(共14张PPT)
人教版八年级（下册）
第十八章四边形
18.2 特殊的平行四边形（第3课时）
18.2.2 菱形
两组对边
分别平行
平行
四边形
矩形
情景创设
我们已经知道平行四边形是特殊的四边形，因此平行四边形除具有四边形的性质外，还有它的特殊性质，同样对于平行四边形来说有特殊情况即特殊的平行四边形，我们已经研究了一种特殊的平行四边形——矩形 ；这堂课还要研究另一种特殊的平行四边形——菱形
菱形
有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。
AB=BC
ABCD
四边形ABCD是菱形
他是这样做的：将一张长方形的纸对折、再对折，然后沿图中的虚线剪下，打开即可.你知道其中的道理吗？
如何利用折纸、剪切的方法，既快又准确地剪出一个菱形的纸片？
A
B
C
D
O
菱形的性质：
（1）菱形具有平行四边形的一切性质；
（2）菱形的四条边都相等；
（3）菱形的两条对角线互相垂直，
并且每一条对角线平分一组对角；
（4）菱形是轴对对称图形；也是中心对称图形。
已知：菱形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，如下图，
证明：因为四边形ABCD是菱形，
A
B
C
D
O
在△ABD中，
又因为BO=DO，
所以AB=AD（菱形的四条边都相等）。
所以AC⊥BD，AC平分∠BAD。
同理： AC平分∠BCD；
BD平分∠ABC和∠ADC。
求证：AC⊥BD ； AC平分∠BAD和∠BCD ；BD平分∠ABC和∠ADC 。
命题：菱形的对角线互相垂直平分，
并且每一条对角线平分一组对角；
相等的线段：
相等的角：
等腰三角形有：
直角三角形有：
全等三角形有：
已知四边形ABCD是菱形
AB=CD=AD=BC
OA=OC OB=OD
∠DAB=∠BCD ∠ABC =∠CDA
∠AOB=∠DOC=∠AOD=∠BOC =90°
∠1=∠2=∠3=∠4 ∠5=∠6=∠7=∠8
△ABC △ DBC △ACD △ABD
Rt△AOB Rt△BOC Rt△COD Rt△DOA
Rt△AOB ≌ Rt△BOC≌ Rt△COD ≌ Rt△DOA
△ABD≌△BCD △ABC≌△ACD
A
B
C
D
O
1
2
3
4
5
6
7
8
菱形的 两条对角线互相平分
菱形的两组对边平行且相等
边
对角线
角
菱形的四条边相等
菱形的两组对角分别相等
菱形的邻角互补
菱形的两条对角线互相垂直平，每一条对角线平分一组对角。
A
D
C
B
O
【菱形的面积公式】
菱形是特殊的平行四边形,
那么能否利用平行四边形
面积公式计算菱形的面积吗
菱形
A
B
C
D
O
E
S菱形=BC·AE
思考:计算菱形的面积除了上式方法外,利用对角线能 计算菱形的面积公式吗
= S△ABD+S△BCD = AC×BD
S菱形ABCD
菱形的面积=底×高=对角线乘积的一半
为什么
1.已知菱形的周长是12cm，那么它的边长是______.
2.菱形ABCD中∠ABC＝60度，则∠BAC＝_______.
3cm
60度
有关菱形问题可转化为直角三角形或等腰三角形的问题来解决
3.菱形ABCD中,O是两条对角线的交点，已知AB＝5cm,AO=4cm，求两对角线AC、BD的长。
A
B
C
D
如图，菱形花坛ABCD的边长为20m， ∠ABC＝60度，沿着菱形的对角线修建了两条小路AC和BD，求两条小路的长（结果保留小数点后2位）和花坛的面积（结果保留小数点后1位）.
2
O
矩形的四条边都相等.
※ 菱形的性质定理1
菱形的两条对角线互相垂直平，每一条对角线平分一组对角。
※ 菱形的性质定理2
菱形定义：
有一组邻边相等的平行四边形叫做矩形.
今 日 作 业
课本P57练习第1题，第2题。
再 见(共13张PPT)
人教版八年级（下册）
第十八章四边形
18.1平行四边形（第3课时）
A
B
C
D
O
平行四边形的两组对边分别相等；
平行四边形的两组对角分别相等；
平行四边形的对角线互相平分。
两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形.
2、我们学行四边形的哪些性质？
1、什么是平行四边形？
平行四边形的两组对边分别相等；
平行四边形的两组对角分别相等；
我们得到的这些逆命题都成立吗？我们一起探讨一下吧：
平行四边形的对角线互相平分。
思考：我们已经学行四边形的这些性质，那么它们的逆命题各是什么呢？
两组对角分别相等的四边形是平行四边形；
对角线互相平分的四边形是平行四边形。
两组对边分别相等的四边形是平行四边形；
B
C
A
D
B
C
A
D
O
如图1，将两长两短的四根细木条用小钉绞合在一起，做成一个四边形，使等长的木条成为对边，转动这个四边形，使它的形状改变，在图形的变化的过程中，它一直是一个平行四边形吗？
如图2，将两根细木条AC、BD的中点重叠，用小钉绞合在一起，用橡皮筋连接木条的顶点，做成一个四边形ABCD.转动两根木条，四边形ABCD一直是一个平行四边形吗？
图1
图2
两组对边分别相等的四边形是平行四边形.
平行四边形这个判定方法，我们如何证明？
A
B
C
D
证明：连接AC，
所以AB∥DC，AD∥BC。
4
1
2
3
所以∠1=∠2， ∠3=∠4。
AC=CA(公共边)，
所以△ABC ≌ △CDA (SSS)。
AD=BC(已知)，
已知：如图，在四边形ABCD中，AB=DC，AD=BC，求证：四边形ABCD是平行四边形 .
AB=CD(已知)，
在△ABC 和△CDA中，
所以四边形ABCD是平行四边形。
对角线互相平分的四边形是平行四边形。
已知，如图，在四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，OA=OC，OB=OD，求证：四边形ABCD是平行四边形。
A
B
C
D
1
2
3
4
O
同理可证AB=DC
△ADO ≌△CBO
AD=CB
OA=OC
证明：
平行四边形的这个判定方法，又该如何证明呢？
OB=OD
∠AOD=∠COB
四边形ABCD是平行四边形
两组对角分别相等的四边形是平行四边形.
平行四边形这个判定方法，又怎么证明呢？
A
B
C
D
证明：
所以AB∥DC，AD∥BC。
∠A+∠B+∠C+∠D=360°。
已知：如图，在四边形ABCD中，∠A=∠C， ∠ B=∠D ，求证：四边形ABCD是平行四边形 .
在四边形ABCD中，
所以四边形ABCD是平行四边形。
因为∠A=∠C， ∠B=∠D，
所以∠A+∠D=180°，
∠A+∠B=180°。
A
B
C
D
O
两组对边分别平行的四边形是平行四边形（定义）；
两组对角分别相等的四边形是平行四边形；
AD∥BC AB∥DC
AD=BC AB=DC
∠BAD=∠BCD ∠ABC=∠ADC
四边形ABCD是平行四边形
如图，用符号表示如下：
平行四边形有哪些判定方法？
对角线互相平分的四边形是平行四边形。
OA=OC OB=OD
两组对边分别相等的四边形是平行四边形；
四边形ABCD是平行四边形
四边形ABCD是平行四边形
四边形ABCD是平行四边形
又OB=OD，
证明：
因为四边形ABCD是平行四边形，
所以OA=OC， OB=OD。
因为AE=CF，
所以OE=OF。
所以四边形BFDE是平行四边形。
C
B
O
D
A
F
E
你还有其他的证明方法吗？
例3 如图 ABCD的对角线AC、BD相交 于点O，E、F是AC上的两点，并且AE=CF，求证: 四边形BFDE是平行四边形。
如图，AB=DC=EF，AD=BC，DE=CF，图中有哪些互相平行的线段？
F
A
B
C
D
E
解：图中互相平行的线段有：AB//DC//EF， AD//BC， DE//CF
AD∥BC
AB=DC
AD=BC
四边形ABCD是平行四边形
AB∥DC
DC∥EF
DC=EF
DE=CF
四边形CDEF是平行四边形
DE∥CF
AB∥ DC∥EF
理由如下：
今 日 作 业
课本P50习题18.1第4题，第5题。
再 见(共13张PPT)
人教版八年级（下册）
第十八章四边形
18.2 特殊的平行四边形（第1课时）
18.2.1 矩形
拼一拼
请利用六根火柴首尾连接摆成平行四边形.
(1) 能摆成多少个不同的平行四边形？
A
C
B
D
(2) 在所有这些平行四边形中，有没有面积最大的一个
平行四边形呢？
1.对边平行且相等;
2.对角相等;
３.对角线互相平分.
平行四边形
有一个角是直角的平行四边形
矩形的定义
叫做矩形.
有一个角是直角
矩形
矩形的性质
∠BAD=∠BCD =∠ABC=∠ADC= 90°
探究矩形的性质
A
C
B
D
O
(1)对边平行且相等;
(2)
(3)
AB CD ,
=
∥
AD BC
=
∥
∠A=∠C , ∠B=∠D
OA=OC，OB=OD
矩形的四个角都是直角;
矩形的对角线相等
对角相等;
对角线互相平分;
且互相平分;
OA=OC=OB=OD
试一试
1.矩形具有而一般平行四边形不具有的性
质是 ( ）。
A.对角相等 B.对边相等
C.对角线相等 D.对角线互相平分
C
试一试
2.已知矩形ABCD,请找出相等的线段和相等
的角.
B
C
D
A
O
矩形的问题可以转化到直角三角形或等腰三角形来解决．
已知：在Rt△ABC中，∠ABC=900，BO是AC上的中线.
求证: BO = AC.
O
C
B
A
D
证明: 延长BO至点D,使OD=BO,
连接AD、DC.
因为AO=OC, BO=OD，
所以四边形ABCD是平行四边形.
因为∠ABC=900，
所以AC=BD。
再探新知
所以 ABCD是矩形,
所以BO= BD= AC。
1
2
1
2
推论：
直角三角形斜边上的中线
等于斜边的一半．
C
B
A
O
例1 如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，∠AOB=60°,AB=4㎝,求矩形对角线的长？
解：因为四边形ABCD是矩形，
所以AC与BD相等且互相平分。
所以 OA=OB。
因为∠AOB=60°，
所以△AOB是等边三角形。
所以OA=AB=4(㎝)。
所以矩形的对角线长 AC=BD=2OA=8(㎝)。
D
C
B
A
O
方法小结: 如果矩形两对角 线的夹角是60°
或120°, 则其中必有等边三角形.
练一练
D
C
B
A
┓
已知△ABC是Rt△,∠ABC=900,BD是斜边AC上的中线.
(1)若BD=3㎝,则AC＝______ ㎝;
(2)若∠C=30°,AB＝5㎝,则AC＝_____㎝,
BD＝_____㎝.
6
5
10
矩形的四个角都是直角.
※ 矩形的性质定理1
矩形的对角线相等.
※ 矩形的性质定理2
※ 推 论
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
矩形定义：
有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.
今 日 作 业
课本P60练习第2题，第3题。
再 见(共16张PPT)
人教版八年级（下册）
第十八章四边形
18.2 特殊的平行四边形（第2课时）
18.2.1 矩形
复习回顾
四边形
平行
四边形
两组对边
分别平行
一个角
是直角
∟
矩形
四边形集合
平行四边形集合
矩形集合
定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。
边
对角线
角
A
B
C
D
O
矩形对边平行且相等；
矩形的四个角都是直角；
矩形的对角线相等且平分；
直角三角形的性质定理：
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
矩形的定义：
有一个角是直角的平行四边形是矩形。
你还有其他的判定方法吗？
ABCD
∠A=900
四边形ABCD是矩形
情境一：工人师傅为了检验两组对边相等的四边形窗框是否成矩形，一种方法是量一量这个四边形的两条对角线长度，如果对角线长相等，则窗框一定是矩形，你知道为什么吗？
猜想：对角线相等的平行四边形是矩形 。
命题：对角线相等的平行四边形是矩形。
已知：平行四边形ABCD，AC=BD。
求证：四边形ABCD是矩形。
A
B
C
D
证明:
因为 AB=CD, BC=BC, AC=BD，
所以 △ABC≌ △DCB（SSS）。
因为 AB//CD ，
所以∠ABC+∠DCB=180°。
所以∠ABC=∠DCB=90°。
又因为四边形ABCD是平行四边形，
所以四边形ABCD是矩形。
所以∠ABC=∠DCB。
对角线相等的平行四边形是矩形 。
矩形的判定方法：
数学语言：
因为四边形ABCD是平行四边形，
AC=BD，
所以四边形ABCD是矩形。
（对角线相等且互相平分的四边形是矩形。）
A
B
C
D
O
（或OA=OC=OB=OD）
情境二：李芳同学有“边——直角、边——直角、边——直角、边”这样四步，画出了一个四边形，她说这就是一个矩形，她的判断对吗？为什么？
猜想：有三个角是直角的四边形是矩形 。
你能证明上述结论吗？
矩形的判定方法：
有三个角是直角的四边形是矩形 。
A
B
C
D
因为∠A=∠B=∠C=90° ，
所以四边形ABCD是矩形。
数学语言：
你能归纳矩形的几种判定方法吗？
有一个角是直角的平行四边形是矩形。
对角线相等的平行四边形是矩形 。
（对角线相等且互相平分的四边形是矩形。）
有三个角是直角的四边形是矩形 。
方法1：
方法2：
方法3：
下列各句判定矩形的说法是否正确？
（1）对角线相等的四边形是矩形；
（2）对角线互相平分且相等的四边形是矩形；
（3）有一个角是直角的四边形是矩形；
（5）有三个角是直角的四边形是矩形；
（6）四个角都相等的四边形是矩形；
（7）对角线相等，且有一个角是直角的四边形是矩形；
（10）一组邻边垂直，一组对边平行且相等的四边形是矩形。
（9）对角线相等且互相垂直的四边形是矩形；
（8）一组对角互补的平行四边形是矩形；
（4）有三个角都相等的四边形是矩形;
X
X
X
X
如图，M为平行四边形ABCD边AD的中点，且MB=MC，
求证：四边形ABCD是矩形。
A
B
C
D
M
平行四边形ABCD中,E是CD的中点, △ABE是等边三角形,
求证:四边形ABCD是矩形。
D
A
B
C
E
有一个角是直角的平行四边形是矩形。
对角线相等的平行四边形是矩形 。
（对角线相等且互相平分的四边形是矩形。）
有三个角是直角的四边形是矩形 。
方法1：
方法2：
方法3：
今 日 作 业
课本P60习题18.2第1题，第3题。
再 见(共15张PPT)
人教版八年级（下册）
第十八章四边形
18.1平行四边形（第2课时）
叙述平行四边形的性质
A
B
D
C
O
还有其他性
质吗
A
B
D
C
O
A
B
D
C
O
如图，把两张完全相同的平行四边形纸片叠合在一起,在它们的中心O 钉一个图钉，将一个平行四边形绕O旋转180°，你发现了什么
●
A
D
O
C
B
D
B
O
C
A
再看一遍
●
A
D
O
C
B
D
B
O
C
A
结论
你能证明 它吗
●
平行四边形的对角线互相平分.
●
ABCD绕它的中心O旋转180°后与自身重合，这时我们说 ABCD是中心对称图形，点O叫对称中心。
A
C
D
B
O
已知：如图： ABCD的对角线AC、BD
相交于点O.
求证：OA=OC，OB=OD.
证明：
因为四边形ABCD是平行四边形，
所以 AD=BC，AD∥BC.
所以∠1=∠2，∠3=∠4.
所以△AOD≌△COB（ASA）.
所以 OA=OC，OB=OD.
3
2
4
1
平行四边形的对角线互相平分.
平行四边形的性质：
平行四边形的对角线互相平分.
符号语言：
因为四边形ABCD是平行四边形,
A
D
B
C
O
OB=OD.
OA=OC,
所以
说一说,练一练
如图，在 ABCD中，
BC=10cm, AC=8cm, BD=14cm,
（1）△ BOC的周长是多少？
说明理由？
（ 2） △ ABC与△ DBC的周长哪个长，
长多少？
A
B
D
C
O
例2,如图，四边形ABCD是平行四边形，AB=10，AD=8，AC⊥BC，求BC、CD、AC、OA的长以及 ABCD的面积.
8
10
B
C
D
A
●
O
解：
所以△ABC是直角三角形。
因为AC⊥BC，
因为四边形ABCD是平行四边形，
所以BC=AD=8，CD=AB=10。
因为OA=OC，
所以S = BC×AC=8×6=48。
ABCD
O
D
B
A
C
如图,在 ABCD中, 对角线AC﹑BD相交于点O,且AC+BD=20, △AOB的周长等于15,
则CD=______.
5
现 在 就 练
如图，在 ABCD中，对角线AC,BD交于点O，AC＝10，BD=8,则AD的取值范围是 _________.
O
D
B
A
C
●
1＜AD＜9
现 在 就 练
1、 通过本节课的学习，你有什么收获？
2、 平行四边形的性质共有哪些？
边
角
对角线
今 日 作 业
课本P49习题18.1第3题。
再 见(共15张PPT)
人教版八年级（下册）
第十八章四边形
18.1平行四边形（第1课时）
复习回顾
1、四边形的内角和为 ,外角和为 .
2、已知：a∥b，c∥d则
所以∠1=∠3 （ ）。
∠3+∠4= （ ），
∠1+∠4= （ ），
∠2=∠3 （ ），
∠1=∠2（ ），
认识平行四边形
平行四边形是我们常见的图形，小区的伸缩门、庭院的竹篱笆等，都是平行四边形的形象。
定义和记法
有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形.
平行四边形用“ ”表示，读作“平行四边形”。如图，平行四边形ABCD记作“ ABCD”。
A
B
C
D
由平行四边形的定义，我们知道平行四边形的两组对边分别平行。除此之外，平行四边形还有什么特征呢？
A
B
C
D
观察
A
B
C
D
根据定义画一个平行四边形，观察这个四边形，除了“两组对边分别平行”以外，它的边、角之间有什么关系呢？
度量一下，是不是和你的猜想一致？
A
B
C
D
平行四边形的对边相等;
平行四边形的对角相等.
ABCD
AD=BC，AB=DC；
∠A=∠C，∠B=∠D。
平行四边形的性质
这些性质用几何语言如何表示？
如何证明
求证:平行四边形的对边相等、对角相等.
A
B
C
D
分析：先根据题目画图，并写出“已知”与 “求证”。
已知： ABCD.
求证：AD=BC，AB=DC；∠A=∠C，∠B=∠D。
该怎样证呢？
分析：要 证的是不在同一三角形的边相等、角相等,可作辅助线，构建全等三角形.
A
B
C
D
1
4
3
2
证明: 连接AC ，
在△ABC和△CDA中,
∠1=∠3 (已证)，
∠2=∠4(已证)，
AC=CA (公共边)，
所以△ABC≌△CDA(ASA)。
所以AB=CD, BC =AD ,∠B=∠D。
又∠1+∠4=∠2+∠ 3，
所以 ∠BAD=∠BCD。
所以 ∠1=∠3 , ∠ 2=∠4。
因为 AB∥ CD , AD∥ BC，
证法一：因为四边形ABCD是平行四边形，
所以AB∥CD，AD∥BC。
所以∠A+∠B=180°，
∠A+∠D=180°。
所以∠B=∠D（同角的补角相等）。
A
B
C
D
证 ABCD中∠B=∠D还有什么方法？
证法二 ：延长DC到点E。
因为四边形ABCD是平行四边形，
所以AB∥CD，AD∥BC。
所以∠B=∠DCE，
∠DCE=∠D 。
所以∠B=∠D（等量代换）。
A
B
C
D
E
A
B
C
D
1、如图，在平行四边形ABCD中，∠B=50 ，求∠C、∠D、∠A的度数.
2、已知， ABCD中，AB=a，BC=b，求这个平行四边形的周长.
2a+2b
∠A=130
∠D=50
∠C=130
练习
B
D
l2
l1
A
C
3、如图, 已知，l1∥l2
⑴如果AB⊥l2，那么AB是否
垂直于l1？为什么？
⑵如果AB⊥l2，CD⊥l2，那么AB是否等于CD？为什么？
D
A
B
C
H
G
F
E
4、填空：
⑴如图, 在 ABCD中，EF∥BC，GH∥AB，EF、GH相交于点O 那么图中共有 个平行四边形；
⑵在 ABCD中，∠A+∠C=200 ， 则∠A= ，∠B= .
9
100
80
今 日 作 业
课本P49习题18.1第1题、第2题。
再 见(共16张PPT)
人教版八年级（下册）
第十八章四边形
18.2 特殊的平行四边形（第5课时）
四边形
两组对边分别平行
平行四边形
矩 形
菱 形
一角为90°
一组邻边相等
矩 形
正方形
〃
〃
矩形怎样变化后就成了正方形呢
探究（一）
菱 形
∟
∟
∟
∟
正方形
探 究（二）
菱形怎样变化后就成了正方形呢
探究小结
矩 形
〃
〃
正方形
邻边
相等
〃
〃
我发现：
一组邻边相等的矩形 叫正方形
菱 形
一个角
是直角
正方形
∟
我发现：
一个角为直角的菱形叫正方形
正方形定义
有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形是正方形
讨论总结:正方形有那些性质
特殊的平行四边形
特殊的矩形
特殊的菱形
1.边:
2.角:
3.对角线:
正方形的性质:
四条边都相等
且对边平行;
两条对角线互相
垂直平分且相等,
并且每一条对角
线平分一组对角.
四个角都是直角;
既是轴对称图形也
是中心对称图形
例
求证: 正方形的两条对角线把这个正方形分成四个全等的等腰直角三角形.
这是一道文字证明题,该怎么做 你会做吗
第一步:根据题意画出图形
第二步:写出已知
第三步：写出求证
第四步:进行证明
A
D
C
B
O
已知:如图,四边形ABCD是正方形,对 角线AC、BD相交于点O.
求证:△ABO、 △BCO、 △CDO、 △DAO是全等的等腰直角三角形.
证明: ∵ 四边形ABCD是正方形,
∴ AC=BD,AC⊥BD,AO=BO=CO=DO.
∴ △ABO、 △BCO、 △CDO、 △DAO都是等腰直角三角形,并且
△ABO≌ △BCO ≌ △CDO ≌ △DAO
分析:利用正方形的性质,对角线互相垂直平分且相等,每条对角线平分一组对角.平分可以产生线段等量关系,垂直可以产生直角,于是可以得到四个全等的等腰直角三角形.
ABCD是一块正方形场地，小华和小芳在AB
边上取定了一点E，经测量知 EC=30m，
EB=10m，这块场地的面积和对角线长分别
是多少（对角线长精确到0.1m）？
练一练:
A
B
C
D
E
矩形
菱形
正方形
一组邻边相等
一个角是直角
平行四边形
一组邻边相等、一个角是直角
讨论:
请用
这四种图形填空
A表示：
B表示：
C表示：
D表示：
平行四边形、矩形、菱形、正方形
平行四边形
矩形 (菱形)
菱形 (矩形)
正方形
满足下列条件的四边形是不是正方形：
（1）对角线互相垂直且相等的平行四边形；
（2）对角线互相垂直的矩形；
（3）对角线相等的菱形；
（4）对角线互相垂直平分且相等的四边形.
练一练:
既是矩形又是菱形 ——— 正方形
判定正方形要准备的条件：
平行四边形、
一组邻边相等、
一个角是直角
把一个长方形纸片如图那样折一下，就可以裁出正方形纸片，为什么？
如果是一个长方形木板，又如何从中裁出
一个最大的正方形木板呢？
实际问题:
A
B
C
D
已知：∠DAB=∠B=∠ADC=
90°，AB=AD.
求证：四边形ABCD是正方形
取AD=AB，BC=AB即可.
小结:
特殊的平行四边形、
特殊的矩形、
特殊的菱形
一、什么是正方形：
既是矩形又是菱形 ——— 正方形
二、正方形有什么性质：
具有矩形、菱形、平行四边形的所有性质
今 日 作 业
课本P61习题19.2第7题，第13题。
再 见(共15张PPT)
人教版八年级（下册）
第十八章四边形
18.1平行四边形（第4课时）
如图，四边形ABCD的对角线交于点O，下列判断若正确，请在括号里打上“√”号，若错误打上“×”号．
⑴如果AB//DC，AD//BC，则四边形ABCD是平行四边形（ ）。
⑵如果∠BAD=∠BCD，∠ABC=∠ADC，则四边形ABCD是平行四边形（ ）。
⑶如果OA=OC，OB=OD，则四边形ABCD是平行四边形（ ）。
⑷如果∠ABC与∠BAD互补，∠ABC与∠BCD互补，则四边形ABCD是平行四边形（ ）。
⑸如果∠ABD=∠BDC，∠ADB=∠DBC，则四边形ABCD是平行四边形（ ）。
√
√
√
√
√
B
A
C
D
O
O
工具：两根长度相等的牙签，一张带横格
的纸.
把这两根长度相等的牙签放置在两条不同的横线上。观察猜想以牙签的四个端点为顶点的四边形是个什么图形？
动动手
活动：
要求：
同桌之间合作探究.
B
C
A
D
想一想：这个四边形具备了怎样的特征？
动动脑
你能用一句话概括你的发现吗？
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.
写出:已知,求证,证明，
已知:如图,在四边形ABCD中，AB=CD,AB∥CD。
求证：四边形ABCD是平行四边形。
以小组为单位选择合适方法证明这个命题
B
C
A
D
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.
写出:已知,求证,证明，
已知:如图,在四边形ABCD中，AB=CD,AB∥CD。
求证：四边形ABCD是平行四边形。
符号语言:
如图，在四边形ABCD中，
因为 AB=CD,AB∥CD，
所以四边形ABCD是平行四边形。
C
A
D
B
B
你能用几种方法证明这个命题呢
两组对边分别相等
两组对角分别相等
对角线互相平分
两组对边分别平行
一组对边平行且相等
四边形是平行四边形
边
角
对角线：
小组讨论平行四边形的判定方法共有几种？
1、已知在四边形ABCD中，AD∥BC，要使这个四边形为平行四边形，则需添加一个你认为正确的条件为 ( )
AB∥DC，或∠A =∠C或AD=BC
2、能判定一个四边形是平行四边形的条件是（ ）。
A、一组对角相等 B、一组对边平行且相等
C、一对邻角互补 D、两条对角线互相垂直
B
3、四边形ABCD中，若∠A = ∠C，∠B = ∠D，则下列结论中错误的是（ ）。
C
A、AB = CD B、AD∥BC
C、∠A = ∠B D、对角线互相平分
例4 如图，点D、E分别是△ABC的边AB、AC的中点，求证： DE∥BC且DE= BC。
A
B
C
D
E
B
C
A
D
E
F
证明：延长DE到点F,使EF=DE,
连接FC、DC、AF。
因为AE=EC，
所以四边形ADCF是平行四边形，
CF∥DA，CF=DA。
所以CF∥BD，CF=BD。
所以四边形DBCF是平行四边形，
DF∥BC，DF=BC。
又DE= DF，
所以DE∥BC且DE= BC。
定义：把连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.
三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半.
中位线定理
一个三角形有几条中位线？中位线和三角形的中线一样吗？
1、如图，点D、E、F分别是△ABC的边AB、 BC、CA的中点，以这些点为顶点，你能在图中画出多少个平行四边形？
B
A
F
E
D
C
2、如图， A 、B两点被池塘隔开，在AB外选一点C，连接AC和BC，怎样测出A、B两点的实际距离？根据是什么？
A
B
C
今 日 作 业
课本P50习题18.1第10题，第11题。
再 见(共15张PPT)
人教版八年级（下册）
第十八章 四边形
18.2 特殊的平行四边形（第4课时）
18.2.2 菱形
一组邻边相等
有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。
平行四边形
边
对角线
角
菱形的定义
菱形的性质
菱形
菱形的两条对角线互相平分
菱形的两组对边平行
菱形的四条边相等
菱形的两组对角分别相等
菱形的邻角互补
菱形的两条对角线互相垂直平分，
每一条对角线平分一组对角。
根据菱形的定义,可得菱形的第一个判定的方法：
AB=AD，
因为四边形ABCD是平行四边形，
所以四边形ABCD是菱形。
探究活动一
数学语言：
有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。
用一长一短两根细木条，在它们的中点处固定
一个小钉，做成一个可转动的十字，四周围上
一根橡皮筋，做成一个四边形，转动木条，这
个四边形什么时候变成菱形？
对角线互相垂直的平行四边形是菱形
命题：对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
A
B
C
D
已知：在 中，AC ⊥ BD，
ABCD
ABCD
求证： 是菱形。
证明：
所以 ABCD是菱形。
因为 AC ⊥ BD，
因为四边形ABCD是平行四边形，
所以OA=OC。
所以BA=BC。
O
定理：对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
a
已知：线段a，求作：一个菱形ABCD，
使AB=a，∠ABC=∠
B
C
A
D
作法：1.作∠ B =∠
2.在∠B的两边上分别截取
AB=BC=a，
3.分别以A、C为圆心，a长
为半径画弧，两弧交于点D，
连结AD、CD
所以四边形ABCD就是所作的菱形。
这样作出的四边形ABCD真的是菱形吗？
你会证明吗？
你能否用一句话来概括？
四边相等的四边形是菱形
数学语言
因为AB=BC=CD=DA，
所以四边形ABCD是菱形。
菱形常用的判定方法
有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形；
对角线互相垂直的平行四边形是菱形；
有四条边相等的四边形是菱形。
老师说下列三个图形都是菱形,你相信吗
5
5
3
4
3
4
5
5
5
5
有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。
对角线互相垂直的平行四边形是菱形。
有四条边相等的四边形是菱形。
3
3
4
4
┍
如图， ABCD的两条对角线AC、BD
相交于点O，AB=5，AC=8，DB=6
（1）AC、BD互相垂直吗？为什么？
（2）四边形ABCD是菱形吗？为什么？
A
B
C
D
O
所以四边形ABCD是菱形.
所以OA=OC=4，
OB=OD=3。
证明：
因为AB=5，
所以
所以AC⊥BD。
所以∠AOB=
（2）因为四边形ABCD是平行四边形，
AC⊥BD，
（1）因为四边形ABCD是平行四边形，
AB2=OA2+OB2。
判断下列说法是否正确？为什么？
(1)对角线互相垂直的四边形是菱形；
(2)对角线互相垂直平分的四边形是菱形；
(3)对角线互相垂直,且有一组邻边相等
的四边形是菱形；
(4)两条邻边相等，且一条对角线平分一
组对角的四边形是菱形．
□ABCD的对角线AC与BD相交于点O，
（1）若AB=AD，则□ABCD是 形； （2）若AC=BD，则□ABCD是 形； （3）若∠ABC是直角，则□ABCD是 形； （4）若∠BAO=∠DAO，则□ABCD是 形。
A
B
C
D
O
矩
菱
矩
菱
A
D
C
B
∟
∟
E
F
把两张等宽的纸条交叉重叠在一起，你能判断重叠部分ABCD的形状吗？
思考:
四条边都相等
菱形
一组邻边相等
对角线互相垂直
对角线互相平分
一组对边平行且相等
二组对边平行或相等
四边形
平行四边形
一组对角平行且相等
今 日 作 业
课本P58练习第3题，P60习题18.2第6题。
再 见
