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第3课时 多项式与多项式相乘
1.4 整式的乘法
北师大版数学七年级下册
学习目标
1、经历探索多项式相乘的过程，会进行简单的单项式与多项式相乘运算。
2、理解多项式相乘运算的算理，体会乘法分配律的作用和转化的思想
拼图游戏
利用如下长方形卡片拼成更大的长方形
m
n
m
a
b
n
b
a
探究一、任选两张长方形卡片拼成一个大的长方形，看谁的方法多，并用两种方法求出你拼出的大长方形的面积？
做一做
探究二、你任意选用三张长方形卡片拼成一个大的长方形，你能拼出来吗？
拼图游戏
利用如下长方形卡片拼成更大的长方形
m
n
m
a
b
n
b
a
做一做
探究三、你能用四张长方形卡片拼成一个大的长方形，看谁拼的快，并用多种方法求出你拼出的大长方形的面积？
拼图游戏
利用如下长方形卡片拼成更大的长方形
m
n
m
a
b
n
b
a
做一做
用不同的形式表示所拼图的面积
m
n
m
a
b
n
b
a
(１)用长方形的面积法，
理解多项式乘多项式的公式展开。
(m+b)(n+a)
mn+ma+bn+ba
=
(m+b)(n+a)= mn+ma+bn+ba 的理解
将等号两端的 x 换成(n+a)
则有：
在 (m+b)x = mx + bx 中，
(m+b) x =m x +b x
(n+a)
(n+a)
(n+a)
(2)用单项式乘多项式理解公式展开
=mn+ma + bn+ba
1
2
3
4
(a+b)(m+n)
=
am
1
2
3
4
这个结果还可以从下面的图中反映出来
a
b
m
n
am
an
bn
bm
多项式的乘法
+an
+bm
+bn
(3)用连线法理解公式：
规律
(m+b)(n+a)=
mn
+ ma
+ ba
+ bn
如何记忆多项式与多项式相乘的运算？
多项式与多项式相乘
先用一个多项式的每一项
乘另一个多项式的每一项
再把所得的积相加。
(m+b)(n+a)=
mn
+ ma
+ bn
+ ba
当堂练习
1.判别下列解法是否正确，若错请说出理由.
解：原式
解：原式
2.计算：(1)(x 3y)(x+7y)； (2)(2x + 5y)(3x 2y).
= x2 +4xy 21y2；
解:（1）原式=x2+7xy 3yx 21y2
（2）原式=2x 3x 2x 2y+5 y 3x 5y 2y
=6x2 4xy+15xy 10y2
=6x2+11xy 10y2.
3.计算求值：(4x+3y)(4x－3y)+(2x+y)(3x－5y)，其中
x=1,y=－2.
解:原式=
当x=1,y=－2时，原式=22×12－7×1×(－2)
－14×(－2)2=22+14－56=－20.
观察上面四个等式，你能发现什么规律？并应用这个规律解决下面的问题.
5 6
(-3) (-4)
2 (-8)
(-5) 6
口答：
4.计算：
5.小东找来一张挂历画包数学课本．已知课本长a厘米，宽b厘米，厚c厘米，小东想将课本封面与封底的每一边都包进去m厘米，问小东应在挂历画上裁下一块多大面积的长方形？
七年级(下)
姓名：____________
数学
c
b
a
a
b
c
m
b
m
面积：(2m+2b+c)(2m+a)
解：(2m+2b+c)(2m+a)
= 4m2+2ma+4bm+2ab+2cm+ca.
答：小东应在挂历画上裁下一块（4m2+2ma+4bm
+2ab+2cm+ca）平方厘米的长方形.
你注意到了吗？
多项式乘以多项式，展开后项数很有规律，在合并同类项之前，展开式的项数恰好等于两个多项式的项数的积。
小结
本节课你学到了什么
运用多项式乘法法则，要有序地逐项相乘，不要漏乘，并注意项的符号．
最后的计算结果要化简￣￣￣
合并同类项．
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第3课时 多项式与多项式相乘
◇教学目标◇
【知识与技能】
理解并能说出多项式与多项式相乘的法则,能运用这个法则熟练地进行多项式乘多项式的运算.
【过程与方法】
经历探索多项式与多项式相乘的运算法则的过程,体会乘法分配律的作用和转化的思想.
【情感、态度与价值观】
发展思考的逻辑性和语言表达能力,使学生从学习中获得成就感和学习数学的兴趣.
◇教学重难点◇
【教学重点】
多项式与多项式相乘的运算法则及其应用.
【教学难点】
对多项式乘以多项式几何背景的认识与理解.
◇教学过程◇
一、情境导入
如图1是一个长和宽分别为m,n的长方形纸片,如果它的长和宽分别增加a,b,所得长方形(图2)的面积可以怎样表示 有几种表示方法
二、合作探究
探究点1 多项式与多项式相乘
典例1 计算:
(1)(3x+2)(x+2);
(2)(4y-1)(5-y);
(3)(3a+1)(2a-3)-(6a-5)(a-4).
[解析] (1)(3x+2)(x+2)=3x2+6x+2x+4=3x2+8x+4.
(2)(4y-1)(5-y)=20y-4y2-5+y=-4y2+21y-5.
(3)(3a+1)(2a-3)-(6a-5)(a-4)=6a2-9a+2a-3-6a2+24a+5a-20=22a-23.
多项式乘多项式,按一定的顺序进行,必须做到不重不漏.多项式与多项式相乘,仍得多项式,在合并同类项之前,积的项数应等于原多项式的项数之积.
变式训练 计算(2x-3y)(4x2+6xy+9y2)的正确结果是 ( )
A.(2x-3y)2 B.(2x+3y)2
C.8x3-27y3 D.8x3+27y3
[答案] C
探究点2 与多项式乘多项式有关的化简求值及其应用
典例2 (1)先化简,再求值:(a-2b)(a2+2ab+4b2)-a(a-5b)(a+3b),其中a=-1,b=1.
(2)解方程:(x-3)(x-2)=(x+9)(x+1)+4.
[解析] (1)原式=a3-8b3-(a2-5ab)(a+3b)
=a3-8b3-a3-3a2b+5a2b+15ab2
=-8b3+2a2b+15ab2.
当a=-1,b=1时,
原式=-8+2-15=-21.
(2)去括号,得x2-5x+6=x2+10x+9+4.
移项、合并同类项,得-15x=7.
两边都除以-15,得x=-.
变式训练 已知(2x2-3x+a)(x+2)的结果中不含x项,求a的值.
[解析] (2x2-3x+a)(x+2)
=2x3+4x2-3x2-6x+ax+2a
=2x3+x2+(a-6)x+2a.
因为结果中不含x项,
所以a-6=0,即a=6.
探究点3 多项式乘多项式的实际应用
典例3 千年古镇杨家滩的某小区的内坝是一块长为(3a+b)米,宽为(2a+b)米的长方形地块,物业部门计划将内坝进行绿化(如图阴影部分),中间部分将修建一仿古小景点(如图中间的正方形),则绿化的面积是多少米2 并求出当a=3,b=2时的绿化面积.
[解析] 由题意,得(3a+b)(2a+b)-(a+b)2=6a2+5ab+b2-a2-2ab-b2=(5a2+3ab)米2.
当a=3,b=2时,5a2+3ab=5×32+3×3×2=63(米2).
变式训练 同学们从很小的时候就开始喜欢玩拼图游戏,它不仅展现给我们丰富多彩的图案,而且给我们的生活带来无穷的乐趣,其中不少还蕴含着丰富的数学知识.例如:(2a+b)(a+b)=2a2+3ab+b2,就可以用图1或图2的面积来表示.请仿照上述做法画出一个几何图形,使它的面积能表示为(a+b)·(m+n)=ma+mb+na+nb.
[解析] 如图所示.
三、板书设计
多项式与多项式相乘
多项式
与多项
式相乘
◇教学反思◇
多项式与多项式相乘,学生容易出现符号错误及漏项问题,因此可采用连线规范书写,变式训练,纠正错误,从不同的角度训练学生应用法则的能力.本节课的设计充分发挥小组合作的力量,让学生主动参与、大胆探索,在每个教学环节中,都给学生充分的探究时间,产生了歧义、错误,再由学生相互之间辨析补充得出正确的结论,激发了多数学生的参与意识,并且使学生在争论辨析中得到思维的升华.
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