性质即可得出函数的单调性，再由函数的单调性即可求出函数的最值。
17．【答案】（1）解：原不等式即 ，
令 ，则 ，
令 ，则 对 恒成立，
∴ 在 上单调递增，
∵ ， ， ， ，
∴存在 ，使得 ，即 ，
从而当 时，有 ， ，∴ 在 上单调递增；
当 时，有 ， ，∴ 在 上单调递减．
∴ ，
∴ ， ．
（2）证明：由（1）知 恒成立，
∴ ．
令 ，则 ．
∴
，即 ，
∴ ．
【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值；不等关系与不等式
【解析】【分析】（1）将不等式变形为 ，构造函数 ，利用导数研究函数h(x)的单调性并确定其最值，从而得到正整数k的最大值；
（2）根据（1）的结论得到 ，利用不等式的基本性质可证得结论.
18．【答案】（1）解：的定义域为，；
（2）解：当时，，
恒成立，所以在和上递减；
（3）解：若对，都有成立，
即，即，
令，，则，
对于函数，，
当时，，当时，，
所以函数在上递增，在上递减，
所以，
当时，，
所以，所以，
故恒成立，在为减函数，
所以，所以，
由（1）知，，所以，
记，
令，，则原式的值域为，
因为存在，使成立，
所以，，所以，
综上，．
【考点】函数的定义域及其求法；函数恒成立问题；导数的加法与减法法则；导数的乘法与除法法则；利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值
【解析】【分析】（1）利用分式函数的定义域合对数函数的定义域，再结合交集的运算法则，进而求出函数 的定义域，再利用导数的运算法则，进而求出函数 的导函数。
（2）利用a的值求出函数的解析式，再利用求导的方法判断函数的单调性，从而求出函数的单调区间。
（3） 若对，都有成立，则恒成立，令，，再利用求导的方法判断函数的单调性，进而求出函数的最值，所以，当时，，所以，故恒成立，再利用求导的方法判断函数的单调性，得出函数的最小值，所以，由（1）知，，再利用代入法得出，记，令，，再利用二次函数的图象求值域的方法得出函数的值域，从而得出存在，使成立，进而得出实数a的取值范围。
19．【答案】（1）解：因为 ，所以
当 时，，
因为 ，所以，
所以在上单调递增，
，
（2）解： ，则
由于函数恰有两个极值点，所以在上有两个零点，
且在两个零点的附近变号.
设，则，
当时，，故在上单调递增，
在上至多一个零点，与题设矛盾，故舍.
当时，
若，则；若，则，
故在上为减函数，在为增函数，
所以，
因为在上有两个不同的零点，故即.
当时，，故，
而，，
令，
则，故在上为减函数，
故即，
由的单调性及零点存在定理可得：
当时，在上有两个零点.
【考点】利用导数研究函数的单调性；函数在某点取得极值的条件；利用导数求闭区间上函数的最值；函数零点的判定定理
【解析】【分析】（1）利用a的值求出函数的解析式，再结合求导的方法判断函数的单调性，进而求出函数在区间上最大值和最小值 。
（2）利用函数f(x)的解析式求出函数 ，再利用求导的方法判断函数的单调性，从而求出函数的极值点，由于函数恰有两个极值点，所以在上有两个零点，且在两个零点的附近变号，设，再利用求导的方法判断函数的单调性，再结合零点存在性定理和已知条件，得出函数在上至多一个零点，与题设矛盾，故舍；再利用求导的方法判断函数的单调性，进而求出函数的最小值，再利用函数零点存在性定理结合函数在上有两个不同的零点，故，即，当时，故，而，，令，再利用求导的方法判断函数的单调性，从而求出函数的值域，故，即，由的单调性及零点存在定理可得，当时，在上有两个零点，从而得出当函数恰有两个极值点时的实数的取值范围 。
20．【答案】（1）解：，令，则
当时，，对恒成立
所以在时单调递减
当时，时
当时
所以在时单调递增，在时单调递减
综上所述，当时在时单调递减
当时在时单调递增，在单调递减
（2）解：记
则，
当时，，
所以
当时，，
所以
所以在时单调递增，在时单调递减
所以当时，有极大值也是最大值，且
所以，所以恒成立，只要即可
令，则
当时，，当时，，
所以在时单调递减，在是单调递增
所以时取到最小值，且
又，，所以时最大的整数t取2
综上所述，当时，若恒成立，则最大的整数t为2.
【考点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数求闭区间上函数的最值
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合分类讨论的方法，再结合求导的方法判断函数的单调性，进而讨论出函数的单调性。
（2） 记，再利用分类讨论的方法结合求导的方法判断函数的单调性，进而求出函数的的极大值也是最大值，所以，所以恒成立，再利用不等式恒成立问题求解方法，只要即可，令，再利用求导的方法判断函数的单调性，从而求出函数的最小值，即，再利用代入法得出，，所以，进而求出最大的整数t的值，从而得出当时，若恒成立时的最大的整数t的值。
21．【答案】（1）解：由，知，切点为
求导，则切线斜率
所以切线方程为：，即
（2）解：求导，
，，，所以函数在上单调递增，
，即函数在上的最小值为.
（3）解：取，下面证明恒成立，即证恒成立，
令，即证恒成立
求导，
（i）当时，，，此时
所以函数在上单调递减，，即成立
（ii）当时，令，，
因为，，所以，所以函数在上单调递增，
，所以函数在上单调递增，，
综上可知，恒成立，即恒成立
【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【分析】(1)求出f (0)及f (x)的导函数，从而可得f' (0)，利用点斜式方程求解即可得曲线在点处的切线方程；
(2)利用导数求出f (x )的单调性，即可求解出函数在上的最小值；
(3)取 ，证明证明恒成立，即证恒成立，令，利用导数分别证得当x∈(-∞，0)和x∈(0, +∞)时, g(x)≥0即可.
22．【答案】（1）解：∵ ， ,
∴ ,
∵曲线 在点 处的切线方程为 ,
∴ ，即 ，
解得 ；
（2）解： 恒成立，即 恒成立，
即 ，
令 ，
则 ，故 在 上是单调递增函数，
∴ ，
∴ ，即 ，
令 ，则 ，
当 时， ，此时 单调递增，
当 时， ，此时 单调递减，
∴ ，
故 ，则 ，
即 .
【考点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合求导的方法和代入法，进而求出曲线在切点处的切线的方程，再利用曲线 在点 处的切线方程为 ， 从而求出a的值。
（2）利用 恒成立，即 恒成立，即 ，令 ，再利用求导的方法判断函数的单调性，进而求出函数的最小值，所以 ，令 ，再利用求导的方法判断函数的单调性，从而求出函数的最大值，所以 ，再结合对数函数的单调性得出实数a的取值范围。
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