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第2课时 单项式与多项式相乘
◇教学目标◇
【知识与技能】
理解并能说出单项式与多项式相乘的法则,并能用这个法则熟练地进行单项式乘多项式的运算.
【过程与方法】
经历探索单项式与多项式相乘的运算法则的过程,体会乘法分配律的作用和转化的思想.
【情感、态度与价值观】
发展有条理的思考和语言表达能力,使学生从学习中获得成就感,提高学习数学的兴趣.
◇教学重难点◇
【教学重点】
单项式与多项式相乘的运算法则及其应用.
【教学难点】
对单项式乘多项式几何背景的认识与理解.
◇教学过程◇
一、情境导入
才艺展示中,小颖画了一幅画,所用纸的大小如图所示,她在纸的左、右两边各留了x m的空白,则这幅画的画面面积是多少
二、合作探究
探究点1 单项式与多项式相乘
典例1 计算:
(1)2ab(5ab2+3a2b);
(2)ab;
(3)2(x+y2z+xy2z3)·xyz.
[解析] (1)2ab(5ab2+3a2b)
=2ab·5ab2+2ab·3a2b 乘法分配律
=10a2b3+6a3b2. 单项式乘单项式
(2)ab=ab2·ab+(-2ab)·ab=a2b3-a2b2.
(3)2(x+y2z+xy2z3)·xyz=2xyz·(x+y2z+xy2z3)=2xyz·x+2xyz·y2z+2xyz·xy2z3=2x2yz+2xy3z2+2x2y3z4.
单项式乘多项式的实质就是利用分配律后进行单项式乘单项式的运算.需要注意:一是其乘积是一个多项式,项数与原式多项式的项数一致;二是运算时要注意符号,多项式的每一项都包含前面的符号.
变式训练 已知ab2=-6,求-ab(a2b5-ab3-b)的值.
[解析] -ab(a2b5-ab3-b)=(-ab)·a2b5+(-ab)·(-ab3)+(-ab)·(-b)=-a3b6+a2b4+ab2=(-ab2)3+(ab2)2+ab2,
当ab2=-6时,
原式=[-(-6)]3+(-6)2+(-6)=216+36-6=246.
探究点2 单项式与多项式相乘的实际应用
典例2 一条防洪堤坝,其横断面是梯形,上底宽a米,下底宽(a+2b)米,坝高a米.
(1)求防洪堤坝的横断面面积;
(2)如果防洪堤坝长100米,那么这段防洪堤坝的体积是多少米3
[解析] (1)堤坝的横断面面积:S=[a+(a+2b)]·a=a(2a+2b)=米2.
故防洪堤坝的横断面面积为米2.
(2)堤坝的体积:V=Sl=·100=(50a2+50ab)米3.
故这段防洪堤坝的体积是(50a2+50ab)米3.
变式训练 一块长方形硬纸片,长为(5a2+4b2)m,宽为6a4 m,在它的四个角上分别剪去一个边长为a3 m的小正方形,然后折成一个无盖的盒子,请你求这个无盖盒子的表面积.
[解析] 原长方形硬纸片的面积是(5a2+4b2)·6a4=(30a6+24a4b2) m2.
一个小正方形的面积是a6 m2.
则无盖盒子的表面积是(30a6+24a4b2)-4·a6=(21a6+24a4b2) m2.
三、板书设计
单项式与多项式相乘
单项式与多项式相乘的法则:用单项式乘多项式的每一项,再把所得的积相加.
◇教学反思◇
本节课学生的积极性很高,从自行探讨出法则到自己独立应用法则,学生的思维一直处于积极活动的状态.学生对于应用单项式乘多项式法则问题不大,但是做错题的几率很大,原因是学生在混合应用幂的三个运算法则及合并同类项时特别容易出错,这方面还要利用以后多项式乘多项式的教学让学生更加熟练应用各种法则,明确每一步的算理,解决好这个问题.
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1.4 整式的乘法
第2课时 单项式与多项式相乘
北师大版数学七年级下册
学习目标
1、经历探索单项式与多项式相乘的过程，会进行简单的单项式与多项式相乘运算;
2、理解整式单项式与多项式相乘运算的算理，体会乘法分配律的作用和转化的思想.
引例:为支持北京申奥，一位画家设计了一幅长6000米的名为“奥运龙”的宣传画。京京制作了一幅画，规格如图：
这幅画的画面面积是多少呢？
议一议
宁宁也作了一幅画,所用的纸的大小和京京的相同, 她在纸的左右两边各留了 米的空白.
这幅画的画面面积是多少呢？
(1) x(mx- )
(2) mx2- 2
∴x(mx- )
mx2- 2
＝
如何进行
单项式与多项式相乘
的运算？
单项式与多项式相乘的法则:
用单项式分别去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。
你能用字母表示这一结论吗？
做一做
例 计算：
(1)2ab(5ab2+3a2b)
(2)
(
-2ab)·
(3)(-12xy2-10x2y+21y3)(-6xy3)
解:
（1）2ab(5ab2+3a2b)
(2)
(
-2ab)·
(3)(-12xy2-10x2y+21y3)(-6xy3)
=10a2b3+6a3b2
=72x2y5+60x3y4-126xy6
1.单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的
________,再把所得的积________.
2.4（a-b+1)=_____________.
每一项
相加
4a-4b+4
3.3x（2x-y2)=____________.
6x2-3xy2
4.（2x-5y+6z)(-3x)=________________.
-6x2+15xy-18xz
5.(-2a2)2（-a-2b+c)=_________________.
-4a5-8a4b+4a4c
6.计算：
（1）(－4x)·(2x2+3x－1)；
＝-8x3-12x2+4x;
解：原式＝(－4x)·(2x2)+(－4x)·3x+(－4x)·(－1)
(2)( ab2－2ab)· ab.
解：原式＝ ab2· ab－2ab· ab
＝ a2b3－a2b2.
7.计算：－2x2·(xy+y2)-5x(x2y-xy2).
（1）将2x2与5x前面的“-”看成性质符号；
（2）单项式与多项式相乘的结果中，应将同类项合并.
注意
解：原式=( -2x2) ·xy+(-2x2) ·y2+(-5x) ·x2y+(-5x) ·(-xy2)
=-2x3y+(-2x2y2)+(-5x3y)+5x2y2
=-7x3y+3x2y2.
8.先化简，再求值3a(2a2-4a+3)-2a2(3a+4)，其中
a=-2.
解：3a(2a2-4a+3)-2a2(3a+4)
=6a3-12a2+9a-6a3-8a2
=-20a2+9a.
当a=-2时，原式=-20×(－2)2+9×(－2)=-98.
住宅用地
人民广场
商业用地
3a
3a+2b
2a-b
4a
9.如图，一块长方形地用来建造住宅、广场、商厦，
求这块地的面积.
解：4a[(3a+2b)+(2a－b)]
＝4a(5a+b)
＝4a·5a+4a·b
=20a2+4ab.
答：这块地的面积为
20a2+4ab.
小结
单项式与多项式相乘，就是
根据分配律用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。
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