第17章 函数及其图象
教材简析
本章的内容包括：变量与函数、函数的图象、一次函数、反比例函数、实践与探索．
本章在认识常量和变量的基础上，引出函数，进一步学习与函数有关的平面直角坐标系和函数图象，为学习一次函数作铺垫，然后在学习了一次函数的基础上，进一步学习反比例函数，最后探究并解决与一次函数有关的问题．
本章是中考中的必考内容，主要考查用待定系数法求一次函数或反比例函数的表达式，结合函数图象对简单的实际问题进行信息分析，通过分析函数关系式对变量的变化规律进行预测等，题型多样．
教学指导
【本章重点】
平面直角坐标系、函数的图象、一次函数及反比例函数．
【本章难点】
结合函数图象，解决与一次函数、反比例函数有关的实际问题．
【本章思想方法】
1．掌握数形结合思想．如：结合函数图象，研究一次函数、反比例函数的性质；根据图象解决与一次函数、反比例函数有关的实际问题．
2．掌握类比思想．如：类比一次函数学习反比例函数．
3．掌握转化思想．如：把解二元一次方程组转化为求解两个相应一次函数图象的交点坐标．
4．体会数学建模思想．如：在利用一次函数解决实际问题时，需根据实际问题建立数学模型，从而列出一次函数求解．
课时计划
17．1 变量与函数 1课时
17．2 函数的图象 2课时
17．3 一次函数 4课时
17．4 反比例函数 2课时
17．5 实践与探索 1课时17．2 函数的图象
1 平面直角坐标系(第1课时)
教学目标
一、基本目标
1．理解平面直角坐标系以及横轴、纵轴、原点、坐标等概念，并能画出平面直角坐标系．
2．结合平面直角坐标系，知道不同象限中点的坐标的特征．
二、重难点目标
【教学重点】
根据点的坐标在平面直角坐标系中找出点的位置，平面直角坐标系中点的坐标特征．
【教学难点】
平面直角坐标系中点的坐标特征．
教学过程
环节1 自学提纲，生成问题
【5 min阅读】
阅读教材P34～P35的内容，完成下面练习．
【3 min反馈】
1．在平面上画两条原点重合、互相垂直且具有相同单位长度的数轴，就建立了平面直角坐标系．通常把其中水平的数轴叫做x轴或横轴，取向右为正方向；铅直的数轴叫做y轴或纵轴，取向上为正方向；两条数轴的交点O叫做坐标原点．
2．在平面直角坐标系中，两条坐标轴把平面分成四部分，右上方的部分叫做第一象限，其他三部分按逆时针方向依次叫做第二象限、第三象限、第四象限．坐标轴上的点不属于任何一个象限．
3．坐标轴上的点的坐标特征：横轴上点的纵坐标为0，纵轴上点的横坐标为0，原点的横、纵坐标都为0.
4．象限内点的坐标特点：点P(x，y)分别在：第一象限内，则x＞0，y＞0；第二象限内，则x＜0，y＞0；第三象限内，则x＜0，y＜0；第四象限内，则x＞0，y＜0.
5．平面直角坐标系中的点和有序实数对是一一对应的．
6．如图，直角坐标系中的五角星在( B )
A．第一象限 B.第二象限
C．第三象限 D．第四象限
7．小明建立了如图的直角坐标系，则点A的坐标是(1，2)．
环节2 合作探究，解决问题
活动1 小组讨论(师生互学)
【例1】(1)在如图所示的平面直角坐标系中，描出下列各点：A(－5，0)、B(1，4)、C(3，3)、D(1，0)、E(3，－3)、F(1，－4)．
(2)依次连结A、B、C、D、E、F、A，得到什么图形？
(3)在平面直角坐标系中，点与实数对之间有何关系？
【互动探索】(引发学生思考)在平面直角坐标系中描出点的坐标，连线得出图形的形状．
【解答】(1)如题图所示．
(2)轴对称图形．
(3)在平面直角坐标系中，点与实数对之间是一一对应的关系．
【互动总结】(学生总结，老师点评)(1)在直角坐标系中，对于平面上的任意一点，都有唯一的一个有序实数对(即点的坐标)与它对应；反过来，对于任意一个有序实数对，都有平面上唯一的一点与它对应．(2)纵坐标相同的点所在直线平行(重合)于x轴；横坐标相同的点所在直线平行(重合)于y轴．
活动2 巩固练习(学生独学)
1．坐标平面内的下列各点中，在x轴上的是( B )
A．(0，3)
B．(－3，0)
C．(－1，2)
D．(－2，－3)
2．在直角坐标系中，点P(2，－3)在 ( D )
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
3．如图是画在方格纸上的某一小岛的示意图．
(1)分别写出点A、C、E、G、M的坐标；
(2)(3，6)，(7，9)，(8，7)，(3，3)所代表的点分别是什么？
解：(1)A(2，9)、C(5，8)、E(5，5)、G(7，4)、M(8，1)．
(2)(3，6)，(7，9)，(8，7)，(3，3)分别代表点B、D、F、H.
4．观察图形，并回答以下问题：
(1)写出多边形ABCDEF各个顶点的坐标；
(2)线段BC、CE的位置各有什么特点？
(3)计算多边形ABCDEF的面积．
解：(1)A(－2，0)、B(0，－3)、C(3，－3)、D(4，0)、E(3，3)、F(0，3)．
(2)线段BC平行于x轴(或线段BC垂直于y轴)，线段CE垂直于x轴(或线段CE平行于y轴)．
(3)S多边形ABCDEF＝S△ABF＋S长方形BCEF＋S△CDE＝×6×2＋3×6＋×6×1＝6＋18＋3＝27.
活动3 拓展延伸(学生对学)
【例2】已知点P(a－2，2a＋8)，分别根据下列条件求出点P的坐标．
(1)点P在x轴上；
(2)点P在y轴上；
(3)点Q的坐标为(1，5)，直线PQ∥y轴；
(4)点P到x轴、y轴的距离相等．
【互动探索】在x轴上、y轴上的点的坐标各有什么特征？平行于x轴、y轴的直线上的点的坐标又有什么特征？
【解答】(1)因为点P(a－2，2a＋8)在x轴上，
所以2a＋8＝0，解得a＝－4.
故a－2＝－4－2＝－6，则P(－6，0)．
(2)因为点P(a－2，2a＋8)在y轴上，
所以a－2＝0，解得a＝2.
故2a＋8＝2×2＋8＝12，则P(0，12)．
(3)因为点Q的坐标为(1，5)，直线PQ∥y轴，
所以a－2＝1，解得a＝3.
故2a＋8＝14，则P(1，14)．
(4)因为点P到x轴、y轴的距离相等，
所以a－2＝2a＋8，或a－2＋2a＋8＝0，
解得a＝－10，或a＝－2.
当a＝－10时，a－2＝－12，2a＋8＝－12，则P(－12，－12)；
当a＝－2时，a－2＝－4，2a＋8＝4，则P(－4，4)．
综上所述，点P的坐标为(－12，－12)或(－4，4)．
【互动总结】(学生总结，老师点评)横轴上的点的纵坐标为0，纵轴上的点的横坐标为0.平行于x轴的直线上的点的纵坐标相同，平行于y轴的直线上的点的横坐标相同．
【例3】如图，在一次部队军事对抗演习中甲方已经找到了乙方坐标为A(2，1)和B(－2，1)的两个警卫营的位置，并且知道乙方的指挥所的位置为(3，3)，除此之外不知道其他信息，如何确定乙方的指挥所所处的位置？
B(－2.1) A(2.1)
· ·
【互动探索】观察A、B的坐标，有什么特征？由此能否建系确定原点的位置？
【解答】连结AB，作线段AB的中垂线记为y轴，以AB的中点为起点，以AB长的为一个单位长度向下作一个单位为坐标原点，过原点作AB的平行线记为x轴，建立平面直角坐标系，找到坐标(3，3)即可．如图，点C所示位置即为乙方的指挥所所处的位置．
【互动总结】(学生总结，老师点评)两点的纵坐标相等，横坐标互为相反数时，连结两点所成线段的中垂线即为y轴所在直线．
环节3 课堂小结，当堂达标
(学生总结，老师点评)
1．平面直角坐标系
2．平面直角坐标系中的点一一对应，有序数对
点P(x，y)的位置 点的坐标特征
第一象限 x>0，y>0
第二象限 x<0，y>0
第三象限 x<0，y<0
第四象限 x>0，y<0
x轴上 y＝0
y轴上 x＝0
坐标原点 x＝0，y＝0
练习设计
请完成本课时对应练习！
2 函数的图象(第2课时)
教学目标
一、基本目标
1．理解并掌握描点法，会根据描点法在平面直角坐标系中画出函数的图象．
2．根据函数图象解决实际问题．
二、重难点目标
【教学重点】
描点法画函数图象．
【教学难点】
根据函数图象解决实际问题．
教学过程
环节1 自学提纲，生成问题
【5 min阅读】
阅读教材P36～P40的内容，完成下面练习．
【3 min反馈】
1．一般来说，函数的图象是由平面直角坐标系中一系列的点组成的．图象上每一点的坐标(x，y)代表了函数的一对对应值，它的横坐标x表示自变量的某一值，纵坐标y表示该自变量对应的函数值．
2．描点法通常可概括为三步，即列表、描点、连线．
3．在实际问题中，为了表达的方便，平面直角坐标系的横轴和纵轴的单位长度可以不一致，这不影响对问题的表达和理解．
4．上周周末放学，小华的妈妈来学校门口接他回家，小华离开教室后不远便发现把文具盒遗忘在了教室里，于是以相同的速度折返回去拿，到了教室后碰到班主任，并与班主任交流了一下周末计划才离开，为了不让妈妈久等，小华快步跑到学校门口，则小华离学校门口的距离y与时间t之间的函数关系的大致图象是( B )
环节2 合作探究，解决问题
活动1 小组讨论(师生互学)
【例1】在同一直角坐标系中，画出函数y1＝－和y2＝－x－1的图象．
【互动探索】(引发学生思考)按列表、描点、连线的方法解决问题．
【解答】列表如下：
x … －3 －2 －1 1 2 3 …
y1 … 1 2 －2 －1 － …
y2 … 2 1 0 －2 －3 －4 …
描点、连线，得两函数图象如下：
【互动总结】(学生总结，老师点评)作函数图象的一般步骤：列表、描点、连线．连线时，一定要用平滑的曲线将各点连起来．
【例2】甲、乙两名运动员在一次赛跑中，路程(米)与时间(秒)之间的关系图象如图所示，请根据图象回答下列问题：
(1)这次比赛的距离是多少？
(2)甲、乙两人中先到达终点的是谁？
(3)乙在这次赛跑中的平均速度是多少？
【互动探索】(引发学生思考)图中两条直线各表示什么意思？由图象可以得到哪些信息？如何利用得到的信息求解？
【解答】(1)由图象可知，甲、乙的终点的纵坐标均为100，故这次比赛的距离是100米．
(2)由图知，甲、乙两人同时出发，甲到达终点所用的时间较少，故甲、乙两人中先到达终点的是甲．
(3)由图知，乙到达终点时，横坐标t＝12.5，纵坐标s＝100，即乙跑完100米用了12.5秒，则v＝＝＝8，故乙在这次赛跑中的平均速度是8米/秒．
【互动总结】(学生总结，老师点评)解此类题时，要仔细读图，从图中找出有用信息，进而求解．
活动2 巩固练习(学生独学)
1．均匀地向一个容器注水，最后把容器注满，在注水过程中，水面高度h随时间t的变化规律如图所示(图中OABC为折线)，这个容器的形状可以是 ( C )
第1题
第2题
2．小高从家门口骑车去单位上班，先走平路到达点A，再走上坡路到达点B，最后走下坡路到达工作单位，所用的时间与路程的关系如图所示．下班后，如果他沿原路返回，且走平路、上坡路、下坡路的速度分别保持和去上班时一致，那么他从单位到家门口需要的时间是15分钟．
3．如图，l1反映了某公司产品的销售收入与销售量的关系，l2反映了该公司产品的销售成本与销售量的关系，根据图象判断：当该公司盈利(收入大于成本)时，销售量必须大于4.
4．画出函数y＝2x2－4x－6的图象．
解：列表如下：
x … －1 0 1 2 3 …
y … 0 －6 －8 －6 0 …
描点、连线，得函数y＝2x2－4x－6的图象如下：
5．小刘从家里骑自行车出发，去镇上超市途中碰到妹妹甜甜走路从镇上回家，小刘在超市买完东西回家，在回去的路上又碰到了甜甜，便载甜甜一起回家，结果小刘比正常速度回家的时间晚了3 min，二人离镇的距离s(km)和小刘从家出发后的时间t(min)之间的关系如图所示．(假设二人之间交流时间忽略不计)
(1)小刘家离镇上的距离8 km；
(2)小刘和甜甜第1次相遇时离镇上距离是多少？
(3)小刘从家里出发到回家所用时间是多少？
解：(2)＝0.2(km/min)，0.2×15＝3(km)，故小刘和甜甜第1次相遇时离镇上距离是8－3＝5(km)．
(3)40＋20＋15＋(8－6)÷＋3＝83(min)，故小刘从家里出发到回家所用时间是83 min.
活动3 拓展延伸(学生对学)
【例3】如图1，点P从△ABC的顶点B出发，沿B→C→A匀速运动到点A，图2是点P运动时，线段BP的长度y随时间x变化的关系图象，其中M为曲线部分的最低点，则△ABC的面积是________．
图1
图2
【互动探索】根据图象可知点P在BC上运动时，BP不断增大，而从点C向点A运动时，BP先变小后变大，由此可求出BC与AC的长度．
【分析】由图象可知，点P从点B向点C运动时，BP的最大值为5，即BC＝5.
点P由点C向点A运动时，M是曲线部分的最低点，此时BP最小，即满足BP⊥AC，且BP＝4，则在Rt△BPC中，由勾股定理，得PC＝＝3.
又图象的曲线部分是轴对称图形，所以PA＝PC＝3，所以AC＝6，所以S△ABC＝AC·BP＝×6×4＝12.
【答案】12
【互动总结】(学生总结，老师点评)本题考查动点问题的函数图象，解题的关键是结合图象求出BC与AC的长度．
环节3 课堂小结，当堂达标
(学生总结，老师点评)
1．描点法：列表、描点、连线．
2．读函数图象，解决实际问题．
练习设计
请完成本课时对应练习！17．4 反比例函数
1 反比例函数(第1课时)
教学目标
一、基本目标
1．理解并掌握反比例函数的定义，能判断一个给定的函数是否为反比例函数．
2．从实际问题中抽象出反比例函数的模型，能根据已知条件确定反比例函数的表达式．
二、重难点目标
【教学重点】
反比例函数的概念．
【教学难点】
根据已知条件列出函数关系式．
教学过程
环节1 自学提纲，生成问题
【5 min阅读】
阅读教材P54～P55的内容，完成下面练习．
【3 min反馈】
1．一般地，形如y＝(k是常数，k≠0)的函数叫做反比例函数．反比例函数中，自变量的取值范围是不等于0的一切实数．
2．下列函数中，是反比例函数的有③④⑤⑦.(填序号)
①y＝2x＋1；②y＝；③y＝；④y＝－；⑤xy＝3；⑥2y＝x；⑦xy＝－1.
环节2 合作探究，解决问题
活动1 小组讨论(师生互学)
【例1】已知函数y＝(2m2＋m－1)x2m2＋3m－3是反比例函数，求m的值．
【互动探索】(引发学生思考)在反比例函数y＝中的隐含条件是x的次数为－1，k≠0.
【解答】∵y＝(2m2＋m－1)x2m2＋3m－3是反比例函数，
∴解得m＝－2.
【互动总结】(学生总结，老师点评)反比例函数也可以写成y＝kx－1(k≠0)的形式，注意x的次数为－1，系数不等于0.
活动2 巩固练习(学生独学)
1．下列函数表达式中，y是x的反比例函数的是( B )
A．y＝ B．y＝
C．y＝ D．y＝
2．反比例函数y＝(m＋1)x－1中，m的取值范围是( B )
A．m≠1 B．m≠－1
C．m≠±1 D．全体实数
3．反比例函数y＝(k≠0)，若x＝时，y＝4，则k等于 ( C )
A． B．4
C．4 D．
4．当a＝2时，函数y＝(a＋2)xa2－5是反比例函数．
5．某蓄水池的排水管每小时排水8 m3，6 h可将满池水全部排空．
(1)蓄水池的容积为48 m3；
(2)若每小时排水用Q(m3)表示，则排水时间t(h)与Q(m3)的函数表达式为t＝.
活动3 拓展延伸(学生对学)
【例2】已知变量x、y满足(x－2y)2＝(x＋2y)2＋10，则y是否与x成反比例关系？如果不是，请说明理由；如果是，请求出比例系数．
【互动探索】题中不能直接判断x、y是否满足关系式xy＝k(k≠0)，需要将等式化简再进行判断．
【解答】∵(x－2y)2＝(x＋2y)2＋10，
∴x2－4xy＋4y2＝x2＋4xy＋4y2＋10.
整理，得8xy＝－10，∴y＝，
∴y与x成反比例关系，比例系数为－.
【互动总结】(学生总结，老师点评)判断一个函数是否是反比例函数，先看它能否写成反比例函数的三种表达形式，再看常数k是否满足k≠0.
环节3 课堂小结，当堂达标
(学生总结，老师点评)
1．反比例函数的三种常见形式：y＝；y＝kx－1；xy＝k(k≠0)．
2．根据已知条件列出函数关系．
练习设计
请完成本课时对应练习！
2 反比例函数的图象和性质(第2课时)
教学目标
一、基本目标
1．经历画反比例函数的图象，归纳得到反比例函数的图象特征和性质的过程．
2．会画反比例函数图象，理解并掌握反比例函数的图象和性质，能利用待定系数法求反比例函数的表达式．
3．能够初步应用反比例函数的图象和性质解题．
二、重难点目标
【教学重点】
反比例函数的图象和性质．
【教学难点】
运用反比例函数的图象和性质解决问题．
教学过程
环节1 自学提纲，生成问题
【5 min阅读】
阅读教材P56～P58的内容，完成下面练习．
【3 min反馈】
1．类比一次函数图象的作法，作反比例函数的图象的一般步骤也是：列表、描点、连线．
2．反比例函数的图象有两支，通常称为双曲线．
3．反比例函数y＝(k≠0，k为常数)有下列性质：
(1)若k>0，函数的图象在第一、三象限，在每个象限内，曲线从左向右下降，也就是说，当x>0(或x<0)时，y随x的增大而减小；
(2)若k<0，函数的图象在第二、四象限，在每个象限内，曲线从左向右上升，也就是说，当x>0(或x<0)时，y随x的增大而增大．
4．反比例函数y＝－的图象大致是 ( D )
5．已知反比例函数y＝.
(1)若函数的图象位于第一、三象限，则k＜4；
(2)若在每一象限内，y随x的增大而增大，则k＞4.
环节2 合作探究，解决问题
活动1 小组讨论(师生互学)
【例1】作出反比例函数y＝的图象，并根据图象解答下列问题：
(1)当x＝4时，求y的值；
(2)当y＝－2时，求x的值．
【互动探索】(引发学生思考)画函数图象的基本步骤是什么？已知自变量的值(或函数值)，将其代入函数表达式，即可求出对应的函数值(或自变量的值)．
【解答】列表：
x … －6 －4 －3 －2 2 3 4 6
y … －2 －3 －4 －6 6 4 3 2
描点、连线，函数y＝的图象如图所示：
(1)当x＝4时，y＝3.
(2)当y＝－2时，x＝－6.
【互动总结】(学生总结，老师点评)作反比例函数图象时要注意：(1)列表时，自变量的值可以选取一些互为相反数的值，这样既可以简化计算，又便于对称描点；(2)列表描点时，要尽量多取一些数值，多描一些点，这样既可以方便连线，又较准确地表达函数变化趋势；(3)连线时，一定要养成按自变量从小到大的顺序，依次用平滑的曲线连接，从中体会函数的增减性．
【例2】已知反比例函数y＝(k为常数，k≠0)的图象经过点A(2，3)．
(1)求这个函数的表达式；
(2)判断点B(－1，6)、C(3，2)是否在这个函数的图象上，并说明理由．
【互动探索】(引发学生思考)(1)要求反比例函数的表达式，那么需要确定k的值；
(2)点在函数图象上，则点满足所给函数表达式．
【解答】(1)∵反比例函数y＝的图象经过点A(2，3)，
∴3＝，解得k＝6，
∴这个函数的表达式为y＝.
(2)把B、C两点的坐标代入y＝，有6≠－6，2＝，
∴点B不在该函数图象上，点C在该函数图象上．
【互动总结】(学生总结，老师点评)已知过反比例函数图象的一点，即可用待定系数法求出其表达式．
【例3】若点(x1，y1)，(x2，y2)，(x3，y3)都是反比例函数y＝－图象上的点，并且y1＜0＜y2＜y3，判断x1、x2、x3的大小关系．
【互动探索】(引发学生思考)要根据函数值的大小判断自变量的大小，需考虑函数的增减性．特别要注意的是，只有在同一象限，反比函数的增减性才适用．
【解答】∵反比例函数y＝－中，k＝－1＜0，
∴此函数的图象在第二、四象限，且在每一象限内y随x的增大而增大．
∵y1＜0＜y2＜y3，
∴点(x1，y1)在第四象限，(x2，y2)，(x3，y3)两点均在第二象限，
∴x2＜x3＜x1.
【互动总结】(学生总结，老师点评)利用反比例函数的性质比较函数值或自变量的大小：(1)看k的符号，明确函数的增减情况；(2)看两点是否在同一个象限内，若不在同一个象限内，借助图象即可判断函数值或自变量的大小；若在同一个象限内，则比较两个横(纵)坐标的大小，根据函数的增减情况，得出函数值(自变量)的大小．
活动2 巩固练习(学生独学)
1．对于反比例函数y＝，下列说法不正确的是 ( C )
A．点(－2，－1)在它的图象上
B．当x＜0时，y随x的增大而减小
C．当x>0时，y随x的增大而增大
D．它的图象在第一、三象限
2．函数y＝的图象上有两点A(x1，y1)、B(x2，y2)，若0＜x1＜x2，则( A )
A．y1＜y2
B．y1＞y2
C．y1＝y2
D．y1、y2的大小不确定
3．函数y＝－的图象，在每一个象限内，y随x的增大而增大．
4．已知反比例函数y＝的图象上两点A(x1，y1)、B(x2，y2)，当x1＜0＜x2时，有y1＜y2，则m的取值范围是m＜.
活动3 拓展延伸(学生对学)
【例4】若ab<0，则正比例函数y＝ax和反比例函数y＝在同一坐标系中的大致图象可能是下图中的( )
【互动探索】∵ab<0，∴a、b异号，分两种情况：(1)当a>0，b<0时，正比例函数y＝ax的图象在第一、三象限，且过原点，反比例函数图象在第二、四象限，无此选项；(2)当a<0，b>0时，正比例函数的图象在第二、四象限，且过原点，反比例函数图象在第一、三象限，选项C符合．故选C.
【答案】C
【互动总结】(学生总结，老师点评)解此类题既可以用分析法，也可以用排除法．用分析法时，根据题干逐一分析，得出不同条件下的结果，再与选项对比得出答案．用排除法时，每个选项逐一分析，看是否满足题干条件．
环节3 课堂小结，当堂达标
(学生总结，老师点评)
反比例函数y＝(k≠0)
k k>0 k<0
图象 图象位于第一、三象限 图象位于第二、四象限
性质 在每个象限内，y随x的增大而减小 在每个象限内，y随x的增大而增大
练习设计
请完成本课时对应练习！17．3 一次函数
1 一次函数(第1课时)
教学目标
一、基本目标
1．理解并掌握一次函数、正比例函数的一般形式．
2．运用一次函数、正比例函数知识解决实际问题．
二、重难点目标
【教学重点】
一次函数、正比例函数的一般形式．
【教学难点】
探索实际问题中的一次函数、正比例函数关系．
教学过程
环节1 自学提纲，生成问题
【5 min阅读】
阅读教材P43～P45的内容，完成下面练习．
【3 min反馈】
1．若函数的关系式是用自变量的一次整式表示的，我们称它为一次函数．一次函数通常可以表示为y＝kx＋b的形式，其中k、b是常数，k≠0.特别地，当b＝0时，一次函数y＝kx(常数k≠0)也叫做正比例函数．
2．下列函数中，一次函数是( B )
A．y＝8x2 B.y＝x＋1
C．y＝ D．y＝
3．下面两个变量是正比例函数关系的是 ( D )
A．正方形的面积和它的边长
B．变量x增加，变量y也随之增加
C．矩形的一组对边的边长固定，它的周长和另一组对边的边长
D．圆的周长与它的半径
4．已知y＝(k－1)x＋k2－1，当k≠1时，它是一次函数；当k＝－1时，它是正比例函数．
环节2 合作探究，解决问题
活动1 小组讨论(师生互学)
【例1】下列函数关系式中，哪些是一次函数，哪些是正比例函数？
(1)y＝－x－4； (2)y＝5x2－6；
(3)y＝2πx; (4)y＝－；
(5)y＝； (6)y＝8x2＋x(1－8x)．
【互动探索】(引发学生思考)一次函数的表达式是什么形式？正比例函数在一次函数形式的基础上又有什么特别条件？
【解答】(1)是一次函数，不是正比例函数．
(2)不是一次函数，也不是正比例函数．
(3)是一次函数，也是正比例函数．
(4)是一次函数，也是正比例函数．
(5)不是一次函数，也不是正比例函数．
(6)是一次函数，也是正比例函数．
【互动总结】(学生总结，老师点评)判断一个函数是一次函数的条件：自变量是一次整式，一次项系数不为零；判断一个函数是正比例函数的条件：自变量是一次整式，一次项系数不为零，常数项为零．
【例2】已知函数y＝(m－5)xm2－24＋m＋1.
(1)若它是一次函数，求m的值；
(2)该函数可能是正比例函数吗？若是正比例函数，求m的值．
【互动探索】(引发学生思考)要使函数是一次函数，则x的指数和系数应分别满足什么条件？若是正比例函数，则还需加上什么条件？
【解答】(1)因为y＝(m－5)xm2－24＋m＋1是一次函数，
所以m2－24＝1，且m－5≠0，
所以m＝±5，且m≠5，得m＝－5，
所以当m＝－5时，函数y＝(m－5)xm2－24＋m＋1是一次函数．
(2)若y＝(m－5)xm2－24＋m＋1是正比例函数，
则m2－24＝1，且m－5≠0，且m＋1＝0，
所以m＝±5，且m≠5，且m＝－1，
则这样的m不存在，
所以函数y＝(m－5)xm2－24＋m＋1不可能为正比例函数．
【互动总结】(学生总结，老师点评)函数y＝kxm＋b是一次函数，则k≠0，且自变量的次数m＝1.当b＝0时，一次函数为正比例函数．
活动2 巩固练习(学生独学)
1．对于函数y＝2x－1，当自变量增加m时，相应的函数值增加( A )
A．2m B.2m－1
C．m D．2m＋1
2．已知一次函数y＝2x＋1，当x＝0时，函数y的值是1.
3．乌鲁木齐至库尔勒的铁路长约600千米，一列火车从乌鲁木齐出发，其平均速度为58千米/时，则火车离库尔勒的距离s(千米)与行驶时间t(小时)的函数关系式是s＝600－58t.
4．写出下列各题中y与x之间的关系式，并判断y是否为x的一次函数？是否为正比例函数？
(1)小红去商店买笔记本，每本笔记本2.5元，小红所付款y(元)与买笔记本的本数x(本)之间的关系；
(2)有一个长为120米、宽为110米的矩形场地准备扩建，使长增加x米，宽增加y米，且使矩形的周长为500米，y与x之间的关系．
解：(1)y＝2.5x，既是一次函数，又是正比例函数．
(2)y＝－x＋20，是一次函数，但不是正比例函数．
活动3 拓展延伸(学生对学)
【例3】某公司以每吨200元的价格购进某种矿石原料300吨，用以生产甲、乙两种产品，生产1吨甲产品或1吨乙产品所需该矿石和煤原料的吨数如下表：
甲 乙
矿石(吨) 10 4
煤(吨) 4 8
煤的价格为400元/吨，生产1吨甲产品除原料费用外，还需其他费用400元，甲产品每吨售价4600元；生产1吨乙产品除原料费用外，还需其他费用500元，乙产品每吨售价5500元．现将该矿石原料全部用完，设生产甲产品x吨，乙产品m吨，公司获得的总利润为y元．
(1)写出m与x的关系式；
(2)写出y与x的函数关系式．(不要求写自变量的取值范围)
【互动探索】(1)因为矿石的总量一定，当生产的甲产品的数量x变化时，那么乙产品的数量m将如何变化？
(2)要写出y与x的函数关系式，题中的等量关系是什么？
【解答】(1)因为4m＋10x＝300，
所以m＝.
(2)生产1吨甲产品获利4600－10×200－4×400－400＝600(元)；生产1吨乙产品获利5500－4×200－8×400－500＝1000(元)，所以y＝600x＋1000m.将m＝代入，得y＝600x＋1000×，即y＝－1900x＋75 000.
【互动总结】(学生总结，老师点评)根据条件求一次函数的关系式时，要找准题中所给的等量关系，然后求解．
环节3 课堂小结，当堂达标
(学生总结，老师点评)
一次函数：y＝kx＋b(k、b是常数，k≠0)
正比例函数：y＝kx(k≠0)
练习设计
请完成本课时对应练习！
2 一次函数的图象(第2课时)
教学目标
一、基本目标
1．认识一次函数和正比例函数的图象，会画一次函数和正比例函数的图象，掌握其函数图象的特点．
2．利用数形结合思想，得出一次函数和正比例函数图象的关系，能进行相互间的转化．
二、重难点目标
【教学重点】
一次函数和正比例函数图象的特点和画法．
【教学难点】
一次函数和正比例函数图象的关系．
教学过程
环节1 自学提纲，生成问题
【5 min阅读】
阅读教材P45～P48的内容，完成下面练习．
【3 min反馈】
1．一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象是一条直线，通常也称为直线y＝kx＋b.因此，画一次函数的图象时只要确定了两个点，再作过两点的直线就可以了．特别地，正比例函数y＝kx(k≠0)的图象是经过原点(0，0)的一条直线．因此，画正比例函数的图象时，只要先描出原点以外的任意一点，过该点和原点画直线即可．
2．一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象可以看作由正比例函数y＝kx(k≠0)的图象上下平移得到的：当b>0时，把正比例函数y＝kx的图象向上平移b个单位即得一次函数y＝kx＋b的图象；当b<0时，把正比例函数y＝kx的图象向下平移|b|个单位即得一次函数y＝kx＋b的图象．
3．下列函数的图象经过原点的是( B )
A．y＝2x＋1 B.y＝x
C．y＝2x－3 D．y＝
4．一次函数y＝－3x－9的图象与x轴的交点坐标是(－3，0)，与y轴的交点坐标是(0，－9)．
环节2 合作探究，解决问题
活动1 小组讨论(师生互学)
【例1】在同一直角坐标系中画出下列函数的图象，并说出它们有什么关系．
(1)y＝－2x； (2)y＝－2x－4.
【互动探索】(引发学生思考)一次函数图象是一条直线，怎样作出它的图象呢？
【解答】列表如下：
x 0 1
y＝－2x 0 －2
x 0 －2
y＝－2x－4 －4 0
描点、连线，得两函数图象如下：
由图象可知，将直线y＝－2x向下平移4个单位长度即得直线y＝－2x－4.
【互动总结】(学生总结，老师点评)一次函数的图象是直线，所以根据两点确定一条直线，只要找出坐标满足函数关系式的两个点，作过这两个点的直线就是所要求作的一次函数的图象，此方法也称为两点法．通常选择两个特殊的点，即直线y＝kx＋b与x轴的交点和与y轴的交点(0，b)．
【例2】某同学带10元钱去文具店买铅笔，每支铅笔定价1.50元，写出剩余的钱y(元)与所买铅笔x(支)之间的函数关系式，并在图中画出函数的图象．
【互动探索】已知总钱数和铅笔的单价，根据“剩余的钱＝总钱数－买铅笔花的钱”可得函数关系式，如何画出其图象？
【解答】根据题意，得剩余的钱y(元)与所买铅笔x(支)之间的函数关系式为y＝10－1.5x(x是正整数)．
因为10－1.5x≥0，且x是正整数，所以x≤6且为正整数，所以图象应是6个离散的点，如题图所示．
【互动总结】(学生总结，老师点评)一次函数的图象可能是一条直线，也可能是一条线段，还可能是一条射线、一条折线或离散的点，这全部取决于自变量的取值范围，因此在解题时应具体问题具体分析．
活动2 巩固练习(学生独学)
1．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝x＋1的图象是 ( C )
2．如果将直线l1：y＝2x－2平移后得到直线l2：y＝2x，那么下列平移过程正确的是 ( C )
A．将l1向左平移2个单位
B．将l1向右平移2个单位
C．将l1向上平移2个单位
D．将l1向下平移2个单位
3．某单位准备和一个体车主或一国营出租车公司中的一家签订月租车合同，设汽车每月行驶x千米，个体车主收费y1元，国营出租车公司收费y2元，观察下列图象可知，当x>1500时，选用个体车较合算．
4．已知一次函数y＝x＋2的图象与x轴相交于点A，与y轴相交于点B.
(1)求点A、B的坐标，并在如图的坐标系中画出函数y＝x＋2的图象；
(2)若点C(2，m)在函数y＝x＋2的图象上，求点C到x轴的距离．
解：(1)在y＝x＋2中，令y＝0，得x＝－4；令x＝0，得y＝2，∴A(－4，0)、B(0，2)．
其图象如题图所示．
(2)∵点C(2，m)在函数y＝x＋2的图象上，∴m＝×2＋2＝3，∴点C到x轴的距离为3.
活动3 拓展延伸(学生对学)
【例3】如图，直线y＝－2x＋3与x轴相交于点A，与y轴相交于点B，过点B作直线BP与x轴相交于点P，且使OP＝2OA，求△ABP的面积．
【互动探索】先根据直线y＝－2x＋3求出点A、B的坐标，再由OP＝2OA求出点P的坐标，进而求出△ABP的面积．
【解答】在y＝－2x＋3中，令y＝0，得x＝；令x＝0，得y＝3，
∴A、B(0，3)．
∵OP＝2OA，
∴P(3，0)或(－3，0)，
∴AP＝或，
∴S△ABP＝AP·OB＝××3＝，或S△ABP＝AP·OB＝××3＝.
【互动总结】(学生总结，老师点评)解此题时注意点P的位置要分情况讨论，不要漏解．
环节3 课堂小结，当堂达标
(学生总结，老师点评)
一次函数的图象
练习设计
请完成本课时对应练习！
3 一次函数的性质(第3课时)
教学目标
一、基本目标
1．理解并掌握一次函数的性质．
2．能灵活运用一次函数的图象与性质解答有关问题．
二、重难点目标
【教学重点】
一次函数的性质．
【教学难点】
根据一次函数的图象特征理解并掌握一次函数的性质．
教学过程
环节1 自学提纲，生成问题
【5 min阅读】
阅读教材P48～P50的内容，完成下面练习．
【3 min反馈】
1．一次函数y＝kx＋b(k≠0)有下列性质：
(1)若k>0，y随x的增大而增大，这时函数的图象从左到右上升；
(2)若k<0，y随x的增大而减小，这时函数的图象从左到右下降．
2．下列函数中，y的值随x的值增大而增大的函数是 ( C )
A．y＝－2x B．y＝－2x＋1
C．y＝x－2 D．y＝－x－2
3．点A(－1，y1)、B(3，y2)是直线y＝kx＋b(k<0)上的两点，则y1－y2>0.(填“>”或“<”)
4．已知一次函数y＝(2m－1)x＋m＋5，当m满足什么条件时，函数值y随x的增大而减小？
解：由题意，得2m－1<0，解得m<.
∴当m<时，函数值y随x的增大而减小．
环节2 合作探究，解决问题
活动1 小组讨论(师生互学)
【例1】已知一次函数y＝(2＋m)x＋(n－4)．
(1)m为何值时，y随x的增大而减小？
(2)m、n为何值时，函数图象与y轴的交点在x轴的下方？
(3)m、n为何值时，函数图象过原点？
【互动探索】(引发学生思考)(1)因为k<0时，y随x的增大而减小，故2＋m<0；(2)要使直线与y轴的交点在x轴的下方，必有2＋m≠0，同时n－4<0；(3)直线过原点是正比例函数的特征，即2＋m≠0且n－4＝0.
【解答】(1)依题意，得2＋m<0，即m<－2.
故当m<－2时，y随x的增大而减小．
(2)依题意，得解得n<4且m≠－2.
故当m≠－2且n<4时，函数图象与y轴的交点在x轴的下方．
(3)依题意，得解得n＝4且m≠－2.
故当m≠－2且n＝4时，函数图象过原点．
【互动总结】(学生总结，老师点评)一次函数y＝kx＋b(k≠0)中，k的符号决定直线上升或下降，b的符号决定直线与y轴的交点位置，在考虑b的值时，同时要考虑k≠0这一隐含条件．在利用一次函数的性质解决问题时，常常结合方程和不等式求解．
活动2 巩固练习(学生独学)
1．一次函数y＝x－1的图象经过的象限是 ( D )
A．第一、二、三象限
B．第一、二、四象限
C．第二、三、四象限
D．第一、三、四象限
2．一次函数y＝mx＋n－2的图象如图所示，则m、n的取值范围是 ( D )
A．m>0，n<2 B.m>0，n>2
C．m<0，n<2 D．m<0，n>2
3．已知直线y＝x＋5与一条经过原点的直线l平行，则直线l的函数表达式为y＝x.
4．你能找出下列四个一次函数对应的图象吗？
(1)y＝－2x＋1；(2)y＝x－1；(3)y＝x；(4)y＝－x.
解：四个图象对应的函数关系式依次为(3)、(1)、(2)、(4)．
活动3 拓展延伸(学生对学)
【例2】两个一次函数y1＝ax＋b与y2＝bx＋a，它们在同一坐标系中的图象可能是( )
【互动探索】A、C选项中，由y1的图象知a>0，b<0，则y2的图象应过第一、二、四象限，故A错误，C正确；B选项中，由y1的图象知a>0，b>0，则y2的图象应过第一、二、三象限，故B错误；D选项中，由y1的图象知a<0，b>0，则y2的图象应过第一、三、四象限，故D错误．故选C.
【答案】C
【互动总结】(学生总结，老师点评)解此类题目时要注意前后两个函数中同一字母的取值与符号都相同．
环节3 课堂小结，当堂达标
(学生总结，老师点评)
练习设计
请完成本课时对应练习！
4 求一次函数的表达式(第4课时)
教学目标
一、基本目标
理解并掌握用待定系数法求一次函数的表达式．
二、重难点目标
【教学重点】
用待定系数法求一次函数的表达式．
【教学难点】
待定系数法．
教学过程
环节1 自学提纲，生成问题
【5 min阅读】
阅读教材P50～51的内容，完成下面练习．
【3 min反馈】
1．待定系数法：先设待求函数表达式(其中含有待定系数)，再根据条件列出方程或方程组，求出待定系数，从而得到所求结果的方法．
2．已知正比例函数图象经过点(2，－4)，其解析式为( B )
A．y＝2x B.y＝－2x
C．y＝x D．y＝－x
3．已知y与x＋1成正比例，比例系数是2，则y与x的函数关系式是y＝2x＋2.
环节2 合作探究，解决问题
活动1 小组讨论(师生互学)
【例1】已知一次函数的图象经过(0，5)，(2，－5)两点，求一次函数的表达式．
【互动探索】(引发学生思考)先设一次函数的表达式为y＝kx＋b，因为它的图象经过(0，5)，(2，－5)两点，所以当x＝0时，y＝5；当x＝2时，y＝－5.由此可以得到两个关于k、b的方程，通过解方程组即可求出待定系数k和b的值，再代回原设即可．
【解答】设一次函数的表达式为y＝kx＋b.
根据题意，得解得
∴一次函数的表达式为y＝－5x＋5.
【互动总结】(学生总结，老师点评)“两点式”是求一次函数表达式的基本题型．一次函数y＝kx＋b中有两个待定系数k、b，因而需要知道两个点的坐标才能确定函数的关系式．
活动2 巩固练习(学生独学)
1．已知正比例函数y＝kx，当x＝－3时，y＝6，那么该正比例函数应为( B )
A．y＝x B.y＝－2x
C．y＝－x D．y＝2x
2．一次函数的图象经过点(2，1)和(－1，－3)，则它的表达式为 ( D )
A．y＝x－ B.y＝x－
C．y＝x＋ D．y＝x－
3．已知y＝kx－4，当x＝－2时，y＝0，则k＝－2.
4．如图，在平面直角坐标系中，直线l经过第一、二、四象限，点A(0，m)在l上．
(1)在图中标出点A；
(2)若m＝2，且l过点(－3，4)，求直线l的表达式．
解：(1)如题图所示．
(2)设直线l的表达式为y＝kx＋b.把(0，2)，(－3，4)分别代入，得解得故直线l的表达式为y＝－x＋2.
活动3 拓展延伸(学生对学)
【例2】某商店售货时，在进价的基础上加一定利润，其数量x与售价y的关系如下表所示，请你根据表中所提供的信息，列出售价y(元)与数量x(千克)的函数关系式，并求出当数量是2.5千克时的售价.
数量x/千克 售价y/元
1 8＋0.4
2 16＋0.8
3 24＋1.2
4 32＋1.6
5 40＋2.0
… …
【互动探索】从表中可以看出售价由8＋0.4依次向下扩大到2倍、3倍……从中怎样得到函数关系式？
【解答】由表中信息，得y＝(8＋0.4)x＝8.4x，即售价y与数量x的函数关系式为y＝8.4x.当x＝2.5时，y＝8.4×2.5＝21，所以数量是2.5千克时的售价是21元．
【互动总结】(学生总结，老师点评)解此类题要根据所给的条件建立函数模型，得出变化关系，并求出函数的表达式，进而根据函数的表达式作答．
环节3 课堂小结，当堂达标
(学生总结，老师点评)
练习设计
请完成本课时对应练习！17．5 实践与探索
教学目标
一、基本目标
1．理解并掌握一次函数与一元一次方程、一元一次不等式、二元一次方程组的关系．
2．能运用图象法解决一些与不等式(组)和方程(组)有关的实际问题．
3．能求出实际问题中的近似函数关系．
二、重难点目标
【教学重点】
一次函数与一元一次方程、一元一次不等式、二元一次方程组的关系，运用图象法解决与不等式(组)和方程(组)有关的问题．
【教学难点】
实际问题中的近似函数关系．
教学过程
环节1 自学提纲，生成问题
【5 min阅读】
阅读教材P59～P63的内容，完成下面练习．
【3 min反馈】
1．教材P60“思考”答案：(1)“收费相同”在图象上用甲、乙的交点反映出来．
(2)图象上的点对应的纵坐标表示此时复印费的多少．
2．教材P62“思考”答案：一元一次方程x＋3＝0的解就是函数y＝x＋3的图象与x轴交点的横坐标；不等式x＋3>0的解集就是函数y＝x＋3的图象在x轴上方的所有点的横坐标的集合．
3．前面我们采用待定系数法求得一次函数和反比例函数的表达式，但是现实生活中的数量关系是错综复杂的，在实践中得到一些变量的对应值，有时很难精确地判断它们有怎样的函数关系，需要我们根据经验分析，进行近似计算和修正，列出比较接近的函数表达式．
4．看图填空：
(1)当y＝0时，x＝－2；
(2)直线对应的函数表达式是y＝0.5x＋1；
(3)一元一次方程0.5x＋1＝0与一次函数y＝0.5x＋1有什么联系？
解：一元一次方程0.5x＋1＝0的解是一次函数的函数值为0时自变量的值．
环节2 合作探究，解决问题
活动1 小组讨论(师生互学)
【例1】自来水公司有甲、乙两个蓄水池，现将甲池中的水匀速注入乙池，甲、乙两个蓄水池中水的深度y(米)与注水时间x(小时)之间的函数图象如图所示，结合图象回答下列问题．
(1)分别求出甲、乙两个蓄水池中水的深度y与注水时间x之间的函数表达式；
(2)求注水多长时间后，甲、乙两个蓄水池水的深度相同；
(3)3小时后，若将乙蓄水池中的水按原速全部注入甲蓄水池，又需多长时间？
【互动探索】(引发学生思考)(1)根据图象确定点的坐标，再运用待定系数法确定函数表达式；(2)根据甲、乙两个蓄水池水的深度相同，可以得到一个一元一次方程，解此方程可得注水时间；(3)由图可知乙蓄水池的水深为4米，乙蓄水池水上升的速度为1米/小时，由此求得答案．
【解答】(1)设甲、乙两个蓄水池中水的深度y与注水时间x之间的函数表达式分别为y甲＝kx＋b，y乙＝k′x＋b′.
根据甲的函数图象可知，当x＝0，y＝2；当x＝3时，y＝0，将它们代入y甲＝kx＋b中，得k＝－，b＝2，所以甲蓄水池中水的深度y与注水时间x之间的函数关系式为y甲＝－x＋2.
同理可得乙蓄水池中水的深度y与注水时间x之间的函数关系式为y乙＝x＋1.
(2)由题意，得－x＋2＝x＋1，解得x＝.
故当注水小时后，甲、乙两个蓄水池水的深度相同．
(3)4÷(3÷3)＝4(小时)，所以若将乙蓄水池中的水按原速全部注入甲蓄水池，又需要4小时．
【互动总结】(学生总结，老师点评)解题时，先根据图象确定一次函数的表达式．再结合方程思想求解．
【例2】在同一坐标系下，函数y＝2x＋10与y＝5x＋4的图象如图所示：
请根据图象回答：
(1)方程组的解为________；
(2)不等式2x＋10＜0的解集为________；
(3)方程5x＋4＝0的解为________；
(4)不等式2x＋10＜5x＋4的解集为________．
【互动探索】(引发学生思考)观察图象可知：
(1)两函数的交点为(2，14)，则方程组的解为
(2)不等式2x＋10＜0的解集为x＜－5，即直线y＝2x＋10在x轴下方部分对应的x的取值；
(3)方程5x＋4＝0的解为直线y＝5x＋4与x轴的交点，即x＝－；
(4)不等式2x＋10＜5x＋4的解集为x＞2，即直线y＝2x＋10在直线y＝5x＋4下方部分对应的x的取值．
【答案】(1) (2)x＜－5 (3)x＝－
(4)x＞2
【互动总结】(学生总结，老师点评)一次函数与方程、不等式的关系：(1)解二元一次方程组←→求对应两条直线交点的坐标；(2)解一元一次不等式←→对应一次函数的函数值大(小)于0时，求自变量的取值范围，即在x轴上方(或下方)的图象所对应的x取值范围；(3)解一元一次方程←→对应一次函数的值为0时，求相应的自变量的值，即一次函数与x轴交点的横坐标．
【例3】已知某山区的平均气温与该山区的海拔高度之间的关系如下：
海拔/m 0 100 200 300 400 …
平均气温/℃ 22 21.6 21.03 20.47 20 …
若海拔高度用x(m)表示，平均气温用y(℃)表示，试写出y与x之间的函数关系式．
【互动探索】(引发学生思考)先在平面直角坐标系中描出这些数值对应的点，再观察图象，探究其函数关系式．
【解答】将这些数值对应的点在平面直角坐标系中画出，如图所示：
观察图象可知，这些点大致位于同一条直线之上，则y和x近似地符合一次函数关系，由此可用一条直线尽可能地与这些点相贴近，较接近的点是(0，22)，(400，20)．
假设y＝kx＋b，则解得所以y与x之间的近似函数关系式为y＝－x＋22(x≥0)．
【互动总结】(学生总结，老师点评)求实际问题中的近似函数关系的步骤：(1)将数据中对应点在坐标系中描出并连线；(2)观察图象的变化趋势，判断图象近似符合某种函数关系式；(3)设出函数表达式，用待定系数法确定近似函数的关系式．
活动2 巩固练习(学生独学)
1．小亮用作图象的方法解二元一次方程组时，在同一直角坐标系内作出了相应的两个一次函数的图象l1、l2如图，他解的这个方程组是 ( D )
A. B.
C. D．
第1题
第2题
2．已知函数y1＝2x－1和y2＝－x－1的图象如图所示，根据图象填空：
(1)当x＞0时，y1＞y2；当x＝0时，y1＝y2；当x＜0时，y1＜y2；
(2)方程组的解是.
3．一次函数y＝kx＋3的图象如图所示，则方程kx＋3＝0的解为x＝－3.
4．一次函数y＝kx＋b的图象与y轴相交于点(0，－3)，且方程kx＋b＝0的解为x＝2，试求这个一次函数的表达式．
解：由题意，得b＝－3，且函数图象与x轴交点坐标为(2，0)，则2k－3＝0，解得k＝.故一次函数的表达式为y＝x－3.
5．学校准备“五一”组织老师去隆中参加诸葛亮文化节，现有甲、乙两家旅行社表示对老师有优惠，设参加文化节的老师有x人，甲、乙两家旅行社实际收费为y1、y2，且它们的函数图象如图所示．
根据图象信息，回答下列问题：
(1)当参加老师的人数为多少时，两家旅行社收费相同？
(2)当参加老师的人数为多少人时，选择甲旅行社合算？
(3)如果有50人参加，选择哪家旅行社合算？
解：(1)30.
(2)当参加老师的人数小于30时，选择甲旅行社合算．
(3)由图象知：当x＝50时，y1＞y2，所以有50人参加，选择乙旅行社合算．
6．用图象法解下列方程组：
(1) (2)
解：(1)由x＋y＝－2，得y＝－x－2；由－2x＋y＝1，得y＝2x＋1.在同一平面直角坐标系内作出函数y＝－x－2的图象l1和函数y＝2x＋1的图象l2，如图1.观察图象，得l1与l2交于点P(－1，－1)，
所以方程组的解是
(2)由x＋y＝5，得y＝5－x；由2x＋y＝8，得y＝8－2x.在同一平面直角坐标系中作出一次函数y＝5－x和y＝8－2x的图象，如图2.观察图象，得其交点坐标为(3，2)，所以方程组的解是
图1
图2
活动3 拓展延伸(学生对学)
【例4】心理学家研究发现：一般情况下，一节课40分钟中，学生的注意力随教师讲课的变化而变化．开始上课时，学生的注意力逐步增强，中间有一段时间，学生的注意力保持较为理想的稳定状态，随后学生的注意力开始分散．经过实验分析可知，学生的注意力指数y随时间x(分钟)的变化规律如图所示(其中AB、BC分别为线段，CD为双曲线的一部分)：
(1)分别求出线段AB和曲线CD的函数关系式；
(2)开始上课后第五分钟时与第三十分钟时相比较，何时学生的注意力更集中？
(3)一道数学竞赛题，需要讲19分钟，为了效果较好，要求学生的注意力指数最低达到36，那么经过适当安排，老师能否在学生注意力达到所需的状态下讲解完这道题目？
【互动探索】(1)分别从图象中找到其经过的点，利用待定系数法求得函数的表达式即可；(2)根据(1)中求出的AB和CD的函数表达式，再分别求第五分钟和第三十分钟的注意力指数，最后比较判断；(3)分别求出注意力指数为36时的两个时间，再将两时间之差与19比较，大于19则能讲完，否则不能．
【解答】(1)设线段AB所在直线的函数表达式为y1＝k1x＋20.
把B(10，40)代入，得k1＝2.
∴y1＝2x＋20(0≤x≤10)．
设CD所在双曲线的表达式为y2＝.
把C(25，40)代入，得k2＝1000.
∴y2＝(x≥25)．
(2)当x1＝5时，y1＝2×5＋20＝30；
当x2＝30时，y2＝＝，
∴y1＜y2，
∴第30分钟注意力更集中．
(3)令y1＝36，得36＝2x＋20，解得x1＝8.
令y2＝36，得36＝，解得x2＝≈27.8.
∵27.8－8＝19.8＞19，
∴经过适当安排，老师能在学生注意力达到所需的状态下讲解完这道题目．
【互动总结】(学生总结，老师点评)解题的关键是根据图象信息，利用待定系数法求出函数解析式，再根据自变量的值算出对应的函数值．
环节3 课堂小结，当堂达标
(学生总结，老师点评)
实践与探索
练习设计
请完成本课时对应练习！17．1 变量与函数
教学目标
一、基本目标
1．理解变量与常量、自变量与因变量，初步掌握函数的概念，明确表示函数关系的三种方法．
2．能根据题意写出函数关系式及自变量的取值范围．
3．已知函数关系式和自变量的取值，能写出对应的函数值．
二、重难点目标
【教学重点】
掌握函数概念，能根据题意写出函数关系式及自变量的取值范围．
【教学难点】
函数关系式中自变量的取值范围．
教学过程
环节1 自学提纲，生成问题
【5 min阅读】
阅读教材P28～P32的内容，完成下面练习．
【3 min反馈】
1．在某一变化过程中，可以取不同数值的量，叫做变量；取值始终保持不变的量，叫做常量．
2．一般地，如果在一个变化过程中，有两个变量x、y，并且对于x的每一个值，y都有唯一的值与之对应，我们就说x是自变量，y是因变量，此时也称y是x的函数．
3．表示函数关系的三种方法：解析法、列表法和图象法．
4．对于在自变量取值范围内的一个确定的值a，函数有唯一确定的对应值，这个对应值称为当自变量等于a的函数值．
5．下列图象中，表示y是x的函数的是( B )
A B C D
6．已知函数y＝3x－1，当x＝3时，y的值是 ( C )
A．6 B.7
C．8 D．9
环节2 合作探究，解决问题
活动1 小组讨论(师生互学)
【例1】下列关系式中哪些y是x的函数，哪些不是？
(1)y＝x；(2)y＝x2＋z；(3)y2＝x；(4)y＝±.
【互动探索】(引发学生思考)一个函数关系式中有几个变量？变量之间有什么关系？
【解答】(1)此关系式只有两个变量，且每一个x值对应唯一的一个y值，故它是函数．
(2)此关系式中有三个变量，因此y不是x的函数．
(3)此关系式中虽然只有两个变量，但对于每一个确定的x值(x>0)，对应的都有2个y值，如当x＝4时，y＝±2，故它不是函数．
(4)对于每个确定的x值(x>0)对应的都有2个y值，如当x＝9时，y＝±3，故它不是函数．
【互动总结】(学生总结，老师点评)由函数的定义可知，在某个变化过程中，有两个变量x和y，对于每一个确定的x值，y值都有且只有一个值与之对应，当x取不同的值时，y的值可能相等，也可能不相等，但如果一个x的值对应着两个不同的y值，那么y一定不是x的函数．根据这一点，我们可以判定一个关系式是否表示函数．
【例2】求当x＝－4时的函数值．
(1)y＝； (2)y＝.
【互动探索】(引发学生思考)已知自变量的值，如何求函数值？
【解答】(1)代入x＝－4，得y＝＝－.
(2)代入x＝－4，得y＝＝－.
【互动总结】(学生总结，老师点评)利用函数值的定义，正确代入自变量的取值求解是解题的关键．
【例3】近年来，我国西南部分省市遭遇了严重干旱．某水库的蓄水量随着时间的增加而减小，干旱持续时间t(天)与蓄水量V(万立方米)的变化情况如图所示，根据图象回答问题．
(1)这个图象反映了哪两个变量之间的关系？
(2)根据图象填表：
干旱持续时间(t)天 0 10 20 30 40 50 60
蓄水量V(万立方米)
(3)当t取0至60天之间的任一值时，对应几个V值？
(4)V可以看成是t的函数吗？如果是，试写出用自变量表示函数的式子．
【互动探索】(引发学生思考)图中反映了哪两个变量之间的关系？能从图上直接读出指定天数t对应的蓄水量V的值吗？这个图能否看成V是t的函数？从此题中，可以得到函数有哪些表示方法？
【解答】(1)图象反映了干旱持续时间与水库蓄水量之间的关系．
(2)填表如下：
干旱持续时间t(天) 0 10 20 30 40 50 60
蓄水量V(万立方米) 1200 1000 800 600 400 200 0
(3)当t取0至60天之间的任一值时，对应着一个V值．
(4)V是t的函数．根据图象可知，该水库初始蓄水量为1200万立方米，干旱每持续10天，蓄水量减少200万立方米，由此写出的式子为V＝1200－t＝－20t＋1200(0≤t≤60)．
【互动总结】(学生总结，老师点评)三种函数表示方法之间有互补性，是可以相互转化的．
活动2 巩固练习(学生独学)
1．要画一个面积为20 cm2的长方形，其长为x cm，宽为y cm，在这一变化过程中，常量与变量分别为( A )
A．常量为20，变量为x、y
B．常量为20、y，变量为x
C．常量为20、x，变量为y
D．常量为x、y，变量为20
2．下列变量之间的关系中，是函数关系的有 ( C )
①三角形的面积与底边长；②多边形的内角和与边数；③圆的面积与半径；④y＝2019x＋365中的y与x.
A．1个 B.2个
C．3个 D．4个
3．在函数y＝中，自变量x的取值范围是x≠1.
4．根据图中的程序，当输入x＝2时，输出结果y＝2.
5．父亲告诉小明：“距离地面越远，温度越低，”并给小明出示了下面的表格.
距离地面高度(km) 0 1 2 3 4 5
温度(℃) 20 14 8 2 －4 －10
根据上表，父亲还给小明出了下面几个问题，请你和小明一起回答：
(1)上表反映了哪两个变量之间的关系？哪个是自变量？哪个是因变量？
(2)如果用h表示距离地面的高度，用t表示温度，那么随着h的变化，t是怎么变化的？
(3)你知道距离地面5 km的高空温度是多少吗？
(4)你能猜出距离地面6 km的高空温度是多少吗？
解：(1)上表反映了温度和距离地面高度之间的关系，距离地面高度是自变量，温度是因变量．
(2)由表可知，每上升1 km，温度降低6 ℃，得解析式为t＝20－6h.
(3)由表可知，距地面5 km的高空温度是－10 ℃.
(4)将h＝6代入t＝20－6h，得t＝20－6×6＝－16.故距离地面6 km的高空温度是－16 ℃.
环节3 课堂小结，当堂达标
(学生总结，老师点评)
1．会判断函数关系，并会根据实际情况确定自变量的取值范围．
2．函数的三种表示方法
练习设计
请完成本课时对应练习！
