(共45张PPT)
HS九(下)
教学课件
27.2 与圆有关的位置关系
第2课时 切线长定理及三角形的内切圆
3. 切线
学习目标
1.掌握切线长的定义及切线长定理.（重点）
2.初步学会运用切线长定理进行计算与证明.
（难点）
同学们玩过空竹和悠悠球吗？在空竹和悠悠球的旋转的那一瞬间，你能从中抽象出什么样数学图形？
问题1 上节课我们学习了过圆上一点作已知圆的切线(如左图所示)，如果点P是圆外一点，又怎么作该圆的切线呢？过圆外的一点作圆的切线，可以作几条？
P
O
B
A
O.
P
A
B
切线长定理及应用
1
P
1.切线长的定义：
切线上一点到切点之间的线段的长叫作这点到圆的切线长．
A
O
①切线是直线，不能度量.
②切线长是线段的长，这条线段的两个端点分别是圆外一点和切点，可以度量．
2.切线长与切线的区别在哪里？
问题2 PA为☉O的一条切线，沿着直线PO对折，设圆上与点A重合的点为B．
OB是☉O的一条半径吗？
PB是☉O的切线吗？
（利用图形轴对称性解释）
PA、PB有何关系？
∠APO和∠BPO有何关系？
O.
P
A
B
B
P
O
A
切线长定理:
过圆外一点作圆的两条切线，两条切线长相等.圆心与这一点的连线平分两条切线的夹角.
PA、PB分别切☉O于A、B
PA = PB
∠OPA=∠OPB
几何语言:
注意：切线长定理为证明线段相等、角相等提供了新的方法.
知识要点
O.
P
已知，如图PA、PB是☉O的两条切线，A、B为切点.
求证：PA=PB，∠APO=∠BPO.
证明：∵PA切☉O于点A，
∴ OA⊥PA.
同理可得OB⊥PB.
∵OA=OB，OP=OP，
∴Rt△OAP≌Rt△OBP，
∴PA=PB，∠APO=∠BPO.
A
B
推理验证
想一想：若连结两切点A、B，AB交OP于点M.你又能得出什么新的结论 并给出证明.
OP垂直平分AB.
证明：∵PA，PB是⊙O的切线,点A，B是切点
∴PA = PB ，∠OPA=∠OPB
∴△PAB是等腰三角形，PM为顶角的平分线
∴OP垂直平分AB.
O.
P
A
B
M
想一想：若延长PO交⊙O于点C，连结CA、CB，你又能得出什么新的结论 并给出证明.
证明：∵PA，PB是⊙O的切线,点A，B是切点，
∴PA = PB ，∠OPA=∠OPB.
∴PC=PC.
∴ △PCA ≌ △PCB，
∴AC=BC.
CA=CB
O.
P
A
B
C
已知：如图，四边形ABCD的边AB、BC、CD、
DA与⊙O分别相切与点E、F、G、H.
求证：AB+CD=AD+BC.
·
A
B
C
D
O
证明：∵AB、BC、CD、DA与⊙O分别相切与点E、F、G、H，
E
F
G
H
∴ AE=AH，BE=BF，CG=CF，DG=DH.
∴ AE+BE+CG+DG=AH+BF+CF+DH.
∴AB+CD=AD+BC.
例1
为了测量一个圆形铁环的半径，某同学采用了如下办法：将铁环平放在水平桌面上，用一个锐角为30°的三角板和一个刻度尺，按如图所示的方法得到相关数据，进而可求得铁环的半径，若三角板与圆相切且测得PA=5cm，求铁环的半径．
解析：欲求半径OP，取圆的圆心为O，连结OA，OP，由切线性质知△OPA为直角三角形，从而在Rt△OPA中由勾股定理易求得半径．
O
例2
在Rt△OPA中，PA＝5，∠POA＝30°，
O
Q
解：过O作OQ⊥AB于Q，设铁环的圆心
为O，连结OP、OA.
∵AP、AQ为⊙O的切线，∴AO为∠PAQ的平分线，即∠PAO＝∠QAO.
又∠BAC＝60°，∠PAO＋∠QAO＋∠BAC＝180°，∴∠PAO＝∠QAO＝60°.
即铁环的半径为
1.PA、PB是☉O的两条切线，A、B为切点，直线OP交☉O于点D、E，交AB于C.
（1）写出图中所有的垂直关系；
OA⊥PA，OB ⊥PB，AB ⊥OP.
（3）写出图中所有的全等三角形；
△AOP≌ △BOP， △AOC≌ △BOC， △ACP≌ △BCP.
（4）写出图中所有的等腰三角形.
△ABP △AOB
（2）写出图中与∠OAC相等的角；
∠OAC=∠OBC=∠APC=∠BPC.
B
P
O
A
C
E
D
B
P
O
A
2.PA、PB是☉O的两条切线，A,B是切点，OA=3.
（1）若AP=4,则OP= ;
（2）若∠BPA=60 °,则OP= .
5
6
3.如图，PA、PB是☉O的两条切线，点A、B是切点，在弧AB上任取一点C，过点C作☉O的切线，分别交PA、PB于点D、E.已知PA=7，∠P=40°.则
⑵ ∠DOE= .
⑴ △PDE的周长是 ；
14
O
P
A
B
C
E
D
70°
解析：连结OA、OB、OC、OD和OE.
∵PA、PB是☉O的两条切线，点A、B是切点，∴PA=PB=7.∠PAO=∠PBO=90°. ∠AOB=360°-∠PAO-∠PBO-∠P=140°.
又∵DC、DA是☉O的两条切线，点C、A是切点，∴DC=DA.同理可得CE=CB.
O
P
A
B
C
E
D
∵D，E是切线PA，PB上的点，
∴∠DOC=∠DOA= ∠AOC.
∠DOE=∠DOC+∠COE= (∠AOC+∠COB)=70°.
∴∠COE=∠BOE= ∠AOC.
∴S△PDE=PD+DE+PE=PD+DC+CE+PE=PA+PB=14.
切线长问题辅助线添加方法：
（1）分别连接圆心和切点；
（2）连接两切点；
（3）连接圆心和圆外一点.
方法归纳
小明在一家木料厂上班，工作之余想对厂里的三角形废料进行加工：裁下一块圆形用料，怎样才能使裁下的圆的面积尽可能大呢？
三角形的内切圆及作法
2
问题1 如果最大圆存在，它与三角形三边应有怎样的位置关系？
O
O
O
O
最大的圆与三角形三边都相切
三角形角平分线的这个性质，你还记得吗？
问题2 如何求作一个圆，使它与已知三角形的三边都相切？
(1) 如果半径为r的☉I与△ABC的三边都相切，那么圆心I应满足什么条件？
(2) 在△ABC的内部，如何找到满足条件的圆心I呢？
圆心I到三角形三边的距离相等，都等于r.
三角形三条角平分线交于一点，这一点与三角形的三边距离相等.
圆心I应是三角形的三条角平分线的交点.
为什么呢？
已知：△ABC.
求作：和△ABC的各边都相切的圆.
M
N
D
作法：
1.作∠B和∠C的平分线BM和CN，交点为O.
2.过点O作OD⊥BC.垂足为D.
3.以O为圆心，OD为半径作圆O.
☉O就是所求的圆.
1.与三角形三边都相切的圆叫作三角形的内切圆.
2.三角形内切圆的圆心叫做这个三角形的内心.
3.这个三角形叫做这个圆的外切三角形.
B
A
C
I
☉I是△ABC的内切圆，点I是△ABC的内心，△ABC是☉I的外切三角形.
B
A
C
I
问题1 如图，☉I是△ABC的内切圆，那么线段OA，OB ,OC有什么特点？
线段OA，OB ,OC 分别是∠A，∠B，∠C的平分线.
三角形的内心的性质
3
B
A
C
I
问题2 如图，分别过点作AB、AC、BC的垂线，垂足分别为E、F，G，那么线段IE、IF、IG之间有什么关系？
E
F
G
IE=IF=IG
三角形内心的性质
三角形的内心在三角形的角平分线上.
三角形的内心到三角形的三边距离相等.
B
A
C
I
E
F
G
IA，IB，IC是△ABC的角平分线，IE=IF=IG.
如图，△ABC中，∠ B=43°，∠C=61 °，点I是△ABC的内心，求∠ BIC的度数.
解：连结IB，IC.
A
B
C
I
∵点I是△ABC的内心，
∴IB，IC分别是∠ B，∠C的平分线，
在△IBC中，
例3
如图，一个木模的上部是圆柱，下部是底面为等边三角形的直三棱柱. 圆柱的下底面圆是直三棱柱上底面等边三角形的内切圆，已知直三棱柱的底面等边三角形的边长为3cm，求圆柱底面圆的半径.
该木模可以抽象为几何如下几何图形.
例4
C
A
B
r
O
D
解： 如图，设圆O切AB于点D，连接OA、OB、OD.
∵圆O是△ABC的内切圆,
∴AO、BO是∠BAC、∠ABC的角平分线
∵ △ABC是等边三角形,
∴ ∠OAB=∠OBA=30o
∵OD⊥AB，AB=3cm，
∴AD=BD= AB=1.5(cm)
∴OD=AD· tan30o= (cm)
答:圆柱底面圆的半径为 cm.
△ABC的内切圆☉O与BC、CA、AB分别相切于点D、E、F，且AB=13cm，BC=14cm，CA=9cm，求AF、BD、CE的长.
想一想：图中你能找出哪些相等的线段？理由是什么？
B
A
C
E
D
F
O
例5
解:
设AF=xcm，则AE=xcm.
∴CE=CD=AC-AE=9-x(cm)，
BF=BD=AB-AF=13-x(cm).
由 BD+CD=BC，可得
(13-x)+(9-x)=14，
∴ AF=4(cm)，BD=9(cm)，CE=5(cm).
方法小结：关键是熟练运用切线长定理，将相等线段转化集中到某条边上，从而建立方程.
解得 x=4.
A
C
E
D
F
O
名称 确定方法 图形 性质
外心：三角形外接圆的圆心
内心：三角形内切圆的圆心
三角形三边
中垂线的交
点
1.OA=OB=OC
2.外心不一定在三角形的内部．
三角形三条
角平分线的
交点
1.到三边的距离相等；
2.OA、OB、OC分别平分∠BAC、∠ABC、∠ACB
3.内心在三角形内部．
A
B
O
A
B
C
O
比一比
C
A
B
O
D
1.求边长为6 cm的等边三角形的内切圆半径与外接圆半径.
解：如图，由题意可知BC=6cm,
∠ABC=60°，OD⊥BC，OB平分∠ABC.
∴∠OBD=30°，BD=3cm,△OBD为直角三角形.
内切圆半径
外接圆半径
变式：
求边长为a的等边三角形的内切圆半径r与外接圆半径R的比.
sin∠OBD = sin30°=
C
A
B
R
r
O
D
A
B
C
O
D
E
F
A
B
C
D
E
F
O
2.设△ABC的面积为S，周长为L， △ABC内切圆
的半径为r，则S，L与r之间存在怎样的数量关系？
A
B
C
O
c
D
E
r
3.如图，直角三角形的两直角边分别是a、b,斜边 为c，
则其内切圆的半径r为___________（以含a、 b、c的
代数式表示r）.
解析：过点O分别作AC，BC，
AB的垂线，垂足分别为D，E，F.
F
则AD=AC-DC=b-r,
BF=BC-CE=a-r,
因为AF=AD，BF=BE，
AF+BF=c,
所以a-r+b-r=c,
所以
A
2.如图，已知点O是△ABC 的内心，且∠ABC= 60 °, ∠ACB= 80 °,则∠BOC= .
1.如图，PA、PB是☉O的两条切线，切点分别是A、B，如果AP=4, ∠APB= 40 ° ,则∠APO= ,PB= .
B
P
O
A
第1题
B
C
O
第2题
20 °
4
110 °
（3）若∠BIC=100 °，则∠A = 度.
（2）若∠A=80 °，则∠BIC = 度.
130
20
3.如图，在△ABC中，点I是内心，
（1）若∠ABC=50°， ∠ACB=70°，∠BIC=_____.
A
B
C
I
（4）试探索： ∠A与∠BIC之间存在怎样的数量关系？
120°
4.如图所示，已知在△ABC中，∠B＝90°，O是AB上一点，以O为圆心，OB为半径的圆与AB交于E，与AC相切于点D.求证：DE∥OC.
方法一：
证明：连结OD，
∵AC切⊙O点D，∴OD⊥AC，
∴∠ODC=∠B=90°.
在Rt△OCD和Rt△OCB中，
OD＝OB ，OC＝OC
∴Rt△ODC≌Rt△OBC（HL），
∴∠DOC=∠BOC.
∵OD=OE，∴∠ODE=∠OED，
∵∠DOB=∠ODE+∠OED，
∴∠BOC=∠OED，∴DE∥OC．
方法二：
证明：连结BD，
∵AC切⊙O于点D，AC切⊙O于点B，∴DC=BC，OC平分∠DCB.
∴OC⊥BD.
∵BE为⊙O的直径，∴DE⊥BD.
∴DE∥OC．
5.如图，△ABC中，I是内心，∠A的平分线和△ABC的外接圆相交于点D.
求证：DI＝DB.
证明：连结BI.
∵I是△ABC的内心，
∴∠BAD=∠CAD，∠ABI=∠CBI，
∵∠CBD=∠CAD，
∴∠BAD=∠CBD，
∵∠BID=∠BAD+∠ABI，∠IBD=∠CBI+∠CBD，
∴∠BID=∠IBD，
∴BD=ID．
切线长
切线长定理
作用
图形的轴对称性
原理
提供了证线段和
角相等的新方法
辅助线
分别连接圆心和切点；
连接两切点；
连接圆心和圆外一点.
三角形内切圆
运用切线长定理，将相等线段转化集中到某条边上，从而建立方程.
有关概念
内心概念及性质
应用(共37张PPT)
HS九(下)
教学课件
27.2 与圆有关的位置关系
1.点和圆的位置关系
第27章 圆
1.理解并掌握点和圆的三种位置关系.（重点）
2.理解不在同一直线上的三个点确定一个圆及其运用.
（重点）
3.了解三角形的外接圆和三角形外心的概念.
学习目标
你玩过飞镖吗？它的靶子是由一些圆组成的，你知道击中靶子上不同位置的成绩是如何计算的吗？
想一想
问题1：观察下图中点和圆的位置关系有哪几种？
.
o
.
C
.
.
.
. B
.
.A
.
点与圆的位置关系有三种：
点在圆内，点在圆上，点在圆外.
点和圆的位置关系
1
问题2：设点到圆心的距离为d,圆的半径为r，量一量在点和圆三种不同位置关系时，d与r有怎样的数量关系？
点P在⊙O内
点P在⊙O上
点P在⊙O外
d
d
d
r
P
d
P
r
d
P
r
d
＜
r
r
=
＞
r
反过来，由d与r的数量关系，怎样判定点与圆的位置关系呢？
1.⊙O的半径为10cm，A、B、C三点到圆心的距离分别为8cm、10cm、12cm，则点A、B、C与⊙O的位置关系是：点A在 ；点B在 ；点C在 .
圆内
圆上
圆外
2.圆心为O的两个同心圆，半径分别为1和2，若OP = ，则点P在 （ ）
A.大圆内 B.小圆内
C.小圆外 D.大圆内，小圆外
o
D
点和圆的位置关系
r
P
d
P
r
d
P
r
d
R
r
P
点P在⊙O内
d点P在⊙O上
d=r
点P在⊙O外
d>r
点P在圆环内
r≤d≤R
数形结合：
位置关系
数量关系
如图，已知矩形ABCD的边AB=3，AD=4.
（1）以A为圆心，4为半径作⊙A，则点B、C、D与
⊙A的位置关系如何？
解：AD=4=r，故D点在⊙A上
AB=3AC=5>r，故C点在⊙A外
例1
（2）若以A点为圆心作⊙A，使B、C、D三点中至少
有一点在圆内，且至少有一点在圆外，求⊙A的
半径r的取值范围？（直接写出答案）
3变式：如图，在直角坐标系中，点A的坐标为（2,1），P是x轴上一点，要使△PAO为等腰三角形，满足条件的P有几个？求出点P的坐标.
分类讨论思想
问题1如何过一个点A作一个圆？过点A可以作多少个圆？
·
·
·
·
·
以不与A点重合的任意一点为圆心，以这个点到A点的距离为半径画圆即可；
可作无数个圆.
A
过不共线三点作圆
2
问题2如何过两点A、B作一个圆？过两点可以作多少
个圆？
·
·
·
·
A
B
作线段AB的垂直平分线，以其上任意一点为圆心，以这点和点A或B的距离为半径画圆即可;
可作无数个圆.
问题3：过不在同一直线上的三点能不能确定一个圆？
A
B
C
D
E
G
F
●o
经过B,C两点的圆的圆心在线段BC的垂直平分线上.
经过A,B,C三点的圆的圆心应该在这两条垂直平分线的交点O的位置.
经过A,B两点的圆的圆心在线段AB的垂直平分线上.
有且只有
位置关系
定理：
不在同一直线上的三个点确定一个圆.
A
B
C
D
E
G
F
●o
归纳总结
已知：不在同一直线上的三点A、B、C.
求作：⊙O,使它经过点A、B、C.
作法：1、连结AB，作线段AB的垂直平分线MN；
2、连接AC，作线段AC的垂直平分线EF，交MN于点O；
3、以O为圆心，OB为半径作圆。
所以⊙O就是所求作的圆.
O
N
M
F
E
A
B
C
问题4:现在你知道怎样将一个如图所示的破损的圆盘复原了吗？
方法:
1、在圆弧上任取三点A、B、C;
2、作线段AB、BC的垂直平分线,其交点O即为圆心;
3、以点O为圆心，OC长为半径作圆.
⊙O即为所求.
A
B
C
O
某一个城市在一块空地新建了三个居民小区，它们分别为A、B、C，且三个小区不在同一直线上，要想规划一所中学，使这所中学到三个小区的距离相等。请问同学们这所中学建在哪个位置？你怎么确定这个位置呢？
●
●
●
B
A
C
试一试：已知△ABC，用直尺与圆规作出过A、B、C三点的圆.
A
B
C
O
三角形的外接圆及外心
3
1. 外接圆
⊙O叫做△ABC的________，
△ABC叫做⊙O的____________.
到三角形三个顶点的距离相等.
2.三角形的外心：
定义：
●O
A
B
C
外接圆
内接三角形
三角形外接圆的圆心叫做三角形的外心.
作图：
三角形三边中垂线的交点.
性质：
判一判：
下列说法是否正确
(1)任意的一个三角形一定有一个外接圆 ( )
(2)任意一个圆有且只有一个内接三角形 ( )
(3)经过三点一定可以确定一个圆 ( )
(4)三角形的外心到三角形各顶点的距离相等 ( )
√
×
×
√
画一画：分别画一个锐角三角形、直角三角形和钝角三角形，再画出它们的外接圆，观察并叙述各三角形与它的外心的位置关系.
锐角三角形的外心位于三角形内,
直角三角形的外心位于直角三角形斜边的中点,
钝角三角形的外心位于三角形外.
A
B
C
●O
A
B
C
C
A
B
┐
●O
●O
经过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆；外接圆的圆心叫三角形的外心；三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等.
要点归纳
如图，将△AOB置于平面直角坐标系中，O为原点，∠ABO＝60°，若△AOB的外接圆与y轴交于点D(0，3)．
(1)求∠DAO的度数；
(2)求点A的坐标和△AOB外接圆的面积．
解：(1)∵∠ADO＝∠ABO＝60°，
∠DOA＝90°，
∴∠DAO＝30°.
例2
(2)求点A的坐标和△AOB外接圆的面积．
解：∵点D的坐标是(0，3)，∴OD＝3.
在直角△AOD中，
OA＝OD·tan∠ADO＝ ，
AD＝2OD＝6，
∴点A的坐标是( ，0)．
∵∠AOD＝90°，∴AD是圆的直径，
∴△AOB外接圆的面积是9π.
方法总结：图形中求三角形外接圆的面积时，关键是确定外接圆的直径(或半径)长度．
如图，在△ABC中，O是它的外心，BC＝24cm，O到BC的距离是5cm，求△ABC的外接圆的半径．
D
解析：由外心的定义可知外接圆的半径等于OB，过点O作OD⊥BC，易得BD＝12cm.由此可求它的外接圆的半径．
例2
解：连结OB，过点O作OD⊥BC.
则OD＝5cm，
在Rt△OBD中
即△ABC的外接圆的半径为13cm.
1.如图，请找出图中圆的圆心，并写出你找圆心的方法
A
B
C
O
2.正方形ABCD的边长为2cm，以A为圆心2cm为半径作
⊙A，则点B在⊙A ；点C在⊙A ；点D在⊙A .
上
外
上
3.⊙O的半径r为5㎝，O为原点，点P的坐标为（3,4），则点P与⊙O的位置关系为 （ ）
A.在⊙O内 B.在⊙O上
C.在⊙O外 D.在⊙O上或⊙O外
B
4.判断：
（1）经过三点一定可以作圆 （ ）
（2）三角形的外心就是这个三角形两边垂直平分线的
交点 （ ）
（3）三角形的外心到三边的距离相等 （ ）
（4）等腰三角形的外心一定在这个三角形内 （ ）
√
×
×
×
5.已知：在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，则
它的外接圆半径= .
5
6.如图，△ABC内接于⊙O，若∠OAB＝20°，则∠C
的度数是________．
70°
7.如图，在5×5正方形网格中，一条圆弧经过A，B，C
三点，那么这条圆弧所在圆的圆心是 （ ）
M
R
Q
A
B
C
P
A．点P B．点Q
C．点R D．点M
B
8.小明不慎把家里的圆形玻璃打碎了，其中四块碎片如图所示，为配到与原来大小一样的圆形玻璃，小明带到商店去的一块玻璃碎片应该是（ ）
A．第①块 B．第④块
C．第③块 D．第②块
D
1
·
2cm
3cm
9.画出由所有到已知点的距离大于或等于2cm并且小于 或等于3cm的点组成的图形.
O
10.如图，已知 Rt△ABC 中 ，
若 AC=12cm，BC=5cm，求的外接圆半径.
C
B
A
O
解：设Rt△ABC 的外接圆的外心为
O，连结OC，则OA=OB=OC.
∴O是斜边AB 的中点.
∵∠C=900，AC=12cm，
BC=5cm.
∴AB=13cm，OA=6.5cm.
故Rt△ABC 的外接圆半径为6.5cm.
一个8×12米的长方形草地，现要安装自动喷水装置,这种装置喷水的半径为5米,你准备安装几个 怎样安装 请说明理由.
点与圆的位置关系
点在圆外
点在圆上
点在圆内
d>r
d=r
d位置关系数量化
作圆
过一点可以作无数个圆
过两点可以作无数个圆
定理：
过不在同一直线上的三个点确定一个圆
一个三角形的外接圆是唯一的.
注意：同一直线上的三个点不能作圆
点P在圆环内
r≤d≤R
R
r
P(共27张PPT)
HS九(下)
教学课件
27.2 与圆有关的位置关系
2.直线和圆的位置关系
第27章 圆
学习目标
1.理解直线与圆有相交、相切、相离三种位置关系.
2.能根据圆心到直线的距离d和圆的半径r之间的数量
关系，判断出直线与圆的位置关系.(重点）
点和圆的位置关系有几种？
dd=r
d>r
用数量关系如何来
判断呢？
⑴点在圆内
·
P
⑵点在圆上
·
P
⑶点在圆外
·
P
(令OP=d )
新课引入
新课引入
视频展示
问题1 如果我们把太阳看成一个圆，地平线看成一条直线，那你能根据直线和圆的公共点个数想象一下，直线和圆有几种位置关系吗？
用定义判断直线与圆的位置关系
新课讲解
1
问题2 请同学在纸上画一条直线l，把硬币的边缘看作圆，在纸上移动硬币，你能发现直线和圆的公共点个数的变化情况吗？公共点个数最少时有几个？最多时有几个？
●
●
●
l
0
2
新课讲解
直线与圆的 位置关系
图形
公共点个数
公共点名称
直线名称
2个
交点
1个
切点
切线
0个
相离
相切
相交
位置关系
公共点个数
填一填：
新课讲解
直线和圆有唯一的公共点（即直线和圆相切）时，这条直线叫做圆的切线（如图直线l），这个唯一的公共点叫做切点（如图点A）.
A
l
O
新课讲解
1.直线与圆最多有两个公共点.
2.若直线与圆相交，则直线上的点都在圆上.
3.若A是⊙O上一点，则直线AB与⊙O相切.
4.若C为⊙O外一点，则过点C的直线与⊙O相交或相离.
5.直线a 和⊙O有公共点，则直线a与⊙O相交.
判一判：
√
×
×
×
×
新课讲解
问题1 同学们用直尺在圆上移动的过程中，除了发现公共点的个数发生了变化外，还发现有什么量也在改变？它与圆的半径有什么样的数量关系呢？
相关知识：
点到直线的距离是指从直线外一点（A)到直线(l)的垂线段(OA)的长度.
l
A
O
用数量关系判断直线与圆的位置关系
新课讲解
2
问题2 怎样用d(圆心与直线的距离)来判别直线与圆的位置关系呢？
O
d
新课讲解
合作探究
直线和圆相交
d< r
直线和圆相切
d= r
直线和圆相离
d> r
r
d
∟
r
d
∟
r
d
数形结合：
位置关系
数量关系
（用圆心O到直线的距离d与圆的半径r的关系来区分）
o
o
o
公共点个数
新课讲解
要点归纳
1.已知圆的半径为6cm，设直线和圆心的距离为d ：
（3）若d=8cm ,则直线与圆______, 直线与圆有____
个公共点.
（2）若d=6cm ,则直线与圆______, 直线与圆有____
个公共点.
（1）若d=4cm ,则直线与圆 , 直线与圆有____
个公共点.
相交
相切
相离
2
1
0
随堂即练
(3)若AB和⊙O相交,则 .
2.已知⊙O的半径为5cm, 圆心O与直线AB的距离为d,
根据条件填写d的范围:
(1)若AB和⊙O相离, 则 ;
(2)若AB和⊙O相切, 则 ;
d > 5cm
d = 5cm
0cm≤d < 5cm
随堂即练
B
C
A
4
3
在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3cm，BC=4cm，以C为圆心，r为半径的圆与AB有怎样的位置关系？为什么？
(1) r=2cm；(2) r=2.4cm； (3) r=3cm．
分析：要了解AB与⊙C的位置关系，只要知道圆心C到AB的距离d与r的关系．已知r，只需求出C到AB的距离d.
D
新课讲解
例1
解:（1）过C作CD⊥AB，垂足为D.
在△ABC中，
AB=
5.
根据三角形的面积公式有
∴
即圆心C到AB的距离d=2.4cm.
所以 (1)当r=2cm时,
有d >r,
因此⊙C和AB相离.
B
C
A
4
3
D
d
记住：斜边上的高等于两直角边的乘积除以斜边.
新课讲解
（2）当r=2.4cm时,有d=r.
因此⊙C和AB相切.
B
C
A
4
3
D
d
（3）当r=3cm时，有d因此，⊙C和AB相交.
B
C
A
4
3
D
d
新课讲解
B
C
A
D
4
5
3
变式题:
1.Rt△ABC,∠C=90°AC=3cm，BC=4cm，以C为圆心画圆，当半径r为何值时，圆C与直线AB没有公共点？
解：当0cm＜r＜2.4cm或r＞4cm时,
⊙C与线段AB没有公共点.
新课讲解
2.Rt△ABC,∠C=90，AC=3cm，BC=4cm，以C为圆心画圆，当半径r为何值时，圆C与线段AB有一个公共点？当半径r为何值时，圆C与线段AB有两个公共点？
B
C
A
D
4
5
3
当r=2.4cm或3cm≤r＜4cm时,⊙C与线段AB有一个公共点.
当2.4cm＜r≤3cm 时,⊙C与线段AB有两公共点.
新课讲解
如图，Rt△ABC的斜边AB=10cm,∠A=30°.
(1) 以点C为圆心，当半径为多少时，AB与☉C相切？
(2) 以点C为圆心，半径r分别为4cm,5cm作两个圆，这两个圆与斜边AB分别有怎样的位置关系？
A
C
B
新课讲解
例2
A
C
B
解：(1) 过点C作边AB上的高CD.
D
∵∠A=30°，AB=10cm,
在Rt△BCD中，有
当半径为 时，AB与☉C相切.
新课讲解
.O
.O
.O
.O
.O
1.看图判断直线l与☉O的位置关系？
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
相离
相交
相切
相交
注意：直线是可以无限延伸的．
相交
随堂即练
2．直线和圆相交，圆的半径为r,且圆心到直线的
距离为5，则有 （ ）
A. r < 5 B. r > 5 C. r = 5 D. r ≥ 5
3. ☉O的半径为5,直线l上的一点到圆心O的距离是
5，则直线l与☉O的位置关系是 （ ）
A. 相交或相切 B. 相交或相离
C. 相切或相离 D. 上三种情况都有可能
B
相离
A
随堂即练
4. ☉O的最大弦长为8，若圆心O到直线l的距离为
d=5，则直线l与☉O .
解析：过点A作AQ⊥MN于Q，连接AN，设半径为r，由垂径定理有MQ＝NQ，所以AQ＝2，AN＝r，NQ＝4－r，利用勾股定理可以求出NQ＝1.5，所以N点坐标为(－1，－2)．故选A.
5.如图，在平面直角坐标系中，⊙A与y轴相切于原点O，平行于x轴的直线交⊙A于M、N两点．若点M的坐标是(－4，－2)，则点N的坐标为 ( )
A．(－1，－2) B．(1，2)
C．(－1.5，－2) D．(1.5，－2)
A
随堂即练
已知☉O的半径r=7cm,直线l1 // l2,且l1与☉O相切,圆心O到l2的距离为9cm.求l1与l2的距离.
o
l1
l2
A
B
C
l2
解：（1） l2与l1在圆的同一侧：
m=9-7=2 cm
（2）l2与l1在圆的两侧：
m=9+7=16 cm
能力提升
直线与圆的位置关系
定义
性质
判定
相离
相切
相交
公共点的个数
d与r的数量关系
定义法
性质法
特别提醒：在图中没有d要先做出该垂线段
相离:0个
相切：1个
相交：2个
相离:d>r
相切:d=r
相交:d0个：相离；1个：相切；2个：相交
d>r：相离
d=r:相切
d课堂小结(共33张PPT)
HS九(下)
教学课件
27.2 与圆有关的位置关系
第1课时 切线的性质与判定
3. 切线
学习目标
1. 会判定一条直线是否是圆的切线并会过圆上一点作
圆的切线.
2. 理解并掌握圆的切线的判定定理及性质定理.（重点）
3. 能运用圆的切线的判定定理和性质定理解决问题.
（难点）
新课引入
转动雨伞时飞出的雨滴，用砂轮磨刀时擦出的火花，都是沿着什么方向飞出的？
都是沿切线方向飞出的.
生活中常看到切线的实例，如何判断一条直线是否为切线呢？学完这节课，你就都会明白.
新课引入
Ｏ
A
B
C
问题：已知圆O上一点A，怎样根据圆的切线定义过点A作圆O的切线？
观察：（1） 圆心O到直线AB的距离和圆的半径有什么数量关系
（2）二者位置有什么关系？为什么？
切线的判定定理
O
新课讲解
1
经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
OA为⊙O的半径
BC ⊥ OA于A
BC为⊙O的切线
Ｏ
A
B
C
切线的判定定理
应用格式
O
新课讲解
判一判：下列各直线是不是圆的切线？如果不是，请说明为什么？
O.
A
O.
A
B
A
O
(1)
(2)
(3)
(1)不是，因为没有垂直.
(2),(3)不是，因为没有经过半径的外端点A.
注意：在此定理中，“经过半径的外端”和“垂直于这条半径”，两个条件缺一不可，否则就不是圆的切线.
新课讲解
判断一条直线是一个圆的切线有三个方法：
1.定义法：直线和圆只有一个公共点时，我们说这条直线是圆的切线;
l
新课讲解
要点归纳
3.判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
A
l
O
2.数量关系法：圆心到这条直线的距离等于半径(即d=r)时，直线与圆相切；
l
r
d
新课讲解
如图,∠ABC=45°，直线AB是☉O上的直径，点A,且AB=AC.
求证：AC是☉O的切线.
解析：直线AC经过半径的一端，因此只要证OA垂直于
AB即可.
证明：∵AB=AC，∠ABC＝45°，
∴∠ACB＝∠ABC＝45°.
∴∠BAC=180°-∠ABC-ACB=90°.
∵AB是☉O的直径，
∴ AC是☉O的切线.
A
O
C
B
新课讲解
例1
已知：直线AB经过⊙O上的点C，并且OA=OB，CA=CB.求证：直线AB是⊙O的切线.
O
B
A
C
分析：由于AB过⊙O上的点C，所以连结OC，只要证明AB⊥OC即可.
证明：连结OC(如图).
∵ OA＝OB,CA＝CB,
∴ OC是等腰三角形OAB底边AB上的中线.
∴ AB⊥OC.
∵ OC是⊙O的半径,
∴ AB是⊙O的切线.
新课讲解
例2
如图,△ABC 中，AB ＝AC ，O 是BC的中点，⊙O 与AB 相切于E.求证：AC 是⊙O 的切线．
B
O
C
E
A
分析：根据切线的判定定理，要证明AC是⊙O的切线，只要证明由点O向AC所作的垂线段OF是⊙O的半径就可以了，而OE是⊙O的半径，因此只需要证明OF=OE.
F
新课讲解
例3
证明：连结OE ，OA, 过O 作OF ⊥AC.
∵⊙O 与AB 相切于E ， ∴OE ⊥ AB.
又∵△ABC 中，AB ＝AC ，O 是BC 的中点．
∴AO 平分∠BAC，
F
B
O
C
E
A
∴OE ＝OF.
∵OE 是⊙O 半径，OF ＝OE，OF ⊥ AC.
∴AC 是⊙O 的切线．
又OE ⊥AB ，OF⊥AC.
新课讲解
如图，已知直线AB经过⊙O上的点C，并且OA＝OB，CA＝CB
求证：直线AB是⊙O的切线.
C
B
A
O
如图，OA＝OB=5，AB＝8, ⊙O的直径为6.
求证：直线AB是⊙O的切线.
C
B
A
O
对比思考
？
作垂直
连接
新课讲解
(1) 有交点，连半径,证垂直;
(2) 无交点，作垂直,证半径.
证切线时辅助线的添加方法
例1
例2
有切线时常用辅助线添加方法
(1) 见切点，连半径，得垂直.
切线的其他重要结论
(1)经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点;
(2)经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心.
新课讲解
思考：如图，如果直线l是⊙O 的切线，点A为切点，那么OA与l垂直吗？
A
l
O
∵直线l是⊙O 的切线，A是切点，
∴直线l ⊥OA.
切线的性质定理
切线性质
圆的切线垂直于经过切点的半径．
应用格式
新课讲解
2
小亮的理由是:直径AB与直线CD要么垂直,要么不垂直.
（1）假设AB与CD不垂直,过点O作一条直径垂直于CD,垂足为M,
（2）则OMC
D
B
O
A
（3）所以AB与CD垂直.
M
证法1：反证法.
性质定理的证明
新课讲解
新课讲解
反证法的证明视频
C
D
O
A
证法2：构造法.
作出小⊙O的同心圆大⊙O，CD切小⊙O于点A,且A点为CD的中点，连结OA,根据垂径定理，则CD ⊥OA,即圆的切线垂直于经过切点的半径．
新课讲解
1.如图：在⊙O中，OA、OB为半径，直线MN与⊙O相切于点B，若∠ABN=30°，则∠AOB= .
2.如图AB为⊙O的直径，D为AB延长线上一点，DC与⊙O相切于点C，∠DAC=30°， 若⊙O的半径长1cm，则CD= cm.
60°
随堂即练
方法总结：利用切线的性质解题时，常需连接辅助线，一般连接圆心与切点，构造直角三角形，再利用直角三角形的相关性质解题.
新课讲解
如图，PA为⊙O的切线，A为切点．直线PO与⊙O交于B、C两点，∠P＝30°，连结AO、AB、AC.
(1)求证：△ACB≌△APO；
(2)若AP＝ ，求⊙O的半径．
解析：(1)根据已知条件我们易得∠CAB=∠PAO=90°，由∠P=30°可得出∠AOP=60°，则∠C=30°=∠P，即AC=
AP；这样就凑齐了角边角，可证得△ACB≌△APO；
O
A
B
P
C
(2)由已知条件可得△AOP为直角三角形，因此可以通过解直角三角形求出半径OA的长.
新课讲解
例4
(1)求证：△ACB≌△APO；
O
A
B
P
C
在△ACB和△APO中，∠BAC＝∠OAP，AB＝AO，∠ABO＝∠AOB，
∴△ACB≌△APO.
证明：∵PA为⊙O的切线，A为切点，
又∵∠P＝30°，∴∠AOB＝60°，
又OA＝OB，∴△AOB为等边三角形．
∴AB＝AO，∠ABO＝60°.
又∵BC为⊙O的直径，∴∠BAC＝90°.
∴∠OAP＝90°.
新课讲解
(2)若AP＝ ，求⊙O的半径．
O
A
B
P
C
∴AO＝1，
∴CB＝OP＝2，
∴OB＝1，即⊙O的半径为1.
解：在Rt△AOP中，∠P＝30°，AP＝ ，
新课讲解
1.判断下列命题是否正确.
⑴ 经过半径外端的直线是圆的切线. （ ）
⑵ 垂直于半径的直线是圆的切线. （ ）
⑶ 过直径的外端并且垂直于这条直径的直线是圆
的切线. （ ）
⑷ 和圆只有一个公共点的直线是圆的切线. （ ）
⑸ 过直径一端点且垂直于直径的直线是圆的切线.
（ ）
×
×
√
√
√
随堂即练
2.如图所示，A是☉O上一点，且AO=5,PO=13,AP=12,则PA与☉O的位置关系是 .
A
P
O
第2题
相切
随堂即练
3.如图，在☉O的内接四边形ABCD中，AB是直径，∠BCD=120°，过D点的切线PD与直线AB交于点P，则∠ADP的度数为 （ ）
A．40° B．35° C．30° D．45°
随堂即练
P
O
第3题
D
A
B
C
C
4.如图, ⊙O切PB于点B,PB=4,PA=2,则⊙O的半径多少？
O
P
B
A
解：连结OB，则∠OBP=90°.
设⊙O的半径为r,则OA=OB=r,
OP=OA+PA=2+r.
在Rt△OBP中，
OB2+PB2=PO2，即r2+42=(2+r)2.
解得 r=3，
即⊙O的半径为3.
随堂即练
证明：连结OP.
∵AB=AC,∴∠B=∠C.
∵OB=OP，∴∠B=∠OPB，
∴∠OBP=∠C.
∴OP∥AC.
∵PE⊥AC，
∴PE⊥OP.
∴PE为⊙O的切线.
5.如图,△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交
边BC于P， PE⊥AC于E.
求证:PE是⊙O的切线.
O
A
B
C
E
P
随堂即练
6.如图，O为正方形ABCD对角线AC上一点，以O为圆心，OA长为半径的⊙O与BC相切于点M.求证：CD与⊙O相切．
证明：连结OM，过点O作
ON⊥CD于点N，
∵⊙O与BC相切于点M，
∴OM⊥BC.
又∵ON⊥CD，O为正
方形ABCD对角线AC上一点，
∴OM＝ON，
∴CD与⊙O相切．
M
N
随堂即练
7.已知：△ABC内接于☉O，过点A作直线EF.
（1）如图1，AB为直径，要使EF为☉O的切线，还需添加的条件是（只需写出两种情况）：
① _________ ；② _____________ .
（2）如图2，AB是非直径的弦，∠CAE=∠B，求证：EF是☉O的切线.
BA⊥EF
∠CAE=∠B
A
F
E
O
A
F
E
O
B
C
B
C
图1
图2
随堂即练
证明：连结AO并延长交☉O于D,连结CD,
则AD为☉O的直径.
∴ ∠D+ ∠DAC=90 °,
∵ ∠D与∠B同对 ,
∴ ∠D = ∠B,
又∵ ∠CAE= ∠B,
∴ ∠D= ∠CAE,
∴ ∠DAC + ∠EAC=90°,
∴EF是☉O的切线.
A
F
E
O
B
C
图2
D
随堂即练
切线的
判定方法
定义法
数量关系法
判定定理
1个公共点，则相切
d=r，则相切
经过圆的半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
切线的
性质
证切线时常用辅助线添加方法：
①有公共点，连半径，证垂直；
②无公共点，作垂直，证半径.
有1个公共点
d=r
性质定理
圆的切线垂直于经过切点的半径
有切线时常用辅助线
添加方法：
见切线，连切点，得垂直.
课堂小结(共49张PPT)
HS九(下)
教学课件
第27章 圆
复习课
·
一.与圆有关的概念
1.圆:平面内到定点的距离等于定长的所有点组成的图形.
2.弦:连结圆上任意两点的线段.
3.直径:经过圆心的弦是圆的直径，直径是最长的弦.
4.劣弧:小于半圆周的圆弧.
5.优弧:大于半圆周的圆弧.
6.等弧:在同圆或等圆中，能够互相重合的弧.
7.圆心角:顶点在圆心，角的两边与圆相交.
8.圆周角:顶点在圆上，角的两边与圆相交.
注意：(1)确定圆的要素：圆心决定位置，半径决定大小．(2)不在同一条直线上的三个点确定一个圆.
·
9.外接圆、内接正多边形:将一个圆n(n≥3)等分，依次连接各等分点所得到的多边形叫作这个圆的内接正多边形，这个圆是这个正多边形的外接圆.
10.三角形的外接圆
外心：三角形的外接圆的圆心叫做这个这个三角形的外心.
注意：(1)三角形的外心是三角形三条边的垂直平分线的交点．(2)一个三角形的外接圆是唯一的.
11.三角形的内切圆
内心：三角形的内切圆的圆心叫做这个这个三角形的
内心.
注意：(1)三角形的内心是三角形三条角平分线的交点．(2)一个三角形的内切圆是唯一的.
12.正多边形的相关概念
(1)中心：正多变形外接圆和内切圆有公共的圆心，称其为正多边形的中心.
(2)半径：外接圆的半径叫做正多边形的半径.
(3)边心距：中心到正多边形一边的距离叫做正多边形的边心距.
(4)中心角：正多边形每一条边对应所对的外接圆的圆心角都相等，叫做正多边形的中心角.
二、与圆有关的位置关系
1.点与圆的位置关系
判断点与圆的位置关系可由点到圆心的距离d与圆的半径r比较得到．
设☉O的半径是r，点P到圆心的距离为d，则有
点P在圆内；
d＜r
点P在圆上；
d=r
点P在圆外.
d＞r
注意：点与圆的位置关系可以转化为点到圆心的距离与半径之间的关系；反过来，也可以通过这种数量关系判断点与圆的位置关系．
2.直线与圆的位置关系
设r为圆的半径，d为圆心到直线的距离
直线与圆的
位置关系
图形
d与r的关系
公共点个数
公共点名称
直线名称
2个
交点
割线
1个
切点
切线
0个
相离
相切
相交
d＞r
d=r
d＜r
三、 圆的基本性质
1. 圆的对称性
圆是轴对称图形，它的任意一条_______所在的直线都是它的对称轴.
直径
2. 有关圆心角、弧、弦的性质.
(1)在同圆中，如果圆心角相等，那么它们所对的弧相等，所对的弦也相等.
(2)在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧和两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等.
(2)垂径定理的推论：平分弦(不是直径)的直径垂直于这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧；
平分弧的直径垂直平分这条弧所对的弦.
四、 有关定理及其推论
1.垂径定理
(1)垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的 .
注意:①条件中的“弦”可以是直径；②结论中的“平分弧”指平分弦所对的劣弧、优弧．
两条弧
2.圆周角定理
(1)圆周角定理：圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半.
(3)推论2：90°的圆周角所对的弦是直径.
注意:“同弧”指“在一个圆中的同一段弧”；“等弧”指“在同圆或等圆中相等的弧”；“同弧或等弧”不能改为“同弦或等弦”．
(4)推论3：圆的内接四边形的对角互补.
(2)推论1：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等；相等的圆周角所对弧相等.
3.与切线相关的定理
(1)判定定理：经过圆的半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
(2)性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径.
(3)切线长定理：经过圆外一点所画的圆的两条切线，它们的切线长相等.这一点和圆心的连线平分这两条切线的夹角.
五、 圆中的计算问题
1.弧长公式
半径为R的圆中，n°圆心角所对的弧长l=________.
2.扇形面积公式
半径为R，圆心角为n°的扇形面积S= ____________.
或
3.弓形面积公式
O
O
弓形的面积=扇形的面积±三角形的面积
(3)圆锥的侧面积为 .
注意：圆锥的侧面展开图的形状是扇形，它的半径等于圆锥的母线长，它的弧长是圆锥底面圆的周长．
(4)圆锥的全面积为 .
4.圆锥的侧面积
(1)圆锥的侧面展开图是一个 .
(2)如果圆锥母线长为l，底面圆的半径为r，那么这个扇形的半径为 ，扇形的弧长为 .
扇形
l
5.圆内接正多边形的计算
(1)正n边形的中心角为
(2)正n边形的边长a，半径R，边心距r之间的关系
(3)边长a，边心距r的正n边形的面积为
其中l为正n边形的周长.
圆周角定理
例1 在图中，BC是☉O的直径，AD⊥BC,若∠D=36°,则∠BAD的度数是 （ ）
A. 72° B.54° C. 45° D.36 °
A
B
C
D
B
考点1
135°
1.如图a，四边形ABCD为☉O的内接正方形，点P为劣弧BC上的任意一点（不与B,C重合），则∠BPC的度数是 .
C
D
B
A
P
O
图a
针对训练
2.如图b，线段AB是直径，点D是☉O上一点， ∠CDB=20 °,过点C作☉O的切线交AB的延长线于点E,则∠E等于 .
O
C
A
B
E
D
图b
50°
垂径定理
工程上常用钢珠来测量零件上小圆孔的宽口，假设钢珠的直径是10mm,测得钢珠顶端离零件表面的距离为8mm,如图所示，则这个小圆孔的宽口AB的长度为 mm.
8mm
A
B
8
C
D
O
解析：设圆心为O，连接AO,作出过点O的弓形高CD，垂足为D,可知AO=5mm,OD=3mm,利用勾股定理进行计算，AD=4mm，所以AB=8mm.
考点2
例2
A
O
B
C
E
F
3.如图a，点C是扇形OAB上的AB的任意一点，OA=2,连结AC,BC,过点O作OE ⊥AC,OF ⊥BC，垂足分别为E,F，连结EF，则EF的长度等于 .
（
针对训练
图a
A
B
C
D
P
O
图b
D’
P
4.如图b, AB是⊙O的直径，且AB=2，C,D是同一半圆上的两点，并且AC与BD的度数分别是96 °和36 °，动点P是AB上的任意一点，则PC+PD的最小值是 .
（
（
与圆有关的位置关系
B
北
60°
30°
A
C
如图，已知灯塔A的周围7海里的范围内有暗礁，一艘鱼轮在B处测得灯塔A在北偏东600的方向，向东航行8海里到达C处后，又测得该灯塔在北偏东300的方向，如果渔轮不改变航向，继续向东航行，有没有触礁的危险？请通过计算说明理由.
（参考数据 =1.732）
例3
考点3
解析：灯塔A的周围7海里都是暗礁，即表示以A为圆心，7海里为半径的圆中，都是暗礁.渔轮是否会触礁，关键是看渔轮与圆心A之间的距离d的大小关系.
B
北
60°
30°
A
C
B
北
60°
30°
A
C
D
解：如图，作AD垂直于BC于D，根据题意，得BC=8.设AD为x.
∵∠ABC=30°，∴AB=2x.
BD= x.
∵∠ACD=90°-30°=60°，
∴ AD=CD×tan60°，CD= .
BC=BD-CD= =8.
解得 x=
即渔船继续往东行驶，有触礁的危险.
5. ☉O的半径为R，圆心到点A的距离为d，且R、d分别是方程x2－6x＋8＝0的两根，则点A与☉O的位置关系是 （ ）
A．点A在☉O内部 B．点A在☉O上
C．点A在☉O外部 D．点A不在☉O上
解析：此题需先计算出一元二次方程x2－6x＋8＝0的两个根，然后再根据R与d的之间的关系判断出点A与 ☉O的关系.
D
针对训练
如图， O为正方形对角线上一点，以点O 为圆心，OA长为半径的☉O与BC相切于点M.
(1)求证：CD与☉O相切；
A
B
C
D
O
M
证明：过点O作ON⊥CD于N.连接OM
∵BC与☉O相切于点M, ∴ ∠OMC=90 °, ∵四边形ABCD是正方形，点O在AC上.
∴AC是∠BCD的角平分线，
∴ON=OM，
∴ CD与☉O相切.
N
例4
A
B
C
D
O
M
解: ∵正方形ABCD的边长为1, AC= .
设☉O的半径为r,则OC=
又易知△OMC是等腰直角三角形， ∴OC=
因此有 ，解得 .
（2）若正方形ABCD的边长为1，求☉O的半径.
（1）证切线时添加辅助线的解题方法有两种： ①有公共点，连半径，证垂直； ②无公共点，作垂直，证半径；有切线时添加辅助线的解题方法是：见切点，连半径，得垂直；
（2）设未知数，通常利用勾股定理建立方程.
方法归纳
6.（多解题）如图，直线AB,CD相交于点O，
∠AOD=30 °,半径为1cm的☉P的圆心在射线OA上，且与点O的距离为6cm,如果☉P以1cm/s的速度沿由A向B的方向移动，那么 秒钟后☉P与直线CD相切.
4或8
解析：根本题应分为两种情况：(1)☉P在直线AB下面与直线CD相切；(2)☉P在直线AB上面与直线CD相切.
A
B
D
C
P
P2
P1
E
针对训练
已知：如图，PA，PB是⊙O的切线，A、B为切点，过 上的一点C作⊙O的切线，交PA于D，交PB于E.
(1)若∠P＝70°，求∠DOE的度数；
解:连结OA、OB、OC，
∵⊙O分别切PA、PB、DE于点A、B、C，∴OA⊥PA，OB⊥PB，OC⊥DE,AD＝CD,BE＝CE，
∴OD平分∠AOC，OE平分∠BOC.
∴∠DOE＝ ∠AOB.
∵∠P＋∠AOB＝180°，∠P＝70°，
∴∠DOE＝55°.
例5
解：∵⊙O分别切PA、PB、DE于A、B、C，
∴AD＝CD，BE＝CE.
∴△PDE的周长＝PD＋PE＋DE
＝PD＋AD＋BE＋PE＝2PA＝8(cm)
(2)若PA＝4 cm，求△PDE的周长．
如图，四边形OABC为菱形，点B、C在以点O为圆心的圆上, OA=1,∠AOC=120°，∠1=∠2，则扇形OEF的面积？
解：∵四边形OABC为菱形
∴OC=OA=1
∵ ∠AOC=120°，∠1=∠2
∴ ∠FOE=120°
又∵点C在以点O为圆心的圆上
圆中的计算问题
考点4
例6
7.（1）一条弧所对的圆心角为135 ° ，弧长等于半径
为5cm的圆的周长的3倍，则这条弧的半径为 .
（2）若一个正六边形的周长为24，则该正六边形的面
积为______.
40cm
针对训练
8.如图，已知C，D是以AB为直径的半圆周上的两点，O是圆心，半径OA=2，∠COD=120°，则图中阴影部分的面积等于_______．
如图所示，在正方形ABCD内有一条折线段，其中AE⊥EF，EF⊥FC，已知AE=6，EF=8，FC=10，求图中阴影部分的面积.
例7
解：将线段FC平移到直线AE上，此时点F与点E重合，
点C到达点C'的位置.连接AC，如图所示.
根据平移的方法可知，四边形EFCC'是矩形.
∴ AC'=AE+EC'=AE+FC=16，CC'=EF=8.
在Rt△AC'C中，得
∴正方形ABCD外接圆的半径为
∴正方形ABCD的边长为
当图中出现圆的直径时，一般方法是作出直径所对的圆周角，从而利用“直径所对的圆周角等于 ”构造出直角三角形，为进一步利用勾股定理或锐角三角函数提供了条件.
方法总结
9. 如图，正六边形ABCDEF内接于半径为5的⊙O，四边形EFGH是正方形．
⑴求正方形EFGH的面积；
解：∵正六边形的边长与其半径相等，
∴EF=OF=5.
∵四边形EFGH是正方形，
∴FG=EF=5，
∴正方形EFGH的面积是25.
针对训练
解：∵正六边形的边长与其半径相等，
∴∠OFE=600.
∴正方形的内角是900，
∴∠OFG=∠OFE +∠EFG=600+900=1500.
由⑴得OF=FG，
∴∠OGF= （1800-∠OFG）
= （1800-1500）=150.
⑵连接OF、OG，求∠OGF的度数．
与圆有关的作图
·
a
b
c
d
a
如何解决“破镜重圆”的问题：
O
·
考点5
例8
如何作圆内接正五边形怎么作？
·
O
E
72°
B
A
D
C
（1）用量角器作72°的中心角，
得圆的五等分点；
（2）依次连接各等分点，得圆
的内接正五边形.
例9
圆的综合
解析：连结BD，则在Rt△BCD中，BE＝DE，利用角的互余证明∠C＝∠EDC.
如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，以AB为直径的☉O交AC于点D，过点D的切线交BC于E.
（1）求证：BC=2DE.
考点6
例10
解：（1）证明：连结BD，
∵AB为直径，∠ABC=90°，
∴BE切☉O于点B.
又∵DE切☉O于点D，∴DE=BE，
∴∠EBD=∠EDB.
∵∠ADB=90°，
∴∠EBD+∠C=90°，∠BDE+∠CDE=90°.
∴∠C=∠CDE，DE=CE.
∴BC=BE+CE=2DE.
解：∵DE=2，∴BC=2DE=4.
在Rt△ABC中，
∴AB=BC =
在Rt△ABC中，
又∵△ABD∽△ACB，
∴ 即
∴
（2）若tanC= ,DE=2，求AD的长.
10. 如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，以AB为直径的☉O交AC于点D，连接BD.
针对训练
解：∵AB是直径，∴∠ADB=90°.
∵AD=3，BD=4，∴AB=5.
∵∠CDB=∠ABC，∠A=∠A，
∴△ADB∽△ABC，
∵ 即 ∴BC=
（1）若AD=3，BD=4，求边BC的长.
又∵∠OBD+∠DBC=90°，∠C+∠D=90°，
∴∠C=∠OBD，∴∠BDO=∠CDE.
∵AB是直径，∴∠ADB=90°，
∴∠BDC=90°，
即∠BDE+∠CDE=90°.
∴∠BDE+∠BDO=90°，即∠ODE=90°.
∴ED与☉O相切.
证明：连结OD，在Rt△BDC中，
∵E是BC的中点，∴CE=DE，∴∠C=∠CDE.
又OD=OB，∴∠ODB=∠OBD.
（2）取BC的中点E，连接ED，试证明ED与☉O相切.
圆
圆的性质
与圆有关的位置关系
弧长与扇形面积的计算
圆的对称性
圆是中心对称图形
垂径定理
四边形的内接圆、三角形的外接圆
直线与圆的位置的关系
切线长定理
圆的概念
圆心角、圆周角、弧与弦之间的关系
圆是轴对称图形，任意一条直径所在直线都是它的对称轴
切线
三角形的内切圆
正多边形与圆
作图(共29张PPT)
HS九(下)
教学课件
27.1 圆的认识
第27章 圆
1.圆的基本元素
1.认识圆，理解圆的本质属性.（重点）
2.认识弦、弧、半圆、优弧、劣弧、同心圆、等
圆、等弧等与圆有关的概念，并了解它们之间
的区别和联系.（难点）
3.掌握同圆中半径相等的性质并能运用.（难点）
学习目标
观察下列生活中的图片，找一找你所熟悉的图形.
骑车运动
看了此画,你有何想法
思考：车轮为什么做成圆形 做成三角形、正方形可以吗？
车轮为圆形的原理分析：（下图为FLASH动画，点击）
情景：一些学生正在做投圈游戏，他们呈“一”字排开．这样的队形对每一人都公平吗？你认为他们应当排成什么样的队形？
探究圆的概念
1
甲
丙
乙
丁
为了使游戏公平，
在目标周围围成一个圆排队，
因为圆上各点到圆心的距离都等于半径.
·
r
O
A
圆的旋转定义
在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点所形成的图形叫做圆．以点O为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”.
有关概念
固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径，一般用r表示．
问题 观察画圆的过程，你能说出圆是如何画出来的吗？
一是圆心，圆心确定其位置；二是半径，半径确定其大小．
同心圆
等圆
半径相同，圆心不同
圆心相同，半径不同
确定一个圆的要素
（1）圆上各点到定点（圆心O）的距离都等于_____．
（2）到定点的距离等于定长的点都在 ．
圆心为O、半径为r的圆可以看成是所有到定点O的距离等于定长r的点的集合．
O
·
A
C
E
r
r
r
r
r
D
定长r
同一个圆上
圆的集合定义
想一想：从画圆的过程可以看出什么呢？
圆的基本性质
o
同圆半径相等.
矩形ABCD的对角线AC、BD相交于O.
求证：A、B、C、D在以O为圆心的同一圆上.
A
B
C
D
O
证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AO=OC，OB=OD.
又∵AC=BD，
∴OA=OB=OC=OD.
∴A、B、C、D在以O为圆心，
以OA为半径的圆上.
例1
弦:
·
C
O
A
B
连接圆上任意两点的线段（如图中的AC）叫做弦.
经过圆心的弦（如图中的AB）叫做直径．
注意：1.弦和直径都是线段.
2.直径是弦,是经过圆心的特殊弦，是圆中最长的弦，但弦不一定是直径.
圆的有关概念
2
弧:
·
C
O
A
B
圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆．
劣弧与优弧
·
C
O
A
B
半圆
小于半圆的弧叫做劣弧.如图中的AC ;
(
大于半圆的弧叫做优弧.如图中的ABC.
(
等圆:
·
C
O
A
能够重合的两个圆叫做等圆.
·
C
O1
A
容易看出：
等圆是两个半径相等的圆.
等弧:
在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧.
想一想：长度相等的弧是等弧吗？
A
B
C
D
观察AD和BC是否相等？
⌒
⌒
O
如图.
(1)请写出以点A为端点的优弧及劣弧;
(2)请写出以点A为端点的弦及直径.
弦AF,AB,AC.其中弦AB又是直径.
(3)请任选一条弦，写出这条弦所对的弧.
答案不唯一，如：弦AF,它所对的弧是 .
A
B
C
E
F
D
O
劣弧：
优弧：
AF,
(
AD,
(
AC,
(
AE.
(
AFE,
(
AFC,
(
ADE,
(
ADC.
(
AF
(
例2
1.根据圆的定义，“圆”指的是“圆周”，而不是“圆面”．
2.直径是圆中最长的弦.
附图解释：
·
C
O
A
B
连接OC,
在△AOC中，根据三角形三边关系有AO+OC>AC,
而AB=2OA,AO=OC,所以AB>AC.
如图，MN是半圆O的直径，正方形ABCD的顶点A、D在半圆上，顶点B、C在直径MN上，求证：OB=OC.
连OA,OD即可，
同圆的半径相等.
Ⅰ
Ⅱ
10
？
x
2x
在Rt△ABO中，
算一算：设在例3中，⊙O的半径为10，则正方形ABCD的边长为 .
例3
x
x
x
x
变式：如图，在扇形MON中， ，半径MO=NO=10，,正方形ABCD的顶点B、C、D在半径上，顶点A在圆弧上，求正方形ABCD的边长.
解：连结OA.
∵ABCD为正方形
∴DC=CO
设OC=x,则AB=BC=DC=OC=x
又∵OA=OM=10
∴在Rt△ABO中,
∠ADC=∠DCB=90°
又∵∠DOC=45°
O
A
B
M
1.圆心角：顶点在圆心,角的两边与圆相交的角叫圆心
角，如∠AOB .
3.圆心角 ∠AOB所对的弦为AB.
2.圆心角 ∠AOB 所对的弧为 AB.
⌒
圆心角
3
判别下列各图中的角是不是圆心角，并说明理由.
圆内角
圆外角
圆周角（后面会学到）
圆心角
1.填空：
（1）______是圆中最长的弦，它是______的2倍．
（2）图中有 条直径， 条非直径的弦，
圆中以A为一个端点的优弧有 条，
劣弧有 条．
直径
半径
一
二
四
四
A
B
C
D
O
F
E
2.判断下列说法的正误，并说明理由或举反例.
(1)弦是直径；
(2)半圆是弧；
(3)过圆心的线段是直径；
(4)过圆心的直线是直径；
(5)半圆是最长的弧；
(6)直径是最长的弦；
(7)长度相等的弧是等弧.
×
√
×
×
×
√
×
3． 一根5m长的绳子，一端栓在柱子上，另一端栓着一只羊，请画出羊的活动区域．
5m
5m
O
4m
5m
O
4m
参考答案：
圆
定义
旋转定义
要画一个确定的圆，关键是
确定圆心和半径
集合定义
同圆半径相等
有关
概念
弦（直径）
直径是圆中最长的弦
弧
半圆是特殊的弧
劣弧
半圆
优弧
同心圆
等圆
同圆
等弧
能够互相重合的两段弧
圆心角
顶点在圆心，并且两边都和圆周相交的角 (共27张PPT)
HS九(下)
教学课件
27.2 圆的对称性
2.圆的对称性
第2课时 垂径定理
1.进一步认识圆，了解圆是轴对称图形.
2.理解垂直于弦的直径的性质和推论，并能应用
它解决一些简单的计算、证明和作图问题.（重点）
3.灵活运用垂径定理解决有关圆的问题.（难点）
学习目标
问题:你知道赵州桥吗 它的主桥是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37m, 拱高(弧的中点到弦的距离)为7.23m，你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？
问题：如图,AB是⊙O的一条弦, 直径CD⊥AB, 垂足为E.你能发现图中有那些相等的线段和劣弧 为什么
线段: AE=BE
弧: AC=BC, AD=BD
⌒
⌒
⌒
⌒
理由如下：
把圆沿着直径CD折叠时，CD两侧的两个半圆重合，点A与点B重合，AE与BE重合，AC和BC,AD与BD重合．
⌒
⌒
⌒
⌒
·
O
A
B
D
E
C
垂径定理及其推论
1
垂径定理
·
O
A
B
C
D
E
垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分这条弦所对的两条弧.
∵ CD是直径，CD⊥AB，
∴ AE=BE,
⌒
⌒
AC =BC,
⌒
⌒
AD =BD.
推导格式：
提示：垂径定理是圆中一个重要的定理,三种语言要相互转化,形成整体,才能运用自如.
想一想：下列图形是否具备垂径定理的条件？如果不是，请说明为什么？
是
不是，因为没有垂直
是
不是，因为CD没有过圆心
A
B
O
C
D
E
O
A
B
C
A
B
O
E
A
B
D
C
O
E
垂径定理的几个基本图形：
A
B
O
C
D
E
A
B
O
E
D
A
B
O
D
C
A
B
O
C
如果把垂径定理（垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧）结论与题设交换一条，命题是真命题吗？
①过圆心 ；②垂直于弦； ③平分弦；
④平分弦所对的优弧 ； ⑤平分弦所对的劣弧.
上述五个条件中的任何两个条件都可以推出其他三个结论吗？
思考探索
D
O
A
B
E
C
举例证明其中一种组合方法
已知:
求证：
① CD是直径
② CD⊥AB，垂足为E
③ AE=BE
④ AC=BC ⑤ AD=BD
⌒
⌒
⌒
⌒
证明猜想
如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD，使AE=BE.
（1）CD⊥AB吗？为什么？
（2）
·
O
A
B
C
D
E
⌒
AC与BC相等吗？ AD与BD相等吗？为什么？
⌒
（2）由垂径定理可得AC =BC， AD =BD.
⌒
⌒
⌒
⌒
（1）连结AO,BO,则AO=BO,
又AE=BE，
∴△AOE≌△BOE（SSS），
∴∠AEO =∠BEO =90°，
∴CD⊥AB.
⌒
⌒
证明举例
思考：“不是直径”这个条件能去掉吗？如果不能，请举出反例.
平分弦（不是直径）的直径垂直于这条弦,并且平分这条弦所对的两条弧；
平分弧的直径垂直平分这条弧所对的弦.
垂径定理的推论
·
O
A
B
C
D
特别说明：
圆的两条直径是互相平分的.
如图，OE⊥AB于E，若⊙O的半径为10cm,
OE=6cm,则AB= cm.
·
O
A
B
E
解：连结OA，∵ OE⊥AB，
∴ AB=2AE=16cm.
垂径定理及其推论的计算
∴
cm.
2
例1
如图，⊙ O的弦AB＝8cm ，直径CE⊥AB于D，DC＝2cm，求半径OC的长.
·
O
A
B
E
C
D
解：连结OA，∵ CE⊥AB于D，
设OC=xcm，则OD=x-2,根据勾股定理，得
解得 x=5，
即半径OC的长为5cm.
x2=42+(x-2)2，
例2
ＡＤ＝ ＡＢ＝ ×８＝４（cm）
已知：⊙O中弦AB∥CD,
求证：AC＝BD.
⌒
⌒
.
M
C
D
A
B
O
N
证明：作直径MN⊥AB.
∵AB∥CD，∴MN⊥CD.
则AM＝BM，CM＝DM
（垂直平分弦的直径平分弦所对的弧）
AM－CM＝BM－DM
∴AC＝BD
⌒
⌒
⌒
⌒
⌒
⌒
⌒
⌒
⌒
⌒
例3
解决有关弦的问题，经常是过圆心作弦的弦心距，或作垂直于弦的直径，连结半径等辅助线，为应用垂径定理创造条件.
归纳总结
试一试：根据刚刚所学，你能利用垂径定理求出引入中赵州桥主桥拱半径的问题吗
垂径定理的实际应用
3
A
B
O
C
D
解：如图，用AB表示主桥拱，设AB
所在圆的圆心为O，半径为R.
经过圆心O作弦AB的垂线OC垂足为D，与弧AB交于点C，则D是AB的中点，C是弧AB的中点，CD就是拱高.
∴ AB=37m，CD=7.23m.
解得R≈27.3（m）.
即主桥拱半径约为27.3m.
=18.52+(R-7.23)2
∴ AD= AB=18.5m，OD=OC-CD=R-7.23.
练一练：如图a、b,一弓形弦长为 cm，弓形所在的圆的半径为7cm，则弓形的高为＿＿＿____＿.
C
D
C
B
O
A
D
O
A
B
图a
图b
2cm或12cm
在圆中有关弦长a,半径r, 弦心距d（圆心到弦的距离），弓形高h的计算题时，常常通过连半径或作弦心距构造直角三角形，利用垂径定理和勾股定理求解.
涉及垂径定理时辅助线的添加方法
弦a，弦心距d，弓形高h，半径r之间有以下关系：
弓形中重要数量关系
A
B
C
D
O
h
r
d
d+h=r
O
A
B
C
·
1.已知⊙O中，弦AB=8cm，圆心到AB的距离为3cm，
则此圆的半径为 .
5cm
2.⊙O的直径AB=20cm, ∠BAC=30°则弦
AC= .
10 3 cm
3.（分类讨论题）已知⊙O的半径为10cm，弦MN∥EF,
且MN=12cm,EF=16cm,则弦MN和EF之间的距离
为 .
14cm或2cm
4.如图，在⊙O中，AB、AC为互相垂直且相等的两条弦，OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，求证四边形ADOE是正方形．
D
·
O
A
B
C
E
证明：
∴四边形ADOE为矩形，
又∵AC=AB
∴ AE=AD
∴ 四边形ADOE为正方形.
5.已知：如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C，D两点。你认为AC和BD有什么关系？为什么？
证明：过O作OE⊥AB，垂足为E，
则AE＝BE，CE＝DE.
∴ AE－CE＝BE－DE．
即 AC＝BD.
.
A
C
D
B
O
E
注意：解决有关弦的问题，常过圆心作弦的弦心距，或作垂直于弦的直径，它是一种常用辅助线的添法．
6.如图，一条公路的转弯处是一段圆弧(即图中弧CD,点O是弧CD的圆心),其中CD=600m,E为弧CD上的一点,且OE⊥CD，垂足为F,EF=90m.求这段弯路的半径.
● O
C
D
E
F
┗
解:连结OC.
● O
C
D
E
F
┗
设这段弯路的半径为Rm,则OF=(R-90)m.
根据勾股定理，得
解得R=545.
∴这段弯路的半径约为545m.
∵ＯＥ⊥ＣＤ
如图，⊙O的直径为10，弦AB=8,P为AB上的一个动点，那么OP长的取值范围 .
3cm≤OP≤5cm
B
A
O
P
垂径定理
内容
推论
辅助线
一条直线满足:①过圆心;②垂直于弦; ③平分弦（不是直径）; ④平分弦所对的优弧;⑤平分弦所对的劣弧.满足其中两个条件就可以推出其它三个结论（“知二推三”）
垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的
两条弧
两条辅助线：连半径，作弦心距
构造Rt△利用勾股定理计算或建立方程.
基本图形及变式图形(共23张PPT)
HS九(下)
教学课件
27.1 圆的认识
2.圆的对称性
第1课时 圆的对称性
1.理解掌握圆的对称性.（重点）
2.运用圆的对称性研究圆心角、弧、弦之间的关系.
（难点）
3.掌握圆心角、弧、弦之间的关系，并能加以应用.
（难点）
学习目标
熊宝宝要过生日了！要把蛋糕平均分成四块，你会分吗？
圆的对称性
（1）圆是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？你能找到多少条对称轴？
（2）你是怎么得出结论的？
圆的对称性： 圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线.
用折叠的方法
●O
1
圆是中心对称图形
.
O
A
B
180°
观察：1.将圆绕圆心旋转180°后，得到的图形与原图形重合吗？由此你得到什么结论呢？
2.把圆绕圆心旋转任意一个角度呢？仍与原来的圆重合吗？
O
α
圆是旋转对称图形，具有旋转不变性.
·
在同圆中探究
在⊙O中，如果∠AOB= ∠COD，那么，AB与CD，弦AB与弦CD有怎样的数量关系？
⌒
⌒
C
·
O
A
B
D
圆心角、弧、弦之间的关系
归纳:由圆的旋转不变性，我们发现：在⊙O中，如果∠AOB= ∠COD，那么， ，弦AB=弦CD
2
·
O
A
B
如图，在等圆中，如果∠AOB＝∠CO ′ D，你发现的等量关系是否依然成立？为什么？
·
O ′
C
D
在等圆中探究
归纳：通过平移和旋转将两个等圆变成同一个圆，我们发现：如果∠AOB=∠COD，那么，AB=CD，弦AB=弦CD.
⌒
⌒
在同一个圆中，如果圆心角相等，那么它们所对的弧相等，所对的弦相等．
①∠AOB=∠COD
②AB=CD
⌒ ⌒
③AB=CD
A
B
O
D
C
弧、弦与圆心角的关系定理
想一想：定理“在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．”中，可否把条件“在同圆或等圆中”去掉？为什么？
不可以，如图.
A
B
O
D
C
如果弧相等
那么
弧所对的圆心角相等
弧所对的弦相等
如果弦相等
那么
弦所对应的圆心角相等
弦所对应的优弧相等
弦所对应的劣弧相等
如果圆心角相等
那么
圆心角所对的弧相等
圆心角所对的弦相等
在同圆或等圆中
题设
结论
在同一个圆中，如果弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等．
弧、弦与圆心角关系定理的推论
在同一个圆中，如果弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弧相等．
关系结构图
抢答题
1.等弦所对的弧相等. （ ）
2.等弧所对的弦相等. （ ）
3.圆心角相等，所对的弦相等. （ ）
4. 如图，AB 是⊙O 的直径， BC = CD = DE ，
∠COD=35°，∠AOE = ．
·
A
O
B
C
D
E
75°
×
√
×
解：
∵
如图，AB是⊙O 的直径， ∠COD=35°，求∠AOE 的度数．
·
A
O
B
C
D
E
关系定理及推论的运用
3
例1
证明：
∴ AB=AC．△ABC是等腰三角形.
又∠ACB=60°，
∴ △ABC是等边三角形 , AB=BC=CA.
∴ ∠AOB＝∠BOC＝∠AOC.
如图，在⊙O中， AB=AC ,∠ACB=60°,
求证：∠AOB=∠BOC=∠AOC.
·
A
B
C
O
⌒ ⌒
提示：本题告诉我们，弧、圆心角、弦灵活转化是解题的关键.
∵AB=CD，
⌒ ⌒
例2
填一填： 如图，AB、CD是⊙O的两条弦．
（1）如果AB=CD，那么________，______________．
（2）如果 ，那么________,________________．
（3）如果∠AOB=∠COD，那么________，_________．
（4）如果AB=CD，OE⊥AB于E，OF⊥CD于F，OE
与OF相等吗？为什么？
·
C
A
B
D
E
F
O
AB=CD
AB=CD
AB=CD
(
(
∠AOB= ∠COD
∠AOB= ∠COD
AB=CD
(
(
AB=CD
(
(
·
C
A
B
D
E
F
O
1．如果两个圆心角相等，那么 （ ）
A．这两个圆心角所对的弦相等
B．这两个圆心角所对的弧相等
C．这两个圆心角所对的弦的弦心距相等
D．以上说法都不对
3.弦长等于半径的弦所对的圆心角等于 .
D
60 °
2.在同圆中，圆心角∠AOB=2∠COD,则AB与CD
的关系是 （ ）
⌒ ⌒
A
A. AB=2CD
⌒ ⌒
B. AB>CD
⌒ ⌒
C. AB⌒ ⌒
D. 不能确定
4.如图，已知AB、CD为⊙O的两条弦，
求证:AB＝CD.
.
C
A
B
D
O
证明：连结AO,BO,CO,DO.
如图，在⊙O中，2∠AOB=∠COD，那么CD=2AB成立吗？CD=2AB也成立吗？请说明理由；如不是，那它们之间的关系又是什么？
⌒ ⌒
答：CD=2AB成立，CD=2AB不成立.不是，取 的中点E,连接OE.那么∠AOB=∠COE=∠DOE,所以 = = . =2 ，弦AB=CE=DE,在△CDE中，CE+DE>CD,即CD＜2AB.
⌒ ⌒
A
B
C
D
E
O
圆心角
弦、弧、圆心角的关系定理
在同圆或等圆中
概念：顶点在圆心的角
应用提醒
①要注意前提条件；
②要灵活转化.(共45张PPT)
HS九(下)
教学课件
27.1 圆的认识
第27章 圆
3. 圆周角
学习目标
1.理解圆周角的概念，会叙述并证明圆周角定理.
2.理解圆周角与圆心角的关系并能运用圆周角定理解
决简单的几何问题.（重点、难点）
3.理解掌握圆周角定理的推论及其证明过程和运用.（难点）
问题1 什么叫圆心角？指出图中的圆心角？
顶点在圆心的角叫圆心角, ∠BOC.
问题2 如图，∠BAC的顶点和边有哪些特点
A
∠BAC的顶点在☉O上，角的两边分别交☉O于B、C两点.
C
A
E
D
B
思考： 图中过球门A、C两点画圆，球员射中球门的难易程度与他所处的位置B、D、E有关（张开的角度大小）、仅从数学的角度考虑，球员应选择从哪一点的位置射门更有利？
顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角.
（两个条件必须同时具备，缺一不可）
圆周角的定义
1
·
C
O
A
B
·
C
O
B
·
C
O
B
A
A
·
C
O
A
B
·
C
O
B
·
C
O
B
A
A
判一判：下列各图中的∠BAC是否为圆周角并简述理由.
（2）
（3）
顶点不在圆上
顶点不在圆上
边AC没有和圆相交
√
√
√
如图，线段AB是☉O的直径，点C是 ☉O上的任意一点（除点A、B外），那么，∠ABC 就是直径AB所对的圆周角，想一想，∠ACB会是怎样的角？
·
O
A
C
B
解：∵OA=OB=OC，∴△AOC、
△BOC都是等腰三角形.
∴ ∠OAC=∠OCA，∠OBC=∠OCB.
又∵ ∠OAC+∠OBC+∠ACB=180°.
∴ ∠ACB=∠OCA+∠OCB=180°÷2=90°.
圆周角和直径的关系
圆周角和直径的关系：
半圆或直径所对的圆周角都相等，都等于90°.
如图，AB是☉O的直径，∠A=80°.求∠ABC的大小.
O
C
A
B
解：∵AB是☉O的直径，
∴∠ACB=90°（直径所对的圆周角等于90°.）
∴∠ABC=180°-∠A-∠ACB
=180°-90°-80°=10°.
例1
如图，连接BO,CO,得圆心角∠BOC.试猜想∠BAC与∠BOC存在怎样的数量关系.
圆周角定理及其推论
2
圆心O 在∠BAC 的内部
圆心O在∠BAC的一边上
圆心O在∠BAC
的外部
推导与论证
圆心O在∠BAC的一边上（特殊情形）
OA=OC
∠A= ∠C
∠BOC= ∠ A+ ∠C
O
A
B
D
O
A
C
D
O
A
B
C
D
圆心O在∠BAC的内部
O
A
C
D
O
A
B
D
O
A
B
D
C
O
A
D
C
O
A
B
D
C
O
A
D
O
A
B
D
C
O
A
D
O
A
B
D
圆心O在∠BAC的外部
问题1 如图，OB，OC都是⊙O的半径，点A ,D 是上任意两点，连接AB，AC，BD，CD.∠BAC与∠BDC相等吗？请说明理由.
D
∴∠BAC=∠BDC
相等，理由如下：
圆周角定理的推论
3
D
A
B
O
C
E
F
问题2 如图，若 ∠A与∠B相等吗？
相等
想一想：(1)反过来，若∠A=∠B，那么
成立吗？
(2)若CD是直径，你能求出∠A的度数吗？
圆周角定理：
在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于该弧所对的圆心角的一半；
相等的圆周角所对的弧也相等.
圆周角定理
A1
A2
A3
推论1：90°的圆周角所对的 弦是直径.
试一试：
1.如图，点A、B、C、D在☉O上，点A与点D在点B、C所在直线的同侧，∠BAC=35 .
(1)∠BOC= ，理由
是 ;
(2)∠BDC= ，理由是 .
70
35
同弧所对的圆周角相等
一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半
(1)完成下列填空：
∠1= .
∠2= .
∠3= .
∠5= .
2.如图，点A、B、C、D在同一个圆上，AC、BD为四边形ABCD的对角线.
∠4
∠8
∠6
∠7
A
B
C
D
O
1
(
(
(
(
(
(
(
(
2
3
4
5
6
7
8
如图，分别求出图中∠x的大小.
60°
x
30°
20°
x
解：(1)∵同弧所对圆周角相等，∴∠x=60°.
A
D
B
E
C
(2)连接BF，
F
∵同弧所对圆周角相等，
∴∠ABF=∠D=20°，∠FBC=∠E=30°.
∴∠x=∠ABF+∠FBC=50°.
例2
如图，⊙O的直径AC为10cm，弦AD为6cm.
（1）求DC的长；
（2）若∠ADC的平分线交⊙O
于B, 求AB、BC的长．
B
解：(1)∵AC是直径，
∴ ∠ADC=90°.
在Rt△ADC中，
例3
在Rt△ABC中，AB2+BC2=AC2，
(2)∵ AC是直径,
∴ ∠ABC=90°.
∵BD平分∠ADC,
∴∠ADB=∠CDB.
又∵∠ACB=∠ADB , ∠BAC=∠BDC .
∴ ∠BAC=∠ACB,
∴AB=BC.
B
提示:解答圆周角有关问题时，若题中出现“直径”这个条件，则考虑构造直角三角形来求解.
如图，BD是⊙O的直径，∠CBD＝30°，则∠A的度数为( )
A．30° B．45° C．60° D．75°
解析：∵BD是⊙O的直径，
∴∠BCD＝90°.
∵∠CBD＝30°，
∴∠D＝60°，∴∠A＝∠D＝60°.故选C.
方法总结：在圆中，如果有直径，一般要找直径所对的圆周角，构造直角三角形解题．
如图,AB是⊙O的直径,弦CD交AB于点P,
∠ACD=60°,∠ADC=70°.求∠APC的度数.
. O
A
D
C
P
B
解:连结BC,则∠ACB=90°,
∠DCB＝∠ACB－∠ACD＝
90°－60°=30°.
又∵∠BAD=∠DCB=30°,
∴∠APC=∠BAD＋∠ADC＝30°＋70°＝100°.
例4
如果一个圆经过一个多边形的各个顶点，这个圆就叫作这个多边形的外接圆.这个多边形叫做圆的内接多边形.
圆内接四边形
4
如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，⊙O为四边形ABCD的外接圆.
探究性质
猜想：∠A与∠C, ∠B与∠D之间
的关系为：
∠A+ ∠C=180 ，
∠B+ ∠D=180
想一想：
如何证明你的猜想呢？
∵ 弧BCD和弧BAD所对的圆心角的和是周角，
∴∠A＋∠C＝180°，
同理∠B＋∠D＝180°，
推论：圆的内接四边形的对角互补.
证明猜想
归纳总结
C
O
D
B
A
∵ 弧BCD和弧BAD所对的圆心角的和是周角，
∴∠A＋∠C＝180°，
同理∠B＋∠D＝180°，
E
延长BC到点E，有
∠BCD＋∠DCE＝180°.
∴∠A＝∠DCE.
图中∠A与∠DCE的大小有何关系？
推论：圆的内接四边形的任何一个外角都等于它的内对角.
C
O
D
B
A
E
归纳总结
1．四边形ABCD是⊙O的内接四边形，且∠A=110°，
∠B=80°，则∠C= ，∠D= .
2．⊙O的内接四边形ABCD中，∠A∶∠B∶∠C=
1∶2∶3 ，则∠D= .
70
100
90
如图，AB为⊙O的直径，CF⊥AB于E，交⊙O于D，AF交⊙O于G. 求证：∠FGD＝∠ADC.
证明：∵四边形ACDG内接于⊙O，
∴∠FGD＝∠ACD.
又∵AB为⊙O的直径，CF⊥AB于E，
∴AB垂直平分CD，
∴AC＝AD，
∴∠ADC＝∠ACD，
∴∠FGD＝∠ADC.
方法总结：圆内接四边形的性质是沟通角相等关系的重要依据．
例5
如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，∠BOD＝120°，那么∠BCD是 ( )
A．120° B．100°
C．80° D．60°
解析：∵∠BOD＝120°，∴∠A＝60°，∴∠C＝180°－60°＝120°，故选A.
A
解：设∠A，∠B，∠C的度数分别对于2x，3x，6x，
在圆内接四边形ABCD中， ∠A，∠B，∠C的度数之比是2︰3︰6.求这个四边形各角的度数.
∵四边形ABCD内接于圆，
∴ ∠A + ∠C=∠B+∠D=180°.
∵2x+6x=180°，
∴ x=22.5°，
∴ ∠A=45°， ∠B=67.5°， ∠C =135°，
∠D=180°- 67.5°=112.5°.
例6
1.判断
（1）同一个圆中等弧所对的圆周角相等 （ ）
（2）相等的弦所对的圆周角也相等 （ ）
（3）同弦所对的圆周角相等 （ ）
√
×
×
2.已知△ABC的三个顶点在⊙O上,∠BAC=50°,
∠ABC=47°, 则∠AOB= ．
B
A
C
O
166°
3.如图，已知BD是⊙O的直径，⊙O的弦AC⊥BD于点E，若∠AOD=60°，则∠DBC的度数为 （ ）
A.30° B.40° C.50° D.60°
A
【规律方法】解决圆周角和圆心角的计算和证明问题,要准确找出同弧所对的圆周角和圆心角,然后再灵活运用圆周角定理.
A
B
C
D
O
4.如图，四边形ABCD内接于⊙O,如果∠BOD=130°,则∠BCD的度数是
（ ）
A. 115° B.130°
C.65° D. 50°
5.如图，等边三角形ABC内接于⊙O，P是AB上的一点，则∠APB= .
A
B
C
P
C
120°
6.如图，已知圆心角∠AOB=100°,则圆周角
∠ACB= ，∠ADB= .
D
A
O
C
B
130°
50°
7.如图，△ABC的顶点A、B、C都在⊙O上，∠C＝30°，AB＝2，则⊙O的半径是 .
解析：连结OA、OB，
∵∠C=30° ，∴∠AOB=60°.
又∵OA=OB ，
∴△AOB是等边三角形.
∴OA=OB=AB=2，即半径为2.
2
C
A
B
O
A
O
B
C
∴∠ACB=2∠BAC
证明：
8. 如图，OA，OB，OC都是⊙O的半径，∠AOB=
2∠BOC. 求证：∠ACB=2∠BAC.
∠AOB=2∠BOC，
9.船在航行过程中，船长通过测定角数来确定是否遇到暗礁，如图，A、B表示灯塔，暗礁分布在经过A、B两点的一个圆形区域内，优弧AB上任一点C都是有触礁危险的临界点，∠ACB就是“危险角”，当船位于安全区域时，∠α与“危险角”有怎样的大小关系？
解：当船位于安全区域时，即船位于暗礁区域外（即⊙O外） ，与两个灯塔的夹角∠α小于“危险角”.
如图，在△ABC中，AB=AC,以AB为直径的圆交BC于D,交AC于E,
(1)BD与CD的大小有什么关系 为什么
(2)求证： .
A
B
C
D
E
A
B
C
D
E
∵AB是圆的直径，点D在圆上，
∴∠ADB=90°，
∴AD⊥BC，
∵AB=AC， ∴BD=CD.
∵AD平分顶角∠BAC，即∠BAD=∠CAD，
（同圆或等圆中相等的圆周角所对弧相等）
解:BD=CD.理由是:连结AD,
圆心角
类比
圆周角
圆周角定义
圆周角定理
圆周角定理的推论
在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于该弧所对的圆心角的一半；相等的圆周角所对的弧相等.
1.90°的圆周角所对的弦是直径；
2.圆内接四边形的对角互补.
1.顶点在圆上，2.两边都与圆相交的角（二者必须同时具备）
圆周角与直
线的关系
半圆或直径所对的圆周角都相等，都等于90°（直角）.(共25张PPT)
HS九(下)
教学课件
27.4 正多边形和圆
第27章 圆
1.了解正多边形和圆的有关概念.
2.理解并掌握正多边形半径、中心角、边心距、边
长之间的关系. (重点)
3.会应用正多边形和圆的有关知识解决实际问题.
（难点）
学习目标
问题：观看大屏幕上这些美丽的图案,都是在日常生活中我们经常能看到的.你能从这些图案中找出类似的图形吗
问题1 什么叫做正多边形？
各边相等,各角也相等的多边形叫做正多边形.
问题2 矩形是正多边形吗？为什么？菱形是正多边形吗？为什么？
不是，因为矩形不符合各边相等；
不是，因为菱形不符合各角相等；
注意：正多边形
各边相等
各角相等
缺一不可
正多边形的对称性
1
问题3 正三角形、正四边形、正五边形、正六边形都是轴对称图形吗？都是中心对称图形吗？
归纳：正n边形都是轴对称图形，都有n条对称轴，只有边数为偶数的正多边形才是中心对称图形.
什么叫做正多边形？
问题1
问题4 正三角形、正四边形、正五边形、正六边形都是轴对称图形吗？都是中心对称图形吗？
正多边形的性质
O
A
B
C
D
问题1 以正四边形为例,根据对称轴的性质，你能得出什么结论？
E
F
G
H
EF是边AB、CD的垂直平分线，∴OA=OB，OD=OC.
GH是边AD、BC的垂直平分线，
∴OA=OD；OB=OC.
∴OA=OB=OC=OD.
∴正方形ABCD有一个以点O为圆心的外接圆.
2
互动探究
O
A
B
C
D
E
F
G
H
AC是∠DAB及∠DCB的角平分线，BD是∠ABC及∠ADC的角平分线，
∴OE=OH=OF=OG.
∴正方形ABCD还有一个以点O为圆心的内切圆.
所有的正多边形是不是也都有一个外接圆和一个内切圆？
任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆.
想一想
O
A
B
C
D
E
F
G
H
R
r
正多边形的外接圆和内切圆的公共圆心，叫作正多边形的中心.
外接圆的半径叫作正多边形的半径.
内切圆的半径叫作正多边形的边心距.
正多边形每一条边所对的圆心角，叫做正多边形的中心角.正多边形的每个中心角都等于
问题1
中心角
A
B
C
D
E
F
O
半径R
边心距r
中心
正多边
形边数 内角 中心角 外角
3
4
6
n
60 °
120 °
120 °
90 °
90 °
90 °
120 °
60 °
60 °
正多边形的外角=中心角
完成下面的表格：
如图，已知半径为4的圆内接正六边形ABCDEF：
①它的中心角等于 度 ；
② OC BC (填＞、＜或＝）；
③△OBC是 三角形；
④圆内接正六边形的面积是△OBC面积的 倍.
⑤圆内接正n边形面积公
式:________________________.
C
D
O
B
E
F
A
P
60
=
等边
6
正多边形的有关计算
3
有一个亭子,它的地基是半径为4 m的正六边形,求地基的周长和面积 (精确到0.1 m2).
C
D
O
E
F
A
P
抽象成
例1
利用勾股定理,可得边心距
亭子地基的面积
在Rt△OMB中,OB＝4, MB＝
4m
O
A
B
C
D
E
F
M
r
解：过点O作OM⊥BC于M.
问题1 正n边形的中心角怎么计算？
C
D
O
B
E
F
A
P
问题2 正n边形的边长a，半径R，边心距r之间有什么关系？
a
R
r
问题3 边长a，边心距r的正n边形的面积如何计算？
其中l为正n边形的周长.
想一想
如图所示，正五边形ABCDE内接于⊙O，则∠ADE的度数是 （ ）
A．60° B．45° C． 36° D． 30°
·
A
B
C
D
E
O
C
2.作边心距，构造直角三角形.
1.连半径，得中心角；
O
A
B
C
D
E
F
R
M
r
·
圆内接正多边形的辅助线
O
边心距r
边长一半
半径R
C
M
中心角一半
方法归纳
正多边形边数 半径 边长 边心距 周长 面积
3
4 1
6
1. 填表
2
1
2
8
4
2
2
12
2. 若正多边形的边心距与半径的比为1:2，则这个多边形的边数是 .
3
4. 要用圆形铁片截出边长为4cm的正方形铁片，则选用的圆形铁片的直径最小要____cm.
也就是要找这个正方形外接圆的直径
3.如图是一枚奥运会纪念币的图案，其形状近似看作为正七边形，则一个内角为 ___度.（不取近似值）
5.如图，四边形ABCD是⊙O的内接正方形，若正方形的面积等于4，求⊙O的面积．
解：∵正方形的面积等于4，
则半径为
∴⊙O的面积为
∴正方形的边长AB=2.
A
B
C
D
E
F
P
6.如图，正六边形ABCDEF的边长为 ，点P为六边形内任一点．则点P到各边距离之和是多少？
A
B
C
D
E
F
P
∴点P到各边距离之和=3BD=3×6=18．
解：过P作AB的垂线，分别交AB、DE于H、K，连结
BD，作CG⊥BD于G.
G
H
K
∴P到AF与CD的距离之和，及P到EF、
BC的距离之和均为HK的长.
∵六边形ABCDEF是正六边形
∴AB∥DE，AF∥CD，BC∥EF，
∵BC=CD，∠BCD=∠ABC=∠CDE=120°，
∴∠CBD=∠BDC=30°，BD∥HK，且BD=HK.
∵CG⊥BD，
∴BD=2BG=2×BC×cos∠CBD=6.
如图,M,N分别是☉O内接正多边形AB,BC上的点,
且BM=CN.
(1)求图1中∠MON=_______;图2中∠MON= ;
图3中∠MON= ;
(2)试探究∠MON的度数与正n边形的边数n的关系.
A
B
C
D
E
A
B
C
D
.
A
B
C
M
N
M
N
M
N
O
O
O
90 °
72 °
120 °
图1
图2
图3
正多边形的性质
正多边形的
有关概念
正多边形的
有关计算
添加辅助线的方法：
连半径，作边心距
中心
半径
边心距
中心角
正多边形的对称性(共21张PPT)
HS九(下)
教学课件
27.3 圆中的计算问题
第27章 圆
第2课时 圆锥的侧面积和全面积
学习目标
1.体会圆锥侧面积的探索过程.（重点）
2.会求圆锥的侧面积，并能解决一些简单的实际问
题.（重点、难点）
图文欣赏
顶点
母线
底面半径
侧面
高
圆锥的形成
与圆锥的侧面展开图相关的计算
1
圆锥的高
母线
S
A
O
B
r
我们把连接圆锥的顶点S和底面圆上任一点的连线SA，SB 等叫做圆锥的母线．
圆锥的母线
圆锥有无数条母线，它们都相等．
圆锥的高
从圆锥的顶点到圆锥底面圆心之间的距离是圆锥的高．
重要数量关系
由勾股定理得：
如果用r表示圆锥底面的半径, h表示圆锥的高线长, l表示圆锥的母线长,那么r、h、l 之间数量关系是：
r2+h2= 2
h
O
r
根据下列条件求值（其中r、h、l 分别是圆锥的底面半径、高线、母线长）
（1）l = 2，r=1 则 h=_______.
（ 2）h =3, r=4 则 l =_______.
（3）l = 10, h = 8 则r=_______.
5
6
O
h
r
填一填
l
o
r
圆锥的侧面展开图是什么图形？
扇形
圆锥的侧面展开图是扇形
想一想
问题：
1.沿着圆锥的母线，把一个圆锥的侧面展开，得到一个扇形，这个扇形的弧长与底面的周长有什么关系？
2.圆锥侧面展开图是扇形，这个扇形的半径与圆锥中的哪一条线段相等？
相等
母线
圆锥侧面展开图的面积
l
o
侧面
展开图
l
r
其侧面展开图扇形的半径=母线的长l
侧面展开图扇形的弧长=底面周长
圆锥的侧面积计算公式
公式推导
一个圆锥的侧面展开图是一个圆心角为120°、弧长为20 的扇形，试求该圆锥底面的半径及它的母线的长.
解：设该圆锥的底面的半径为r，母线长为a.
可得
r=10.
可得
a=30.
又
例1
如图，圆锥形的烟囱帽，它的底面直径为80cm,母线为50cm.在一块大铁皮上裁剪时，如何画出这个烟囱帽的侧面展开图？求出该侧面展开图的面积.
α
O
h
r
l
例2
α
O
h
r
l
解：该烟囱的侧面展开图是扇形，如图所示.设该
扇形的面积为S.
蒙古包可以近似地看作由圆锥和圆柱组成，如果想用毛毡搭建20个底面积为35m2，高为3.5m，外围高为1.5m的蒙古包，至少需要多少平方米的毛毡（精确到1m2）？
例3
解：如图是一个蒙古包示意图．
根据题意，下部圆柱的底面积为35m2，高为1.5m；上部圆锥的高为3.5－1.5=2（m）．
圆柱的底面积半径为
圆锥的母线长为
侧面积为2π×3.34×1.5≈31.46（平方米），
侧面展开扇形的弧长为
圆锥的侧面积为
20×（31.46+40.81）≈1446（平方米）．
如图所示的扇形中，半径R=10，圆心角θ=144°，用这个扇形围成一个圆锥的侧面.
(1)则这个圆锥的底面半径r= ．
(2)这个圆锥的高h= .
A
C
B
θ
R=10
O
r
4
1 .圆锥的底面半径为3cm，母线长为6cm，则这个圆锥侧面展开图扇形的圆心角是_______．
2 .一个扇形，半径为30cm，圆心角为120度，用它做成一个圆锥的侧面，那么这个圆锥的底面半径为_____ ．
180°
10cm
3.已知圆锥的底面的半径为3cm，高为4cm，则它的侧面积是 ，全面积是 ．
15πcm2
24πcm2
4.（1）在半径为10的圆的铁片中，要裁剪出一个直角扇形，求能裁剪出的最大的直角扇形的面积？
（2）若用这个最大的直角扇形恰好围成一个圆锥，求这个圆锥的底面圆的半径？
（3）能否从最大的余料③中剪出一个圆做该圆锥的底面？请说明理由．
A
B
C
①
②
③
O
解：（1）连结BC，则BC=20，
∵∠BAC=90°，AB=AC，
（3）延长AO交⊙O于点F，交扇形于点E，EF=
最大半径为
∴不能．
A
B
C
①
②
③
O
∴S扇形=
∴AB=AC=
（2）圆锥侧面展开图的弧长为：
E
F
r2+h2=l2
S圆锥侧＝πrl.
圆锥的高
母线
r
S
A
O
B
h
l
o
侧面
展开图
r
底面
①其侧面展开图扇形的半径=母线的长l
②侧面展开图扇形的弧长=底面周长
重要图形
重要结论(共34张PPT)
HS九(下)
教学课件
27.3 圆中的计算问题
第27章 圆
第1课时 弧长和扇形面积
学习目标
1.理解弧长和扇形面积公式的探求过程.(难点）
2.会利用弧长和扇形面积的计算公式进行计算.
（重点）
图片赏析
问题1 如图，在运动会的4×100米比赛中，甲和乙分别在第1跑道和第2跑道，为什么他们的起跑线不在同一处？
问题2 怎样来计算弯道的“展直长度”？
因为要保证这些弯道的“展直长度”是一样的.
问题1 半径为R的圆,周长是多少？
O
R
问题2 下图中各圆心角所对的弧长分别是圆周长的几分之几
O
R
180°
O
R
90°
O
R
45°
O
R
n°
与弧长相关的计算
1
(1) 圆心角是180°，占整个周角的 ，因此它所对的弧长是圆周长的__________.
(2) 圆心角是90°，占整个周角的 ，因此它所对的弧长是圆周长的__________.
(3) 圆心角是45°，占整个周角的 ，因此它所对的弧长是圆周长的__________.
(4) 圆心角是n°，占整个周角的 ，因此它所对的弧长是圆周长的__________.
注意： 用弧长公式进行计算时，要注意公式中n的意义．n表示1°圆心角的倍数，它是不带单位的.
算一算 已知弧所对的圆心角为60°，半径是4，则弧长为____.
弧长公式
·
O
A
解：设半径OA绕轴心O逆时针
方向旋转的度数为n°.
解得 n≈90°
因此，滑轮旋转的角度约为90°.
一滑轮起重机装置（如图），滑轮的半径r=10cm，当重物上升15.7cm时，滑轮的一条半径OA绕轴心O逆时针方向旋转多少度（假设绳索与滑轮之间没有滑动，
取3.14）？
例1
古希腊埃拉托塞尼曾给出一个估算地球周长（或子午周长）的简单方法.如图，点S和点A分别表示埃及的塞伊尼和亚历山大两地，亚历山大在塞伊尼的北方，两地的经度大致相同，两地的实际距离为5 000希腊里(1 希腊里≈158.5 m).当太阳光线在塞伊尼直射时，同一时刻在亚历山大测量太阳光线偏离直射方向的角为α.实际测得α是7.2°，由此估算出了地球的周长，你能进行计算吗？
O
α
A
S
例2
O
α
A
S
解：∵太阳光线可看作平行的，∴圆心角∠AOS=α=7.2°.
设地球的周长为C1，则
答：地球的周长约为39625km.
制造弯形管道时，要先按中心线计算“展直长度”，再下料，试计算图所示管道的展直长度l.(单位：mm，精确到1mm)
解：由弧长公式，可
得弧AB的长
因此所要求的展直长度l=2×700+1570=2970（mm）.
答：管道的展直长度为2970mm．
700mm
700mm
R=900mm
(
100 °
A
C
B
D
O
圆的一条弧和经过这条弧的端点的两条半径所围成的图形叫作扇形.
如图，黄色部分是一个扇形，记作扇形OAB.
半径
半径
O
B
A
圆心角
弧
O
B
A
扇形
与扇形面积相关的计算
2
下列图形是扇形吗？
√
×
×
×
√
问题1 半径为r的圆,面积是多少？
O
r
问题2 下图中各扇形面积分别是圆面积的几分之几，具体是多少呢
合作探究
圆心角占 周角的比例 扇形面积占 圆面积的比例 扇形的
面积
=
O
r
180°
O
r
90°
O
r
45°
O
r
n°
扇形面积公式
半径为r的圆中，圆心角为n°的扇形的面积
注意： ①公式中n的意义．n表示1°圆心角的倍数，它是不带单位的；②公式要理解记忆（即按照上面推导过程记忆）.
___大小不变时，对应的扇形面积与 __ 有关，
___ 越长，面积越大.
圆心角
半径
半径
圆的 不变时，扇形面积与 有关， 越大，面积越大.
圆心角
半径
圆心角
总结：扇形的面积与圆心角、半径有关。
O ●
A
B
D
C
E
F
O ●
A
B
C
D
问题 扇形的面积与哪些因素有关？
问题：扇形的弧长公式与面积公式有联系吗？
想一想 扇形的面积公式与什么公式类似？
A
B
O
O
类比学习
如图，圆心角为60°的扇形的半径为10cm.求这个扇形的面积和周长.（精确到0.01cm2和0.01cm）
O
R
60°
解：∵n=60，r=10cm，
∴扇形的面积为
扇形的周长为
例3
1.已知半径为2cm的扇形，其弧长为 ，则这个扇形的面积S扇= ．
2.已知扇形的圆心角为120°，半径为2，则这个扇形的面积S扇= .
如图，点D在⊙O的直径AB的延长线上，点C在⊙O上，AC=CD，∠ACD=120°．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为2，求图中阴影部分的面积．
（1）证明：连结OC．
∵AC=CD，∠ACD=120°，
∴∠A=∠D=30°．
∵OA=OC，
∴∠ACO=∠A=30°．
∴∠OCD=180°-∠A-∠D-∠ACO=90°．
即OC⊥CD，
∴CD是⊙O的切线．
例4
(2)解： ∵∠A=30°，
∴∠COB=2∠A=60°．
在Rt△OCD中，
如图，水平放置的圆柱形排水管道的截面半径是0.6cm，其中水面高0.3cm，求截面上有水部分的面积.（精确到0.01cm）
(1)
O .
B
A
C
讨论：(1)截面上有水部分的面积是指图上哪一部分？
阴影部分.
例4
O.
B
A
C
D
(2)
O.
B
A
C
D
(3)
(2)水面高0.3 m是指哪一条线段的长？这条线段应该怎样画出来？
线段DC.过点O作OD垂直符号于AB并长交圆O于C.
(3)要求图中阴影部分面积，应该怎么办？
阴影部分面积=扇形OAB的面积-
OAB的面积
（3）解：如图，连结OA，OB，过点O作弦AB的垂
线，垂足为D，交AB于点C,连结AC.
∵ OC＝0.6, DC＝0.3,
∴ OD＝OC- DC＝0.3，
∴ OD＝DC.
又 AD ⊥DC，
∴AD是线段OC的垂直平分线，
∴AC＝AO＝OC.
从而 ∠AOD＝60 , ∠AOB=120 .
O.
B
A
C
D
(3)
有水部分的面积：
S＝S扇形OAB - SΔOAB
O
B
A
C
D
(3)
O
O
弓形的面积=扇形的面积±三角形的面积
S弓形=S扇形-S三角形
S弓形=S扇形+S三角形
弓形的面积公式
知识要点
C
B．
C. D.
1.已知弧所对的圆周角为90°,半径是4,则弧长为 .
2.如图，Rt△ABC中，∠C=90°, ∠A=30°,BC=2,O、H分别为AB、AC的中点，将△ABC顺时针旋转120°到△A1BC1的位置，则整个旋转过程中线段OH所扫过的面积为 （ ）
A
B
C
O
H
C1
A1
H1
O1
3.如图，☉A、☉B、 ☉C、 ☉D两两不相交，且半径都
是2cm，则图中阴影部分的面积是 .
A
B
C
D
解析：点A所经过的路线的长为三个半径为2，圆心角为120°的扇形弧长与两个半径为 ，圆心角为90°的扇形弧长之和，
即
4.如图，Rt△ABC的边BC位于直线l上，AC＝ ，∠ACB＝90°，∠A＝30°.若Rt△ABC由现在的位置向右无滑动地翻转，当点A第3次落在直线l上时，点A所经过的路线的长为________(结果用含π的式子表示)．
5.（例题变式题）如图、水平放置的圆柱形排水管道的截面半径是0.6cm，其中水面高0.9cm，求截面上有水部分的面积.
O
A
B
D
C
E
解：
6. 如图，一个边长为10cm的等边三角形模板ABC在水平桌面上绕顶点C按顺时针方向旋转到△A'B'C的位置，求顶点A从开始到结束所经过的路程为多少.
A
B
A'
B'
C
解：由图可知，由于∠A'CB'=60°，则等边三角形木板绕点C按顺时针方向旋转了120°，即∠ACA' =120°，这说明顶点A经过的路程长等于弧AA' 的长.
∵等边三角形ABC的边长为10cm，
∴弧AA' 所在圆的半径为10cm.
∴l弧AA'
答：顶点A从开始到结束时所经过的路程为
弧长
计算公式：
扇形
定义
公式
阴影部分面积
求法：整体思想
弓形
公式
S弓形=S扇形-S三角形
S弓形=S扇形+S三角形
割补法
