北京四中2013年中考一轮复习（共14份）

三角形和相似形
　　一、重点，难点提示： 　　1.三角形全等的证题思路 　　
　　2.等腰三角形的性质与判定
　
判定
性质
等腰三角形
　　1.有两边相等　　2.等角对等边　　3.“三线合一”的逆定理
　　1.有两腰相等，两底角相等　　2.“三线合一”定理　　3.轴对称图形，有一条对称轴
等边三角形
　　1.三边都相等　　2.三角都相等　　3.一角为60°的等腰三角形
　　1.三边相等，三角相等　　2.内心和外心重合 　　3.轴对称图形，有三条对称轴
　　提示：“三线合一’’的应用是等腰三角形的重点,要多加练习 ,有时要做辅助线-----底边上的高,以便使用这个性质.
　　3、Rt△知识注意问题 　　(1)勾股定理常要用到 　　(2)各边之间的关系： 　　由△ABC∽△ACD∽△CBD得： 　　CD2=AD·BD 　　AC2=AD·AB 　　BC2=BD·AB
　　(3)直角三角形中线定理也是常用到而许多同学容易忘记的.　　如图:由∠C=90°，D为AB中点，得CD=AD=BD=AB　　
　　4、相似三角形常用基本图形　　　　这两种图形中比例线段的相互转化要迅速准确。
　　二、例题分析：
　　例1.如图，∠A=32°，∠B=45°，∠C=38°，则∠DFE=（　　）　　A、120°　　B、115°　　C、110°　　D、105°
　　说明：首先，在ΔBDC中可求出∠BDC的度数。其次，由于∠BDC是ΔAFD的一个外角，故可求出∠AFD的度数。最后利用∠AFD与∠DFE的互补性求得∠DFE的度数，选B。
　　例2.如图，已知ΔABC中，AB=AC=10，BD是AC边上的高线，DC=2，则BD等于（　）　　A、4　　B、6　　C、8　　D、2
　　解：∵ DC=2，AC=10，
　　∴ AD=AC-DC=8， 　　∴ BD==6，选B。
　　说明：三角形中的高线常与直角三角形的有关性质联系在一起，有时解题时即通过作高线构造直角三角形。
　　例3.等腰三角形一腰上的高与腰长之比为1∶2，则等腰三角形顶角为（　）　　A、30°　　B、60°　　C、150°　　D、30°或150°
　　分析：如图所示，在等腰ΔABC中，CD为腰AB上的高，CD∶AB=1∶2，由于AC=AB，∴CD∶AC=1∶2，在Rt∠ADC中，∠DAC=30°,则有∠BAC=30°与150°。
　　说明：涉及到与三角形的高有关的问题时，要注意分类讨论，本例分锐角等腰三角形和钝角等腰三角形两种情形来考虑。
　　例4.ΔABC中，AC=5，中线AD=7，则AB边的取值范围是（　）　　A、1　　分析：如图，延长中线AD至E，使DE=AD，则AE=14，在ΔAEC中，9　　说明：在解与三角形的中线有关的问题时，如果不能直接求解，则常将中线延长一倍，借助全等三角形等知识来求解。这也是一种常见的作辅助线的方法,这种辅助线的作法叫倍长中线。
　　例5.如图，已知AB⊥BC，DC⊥BC，E在BC上，且AE=AD，AB=BC。求证：CE=CD。
　　证明：如图，作AF⊥CD的延长线于F，
　　∵ AB⊥BC，FC⊥BC，AB=BC，
　　∴ AF=BC=AB=CF， 　　又AE=AD， 　　∴ RtΔABE≌RtΔAFD
　　∴ DF=BE
　　∴ BC-BE=CF-DF
　　即CE=CD。
　　证明：寻求全等条件，在证明两条线段（或两个角）相等的时候，若它们所在的两个三角形不全等，就必须添加辅助线，构造全等三角形。常见辅助线有：①连结某两个已知点；②过某已知点，作某已知直线的平行线；③延长某已知线段到某个点，或与某已知直线相交；④作一个角等于已知角。
　　例6.如图，BD∶DC=5∶3，E为AD的中点，求BE∶EF的值。
　　分析：应设法在已知比例式BD∶DC与未知比例式BE：EF之间架设桥梁，即添平行线辅助线。
　　解：过D作DG∥CA交BF于G， 　　则， 　　∵ E为AD中点，DG∥AF， 　　∴ ΔDGE≌ΔAFE，EG=EF， 　　∴ 　　。
　　构造平行线，用基本图形转化比例线段，是相似问题常用到的。
　　例7.如图，在矩形ABCD中，AE⊥BD于E，S矩形=40cm2, SΔABE∶SΔDBA=1∶5，则AE的长为（ 　）　　A、4cm　　B、5cm　　C、6cm　　D、7cm
　　解：∵ ∠BAD=90°，AE⊥BD，
　　∴ ΔABE∽ΔDBA
　　∴ SΔABE∶SΔDBA=AB2∶DB2
　　∵ SΔABE∶SΔDBA=1∶5，∴AB2∶DB2=1∶5
　　∴ AB∶DB=1∶，设AB=k, DB=k,
　　则AD==2k.
　　∵ S矩形=40cm2, ∴k·2k=40
　　∴ k=2, ∴BD=k=10, AD=4,
　　SΔABD=BD·AE=20， ∴·10AE=20
　　∴ AE=4(cm)，故选A。
　　例8.如图，过ΔABC的顶点C任作一直线与边AB及中线AD分别交于点F和点E，过点D作DM//FC交AB于M。　　（1）若SΔAEF∶S四边形MDEF=2∶3，求AE∶ED； 　　（2）求证：AE·FB=2AF·ED
　　分析：有平行线，可以利用相似等；利用面积比与相似比的关系，容易求出线段之间的关系。为了证明AE·FB=2AF·ED，知道D为BC中点，DM∥CF，易得到M为BF中点，BF=2FM=2BM,可以将AE·FB=2AF·ED转化为AE·FM=AF·DM来证明。 　　（1）解：∵ SΔAEF∶S四边形MDEF=2∶3，
　　∴ SΔAEF∶SΔADM=2∶5，
　　∵ DM∥CF，∴ ΔAEF∽ΔADM，
　　∴ ， ∴ ，
　　∴ =。
　　（2）证明：∵ DM∥CF，∴ ，∴ ，
　　∵ D是BC的中点，
　　∴ M是FB的中点，即2MF=FB
　　∴ ，即AE·FB=2AF·ED。
　　说明：(1)注意面积比的转化，首先求出相似三角形面积比，再得到相似比，找到线段的关系。　　(2)利用中点，可以将两倍的线段长转化为一条线段，便于证明等积式和等比式。
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　　选择题　　1．一个角的余角比它的补角的还少20°，则这个角的度数为（　　 ）。 　 A、65°　　 B、70°　　 C、60°　　 D、75°
　　2．有下列长度的三条线段，能组成三角形的是（　） 　 A、1cm，2cm，3cm　　 B、1cm，4cm，2cm 　 C、2cm，3cm，4cm　　 D、6cm，2cm，3cm
　　3．在等边三角形、平行四边形、矩形和圆这四个图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的有（　） 　 A、1个　　 B、2个　　 C、3个　　 D、4个
　　4．已知等腰三角形的一边等于3，一边等于6，则它的周长等于（　） 　 A、12　　 B、12或15　　 C、15　　 D、15或18
　　5．将两个全等的有一个角为30°的直角三角形拼成右图，其中，两条长直角边在同一直线上，则图中等腰三角形的个数是（　） 　 A、4　　 B、3　　 C、2　　 D、1
　　6．学校的操场上，跳高横杆与地面的关系属于（　） 　 A、直线与直线平行　　　 B、直线与直线垂直 　 C、直线与平面平行　　　 D、直线与平面垂直
　　7．如图所示，D、E分别是ΔABC的边AB、AC上的点，DE//BC，=2，则ΔADE与四边形DBCE的面积的比是（　） 　 A、　　 B、　　 C、　　 D、
　　8．如图，ΔABC中，DE//BC，面积SΔADE=S梯形DBCE，则DE∶BC为（　） 　 A、　　 B、　　 C、　　 D、
　　9．如果两个等腰直角三角形斜边的比是1∶2，那么它们面积的比是（　） 　 A、1∶2 　　 B、1∶　　 C、1∶2 　　 D、1∶4
　　10．如图，在矩形ABCD中，点E是AD上任意一点，则有（　） 　 A、ΔABE的周长+ΔCDE的周长=ΔBCE的周长　　　 　 B、ΔABE的面积+ΔCDE的面积=ΔBCE的面积 　 C、ΔABE∽ΔDEC　 　 D、ΔABE∽ΔEBC
中考总复习一：实数编稿：庄永春　　审稿：严春梅　　责编：张杨
一、单元知识网络：　　　　　　　 二、考试目标要求：　　了解有理数、无理数、实数的概念；会比较实数的大小，知道实数与数轴上的点一一对应，会用科学记数法表示有理数；理解相反数和绝对值的概念及意义.进一步，对上述知识理解程度的评价既可以用纯粹数学语言、符号的方式呈现试题，也可以建立在应用知识解决问题的基础之上，即将考查的知识、方法融于不同的情境之中，通过解决问题而考查学生对相应知识、方法的理解情况.了解乘方与开方的概念，并理解这两种运算之间的关系.了解平方根、算术平方根、立方根的概念，了解整数指数幂的意义和基本性质.
具体目标：1.有理数　　(1)理解有理数的意义，能用数轴上的点表示有理数，会比较有理数的大小.　　(2)借助数轴理解相反数和绝对值的意义，会求有理数的相反数与绝对值(绝对值符号内不含字母).　　(3)理解乘方的意义，掌握有理数的加、减、乘、除、乘方及简单的混合运算(以三步为主).　　(4)理解有理数的运算律，并能运用运算律简化运算.　　(5)能运用有理数的运算解决简单的问题.　　(6)能对含有较大数字的信息作出合理的解释和推断.2.实数　　(1)了解平方根、算术平方根、立方根的概念，会用根号表示数的平方根、立方根.　　(2)了解开方与乘方互为逆运算，会用平方运算求某些非负数的平方根，会用立方运算求某些数的立方根，会用计算器求平方根和立方根.　　(3)了解无理数和实数的概念，知道实数与数轴上的点—一对应.　　(4)能用有理数估计一个无理数的大致范围.　　(5)了解近似数与有效数字的概念.在解决实际问题中，能用计算器进行近似计算，并按问题的要求对结果取近似值. 三、知识考点梳理知识点一、实数的分类1.按定义分类：　　　　　　　　2.按性质符号分类：　　　　　　　　　　　　　　　注：0既不是正数也不是负数.3.有理数：　　整数和分数统称为有理数或者“形如(m，n是整数n≠0)”的数叫有理数．4.无理数：　　无限不循环小数叫无理数．5.实数：　　有理数和无理数统称为实数．
知识点二、实数的相关概念1.相反数　　(1)代数意义：只有符号不同的两个数，我们说其中一个是另一个的相反数．0的相反数是0.　　(2)几何意义：在数轴上原点的两侧，与原点距离相等的两个点表示的两个数互为相反数，或数轴上，互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称.　　(3)互为相反数的两个数之和等于0.a、b互为相反数a+b=0. 2.绝对值　　(1)代数意义：正数的绝对值是它本身；负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．可用式子表示为：　　　　　　(2)几何意义：一个数a的绝对值就是数轴上表示数a的点与原点的距离．距离是一个非负数，所以绝对值的几何意义本身就揭示了绝对值的本质，即绝对值是一个非负数．用式子表示：若a是实数，则|a|≥0． 3.倒数　　(1)实数的倒数是；0没有倒数；　　(2)乘积是1的两个数互为倒数．a、b互为倒数. 4.平方根　　(1)如果一个数的平方等于a，这个数就叫做a的平方根．一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0有一个平方根，它是0本身；负数没有平方根．a(a≥0)的平方根记作．　　(2)一个正数a的正的平方根，叫做a的算术平方根．a(a≥0)的平方根记作． 5.立方根　　如果x3=a，那么x叫做a的立方根．一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根；零的立方根仍是零．
知识点三、实数与数轴数轴定义：　　规定了原点，正方向和单位长度的直线叫做数轴，数轴的三要素缺一不可．　　每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示，反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数． 知识点四、实数大小的比较　　1.对于数轴上的任意两个点，靠右边的点所表示的数较大.　　2.正数都大于0，负数都小于0，两个正数，绝对值较大的那个正数大；两个负数；绝对值大的反而小.　　3.对于实数a、b，若a-b>0a>b；　　　　　　　　　　　a-b=0a=b；　　　　　　　　　　　a-b<0ab，b>c，则a>c.　　5.无理数的比较大小：　　　利用平方转化为有理数：如果a>b>0，a2>b2a>b；　　　或利用倒数转化：如比较与. 知识点五、实数的运算1.加法　　同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；互为相反数的两个数相加得0；一个数同0相加，仍得这个数． 2.减法　　减去一个数等于加上这个数的相反数． 3.乘法　　几个非零实数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有偶数个时，积为正；当负因数有奇数个时，积为负．几个数相乘，有一个因数为0，积就为0． 4.除法　　除以一个数，等于乘上这个数的倒数．两个数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除．0除以任何一个不等于0的数都得0．5.乘方与开方　　(1)an所表示的意义是n个a相乘，正数的任何次幂是正数，负数的偶次幂是正数，负数的奇次幂是负数．　　(2)正数和0可以开平方，负数不能开平方；正数、负数和0都可以开立方．　　(3)零指数与负指数 6.实数的六种运算关系　　加法与减法互为逆运算；乘法与除法互为逆运算；乘方与开方互为逆运算. 7.实数运算顺序　　加和减是一级运算，乘和除是二级运算，乘方和开方是三级运算．这三级运算的顺序是三、二、一．如果有括号，先算括号内的；如果没有括号，同一级运算中要从左至右依次运算． 8.实数的运算律　　加法交换律：a+b=b+a　　加法结合律：(a+b)+c=a+(b+c)　　乘法交换律：ab=ba　　乘法结合律：(ab)c=a(bc)　　乘法分配律：(a+b)c=ac+bc 知识点六、有效数字和科学记数法1.近似数：　　一个近似数，四舍五入到那一位，就说这个近似数精确到哪一位． 2.有效数字：　　一个近似数，从左边第一个不是0的数字起，到精确到的数位为止，所有的数字，都叫做这个近似数的有效数字． 3.科学记数法：　　把一个数用(1≤＜10，n为整数)的形式记数的方法叫科学记数法．
四、规律方法指导1.数形结合思想　　实数与数轴上的点一一对应，绝对值的几何意义等，数轴在很多时候可以帮助我们更直观地分析题目，从而找到解决问题的突破口. 2.分类讨论思想　　（算术）平方根，绝对值的化简都需要有分类讨论的思想，考虑问题要全面，做到既不重复又不遗漏. 3.从实际问题中抽象出数学模型　　以现实生活为背景的题目，我们要抓住问题的实质，明确该用哪一个知识点来解决问题，然后有的放矢. 4.注意观察、分析、总结 　　对于寻找规律的题目，仔细观察变化的量之间的关系，尝试用数学式子表示规律.对于阅读两量大的题目，经常是把规律用语言加以叙述，仔细阅读，找到关键的字、词、句，从而找到思路.
经典例题精析考点一、实数概念及分类　　1.(舟山市)下列各数中是正整数的是(　 )　　A.1　　　 B.-2　　　 C.0.3　　　　 D. 　　思路点拨：考查实数的分类，首先判断性质符号为正，其次判断是否为整数.　　答案：A. 　　2.下列实数、sin60°、、、3.14159、、、中无理数有(　 )个　　A．1　　 B．2　　　 C．3　　　　 D．4 　　答案：C.无理数有sin60°、、.　　总结升华：对实数进行分类不能只看表面形式，应先化简，再根据结果去判断．
　　举一反三：　　【变式1】把下列各数填入相应的集合里：　　　　(1)自然数集合：{　　　　　　　　 …}　　(2)整数集合：{　　　　　　　　 …}　　(3)分数集合：{　　　　　　　　 …}　　(4)无理数集合：{　　　　　　　　 …} 　　答案：　　(1)自然数集合：　　(2)整数集合：　　(3)分数集合：　　(4)无理数集合： 考点二、数轴、倒数、相反数、绝对值　　3.(1)a的相反数是，则a的倒数是_______．　　　　　(2)实数a、b在数轴上对应点的位置如图所示:　　　　　　　 则化简=______．　　思路点拨:　　(1)注意相反数和倒数概念的区别，互为相反数的两个数只有性质符号不同，互为倒数的两个数要改变分子分母的位置；或者利用互为相反数的两个数之和等于0，互为倒数的两个数乘积等于1来计算.由a的相反数是，所以a=，的倒数为5.　　(2)此题考查绝对值的几何意义，绝对值和二次根式的化简.注意要去掉绝对值符号，要判别绝对值内的数的性质符号.　　由图知：　　答案：(1)5；(2)-a-b.
　　举一反三：　　【变式1】化简-(-2)的结果是(　 )　　A．-2　　　　 B．　　　　 C．　　　　 D．2 　　答案：选D. 　　【变式2】若m+1与m–3互为相反数，则m=_______. 　　思路点拨：互为相反数的两个数之和等于0.∴m+1+m–3=0，解得m=1.　　答案：1. 　　【变式3】-2的倒数是_______. 　　思路点拨：注意倒数与相反数的区别，乘积为1的两个数互为倒数.　　答案：. 　　【变式4】的绝对值是(　 )　　A．　　 B．　　 C．　　 D． 　　答案：选B. 　　【变式5】若|x-1|=1-x，则x的取值范围是(　 )　　A.x≥1　 B.x≤1　 C.x<1　 D.x>1 　　答案：选B.　　总结升华：　　(1)考查绝对值的意义；　　(2)考查绝对值的非负性，绝对值具有以下性质：　　　　①|a|≥0，即绝对值的非负性；②若|x|=a(a≥0)，则x=±a，即绝对值的原数的双值性. 　　【变式6】下列说法正确的是(　 )　　A.-1的倒数是1　　B.-1的相反数是-1　　C.1的算术平方根是1　D.1的立方根是±1 　　思路点拨：本例考查了实数中涉及的四个重要概念：互为倒数、互为相反数、算术平方根、立方根.解答时，一方面应从概念蕴含着的数学关系式入手，可知-1的倒数是-1，-1的相反数是1；另一方面根据定义具有的双重性，可知1的算术平方根是1，1的立方根是1.　　答案：选C. 　　【变式7】甲、乙两同学进行数字猜谜游戏：甲说一个数a的相反数就是它本身，乙说一个数b的倒数也等于它本身，请你猜一猜|a-b|=________. 　　解析：欲求|a-b|，首先应知道a、b的值.由于甲、乙两同学所说的内容隐含着a和b的值，因此易得，∴a=0，b=±1，∴|a-b|=|±1|=1. 　　【变式8】(长沙市)如图，数轴上表示数的点是　　 .　　　　　　　　　　　　　 　　思路点拨：实数与数轴上的点一一对应，表示正数的点在原点的右侧，.　　答案：B. 考点三、近似数、有效数字、科学记数法　　4.(1)根据统计，某市2008年财政总收入达到105.5亿元.用科学记数法(保留三位有效数字)表示105.5亿元约为(　 )　　A.1.055×1010元　　B.1.06×1010元　　C.1.06×1011元　　D.1.05×1011元 　　(2)2007年5月3日，中央电视台报道了一则激动人心的新闻，我国在渤海地区发现储量规模达10.2亿吨的南堡大油田，10.2亿吨用科学记数法表示为(单位：吨)(　 )　　A.1.02×107　　B.1.02×108　　C.1.02×109　　D.1.02×1010 　　思路点拨：解答本题的关键是正确理解近似数的精确度及有效数字等概念.精确度的形式有两种：(1)精确到哪一位；(2)保留几个有效数字.一个近似数四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位；一个近似数，从左边第一个不为0的数字起，到精确到的数位止，所有的数字都叫做这个数的有效数字.一个数的近似数，常常要用科学记数法来表示.用科学记数法表示数的有效数字位数，只看乘号前的部分，因此(1)中105.5亿元=10 550 000 000元，用科学记数法表示为1.055×1010，保留三个有效数字为1.06×1010；(2)中应表示为1.02×109.　　答案：(1)B；(2)C.　　举一反三：　　【变式1】废旧电池对环境的危害十分巨大，一粒纽扣电池能污染600立方米的水(相当于一个人一生的饮水量).某班有50名学生，如果每名学生一年丢弃一粒纽扣电池，且都没有被回收，那么被该班学生一年丢弃的纽扣电池能污染的水量用科学记数法表示为_________立方米. 　　解：600×50=30000=3×104.　　总结升华：本题既考查有理数的乘法运算，又考查科学记数法以及分析问题的能力.从数学的角度来考查废旧电池对环境造成的危害，促使我们从小就要热爱大自然，树立环保意识. 　　【变式2】用科学记数法表示0.00608的结果是(　 )　　A.　 B.　 C.　 D. 　　思路点拨：首先选项C、D所表示的记数方法不是科学记数法，因为它们中的a不符合只有一位整数数位，B中的n值错误.科学记数法只是一种表示数的方法，并没有改变数的大小.　　答案：A. 　　【变式3】近似数0.030万精确到______位，有_____个有效数字，用科学记数法表示记作__________. 　　思路点拨：带有单位或以科学记数法形式给出的近似数，首先要把它转化为以“个”为单位的数，再确定其精确的位数.如，即“1”后面的第一个“0”在十位上，因此精确到十位，而不是百位.　　答案：十；2；. 考点四、实数的大小比较　　5.比较下列每组数的大小：　　(1)与；　　　　　　 (2)与；　　(3)与；　　　 (4)a与(a≠0).　　思路点拨：　　(1)有理数比较大小：两个负数，绝对值大的反而小.因此比较和的大小，可将其通分，转化成同分母分数比较大小；　　(2)无理数比较大小，往往通过平方转化以后进行比较；　　(3)有时无理数比较大小，通过平方转化以后也无法进行比较，那么我们可以利用倒数关系比较；　　(4)这道题实际上是互为倒数的两个数之间的比较大小，我们可以利用数轴进行比较，我们知道，0没有倒数，±1的倒数等于它本身，这样数轴就被这3个数分成了4部分，下面就可以分类讨论每种情况. 　　解：(1) ，， ，　　　　　　所以　　　　(2)　　　　　　　　　　　　因为　　　　　　所以；　　　　(3)，，　　　　　　而与可以很容易进行比较得到　　　　　　　，　　　　　　所以；　　　　(4)当a<-1或O1时，a>；　　总结升华：第(4)题我们还可以利用函数图象来解决这个问题，把的值看成是关于a的反比例函数，把a的值看成是关于a的正比例函数，在坐标系中画出它们的图象，可以很直观的比较出它们的大小. 考点五、快速准确地进行实数运算　　6.计算：. 　　思路点拨：该题是实数的混合运算，包括绝对值，0指数幂、负整数指数幂，正整数指数幂．只要准确把握各自的意义，就能正确的进行运算．　　解：　 　　　　　总结升华:本题考点是实数的混合运算.易错点是忘记负整数指数(0指数)幂的意义，　　　　　　　而使　　举一反三：　　【变式1】填空：　　-1-1-1-1=_________；=_________；　　=__________；(为正整数)　　=__________；　　=___________；　　=____________；=__________. 　　思路点拨：　　(1)根据同号两数、异号两数相加、减、乘、除的法则，先确定符号，再算绝对值.　　(2)多个因数相乘时，由负因数个数的奇偶先定符号，再将绝对值相乘，乘方时注意负数的偶次方为正，奇次方为负，先乘方，再乘除.　　(3)合理运用乘法分配律和使用可使运算显得更加简便.　　答案：-4、+1、-1、-5、-6、4096、. 　　【变式2】计算：　　(1)　　(2)　　(3) 　　思路点拨：　　(1)题可将改写成……，然后用加法的交换律、结合律将整数和分数分别放在一起便得结果；　　(2)题善于使用乘法分配律的顺逆两用，可使运算简便；　　(3)题注意混合运算的顺序，不能先算. 　　答案：(1)11109；(2)-110；(3). 　　7.已知：x，y是实数，，若axy-3x=y，则实数a的值是_______. 　　思路点拨：此题考查的是非负数的性质.　　解：即　　　　两个非负数相加和为0，则这两个非负数必定同时是0　　　　∴，(y-3)2=0，　 ∴ x=， y=3　　　　又∵axy-3x=y， ∴ a=.　　举一反三：　　【变式1】已知，求的值. 　　思路点拨：利用≥0，≥0，≥0(为自然数)等常见的三种非负数及其性质，分别令它们为零，得一个三元一次方程组，解得、、的值，再代入后本题得以解决.　　答案：-3.
考点六、探索与创新　　8．计算： 　　思路点拨：近年来，为了突出考察学生创造思维的水平，中考命题时不仅考查运算的熟练，准确，更注重考查算理的运用和灵活处理运算问题的能力，使运算更加合理简便的能力、我们从复习数开始，就要加强含字母的式子变形技能的训练及能力的提高.　　解：设n=2001，则原式=　　　　　　　　　　　　 (把n2+3n看作一个整体)　　　　　　　　　　　　 =　　　　　　　　　　　　 =n2+3n+1=n(n+3)+1　　　　　　　　　　　　 =2001×2004+1=4010005. 　　9. 下面由火柴棒拼出的一系列图形中，第个图形是由个正方形组成的，通过观察可以发现：　　　　　　　　　　　　　　　 　　(1)第四个图形中火柴棒的根数是______________；　　(2)第个图形中火柴棒的根数是______________. 　　思路点拨：观察各个图形的根数与图形个数之间的关系，并由此归纳出第个图形中火柴棒的根数.　　答案：(1)13；(2). 　　10.细心观察图形，认真分析各式，然后解答问题　　　　(1)请用含有n(n是正整数)的等式表示上述变化规律；　　(2)推算出OA10的长；　　(3)求出S12+S22+S32+…+S102的值. 　　思路点拨：近几年各地的中考题中越来越多的出现了一类探究问题规律的题目，这些问题素材的选择、文字的表述、题型的设计不仅考察了数学的基础知识，基本技能，更重点考察了创新意识和能力，还考察了认真观察、分析、归纳、由特殊到一般，由具体到抽象的能力.　　(1)由题意可知，图形满足勾股定理，　　　　　　(2)因为OA1=，OA2=，OA3=…，　　　 所以OA10=　　(3)S12+ S22+ S32+…+ S102　　　 　　　 .
学习成果测评基础达标一、选择题　　1．下列语句：①无理数的相反数是无理数；②一个数的绝对值一定是非负数；③有理数比无理数小；④无限小数不一定是无理数，其中正确的是(　 )　　A．①②③　 　　B．②③④　　　 C．①②④　　　 D．②④ 　　2.(广州市)下列四个数中，在-2和1之间的数是(　 )　　A．-3　　　　 B．0　　　　 C．2　　　　 D．3 　　3.与数轴上的点一一对应是(　 )　　A．实数　　　B．有理数　　　C．无理数　　　D．整数 　　4.(长沙市)已知a、b两数在数轴上对应的点如图所示，下列结论正确的是(　 )　　A．a>b　　　 B．ab<0　　　 C．b-a>0　　　 D．a+b>0 　　5.(宜昌市)实数m、n在数轴上的位置如图所示，则下列不等关系正确的是(　 )　　A．n＜m　　　　 B．n2＜m2　　 　　C．n0＜m0　　　 D．|n|＜|m| 　　6.(芜湖市)三峡工程是世界防洪效益最为显著的水利工程，它能有效控制长江上游洪水，增强长江中下游抗洪能力，据相关报道三峡水库的防洪库容22150000000m3，用科学计数法可记作(　　 )　　A．221.5×108m3 　　　　　　B．22.15×109m3　　C．2.215×1010m3 　　　　　 D．2215×107m3
7.一个数的平方是正数，则这个数是(　 )　　A.正数　　 B.负数　　 C.不为零的数　　 D.非负数 　　8.9的相反数的倒数是(　 )　　A．-9　　 B．　　 C．9　　 D．- 　　9.(南昌市)下列四个运算中，结果最小的是(　 ) 　　A．1+(-2)　 　　B．1-(-2)　　　 C．l×(-2)　　　 D．1(-2) 　　10.(陕西省课改实验区)下列计算正确的是(　 )　　A．　　　 B．　　　 C．　　　　 D． 　　11.下列计算错误的是(　 )　　A.　　　　　　B.　　C.　　　　D. 　　12.计算等于(　 )　　A.　　　 B.　　　 C.-2　　　　 D.2 二、填空题　　13.(常州市)的相反数是_______，的绝对值是_________，的倒数是________． 　　14.(乌鲁木齐市)如图所示，数轴的一部分被墨水污染，被污染的部分内含有的整数为___________.　　　　　　　　　　　　　　　　 　　15.近似数0.350精确到_______位，它有______个有效数字. 　　16.实数，从小到大排列为____________________. 三、解答题　　17.计算：(1)；　 　　　 (2)；　　　　　　 (3)；　　　　　　 (4). 　　18.计算：　　(1)；　　(2)；　　(3)；　　(4). 　　19.计算：(1)=________； (2). 　　20.如果，求的值. 能力提升一、选择题　　1.若，则a一定是(　 )　　A．正数　　　 B．负数　　　 C．非正数　　　 D．非负数
　　2.(扬州市)大家知道是一个无理数，那么在哪两个整数之间(　 )　　A．1与2　　　　B．2与3　　　　C．3与4　　　　D．4与5
　　3.(沈阳市课改实验区)估算的值(　 )　　A．在5和6之间　　　　 　B．在6和7之间　　C．在7和8之间　　　　 　D．在8和9之间
　　4.(苏州市)苏州红十字会统计，2004年苏州是无偿鲜血者总量为12.4万人次，已连续6年保持全省第一，12.4万这个数用科学记数法来表示是(　　)　　A．1.24×104　　　　 B．1.24×105　　　 C．1.24×106　　　　　 D．12.4×104 　　5.若0＜a＜1，则a2，a，之间的大小关系是(　　 )　　A．＞a＞a2　　　 B．a2 ＞a＞　　　 C．＞a2＞a　　　 D．不能确定 　　6.(常州市)如果a＜0，b＞0，a+b＜0，那么下列关系式中正确的是(　 )　　A．a＞b＞-b＞-a　 B．a＞-a＞b＞-b　　C．b＞a＞-b＞-a　 D．-a＞b＞-b＞a 　　7.5.按规律找数：①4+0.2；②8+0.3；③12+0.4，则第四个数为(　 )　　A.12+0.5　　　 B.16+0.4　　　 C.16+0.5　 　　D.不能确定 　　8.若“！”是一种数学运算符号，并且1！=1，2！=2×1=2，3！=3×2×1=6，4！=4×3×2×1，…，则的值为 (　　 ) 　　A. 　　 B. 99!　　 C. 9900　　 D. 2！ 二、填空题　　9.相反数等于本身的数是________，绝对值等于本身的数是_______，倒数等于本身的数是________. 　　10.(乌鲁木齐市)若2-m与2m+1是同一个数的平方根，则这个数可能是_________. 　　11.实数a、b在数轴上的位置如图所示：化简+∣a-b∣=_________. 　　　　　　　　　　　　　　 　　12.3.810千万精确到________位，有______个有效数字. 　　13.(山西省课改实验区)估计与0.5的大小关系是：____0.5. 　　14.(北京市海淀区)用“”、“”定义新运算：对于任意实数a、b，都有ab=a和ab=b，例如32=3，32=2．则(20062005)(20042003)=___________． 15.图中是一幅“苹果图”，第一行有1个苹果，第二行有2个，第三行有4个，第四行有8个，……你是否发现苹果的排列规律？猜猜看，第十行有______个苹果．　　　　　　　　　　　　　　　　　　
16 已知：　　　　若符合前面式子的规律，则a+b=________． 三、解答题　　17．若a、b互为相反数，c，d互为倒数，m的绝对值为2，求a2-b2+(cd)-1÷(1-2m+m2)的值． 　　18．数a，b在数轴上的位置如图所示: 化简. 　　　　　　　　　　　　　　　综合探究　　1.观察下列算式：　　　　　　　　……　　请你将探索出的规律用自然数(≥1)表示出来是. 　　2.(辽宁省)在数学活动中，小明为了求的值(结果用n表示)，设计如图(1)所示的几何图形．　　(1)请你利用这个几何图形求的值为_______．　　(2)请你利用图(2)再设计一个能求的值的几何图形．　　　　　　　　　　　 　　3.(江阴市)将正偶数按下表排列：　　　　　　　第1列　 第2列　 第3列　 第4列　　　 第1行　 2　　　 第2行　 4　　　 6　　　 第3行　 8　　　 10　　　 12　　　 第4行　 14　　　16　　　 18　　　20　　　 ……　　根据上面的规律，则2006所在行、列分别是________． 基础达标一、选择题　　1.C　　2.B　　3.A　　4.A　　5.A　　6.C　　7.C　　8.D　　9.C　　10.C　　11.C　　12.D 二、填空题　　13.，，-3　　　 14.-1，0，1，2　　　 15.千分，3　　　 16. 三、解答题　　17.(1)；(2)-1；(3)-54；(4)1；　　 18.(1)21；(2)；(3)0；(4)1999； 　　19.(1) 4 ；(2)　　 20.-1 能力提升一、选择题　　1.C　　2.A　　3.C　　4.B　　5.A　　6.D　　7.C　　8.C
二、填空题　　9.0，非负数，　　　　 10.25　 　　　11.-3a+b　　　　 12.万，4　　　　 13.>　　　14.2006　　　　　　　　　15.29(或512)　　16.109　 (提示：规律，所以a=99，b=10，a+b=109) 三、解答题　　17.1或　　　　　 18.-b 综合探究　　1.　　2.(1)　　　(2)　　　　　　　　　　　　　　　　3.第45行第13列　　解：观察数列2，4，6，8，10，...每个比前一个增大2，2006是这列数字第1003个。　　　　每行数字的个数按照1，2，3，4，5，...，n 递增，根据等差数列求和公式，　　　　第n行(包括n行)以前的所有数字的个数(n+1)n/2.　　　　如果2006在第n行，那么　　　　设,解得n约为44.5，n取整数，因此n=45。　　　　到第44行(含44行)共有数字(44+1)×=990个；　　　　到第45行(含45行)共有数字(45+1)×=1035个；　　　　2006是第1003个，在45行13列。
中考总复习三：几何初步　　　　　　　　　　　　撰稿：刘志全　　　审稿：严春梅　　　责编：张杨一、单元知识网络：　　　　　　　 二、考试目标要求：　　了解直线、射线、线段的概念和性质以及表示方法，掌握三者之间的区别和联系，会解决与线段有关的实际问题；了解角的概念和表示方法，会把角进行分类以及进行角的度量和计算；掌握相交线、平行线的定义，理解所形成的各种角的特点、性质和判定；了解命题的定义、结构、表达形式和分类，会简单的证明有关命题.具体目标：1、图形的认识　　(1) 点、线、面　　①认识点、线、面(如交通图上用点表示城市，屏幕上的画面是由点组成的).　　②认识直线、射线、线段及性质.　　③会比较线段的大小，会计算线段的和、差、倍、分，并会进行简单计算.　　④了解线段的中点.　　(2)角　　①通过丰富的实例，进一步认识角.　　②会比较角的大小，能估计一个角的大小，会计算角度的和与差，认识度、分、秒，会进行简单换算.　　③了解角平分线及其性质　　(3)相交线与平行线　　①了解补角、余角、对顶角，知道等角的余角相等、等角的补角相等、对顶角相等.　　②了解垂线、垂线段等概念，了解垂线段最短的性质，体会点到直线距离的意义.　　③知道过一点有且仅有一条直线垂直于已知直线，会用三角尺或量角器过一点画一条直线的垂线.　　④了解线段垂直平分线及其性质.　　⑤知道两直线平行同位角相等，进一步探索平行线的性质.　　⑥知道过直线外一点有且仅有一条直线平行于已知直线，会用三角尺和直尺过已知直线外一点画这条直线的平行线.　　⑦体会两条平行线之间距离的意义，会度量两条平行线之间的距离. 2、尺规作图　　①完成以下基本作图：作一条线段等于已知线段，作一个角等于已知角，作角的平分线，作线段的垂直平分线.　　②了解尺规作图的步骤，对于尺规作图题，会写已知、求作和作法(不要求证明). 3、命题与证明　　①理解证明的定义和必要性.　　②通过具体的例子，了解定义、命题、定理的含义，会区分命题的条件(题设)和结论.　　③结合具体例子，了解逆命题的概念，会识别两个互逆命题，并知道原命题成立其逆命题不一定成立.　　④掌握用综合法证明的格式，体会证明的过程要步步有据. 三、知识考点梳理知识点一、直线的概念和性质1.直线的定义：　　代数中学习的数轴和一张纸对折后的折痕等都是直线，直线可以向两方无限延伸.(直线的概念是一个描述性的定义，便于理解直线的意义) 2.直线的两种表示方法：　　(1)用表示直线上的任意两点的大写字母来表示这条直线，如直线AB，其中A、B是表示直线上两点的字母；　　(2)用一个小写字母表示直线，如直线a. 3.直线和点的两种位置关系　　(1)点在直线上(或说直线经过某点)；　　(2)点在直线外(或说直线不经过某点). 4.直线的性质：　　过两点有且只有一条直线(即两点确定一条直线). 5.同一平面内两条不同直线的位置关系：　　(1)两条直线无公共点，即平行；　　(2)两条直线有一个公共点，即两条直线相交，这个公共点叫做两条直线的交点(两条直线相交，只有一个交点). 知识点二、射线、线段的定义和性质1.射线的定义：　　直线上一点和它一旁的部分叫做射线.射线只向一方无限延伸. 2.射线的表示方法：　　(1)用表示射线的端点和射线上任意一点的大写字母来表示这条射线，如射线OA，其中O是端点，A是射线上一点；　　(2)用一个小写字母表示射线，如射线a. 3.线段的定义：　　直线上两点和它们之间的部分叫做线段，两个点叫做线段的端点. 4.线段的表示方法：　　(1)用表示两个端点的大写字母表示，如线段AB，A、B是表示端点的字母；　　(2)用一个小写字母表示，如线段a. 5.线段的性质：　　所有连接两点的线中，线段最短(即两点之间，线段最短). 6.线段的中点：　　线段上一点把线段分成相等的两条线段，这个点叫做线段的中点. 7.两点的距离：　　连接两点间的线段的长度，叫做两点的距离. 知识点三、角1.角的概念：　　(1)定义一：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点叫做角的顶点，两条射线分别叫做角的边.　　(2)定义二：一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形叫做角.射线旋转时经过的平面部分是角的内部，射线的端点是角的顶点，射线旋转的初始位置和终止位置分别是角的两条边. 2.角的表示方法：　　(1)用三个大写字母来表示，注意将顶点字母写在中间，如∠AOB；　　(2)用一个大写字母来表示，注意顶点处只有一个角用此法，如∠A；　　(3)用一个数字或希腊字母来表示，如∠1，∠. 3.角的分类：　　(1)按大小分类：　 　　锐角----小于直角的角(0°＜＜90°)　 　　直角----平角的一半或90°的角(=90°)　 　　钝角----大于直角而小于平角的角(90°＜＜180°)　　(2)平角：一条射线绕着端点旋转，当终止位置与起始位置成一条直线时，所成的角叫做平角，平角等于180°.　　(3)周角：一条射线绕着端点旋转，当终止位置又回到起始位置时，所成的角叫做周角，周角等于360°.　　(4)互为余角：如果两个角的和是一个直角(90°)，那么这两个角叫做互为余角.　　(5)互为补角：如果两个角的和是一个平角(180°)，那么这两个角叫做互为补角. 4.角的度量：　　(1)度量单位：度、分、秒；　　(2)角度单位间的换算：1°=60′，1′=60″(即：1度=60分，1分=60秒)；　　(3)1平角=180°，1周角=360°，1直角=90°. 5.角的性质：　　同角或等角的余角相等，同角或等角的补角相等. 6.角的平分线：　　如果一条射线把一个角分成两个相等的角，那么这条射线叫做这个角的平分线. 知识点四、相交线1.对顶角　　(1)定义：如果两个角有一个公共顶点， 而且一个角的两边分别是另一角两边的反向延长线，那么这两个角叫对顶角.　　(2)性质：对顶角相等. 2.邻补角　　(1)定义：有一条公共边，而且另一边互为反向延长线的两个角叫做邻补角.　　(2)性质：邻补角互补. 3.垂线　　(1)两条直线互相垂直的定义：当两条直线相交所得的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线是互相垂直的，它们的交点叫做垂足.垂直用符号“⊥”来表示　　(2)垂线的定义:互相垂直的两条直线中，其中的一条叫做另一条的垂线，如直线a垂直于直线b，垂足为O，则记为a⊥b，垂足为O.其中a是b的垂线，b也是a的垂线.　　(3)垂线的性质：　 　　①过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.　 　　②连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短.简单说成：垂线段最短.　　(4)点到直线的距离定义：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离.
4.同位角、内错角、同旁内角　　(1)基本概念：两条直线(如a、b)被第三条直线(如c)所截，构成八个角，简称三线八角，如右图所示：∠1和∠8、∠2和∠7、∠3和∠6、∠4和∠5是同位角；∠1和∠6、∠2和∠5是内错角；∠1和∠5、∠2和∠6是同旁内角.　　(2)特点：同位角、内错角、同旁内角都是由三条直线相交构成的两个角.两个角的一条边在同一直线(截线)上，另一条边分别在两条直线(被截线)上. 知识点五、平行线1.平行线定义：　　在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线.平行用符号“∥”来表示，.如直线a与b平行，记作a∥b.在几何证明中，“∥”的左、右两边也可能是射线或线段. 2.平行公理及推论：　　(1)经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行.　　(2)平行公理推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行.即：如果b∥a，c∥a，那么b∥c. 3.性质：　　(1)平行线永远不相交；　　(2)两直线平行，同位角相等；　　(3)两直线平行，内错角相等；　　(4)两直线平行，同旁内角互补；　　(5)如果两条平行线中的一条垂直于某直线，那么另一条也垂直于这条直线，可用符号表示为：若b∥c，b⊥a，则c⊥a. 4.判定方法：　　(1)定义　　(2)平行公理的的推论　　(3)同位角相等，两直线平行；　　(4)内错角相等，两直线平行；　　(5)同旁内角互补，两直线平行；　　(6)在同一平面内垂直于同一条直线的两条直线平行. 知识点六、命题、定理、证明1.命题：　　(1)定义：判断一件事情的语句叫命题.　　(2)命题的结构：题设+结论=命题　　(3)命题的表达形式：如果……那么……；若……则……；　　(4)命题的分类：真命题和假命题　　(5)逆命题：原命题的题设是逆命题的结论，原命题的结论是逆命题的题设.
2.公理、定理：　　(1)公理：人们在长期实践中总结出来的能作为判断其他命题真假依据的真命题叫做公理.　　(2)定理：经过推理证实的真命题叫做定理. 3.证明：　　用推理的方法证实命题正确性的过程叫做证明. 四、规律方法指导1.数形结合思想　　利用线段的长度、角的角度、对顶角、三线八角等基本几何图形，会求线段的长，以及角的度数，利用图形的直观性解决数的抽象性，能在一定条件下形数互化，由数构形，以形破数. 2.分类讨论思想　　直线的交点个数及位置关系，角的大小等需要有分类讨论的思想，包含多种可能的情况时，应根据可能出现的所有情况来分别讨论得出各种情况下相应的结论，不重不漏. 3.化归与转化思想　　在解决利用几何图形求线段长度和角的度数的问题时，常常是将需要解决的问题，通过做辅助线、求和差等转化手段，归结为另一个相对较容易解决的或者已经有解决模式的问题，化繁为简、化难为易，由复杂与简单的转化. 4.注意观察、分析、总结　　结合近几年中考试卷，几何基本图形中的角的计算、与线段和平行有关的实际问题是当前命题的热点，常以填空和选择形式出现，以考查基础为主；尺规作图通常结合计算和证明出现，要注意弄清概念，认真观察，总结规律，并做到灵活应用.
经典例题精析考点一、直线、射线、线段的概念和性质　　1．下列语句正确的是( )　　A. 延长直线AB 　　　　　　　　　　B. 延长射线OA　　C. 延长线段AB 到C，使AC=BC　　　　D. 延长线段AB 到C，使AC=3AB　　考点：直线、射线、线段的性质.　　解析：选项A中直线是向两方无限延伸的，不能延长，所以A错；选项B中射线是向一方无限延伸的，而延长射线OA就是指由O向A延长，射线只能反向延长，所以B错；选项C中AC只能大于BC，线段延长应有方向，而且要符合实际意义，所以C错.所以选D. 　　举一反三　　【变式1】下列语句正确的是( )　　A．如果PA=PB，那么P是线段AB的中点 　　　B．线段有一个端点　　C．直线AB大于射线AB 　　　　　　　　　　D．反向延长射线OP(O为端点)　　考点：直线、射线、线段的性质.　　解析：在只用几何语言表达而没有图形的情况下，要注意图形的不同情形，象A中往往容易考虑不到P、A、B三点可能不在同一直线上，要注意线段的中点首先应为线段上一点，而误选A；线段有两个端点，所以B错；直线可以向两方无限延伸，射线可以向一方无限延伸，所以直线与射线都无法度量长度，不能比较大小，所以C错.答案选D. 　　2．(1)数轴上有两点A、B分别表示实数a、b，则线段AB的长度是( )　　A.a-b　　　 B.a+b 　　　C.│a-b│　　　 D.│a+b│　　(2)已知线段AB，在BA的延长线上取一点C，使CA=3AB，则线段CA与线段CB之比为( )　　A.3：4 　　　B.2：3　　　 C.3：5　　　 D.1：2　　考点：数轴上两点间的距离和线段的加减.　　思路点拨：本类题目注意线段长度是非负数，若有字母注意使用绝对值.根据题意，画图.　　解：(1)中数轴上两点间的距离公式为：│a-b│或│b-a│.　　　　(2)如图，因为CA=3AB，所以CB=4AB，则线段CA与线段CB之比为3AB:4AB=3:4.　　　　　　　　　　　答案：(1)C；(2)A　　总结升华：解决本例类型的题目应结合图形，即数形结合，这样做起来简捷. 　　举一反三　　【变式1】如图，点A、B、C在直线上，则图中共有______条线段.　　　　　　　　　　　　　　　　　答案：3 　　【变式2】有一段火车路线，含这段铁路的首尾两站在内共有5个车站(如图)，图中共有几条线段？在这段线路上往返行车，需印制几种车票(每种车票要印出上车站与下车站)？　　　　　　　　　　　　　　　　　　解：线段有10条；车票需要2×10=20种.　　总结升华：在直线上确定线段的条数公式为: (其中n为直线上点的个数).在求从一个顶点引出的n条射线所形成的小于平角的角的个数也可用此公式. 　　【变式3】已知线段AB=8cm，延长AB至C，使AC=2AB，D是AB中点，则线段CD=______.　　思路点拨：解决本例类型的题目应结合图形，即数形结合，本题考查延长线段的方向和线段的中点的概念.　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　解：如图，∵AB=8cm AC=2AB ∴AC=2×8=16cm　　　　∵D是AB中点 ∴AD=8×=4cm ∴CD=AC-AD=16-4=12cm 考点二、角　　3．下列说法正确的是( )　　A．角的两边可以度量.　　B．角是由有公共端点的两条射线构成的图形.　　C．平角的两边可以看成直线.　　D．一条直线可以看成是一个平角.　　考点：角的定义　　解析：角的两边是射线，不能度量，所以A错；平角的两边也是射线，不能是直线，所以C错；了解直线和平角两者之间的区别，角有顶点，所以D错.故选B. 　　4．已知OC平分∠AOB，则下列各式:(1)∠AOC=∠AOB；(2)∠AOC=∠COB；(3)∠AOB=2∠AOC，其中正确的是( )　　A.只有(1) 　　　B.只有(1)(2)　　　 C.只有(2)(3)　　　 D.(1)(2)(3)　　思路点拨：角平分线定义的的三种表达形式.　　答案：D 　　5．已知∠与∠互余，且∠=40°，则∠的补角为_______度.　　考点：角互余和互补定义.　　思路点拨：本题考查互余、互补两角的定义，互余、互补只与两角度数和有关，与角的位置无关.　　解：∵∠与∠互余，∴∠+∠=90°；∵∠=40°，∴∠=90°-∠=90°-40°=50°.　　　　∴∠的补角=180°-50°=130°. 　　举一反三　　【变式1】如图，已知∠COE=∠BOD=∠AOC=90°，则图中互余的角有_______对，互补的角有_______对.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　考点：互为余角和互为补角的定义.　　思路点拨：在本题目中，当图中角比较多时，就将图形的角进行归类，找出每种相等的角，按照同角或等角的余角相等，同角或等角的补角相等的性质解决问题，注意要不重不漏.　　解：互余的角有：∠COD和∠DOE、∠COD和∠BOC、∠AOB和∠DOE、∠AOB和∠BOC，共4对；　　　　互补的角有：∠EOD和∠AOD、∠BOC和∠AOD、∠AOB和∠BOE、∠COD和∠BOE、∠AOC和∠COE、　　　　∠AOC和∠BOD、∠COE和∠BOD，共7对. 　　【变式2】已知：如图，AC⊥BC，垂足为C，∠BCD是∠B的余角.求证：∠ACD=∠B. 　　证明：∵AC⊥BC(已知)　　　　　∴∠ACB=90°( )　　　　　∴∠BCD是∠DCA的余角( )　　　　　∵∠BCD是∠B的余角(已知)　　　　　∴∠ACD=∠B( )　　思路点拨:会根据所给的语句写出正确的根据.会用所学的定理、公理、推论等真命题概括几何语言.　　答案：垂直定义；余角定义，同角的余角相等. 　　6．(1)已知∠1=43°27′，则∠1的余角是_______，补角是________；　　　　　　(2)18.32°=18°( )′( )″，216°42′=_______°.　　考点：掌握角的单位之间的换算关系. 1°=60′，1′=60″.　　解：(1) ∠1的余角=90°-43°27′=89°60′-43°27′=46°33′；　　　　　　∠1的补角=180°-43°27′=179°60′-43°27′=136°33′；　　　　(2) 0.32°=0.32×60′=19.2′ 0.2′=0.2×60″=12″所以18.32°=18°19′12″；　　　　　　42′=0.7° 所以216°42′=216.7°. 　　举一反三　　【变式1】计算.　　①　　　　②　　③　　　　④　　考点：会计算角之间的和、差、倍、分，注意相邻单位之间是60进制的，相同单位互相加减.　　解：①=68°70′=69°10′　　　　②=62°×3+25′×3=186°+75′=187°15′　　　　③=67°80′-37°33′=30°47′ 　　　　④=69°60′÷3=23°20′ 　　7．时钟在1点30分时，时针与分针的夹角为_______度.　　解析：时钟上时针和分针是实际生活中常见的角，分针1小时旋转360度，1分钟旋转6度；时针1小时旋转30度，1分钟旋转0.5度.在相同时间下，分针旋转的角度是时针的12倍.钟表上1和6的夹角为150°，过了半小时，时针转了15°，所以1点30分时，时针与分针的夹角为150°-15°=135°. 　　举一反三　　【变式1】某火车站的时钟楼上装有一个电子报时钟，在钟面的边界上，每一分钟的刻度处都装有一只小彩灯，晚上9时35分20秒时，时针与分针所夹的角内装有多少只小彩灯？　　解析：9时35分20秒时，时针与分针的夹角间的小格数为个小格，中间有12个分钟刻度处，而每一个分钟刻度处有一只小彩灯，所以它们之间有12个小彩灯. 　　8．表示O点南偏东15°方向和北偏东25°方向的两条射线组成的角等于______度.　　考点：方位角. 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　解析：如图，南北方向上的线与OA、OB的夹角分别为25°和15°，所以∠AOB=180°-25°-15°=140°. 　　举一反三　　【变式1】如图，在甲、乙两地之间修一条笔直的公路，从甲地测得公路的走向是北偏东48°，甲、乙两地间同时开工，若干天后，公路准确接通，则乙地所修公路的走向是南偏西________度.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　考点：方位角在实际中的应用　　思路点拨：结合图形，在求方位角时，掌握甲和乙之间方向相反的规律，甲观察乙是北偏东48°，乙观察甲就是南偏西48°.　　答案：48°. 　　9．如图，OA⊥OB，∠BOC=40°，OD平分∠AOC，则∠BOD=_________°.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　思路点拨：通过观察图形，找出各角之间的联系，关键是看清角所在的位置，结合图形进行计算.　　解：∵OA⊥OB， ∴∠AOB=90°，　∵∠BOC=40°，　∴∠AOC=∠AOB+∠BOC=90°+40°=130°，　　　　∵OD平分∠AOC， ∴∠COD=∠AOC=×130°=65°，　∴∠BOD=∠COD-∠BOC=65°-40°=25°. 　　举一反三　　【变式1】用一副三角板画角，不能画出的角的度数是( )　　A.15°　　　 B.75°　　　 C.145°　　　 D.165°　　思路点拨：了解一副三角板中各角的度数，总结规律：用一副三角板画角，能画出的角都是15°的整数倍.　　答案：C 　　【变式2】以∠AOB的顶点O为端点作射线OC，使∠AOC:∠BOC=5:4.(1)若∠AOB=18°，求∠AOC与∠BOC的度数；(2)若∠AOB=m°，求∠AOC与∠BOC的度数.　　思路点拨：当题目中包含多种可能的情况时，应根据可能出现的所有情况进行分类，要做到无遗漏、无重复.　　答案：(1)第一种情形:OC在∠AOB的外部，　　　　　　　可设∠AOC=5x，∠BOC=4x，　　　　　　　则∠AOB=∠AOC-∠BOC=x，即x=18°.　　　　　　　∴∠AOC=90°，∠BOC=72°.　　　　　　　第二种情形:OC在∠AOB的内部，　　　　　　　可设∠AOC=5x，∠BOC=4x，　　　　　　　则∠AOB=∠AOC+∠BOC=9x，　　　　　　　∴9x=18°，即x=2°.　　　　　　　∴∠AOC=10°，∠BOC=8°.　　　　　 (2)∠AOC=5m°，∠BOC=4m°.或∠AOC=m°，∠BOC=m°. 知识点三、尺规作图　　10．只用无刻度直尺就能作出的是( )　　A.延长线段AB至C，使BC=AB；　　　 B.过直线上一点A作的垂线　　C.作已知角的平分线； 　　　　　　D.从点O再经过点P作射线OP　　解析：A中直尺应有刻度或利用尺规作图，B、C是尺规作图，但还需要圆规.应选D. 　　11．已知线段MN，画一条线段AC=MN 的步骤是: 第一步:____________，第二步:_____________，AC就是所要画的线段.　　考点：这是尺规作图作一条线段等于已知线段的步骤，必须掌握.　　答案: 第一步:作射线AP；第二步:在射线AP上，以A为圆心，以MN为长为半径截取AC=MN. 　　举一反三：　　【变式1】如图所示，请把线段AB四等分，简述步骤.　　　　　　　　　考点：作线段AB的垂直平分线的方法.　　作法：步骤:(1)作AB的垂直平分线MN，交AB于O1；(2)作O1A的垂直平分线EF交AB于O2；(3)作O1B的垂直平分线GH交AB于O3，则O1、O2、O3即为线段AB的四等分点.　　　　　　　　　　　　　　　　
　　12．如图所示，在图中作出点C，使得C是∠MON平分线上的点，且AC=OA， 并简述步骤.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　思路点拨：用尺规作图作已知角的平分线，再用圆规截取AC=OA.　　作法: 作法如下:　　(1)作∠MON的平分线OB；　　(2)以A点为圆心，以OA为半径画弧交OB于C，连结AC，则C点即为所求.　　　　　　　　　　　　　　　总结升华：用尺规作图中直尺只起到画线(直线、射线、线段)的作用.而不能用来量取. 　　举一反三：　　【变式1】如图所示，已知∠AOB和两点M、N，画一点P，使得点P到∠AOB的两边距离相等，且PM=PN，简述步骤.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　考点：角平分线定理和垂直平分线定理.　　作法:　　(1)作∠AOB的平分线OC；　　(2)连结MN，并作MN的垂直平分线EF，交OC于P，连结PM、PN，则P点即为所求.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
知识点四、相交线、平行线　　13．如图，AD∥BC，AC与BD相交于O，则图中相等的角有_________对. 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　思路点拨：两直线平行，内错角相等；两直线相交，所得的对顶角相等.　　解析：∵AD∥BC ∴∠OAD=∠OCB，∠ODA=∠OBC，不要忽略对顶角相等：∠AOB=∠COD，∠AOD=∠BOC，故应填4对. 　　14．如图所示，下列条件中，不能判断的是( )　　　　　　　　　　　　　A.∠1=∠3　　　 B.∠2=∠3 　　　C.∠4=∠5 　　　D.∠2+∠4=180°　　考点：平行线的判定.　　解析：根据平行线的判定，A中∠1和∠3是内错角；C中∠4和∠5是同位角；D中∠2和∠4是同旁内角.不难得到：∠2=∠3不能判断.应选B. 　　举一反三：　　【变式1】(1)如图，若AB∥CD，则∠A、∠E、∠D之间的关系是( ). 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　A.∠A+∠E+∠D=180°　　 B.∠A-∠E+∠D=180°　　 C.∠A+∠E-∠D=180° 　D.∠A+∠E+∠D=270° 　　(2)如图所示，∥，∠1=120°，∠2=100°，则∠3=( ).　　　　　　　　　　　　　A.20° 　　　B.40°　　　 C.50°　　　 D.60°　　考点：平行线的性质　　思路点拨：通过观察图形，可作出一条辅助线，从而把问题化难为易.　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　(1)　　　　　　　　　　　　 (2)　　解析：(1)如(1)图，过E作EF∥AB，则也平行于CD，∴∠A+∠AEF=180° ∠FED=∠D　　　　　　 ∴∠A+∠AEF=∠A+∠AED-∠D=180°，故选C.　　　　　(2)如(2)图，过O作，则OB也平行于，∴∠1+∠BOC=180°，∠3=∠AOB，　　　　　　 ∴∠BOC=180°-∠1=180°-120°=60°，∴∠3=∠AOB=∠2-∠BOC=100°-60°=40°. 　　15．两平行直线被第三条直线所截，同位角的平分线( )　　A.互相重合 　　　B.互相平行 　　　C.互相垂直 　　　D.相交　　考点：平行线的性质和判定.　　思路点拨：利用平行线的性质和判定，结合角平分线的定义解决问题.如图，a∥b，所以同位角相等；所以同位角的一半也相等，即∠1=∠2，所以同位角的平分线互相平行.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　答案：选B. 　　举一反三：　　【变式1】如图，CD平分∠ACB，DE∥BC，∠AED=80°，求∠EDC的度数.　　　　　　　　　　　　　　　思路点拨：由平行线的性质和角平分线定义求出结果.　　解：∵DE∥BC，∠AED=80°　　　　∴∠ACB=∠AED=80° ∠EDC=∠DCB　　　　∵CD平分∠ACB　　　　∴∠DCB=∠ACB =40°　　　　∴∠EDC=∠DCB. 　　【变式2】如图，已知AB∥CD ，∠DAB=∠DCB，AE平分∠DAB，且交BC于E，CF平分∠DCB，且交AD于F.求证: AE∥FC.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　思路点拨：这类问题可由题设出发找结论，也可由结论出发找题设.　　证明：∵AB∥CD 　∴∠ABC+∠BCD=180°　　　　　∵∠DAB=∠BCD 　 ∴∠ABC+∠DAB=180°　　　　　∴AD∥BC 　　∴∠DAE=∠BEA　　　　　∵AE平分∠DAB，CF平分∠DCB　　　　　∴∠DAE=∠DAB，∠FCB=∠BCD　　　　　∴∠DAE=∠FCB 　 ∴∠BEA =∠FCB　　　　　∴AE∥FC. 　　【变式3】已知：如图，CB⊥AB，CE平分∠BCD，DE平分∠CDA，并且∠1+∠2=90°，求证：DA⊥AB.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　思路点拨：这考查学生整体考虑问题的能力，可以从已知推出结论，也可以从结论入手，找出和已知相对应的条件.　　证明：∵CE平分∠BCD，DE平分∠CDA　　　　　∴∠1=∠ADC，∠2=∠BCD　　　　　∵∠1+∠2=90°　　　　　∴∠ADC+∠BCD=180° ∴AD∥BC ∴∠A+∠B=180°　　　　　∵CB⊥AB ∴∠B=90° ∴∠A=180°-∠B=180°-90°=90° ∴DA⊥AB. 　　【变式4】求证：两条平行直线被第三条直线所截，内错角的平分线互相平行.　　思路点拨:考查学生解决这种证明题要先根据题意画出图形，再改写成已知、求证的几何语言形式的命题.　　已知：如图，AB∥CD，EG、FR分别是∠BEF、∠EFC的平分线.　　求证：EG∥FR.　　　　　　　　　　　　证明：∵AB∥CD(已知)　　　　　∴∠BEF=∠EFC(两直线平行，内错角相等)　　　　　∵EG、FR分别是∠BEF、∠EFC的平分线(已知)　　　　　∴2∠1=∠BEF，2∠2=∠EFC(角平分线定义)　　　　　∴2∠1=2∠2(等量代换)　　　　　∴∠1=∠2(等式性质)　　　　　∴EG∥FR(内错角相等，两直线平行) 知识点五、命题、定理　　16．判断下列语句是不是命题　　(1)延长线段AB( )　　(2)两条直线相交，只有一交点( )　　(3)画线段AB的中点( )　　(4)若|x|=2，则x=2( )　　(5)角平分线是一条射线( )　　思路点拨：本题考查学生理解命题的概念，判断语句是否是命题有两个关键，首先观察是不是一个完整的句子，再观察是否作出判断.　　解析：(1)(3)两个语句都没有作出判断.　　答案：(1)不是 (2)是 (3)不是 (4)是 5)是. 　　举一反三：　　【变式1】下列语句不是命题的是( )　　A.两点之间，线段最短 　　　B.不平行的两条直线有一个交点　　C.x与y的和等于0吗？　　　　D.对顶角不相等.　　解析:理解命题概念，C答案虽然是句子，但没有作出判断，D答案是假命题但也是命题.故选C. 　　17．下列命题中真命题是( )　　A.两个锐角之和为钝角 　　　B.两个锐角之和为锐角　　C.钝角大于它的补角 　　　　D.锐角小于它的余角　　思路点拨：命题分为真命题、假命题.正确的命题是真命题，错误的命题是假命题.　　解析：A、B中两个锐角之和可能是锐角、直角和钝角；D中的锐角不一定小于它的余角，如50°的余角是40°.应选C
　　举一反三：　　【变式1】命题：①对顶角相等；②同一同平面内，垂直于同一条直线的两直线平行；③相等的角是对顶角；④同位角相等.其中假命题有( )　　A.1个 　　　B.2个　　　 C.3个　　　 D.4个　　解析：③中，应掌握相等的角不一定是对顶角，但对顶角一定相等；④中只有两平行直线被第三条直线所截，同位角才能相等.故③④是假命题.应选B. 　　18．分别写出下列各命题的题设和结论.　　(1)如果a∥b，b∥c，那么a∥c；　　(2)同旁内角互补，两直线平行.　　思路点拨：命题分为题设和结论两部分，可以写成“如果……，那么……”的形式.　　答案：(1)题设：a∥b，b∥c，结论：a∥c；　　　　　(2)题设：两条直线被第三条直线所截得的同旁内角互补，　　结论：这两条直线平行. 　　举一反三：　　【变式1】分别把下列命题写成“如果……，那么……”的形式.　　(1)两点确定一条直线； (2)等角的补角相等； (3)内错角相等.　　答案：(1)如果有两个定点，那么过这两点有且只有一条直线　　　　　(2)如果两个角分别是两个等角的补角，那么这两个角相等.　　　　　(3)如果两个角是内错角，那么这两个角相等.
学习成果测评基础达标一、选择题　　1．经过A、B、C三点可连结直线的条数为( )　　A.只能一条　　　 B.只能三条　　　 C.三条或一条　　　 D.不能确定 　　2．下列说法中正确的是( )　　A.经过两点有且只有一条线 　　　　B.经过两点有且只有一条直线　　C.经过两点有且只有一条射线 　　　D.经过两点有无数条直线 　　3．延长线段AB到C，下列说法中正确的是( )　　A.点C在线段AB上　　　　 B.点C在直线AB上　　C.点C不在直线AB上　　　 D.点C在直线AB的延长线上 　　4．如图所示，A、B、C、D四个图形中各有一条射线和一条线段，它们能相交的是( )　　　　 　　5．如图所示，图中线段和射线的条数为( )　　A.三条，四条　　　 B.二条，六条 　　　C.三条，六条 　　　D.四条，四条　　　　　　　　　　　　　　　 　　6．如图，直线AB、CD相交于点O，EF⊥AB于O，且∠COE=50°，则∠BOD等于( )　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　A.40°　　　 B.45°　　　 C.55°　　　 D.65° 　　7．如图直线AB、CD相交于点O，OB平分∠DOE，若∠DOE=60°则∠AOC的度数是( )　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　A.20°　　　 B.30°　　　 C.40°　　　 D.50° 　　8．若∠1+∠2=90°，∠2+∠3=90°，则( )　　A.∠1=∠2　　　B.∠2=∠3　　　C.∠1=∠2=∠3　　　D.∠1=∠3 　　9．八点三十分，这一时刻，时针与分针夹角是( )　　A.70°　　　 B.75°　　　 C.80°　　　 D.85° 　　10．下列四个图中，能用∠1、∠AOB、∠O三种方法表示同一个的是( )　　 　　11．在下图中，∠1，∠2是对顶角的图形是( )　　 　　12．在同一平面内，若a⊥b，c⊥b，则a与c的关系是( )　　A.平行 　　　B.垂直 　　　C.相交　　　 D.以上都不对 　　13.∠A与∠B互补，∠B与∠C互余，则∠A一定是( )　　A.锐角 　　　B.钝角　　　 C.直角 　　　D.不能确定 　　14．下列语句中，正确的是( )　　A.相等的角一定是对顶角　　　　　　　　　　 B.互为补角的两个角不相等 　　C.两边互为反向延长线的两个角是对顶角　　　 D.交于一点的三条直线形成3对对顶角 　　15．下列语句不是命题的是( )　　A.明天有可能下雨 　　　B.同位角相等 　　　C.∠A是锐角 　　　D.中国是世界上人口最多的国家 　　16．下列语句中，错误的是( )　　A.一条直线有且只有一条垂线 　　　B.不相等的两个角一定不是对顶角，　　C.直角的补角必是直角 　　　　　　D.两直线平行，同旁内角互补 　　17．如图，不能推出a∥b的条件是( )　　　　　　　　　　A.∠1=∠3 　 　B.∠2=∠4 　　C.∠2=∠3 　D.∠2+∠3=180° 　　18．如图a∥b，∠1与∠2互余，∠3=145°，则∠4等于( )　　　　　　　　　　　　　A.115°　　　 B.155° 　　　 C.135°　　　 D.125° 　　19．如图，∠1=15° ， ∠AOC=90°，点B、O、D在同一直线上，则∠2的度数为( )　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　A.75°　　　 B.15°　　　 C.105°　　　D.165° 　　20．如图，∠ACB=90°，CD⊥AB，能表示点到直线(或线段)距离的线段有( )　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　A.2条 　　　　B.3条 　　　　C.4条 　　　 D.5条
二、填空题　　21．如图，直线AB、CD、EF相交于点O，则∠AOC的对顶角是_______，∠AOD的对顶角是_______.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　22．如图，a、b两直线相交，∠1=36°，则∠2=_____，∠3=______.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　23．能用图中字母表示出来的有________条线段，________条射线，________条直线.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　24．命题“两直线平行，内错角相等”的题设_________，结论____________. 　　25．如图，若，∠1=45°，则∠2=_________.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　26．如图，已知直线a∥b，c∥d，∠1=115°，那么∠2=_________，∠3=________.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　27．如图，∠1=82°，∠2=98°，∠3=80°，则∠4的度数为_________.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
28．如图，DAE是一条直线，DE∥BC，则∠BAC=_________.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 三、解答题　　29．已知线段AB=10cm，直线AB上有一点C ，且BC=4cm，M是线段AC的中点，求AM 的长. 　　30．如图，AB和CD相交于点O，OE是∠BOC的平分线，且∠AOE=140°，求∠BOD的度数.　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　31．已知，如图，AB∥CD，∠EAB+∠FDC=180°.求证：AE∥FD.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　32．如图，已知AC∥DE，∠1=∠2.求证：AB∥CD.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 能力提升一、选择题　　1．如图，能读出的线段共有( )　　　　　　　A.8条 　　　B.10条 　　　C.6条　　　 D.以上都错
　2．如图，AB∥CD，AD∥BC，则图中与∠A相等的角(不包括∠A)有( )个.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　A.1 　　　B.2　　　 C.3　　　 D.4 　　3．如图，标有角号的7个角中共有____对内错角，____对同位角，____对同旁内角. ( )　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　A.4、2、4 　　　B.4、3、4 　　　C.3、2、4 　　　D.4、2、3 　　4．已知AB∥CD，∠1=100°，∠2=120°，则( )　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　A.20°　　　 B.30°　　　 C.40°　　　 D.50° 　　5．如图所示，已知∠AOB=64°，OA1平分∠AOB，OA2平分∠AOA1，OA3平分∠AOA2，OA4平分∠AOA3，则∠AOA4的大小为( )　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　A.8° 　　　B.4°　　　 C.2°　　　 D.1° 　　6．如果，则必有( )　　A.　　B.　　C.　　D. 　　7．两个角，它们的比是3:2，其差为36°，则这两个角的关系是( )　　A.互余 　　　B.互补 　　　C.既不互余也不互补　　　 D.不确定
　　8．把一张长方形的纸片按下图所示的方式折叠，EM、FM为折痕，折叠后的C点落在B′M或B′M的延长线　 　　上，则∠EMF的度数是( )　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　A.85° 　　　B.90° 　　　C.95° 　　　D.100° 二、填空题　　9．钟表上4点40分时的时针和分针所成的角为__________度. 　　10．102°43′32″+77°16′28″=________；98°12′25″÷5=_____. 　　11．已知线段AB=acm，点A1平分AB，A2平分AA1，A3平分AA2，……，An平分AAn-1， 则AAn=________cm. 　　12．在平面上有任意四点，过其中任意两点画直线，能画_______条直线. 　　13．一个角的余角比它的补角还多，则这个角等于_______°. 　　14．=40.4°，=40°4′，则_____(填＜、＞、=). 三、解答题　　15．按照下面图形说出几何语句　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　
　　16．如图，已知AB∥CD，∠B=65°，CM平分∠BCE，∠MCN=90°，求∠DCN的度数.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　17．如图，若AB∥CD，BF平分∠ABE，DF平分∠CDE，∠BED=75°，求∠BFD度数.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　18．如图所示，是过直线外一点C画直线的垂线，请你根据作图痕迹， 叙述画图过程.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 综合探究　　1．有一张地图，有A、B、C三地，但地图被墨迹污染，C地具体位置看不清楚了，但知道C地在A地的北偏东30°，在B地的南偏东45°，你能帮助确定C地的位置吗？　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　2．如图，线段AB上的点数与线段的总数有如下关系：如果线段上有3个点时，线段共有3条；如果上有4个点时，线段共有6条；如果线段上有5个点时，线段共有10条；⑴当线段上有6个点时，线段共有多少条？⑵当线段上有n个点时，线段共有多少条？(用含n的代数式表示)⑶当n=100时，线段共有多少条？　　　　　　　　　　　　　 　　3．如果在∠AOD的内部从顶点O引出2条射线，求图中有多少个角?如果引出3条射线呢?如果引出100条射线呢?你发现了什么规律?　　　　　　　　　　　　　　　　　　 答案与解析基础达标一、选择题　　1.C 2.B 3.B 4.C 5.C 6.A 7.B 8.D 9.B 10.D 11.C 12.A 13.B 14.C 15.A 16.A 17.C 18.D 19.C 20.D 二、填空题　　21.∠BOD、∠BOC 　　　22.144°、36° 　　　23.3、6、3 　　24.两直线平行，内错角相等 　　25.135° 　　　26.115°、115°　　　 27.80° 28.46° 三、解答题　　29.AM=7cm或3cm 30.∠BOD=100° 　　31.证明：∵AB∥CD　　 　　　　∴∠AGD+∠FDC=180°(两直线平行，同旁内角互补)　　 　　　　∵∠EAB+∠FDC=180°(已知)　　 　　　　∴∠AGD=∠EAB(同角的补角相等)　　 　　　　∴AE∥FD(内错角相等，两直线平行) 　　32.证明：∵AC∥DE(已知)　　 　　　　∴∠2=∠ACD(两直线平行，内错角相等)　　 　　　　∵∠1=∠2 (已知)　　 　　　　∴∠1=∠ACD(等量代换)　　 　　　　∴AB∥CD(内错角相等，两直线平行) 能力提升一、选择题　　1.B 2.C 3.A 4.C 5.B 6.C 7.B 8.B
二、填空题　　9.100°　　　　 10.180°；19°38′29″　　　 11.　　12.1或4或6　　　13.63°　　　　　　　　　　　14.>
三、解答题　　15.(1)点D在直线a上； (2)点A在直线a外； (3)直线a与b相交于点D；　　　 (4)直线a与c相交于点A，直线b分别交直线a、c于B、C. 　　16.32.5° 　　17.37.5°　　提示：分别过E、F作平行于AB的直线，可得∠ABE+∠CDE=∠BED，∠ABF+∠CDF=∠BFD. 　　18.(1)以点C为圆心，以大于C点到直线的距离为半径作弧交于A、B两点　　　 (2)分别以A、B为圆心，以大于AB长为半径作弧，两弧分别相交于M、N两点.　　　 (3)作直线MN，则直线MN即为所求. 综合探究　　1.点C在A地的北偏东30°方向的直线与B地的南偏东45°方向的直线的交点上.如下图所示　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　2.15，，4950. 　　3.6个 10个 5151个 　　(提示：在∠AOD的内部从顶点O引出n条射线， 图中有个角)
中考总复习二：代数式　　　　　　　　　　　　　　　撰稿：庄永春　 审稿：严春梅　 责编：张杨一、单元知识网络：　　　　　　　　　　　　 二、考试目标要求：1.代数式　　①在现实情境中进一步理解用字母表示数的意义；　　②能分析简单问题的数量关系，并用代数式表示；　　③能解释一些简单代数式的实际背景或几何意义；　　④会求代数式的值；能根据特定的问题查阅资料，找到所需要的公式，并会代入具体的值进行计算. 2.整式与分式　　①了解整数指数幂的意义和基本性质；　　②了解整式的概念，会进行简单的整式加、减运算；会进行简单的整式乘法运算(其中的多项式相乘仅指一次式相乘)；　　③会推导乘法公式：，了解公式的几何背景，并能进行简单计算；　　④会用提公因式法、公式法(直接用公式不超过二次)进行因式分解(指数是正整数)；　　⑤了解分式的概念，会利用分式的基本性质进行约分和通分，会进行简单的分式加、减、乘、除运算. 3.二次根式　　了解二次根式的概念及其加、减、乘、除运算法则，会用它们进行有关实数的简单四则运算（不要求分母有理化）.
三、知识考点梳理1.代数式　　(1)用运算符号把数和表示数的字母连接起来的式子，我们把它们称为代数式．单个的数字或字母也可以看作代数式．　　(2)列代数式就是把问题中的表示数量关系的语言用代数式表示出来．　　(3)用数值代替代数式里的字母，按照代数式指明的运算，计算出的结果，叫做代数式的值．
2.整式(1)单项式：　　数与字母的积的形式的代数式叫做单项式．单项式是代数式的一种特殊形式，它的特点是对字母来说只含有乘法的运算，不含有加减运算．在含有除法运算时，除数(分母)只能是一个具体的数，可以看成分数因数．单独一个数或一个字母也是单项式．　　单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数；一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数. (2)多项式：　　几个单项式的代数和叫做多项式．也就是说，多项式是由单项式相加或相减组成的．其中，每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项；多项式里次数最高项的次数，叫做这个多项式的次数. (3)整式：　　单项式和多项式统称整式． (4)同类项：　　所含字母相同，并且相同字母的指数也分别相同的项，叫做同类项． (5)整式的加减：　　整式的加减其实是去括号法则与合并同类项法则的综合运用．　　把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项.合并同类项后，所得项的系数是合并前各同类项的系数的和，且字母部分不变.　　如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同；如果括号外的因数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反.　　整式加减的运算法则：一般地，几个整式相加减，如果有括号就先去括号，然后再合并同类项. (6)整式的乘除　　①幂的运算性质：　　　　　②单项式相乘：两个单项式相乘，把系数、相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式．　　③单项式与多项式相乘：单项式与多项式相乘，用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加．用式子表达：　　④多项式与多项式相乘：一般地，多项式乘以多项式，先用一个多项式的每一项分别乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加．用式子表达：　　　平方差公式：　　　完全平方公式：　　　在运用乘法公式计算时，有时要在式子中添括号，添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变符号；如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号.　　⑤单项式相除：两个单项式相除，把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式．　　⑥多项式除以单项式：多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加． (7)因式分解：　　把一个多项式化成几个整式的积的形式，这样的式子变形叫做把这个多项式因式分解．　　因式分解的两种基本方法：　　①提公因式法：　　②运用公式法：　　　平方差公式：　　　完全平方公式： 3.分式(1)分式的意义：　　一般地，如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式．其中　　分式无意义；分式有意义．　　分式的值为0A=0且这两个条件缺一不可． (2)最简分式：　　如果一个分式的分子、分母没有公因式，那么这样的分式叫做最简分式(也叫既约分式)．如果一个分式的分子、分母有公因式，那么可根据分式的基本性质，用分子、分母的公因式去除分子和分母，将分式化成最简分式，或者化成整式，这就是约分．(3)分式的基本性质：　　 (4)分式的运算：　　①分式的加减： ，．　　②分式的乘除：，．　　③分式的乘方：.4.二次根式：(1)二次根式的概念：　　式子叫做二次根式．是一个非负数. (2)二次根式的性质：　　 (3)最简二次根式：　　①被开方数不含分母；　　②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式.满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式. (4)二次根式的运算：　　①二次根式的乘除：　　　　　②二次根式的加减：　　　二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并. 四、规律方法指导　　对于整式、分式、二次根式等内容，中考重点考查对基础知识的理解运用能力.热点是化简、求值与分情况讨论的数学思想方法的考查，旨在让我们探索灵活、简捷的解法，提高分析问题的能力.因此，在复习中我们要掌握分类讨论与数形结合思想，提高运算能力、观察能力、解决实际问题的能力和探索知识、发现规律的能力.
经典例题透析类型一、整式的有关概念及运算1.同类项　　1.若单项式是同类项，则的值是( 　)　　A、-3 　　　B、-1　　　 C、 　　　D、3　　考点：同类项定义结合求解二元一次方程组，负整数指数幂的计算.　　思路点拨：同类项的概念为：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的单项式.　　解：由题意单项式是同类项，　　　　所以，解得 ，，应选C.　　总结升华：判断两个单项式是否同类项或已知两个单项式是同类项，需满足：(1)所含字母相同；(2)相同字母的指数也相同. 2.整式的运算及整式乘法公式的运用　　2.下列各式中正确的是( 　)　　A. 　　　B.a2·a3=a6　　　 C.(-3a2)3=-9a6 　　　D.a5+a3=a8　　考点：整数指数幂运算.　　分析：选项B为同底数幂乘法，底数不变，指数相加，a2·a3=a5，所以B错；选项C为积的乘方，应把每个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，(-3a2)3=-27a6，所以C错；选项D为两个单项式的和，此两项不是同类项，不能合并，所以D错；选项A为负指数幂运算，一个数的负指数幂等于它的正指数幂的倒数，A正确.答案选A. 　　3.计算：(a2+3)(a-2)-a(a2-2a-2) 　　解:(a2+3)(a-2)-a(a2-2a-2)　　　　=a3-2a2+3a-6-a3+2a2+2a　　　　=5a-6 　　4.利用乘法公式计算：　　(1)(a+b+c)2 (2)(2a2-3b2+2)(2-2a2+3b2)　　思路点拨：利用乘法公式去计算时，要特别注意公式的形式及符号特点，灵活地进行各种变形.　　解：(1)(a+b+c)2可以利用完全平方公式，将a+b看成一项，则　　　　　　(a+b+c)2=[(a+b)2+2(a+b)c+c2]　　　　　　=a2+2ab+b2+2ac+2bc+c2　　　　　　=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc.　　(2)(2a2-3b2+2)(2-2a2+3b2)两个多项式中，每一项都只有符号的区别，所以，我们考虑用平方差公式，将符号相同的看作公式中的a，将符号相反的项，看成公式中的b，　　原式=[2+(2a2-3b2)][2-(2a2-3b2)]　　=4-(2a2-3b2)2=4-4a4+12a2b2-9b4. 　　举一反三　　【变式1】如果a2+ma+9是一个完全平方式，那么m=______.　　解析：　　解法一：利用完全平方公式：(a±3)2=a2±6a+9.　　解法二：利用一元二次方程根的判别式，若a2+ma+9是一个完全平方式，　　　　　　则关于a的一元二次方程a2+ma+9=0有两个相等的实数根，∴Δ=0，即m2-36=0， m=±6.　　解法三：利用配方法，　　　　　　a2+ma+9=a2+ma　　　　　　　　　，　　　　　　∵ 是一个完全平方式，　　　　　　∴， ∴m2=36， m=±6. 　　【变式2】设，则=__________.　　思路点拨：本题利用乘法公式恒等变形，及互为倒数的运算性质.　　解：∵，两边平方得， ，　　　　 ∴ ， 　　【变式3】用相同的方法可以求， 等的值.　　总结升华：此题是反复运用完全平方公式，把，变形为关于的代数式，从而使问题得到解决.这是利用条件求值问题的一个基本思路.
【变式4】若a2+3a+1=0，求的值.　　思路点拨：有上题做铺垫，我们可以想到将a2+3a+1=0变形为的形式，　　∵a≠0，将等式两边同时除以a，　　得， ∴，　　∴. 类型二、因式分解　　5.因式分解：　　(1) 3a3-6a2+12a； (2)(a+b)2-1； (3) x2-12x+36； (4)(a2+b2)2-4a2b2　　考点：运用提取公因式法和公式法因式分解.　　思路点拨：把一个多项式进行因式分解，首先要看多项式是否有公因式，有公因式就要先提取公因式，再看是否还可以继续进行分解，是否可以利用公式法进行分解，直到不能进行分解为止.　　解：(1) 3a3-6a2+12a=3a(a2-2a+4)　　　　(2)(a+b)2-1=(a+b)2-12=[(a+b)+1][(a+b)-1]=(a+b+1)(a+b-1)　　　　(3)x2-12x+36=(x-6)2　　　(4)思路点拨：4a2b2可写成(2ab)2，可先用平方差公式进行因式分解为(a2+b2+2ab)(a2+b2-2ab)，两个括号里又符合完全平方公式，还应继续分解直到不能分解为止.(a2+b2)2-4a2b2=(a2+b2-2ab)(a2+b2+2ab)=(a-b)2(a+b)2 　　举一反三　　【变式1】因式分解：　　(1)；(2)；(3).　　解：(1)　　　　　 　　　　(2)　　　　　 　　　　(3)　　　　　 　　总结升华：在解题前应先观察题目特征，灵活选取分解方法，往往一题有几种解法或一题需要综合运用几种方法.分解因式一定要分解到不能分解为止. 类型三、分式的意义及运算1.分式的意义及分式值为零　　6.当x取何值时，分式有意义？分式的值等于零？　　思路点拨：当分母等于零时，分式没有意义，此外分式都有意义；当分子等于零时，并且分母不等于零时，分式的值等于零.　　解：当分母，即且时，分式有意义.　　　　根据题意，得　　　　由＜1＞解得：x=1或x=2　　　　由＜2＞解得且　　　　所以，当x=2时，分式的值等于零.　　总结升华：(1)讨论分式有无意义时，一定对原分式进行讨论，而不能先化简，再对化简后的分式讨论；(2)讨论分式的值何时为零必须在分式有意义的前提下进行；(3)在解分式的有关问题时，应特别注意分母不为零这个隐含条件. 　　举一反三　　【变式1】已知x=-2时，分式无意义；当x=4时，分式值为0，则a+b= .　　考点：分式无意义及分式值为0的条件.　　解：当x=-2时，分式为；分式无意义，可得：-2+a=0，即a=2.当x=4时，分式为；　 　　　分式值为0，可得：，即b=4.所以a+b=6. 2.分式的运算　　7.计算.　　考点：分式的混合运算.　　思路点拨：此题是加减乘除混合运算，有两种运算顺序，其一是规定顺序，先将括号内的两分式通分相减得：，再将分式的分子、分母颠倒与之相乘.其二是按乘法对加法的分配律，先把的分子、分母颠倒与被减数，减数相乘，再相减.两种顺序哪一种简单，要看题目中式子特点确定.解题过程如下：　　解法1：原式　　　　　　　 ；　　解法2：原式　　　　　　　 . 　　举一反三　　【变式1】先化简，再求值：　　，其中满足.　　解：=　　　　 或 　　　　当时，分式无意义.原式的值为2.　　总结升华：此题需注意所求得的x值需满足分式有意义，此处经常会被同学们忽视，要引起注意. 　　【变式2】先化简，再求值：()÷，其中x=2005　　解：原式=·=　　　　当x=2005时，原式=. 　　【变式3】有这样一道题：“计算：的值，其中.”甲同学把“”错抄成“”，但他的计算结果也是正确的.你说这是怎么回事？　　解：∵ ===0　　　　结果恒为0，与的取值无关.　　　　∴错抄成不影响结果. 　　【变式4】已知x、y是方程组的解，求代数式的值.　　考点：一元二次方程组解法、分式的化简求值.　　思路点拨：一般地，在求代数式的值的问题中，可以先化简，再代入求值；也可以先代入，直接进行数的计算求值.两种方法哪一种简单要看代数式化简及数的计算的繁简程度而定.具体计算时，要选择简捷方法.此题所给分式运算，化简难度较大，应该求出方程组的解，直接把解代入，进行数的运算.解题过程如下：　　解：解方程组： 得　　　　∴原式　　　　　　　. 类型四、二次根式的有关概念及运算　　8.下列二次根式中属于最简二次根式的是( )　　A.　　　B.　　　C.　　　D.　　考点：最简二次根式的定义.　　思路点拨：依据最简二次根式的定义来判别.最简二次根式所满足的条件：(1)被开方数的因数是整数，因式是整式；(2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；二者缺一不可.　　解：对于选项B，，不满足条件(2)；选项C，中被开方数含有分母，且分母中含有字母，不是整式，不满足条件(1)；选项D，，也不满足条件(2)；只有选项A满足条件(1)(2)，故选A. 　　9.化简：(1)； (2)； (3).　　思路点拨：二次根式的化简即利用二次根式的基本性质进行化简，要注意使二次根式有意义的条件，在允许的取值范围内进行化简.　　(1)解：∵b＞0，，∴ a≤0.　　　　　 ∴.　　(2)　　解法一：∵0＜x＜1， ∴x＞0， x-1＜0，　　　　　　　　解法二：∵0＜x＜1， ∴， ，　　　　　　　　(3)解：化简二次根式的隐含条件是，且a≠0.　　　　　 ∵a2＞0， ∴ -(a+1)≥0， ∴ a≤-1，　　　　　 ∴　　　　　 或 . 　　举一反三　　【变式1】化简：，其中.　　解：　　　　　　　　因为　　　　所以，原式.　　总结升华：化简二次根式，往往把被开方数化为完全平方式，根据二次根式性质化去根号，转化为绝对值问题，然后再根据绝对值定义化去绝对值符号. 类型五、代数式的综合应用　　10.若代数式2x2+3x+7的值为8，则代数式4x2+6x-9的值是( 　)　　A.2　　　 B.-17　　　 C.-7 　　　D.7　　思路点拨：此题考查的是整体代换的思想.　　解：∵ 4x2+6x=2(2x2+3x)， 　　　　∴ 由已知2x2+3x+7=8， 得2x2+3x=1，　　　　∴ 4x2+6x-9=2(2x2+3x)-9=2×1-9=-7，选C. 　　11.已知：a，b为实数，下列各式中一定为正值的是( 　)　　A.a2-2a+2 　　　B.　　　 C.a2+b2 　　　D.(a-1)2+|b+2|　　解析：此小题四个选项虽然都是非负数，但B、C、D三个都有可能得0，不能保证一定为正数，只有A选项a2-2a+2=(a-1)2+1， ∵ (a-1)2≥0， ∴(a-1)2+1＞0，无论a取何值，a2-2a+2的值都为正数，所以选A. 　　12.现规定一种运算：，其中、为实数，则等于( )　　A.　　　 B. 　　　C. 　　　D.　　解析：选B.　　　　　　　　　　 探索规律　　13.观察下列顺序排列的等式：　　9×0+1=1　　9×1+2=11　　9×2+3=21　　9×3+4=31　　9×4+5=41　　……　　猜想第n个等式(n为正整数)应为_______.　　分析：此题观察规律并不难，但要注意n的取值，n为正整数，为了便于观察，我们可以象以下写法：　　第1行 9×0+1=1　　第2行9×1+2=11　　第3行 9×2+3=21　　第4行9×3+4=31　　第5行9×4+5=41　　……　　第n行 9×(n-1)+n=10(n-1)+1=10n-9.　　综合应用
　　14.已知一个凸四边形ABCD的四条边的长顺次是a，b，c，d，且a2+ab-ac-bc=0， b2+bc-bd-cd=0，那么四边形ABCD是( ).　　A.平行四边形 　　　B.矩形 　　　C.菱形　　　 D.梯形　　解析：由a2+ab-ac-bc=0，可以得到　　　　　a(a+b)-c(a+b)=0， (a+b)(a-c)=0，　　　　　∵a，b，c，d是四边形ABCD的四条边长，　　　　　∴ a＞0， b＞0， c＞0， d＞0，∴a+b≠0，　　　　　∴a=c，同理由b2+bc-bd-cd=0，可推出b=d，　　　　　由平行四边形的定义可判定四边形ABCD为平行四边形，选A. 　　举一反三　　【变式1】用4块相同的地砖可拼成上图，每块地砖的长、宽分别为a、b，则图中阴影部分的面积为___.(结果要求化简)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　考点：乘法公式的实际背景和几何意义.　　解析：从图形可知阴影部分图形为正方形，其边长为a-b，所以其面积为(a-b)2=a2-2ab+b2. 　　15. (扬州)为进一步落实《中华人民共和国民办教育促进法》，某市教育局拿出了b元资金建立民办教育发展基金会，其中一部分作为奖金发给了n所民办学校.奖金分配方案如下：首先将n所民办学校按去年完成教育、教学工作业绩(假设工作业绩均不相同)从高到低，由1到n排序，第1所民办学校得奖金元，然后再将余额除以n发给第2所民办学校，按此方法将奖金逐一发给了n所民办学校.　　(1)请用n、b分别表示第2所、第3所民办学校得到的奖金；　　(2)设第k所民办学校所得到的奖金为元(1)，试用k、n和b表示(不必证明)；　　(3)比较和的大小(k=1，2 ，……，)，并解释此结果.　　解：第二所学校的奖金为；　　　　第三所学校的奖金为　　　　　　　　由此可以推断:.　　　　∵＞0，　　　　∴，说明排序靠前的奖金多于后者.或者按下列比较说明:　　　　∵，　　　　∴.即奖金分配原则从排序高到低逐渐按的比例递减，符合奖优实际.
学习成果测评基础达标一、选择题　　1.用代数式表示“与的差的平方”为(　　)　　A. 　　　B.　　　 C.　　　 D. 　　2.下列计算正确的是(　　)　　A.　　　　B.　　C.　　　　D. 　　3.下列各组的两项不是同类项的是(　　)　　A.与　　　 B.-1和3 　　　C.和 　　　D.和 　　4.某厂一月份产值为a万元，二月份增产了15%，二月份的产值可以表示为(　　)　　A.(1＋15%)a 万元 　　　　B.15%a 万元　　C.(1＋a)×15% 万元 　　　D.(1＋15%)2 a 万元 　　5.一个三位数，个位数是a，十位数是b，百位数是c，这个三位数可以表示为(　　)　　A.abc　　　 B.100a+10b+c 　　　C.100abc 　　　D.100c+10b+a 　　6.下列分式中，当时，有意义的是(　　)　　A. 　　　B. 　　　C. 　　　D. 　　7.下列各式从左到右的变形不正确的是(　　)　　A. B.　　C.　 D. 　　8.下列根式中，属最简二次根式的是(　　)　　A.　　　 B.　 　　　C.　　　　 D. 　　9.可以与合并的二次根式是(　　)　　A.　　　 B.　　　 C.　　　　 D.
　　10.多项式因式分解所得结果是(　　)　　A.　　B.　　C.　　D.
二、填空题　　11.比的3倍小2的数是__________；　　12.单项式的系数是__________，次数是__________；　　13.计算：；　　14.因式分解：；　　15.去括号：；　　16.把按字母的升幂排列为____________________；　　17.一个多项式减去，得，则这个多项式为________________.　　18.当时，分式有意义；　　19.当a_________时，有意义；　　20.要使分式 有意义，则的值应是_____；要使分式的值为零，则的值应为_____；　　21.计算：____________.　　22.化简：；　　23.比较大小：；　　24.若最简根式和是同类根式，则；　　25.仿照的做法，化简. 三、计算题　　26.　　27.　　28.　　29. 四、因式分解：　　30.　　　　　　31. 五、化简求值　　32.已知：，求的值. 能力提升一、选择题　　1.若代数式的值是 11，则的值是(　　)　　A.11 　　　B.　　　 C.7　　　 D.9 　　2.若，则的值为(　　)　　A. 　　　B. 　　　C. 　　　D. 　　3.如果长方形的周长为，一边长为，则另一边长为 (　　)　　A.　　　 B. 　　　C.　　　 D. 　　4.不论取何值时，下列分式总有意义的是(　　)　　A. 　　　B.　　　 C. 　　　D. 　　5.如果把中的和都扩大5倍，那么分式的值(　　)　　A.扩大5倍 　　　B.不变　　　 C.缩小5倍　　　 D.扩大4倍 　　6.下列等式成立的是(　　)　　A. 　　　　　　B.　　C. 　　　D. 　　7.若，则分式的值为(　　)　　A.0 　　　B.1　　　 C.0或1　　　 D.-4
8.当时，等于(　　)　　A.0　　　 B. 　　　C.　　　 D.或0
二、填空题　　9.若是完全平方式，则； 　　10.请你观察下图，依据图形的面积关系，使可得到一个非常熟悉的公式，这个公式为_____________；　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　11.如图，外侧大圆的半径是10，在里边有两条互相垂直的直径和两个同心圆，其中阴影部分的面积是，请问中间圆的半径是_____________；　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　12.当 2＜＜3 时，； 　　13.若成立，则. 　　14. 将一张长方形的纸对折,如图所示,可得到一条折痕(图中虚线),继续对折,对折时每次折痕与上次的折痕保持平行,连续对折三次后,可以得到7条折痕,那么对折四次可以得到_________条折痕,如果对折n次,可以得到_________条折痕.　　　　　　　 三、解答题　　15.如图，是某住宅的平面结构示意图，图中标明了有关尺寸(墙体厚度忽略不计，单位：m)，房主计划把卧室以外的地面都铺上地砖，如果他选用的地砖的价格是元/m2，则买砖至少需要多少元？若每平方米需砖块，则他应该买多少块砖？(用含，，的代数式表示).　　　　　　　　　　　　　　　　 　　16.某同学作业本上做了这么一道题：“当= 时，试求的值”，其中 是被墨水弄污的，该同学所求得的答案为，请你判断该同学答案是否正确，说出你的道理. 综合探究　　1.(1)观察下列各式：　　；；；；；；；……　　通过观察，用你发现的规律写出的末位数字是_________；　　(2)观察下列各式：　　 　　 　　 　　　　　　……　　由规律可得=________. 　　2.阅读下列材料：　　让我们来规定一种运算：，　　例如：，再如：　　按照这种运算的规定：请解答下列各个问题：　　①=____________(只填最后结果)；　　②当x=________时，；　　③求x，y的值，使(写出解题过程). 答案与解析基础达标一、选择题　　1.C　2.D　3.A　4.A　5.D　6.B　7.D　8.B　9.D　10.B 二、填空题　　11.　　12.，3　　13.　　14.　　15.16.　　17.　　解：　　18.　　19.20.　　21.　　解：.　　22.　　解：.　　23.　　提示：先比较两数的平方.　　24.4　　　25.. 三、计算题 26解　　27.解：　　28.解： 　　29.解： 四、因式分解　　30.解：　　31.解： 五、化简求值　　32.解：　　　　　 当时，原式=. 能力提升一、选择题 1.A解：　　2.B　　解：　　3.C　　解：另一边长　　4.D　　解：当分式分母为0时，分式无意义.因此当x=0时，选项A无意义；当x=-2时，选项B、C无意义；不论取何值时，，分式总有意义.　　5.B　　解：　　6.B　　7.D　　解：，或，　　　　　 　　当x=2时，分式分母x-2=0，分式无意义，故；　　　　　　　 当x=-2时，分式有意义，此时原式=-2-2=-4.　　8.B　　解： 二、填空题　　9. 　　10. 　　11.11　　解析：图形阴影部分经过旋转可以得到如下图，则阴影面积可以看作是大圆面积的与中间圆面积的之和.所以中间圆的半径.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　12.　　解析：∵2＜＜3，，　　　　　.　　13.3　　解析：需满足与有意义，则得x=1，所以y=2，所以x+y=3.　　14.15，. 三、解答题　　15.解：先求出卧室以外的地面面积为11xy，如果他选用的地砖的价格是元/m2，则买砖至少需要11axy元，若每平方米需砖块，则他应该买11bxy块砖.　　16.∵，当 时，上式=，时，(不合题意)，当时，上式=，∴该同学答案不对. 综合探究　　1.(1)8　　解析：通过观察，末位数字是2、4、6、8循环，，所以的末位数字为8.　　(2).　　2.①3.5；　　　②解：由2x-(0.5-x)=0，解之得；　　　③解：由题意可列
二次函数（一）
一、知识讲解：
　　1、二次函数的概念
　　理解二次函数的概念：形如y=ax2+bx+c（a≠0，a, b, c为常数）的函数是二次函数。
　　若b=0，则y=ax2+c；
　　若c=0，则y=ax2+bx；
　　若b=c=0，则y=ax2。
　　以上三种形式都是二次函数的特殊形式，而y=ax2+bx+c是二次函数的一般式。
　　2、二次函数y=ax2的图象
　　用描点法画出二次函数y=ax2的图象，如图，它是一条关于y轴对称的曲线，这样的曲线叫做抛物线。
　　因为抛物线y=x2关于y轴对称，所以y轴是这条抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是抛物线的顶点，从图上看，抛物线y=x2的顶点是图象的最低点。因为抛物线y=x2有最低点，所以函数y=x2有最小值，它的最小值就是最低点的纵坐标。
　　3、二次函数y=ax2的性质
　　二次函数y=ax2（a≠0）的性质，见下表：
函数
　
图象
开口方向
顶点坐标
对称轴
函数变化
最大（小）值
y=ax2
a>0
向上
（0，0）
y轴
　　x>0时，y随x增大而增大；
　　x<0时，y随x增大而减小。
　　当x=0时，y最小=0
y=ax2
a<0
向下
（0，0）
y轴
　　x>0时，y随x增大而减小；
　　x<0时，y随x增大而增大。
　　当x=0时，y最大=0
　　
4、二次函数y=ax2的图象的画法
　　用描点法画二次函数y=ax2的图象时，应在顶点的左、右两侧对称地选取自变量x的值，然后计算出对应的y值，这样的对应值选取越密集，描出的图象越准确。
　　[例题分析]
　　例1、(1) 若是二次函数，求m的值。
　　(2)已知函数的图象是开口向下的抛物线，求m的值。
　　(1)分析：根据二次函数的定义，只要满足m2+m≠0且m2-m=2，就是二次函数。
　　解：
　　故若是二次函数，则m的值等于2。
　　(2)分析：抛物线开口向下，二次项系数小于零。
　　解：∵函数的图象是开口向下的抛物线，
　　∴此函数是二次函数，
　　∴
　　∴m=-2.
　　例2、函数y=ax2（a≠0）与直线y=2x-3交于点（1,b），求
　　（1）a和b的值；
　　（2）求抛物线y=ax2的解析式，并求顶点坐标和对称轴；
　　（3）x取何值时，二次函数y=ax2中的y随着x的增大而增大；
　　（4）求抛物线与直线y=-2的两交点及顶点所构成的三角形的面积。
　　分析：（1）因为点（1,b）是抛物线y=ax2和y=2x-3的交点，所以x=1，y=b既满足y=2x-3，又满足y=ax2，于是可求出b和a的值；（2）将（1）中求得的a值代入y=ax2，即得抛物线的解析式。进而求得抛物线的顶点坐标和对称轴；（3）根据a的符号和对称轴（或顶点坐标），可确定y随x的增大而增大时，自变量x的取值范围；（4）应在直角坐标系中画出抛物线y=ax2和直线y=-2的草图，结合图形写出求三角形面积的计算过程。
　　解：（1）将x=1，y=b代入y=2x-3，解得b=-1。
　　∴交点坐标是（1，-1），再将x=1, y=-1代入y=ax2，解得a=-1。∴a=-1, b=-1。
　　（2）抛物线的解析式为y=-x2顶点坐标为（0，0），对称轴为直线x=0（即y轴）如图
　　（3）当x<0时，y随x的增大而增大。
　　（4）设直线y=-2与抛物线y=-x2相交于A、B两点。
　　由
　　∴
　　∴S△AOB=.
　　例3、正方形ABCD的边长为a，经过AB边上一点P，作平行于对角线AC、BD的直线，分别与边BC、AD交于点Q、R，设△PQR的面积为y，AP=x，求y与x之间的函数关系式。
　　解：∵RP//DB，∴∠1=∠2
　　又∵正方形ABCD中，
　　∠2=45°=∠1，
　　∴AP=RA=x
　　同理：∴PB=QB=a-x，
　　又∵四边形RABQ为直角梯形，
　　∴SRABQ=(a-x+x)·a=a2
　　∴S△PAR=x2，S△PQB=(a-x)2，　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　∴S△PQR=S梯ABQR-S△PAR-S△PQB=a2-x2-(a-x)2
　　∴S△PQR=-x2+ax. (0　　[本节小结]
　　本节主要学习了二次函数的概念，研究了最简单的二次函数y=ax2的图象和性质。事实上，二次函数y=ax2+bx+c的图象都是抛物线，把抛物线y=ax2向左（右）、上（下）平行移动就可得到一般二次函数y=ax2+bx+c的图象。准确理解和掌握本节内容是学好一般二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质的重要基础。
　　注意：y=ax2+bx+c是二次函数一定有a≠0。
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　　选择题　　1．若 的图象是抛物线，则m的值为（　 ） 　 A、3；-1　　 B、-3；1　　 C、-1　　 D、3
　　2．直线y=x+2与抛物线y=x2的交点坐标是（　 ） 　 A、（2，4）和（-1，1）　　 B、（-2，4）和（1，-1） 　 C、（3，9）和（-1，1）　　 D、以上都不对。
　　3．已知点(a, 8)在抛物线y=ax2上，则a的值是（　 ） 　 A、a=2　　 B、a=-2　　 C、a=±2　　 D、a=±
　　4．下列函数是二次函数的是（　 ） 　 A、y=-x2　　 B、 　 C、y=3x(x+2)2　　 D、
5．在半径为4cm的圆面上，从中挖去一个半径为xcm的圆面，剩下一个圆环的面积为ycm2，
则y与的函数关系式为 （　 ） 　 A、y=πx2-4　　 B、y=π(2-x)2 　　 C、y=-(x2+4)　　 D、y=-πx2+16π
二次函数（二）
一、内容提要
　　（一）二次函数的解析式：
　　1．一般式：y=ax2+bx+c；其中 a≠0, a, b, c 为常数
　　2．顶点式：y=a(x-h)2+k；其中a≠0, a, h, k 为常数，（h,k）为顶点坐标。
　　3．交点式：y=a(x-x1)(x-x2)；其中a≠0, a, x1,x2 为常数，x1,x2是抛物线与横轴两交点的横坐标。注：这种形式可以作为了解内容，重点是前两种。
　　（二）二次函数的图象：抛物线
　　（三）性质：
　　1．对称轴，顶点坐标：
　　2．开口方向：a>0, 抛物线开口向上，并向上无限延伸。
　　 a<0, 抛物线开口向下，并向下无限延伸。
　　3．增减性：（Ⅰ）a>0时，
　　当x时，y随x增大而减小
　　当x>时，y随x增大而增大
　　（Ⅱ）a<0时，
　　当x时，y随x增大而增大
　　当x>时，y随x增大而减小
　　4．最值：（Ⅰ）a>0时，当x=时，
　　 （Ⅱ）a<0时，当x=时，
　　5.抛物线与y轴交点坐标：（0，C）
　　特别地当C=0时，抛物线过原点，反之也成立。
　　6．抛物线与x轴的位置关系：
　　（Ⅰ）Δ=b2-4ac<0,抛物线与x轴无交点。
　　（Ⅱ）Δ=b2-4ac=0,抛物线与x轴只有一个交点，交点坐标为（，0）
　　（Ⅲ）Δ=b2-4ac>0,抛物线与x轴有两个交点，交点坐标为（，0）
　　二、典型例题：
　　例1．已知+3x+6是二次函数，求m的值，并判断此抛物线开口方向，写出顶点坐标及对称轴。
　　解：由题意得　解得 m=-1
　　∴y=-3x2+3x+6=, 　　开口向下，顶点坐标（），对称轴x=。
　　说明：在y=a(x-h)2+k中,（h,k）是抛物线的顶点坐标，所以一般求抛物线的顶点坐标时，常常利用配方法把解析式转化为上述表达形式，直接写出顶点坐标，对称轴方程，也可以用顶点坐标公式（）求得，解题时可根据系数的情况选择适当的方法。
　　例2．已知抛物线y=ax2+bx+c 如图所示，直线x=-1是其对称轴，(1)确定a,b,c, Δ=b2-4ac的符号，(2)求证:a-b+c>0, (3)当x取何值时，y>0, 当x取何值时y<0。
解：（1）由抛物线的开口向下，得a<0，由抛物线与y轴的交点在x轴上方，得c>0，又由 <0，∴>0,
　　∴a、b同号，由a<0得b<0.
　　由抛物线与x轴有两个不同的交点，
　　∴Δ=b2-4ac>0
　　（2）由抛物线的顶点在x 轴上方，对称轴为x=-1.
　　∴当x=-1时，y=a-b+c>0
　　（3）由图象可知：当-30 ,
　　∴当x<-3或x>1时，y<0
　　例3．已知二次函数y=(m-2)x2+2mx+m+1,其中m为常数，且满足-1　　解：∵-1　　∴m-2<0, 抛物线开口向下，
　　又m+1>0, 抛物线与y轴的交点在x轴上方。
　　Δ=4m2-4(m-2)(m+1) 　　　=4m2-4(m2-m-2) 　　　=4m+8 　　　=4(m+1)+4>0.
　　∴抛物线与x轴有两个不同的交点。
说明：上两道例题是以形判数、由数思形的典型。对于二次函数y=(a≠0)除了解a的含义以外，还应理解常数c为抛物线与y轴交点的纵坐标，即由c定点（0，c），c的正、负符号决定（或决定于）抛物线与y轴的交点在x轴上、下方，c的绝对值决定（或决定于）图象与y轴交点到x轴的距离。由y=0，得一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0).它有无实根由判别式Δ=b2-4ac来决定：
　　若>0，一元二次方程有两个实根x1,x2，抛物线与x轴有两交点坐标为:（，0）、(,0)
　　若，一元二次方程有两个相等实根，抛物线与x轴有一个交点。
　　若<0，一元二次方程无实根，抛物线与x轴无交点，
　　所以抛物线与x轴的交点情况与Δ=b2-4ac的值相关。
　　此题目也可以用数形结合方法来判断抛物线与x轴有两个不同交点（用抛物线与y轴的交点C在x轴上方，开口向下，必与x轴有两个不同交点）。
　　例4．抛物线y=2x2-4x+4的对称轴为x=2m-2n，函数的最小值是4n-3m,求实数m、n。
　　解：∵y=2x2-4x+4，
　　∴
　　
　　∴ 解得
　　说明：此例是利用顶点坐标公式构造方程组，也可利用配方法先求出抛物线的顶点坐标，再构造方程组。
　　例5．已知二次函数y=ax2+ bx+c的图象与的图象的形状相同，开口方向相反，与直线y=x-2的两个交点的坐标为（1，n）和(m,1)，求这个二次函数的解析式及其顶点坐标。
　　分析：交点坐标即在抛物线上，又在直线上，所以即满足二次函数的解析式，又满足一次函数的解析式，由此可求出字母n、m。
　　解：依题意，得
　　∵y=x-2过(1,n)得n=-1,
　　 y=x-2过(m,1)得m=3.
　　∴抛物线过（1，-1），（3，1）
　　∴ 解得
　　∴
　　∴这个二次函数的解析式为，顶点坐标为（1，-1）。
　　例6．已知抛物线y=x2+ bx+c与y轴交于点Q（0，-3），图象与x轴两交点的横坐标的平方和为15，求函数解析式及对称轴。
　　分析：可由抛物线与y轴的交点坐标求出c的值，这样只需待定“b”，即只需构造关于b的方程，由于已知条件给出图象与x轴两交点的横坐标的平方和为15，，需用一元二次方程根与系数的关系，由此作为等量关系来构造方程，解题的关键是用含b的代数式表示。
　　解：由点Q（0，-3）知c=-3，则抛物线的解析式为
　　设图象与x轴交点的横坐标为，
　　∴是二次方程的两个根，
　　由根与系数的关系得：
　　∴
　　解得：
　　∴所求函数的解析式， 　　对称轴分别为.
　　由例5、例6可知用待定系数法求函数解析式一般有两条解题思路：
　　（1）把已知条件转化为图象上一点的坐标，把坐标代入解析式构造关于“待定系数”的方程；
　　（2）利用已知的等量关系直接构造关于“待定系数”的方程。
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　　选择题　　1．已知y=(n-2)x+n+2是二次函数，那么n的值等于（　）。 　 A、2　　 B、-2　　 C、±2　　 D、n≠0
　　2．二次函数y=-x2-6x+k的图象顶点在x轴上，则k的值为（　）。 　 A、0　　 B、-9　　 C、9　　 D、以上都不对
　　3．二次函数y=1-6x-3x2的图象，顶点和对称轴分别为（　）。 　 A、(1,4) , x=1　　 B、(1,4), x=4 　 C、(-1,4), x=-1　　 D、(-1,4), x=4
　　4．直线y=3x-3与抛物线y=x2-x+1交点的个数是（　）。 　 A、0个　　 B、1个　　 C、2个　　 D、不能确定
　　5．要得到y=-2(x+2)2-3的图象，需要把抛物线y=-2x2作如下的平移（　）。 　 A、向右平移2个单位，再向上平移3个单位 　 B、向右平移2个单位，再向下平移3个单位 　 C、向左平移2个单位，再向上平移3个单位 　 D、向左平移2个单位，再向下平移3个单位
　　6．已知二次函数y=a(x-1)2+b有最小值-1，则a与b之间的大小关系是（　）。 　 A、ab　　 D、不能确定。
　　7．若二次函数y=-x2+2(m-1)x+2m-m2的图象的对称轴为y轴，此图象的顶点A和它与x轴二交点B、C所构成的三角形的面积是（　）。 　 A、　　 B、1　　 C、　　 D、2
　　8．已知二次函数y=2x2-6x+m的值永远是正数，那么m的取值范围是（　）。 　 A、m≤4　　 B、m≥4　　 C、m>4　　 D、以上都不对
　　9．已知抛物线y=4x2-5x+k与x轴有交点，且交点都在原点的右侧，那么k的取值范围是（　）。 　 A、k>0　　 B、0　　10．二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，那么a、b、c的符号是（　） 　 A、a>0, b>0, c<0 　 B、a<0, b<0, c>0 　 C、a<0, b>0, c>0 　 D、a<0, b<0, c<0
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位似　　　　　　　　　　　撰稿：刘志全　　　 审稿：严春梅　　　 责编：张杨一、目标认知学习目标　　1．了解图形的位似，知道位似变换是特殊的相似变换，能利用相似的方法，将一个图形放大或缩小.　　2．观察分析现实生活中确定位置的现象，经历探索图形坐标的变化与图形形状的变化之间的关系，进　 　　一步发展数形结合的意识、形象思维能力和数学应用能力.　　3．在同一直角坐标系中，感受图形变化后点的坐标的变化与各点坐标变化后图形发生的变化. 重点难点　　1．重点：位似图形的有关概念、性质与作图．用图形的坐标的变化来表示图形的位似变换．　　2．难点：利用位似将一个图形放大或缩小及在同一直角坐标系中，图形变化后点的坐标的变化规律. 二、知识要点梳理：1．位似图形的概念　　如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点所在的直线都经过同一点，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心． 2．位似图形的性质　　位似图形的对应点和位似中心在同一条直线上；　　位似图形的对应点到位似中心的距离之比等于相似比；　　位似图形中不经过位似中心的对应线段平行。 3．位似图形与相似图形的区别　　位似图形是一种特殊的相似图形，而相似图形未必能构成位似图形。4．作位似图形的步骤　　第一步：在原图上找若干个关键点，并任取一点作为位似中心；　　第二步：作位似中心与各关键点连线；　　第三步：在连线上取关键点的对应点，使之满足放缩比例；　　第四步：顺次连接截取点。5．位似变换中对应点的坐标变化规律　　在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k。 6．平移、轴对称、旋转和位似四种变换的异同：　　图形经过平移、旋转或轴对称的变换后，虽然对应位置改变了，但大小和形状没有改变，即两个图形是全等的；而图形放大或缩小(位似变换)之后是相似的． 三、规律方法指导　　1．判断位似图形的方法，紧抓两个要点：①是相似图形；②每组对应点所在的直线经过同一点(即位似　 　　中心)．　　2．位似图形的画法可归结为：一确定、二连结、三关键．一确定，即确定位似中心；二连结，即连结　 　　位似中心和顶点；三关键，即根据相似比，确定关键点．　　3．位似图形是相似图形的特例．因此，位似比可通过相似三角形对应边的比得到，根据位似中心和位　 　　似比就可以把一个图形放大或缩小．　　4．列表总结如下：
图形
相似变换
若与是位似图形，则
位似中心
O为位似中心，位似中心可以在两图形的同侧，或两图形之间，或图形内，或边上，或图形的顶点
相似图形与位似图形的关系
位似图形一定是相似图形；相似图形不一定是位似图形
图形放大与缩小的原理
射线法测量原理
位似图形的性质
(1)；(2)；(3)；(4)(为相似比)
经典例题透析类型一、位似图形的有关概念　　1．如图，矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，E、F、G、H分别是OA、OB、OC、OD的中点，那么矩形ABCD与四边形EFGH是否是位似图形？若是，指出位似中心并求出位似比.　　　　　　　　　　　　　　　 　　思路点拨：如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点所在的直线都经过同一点，那么这样的两个图形叫做位似图形，根据定义，题目中的所述图形符合条件，显然是位似图形，它们的位似中心即AC与BD的交点O，又因为E、F、G、H分别是中点，所以位似比为2.　　解：∵E、F、G、H分别是OA、OB、OC、OD的中点，　　　　∴　　　　∴　　　　　　　　∴　　　　同理：　　　　∴四边形ABCD与四边形EFGH相似　　　　因为两个图形的对应点所在直线都经过点O　　　　所以它们是位似图形，位似中心为点O，位似比为2：1.　　总结升华：　　判断两个图形是否是位似图形，只要看两个图形是否是相似图形，并且对应点的连线是否经过同一个点，若经过同一点，则是位似图形，否则不是位似图形；求位似比，也就是求相似图形的相似比，对于此类问题，只要认真观察图形，就能解决. 　　举一反三　　【变式1】如图，指出下列各图中的两个图形是否是位似图形，如果是位似图形，请指出其位似中心．　　　　　　思路点拨：位似图形是特殊位置上的相似图形，因此判断两个图形是否为位似图形，首先要看这两个图形是否相似，再看对应点的连线是否都经过同一点，这两个方面缺一不可．　　解：图(1)、(2)和(4)三个图形中的两个图形都是位似图形，位似中心分别是图(1)中的点A ，图(2)中的点P和图(4)中的点O．(图(3)中的点O不是对应点连线的交点，故图(3)不是位似图形，图(5)也不是位似图形) 　　2．如图，D、E分别AB、AC上的点. 　　(1)如果DE∥BC，那么△ADE和 △ABC是位似图形吗？为什么？　　(2)如果△ADE和 △ABC是位似图形，那么DE∥BC吗？为什么？　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　解：(1)△ADE和 △ABC是位似图形.理由是：　　　　　 DE∥BC，所以∠ADE=∠B， ∠AED=∠C.所以△ADE∽△ABC，所以.　　　　　 又因为 点A是△ADE和 △ABC的公共点，点D和点B是对应点，点E和点C是对应点，　　　　　 直线BD与CE交于点A，所以△ADE和 △ABC是位似图形.　　　　(2)DE∥BC.理由是：　　　　　 因为△ADE和△ABC是位似图形，　　　　　 所以△ADE∽△ABC　　　　　 所以∠ADE=∠B　　　　　 所以DE∥BC.
类型二、位似图形的作法　　3．把图1中的四边形ABCD缩小到原来的．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　思路点拨：把原图形缩小到原来的，也就是使新图形上各顶点到位似中心的距离与原图形各对应顶点到位似中心的距离之比为1∶2 ．　　作法一：　　(1)在四边形ABCD外任取一点O；　　(2)过点O分别作射线OA，OB，OC，OD；　　(3)分别在射线OA，OB，OC，OD上取点A′、B′、C′、D′，　　　 使得；　　(4)顺次连接A′B′、B′C′、C′D′、D′A′，得到所要画的四边形A′B′C′D′，如图2．　　　　　　　　　　　　　　　　作法二：　　(1)在四边形ABCD外任取一点O；　　(2)过点O分别作射线OA， OB， OC，OD；　　(3)分别在射线OA， OB， OC， OD的反向延长线上取点A′、B′、C′、D′，　　　 使得；　　(4)顺次连接A′B′、B′C′、C′D′、D′A′，得到所要画的四边形A′B′C′D′，如图3． 　　　　　　　　　　　　作法三：　　(1)在四边形ABCD内任取一点O；　　(2)过点O分别作射线OA，OB，OC，OD；　　(3)分别在射线OA，OB，OC，OD上取点A′、B′、C′、D′，　　　 使得；　　(4)顺次连接A′B′、B′C′、C′D′、D′A′，得到所要画的四边形A′B′C′D′，如图4．　　(当点O在四边形ABCD的一条边上或在四边形ABCD的一个顶点上时，作法略)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　举一反三　　【变式1】已知五边形ABCDE，利用位似，将图形放大2倍。　　　　　　　　 　　作法：　　1．任取一个点O；　　2．以点O为端点作射线OA、OB、OC、OD、OE；　　3．分别在射线OA、OB、OC、OD、OE上取点A′、B′、C′、D′、E′，使　　　 ；　　4．连接A′B′，B′C′，C′D′，D′E′，A′E′；　　　 则多边形A′B′C′D′E′为放大2倍的图形。 　　【变式2】如图，把四边形ABCD以O为位似中心，沿OA方向放大2倍，(即相似比为2：1)．　　　　　　　　　　　　　　　　 　　作法：　　(1)连结OA，并延长OA到A′，使AA′=OA；　　(2)连结OB并延长OB到B′，使BB′=OB；　　(3)连结OC，并延长OC到C′，使CC′=OC ；　　(4)连结OD，并延长OD到D′，使DD′=OD ；　　(5)连结A′B′、B′C′、C′D′、D′A′，则四边形A′B′C′D′与四边形ABCD关于O点成位似图　　　 形，并且相似比为2：1。 　　【变式3】把图中的四边形ABCD以O为位似中心，沿AO方向放大2倍，(即位似比为2：1)．　　　　　　　　　　　　　　　　 　　作法：如图：　　(1)连结OA，并延长AO到A′，使OA′=2OA； 　　(2)连结OB、OC、OD，并延长BO到B′，延长CO到C′，延长DO到D′，使OB′=2OB，OC′=2OC，　　　 OD′=2OD；　　(3)连结A′B′、B′C′、C′D′、D′A′，　　　 则四边形A′B′C′D′与四边形ABCD关于O点成位似图形，并且位似比为2：1． 　　【变式4】(广东)如图，图中的小方格都是边长为1的正方形，△ABC与△A′B′C′是关于点O为位似中心的位似图形，它们的顶点都在小正方形的顶点上。　　(1)画出位似中心点O；　　(2)求出△ABC与△A′B′C′的位似比；　　(3)以点O为位似中心，再画一个△A1B1C1，使它与△ABC的位似比等于1.5。　　　　　　　　　　　　　　　　解析：　　　　　　　　　　　　　　　　(1)如图，分别连结CC′，B′B，A′A并延长交于O点；　　(2)由图可得：，即△ABC与△A′B′C′的位似比为；　　(3)OA=6，若△A1B1C1与△ABC位似比为1.5　　　 则OA1：OA=1.5，∴OA1=9　　　 过A1作A1B1∥AB交OB′于B，作A1C1∥AC交OC′于C1，　　　 连结B1C1，△A1B1C1即为所求. 类型三、位似变换中对应点的坐标变化规律　　4．如图，△ABC三个顶点坐标分别为A(2，3)、B(2，1)、C(6，2)，以点O为位似中心，将△ABC放大2倍。　　　　　　　　　　　　　　　　思路点拨：依据在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k，就可以确定所求位似图形的各顶点坐标，连结各顶点即得。　　解：依据位似变换中对应点的坐标变化规律，分别取点A′(4，6)、B′(4，2)、C′(12，4)，　　　　依次连结A′、B′、C′，△A′B′C′就是所要求的△ABC的位似图形。　　　　还可取点A″(-4，-6)、B″(-4，-2)、C″(-12，-4)，　　　　依次连结A″、B″、C″，△A″B″C″也为所求。　　　　　　　　　　　　　　　总结升华：　　位似变换是以原点为位似中心时，把一个多边形各顶点的横坐标和纵坐标同时乘以k或-k，得到两个新的多边形，每个新多边形都与原多边形位似，相似比为|k|. 类型四、综合应用　　5．将下图中的△ABC作下列变换，画出相应的图形，指出三个顶点的坐标所发生的变化．　　(1)沿y轴负方向平移1个单位；　　(2)关于x轴对称；　　(3)以C点为位似中心，放大到1.5倍．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　思路点拨：作平移、对称后的图形与原图全等，点的坐标发生变化，可根据平移、对称的特征，求出平移、对称后图形的坐标．位似变换如果以原点为位似中心可按位似变换的点的坐标求法求点的坐标．　　解：变换后的图形如下图所示．　　　　　　　　　　　　　　　　(1)将△ABC沿y轴负方向平移1个单位后得到△A1B1C1，　　　 A1(-5，-1)，B1(0，2)，C1(0，-1)．　　　 即横坐标不变，纵坐标减小．　　(2)将△ABC关于x轴对称后，得△A2B2C2，A2(-5，0)，B2(0，-3)，C2(0，0)．　　　 即横坐标不变，纵坐标变为原来的相反数．　　(3)将△ABC以C点为位似中心，放大到1.5倍得△A3B3C3，　　　 显然，A3(-5×1.5，0)，B3(0，3×1.5)，C3(0，0)，　　　 即A3(-7.5，0)，B3(0，4.5)，C3(0，0)．　　总结升华：　　本题应先按图形变换的要求画出相应的图形，再求出变换后图形的点的坐标，第(3)问可先求变换后图形的点的坐标，但注意此时的位似中心是原点．
学习成果测评基础达标
1.下列说法错误的是( )　　A.位似图形一定是相似图形　　B.相似图形不一定是位似图形　　C.位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比　　D.位似图形中每组对应点所在的直线必相互平行 　　2.下列命题：①两个正方形是位似图形；②两个等边三角形是位似图形；③两个同心圆是位似图形；　　　④平行于三角形一边的直线截这个三角形的两边，所得的三角形与原三角形是位似图形.　　　其中正确的有( )　　A.1个 　　　B.2个　　　 C.3个 　　　D.4个 　　3.如图所示，如果△ABC与△DEF是位似图形，O是位似中心，且OE=BE，那么△DEF与△ABC的位似比　　　为( )　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　A.1：1 　　　B.1：2 　　　C.2：1 　　　D.1：4 　　4.已知△ABC的三个顶点坐标分别为A(2，2)、B(4，2)、C(6，4)，以原点O为位似中心，试将△ABC缩小为　　　△DEF，若缩小后的△DEF与△ABC的对应边的比为1：2，则D、E、F三点坐标可以为( )　　A.(2，1)、(4，1)、(6，2)　　　 　　B.(1，1)、(2，1)、(3，2)　　C.、、 　　　　D.、、 　　5.若把一个图形放大到原来的2倍，则新图形与原来图形的面积的比为________. 　　6.已知 ABC，以点A为位似中心，作出 ADE，使 ADE是 ABC放大2倍的图形，则这样的图形可以作出____个，它们之间的关系是__________. 　　7.△ABC的周长为3，以点A为位似中心，把其放大为原来的6倍后，所得的周长是________. 　　8.如图所示，四边形ABCD的一个位似图形是四边形.且A、B、C、D的对应点分别是、、　　　、.图形中给出了AB的对应边所在的位置，请把四边形其余部分补画上.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
能力提升　　9.如图所示，O是等边△PQR的中心，、、分别是OP、OQ、OR的中点，则与是　　　位似三角形，此时与的位似比，位似中心分别为( )　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　A.2，点P　　　 B.，点P 　　　C.2，点O 　　　D.，点O
　　10.如果将下图的各点的横、纵坐标分别都乘以，那么所得图形与原图形( )　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　A.关于x轴对称　　 B.关于y轴对称 　　C.是位似图形 　　D.关于直线y=-x对称 　　11.△ABC中，D、E分别在AB、AC上，DE∥BC，△ADE是△ABC缩小后的图形.若DE把△ABC的面积分成相等的两部分，则AD：AB=________. 　　12.如图所示，表示△AOB和它放大后得到的△COD.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(1)你能求出它们的相似比吗？　　(2)三角形的三个顶点的坐标发生了怎样的变化？ 　　13.如图所示，图中的小方格都是边长为1的正方形，和是以O为位似中心的位似图形，它们的顶点都在小正方形的顶点之上.　　　　　　　　　　　　　　　　　　(1)画出位似中心点O；　　(2)求出与的位似比；　　(3)以点O为位似中心，再画一个，使它与的位似比等于1.5. 综合探究　　14.如图所示，已知，，现以A点为位似中心，相似比为9：4，将OB向右侧放大，B点的对应点为C点.　　(1)求C点坐标及直线BC的解析式；　　(2)一抛物线经过B、C两点，且顶点落在x轴正半轴上，求该抛物线的解析式并画出函数图象.　　　　　　　　　　　　　　　　　 参考答案基础达标　　1.D 解析：根据位似图形的概念和性质进行判断，故选D. 　　2.B 解析：由位似图形的概念可知③和④对，故选B. 　　3.B 解析：由OE=BE，得OE：OB=1：2，故选B. 　　4.B 解析：根据位似变换的规律，把三点的横、纵坐标分别乘以即可. 　　5.4：1 解析：位似图形的面积比等于相似比k的平方. 　　6.2个， 全等 　　7.18 解析：根据位似图形的性质可知，周长变为原来的6倍，故为18. 　　8.解：(1)连接、相交于点O，则O为位似中心；　　　　　(2)作射线CO、DO；　　　　　(3)分别过、作交射线DO于点，交射线CO于点；　　　　　(4)连接、、得四边形即为所要作的图形(如图所示).　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 能力提升　　9.D 解析：由题意得与的位似比为,显然位似中心为点O，　　　　　　　故选D. 　　10.C 解析：A(2，3)的对应点为，B(4，0)的对应点为，所以所得图形与原图形为　 　　　　　　位似图形. 　　11. 解析：由BC∥DE可得△ADE∽△ABC，所以，故. 　　12.解：(1)∵ B(2，0)，D(4，0)，∴ OB=2，OD=4.　　　　　　　∴ △AOB与△COD的相似比为.　　　　　 (2)△AOB的三个顶点坐标为A(1，2)、O(0，0)、B(2，0).　　　　　　　放大后得到的△COD对应顶点是C(2，4)、O(0，0)、D(4，0).　　　　　　　即新图形对应顶点的横、纵坐标都变为原来的2倍. 　　13.解：(1)连接并延长，连接并延长，的延长线与的延长线的交点，即为位似中点O.　　　　　 (2)∵ ，　　　　　　　∴ △ABC与△的位似比为1：2.　　　　　 (3)如图所示，此时.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 综合探究　　14.解：(1)过C点向x轴作垂线，垂足为点D，由位似图形性质，可知△ABO∽△ACD，　　　　　　　∴ .　　　　　　　由已知、.　　　　　　　可知AO=4，BO=4，∴ AD=CD=9.　　　　　　　∴ C点坐标为(5，9).直线BC的解析式为.　　　　　 (2)设抛物线解析式为，　　　　　　　由题意，得　　　　　　　解得 或　　　　　　　∴ 抛物线解析式为或　　　　　　　又∵ 抛物线的顶点在x轴负半轴上，不合题意，故舍去.　　　　　　　∴ 满足条件的抛物线解析式为.　　　　　　　图象如图所示.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
相似单元测试　　　　　　　　　　　　　　　　　　(时间:90分钟，满分:100分)单元测试一、选择题(每题3分，共36分)　　1.下列两个图形:①两个等腰三角形；②两个直角三角形；③两个正方形；④两个矩形；⑤两个菱形；　　　⑥两个正五边形. 其中一定相似的有( )　　A.2组　　　 B.3组　　　 C.4组 　　　D.5组 　　2.如图，在正方形网格上有6个斜三角形:①△ABC，②△BCD，③△BDE，④△BFG，⑤△FGH，　　　⑥△EFK，其中②～⑥中与三角形①相似的是( )　　A.②③④ 　　　B.③④⑤　　　 C.④⑤⑥　　　 D.②③⑥　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　3.应中共中央总书记胡锦涛同志的邀请，中国国民党主席连战先生、亲民党主席宋楚瑜先生分别从台湾　　　来大陆参观访问，先后来到西安，都参观了新建成的“大唐芙蓉园”，该园占地面积约为800000m2，　　　若按比例尺1:2000缩小后，其面积大约相当于( )　　A.一个篮球场的面积 　　　　　　　　　　B.一张乒乓球台台面的面积　　C.《陕西日报》的一个版面的面积 　　　　D.《数学》课本封面的面积 　　4.如图，小明设计两个直角，来测量河宽BC，他量得AB=2米，BD=3米，CE=9米，则河宽BC为( )　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　A.5米　　　 B.4米 　　　C.6米　　　 D.8米 　　5.如图，已知等腰△ABC中，顶角∠A=36°，BD为∠ABC的平分线，则的值等于( )　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　A.　　　 B.　　　 C.1 　　　D. 　　6.如果整张报纸与半张报纸相似，则此报纸的长与宽的比是( )　　A.2:1 　　　B.　　　 C.4:1 　　　D. 　　7.△ABC的面积被平行于BC的两条线段三等分，如果BC=12cm，那么这两条线段中较短的一条的长是( )　　A.8cm 　　　B.6cm 　　　C.　　　 D. 　　8.如图，梯形ABCD中，AB∥CD，∠A=90°，E在AD上，且CE平分∠BCD，BE平分∠ABC，则下列关系式中　　　成立的有( )　　　①； ②； ③ ；④CE2=CD×BC； ⑤BE2=AE×BC.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　A.2个 　　　B.3个 　　　C.4个 　　　D.5个 　　9.下列说法:①位似图形都相似；②位似图形都是平移后再放大(或缩小)得到；③直角三角形斜边上的　　　中线与斜边的比为1:2；④两个相似多边形的面积比为4:9，则周长的比为16:81中，正确的有( )　　A.1个 　　　B.2个　　　 C.3个 　　　D.4个 　　10.如图，点M在BC上，点N在AM上，CM=CN，，下列结论正确的是( )　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　A.△ABM∽△ACB 　　　B.△ANC∽△AMB　　　C.△ANC∽△ACM　　　 D.△CMN∽△BCA 　　11.在直角坐标系中，已知点A(-2，0)，B(0，4)，C(0，3)，过C作直线交x轴于D，使以D、O、C为顶点　 　　的三角形与△AOB相似.这样的直线最多可以作( )　　A.2条 　　　B.3条 　　　C.4条　　　 D.6条 　　12.(淄博)如图，路灯距地面8米，身高1.6米的小明从距离灯的底部(点O)20米的点A处，沿OA所在的直　 　　线行走14米到点B时，人影的长度( )　　　　　　　　　　　　　　　A.增大1.5米　　　 B.减小1.5米　　　 C.增大3.5米　　　 D.减小3.5米 二、填空题(每题3分，共24分)　　13.在相同时刻的物高与影长成比例.小明的身高为1.5米，在地面上的影长为2米，同时一古塔在地面上的影长为40米，则古塔高为________. 　　14.(江苏常州)如图，在△ABC中，D、E分别是AB和AC中点，F是BC延长线上一点，DF平分CE于点G，CF=1，则BC=_______，△ADE与△ABC的周长之比为_______，△CFG与△BFD的面积之比为________.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　15.已知D、E两点分别在△ABC的边AB、AC上，DE∥BC，且△ADE的周长与△ABC的周长之比为3:7，则AD:DB=________. 　　16.△ABC三边的长分别是2cm、3cm、4cm，与其相似的△DEF的最短边是8cm，那么它的最长边的边长是________. 　　17.(湖南岳阳)如图，要使△ACD∽△ABC，只需添加条件_______(只要写出一种合适的条件即可).　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　18.如图是幻灯机的工作情况，幻灯片与屏幕平行，光源距幻灯片30cm，幻灯片距屏幕1.5m，幻灯片中的小树高8cm，则屏幕上的小树高是______.　　　　　　　　　　　　　　 　　19.如图，在△ABC中，点D在线段BC上，∠BAC=∠ADC，AC=8，BC=16，那么CD=______.　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　20.如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AC、BD交于O点，S△AOD:S△COB=1:9，则S△DOC:S△BOC=_______.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 三、解答题(第21题～24题每题6分，第25、26题每题8分，共40分)　　21.(湖北荆州)如图，梯形ABCD中，∠A=∠B=90°，且AD=AB，∠C=45°，将它分割成4个大小一样，都与原梯形相似的梯形(在图形中直接画分割线，不需要说明)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　22.(苏州)如图，梯形ABCD中，AB∥CD，且AB=2CD，E、F分别是AB、BC的中点，EF与BD相交于点M.(1)求证:△EDM∽△FBM；(2)若DB=9，求BM.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　23.如图，在离树AB的3米远处竖一长2米的杆子CD，站在离杆子1米远EF处的人刚好越过杆顶C看到树顶A，这个人高EF=1.5米，求树高.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　24.在《九章算术》“勾股”章中有这样一个问题:　　“今有邑方不知大小，各中开门，出北门二十步有木，出南门十回步，折而西行一千七百七十五步见木.问邑方几何.”　　用今天的话说，大意是:如图，DEFG是一座正方形小城，北门H位于DG的中点，南门K位于EF的中点，出北门20步到A处有一树木，出南门14步到C，再向西行1775步到B处，正好看到A处的树木(即点D在直线AB上)，求小城的边长.　　　　　　　　　　　　　　　　 　　25.一块直角三角形木板，一直角边是1.5米，另一直角边长是2米，要把它加工成面积最大的正方形桌面，甲、乙二人的加式方法分别如左图和右图所示，请运用所学知识说明谁的加工方法符合要求.　　　　　　　　　　　　　　　 　　26.如图，在矩形ABCD中，AB=12cm，BC=6cm，点P沿AB边从点A开始向点B以2cm/s的速度移动，点Q沿DA边从点D开始向A以1cm/s的速度移动.如果P、Q同时出发，用t秒表示移动的时间(0≤t≤6)那么:　　(1)当t为何值时，△QAP为等腰直角三角形？　　(2)对四边形QAPC的面积，提出一个与计算结果有关的结论；　　(3)当t为何值时，以点Q、A、P为顶点的三角形与△ABC相似？　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 答案与解析一、选择题
1.A 提示:③⑥；　　2.B 　　3.C 提示:面积比相似比的平方；　　4.B 提示:由题意知△ABD∽△ACE，；　　5.B 提示:AD=BD=BC，△ABC∽△BCD；　　6.B 提示:根据题意设报纸的长为x，宽为y，有；　　7.C 提示:面积比相似比的平方；　　8.B 提示:②③④成立；　　9.B 提示:①③正确；　　10.B 提示:由CM=CN，∴∠CMN=∠CNM，∴∠AMB=∠ANC，又，　　　　　　　∴△ANC∽△AMB；　　11.C 提示:如图:　　　　　　　　　　　　　　　12.D 提示:设AM=x，BN=y，. 二、填空题　　13.30米 提示:设古塔高为h，；　　14.2，1:2，1:6 　　15.3:4 　　16.16cm 　　17.∠1=∠ABC或∠2=∠ACB或AC2=AD·AB(答案不唯一) 　　18.48cm 　　19.4 　　20.1:3 提示:∵S△AOD:S△COB=1:9，，∵△AOD与△DOC等高，∴S△AOD:S△DOC=1:3，　　　　　　　　∴S△DOC:S△BOC=1:3. 三、解答题　　21.如图　　　　　　　　　　　　 　　22.(1)证：∵E是AB的中点，　　　　　　　∴AB=2EB，∵AB=2CD，∴CD=EB.　　　　　　　又AB∥CD，∴四边形CBED是平行四边形.　　　　　　　∴CB∥DE，∴ ∴△EDM∽△FBM.　　　 (2)解：∵△EDM∽△FBM，∴.　　　　　　　∵F是BC的中点，　　　　　　　∴DE=2BF.∴DM=2BM.∴BM=DB=3. 　　23.3.5米　　提示:延长AE、BF交于点P，由由.　　　　　　　　　　　　　　 　　24.解：设小城的边长为x步，根据题意，Rt△AHD∽Rt△ACB，　　　　　 因为有，即，　　　　　 去分母并整理，得x2+34x-71000=0，解得x1=250，x2=-284(不合题意，舍去)，　　　　　 所以小城的边长为250步. 　　25.乙加工的方法合理.　　　 提示:设甲加工桌面长xm，　　　 　　 过点C作CM⊥AB，垂足是M，与GF相交于点N，　　　 　　 由GF∥DE，可得三角形相似，　　　 　　 而后由相似三角形性质可以得到CN:CM=GF:AB，即(CM-x):CM=x:AB.　　　 　　 由勾股定理可得AB=2.5，由面积相等可求得CM=1.2，　　　 　　 故此可求得x=；　　　 　　 设乙加工桌面长ym，　　　 　　 由FD∥BC，得到Rt△AFD∽Rt△ACB，　　　 　　 所以AF:AC=FD:BC，即(2-y):2=y:1.5，解得y=，　　　 　　 很明显x＜y，故x2＜y2，所以乙加工的方法符合要求. 　　26.(1)对于任何时刻t，AP=2t，DQ=t，QA=6-t，　　　　　当QA=AP时，△QAP是等腰直角三角形，即6-t=2t，t=2秒.　　 　(2)S△QPC=S△QAC+S△APC =(36-6t)+6t=36cm2，　　　　　在P、Q两点移动的过程中，四边形QAPC的面积始终保持不变(或P、Q两点到对角线AC的距离之和　　　　　保持不变)　　　 (3)分两种情况:　　　　　①当时△QAP∽△ABC，则从而t=1.2，　　　　　②当时△PAQ∽△ABC，则从而t=3.
图形的相似　　　　　　　　　　　　撰稿：庄永春　　 审稿：严春梅　　 责编：张杨一、目标认知学习目标　　1．能通过生活中的实例认识图形的相似，能通过观察直观地判断两个图形是否相似；　　2．了解比例线段的概念及有关性质，探索相似图形的性质，知道两相似多边形的主要特征：对应角相等，对应边的比相等.明确相似比的含义；　　3．知道两个相似的平面图形之间的关系，会根据相似多边形的特征识别两个多边形是否相似，并会运用性质进行相关的计算，提高推理能力. 重点　　探索相似图形的性质：对应角相等，对应边的比相等. 难点　　会根据相似多边形的特征识别两个多边形是否相似. 二、知识要点梳理1.相似图形的概念　　我们把形状相同的图形称为相似图形(similar figures).　　要点诠释：　　理解相似图形的概念要注意以下两点：
(1)相似图形就是指形状相同，但大小不一定相同的图形；　　(2)“全等”是“相似”的一种特殊情况，即当“形状相同”且“大小相同”时，两个图形是全等的； 2.成比例线段　　对于四条线段，如果其中两条线段的比(即它们长度的比)与另两条线段的比相等，如(即)，我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段(proportional segments).　　要点诠释：　　(1)四条线段成比例记作或，不能写成其它形式，即比例线段有顺序　 　　性；　　(2)若，则，线段叫线段的比例中项；　　(3)或中，叫的第四比例项. 3.相似多边形(similar polygons)(1)相似多边形的特征：　　相似多边形的对应角相等，对应边的比相等. (2)相似多边形的识别：　　如果两个多边形的对应角相等，对应边的比相等，那么这两个多边形相似.　　要点诠释：　　判断两个多边形相似，必须同时具备：　　①边数相同；　　②对应角相等；　　③对应边的比相等. (3)相似比：　　我们把相似多边形对应边的比称为相似比(similarity ratio). 三、规律方法指导　　1.相似多边形的特征：　　对应角相等，对应边的比相等.　　2.判别两个多边形相似的方法：　　边数相等、对应角相等、对应边的比相等.　　3.常见思维误区：　　容易找错对应边，错误地判断两个多边形相似；把形状看起来较像的图形认为是形状相同的图形.
经典例题透析类型一、相似的识别　　1．指出下列各组图中，哪组肯定是相似形__________：　　(1)两个腰长不等的等腰三角形　　(2)两个半径不等的圆　　(3)两个面积不等的矩形　　(4)两个边长不等的正方形　　思路点拨：　　(1)等腰三角形的形状不一定相同，因此两个腰长不等的等腰三角形不一定相似；(3)中面积不等的两个矩形，虽然它们的边数相同，对应角相等，但对应边的比不一定相等，所以无法确定它们一定相似；而(2)(4)中两个半径不等的圆与两个边长不等的正方形都是形状完全相同的图形，是相似形.　　答案：(2)(4).　　总结升华：识别两个图形是否是相似形，可以从形状来识别，对于多边形，也可以用“对应角相等，对应边的比相等”来识别.　　举一反三　　【变式1】两个等边三角形一定是相似形吗？　　解答：等边三角形的三个内角都是60°，两个等边三角形的内角是完全一样的，只会有边长上的差别，因而两个等边三角形的形状一定是相同的，只是大小不同，因此它们是相似的.　　【变式2】如图，左边是一个横放的长方形，右边的图形是把左边的长方形各边放大两倍，并竖立起来以后得到的，这两个图形是相似的吗？　　　　　　　　　　　　　　　　　　　解答：这两个图形是相似的，这两个图形形状是一样，虽然它们的摆放方法、位置不一样，但这并不会影响到它们相似性. 　　【变式3】如果两个四边形的对应边成比例，能不能得出这两个四边形相似？为什么？　　思路点拨：从我们日常生活的直观经验中可以得出结论.　　解：两个四边形对应边成比例，这两个四边形不一定相似，如下图，边长是6的正方形和边长是2的菱形，它们对应边之比都是3，但它们形状并不一样，因而也不相似.　　　　　　　　　　　　　　　　 类型二：比例线段　　2.下列四组线段中，成比例线段的有( )　　A.3cm、4cm、5cm、6cm　　　　 B.4cm、8cm、3cm、5cm　　C.5cm、15cm、2cm、6cm　　　　D.8cm、4cm、1cm、3cm　　思路点拨：根据成比例线段的定义。　　解：四个选项中只有，故选C.　　举一反三　　【变式1】若线段，且是成比例线段，则=_______.　　思路点拨：根据成比例线段定义.　　解：由是成比例线段，. 　　3.已知在一张比例尺为1：20000的地图上，量得A与B两地的距离是5cm，求A、B两地的实际距离.　　思路点拨：比例尺=图上距离：实际距离.　　解：设A、B两地的实际距离为x，则　　答：A、B两地的实际距离为100000cm，即1000m. 类型三、相似的性质　　4. 如图所示，ABCD和A′B′C′D′是两个相似的四边形，A与A′，B与B′，C与C′，D与D′分别是它们的对应点，试写出两个图中的等量关系，比例关系.　　　　　　　　　　　　　　　　　思路点拨：利用相似形的特征写出对应的关系即可.　　解：由ABCD和A′B′C′D′是相似的，所以它们的对应边成比例，对应内角相等，即有：　　　　，　　　　　　　　.　　总结升华：　　相似多边形对应角相等，对应边的比相等. 　　举一反三　　【变式1】如图，已知四边形相似于四边形，求四边形的周长.　　　　　　　　　　　　　　思路点拨：先根据相似多边形的对应边的比相等，求出四边形的未知边的长，然后即可求出该四边形的周长.　　解：∵四边形相似于四边形　　　　∴，即　　　　∴　　　　∴四边形的周长. 　　【变式2】等腰梯形与等腰梯形相似，，求出的长及梯形各角的度数.　　思路点拨：利用相似多边形的对应角相等、对应边的比相等的性质和等腰梯形的性质.　　解：∵等腰梯形与等腰梯形相似　　　　 类型四、相似多边形的应用　　5.某小区有一块矩形草坪长20米，宽10米，沿着草坪四周要修一宽度相等的环形小路，使得小路内外边缘所成的矩形相似，你能做到吗？若能，求出这一宽度；若不能，说明理由.　　思路点拨：设小路的宽度为x米，则小路的外边缘围成的矩形的长为(20+2x)米，宽为(10+2x)米，而草坪的长为20米，宽为10米.分别比较它们的长和宽，若比值相等，就能做到，若比值不相等，就做不到.　　解：设小路宽为x米，则小路的外边缘围成的矩形的长为(20+2x)米，宽为(10+2x)米，将两个矩形的长与宽分别相比，得长的比为，而宽的比为，很明显，所以做不到.　　总结升华：通过本题的探索可以发现：把一个矩形的长和宽同时增加或减小相同的长度，所得矩形与原来矩形一定不相似.因为. 　　举一反三　　【变式1】如图，依次连接一个正方形各边的中点所形成的四边形与正方形相似吗？若相似，求出相似比；若不相似，说明理由.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　思路点拨：要探究正方形是否与四边形相似，需知道四边形是否是正方形，若是正方形，则两正方形一定相似，若不是正方形，则不相似，因为所有的正方形都是相似的.　　解：设正方形的边长为，由题意可知，　　　　 　　　　 同理　　　　 由，可得　　　　 同理　　　　 ，四边形是正方形　　　　 ∴正方形与正方形相似，　　　　 即两正方形的相似比是.　　总结升华：判断两个多边形是否相似，就是看它们的形状是否相同，或是看对应角是否相等，对应边的比是否相等.本题只需判断四边形是正方形即可. 　　6.从一个矩形中剪去一个尽可能大的正方形，如图所示，若剩下的矩形与原矩形相似，求原矩形的长与宽的比.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　思路点拨：根据矩形相似的性质找出相应的解析式求解.　　解：设原矩形的长为x，宽为y，则剩下矩形的长为y，宽为x-y　　　　 由题意，得　　　　 令则，　　　　 .又，　　　　 ∴原矩形的长与宽之比为.　　总结升华：根据原矩形与剩下的矩形相似找出对应边，写出比例式，使问题得以解决. 　　举一反三　　【变式1】市场上供应的某种纸有如下特征：每次对折后，所得的长方形均和原长方形相似，则纸张(矩形)的长与宽应满足什么条件？　　思路点拨：如图，为了方便分析可先画出草图，根据题意知两个矩形的长边之比应等于短边之比.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　解：设矩形的长为，宽为，由相似多边形的特征得　　　　　　　　，即纸张的长与宽之比为.
学习成果测评基础达标一、选择题
1.下列命题正确的是(　　)　　A.所有的等腰三角形都相似 　　　B.所有的菱形都相似　　C.所有的矩形都相似 　　　　　　D.所有的等腰直角三角形都相似 　　2.用放大镜把图形放大，应该属于(　　)　　A.相似变换 　　　B.平移变换 　　　C.对称变换　　　 D.旋转变换 　　3.下列四条线段中，不能成比例的是(　　)　　A.a=2，b=4，c=3，d=6　　　　　B.a=，b=，c=1，d=　　C.a=6，b=4，c=10，d=5　　　　 D.a=，b=2，c=，d=2 　　4.已知a、b、c、d是四条成比例线段，a=2cm，b=5cm，c=4cm，则d等于(　　)　　A.10cm 　　　B.8cm 　　　C.6cm 　　　D.3cm 　　5.在比例尺为1︰1 000 000的地图上，相距3cm的两地，它们的实际距离为(　　)　　A.3 km　　　B.30 km　　　C.300 km　　　D.3 000 km　　6.一个三角形三边的长分别为3，5，7，另一个与它相似的三角形的最长边是21，则此三角形其它两边　　　的和是（　　）　　A．19 　　B．17 　　C．24 　　D．21二、填空题　　7.两地实际距离为1 500 m，图上距离为5 cm，这张图的比例尺为_______.　　8.小明有一张的地图，他想绘制一幅较小的地图，若新地图宽为30cm，则新地图长　　　为_________cm.　　9.四边形的四条边长分别为54cm、48cm、63cm、45cm，另一个和它相似的四边形最短边长为15cm，则这　　　个四边形最长边为_________cm.　　10.若，则________.
三、解答题　　11.已知四边形与四边形相似，且.四边形的周长为26.求四边形的各边长. 　　12.如图所示的相似四边形中，求未知边x、y的长度和角的大小.　　　　　　　　　　　　　　　　 能力提升一、选择题　　1.已知△ABC的三边长分别为6cm、7.5cm、9cm，△DEF的一边长为4cm，当△DEF的另两边的长是下列哪一组时，这两个三角形相似(　　)　　A.2cm，3cm 　　　B.4cm，5cm 　　　C.5cm，6cm 　　　D.6cm，7cm 　　2.如图，△ABC与△ACD相似，则下列式子中正确的是(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　A.AC2=AB·CD 　　　B.AC2=AD·BC 　　　C.AC2=AD·BD 　　　D.AC2=AB·AD 　　3.某学习小组在讨论“变化的鱼”时，知道大鱼与小鱼是相似图形，如图所示，则小鱼上的点(a，b)对应大鱼上的点(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　A.(-2a，-2b)　　　 B.(-a，-2b)　　　 C.(-2b，-2a) 　　　D.(-2a，-b) 　　4.△ABC与△A1B1C1相似且相似比为，△A1B1C1与△A2B2C2相似且相似比为，则△ABC与△A2B2C2的相似比为 (　　)　　A.　　　B.　　　C.或　　　D. 二、填空题　　5.△ABC的三条边长分别为、2、，△A′B′C′的两边长分别为1和，且△ABC与　　　△A′B′C′相似，那么△A′B′C′的第三边长为_____________.　　6.如果△ABC与△A′B′C′相似且相似比是k1，△A′B′C′与△ABC相似且相似比是k2，则k1与k2的关　　　系为__________.　　7.如图，△ABC与△ACD相似，其中∠1=∠B，则==.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 三、解答题　　8.如图，有一个正六边形花园，由宽为30cm的砖墙围成，砖墙的外缘与内缘所成的两个大小不等的正六边形相似吗？　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 综合探究　　如图，在矩形ABCD中，AB=2AD，线段EF=10，在EF上取一点M，分别以EM、MF为一边作矩形EMNH、MFGN，使矩形MFGN与矩形ABCD相似.令MN=x，当x为何值时，矩形EMNH的面积S有最大值？最大值是多少？　　　　　　　　　　　　　　 答案与解析基础达标一、选择题　　1.D　　2.A　　3. C 提示：求出最长与最短的两条线段长的积，以及余下两条线段长的积，看所得积是否相等来鉴别　 　　　它们是否成比例.　　4.A 解析：.　　5.B 提示：图上距离︰实际距离=1︰1 000 000.　　6.C 提示：相似三角形对应边的比相等. 二、填空题　　7.1：30 000 提示：比例尺=图上距离︰实际距离.　　8.40 提示：两地图形状相同，是相似形，所以它们对应边的比相等.　　9.21 解析：设这个四边形最长边为xcm，则，解得x=21.　　10. 解析：由可得，故填. 三、解答题　　11.解：∵四边形与四边形相似，且　　　　　 .　　　　　 又∵四边形的周长为26　　　　　 　　　　　 即四边形的四边长为：. 　　12.解：根据题意，两个四边形是相似形，得　　　　　 ，解得　　　　　 .
能力提升一、选择题　　1.C 解析：设△DEF的另两边的长分别为xcm，ycm，因为△ABC与△DEF相似，所以有下列几种情况：　　　　　　　当时，解得；　　　　　　　当时，解得；　　　　　　　当时，解得；所以选C.　　2.D 解析：相似图形的对应边的比相等，.　　3.A 解析：由图可知，小鱼和大鱼的相似比为1：2，若将小鱼放大1倍，则小鱼和大鱼关于原点对称.　　4.A 提示：相似比AB︰A1B1=，A1B1︰A2B2=，计算出AB︰A2B2. 二、填空题　　5. 提示：△A′B′C′已知两边之比为1：，在△ABC中找出两边、，它们长度之比也　　　　　　　　为1︰，根据相似三角形对应边的对应关系，求出相似比.　　6.k1·k2=1 提示：利用相似三角形的相似比的定义.　　7.== 提示：根据对应角寻找对应边. 三、解答题　　8.解：相似.理由：因为围墙内缘和外缘都是正六边形，所以它们的内角都相等，即对应角相等；又因　　　　　为内缘正六边形各边相等，外缘正六边形各边也相等，所以对应边的比相等，所以，两个正六边　　　　　形相似. 综合探究　　解：∵矩形MFGN与矩形ABCD相似　　　　　　　　当时，S有最大值，为.
实数和代数式
　　一、重点、难点提示： 　　1.相反数 　　实数a的相反数是-a，零的相反数是零。 　　（1）a,b互为相反数a+b=0。 　　（2）在数轴上表示相反数的两点关于原点对称。
　　2.绝对值
　　|a|=
　　3. 算术根 　　（1）正数a的正的n次方根叫a的n次算术根，零的算术根仍是0。
　　（2）实数的三个非负性：|a|≥0, a2≥0, ≥0(a≥0)。
　　4.科学记数法 　　把一大于10的数记成a×10n的形式，其中1≤a<10。这种记数法叫做科学记数法。一个数的科学记数法中，10的指数比原数的整数位数少1。
　　5.幂的运算法则：（m,n为正整数）
　　am·an=am+n, (am)n=amn, (ab)n=anbn； 　　am÷an=am-n(a≠0, m>n)
　　6.乘法公式：
　　(a+b)(a-b)=a2-b2； (a±b)2=a2±2ab+b2；
　　7.零指数和负整数指数：
　　规定a0=1(a≠0) ，a-p=(a≠0且p为正整数)
　　8.二次根式的主要性质
　　(1)()2=a (a≥0).
　　(2)=|a|=
　　注意：根式的化简相当于绝对值的化简，所以应养成化简时加绝对值的习惯，先完成这种转化，不易出错。
　　(3)=·(a≥0, b≥0)。
　　(4)(b≥0,a>0)。
　　二、重点例题分析
　　例1．解答下列各题　　（1）已知|a|=8, |b|=2, |a-b|=b-a, 求a+b的值。 　　（2）已知a>0, b<0, |b|>|a|, 试用“<”将a、b、-a、-b连结起来。
　　解：（1）∵|a|=8, ∴a=±8；
　　∵ |b|=2, ∴b=±2；
　　又∵|a-b|=b-a, ∴b-a≥0, ∴b≥a。
　　因此b取+2, a取-8, 或b取-2, a取-8。
　　当b=2, a=-8时, a+b=(-8)+2=-6。
　　当b=-2, a=-8时, a+b=(-8)+(-2)=-10。
　　（2）b<-a　　说明（1）这里应注意绝对值定义的正确应用，若|a|=3,则a=±3,不要漏了-3；还应注意运用|a-b|=b-a这个条件进行分析，不要漏解和多出解来。
　　（2）解涉及有理数的绝对值、大小比较等问题时，数轴是一个十分有效的工具。　　 　　
　　画数轴，先由已知条件确定a、b所对应的点A、B，a>0，A在原点右边，b<0，B在原点左边，|b|>|a|表示B到原点的距离大于A到原点的距离，再依相反数的概念找出-a,-b所对应的点，如图所示，
　　显然有：b<-a　　此题还可用特殊值法求解。设a=2,b=-3,所设数字一定要符合a>0, b<0, |b|>|a|的条件，那么a=2, -a=-2, b=-3, -b=3。 ∴从小到大的顺序为-3，-2，2，3。即b<-a　　例2、计算下列各题 　　（1）(-)-2+； 　　（2）[·(3-2)]-1+(-)8÷×3
　　解：（1）原式＝9＋
　　（2）原式=[×(3-2)]-1+×3×3 　　　　 　　=[]-1+ 　　　　 　　=(-1)-1+　　　　　　 =-1+　　　　　　 =-
说明：在综合运算中搞清各种运算的意义，如乘方运算的底，负指数，零指数的意义及特殊角的三角函数值等。计算前要仔细审题，一是注意运算的顺序，不要跳步；二是灵活地运用法则，能选择简便运算的要尽可能地采用简便运算；三要特别注意运算符号是否出错。
　　例3、计算机存储容量的基本单位是字节，用b表示，计算机中一般用Kb(千字节)或Mb（兆字节）或Gb（吉字节）作为存储容量的计量单位，它们之间的关系为1kb=210b, 1Mb=210Kb, 1Gb=210Mb。 一种新款电脑的硬盘存储容量为20Gb，它相当于多少Kb? (结果用科学记数法表示，并保留三个有效数字)
　　析解：本题目一方面考查近似数和科学记数法，另一方面考查学生收集和处理信息的能力。
　　解答时，考生直接根据题中所提供的几个单位的换算关系，不难求出20Gb=20×210Mb=20×210×210Kb=20×1024×1024Kb≈2.10×107Kb。
　　例4、给出下列算式： 　　32-12=8=8×1， 　　52-32=16=8×2， 　　72-52=24=8×3， 　　92-72=32=8×4， 　　……观察上面一系列等式，你能发现什么规律？用代数式来表示这个规律。
　　分析：观察等式，不难发现其规律：两个相邻的奇数的平方差是8的倍数。由此，设n为自然数，则相邻的两个奇数为2n-1和2n+1，用代数式表示为(2n+1)2-(2n-1)2=2×4n=8n。
　　说明：本题以列代数式为载体，体现了用字母表示数的简明性和普遍性，蕴含着一种数学简洁的美。同时可考查学生的观察能力和抽象概括能力，渗透从特殊到一般的辩证关系。
例5、把下列多项式分解因式 　　（1）2xn+1-6xn+4xn-1 (n为自然数)； 　　（2）(ab+1)2-(a+b)2； 　　（3）x3+x2-x-1。
　　解：（1）原式=2xn-1(x2-3x+2)=2xn-1(x-1)(x-2)。
　　（2）原式=(ab+1+a+b)(ab+1-a-b) 　　　　　　 =[(ab+a)+(b+1)][(ab-a)+(1-b)] 　　　　　　 =(a+1)(b+1)(a-1)(b-1)
　　（3）原式=(x3+x2)-(x+1)=x2(x+1)-(x+1) =(x+1)(x2-1)=(x+1)2(x-1)
　　说明：分解因式的一般思路是：“一提、二套、三分组”。一提是指首先考虑能否提取公因式，其次考虑能否套用公式，最后考虑分组分解，分组分解的关键是在于分组后是否有公因式可提或是否能套用公式来进一步分解。
例6、（1）判断下列各式是否成立，你认为成立的请在括号内打“√”，不成立的打“×”
　　①=2（　）　　　②=3（　）
　　③=4（　）　　④=5（　）
　　（2）你判断完以上各题之后发现了什么规律？请用含有n的式子将规律表示出来，并注明n的取值范围________。
　　（3）请用数学知识说明你所写式子的正确性。
　　分析：本题是一道归纳猜想型试题；能较好地考查学生的归纳—猜想—验证的思维过程。
　　答：（1）①②③④正确；
　（2）=n；n为大于1的自然数。
　　（3）===n。
　　例7、阅读下面一道题的解答过程，判断是否正确，如若不正确，请写出正确的解答过程。　　化简：-a2·+。
　　解：原式=a-a2·+a　　　　　　=a-a+a 　　　　　　=0+a　　　　　　=a
　　答：上述解答过程有错误，正确解答如下：
　原式=+|a|=|a|·-a2··+|a|　　∵－a>0, ∴a<0。
　　原式=-a·+a-a=-a。
　　说明：这道题隐含着条件a<0是解此题的关键，而a<0时，|a|=-a。这一点是该题错误的根本原因；另外，在化简时，注意计算逻辑要严谨。
　　例8、化简求值： 　　已知x=, y=, 求3x2-5xy+3y2的值。
　　∵x==5-2, y==5+2,
　　∴ x+y=10, xy=1
　　∴ 3x2-5xy+3y2=3(x+y)2-11xy=3×102-11=289。
　　说明：二次根式的化简、求值是一个难点。求代数式的值，采用变形后整体代入再进行计算，可使问题解答简捷。
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　　选择题　　1．（四川省）-|-2|的相反数是（　） 　 A、-　　 B、　　 C、-2　　 D、2
　　2．（陕西）的平方根是（　） 　 A、±4　　 B、±2　　 C、±　　 D、4
　　3．（宁波市）把27430按四舍五入取近似数，保留两个有效数字，并用科学记数法表示是（　） 　 A、2.8×104　　 B、2.8×103　　 C、2.7×104　　 D、2.7×103
　 4．（山西省）实数a,b,c在数轴上的位置如图所示，化简|a+b|-|c-b|结果为（　） 　 A、a+c　　 B、-a-2b+c　　 C、a+2b-c　　 D、-a-c
　　5．（内蒙古自治区）如果-2≤x≤2, y=|x+2|+()2+，则y可化简为（　） 　 A、x+4　　 B、8-x　　 C、x　　 D、3x-4
　　6．（广州市）2m·4n=(　 ) 　 A、(2×4)m+n　　 B、2·2m+n　　 C、2n·2mn　　 D、2m+2n
　　7．（天津市）若a，b是实数，则下列四个命题中，正确的命题是（　） 　 A、若a≠b,则a2≠b2　 　 B、若a>|b|, 则a2>b2 　 C、若|a|>|b|, 则a>b　　 D、若a2>b2, 则a>b
　8．（山东省）()-2、(-2)-1与20的大小关系是（　） 　 A、()-2>20>(-2)-1　　 B、()-2>(-2)-1>20 　 C、20>(-2)-1>()-2　　 D、20>()-2>(-2)-1
9．（青岛市）计算：()×()-2÷|-|+(-)0-(0.25)1999×41999的结果是（　） 　 A、9　　 B、10　　 C、11　　 D、12
10．（陕西省）a,b两负数在数轴上的位置如图所示，M=a+b, N=-a+b, H=a-b, G=-a-b，则下列不等式正确的是（　） 　
A、G>H>M>N　　 B、G>N>M>H　　 C、G>M>N>H　　 D、G>N>H>M
方程和不等式
一、重点、难点提示：
　　1.一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c=0(a、b、c是常数，a≠0)。在解一元二次方程，应按方程特点选择方法，各方法依次为：（1）直接开平方法；（2）配方法；（3）公式法；（4）因式分解法。一元二次方程的求根公式是：x=(b2-4ac≥0)。（注意符号问题）
　　2.解分式方程的基本思想是：将分式方程转化为整式方程，转化的方法有两种：（1）去分母法；（2）换元法。
　　3.一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式Δ=b2-4ac。　　当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根x1=,x2=；　　当Δ=0时，方程有两个相等的实数根x1=x2=-；当Δ<0时，方程没有实数根。
　　4.若一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个实数根为x1,x2,则x1+x2=-, x1x2=。（注意两根的和是的相反数）。以x1,x2为根的一元二次方程是x2-(x1+x2)x+x1x2=0。
　　5. 不等式的解法： 解一元一次不等式和解一元一次方程类似。不同的是：一元一次不等式两边同乘以（或除以）同一个负数时，不等号的方向必须改变。
　　6.由两个一元一次不等式组成的一元一次不等式组的解集的四种情况见下表：
不等式组 (a图 示
解 集
口 诀
x≥b
大大取大
x≤a
小小取小
a≤x≤b
大小、小大中间找
空集
小小、大大找不到
　　二、例题分析：　　例1.解不等式组，并把它的解集在数轴上表示出来。
　　说明：不等式组的解集是不等式组中各个不等式解集的公共部分，通常借助数轴来确定其解集，这样既直观又不易错。注意除以负数时，改变不等号的方向。
　　解：解不等式3(x-2)+8>2x，得x>-2
　　解不等式≥x-, 　　　　　　　　　
　　得 x≤-1。
　　所以不等式组的解集是 -2　　它在数轴上表示如右图所示。
　　例2.解不等式组，并写出不等式组的整数解。
　　说明：求一元一次不等式组的整数解时，先求出不等式组的解集，再按要求取特殊解。
　　解：解不等式3(x+1)>4x+2, 得x<1。
　　解不等式 ≥， 得x≥-2。
　　所以不等式组的解集是：-2≤x<1。
　　所以不等式组的整数解是：-2，-1，0。
　　例3.已知方程(m-2)+(m+2)x+4=0是关于x的一元二次方程。求m的值，并求此方程的两根。
　　分析：根据一元二次方程的定义，未知数x的最高次数是2，而且二次项的系数不能为0，所以m2-2=2，且m-2≠0。于是可求m的值,进而求得方程的解。
　　解：（1）依题意，得m2-2=2,且m-2≠0。
　　∴ m=±2, 且m≠2。 ∴m=-2。
　　（2）把m=-2代入原方程，整理得(x-5)2=1
　　∴ x-5=±1, ∴x1=4, x2=6。
　　例4.已知x是实数，且-(x2+3x)=2，那么x2+3x的值为（　） 　　A、1　　 B、-3或1 　　C、3 　　D、-1或3
　　误解：设x2+3x=y, 则原方程可变为-y=2, 即y2+2y-3=0。　　∴y1=-3, y2=1。
　　∴ x2+3x=-3或1。故选B。
　　剖析：因为x为实数，所以要求x2+3x=-3和x2+3x=1有实数解。当x2+3x=-3时，即是x2+3x+3=0，此时Δ=32-4×1×3<0，方程无实数解，即 x不是实数，与题设不符，应舍去；当x2+3x=1时，即是x2+3x-1=0，此时Δ=32-4×1×(-1)>0，方程有实数解，即x是实数，符合题设，故x2+3x=1。
　　正确答案：选A。
　　说明：此题由解分式方程衍变而来，大大增加了错误机会，解题时，若忽视“实数”这个题设条件，将求得的值不加检验直接写出，则前功尽弃。
　　例5.解下列方程：　　（1）=1，　　（2）x2+x-+1=0。
　　分析（1）宜用去分母法解；（2）宜用换元法，可设x2+x=y，将原方程变为y-+1=0，先求出y，再求出x。　　解（1）原方程即为+-=1
　　去分母，得x-2+4x-2(x+2)=(x+2)(x-2)。
　　整理，得x2-3x+2=0。
　　∴ x1=1, x2=2。
　　经检验x=1是原方程的根，x=2是增根，
　　∴ 原方程的根是x=1。
　　（2）设x2+x=y,则原方程可变为y-+1=0。
　　∴ y2+y-6=0,　 ∴y1=-3, y2=2
　　当y=-3时，x2+x=-3, x2+x+3=0, 此方程无实数根，
　　当y=2时，x2+x=2, x2+x-2=0, x1=-2, x2=1。
　　经检验,x1=-2, x2=1都是原方程的根。
　　∴ 原方程的根是x1=-2, x2=1。
　　例6.若方程组的解x与y相等，则a的值等于（　）。　　A、4 　　B、10 　　C、11 　　D、12
　　分析：先解方程组　　再将求得的解代入方程ax+(a-1)y=3中，便可求得a的值。
　　解：解方程组，得　　把代入ax+(a-1)y=3, 　　得a·+(a-1)·=3，解之，得a=11。 故选C。
　　例7.已知关于x的方程(k-2)x2-2(k-1)x+(k+1)=0，且k≤3。 (1)求证：此方程总有实数根；(2)当方程有两实数根，且两实数根的平方和等于4时，k的值等于多少？
　　分析：本题没有指明关于x的方程的类型，要分一元一次方程和一元二次方程两种情况讨论。
　　(1)证明 ①当k=2，方程为一元一次方程-2x+3=0，显然有实根；
　　②当k≠2时，方程为一元二次方程，且Δ=[-2(k-1)]2-4(k-2)(k+1)=4(3-k), 　　∵k≤3, ∴3-k≥0。 即Δ≥0，此时一元二次方程有实数根。
　　综合①、②知，原方程总有实数根。
　　(2)设方程的两实根为x1,x2，则x1+x2=，x1x2=。 　　由题设，x12+x22=4, 即(x1+x2)2-2x1x2=4。
　　∴ []2-2·=4。
　　整理，得k2-5k+4=0, ∴ k1=1, k2=4。
　　∵ k≤3, ∴ k=1。
　　例8.商场出售的A型冰箱每台售价2190元，每日耗电量为1度，而B型节能冰箱每台售价虽比A型冰箱高出10%，但每日耗电费却为0.55度。现将A型冰箱打折出售（打一折后的售价为原价的），问商场至少打几折，消费者购买才合算（按使用期为10年，每年365天，每度电0.40元计算）？
　　说明：不等式应用题，是近年来应用题的发展新动向，去年有多处地区中考题目中有不等式的应用题，它和方程应用题目一样，先认真审题，并能利用所设的未知数表示各种关系；不同的就是关系不是相等，而要根据题目表述为相应的不等关系。
　　本题的关键在于对“合算”一词的理解，以及如何将“合算”转化为数学“式子”。实际上,所谓合算是指两种冰箱十年后的总耗资小,对于本题目就是A型冰箱十年的总耗资小于B型冰箱。得到不等关系。
　　解:设商场将A型冰箱打x折出售，则消费者购买A型冰箱需耗资
　　2190×+365×10×1×0.4(元)，
　　购买B型冰箱需耗资
　　2190(1+10%)+365×10×0.55×0.4(元)。
　　依题意，得2190×+365×10×1×0.4≤2190×(1+10%)+365×10×0.55×0.4。
　　解不等式，得x≤8。
　　因此，商场应将A型冰箱至少打八折出售，消费者购买才合算。
　　例9.某园林的门票每张10元，一次使用。考虑到人们的不同需求，也为了吸引更多的游客，该园林除保留原来的售票方法外，还推出了一种“购买个人年票”的售票方法（个人年票从购买日起，可供持票者使用一年）。年票分A、B、C、三类：A类年票每张120元，持票者进入园林时，无需再用门票；B类年票每张60元，持票者进入该园林时，需再购买门票，每次2元；C类年票每张40元，持票者进入该园林时，需要购买门票，每次3元。　　（1）如果你只选择一种购买门票的方式，并且你计划在一年中用80元花在该园林的门票上，试通过计算，找出可使进入该园林的次数最多的购票方式。　　（2）求一年中进入该园林至少超过多少次时，购买A类年票比较合算。
　　析解：本考题仍为“合算”问题，只是形式略有不同，涉及到列不等式组解实际应用问题。
　　（1）因为80<120, 所以不可能选A类年票。
　　若选B类年票，则=10(次)；
　　若选C类年票，则=13(次)，取整数为13次
　　若不购买年票：则=8(次)。
　　所以计划用80元花在该园林的门票上时，选择购买C类年票的方法进入园林的次数最多，为13次。
　　（2）设至少超过x次时，购买A类年票比较合算，则有不等式组
　　　解得
　　其公共解集为x>30。
　　所以，一年中进入该园林至少超过30次时，购买A类年票比较合算。
　　例10.某工程由甲、乙两队合做6天完成，厂家需付甲、乙两队共8700元；乙、丙两队合作10天完成，厂家需付乙、丙两队共9500元；甲、丙两队合做5天完成全部工程的，厂家需付甲、丙两队共5500元。（1）求甲、乙、丙各队单独完成全部工程各需多少天？（2）若工期要求不超过15天完成全部工程，问可由哪队单独完成此项工程花钱最少？请说明理由。
　　分析：本例属工作量为1的工程问题，要注意下列三个关系式：（1）工作效率×工作时间=1；（2）工作效率=；（3）工作时间=。这类问题的等量关系是：部分工作量之和=1。
　　解：（1）设甲队单独做x天完成，乙队单独做y天完成，丙队单独做z天完成，则
　　　　解之，得
（2）设甲队做一天应付给a元，乙队做一天应付b元，丙队做一天应付给c元，
　　则有　　解方程组，得
　　∵ 10a=8000(元),15b=9750(元)
　　∴ 由甲队单独完成此工程花钱最少。
　　答：（1）甲队单独做10天完成，乙队单独做15天完成，丙队单独做30天完成；
（2）甲队单独完成此项工程花钱最少。
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　　选择题　　1．若一元二次方程x2+4x+k=0有两个相等的实数根，则k的值为（　　　 ）。 　 A、4　　 B、5　　 C、8　　 D、6
　　2．不解方程，判断方程2x2+3x-4=0的根的情况是（　　　 ）。 　 A、有两个相等的实数根　　 B、有两个不相等的实数根 　 C、只有一个实数根　　　　 D、没有实数根
　　3．下列方程中有两个不相等的实数根的是（　　　 ）。 　 A、2x2+4x+35=0　　 B、x2+1=2x　　 C、(x-1)2=-1　　 D、5x2+4x=1
　　4．一元二次方程x2-2x+m=0的两个实数根的条件是（　　 ）。 　 A、m<1　　 B、m≥1　　 C、m>1　　 D、m≤1
　　5．若关于x的方程2x(mx-4)=x2-6没有实数根，则m所取的最小整数是（　　　　 ）。 　 A、2　　 B、1　　 C、-1　　 D、不存在
　　6．已知方程x2+3x+m=0的两个根的差的平方是25，则m的值（　　　　 ）。 　 A、4　　 B、-4　　 C、13　　 D、8
　　7．以5和-3为根的一元二次方程是（　　　 ）。 　 A、x2-2x-15=0　　 B、x2+2x-15=0　　 C、x2+2x+15=0　　 D、x2-2x+15=0
　　8．以方程x2+2x-3=0的两个根的和与积为两个根的一元二次方程是（　　 ）。 　 A、y2+5y-6=0　　 B、y2+5y+6=0　　 C、y2-5y+6=0　　 D、y2-5y-6=0
相似三角形　　　　　　　　　　　撰稿：刘志全　　　 审稿：严春梅　　　 责编：张杨一、目标认知学习目标　　1．了解相似三角形的概念，会准确找出两个相似三角形的对应边、对应角.　　2．探索两个三角形相似的条件，会选择恰当的方法识别两个三角形相似.　　3．探索相似三角形的性质，能运用性质进行有关计算.　　4．通过典型实例认识现实生活中物体的相似，能运用图形相似的知识解决一些简单的实际问题.　　5．培养合情推理和数学说理能力. 重点　　掌握相似三角形的判定定理，会运用判定定理判定两个三角形相似；运用三角形相似的知识计算不能直接测量物体的长度和高度；相似三角形和相似多边形的周长、面积的性质的理解与运用. 难点　　相似三角形判定方法的运用；灵活运用三角形相似的知识解决实际问题（如何把实际问题抽象为数学问题）；探索证明相似多边形面积的性质. 二、知识要点梳理知识点一、相似三角形
　　在和中，如果我们就说与相似，记作∽。k就是它们的相似比。“∽”读作“相似于”.　　要点诠释：　　(1)与表示两个三角形全等相类似，表示两个三角形相似时，我们经常把表示对应角顶点的字母写在对应的位置上，这样可以一目了然的知道它们的对应角和对应边，相似多边形的记法也类似.　　(2)对于相似比，要注意顺序和对应的问题，如果两个三角形相似，那么第一个三角形的一边和第二个三角形的对应边的比叫做第一个三角形和第二个三角形的相似比.当相似比为1时，两个三角形全等. 知识点二、相似三角形的判定定理：　　1．平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形和原三角形相似。　　2．如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似。　　3．如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似。　　要点诠释：　　此方法要求用三角形的两边及其夹角来判定两个三角形相似，应用时必须注意这个角必需是两边的夹角，而不是其它的角.　　4．如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。　　要点诠释：　　此方法告诉我们，要判定两个三角形是否相似，只需找到这两个三角形的两个对应角相等即可，对于直角三角形而言，若有一个锐角对应相等，那么这两个三角形相似. 知识点三、相似三角形的性质　　1．相似三角形对应角相等，对应边的比相等.　　2．相似三角形对应高线的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比。 知识点四、相似三角形的周长与面积　　1．相似三角形周长的比等于相似比；　　　 相似多边形周长的比等于相似比。　　2．相似三角形面积的比等于相似比的平方；　　　 相似多边形面积的比等于相似比的平方。 三、规律方法指导1.全等与相似的类比：　　全等三角形是特殊的相似三角形，其特殊之处在于全等三角形的相似比为1．
　
三角形全等
三角形相似
判定方法
两角夹一边对应相等(ASA)两角一对边对应相等(AAS)两边及夹角对应相等(SAS)三边对应相等(SSS)直角三角形中一直角边与斜边对应相等(HL)
两角对应相等两边对应成比例，且夹角相等三边对应成比例直角三角形中斜边与一直角边对应成比例

2．相似三角形的常见图形及其变换：　　　　　
经典例题透析类型一、相似三角形的概念
1．判断对错：　　(1)两个直角三角形一定相似吗？为什么？　　(2)两个等腰三角形一定相似吗？为什么？　　(3)两个等腰直角三角形一定相似吗？为什么？　　(4)两个等边三角形一定相似吗？为什么？　　(5)两个全等三角形一定相似吗？为什么？　　思路点拨：要说明两个三角形相似，要同时满足对应角相等，对应边成比例.要说明不相似，则只要否定其中的一个条件.　　解：(1)不一定相似.反例　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　直角三角形只确定一个直角，其他的两对角可能相等，也可能不相等.所以直角三角形不一定相似. 　　(2)不一定相似.反例　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　等腰三角形中只有两边相等，而底边不固定.因此两个等腰三角形中有两边对应成比例，两底边的比不一定等于对应腰的比，所以等腰三角形不一定相似. 　　
(3)一定相似.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　在直角三角形ABC与直角三角形A′B′C′中　　 　　设AB=a， A′B′=b，则 BC=a，B′C′=b，AC=a，A′C′=b　　∴　　∴ABC∽A′B′C′ (4)一定相似.　　因为等边三角形各边都相等，各角都等于60度，所以两个等边三角形对应角相等，对应边成比例，因此两个等边三角形一定相似.(5)一定相似.　　全等三角形对应角相等，对应边相等，所以对应边比为1，所以全等三角形一定相似，且相似比为1. 　　举一反三　　【变式1】两个相似比为1的相似三角形全等吗？　　解析：全等.因为这两个三角形相似，所以对应角相等.又相似比为1，所以对应边相等.　　　　　因此这两个三角形全等.　　总结升华：由上可知，在特殊的三角形中，有的相似，有的不一定相似.　　(1)两个直角三角形，两个等腰三角形不一定相似.　　(2)两个等腰直角三角形，两个等边三角形一定相似.　　(3)两个全等三角形一定相似，且相似比为1；相似比为1的两个相似三角形全等. 　　【变式2】下列能够相似的一组三角形为( )　　A.所有的直角三角形 　　　　　　B.所有的等腰三角形　　C.所有的等腰直角三角形 　　　　D.所有的一边和这边上的高相等的三角形　　解析：根据相似三角形的概念，判定三角形是否相似，一定要满足三个角对应相等，三条对应边的比相等.而A中只有一组直角相等，其他的角是否对应相等不可知；B中什么条件都不满足；D中只有一条对应边的比相等；C中所有三角形都是由90°、45°、45°角组成的三角形，且对应边的比也相等.答案选C.
类型二、相似三角形的判定　　2．如图所示，已知中，E为AB延长线上的一点，AB=3BE，DE与BC相交于F，请找出图中各对相似三角形，并求出相应的相似比.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　思路点拨：由可知AB∥CD，AD∥BC，再根据平行线找相似三角形.　　解：∵ 四边形ABCD是平行四边形，　　　　∴ AB∥CD，AD∥BC，　　　　∴ △BEF∽△CDF，△BEF∽△AED.　　　　∴ △BEF∽△CDF∽△AED.　　　　∴ 当△BEF∽△CDF时，相似比；当△BEF∽△AED时，相似比；　　　　当△CDF∽△AED时，相似比.　　总结升华：本题中△BEF、△CDF、△AED都相似，共构成三对相似三角形.求相似比不仅要找准对应边，还需注意两个三角形的先后次序，若次序颠倒，则相似比成为原来的倒数. 　　3．已知在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，BC=6.在Rt△EDF中，∠F=90°，DF=3，EF=4，则△ABC和△EDF相似吗？为什么？　　思路点拨：已知△ABC和△EDF都是直角三角形，且已知两边长，所以可利用勾股定理分别求出第三边AC和DE，再看三边是否对应成比例.　　解：在Rt△ABC中，AB=10，BC=6，∠C=90°.　　　　由勾股定理得.　　　　在Rt△DEF中，DF=3，EF=4，∠F=90°.　　　　由勾股定理，得.　　　　在△ABC和△EDF中，，，，　　　　∴ ，　　　　∴ △ABC∽△EDF(三边对应成比例，两三角形相似).　　总结升华：　　(1)本题易错为只看3，6，4，10四条线段不成比例就判定两三角形不相似.利用三边判定两三角形相　 　　似，应看三角形的三边是否对应成比例，而不是两边.　　(2)本题也可以只求出AC的长，利用两组对应边的比相等，且夹角相等，判定两三角形相似. 　　4．如图所示，点D在△ABC的边AB上，满足怎样的条件时，△ACD与△ABC相似？试分别加以列举.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　思路点拨：此题属于探索问题，由相似三角形的识别方法可知，△ACD与△ABC已有公共角∠A，要使此两个三角形相似，可根据相似三角形的识别方法寻找一个条件即可.　　解：当满足以下三个条件之一时，△ACD∽△ABC.　　　　条件一：∠1=∠B.　　　　条件二：∠2=∠ACB.　　　　条件三：，即.　　总结升华：本题的探索钥匙是相似三角形的识别方法.在探索两个三角形相似时，用分析法，可先假设△ACD∽△ABC，然后寻找两个三角形中边的关系或角的关系即可.本题易错为出现条件四：.不符合条件“最小化”原则，因为条件三能使问题成立，所以出现条件四是错误的. 　　举一反三　　【变式1】已知：如图正方形ABCD中，P是BC上的点，且BP=3PC，Q是CD的中点．　　　　　　 求证：△ADQ∽△QCP．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　思路点拨：因△ADQ与△QCP是直角三角形，虽有相等的直角，但不知AQ与PQ是否垂直，所以不能用两个角对应相等判定．而四边形ABCD是正方形，Q是CD中点，而BP=3PC，所以可用对应边成比例夹角相等的方法来判定．具体证明过程如下：　　证明：在正方形ABCD中，∵Q是CD的中点，∴=2　　　　　∵=3，∴=4 　　　　　又∵BC=2DQ，∴=2 　　　　　在△ADQ和△QCP中，=，∠C=∠D=90°，　　　　　∴△ADQ∽△QCP． 　　【变式2】如图，弦和弦相交于内一点，求证：.　　思路点拨：题目中求证的是等积式，我们可以转化为比例式，从而找到应证哪两个三角形相似.同时圆当中同弧或等弧所对的圆周角相等要会灵活应用.　　证明：连接 ，.　　　　　在　　　　　　　　　　　　　　　∴∽　　　　　∴. 　　【变式3】已知：如图，AD是△ABC的高，E、F分别是AB、AC的中点．　　　　　　 求证：△DFE∽△ABC．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　思路点拨：EF为△ABC的中位线，EF=BC，又DE和DF都是直角三角形斜边上的中线，DE=AB，DF=AC．因此考虑用三边对应成比例的两个三角形相似．　　证明：在Rt△ABD中，DE为斜边AB上的中线，　　　　　∴　DE=AB，　　　　　即　=．　　　　　同理　=．　　　　　∵　EF为△ABC的中位线，　　　　　∴　EF=BC，　　　　　即　=．　　　　　∴　==．　　　　　∴　△DFE∽△ABC．　　总结升华：本题证明方法较多，可先证∠EDF=∠EDA+∠ADF=∠EAD+∠FAD=∠BAC，再证夹这个角的两边成比例，即=，也可证明∠FED=∠EDB=∠B，同理∠EFD=∠FDC=∠C，都可以证出△DEF∽△ABC． 类型三、相似三角形的性质　　5．△ABC∽△DEF，若△ABC的边长分别为5cm、6cm、7cm，而4cm是△DEF中一边的长度，你能求出△DEF的另外两边的长度吗？试说明理由.　　思路点拨：因没有说明长4cm的线段是△DEF的最大边或最小边，因此需分三种情况进行讨论.　　解：设另两边长是xcm，ycm，且x类型五、相似三角形的周长与面积　　8．已知：如图，在△ABC与△CAD中，DA∥BC，CD与AB相交于E点，且AE︰EB=1︰2，EF∥BC交AC于F点，△ADE的面积为1，求△BCE和△AEF的面积．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　思路点拨：利用△ADE∽△BCE，以及其他有关的已知条件，可以求出△BCE的面积．△ABC的边AB上的高也是△BCE的高，根据AB︰BE=3︰2，可求出△ABC的面积．最后利用△AEF∽△ABC，可求出△AEF的面积．　　解：∵　DA∥BC，　　　　∴　△ADE∽△BCE．　　　　∴　S△ADE︰S△BCE=AE2︰BE2．　　　　∵　AE︰BE=1︰2，　　　　∴　S△ADE︰S△BCE=1︰4．　　　　∵　S△ADE=1，　　　　∴　S△BCE=4．　　　　∵　S△ABC︰S△BCE=AB︰BE=3︰2，　　　　∴　S△ABC=6．　　　　∵　EF∥BC，　　　　∴　△AEF∽△ABC．　　　　∵　AE︰AB=1︰3，　　　　∴　S△AEF︰S△ABC=AE2︰AB2=1︰9．　　　　∴　S△AEF==．　　总结升华：注意，同底(或等底)三角形的面积比等于这底上的高的比；同高(或等高)三角形的面积比等于对应底边的比．当两个三角形相似时，它们的面积比等于对应线段比的平方，即相似比的平方． 　　举一反三　　【变式1】有同一三角形地块的甲、乙两地图，比例尺分别为1∶200和1∶500，求：甲地图与乙地图的相似比和面积比.　　解：设原地块为△ABC，地块在甲图上为△A1B1C1，在乙图上为△A2B2C2.　　　　∴ △ABC∽△A1B1C1∽△A2B2C2　　　　且，，　　　　∴，　　　　∴. 　　【变式2】如图，已知：△ABC中，AB=5，BC=3，AC=4，PQ//AB，P点在AC上(与点A、C不重合)，Q点在BC上．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(1)当△PQC的面积与四边形PABQ的面积相等时，求CP的长；　　(2)当△PQC的周长与四边形PABQ的周长相等时，求CP的长；　　解：(1)∵S△PQC=S四边形PABQ　　　　　 ∴S△PQC：S△ABC=1：2　　　　　 ∵PQ∥AB， ∴△PQC∽△ABC　　　　　 ∴S△PQC：S△ABC=(CP：CA)2=1：2　　　　　 ∴CP2=42×， ∴CP=.　　　　(2)∵S△PQC的周长与四边形PABQ的周长相等，　　　　　 ∴PC+CQ=PA+AB+QB=(△ABC的周长)=6　　　　　 ∵PQ∥AB， ∴△PQC∽△ABC　　　　　 ∴ ，即： 　　　　　 解得，CP= 类型六、综合探究　　9．如图，AB∥CD，∠A=90°，AB=2，AD=5，P是AD上一动点(不与A、D重合)，PE⊥BP，P为垂足，PE交DC于点E，　　(1)设AP=x，DE=y，求y与x之间的函数关系式，并指出x的取值范围；　　(2)请你探索在点P运动的过程中，四边形ABED能否构成矩形？如果能，求出AP的长；如果不能，请说　 　　明理由.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　解：(1)∵AB∥CD ，∴∠A+∠D=180°　　　　　 ∵∠A=90°， ∴∠D=90°，∴∠A=∠D　　　　　 又∵PE⊥BP ，∴∠APB+∠DPE=90°，　　　　　 又∠APB+∠ABP=90°， ∴∠ABP=∠DPE，　　　　　 ∴△ABP∽△DPE　　　　　 ∴ ，即　　　　　 ∴　　　　(2)欲使四边形ABED为矩形，只需DE=AB=2，即，解得　　　　　 ∵，∵均符合题意，故AP=1或 4.　　总结升华：　　(1)求以线段长为变量的两个函数间的关系时，常常将未知线段和已知线段作为三角形的边，利用相似　　　 三角形的知识解决.　　(2)解决第(2)小问时要充分挖掘运动变化过程中点的特殊位置，再转化为具体的数值，通过建立方程　　　 解决，体现了数形结合的思想. 　　10．如图，在△ABC中，BC=2，BC边上的高AD=1，P是BC上任意一点，PE∥AB交AC于E，PF∥AC交AB于F.　　(1)设BP=，△PEF的面积为，求与的函数解析式和的取值范围；　　(2)当P在BC边上什么位置时，值最大.　　　　　　　　　　　　　　　　　　解：(1)∵BC=2， BC边上的高AD=1　　　　　 ∴△ABC的面积为1　　　　　 ∵PF∥AC，∴△BFP∽△BAC　　　　　 ∴，∴　　　　　 同理△CEP∽△CAB　　　　　 ∴，　　　　　 ∴　　　　　 ∵PE∥AB， PF∥AC，∴四边形PFAE为平行四边形　　　　　 ∴　　　　　 ∴.　　　　(2)　　　　　 ∴当时，即P点在BC边的中点时，值最大.　　总结升华：建立三角形的面积与线段长之间的函数关系，可考虑从以下几方面考虑：　　(1)从面积公式入手；　　(2)从相似三角形的性质入手；将面积的比转化为相似比的平方；　　(3)从同底或等高入手，将面积比转化为底之比或高之比. 经典例题透析类型一、相似三角形的概念　　1．判断对错：　　(1)两个直角三角形一定相似吗？为什么？　　(2)两个等腰三角形一定相似吗？为什么？　　(3)两个等腰直角三角形一定相似吗？为什么？　　(4)两个等边三角形一定相似吗？为什么？　　(5)两个全等三角形一定相似吗？为什么？　　思路点拨：要说明两个三角形相似，要同时满足对应角相等，对应边成比例.要说明不相似，则只要否定其中的一个条件.　　解：(1)不一定相似.反例　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　直角三角形只确定一个直角，其他的两对角可能相等，也可能不相等.所以直角三角形不一定相似. 　　(2)不一定相似.反例　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　等腰三角形中只有两边相等，而底边不固定.因此两个等腰三角形中有两边对应成比例，两底边的比不一定等于对应腰的比，所以等腰三角形不一定相似. 　　(3)一定相似.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　在直角三角形ABC与直角三角形A′B′C′中　　 　　设AB=a， A′B′=b，则 BC=a，B′C′=b，AC=a，A′C′=b　　∴　　∴ABC∽A′B′C′ 　　(4)一定相似.　　因为等边三角形各边都相等，各角都等于60度，所以两个等边三角形对应角相等，对应边成比例，因此两个等边三角形一定相似. 　　(5)一定相似.　　全等三角形对应角相等，对应边相等，所以对应边比为1，所以全等三角形一定相似，且相似比为1. 　　举一反三　　【变式1】两个相似比为1的相似三角形全等吗？　　解析：全等.因为这两个三角形相似，所以对应角相等.又相似比为1，所以对应边相等.　　　　　因此这两个三角形全等.　　总结升华：由上可知，在特殊的三角形中，有的相似，有的不一定相似.　　(1)两个直角三角形，两个等腰三角形不一定相似.　　(2)两个等腰直角三角形，两个等边三角形一定相似.　　(3)两个全等三角形一定相似，且相似比为1；相似比为1的两个相似三角形全等. 　　【变式2】下列能够相似的一组三角形为( )　　A.所有的直角三角形 　　　　　　B.所有的等腰三角形　　C.所有的等腰直角三角形 　　　　D.所有的一边和这边上的高相等的三角形　　解析：根据相似三角形的概念，判定三角形是否相似，一定要满足三个角对应相等，三条对应边的比相等.而A中只有一组直角相等，其他的角是否对应相等不可知；B中什么条件都不满足；D中只有一条对应边的比相等；C中所有三角形都是由90°、45°、45°角组成的三角形，且对应边的比也相等.答案选C. 类型二、相似三角形的判定　　2．如图所示，已知中，E为AB延长线上的一点，AB=3BE，DE与BC相交于F，请找出图中各对相似三角形，并求出相应的相似比.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　思路点拨：由可知AB∥CD，AD∥BC，再根据平行线找相似三角形.　　解：∵ 四边形ABCD是平行四边形，　　　　∴ AB∥CD，AD∥BC，　　　　∴ △BEF∽△CDF，△BEF∽△AED.　　　　∴ △BEF∽△CDF∽△AED.　　　　∴ 当△BEF∽△CDF时，相似比；当△BEF∽△AED时，相似比；　　　　当△CDF∽△AED时，相似比.　　总结升华：本题中△BEF、△CDF、△AED都相似，共构成三对相似三角形.求相似比不仅要找准对应边，还需注意两个三角形的先后次序，若次序颠倒，则相似比成为原来的倒数. 　　3．已知在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，BC=6.在Rt△EDF中，∠F=90°，DF=3，EF=4，则△ABC和△EDF相似吗？为什么？　　思路点拨：已知△ABC和△EDF都是直角三角形，且已知两边长，所以可利用勾股定理分别求出第三边AC和DE，再看三边是否对应成比例.　　解：在Rt△ABC中，AB=10，BC=6，∠C=90°.　　　　由勾股定理得.　　　　在Rt△DEF中，DF=3，EF=4，∠F=90°.　　　　由勾股定理，得.　　　　在△ABC和△EDF中，，，，　　　　∴ ，　　　　∴ △ABC∽△EDF(三边对应成比例，两三角形相似).　　总结升华：　　(1)本题易错为只看3，6，4，10四条线段不成比例就判定两三角形不相似.利用三边判定两三角形相　 　　似，应看三角形的三边是否对应成比例，而不是两边.　　(2)本题也可以只求出AC的长，利用两组对应边的比相等，且夹角相等，判定两三角形相似. 　　4．如图所示，点D在△ABC的边AB上，满足怎样的条件时，△ACD与△ABC相似？试分别加以列举.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　思路点拨：此题属于探索问题，由相似三角形的识别方法可知，△ACD与△ABC已有公共角∠A，要使此两个三角形相似，可根据相似三角形的识别方法寻找一个条件即可.　　解：当满足以下三个条件之一时，△ACD∽△ABC.　　　　条件一：∠1=∠B.　　　　条件二：∠2=∠ACB.　　　　条件三：，即.　　总结升华：本题的探索钥匙是相似三角形的识别方法.在探索两个三角形相似时，用分析法，可先假设△ACD∽△ABC，然后寻找两个三角形中边的关系或角的关系即可.本题易错为出现条件四：.不符合条件“最小化”原则，因为条件三能使问题成立，所以出现条件四是错误的.
　　举一反三　　【变式1】已知：如图正方形ABCD中，P是BC上的点，且BP=3PC，Q是CD的中点． 求证：△ADQ∽△QCP．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　思路点拨：因△ADQ与△QCP是直角三角形，虽有相等的直角，但不知AQ与PQ是否垂直，所以不能用两个角对应相等判定．而四边形ABCD是正方形，Q是CD中点，而BP=3PC，所以可用对应边成比例夹角相等的方法来判定．具体证明过程如下：　　证明：在正方形ABCD中，∵Q是CD的中点，∴=2　　　　　∵=3，∴=4 　　　　　又∵BC=2DQ，∴=2 　　　　　在△ADQ和△QCP中，=，∠C=∠D=90°，　　　　　∴△ADQ∽△QCP．
【变式2】如图，弦和弦相交于内一点，求证：.　　思路点拨：题目中求证的是等积式，我们可以转化为比例式，从而找到应证哪两个三角形相似.同时圆当中同弧或等弧所对的圆周角相等要会灵活应用.　　证明：连接 ，.　　　　　在　　　　　　　　　　　　　　　∴∽　　　　　∴. 　　【变式3】已知：如图，AD是△ABC的高，E、F分别是AB、AC的中点．　　　　　　 求证：△DFE∽△ABC．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　思路点拨：EF为△ABC的中位线，EF=BC，又DE和DF都是直角三角形斜边上的中线，DE=AB，DF=AC．因此考虑用三边对应成比例的两个三角形相似．　　证明：在Rt△ABD中，DE为斜边AB上的中线，　　　　　∴　DE=AB，　　　　　即　=．　　　　　同理　=．　　　　　∵　EF为△ABC的中位线，　　　　　∴　EF=BC，　　　　　即　=．　　　　　∴　==．　　　　　∴　△DFE∽△ABC．　　总结升华：本题证明方法较多，可先证∠EDF=∠EDA+∠ADF=∠EAD+∠FAD=∠BAC，再证夹这个角的两边成比例，即=，也可证明∠FED=∠EDB=∠B，同理∠EFD=∠FDC=∠C，都可以证出△DEF∽△ABC．
类型三、相似三角形的性质　　5．△ABC∽△DEF，若△ABC的边长分别为5cm、6cm、7cm，而4cm是△DEF中一边的长度，你能求出△DEF的另外两边的长度吗？试说明理由.　　思路点拨：因没有说明长4cm的线段是△DEF的最大边或最小边，因此需分三种情况进行讨论.　　解：设另两边长是xcm，ycm，且x类型六、综合探究　　9．如图，AB∥CD，∠A=90°，AB=2，AD=5，P是AD上一动点(不与A、D重合)，PE⊥BP，P为垂足，PE交DC于点E，　　(1)设AP=x，DE=y，求y与x之间的函数关系式，并指出x的取值范围；　　(2)请你探索在点P运动的过程中，四边形ABED能否构成矩形？如果能，求出AP的长；如果不能，请说　 　　明理由.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　解：(1)∵AB∥CD ，∴∠A+∠D=180°　　　　　 ∵∠A=90°， ∴∠D=90°，∴∠A=∠D　　　　　 又∵PE⊥BP ，∴∠APB+∠DPE=90°，　　　　　 又∠APB+∠ABP=90°， ∴∠ABP=∠DPE，　　　　　 ∴△ABP∽△DPE　　　　　 ∴ ，即　　　　　 ∴　　　　(2)欲使四边形ABED为矩形，只需DE=AB=2，即，解得　　　　　 ∵，∵均符合题意，故AP=1或 4.　　总结升华：　　(1)求以线段长为变量的两个函数间的关系时，常常将未知线段和已知线段作为三角形的边，利用相似　　　 三角形的知识解决.　　(2)解决第(2)小问时要充分挖掘运动变化过程中点的特殊位置，再转化为具体的数值，通过建立方程　　　 解决，体现了数形结合的思想.
　　10．如图，在△ABC中，BC=2，BC边上的高AD=1，P是BC上任意一点，PE∥AB交AC于E，PF∥AC交AB于F.　　(1)设BP=，△PEF的面积为，求与的函数解析式和的取值范围；　　(2)当P在BC边上什么位置时，值最大.　　　　　　　　　　　　　　　　　　解：(1)∵BC=2， BC边上的高AD=1　　　　　 ∴△ABC的面积为1　　　　　 ∵PF∥AC，∴△BFP∽△BAC　　　　　 ∴，∴　　　　　 同理△CEP∽△CAB　　　　　 ∴，　　　　　 ∴　　　　　 ∵PE∥AB， PF∥AC，∴四边形PFAE为平行四边形　　　　　 ∴　　　　　 ∴.　　　　(2)　　　　　 ∴当时，即P点在BC边的中点时，值最大.　　总结升华：建立三角形的面积与线段长之间的函数关系，可考虑从以下几方面考虑：　　(1)从面积公式入手；　　(2)从相似三角形的性质入手；将面积的比转化为相似比的平方；　　(3)从同底或等高入手，将面积比转化为底之比或高之比.
学习成果测评基础达标　　1.下列判断中正确的是( )　　A.全等三角形不一定是相似三角形 　　　　B.不全等的三角形一定不是相似三角形　　C.不相似的三角形一定不全等 　　　　　　D.相似三角形一定不是全等三角形 　　2.在△ABC和△DEF中，　　①∠A=35°，∠B=100°，∠D=35°，∠F=45°；　　②AB=3cm，BC=5cm，∠B=50°，DE=6cm，DF=10cm，∠D=50°；　　其中能使△ABC与以D、E、F为顶点的三角形相似的条件( )　　A.只有①　　　 B.只有② 　　　C.①和②分别都是　　　 D.①和②都不是 　　3.已知△A1B1C1与△A2B2C2的相似比为4：3，△A2B2C2与△A3B3C3的相似比为4：5，则△A1B1C1与　　　△A3B3C3的相似比为( )　　A.16：15 　　　B.15：16　　　 C.3：5 　　　D.16：15或15：16 　　4.如图所示，E是的边BC延长线上的一点，AE与CD相交于G，则图中相似三角形共有( )　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　A.2对　　　 B.3对 　　　C.4对　　　 D.5对 　　5.如图所示，在Rt△ABC中，∠C=90°，CD⊥AB于D，则下列结论：①图中相似三角形为2对；　　　②；③；④.其中正确个数有( )　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　A.1 　　　B.2　　　 C.3 　　　D.4 　　6.如图所示，身高为1.6m的某学生想测量一棵大树的高度，她沿着树影BA由B向A走，当走到C处时她的　　　影子顶端正好与树的影子顶端重合，测得BC=3.2m，AC=0.8m，则树的高度为( )　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　A.4.8m 　　　B.4.4m　　　 C.8m　　　 D.10m 　　7.△ABC和△DEF分别满足下列条件，其中△ABC与△DEF不相似的是( )　　A.∠A=∠D=45°，∠C=26°，∠E=109°　　B.AB=1，AC=1.5，BC=2，DE=8，DF=12，EF=16　　C.AB=a，BC=b，AC=c，，，(a，b，c均不等)　　D.AB=AC，DE=DF，∠A=∠D=40° 　　8.与的相似比为k，则与的相似比为________. 　　9.如图所示，D、E两点分别在AB、AC上，且DE和BC不平行，请你填上一个你认为合适的条件_______使　　　△ADE∽△ACB.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　10.在△ABC中，点D、E分别在AB、AC上，且DE∥BC，如果AD=2，DB=4，AE=3，那么CE=________. 　　11.如图所示，在4×4的正方形网格中，△ABC和△AEF的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(1)填空：∠ABC=________°，BC=________；　　(2)判断△ABC与△DEF是否相似，并证明你的结论.
能力提升　　1.如图所示在平行四边形ABCD中，EF∥AB，DE：EA=2：3，EF=4，则CD的长为( )　　　　　　　　　　　　　　　　　　　A. 　　　B.8 　　　C.10 　　　D.16
　　2.如图，ABCD是正方形，E是CD的中点，P是BC边上的一点，下列条件中，不能推出△ABP与△ECP相似的是( )　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　A.∠APB=∠EPC　　　B.∠APE=90°　　 C.P是BC的中点　　　 D.BP：BC=2：3 　　3.如图，在□ABCD中，E为CD上一点，DE：CE=2：3，连结AE、BE、BD，且AE、
BD交于点F，则S△DEF：S△EBF：S△ABF等于( )　　　　　　　　　　　　　　　　　　　A.4：10：25　　　 B.4：9：25　 　　C.2：3：5　 　　D.2：5：25
4.如图，在△ABC中，M是AC边中点，E是AB上一点，且AE=AB，连结EM
延长，交BC的延长线于D，此时BC：CD为( )　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　A.2：1　　B.3：2　　C.3：1　　D.5：2
5.如图所示，∠C=∠E=90°，AD=10，DE=8，AB=5，则AC=________.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 6.如图所示，在直角坐标系中有两点A(4，0)，B(0，2)，如果点C在x轴上(C与A不重合)，当点C的坐标　　　为________或________时，使得由点B、O、C组成的三角形与△AOB相似(至少找出两个满足条件的点的坐标).　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　7.如图所示，△ABC中，点D、E分别在AC、BC上，且，DE∥AB，试说明　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　8.如图所示，一段街道的两边缘所在的直线分别为AB，PQ，并且AB∥PQ.建筑物一端DE所在的一直线MN⊥AB于点M，交PQ于点N.小亮从胜利街的A处沿着AB方向前进，小明一直站在点P的位置等候小亮.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(1)请你在图中画出小亮恰好能看见小明时的视线，以及此时小亮所在的位置(用点C标出)；　　(2)已知MN=20m，MD=8m，PN=24m，求(1)中的点C到胜利街的街口的距离CM. 综合探究　　1.如图所示，四边形ABCD中，AD=CD，∠DAB=∠ACB=90°，经过D作DE⊥AC，垂足为F，DE与AB相交于点E.　　(1)求证：AB·AF=CB·CD；　　(2)已知AB=15cm，BC=9cm，P是射线DE上的动点.设DP=x cm(x>0)，四边形BCDP的面积为.　　　 ①求y关于x的函数关系式；　　　 ②当x为何值时，△PBC周长最小，并求出此时y的值.　　　　　　　　　　　　　　　　　　 答案与解析：基础达标　　1.C 2.C 3.A　　4.C 解析：由平行可得△ADG∽△ECG、△ECG∽△EBA、△ADG∽△EBA、△ABC∽△CDA，故选C.　　5.C 解析：图中△ACD∽△CBD∽△ABC，写出比例式可得，，　　　　　　　，故②③④正确.　　6.C 解析：由DC∥BE可得△ADC∽△AEB，　　　　　　　∴ ，即，　　　　　　　∴ BE=8m，故选C.　　7.C 解析：利用判定三角形相似的方法来判断，对于选项C，，故选C.　　8. 解析：相似比是有顺序性的，由题意知，它们互为倒数故填.　　9.∠ADE=∠C或∠AED=∠B或 解析：据判定三角形相似的方法来找条件.　　10.6 解析：由DE∥BC可得△ADE∽△ABC，∴ 即，，AC=9，　　　　　　　 ∴ .　　11.解：(1)135，　　 　　　(2)△ABC和△DEF相似，这是因为∠ABC=∠DEF=135°，，，　　 　　　　 ∴ ，∴ △ABC∽△DEF. 能力提升　　1.C 解析：∵ EF∥AB，∴ ，　　　　　　　∵ ，∴ ，，　　　　　　　∴ CD=10，故选C.　　2.C 提示：当P是BC的中点时，△EPC为等腰直角三角形.　　3.A 解析：□ABCD中，AB∥DC，△DEF∽△ABF，　　　　　　　　　　　　　　(△DEF与△EBF等高，面积比等于对应底边的比)　　　　　　　所以答案选A.　　4.A 提示：过C点作CF∥BA交ED于F点，则AE=CF.　　5.3 解析：∵ ∠C=∠E，∠CAB=∠EAD，∴ △ACB∽△AED，　　　　　　　∴ ，BC=4，　　　　　　　在Rt△ABC中，.　　6. 　　7.证明：∵ ，∴ .　　　　　　∵ ∠A=∠A，∴ △BAD∽△CAB，　　　　　　∴ ∠ABD=∠C，∵ AB∥DE，　　　　　　∴ ∠ABD=∠BDE，∴ ∠BDE=∠C.　　　　　　∵ ∠DBE=∠CBD，　　　　　　∴ △BDE∽△BCD，　　　　　　∴ ，∴ .　　8.解：(1)如图所示，PC为视线，点C为所求位置.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(2)∵ AB∥PQ，MN⊥AB于M，　　　　　　 ∴ ∠CMD=∠PND=90°，　　　　　　 又∵ ∠CDM=∠PDN，　　　　　　 ∴ △CDM∽△PDN，　　　　　　 ∴ .　　　　　　 ∵ MN=20m，MD=8m，　　　　　　 ∴ ND=MN-MD=20-8=12(m)，　　　　　　 又∵ PN=24m，　　　　　　 ∴ ，　　　　　　 ∴ CM=16m，即点C到胜利街的街口的距离CM为16m. 综合探究　　1.(1)证明：∵ AD=CD，DE⊥AC，　　　　　　　 ∴ DE垂直平分AC，　　　　　　　 ∴ AF=CF，∠DFA=∠DFC=90°，∠DAF=∠DCF. 　　　　　　　 ∵ ∠DAB=∠DAF+∠CAB=90°，∠CAB+∠B=90°，　　　　　　　 ∴ ∠DCF=∠DAF=∠B.　　　　　　　 在Rt△DCF和Rt△ABC中，∠DFC=∠ACB=90°，∠DCF=∠B，　　　　　　　 ∴ △DCF∽△ABC.　　　　　　　 ∴ ，即.　　　　　　　 ∴ .　　　　(2)解：①∵ AB=15，BC=9，∠ACB=90°，　　　　　　　 　∴ ，∴ CF=AF=6.　　　　　　　 　∴ .　　　　　　　 ②∵ BC=9(定值)，　　　　　　　 　∴ △PBC的周长最小，就是求PB+PC最小.由(1)知，点C关于直线DE的对称点是点A，　　　　　　　 　∴ PB+PC=PB+PA，故只要求PB+PA最小.显然当P、A、B三点共线时PB+PA最小.　　　　　　　 　此时DP=DE，PB+PA=AB.　　　　　　　 　由(1)，∠DAF=∠B，∠DFA=∠ACB=90°，得△DAF∽△ABC.　　　　　　　 　EF∥BC，得，.　　　　　　　 　∴ .　　　　　　　 　∴ AD=10.　　　　　　　 　在Rt△ADF中，AD=10，AF=6，　　　　　　　 　∴ DF=8.　　　　　　　 　∴ .　　　　　　　 　∴ 当时，△PBC的周长最小，此时.
解直角三角形
　　一、知识点讲解：
　　1、解直角三角形的依据 　　在直角三角形ABC中，如果∠C=90°，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，那么 　　（1）三边之间的关系为 （勾股定理） 　　（2）锐角之间的关系为∠A+∠B=90° 　　（3）边角之间的关系为 　　
　　2、其他有关公式 　　直角三角形面积公式： （hc为c边上的高）
　　3、解直角三角形的条件 　　在除直角C外的五个元素中，只要已知其中两个元素（至少有一个是边）就可以求出其余三个元素。
　　4、解直角三角形的关键是正确选择关系式 　　在直角三角形中，锐角三角函数是沟通三角形边角关系的结合部，只要题目中已知加未知的三个元素中有边，有角，则一定使用锐角三角函数，应如何从三角函数的八个公式中迅速而准确地优选出所需要的公式呢？ 　　（1）若求边：一般用未知边比已知边，去寻找已知角的某三角函数 　　（2）若求角：一般用已知边比已知边（斜边放在分母），去寻找未知角的某三角函数。 　　（3）在优选公式时，尽量利用已知数据，避免“一错再错”和“累积误差”。
　　5、直角三角形时需要注意的几个问题 　　（1）在解直角三角形时，是用三角知识，通过数值计算，去求出图形中的某些边的长度或角的大小，这是数形结合为一种形式，所以在分析问题时，一般先根据已知条件画出它的平面或截面示意图，按照图中边角之间的关系去进行计算，这样可以帮助思考，防止出错。 　　（2）有些图形虽然不是直角三角形，但可添加适当的辅助线把它们分割成一些直角三角形和矩形，从而把它们转化为直角三角形的问题来解决。 　　（3）按照题目中已知数据的精确度进行近似计算
　　
二、例题解析：
例1、已知直角三角形的斜边与一条直角边的和是16cm，另一条直角边为8cm，求它的面积，
　　解：设斜边为c，一条直角边为a，另一条直角边b=8cm，由勾股定理可得 ，由题意，有c+a=16 ，b=8 　　 　　　 　　
　　说明：（1）由于知两边和及第三边的长，故相当于存在两个未知量，因为是在直角三角形中，所以可以利用勾股定理来沟通关系。 　　（2）由于是求解未知量问题，所以要运用方程思想，把问题转化为与未知量相关的方程问题，用方程知识求解。
　　例2、在△ABC中，,求：a、b、c的值及∠A。
　　解： ， 　　由直角三角形的边角关系，得 ，即 　　又∵a+b=3+ 　　　　 　　
说明：（1）本题涉及到边的关系及边角关系。 　　（2）此题利用边角关系先确定两边的关系，再转化为角关系及边关系，利用设未知量构造方程求解，它也是方程思想应用的一个典型的问题。
　　例3、已知△ABC中，∠C=90°，若△ABC的周长为30，它的面积等于30，求三边长。
　　解：设△ABC的三边分别为a、b、c，其中c是斜边。 　　由勾股定理，有 　　　　　　　 ① 　　依题意，有a+b+c=30　　　　　　　　 ② 　　及ab=30　　　　　　　 ③ 　　①、②、③联立，有
　　
　　说明：（1）由已知可知，它要应用直角三角形中的勾股定理及面积知识； 　　（2）因三边都是未知量，所以要利用已知中提供的关系，运用方程思想转化为方程问题求解。
　　例4、如图：△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D点，若∠A=60°，AB-CD=13，求BC及 。 　　解：∵∠ACB=90°，∠A=60°， 　　∴∠B=30°， 　　∵CD⊥AB， 　　∴BC=2CD。 　　设CD=x， 则BC=2x 　　∵AB-CD=13， 　　∴AB=13+x。 　　在△ABC中，∠ACB=90°， 　　∴ 　　∵∠B=30°， 　　∴ 　　∴ 　　∴BC=6+8 　　∴AB=16+4 　　
　　例5、如图：△ABC中，∠A=90°，D是AB上一点，若BD=8， ，且tan∠CDA= ，求AC的长。
　　解：在△ABC中，∠A=90°　　 　　又　　设AB=12x，BC=13x。 　　由勾股定理，有 　　即 　　∴AC=5x 　　∵AD=AB-BD 　　∴AD=12x-8 　　在△ADC中，∠A=90°　　tan∠CDA= 　　tan∠CDA=　　 　　　　
　　说明：（1）题目中涉及到两个直角三角形中的三角函数值，且只知边的一部分长。因此要借助公共量沟通它们之间的关系；　　（2）由于两个直角三角形含有公共角及公共边，所以可在一个三角形中利用三角函数关系构造含未知量的方程，在另一个三角形中用三角函数表示三边的关系式，即方程，就可求解。
　　例6、已知△ABC中，∠BAC=60°，AB∶AC=5∶2且 ，求三边的长。
　　解：过C点作CD⊥AB于D点。 　　∴∠ADC=90°。 　　∵∠A=60°， 　　∴∠ACD=30°。 　　∵AB∶AC=5∶2， 　　设AB=5x，AC=2x 　　∵AD=AC， 　　∴AD=x 　　由勾股定理，有 　　
　　由勾股定理，有 　　∴BC=2 　　答：AB=10，AC=4，BC=2 。
　　说明：（1）已知条件中只知∠A为60°及斜三角形的面积，而边也只知它们的比值，因此无法直接利用已知； 　　（2）为了转化为直角三角形及充分利用60°的角的条件，必须先转化为直角三角形。即构造AB边上的高线，由边的比值转化为未知量之间的关系构成方程求解。
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　　选择题　　A组：（每题１１分）　　1．已知在直角三角形中，锐角α的邻边是m，则斜边等于（　 ） 　 A、　　 B、　　 C、　　 D、
　　2．RtΔABC中，AD是斜边BC上的高，若BC=a，∠B=α，则AD=（　 ） 　 A、asin2α　　 B、acos2α　　 C、asinαcosα　　 D、asinαtanα
　　3．已知：CD是RtΔABC斜边AB上的高，CD=12，sinB= ,则AB的长为（　 ） 　 A、15　　 B、16　　 C、20　　 D、25
　　4．已知RtΔABC中，∠C=90°，tanA=，ΔABC周长为120，则ΔABC的面积为（　 ） 　 A、480　　 B、120　　 C、60　　 D、120
　　5．ΔABC中，∠A=105°，∠C=45°，AB=20 ，则AC，BC分别为（　 ） 　 A、15,20　　　　　　　　 B、20, 10 　　 　 C、20, 10+10　　 D、15, 10
　　B组：（每题１５分）　　6．在等腰ΔABC中，一腰上的高为 ，这条高与底边的夹角为30°，则ΔABC的面积为（　 ） 　 A、　　 B、2　　 C、　　 D、3
　　7．已知一直角三角形的面积为50 ，斜边长为20，则这个直角三角形两锐角的正弦之积为（　 ） 　 A、　　 B、　　 C、　　 D、
8．直角三角形ΔABC的周长为2+ ，斜边上的中线CD长为1，求tanA+tanB的值（　 ） 　 A、4　　 B、4　　 C、6　　 D、6
解直角三角形的应用
　　一、内容综述
　　解直角三角形在实际生产中应用广泛，经常遇到的是测量问题，首先要正确理解一些专门名词的意义。
　　1．仰角和俯角
　　在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的叫做仰角，视线在水平线下方的叫做俯角。
　　2．坡度和坡角
　　通常把坡面的铅直高度h和水平宽度l之比叫坡度，用字母i表示，即i= 　　坡度一般写成m:n的形式，如i=1:4（即i=）
　　把坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作a，于是i==tana
　　显然，坡度越大，a角越大，坡面就越陡。
　　3．方向角：
　　指北或指南的方向线与目标方向线所成的小于90o的角叫做方向角。
　　二、例题分析：
　　例1．在高2米，坡角为30o的楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少需要多少米（精确到0.1米）？
　　分析：这是一个日常生活中的实际问题，观察图形可以发现，楼梯表面铺设地毯的长度至少应等于一个锐角为30o，其所对直角边长为2米的直角三角形两条直角边的长度之和。
　　解：两条直角边长度之和=2·cot30o+2=2+2≈2×1.73+2≈5.5(米)
答：地毯的长度至少约需要5.5米。
　　例2．池塘中竖着一块碑，在高于水面1米的地方观测，测得碑顶的仰角为20o，测得碑顶在水中倒影的俯角为30o，求水面到碑顶的高度（精确到0.01米，tan70o=2.747）
　　分析：这是一个有关测量的实际问题，解决这个问题要用到物理学中的知识，物体在水中的“倒影”，可以看成物体在平面镜上所成的像，根据平面镜成像的特点，物体与其像大小相等，且物体到平面镜的距离，等于像到平面镜的距离。
　　解：根据题意画出示意图，DE表示水面；A为观测点，B为碑顶，B'是碑顶在水中的倒影。 　　由题意： 　　∠BAC=20o, ∠B'AC=30o, AD=1(m) 　　∴∠B=70o,∠B'=60o 　　设BE=x米，则B'E=x米　 　　BC=(x-1)米，B'C=(x+1)米 　　在Rt△ABC中， 　　AC=BC·tanB=(x-1)tan70o ① 　　在Rt△AB'C中， 　　AC=B'C·tanB'=(x+1)tan60o ② 　　由①②得 (x-1)tan70o=(x+1)tan60o 　　∴(tan70o-tan60o)x=tan70o+tan60o 　　∴(2.747-)x=2.747+ 　　∴1.015x=4.479 　　∴x≈4.41
　　答：水面到碑顶的高度约为4.41米。
　　例3．已知甲船在A处，乙船在甲船的正南方向的B处，甲船由A处向北偏西75o方向行驶，同时乙船由B处向正北方向行驶，半小时到C处 ，此时甲船在乙船的北偏西30o方向，距乙船10(+1) 海里的D处，问甲船每小时行驶多少海里？
　　分析：此题是有关航行的实际问题，要用到方向角的知识，解决此问题关键是由已知条件正确画图，然后转化为解直角三角形的问题。
　　解：根据题意画出图形： 　　由题意可得∠FAD=75o, 　　∠ACD=30o, CD=10(1+) 　　∴∠D=75o-30o=45o 　　作AE⊥CD交CD于E 　　∴AE=ED 　　设AE=ED=x，则CE=CD-DE=10(+1)-x 　　在Rt△AEC中，tan30o= 　　∴= 　　3x=10(3+)-x 　　解得　x=10　　 ∴AE=ED=10 　　在Rt△ADE中，由勾股定理可得AD=10,所用时间为半小时， 　　∴甲船速为20海里
　　答：甲船速为20海里。
　　说明：此题要求甲船速度就转化为求AD的长，要使∠D=45o、∠ACD=30o这些特殊角发挥作用，则要放在Rt△中，所以过A作AE⊥DC于E。
　　例4．如图，海上有一座灯塔P，在它周围3海里区域有暗礁，一艘客轮以每小时9海里的速度由西向东航行，行至A处测得灯塔P在它的北偏东60o方向，继续行驶20分钟后，到达B处，又测得灯塔P在它的北偏东45o方向，问客轮不改变方向，继续前进有无触礁的危险？
　　分析：此题实际是要求点P到A、B所在直线的距离比3大还是比3小，若比3大，则不会有触礁危险，否则，有触礁危险。
　　解：作PC⊥AB延长线于C 　　由已知可得∠PBC=45o，　 ∠PAC=30o 　　∴PC=BC 　　设PC=BC=x　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　在Rt△PAC中， 　　tan∠PAC== 　　∵AB=9×=3(海里) 　　∴= 　　∴3x=3+x，　(3-)x=3 　　∴x=(+1)>3
　　答：客轮不改变方向行驶无触礁危险。
　　说明：如何比较(+1)与3的大小？可以用÷3=>1 　　∴(+1)>3。原理：若a>0，且b>0，>1，则a>b。
　　例5．海轮以每小时30海里的速度航行，在点A处，测得海上油井P在它的南偏东60o方向，向北航行40分钟后到达B处，测得油井P在它的南偏东30o方向，海轮改北偏东60o再航行120分钟到达C处，求P、C间的距离及此时点C在油井P的什么方向。
　　解：由已知条件画出示意图 　　由已知可得∠NAP=60o,∠ABP=30o ，∠MBC=60o　　AB=30×=20(海里) 　　BC=30×=60(海里) 　　∴∠BPA=30o 　　∴AB=AP=20 　　作AD⊥BP于D， 在Rt△ADP中， 　　∴PD=AP·cos∠BPA=20×cos30o=20×=10 　　∴BP=2PD=20 　　∵∠CBP=90o 　　∴在Rt△CBP中，由勾股定理可得 　　PC===40 　　∴sin∠BPC=== 　　∴∠BPC=60o 　　∵∠BPQ=∠ABP=30o 　　∴∠QPC=30o 　　∴C点在P的北偏东30o
　　答：P、C间距离为40海里，此时点C在油井P北偏东30o方向。
　　说明：（1）在哪点测量就要在哪点建立方位坐标 　　（2）若求A在B的什么方向，则要在B点建立方位坐标。
　　例6．如图，在某山顶A处垂直于水平面有一高塔，塔高为(40-40)米，坡AB的坡比i1=1：，坡AC的坡比i2=1:1，且AB-AC=(80-40)米，求由塔顶M处观看B点时的俯角q的值。
　　分析：AB的坡比（即坡度）i1=1:，即∠ABC的正切值为，同理坡AC的坡比i2=1：1，即tan∠C=1，若已知一个角的三角函数值，应把这个角放在Rt△中。 　　∴应延长MA交BC于D
　　解：延长MA交BC于D 　　在Rt△ABD中， 　　∵i1=1:　　　∴tan∠ABD=，　∴∠ABD=30o 　　在Rt△ADC中，　　∵i2=1:1　 ∴tan∠C=1 　　∴∠C=45o 　　∴AD=CD
　　设AD为x，则AB=2x，AC=x,BD=x 　　∵AB-AC=80-40 　　∴(2-)x=40(2-) 　　∴x=40 　　∴AD=40, BD=40 　　∴MD=MA+AD=40-40+40=40 　　∴MD=BD 　　在Rt△MBD中， 　　∠BMD=45o 　　∴∠q=45o
答：由塔顶M处观看B点时的俯角q为45o。
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　　A组选择题　　1、在ΔABC中，∠C=90°，cosA=, a=2,则b+c等于（　　 ）。 　 (A)4　　 (B)8　 　 (C)1　　 (D)6
　　2．在RtΔABC中，∠C=90°，AC=BC，点D在AC上，∠CBD=30°，则=（　 ）。 　 (A)　　 (B)　　 (C)-1　　 (D)不能确定
　　3．在矩形ABCD中，DE⊥AC于E，设∠ADE=α，且cosα=,AB=4，则AD的长为（　 ）。 　 (A)3　　　 (B)　　 (C)　　 (D)
　　4．若太阳光线与地面成37°角，一棵树的影长为10米，则这棵树的高度h的范围是（）（　　　 ） 　 (A)　　 (B)　　 (C)　　 (D)
　　5．河堤的横断面如图所示,堤坝的高度BC是5米，迎水斜坡AB的长是13米，那么斜坡AB的坡度i是 　 (A)1：3　　　　　 (B)1：2.6 　 (C)1：2.4　　　　 (D)1：2
　　B组选择题
　　1、如图，两建筑物的水平距离为a米，从A点测得D点的俯角为α，测得C点的俯角为β，则较低建筑物CD的高为（　 ）。 　 (A)a米　　　 (B)acotα米 　 (C)acotβ米　 　 (D)a(tanβ-tanα)米
?
　　2．如图，从山顶A望地面C，D两点，测得它们的俯角分别是45°和30°，已知CD=100米，点C位于BD上，则山高AB等于（　 ）。 　 (A)100米　　 (B)50米 　 (C)50米　　 (D)50(+1)米
锐 角 三 角 函数
　　一、知识归纳
　　1、锐角三角函数定义。
　　2、互余角的三角函数间的关系。 　　sin(900-α)=cosα, cos(900-α)=sinα, 　　tan(900-α)=cotα, cot(900-α)=tanα.
　　3、同角三角函数间的关系： 　　平方关系：sin2α+cos2α=1 　　倒数关系：cotα=(或tanα·cotα=1) 　　商的关系：tanα=, cotα=. （这三个关系的证明均可由定义得出）
　　4、三角函数值 　　（1）特殊角三角函数值 　　（2）00～900的任意角的三角函数值，查三角函数表。 　　（3）锐角三角函数值的变化情况 　　（i）锐角三角函数值都是正值 　　（ii）当角度在00～900间变化时， 　　正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小） 　　余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大） 　　正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小） 　　余切值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大） 　　（iii）当角度在00≤α≤900间变化时， 　　0≤sinα≤1, 1≥cosα≥0, 　　当角度在00<α<900间变化时， 　　tanα>0, cotα>0.
　　二、例题分析
　　1、已知在△ABC中，∠C=900，sinA=，求cosA+tanB.
　　解法1：在△ABC中，∠C=900， sinA=， 　　设BC=3k, AB=5k, 　　∴由勾股定理可得AC=4k, 　　∴cosA=, tanB=, 　　∴cosA+tanB=+=.
　　解法2：在△ABC中，∠C=900，∠A+∠B=900， 　　∴sin2A+cos2A=1, 　　∵sinA=, 　　∴cosA===, 　　∵cotA===, 　　∴tanB=cotA=, 　　∴cosA+tanB=+=.
　　说明：已知一个角的三角函数值，求其他的三角函数值时，常用的方法有两个：利用定义或三角函数之间关系。
　　2、如图△ABC中，∠BAC=1200，AB=10，AC=5，求sinB·sinC的值。
　　分析：由所求得知，需将∠B，∠C分别置于直角三角形之中，另外已知∠A的邻补角是600，若要使其充分发挥作用，也需将其置于直角三角形中，所以考虑分别过点B，C向CA，BA的延长线作垂线段，即可顺利求解。
　　解：过点B作BD⊥CA的延长线于点D，过点C作CE⊥BA的延长线于点E， 　　∵∠BAC=1200， 　　∴∠BAD=600，∠ABD=300，　　∵AB=10， 　　∴AD=5，由勾股定理得BD=5，　　∵AC=5，CD=10， 　　∴BC=5，sinC==， 　　同理可求得，sinB=， 　　∴sinB·sinC=·=。
　　3、CD是直角三角形ABC的斜边AB上的高，△ACD，△BCD，△ABC的面积分别用P、Q、S表示，已知=，求sinB的值。
　　解：设a、b、c是∠A、∠B、∠C的对边， 　　∵∠ACB=900，CD⊥AB， 　　∴△ACD∽△BCD∽△BAC， 　　∴=，=， 　　∵已知=， 　　∴=，a4=b2c2, a2=bc……(1), 　　∵∠ACB=900, ∴a2=c2-b2……(2), 　　(2)代入(1)得：c2-b2=bc,两边除以c2, 将： 　　1-()2=, 则()2+()-1=0, 　　设=x，则x2+x-1=0, 　　解之：x=（舍去负值）， 　　∴x==, 　　∴sinB==.
　　4、在Rt△ABC中，∠C=900，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边，D是斜边的中点，且CD=17，a+b+c=80，求tanA+tanB的值。
　　解1：△ABC中，∠C=900， 　　∵CD是斜边中线且CD=17， 　　∴c=34，c2=a2+b2=342(1), 　　∵a+b+c=80, 　　∴a+b=46, ∴(a+b)2=462, 　　∴a2+b2+2ab=462, ∴2ab=462-342, ∴ab=480(2), 　　∵tanA+tanB=+=(3), 　　将(1)(2)代入(3)则，tanA+tanB=. 　　解2：∵△ABC中，∠C=900， CD=17，∴c=34， 　　∵a+b+c=80, ∴a+b=46, 　　∵ 　　　再解方程组分别求出a, b，从而求tanA, tanB即可。
　　说明：此例说明求三角函数可以根据具体条件用整体代换的方法。
　　5、如图，在△ABC中，∠C=900，AC=BC，BD为AC边上的中线，求sin∠ABD和tan∠ABD的值。
　　分析：欲求∠ABD的正弦值和正切值，就需要在直角三角形中解决问题，就是说∠ABD需要位于直角三角形中，所以想到过D点作AB边的垂线，既然要求sin∠ABD和tan∠ABD的值，就应确定一个衡量的标准，以便求出线段BD、DE和BE之间的数量关系。
　　解：设AD=a, 则CD=a, BC=2a, 　　在Rt△DCB中，BD===a, 　　过D作AB的垂线，交AB于E， 　　∵AC=BC，∠C=900， 　　∴∠A=450， 　　∴△AED是等腰直角三角形， 　　∵AD=a， 　　∴AD2=AE2+DE2，即a2=2DE2, 　　∴DE=a, 　　在Rt△DEB中，∵DE=a， BD=a, 　　∴BE===a， 　　∴sin∠ABD===, 　　tan∠ABD===。
　　6、已知：一张矩形的纸片ABCD，其中宽AD=6，按图所示折叠，使得C点恰好落在AB边上，且∠EDC=α，求：折痕DE的长。
　　分析：以DE为轴折叠，折叠前在△EFD的位置，折叠后在△ECD的位置，即这两个三角形全等，当用α的三角函数表示DE，须先求DC，在Rt△ECD中无法求，转而考虑在Rt△CAD中，当想到∠CDA=900-2α，则DC能用已知条件来表示，转而DE也能用已知条件来表示。
　　解：∵以ED为轴折叠， 　　∴∠FDE=∠CDE=α， 　　在R t△CAD中， 　　∠CDA=900-2α，AD=6， 　　∴cos∠CDA=, 　　∴DC=, 　　在Rt△ECD中，∵cosα=, 　　∴DE===·=。
　　说明：此题是用三角函数概念解题，首先要明白题意，然后进行思路分析，会用已知字母表示未知线段。
　　7、化简(00<α<900)。
　　解：∵1=sin2α+cos2α
　　∴原式== 　　　　　= 　　　　　=|sinα-cosα| 　　　　　=　　说明： 　　（1）本题涉及到三角函数中同角三角函数值的比大小等知识； 　　（2）利用三角函数的定义，使“1”巧妙地转化为同角三角函数关系，进而化为完全平方式是本题的关键。　　（3）本题应用了“分类讨论的思想”，从中要体会分类的标准要唯一，即角的取值范围。
　　8、已知α，β均为锐角，且sinα>cosβ。 　求证：α+β>900。
　　证明：∵α，β均为锐角， 　　∴cosβ=sin(900-β), 　　∵sinα>cosβ, 　　∴sinα>sin(900-β), 　　∵900-β也是锐角。 　　α一个锐角的正弦值在00～900之间时，随着锐角的增大而增大。 　　∴α>900-β, 　　∴α+β>900.
　　说明：（1）求α+β>900的问题，需要转化为两个角比大小问题，进而转化为三角函数值的增减性问题。　　（2）为了利用三角函数的增减性，就需要把不同名的三角函数转化为同名的三角函数，转化的依据就是借助“互余角的三角函数的关系”。
　　9、在△ABC中，求证tan=cot.
　　证明：在△ABC中， 　　∵∠A+∠B+∠C=1800， 　　∴∠A+∠B=1800-∠C， 　　∴=900-， 　　∴tan=tan(900-)=cot。
　　说明：等式tan=cot成立是有条件的，即“在△ABC中”，如果把这个条件去掉，则等式就不一定成立了，类似地还可以证明。”
　　Sin=cos, cos=sin.
　　10、已知θ为锐角，化简|1-tanθ|+|-tanθ|.
　　分析：化简此式，即去掉绝对值符号，要去掉绝对值符号则要判断绝对值里面的数是正的，还是负数，此式有两个绝对值，则要看当|1-tanθ|=0时，1-tanθ=0, 即tanθ=1, θ=450, 当|-tanθ|=0时，-tanθ=0，即tanθ=，θ=600，所以450，600这两个角度把锐角分成了三部分，即00<θ<450, 450≤θ≤600, 600<θ<900, 因此要使θ在这三部分取值，去掉绝对值符号。
　　解：当00<θ<450时， 　　原式=1-tanθ+-tanθ=1+-2tanθ, 　　当450≤θ≤600时， 　　原式=tanθ-1+-tanθ=-1, 　　当600<θ<900时， 　　原式=tanθ-1+tanθ-=2tanθ-1-。
　　说明：在去掉绝对值符号时，还要用到正切值在00～900间的变化情况，即在00～900之间tanα随角α的增大而增大。
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A组　　1．在直角三角形ABC中，各边的长度都扩大两倍，那么锐角A的各三角函数值（　 　 ）。 　 （A）都扩大两倍；　　 （B）都缩小到一半； 　 （C）没有变化；　　　 （D）不能确定。
2．在 　　（A）
3．在直角三角形ABC中，斜边AB是直角边BC的4倍，则cosA是（　 　 ）。 　　（A）
4．在 　
5． 　　（A）
　　6．菱形ABCD的对角线AC=10cm, BD=6cm, 那么等于（　 ）。 　　（A）
　　7．等腰三角形底边长10cm,周长为36cm,那么底角的余弦等于（　 　 ）。 　　
　　8．如图， 　　
　　B组　　1、化简的结果是（　 　 ）。 　 （A）cot500-tan500;　　　　　 （B） tan500- cot500 　 （C）cot500-tan500-　　　 （D） tan500 +cot500
　　2、已知 　 （A）小于1；　　　 （B）大于1；　 （C）等于1；　　　 （D）不能确定范围。