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1.5 平方差公式
◇教学目标◇
【知识与技能】
1.理解并能说出平方差公式的表达式及语言概述;
2.能推导平方差公式,并能用平方差公式进行计算.
【过程与方法】
经历平方差公式的推导过程,能用符号表示平方差公式,在拼图游戏中了解平方差公式的几何背景.
【情感、态度与价值观】
体验符号运算对猜想的作用,享受数学符号表示运算规律的简洁美,体验学习数学的乐趣.
◇教学重难点◇
【教学重点】
平方差公式的理解与应用.
【教学难点】
对平方差公式几何背景的了解,准确运用平方差公式进行计算.
◇教学过程◇
一、情境导入
王剑同学去商店买了单价是9.8元/千克的糖块10.2千克,售货员刚拿起计算器,王剑就说出应付99.96元,结果与售货员计算出的结果相同.售货员惊讶地问:“这位同学,你怎么算得这么快 ”王剑同学说:“我利用了数学课上刚学过的一个公式.”你知道王剑同学用的是什么数学公式吗 学了本节之后,你就能解决这个问题了.
二、合作探究
探究点1 平方差公式
典例1 利用平方差公式计算:
(1)(3x-5)(3x+5);
(2)(-2a-b)(b-2a);
(3)(-7m+8n)(-8n-7m);
(4)(x-2)(x+2)(x2+4).
[解析] (1)(3x-5)(3x+5)=(3x)2-52=9x2-25.
(2)(-2a-b)(b-2a)=(-2a)2-b2=4a2-b2.
(3)(-7m+8n)(-8n-7m)=(-7m)2-(8n)2=49m2-64n2.
(4)(x-2)(x+2)(x2+4)=(x2-4)(x2+4)=x4-16.
应用平方差公式计算时,应注意以下几点:
(1)左边是两个二项式相乘,并且这两个二项式中有一项完全相同,另一项互为相反数;
(2)右边是相同项的平方减去相反项的平方;
(3)公式中的a和b可以是具体的数,也可以是单项式或多项式.
探究点2 应用平方差公式简化计算
典例2 利用平方差公式计算:
(1)20×19; (2)13.2×12.8.
[解析] (1)20×19=202-=400-=399.
(2)13.2×12.8=(13+0.2)×(13-0.2)=132-0.22=169-0.04=168.96.
变式训练 利用平方差公式计算:
(1)103×97; (2)118×122.
[解析] (1)103×97=(100+3)×(100-3)=10000-9=9991.
(2)118×122=(120-2)×(120+2)=1202-4=14400-4=14396.
探究点3 平方差公式的实际背景
典例3 如图1,在边长为a的正方形中剪去一个边长为b的小正方形(a>b),把剩下部分拼成一个梯形(如图2),利用这两幅图形的面积,可以验证的乘法公式是 .
[解析] 因为图1中阴影部分的面积是a2-b2,
图2中梯形的面积是(2a+2b)(a-b)=(a+b)·(a-b),所以a2-b2=(a+b)(a-b),即可验证的乘法公式为(a+b)(a-b)=a2-b2.
[答案] (a+b)(a-b)=a2-b2
变式训练 王大伯家把一块边长为a米的正方形土地租给了邻居李大妈.今年王大伯对李大妈说:“我把这块地一边减少4米,另外一边增加4米,继续原价租给你,你看如何 ”李大妈一听,就答应了.你认为李大妈吃亏了吗 为什么
[解析] 李大妈吃亏了.
理由:原正方形的面积为a2,改变边长后面积为(a+4)(a-4)=a2-16.
因为a2>a2-16,
所以李大妈吃亏了.
三、板书设计
平方差公式
平方差公式:(a+b)(a-b)=a2-b2
◇教学反思◇
通过情境导入,自然地引入新知,得出了公式,探究出公式的特征,经历了知识的形成和应用过程,在整节课中能激发学生的数学思考,培养学生良好的数学学习习惯.整个教学设计为学生营造了一个自己动手、主动求知的教学环境,引导学生进入本节课的学习活动,通过课堂上学生参与互动活动,培养了学生获取知识、应用知识、口头表达、创造和想象等多方面能力,达到了预期的教学效果.
平方差公式是乘法公式中的一个重要公式,表现形式比较简单,学生往往学起来容易,真正掌握起来困难,学生对字母的广义理解不透,从而出现死记硬背公式,不能完全理解其含义和具体应用的情况.
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1.5平方差公式
第一章 整式的乘除
北师大版数学七年级下册
平方差公式
(a+b)(a-b)=a2-b2
两个数的和与这两个数的
差的积,等于这两数的平方差
学习目标
1.会用面积法推导平方差公式，并能运用公式
进行简单的运算.
2.用符号运算证明猜想，提高解决问题的能力.
3.提高自己的观察、归纳、概括等能力.
a
b
a
b
做游戏：
如图：在边长为a的大正方形的一角剪去一个边长为b的小正方形。
（1）图中的阴影部分面积是__________
（2）你能否将阴影部分拼成一个完整的长方形图案吗？
你能从这个游戏中验证平方差公式吗？
你拼出的长方形的面积是________________
例题
解：
学校有一个边长为 米的正方形花坛，现在要进行改建，将它的一边增加3米，而另一边缩短3米.问改建后的正方形花坛的面积是多少？
如图，一条水渠横断面为梯形，根据如图所示的长度求出表示横断面面积的代数式，并计算当 时的面积.
公式的逆用
(1)(x+y)2－(x－y)2 (2)252－242
分析：逆用平方差公式可以使运算简便.
解：(1)(x+y)2－(x－y)2
=［(x+y)+(x－y)］［(x+y)－(x－y)］
=2x·2y
=4xy
(2)252－242
=(25+24)(25－24)
=49
当堂练习
1.下列式子可用平方差公式计算吗 为什么 如
果能够，怎样计算
(1) (a+b)( a b) ；
(2) (a b)(b a) ;
(3) (a+2b)(2b+a);
(4) (a b)(a+b) ;
(5) ( 2x+y)(y 2x).
(不能)
(不能)
(不能)
( 能 )
(不能)
(a2 b2)=
a2 + b2 ;
2.下面各式的计算对不对？如果不对，应当怎样改正？
（1）（x+2)(x－2)=x2－2;
（2）（－3a－2)(3a－2)=9a2－4.
不对
改正：x2－4
不对
改正方法1：
原式=－[(3a+2)(3a－2)]
=－(9a2－4)
=－9a2+4;
改正方法2：
原式=(－2－3a)(－2+3a)
=(－2)2－(3a)2
=4－9a2.
（1）(a+3b)(a- 3b)；
解：原式=(2a+3)(2a－3)
=(2a)2－32
=4a2－9；
=a2－9b2 ；
解：原式=a2－(3b)2
（2）(3+2a)(－3+2a)；
3.利用平方差公式计算：
（3）(－2x2－y)(－2x2+y)；
解：原式=(-2x2 )2－y2
=4x4－y2.
（4）(－5+6x)(－6x－5).
解：原式=(－5+6x)(－5－6x)
=(－5)2－(6x)2
=25－36x2.
2.若A=(2+1)(22+1)(24+1)，则A的值是______．
解析：A=(2+1)(22+1)(24+1)
=[(2－1)(2+1)(22+1)(24+1)]÷(2－1)
=[(22－1)(22+1)(24+1)]÷(2－1)
=[(24－1)(24+1)]÷(2－1)
=(28－1)÷(2－1)
=28－1．
28－1
能力拓展：
1.(x－y)(x+y)(x2+y2)；
解：原式=(x2－y2)(x2+y2)=x4－y4；
（1）公式的左边是两个二项式的积，在这两个二项式中，
有一项完全相同，另一项互为相反数；
（2）公式的右边是乘式中两项的平方差，且完全相同的项的平方减去互为相反数的一项的平方；
（3）对于形如两数和与这两数差相乘，就可以运用上述公式来计算；
1. 平方差公式的内涵：
2. 平方差公式的结构特征：
在整式的乘法中只有符合公式要求的乘法才能
用公式计算，其余的运算仍按乘法法则进行
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