2021-2022学年人教版数学九年级下册27.2.2相似三角形的性质课时练习（Word版含答案）

相似三角形的性质
一、单选题
1．若，其周长之比为，则与的面积之比为（　　）
A． B． C． D．
2．如图，在中，，，，将沿着点A到点C的方向平移到的位置，图中阴影部分面积为4，则平移的距离为（　　）
A． B． C． D．
3．如图，在平行四边形ABCD中，DE：EC=4：1，连接AE交BD于点F，则S△DEF：S△BAF为（　　）
A．3：4 B．9：16 C．16：25 D．4：1
4．如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABO∽△CDO，且，若，则点C的坐标为（　　）
A． B． C． D．
5．如图，在等边三角形ABC中，P为边BC上一点，D为边AC上一点，且∠APD=60°，BP=1，CD=，则ΔABC的边长为（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
6．如图，在△ABC中，AB＝AC，D在AC边上，E是BC边上一点，若AB＝6，AE＝3，∠AED＝∠B，则AD的长为（　　）
A．3 B．4 C．5 D．5.5
7．如图，梯形OABC的一个顶点为平面直角坐标系的坐标原点O，OA∥BC，反比例函数经过点A、点B，已知OA＝2BC，若△OAB的面积为，则k的值为（　　）
A．1 B． C． D．2
8．如图，点F是矩形ABCD的边CD上一点，射线BF交AD的延长线于点E，则下列结论错误的是（　　）
A． B． C． D．
9．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，边BC在x轴上，顶点A，B的坐标分别为（－2，6）和（7，0）．将正方形OCDE沿x轴向右平移，当点E落在AB边上时，平移的距离为（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
10．如图，已知点A（1，0），点B（b，0）（b＞1），点P是第一象限内的动点，且点P的纵坐标为，若△POA和△PAB相似，则符合条件的P点个数是（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
11．如图，ABC中，DE∥BC，AD:BD=1:3，则OE：OB=（　　）
A．1:3 B．1:4 C．1:5 D．1:6
12．如图，在矩形ABCD中，E是AD边的中点，BE⊥AC，垂足为点F，连接DF，分析下列四个结论：①△AEF∽△CAB；②CF＝2AF；③FC＝DC；④CD:AD＝:2．其中正确的结论有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
13．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝20，BC＝15，P是AB边上一动点，PD⊥AC于点D，点E在P的右侧，且PE＝5，连接CE，P从点A出发，沿AB方向运动，当E到达点B时，P停止运动，在整个运动过程中，阴影部分面积S1+S2的最小值为（　　）
A．80 B．82.5 C．86 D．88.5
14．如图，在中，，，，是上的一点，于点，以为直径作，当与的交点落在上时，的值为（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
15．如图，矩形，分别以、为边向内作等边三角形（图1）；分别以、为边向内作等边三角形（图2），两个等边三角形的重叠部分用阴影表示，设图1中阴影部分的面积为，图2中阴影部分的面积为．若，则的值为（　　）
A． B． C． D．
二、填空题
16．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠DBC＝45°，BD＝，BC＝3，则的最小值为_________．
17．如图，菱形ABCD中，，垂足为点H，分别交AD、AB及CB的延长线交于点E、M、F，且，则的值为______．
18．如图，已知ABC和DEC的面积相等，点E在BC边上，DEAB交AC于点F，AB=12，EF=9，则DF的长是_____．
19．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC=BC=3，CD=1，CE⊥BD于点E，点F是AB的中点，则EF=________
20．如图，矩形OABC的对角线OB与反比例函数（x＞0）相交于点D，且BD:OD=2:3，则矩形OABC的面积为 ______．
三、解答题
21．如图，，动点，分别以每秒和的速度同时开始运动，其中点从点出发，沿边一直移到点为止，点从点出发沿边一直运动到点为止（点到达点后，点继续运动）
(1)请直接用含的代数式表示的长和的长，并写出的取值范围；
(2)当等于何值时，与相似？
22．如图，在正方形ABCD中，E为边AD的中点，点F在边CD上，且，延长EF交BC的延长线于点G．
(1)求证：△ABE∽△EGB
(2)若，求CG的长．
23．如图，、是的两条高，、分别是、的中点．
(1)求证：．
(2)试说明与的关系．
24．如图，在矩形ABCD中，点P是对角线AC上一动点(不与点A，C重合)，过点P作EF⊥BC，分别交AD，BC于点E，F．连接PD，过点P作PM⊥PD，交射线BC于点M，以线段PD，PM为邻边作矩形PMND．
(1)若AB=6，BC=8，
①当AE=2时，求CP的长．
②求PM：PD的值
(2)连接CN，当∠DAC=30°时，求证：2PE PF=CN CF．
25．如图，内接于，为直径，，点在（不与，，重合）上，，点在直线上，连接．
(1)如图1，若点在上，求证：；
(2)在（1）的条件下，，，求线段的长；
(3)若直线与直线相交于点，当时，求的值；
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．C
解：∵与的相似比为1：2，
∴与的面积比为，即为1：4，故C正确．
故选：C．
2．A
解：∵AB＝4，AC＝3，BC＝5，
∴AB2+AC2＝BC2，
∴△ABC是直角三角形，∠A＝90°，
∵将△ABC沿着点A到点C的方向平移到△DEF的位置，
∴△DEF的面积＝△ABC的面积＝＝6，DF＝AC＝3，
∵图中阴影部分面积为4，
∴ ，
∴，
解得：DC＝ ，
即平移的距离是CF＝AC﹣DC＝3﹣，
故选：A．
3．C
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DC∥AB，DC=AB，
∵DE：EC=4：1，
∴，
∴，
∵DE∥AB，
∴△DEF∽△BAF，
∴，
故选：C．
4．C
解：∵△ABO∽△CDO，且，
∴OA：OC＝1：2，
∵点A的坐标为（4，6），
∴点C的坐标为（8，12），
故选：C．
5．A
解：∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC=AC，∠B=∠C=60°，
∴∠BAP+∠APB=180°-60°=120°，
∵∠APD=60°，
∴∠APB+∠DPC=180°-60°=120°，
∴∠BAP=∠DPC，
即∠B=∠C，∠BAP=∠DPC，
∴△BAP∽△CPD，
∴
∵，CP=BC-BP=x-1，BP=1，
∴
解得：AB=3．
故选A．
6．A
解：根据题意可知，
∴．
∵，
∴．
又∵，
∴，
∴，即，
解得：．
故选A
7．D
解：如图，过点作轴于点，过点作轴于点，
则，
，
设，，则，，
反比例函数经过点、点，
，
，
，
，
解得，
．
故选：D．
8．C
解：∵四边形ABCD为矩形，
∴
∵
∴
又∵
∴
∴＝，＝，所以B选项结论正确，C选项错误；
∵
∴
又∵
∴
∴＝，＝
所以A选项的结论正确；
∵BC＝AD
∴＝
所以D选项的结论正确．
故选：C
9．C
解：如图，设正方形D′C′O′E′是正方形OCDE沿x轴向右平移后的正方形，
∵顶点A，B的坐标分别为（-2，6）和（7，0），
∴AC=6，OC=2，OB=7，
∴BC=9，
∵四边形OCDE是正方形，
∴DE=OC=OE=2，
∴O′E′=O′C′=2，
∵E′O′⊥BC，
∴∠BO′E′=∠BCA=90°，
∴E′O′∥AC，
∴△BO′E′∽△BCA，
∴，
∴，
∴BO′=3，
∴OO′=7-3=4，
故选：C．
10．D
解：∵点P的纵坐标为，
∴点P在直线y＝上，
①当△PAO≌△PAB时，AB＝b﹣1＝OA＝1，∴b＝2，则P(1，)；
②∵当△PAO∽△BAP时，PA：AB＝OA：PA，
∴PA2＝AB OA，
∴＝b﹣1，
∴(b﹣8)2＝48，
解得 b＝8±4，
∴P(1，2+)或(1，2﹣)，
综上所述，符合条件的点P有3个，
故选D．
11．B
解：∵DE∥BC，
∴ADE∽ABC，
∴，
又∵，
∴，
∵DE∥BC，
∴ODE∽OCB，
∴．
故选：B．
12．C
解：①如图，过D作DM∥BE交AC于N，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，∠ABC=90°，AD=BC，
∵BE⊥AC于点F，
∴∠EAC=∠ACB，∠ABC=∠AFE=90°，
∴△AEF∽△CAB，故①正确；
②∵AD∥BC，
∴△AEF∽△CBF，
∴，
∵AE=AD=BC，
∴，即CF=2AF，
∴CF=2AF，故②正确；
③作DM∥EB交BC于M，交AC于N，
∵DE∥BM，BE∥DM，
∴四边形BMDE是平行四边形，
∴BM=DE=BC，
∴BM=CM，
∴CN=NF，
∵BE⊥AC于点F，DM∥BE，
∴DN⊥CF，
∴DM垂直平分CF，
∴DF=DC，
而FC≠DC故③错误；
④设AE=a，AB=b，则AD=2a，
由△BAE∽△ADC，
∴，即b=a，CD:AD =，故④正确，
综上所述正确的是①②④，
故选C．
13．B
解：在Rt△ABC中，∵∠ACB=90°，AC=20，BC=15，
∴
设PD=x，AB边上的高为h，则
∵
∴△ADP∽△ACB，
∴
∴
∴，
当时，此时
当时，有最小值，最小值为：
故选B
14．C
解：如图所示，
当CH与PB的交点D落在⊙O上时，
∵HP是直径，
∴∠HDP＝90°，
∴BP⊥HC，
∴∠HDP＝∠BDH＝90°，
又∵∠PHD+∠BHD＝90°，∠BHD+∠HBD＝90°，
∴∠PHD＝∠HBD，
∴△PHD∽△HBD，
∴，
∴HD2＝PD BD，
同理可证CD2＝PD BD，
∴HD＝CD，
∴BD垂直平分CH，
∴BH＝BC＝6，
在Rt△ACB中，
AB10，
∴AH＝10﹣6＝4，
∵∠A＝∠A，∠AHP＝∠ACB＝90°，
∴△AHP∽△ACB，
∴，
即，
∴AP＝5，
故选：C．
15．B
解：
设=m，令AB=1,则AD=m，
∵两个正三角形以AD、BC为底，所得图形是对称图形，
∴EF所在直线平行AD与BC，
∴AM=BM=，
∵∠HBE=90°-60°=30°，
∴AH=，
∴ME=
根据对称性关系可知EF=m-2×=m-，HG=m-
∴梯形EFGH面积=
∴S1=，
同理根据图二可知
AK=，△ABR的高为，
∴△QPR的高为，
根据△QPR∽△ABR，
求得PQ=
∴三角形PQR面积=，
∴S2=，
∵，
整理得到：，
∴化简求得m=或（舍弃），
∴=，
故选：B．
16．
解：如图，过点A作于点E，过点D作于点F．作于点B，于点C，CH和BH交于点H，取BH中点G，连接AG、CG．
∵，，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
设，则．
∵G为BH中点，，
∴．
∴在中，，
∴．
故答案为：．
17．##1:6
解：连接BD，如图，
四边形ABCD为菱形，
， AD=BC，，
，
，
而，
四边形BDEF为平行四边形，
，
由AE：FB=1：2，设AE=x，FB=DE=2x，BC=3x，
AE：CF=x：5x=1：5，
，
，
AH：HC=AE：CF=1：5，
AH：AC=1:6
故答案为．
18．7
解：∵△ABC与△DEC的面积相等，
∴△CDF与四边形AFEB的面积相等，
∵AB∥DE，
∴△CEF∽△CBA，
∵EF=9，AB=12，
∴EF：AB=9：12=3：4，
∴△CEF和△CBA的面积比=9：16，
设△CEF的面积为9k，则四边形AFEB的面积=7k，
∵△CDF与四边形AFEB的面积相等，
∴S△CDF=7k，
∵△CDF与△CEF是同高不同底的三角形，
∴面积比等于底之比，
∴DF：EF=7k：9k，
∴DF=7．
故答案为：7．
19．
解：∵∠ACB＝90°，CE⊥BD，
∴∠DCE=∠DBC，
∴△CDE∽△BDC，
∴，∠DCE＝∠DBC，
∵AC=BC=3，CD=1，
∴BD=，
∴，
∴CE=，DE=，
在BD上截取BG=CE，连接FG，
∵∠ACB＝90°，AC=BC=3，点F是AB的中点，
∴CF=BF，∠FBC＝∠ACF＝45°，
∴∠FBC-∠DBC＝∠ACF-∠DCE，
∴∠ECF＝∠GBF，
∴△CEF≌△BGF，
∴EF=FG，CE=BG=，∠EFC＝∠BFG，
∴∠EFG＝90°，
∴EF=，
∵EG=BD-DE-BG=--=，
∴EF==，
故答案为：．
20．
解：过点作于点，则，
∵BD:OD=2:3，
∴OD:OB=3:5，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴矩形OABC的面积为，
故答案为：．
21．(1)AP=2tcm（），AQ=（16-2t）cm（） (2)或
(1)
解：由题可知：AP=2tcm（），AQ=（16-2t）cm（）
(2)
解：当时
①若QP∥BC，则有△AQP∽△ABC．
∴
又∵AB=16cm，AC=12cm，AP=2tcm，
∴
解得：；
②由∠A=∠A，若∠AQP=∠C，则有△AQP∽△ACB．
∴，
∴
解得：t=6.4（不合题意，舍去）
当6≤t≤16时，点P与点C重合，
∵∠A=∠A，只有当∠AQC=∠ACB，有△AQP∽△ACB．
∴
∴
解得：
综上所述：或．
22．(1)见解析；(2)
(1)
证明：∵四边形ABCD为正方形，且∠BEG＝90°，
∴∠A＝∠BEG，
∵∠ABE+∠EBG＝90°，∠G+∠EBG＝90°，
∴∠ABE＝∠G，
∴△ABE∽△EGB；
(2)
解：∵AB＝AD＝6，E为AD的中点，
∴AE＝DE＝3．
在Rt△ABE中，BE＝＝3，
由（1）知，△ABE∽△EGB，
∴，
即：，
∴BG＝15，
∴CG＝BG﹣BC＝15﹣6＝9．
23．(1)见解析 (2)垂直平分，理由见解析
(1)
∵、是的两条高，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴；
(2)
如图，连接，
∵、是的两条高，
∴
∵是的中点，，
∴，，
∴，
∵是的中点，
∴垂直平分．
24．(1)①；② (2)见解析
(1)
解：①∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B=∠BAE=90°，
∴，
又∵EF⊥BC，
∴∠BFE=90°，EF∥AB
∴四边形ABFE是矩形，△ABC∽△PFC，
∴BF=AE=2，，
∴CF=BC-BF=6，
∴，
∴,；
②同理可证四边形EFCD是矩形，
∴DE=CF=6，
∵∠DEP=∠PFM=90°，
∴∠EDP+∠EPD=90°，
∵四边形PMND是矩形，
∴∠DPM=90°，
∴∠EPD+∠FPM=90°，
∴∠EDP=∠FPM，
∴△EDP∽△FPM，
∴；
(2)
解：由（1）可知，
又∵PM=DN，
∴，
∵∠ADC=∠PDN=90°，
∴∠ADP=∠CDN，
∴△ADP∽△CDN，
∴，
∵，
∴，
∵∠DAC=30°，∠AEP=90°，
∴，
∴，
∴
25．(1)见解析 (2) (3)1或2
(1)
解：为的直径
∴
∵，
∴，是等腰直角三角形，
∴，
∵
∴是等腰直角三角形，
∴，，
∴，即，，
∴；
(2)
解：∵，，
∴
∵
∴
∵
∴
∴
(3)
如图1，连结，作于点
∵
∴可设，
由等腰直角三角形，可得，
∵为直径
∴
∵
∴
∵
∴可证
∴
∴
∵
∴
∴．
如图2，连结，作于点
∵
∴可设，
由等腰直角，可得，
∵为直径
∴
∵
∴
∵
∴可证
∴
∴
∵
∴
∴
综上所述的值为1或2．
备注：若在上方，方法结论都一样．
答案第1页，共2页