2021-2022学年华东师大版数学九年级下册26.2.3求二次函数的表达式课时练习（Word版含答案）

求二次函数的表达式
一、单选题
1．设函数y＝a（x﹣h）2+k（a，h，k是实数，a≠0），当x=1时，y=2；当x=5时，y=6，以下判断正确的是（　　）
A．若h＝2，则a＜0 B．若h＝4，则a＞0
C．若h＝6，则a＜0 D．若h＝8，则a＞0
2．抛物线y=ax2+bx+c经过点(3，0)和(2，﹣3)，且以直线x=1为对称轴，则它的解析式为（　　）
A．y=﹣x2﹣2x﹣3 B．y=x2﹣2x﹣3 C．y=x2﹣2x+3 D．y=﹣x2+2x﹣3
3．二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象如图所示，当x＞0时，函数值y的取值范围是（　　）
A． B．y≤2 C．y＜2 D．y≤3
4．某二次函数的图象与函数y＝x2﹣4x＋3的图象形状相同、开口方向一致，且顶点坐标为（﹣2，1），则该二次函数表达式为（　　）
A．y＝（x﹣2）2＋1 B．y＝（x﹣2）2﹣1
C．y＝（x＋2）2＋1 D．y＝﹣（x＋2）2＋1
5．在羽毛球比赛中，某次羽毛球的运动路线可以看作是抛物线的一部分（如图），其中出球点B离地面0点的距离是1m，球落地点A到0点的距离是4m，那么羽毛球到达最高点时离地面（　　）
A．米 B．米 C．米 D．米
6．我们可以把一个函数记作y＝f（x），若已知f（3x）＝3x2＋b，且f（1）＝0，则（　　）
A． B．
C．f（x）＝3x2﹣3 D．
7．已知抛物线与二次函数y＝2x2的图象的开口大小相同，开口方向相反，且顶点坐标为（﹣1，2021），则该抛物线对应的函数表达式为（　　）
A．y＝﹣2（x﹣1）2 +2021 B．y＝2（x﹣1）2 +2021
C．y＝﹣2（x+1）2+2021 D．y＝2（x+1）2+2021
8．设函数y＝a（x﹣h）2+k（a，h，k是实数，a≠0），当x＝1时，y＝1；当x＝6时，y＝6，（　　）
A．若h＝2，则a＜0 B．若h＝3，则a＞0
C．若h＝4，则a>0 D．若h＝5，则a＞0
9．已知抛物线经过点，且该抛物线的对称轴经过点A，则该抛物线的解析式为（　　）
A． B． C． D．
10．在平面直角坐标系中，如果点P的横坐标与纵坐标相等，则称点P为和谐点，例如：点P（1，1）、（﹣2，﹣2）、（0.5，0.5）…，都是和谐点，若二次函数y＝ax2+7x+c（a≠0）的图象上有且只有一个和谐点（﹣1，﹣1），则此二次函数的解析式为（　　）
A．y＝3x2+7x+3 B．y＝2x2+7x+4 C．y＝x2+7x+5 D．y＝4x2+7x+2
11．如图，抛物线（a＞0）与x轴交于A，B，顶点为点D，把抛物线在x轴下方部分关于点B作中心对称，顶点对应D′，点A对应点C，连接DD′，CD′，DC，当△CDD′是直角三角形时，a的值为（　　）
A．或 B．或 C．或 D．或
12．如图为某二次函数的部分图像，有如下四个结论：①此二次函数表达式为y＝x2﹣x＋9：②若点B（﹣1，n）在这个二次函数图像上，则n＞m；③该二次函数图像与x轴的另一个交点为（﹣4，0）；④当0＜x＜5.5时，m＜y＜8．所有正确结论的序号是（　　）
A．①③ B．①④ C．②③ D．②④
二、填空题
13．请写出一个开口向下且过点（0，﹣4）的抛物线表达式为 _________________．
14．抛物线与x轴交于点（2，0），（﹣1，0），利用两点式抛物线解析式可设为：_____．
15．已知P（2m，4m2+1）是平面直角坐标系中的点，则点P的纵坐标y随横坐标x变化的函数解析式是 _____．
16．已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于A（1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，3），则二次函数的解析式是 _____．
17．如果抛物线的对称轴是x＝－3，且开口方向与形状与抛物线y= -2 x2相同，又过原点，那么a＝_______，b＝ ______，c＝_________．
三、解答题
18．如图，中，，点，点A，B，C在抛物线上，求该抛物线的解析式．
19．如图，二次函数y=ax2+bx﹣3的图象交x轴于点A（﹣1，0），点B（3，0），交y轴于点C，抛物线的顶点为点M．
(1)求二次函数的解析式；
(2)点P是抛物线上一点，设点P的横坐标为m（m>3），点Q在对称轴上，且AQ⊥PQ，若AQ=2PQ，求m的值．
20．已知：二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）中的x和y满足表：
x …… ﹣1 0 1 2 3 ……
y …… 0 ﹣3 ﹣4 m 0 ……
(1)这个二次函数的对称轴是直线______，m的值为______；
(2)求出这个二次函数的解析式；
(3)若点A（t，y1）、B（t+1，y2）两点都在该函数图象上，且t＜0，比较y1与y2的大小，并说明理由．
21．已知抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3+2a2（a≠0）．
(1)求这条抛物线的对称轴；
(2)若该抛物线的顶点在x轴上，求其解析式；
(3)设点P（m，y1），Q（3，y2）在抛物线上，若y1＜y2，求m的取值范围．
22．如图，在平面直角坐标系中，O为原点，抛物线y＝x2＋bx＋c（b，c为常数）经过点A（﹣4，0）和点B（0，﹣2）．
(1)求抛物线的解析式；
(2)在抛物线上是否存在一点P，使S△PAB＝S△OAB？若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由；
(3)点M为直线AB下方抛物线上一点，点N为y轴上一点，当△MAB的面积最大时，直接写出2MN＋ON的最小值．
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．C
解：当x=1时，y=2；当x=5时，y=6；代入函数式得：，
∴a（5-h）2-a（1-h）2=4，
整理得：a（6-2h）=1，
若h=2，则a=，故A错误；
若h=4，则a=，故B错误；
若h=6，则a=，故C正确；
若h=8，则a=，故D错误；
故选：C．
2．B
解：把(3，0)与(2， 3)代入抛物线解析式得：
，
由直线x=1为对称轴，得到=1，即b= 2a，
代入方程组得：，
解得：a=1，b= 2，c= 3，
则抛物线解析式为y=x2 2x 3，
故选：B．
3．A
解：∵二次函数y＝ax2+bx+c图象的对称轴为，与轴的交点为，与轴的一个交点为，
∴另一交点为
设抛物线解析式为，将点代入得
解得
抛物线解析式为
则顶点坐标为
当x＞0时，函数值y的取值范围是
故选A
4．C
解：设二次函数的解析式为，
∵二次函数的图像顶点坐标为（﹣2，1），
∴二次函数的解析式为，
∵二次函数的图象与函数y＝x2﹣4x＋3的图象形状相同、开口方向一致，
∴二次函数的解析式为：，
故选：C．
5．B
解：解:将A(4,0),B(0,1)代入,可得b=,c=1,
故.则.
故答案选：B
6．A
解：∵f（3x）＝3x2+b＝（3x）2+b
∴f（x）＝x2+b，
∵f（1）＝0，
∴×12+b＝0，
解得b＝﹣，
∴f（x）＝x2﹣．
故选：A．
7．C
解：∵抛物线的顶点坐标为（﹣1，2021），
∴设抛物线的解析式为y＝a（x+1）2+2021，
∵抛物线y＝a（x+1）2+2021与二次函数y＝2x2的图象的开口大小相同，开口方向相反，
∴a＝﹣2，
∴抛物线的解析式为y＝﹣2（x+1）2+2021．
故选：C．
8．B
解：当x＝1时，y＝1；当x＝6时，y＝6；代入函数式得：，
∴a（6﹣h）2﹣a（1﹣h）2＝5，
整理得：a（7﹣2h）＝1，
A、若h＝2，则，选项说法错误，不符合题意；
B、若h＝3，则a＝1>0，选项说法正确，符合题意；
C、若h＝4，则，选项说法错误，不符合题意；
D、若h＝5，则，选项说法错误，不符合题意；
故选B．
9．D
解：∵抛物线经过点，且该抛物线的对称轴经过点A，
∴函数的顶点坐标是，
∴，
解得，
经检验均符合
∴该抛物线的解析式为.
故选D.
10．A
解：设和谐点为（t，t），
把（t，t）代入y＝ax2+7x+c得at2+7t+c＝t，
整理得at2+6t+c＝0，
∵t有且只有一个值，
∴△＝62﹣4ac＝0，即ac＝9，
把（﹣1，﹣1）代入y＝ax2+7x+c得a﹣7+c＝﹣1，即c＝6﹣a，
把c＝6﹣a代入ac＝9得a（6﹣a）＝9，解得a＝3，
∴c＝6﹣3＝3，
∴此二次函数的解析式为y＝3x2+7x+3．
故选：A．
11．A
解：∵抛物线（a＞0）与x轴交于A，B，
∴
∵a＞0
解得
∴点A（-3，0），点B（1，0），
∵点B为中心对称，
∴点C的横坐标为：1+（1+3）=5，
∴点C（5，0），
∴抛物线，
∴D（－1，－4a），
点D与点D′关于点B对称，
点D′的横坐标为1+（1+1）=3，纵坐标为4a，
∴D′（3，4a），
DD′=，CD=，
CD′=，
∵△CDD′是直角三角形，
当∠CD′D=90°，
根据勾股定理，CD′2＋DD′2＝CD2，即
，
解得，
∵a＞0，
∴；
当∠DCD′=90°，
根据勾股定理，CD′2＋CD2＝DD′2，即
，
解得，
∴，
∴综合得a的值为或．
故答案选：A．
12．C
解：①由图象顶点（2，9）可得y=a（x-2）2+9，
将（8，0）代入y=a（x-2）2+9得0=36a+9，
解得a=，
∴y=（x-2）2+9=y=x2+x+8，
故①错误．
②∵5.5-2＞2-（-1），
点A距离对称轴距离大于点B距离对称轴距离，
∴m＜n，
故②正确．
③∵图象对称轴为直线x=2，且抛物线与x轴一个交点为（8，0），
∴图象与x轴的另一交点横坐标为2×2-8=-4，
故③正确．
④由图象可得当x=0时，y=8，x=5.5时，y=m，x=2时，y=9，
∴0＜x＜5.5时，m≤y≤9．
故④错误．
故选：C．
13．y＝﹣x2﹣4（答案不唯一）
解：∵抛物线开口向下且过点（0，﹣4），
∴可以设顶点坐标为（0，﹣4），
故解析式为：y＝﹣x2﹣4（答案不唯一）．
故答案为：y＝﹣x2﹣4（答案不唯一）．
14．
解：∵抛物线与x轴交于点（2，0），（﹣1，0），
∴抛物线解析式可设为，
故答案为：．
15．
解：∵P（2m，4m2+1）是平面直角坐标系的点，
∴x=2m，y=4m2+1，
∴把代入y=4m2+1得：
，即点P的纵坐标随横坐标变化的函数解析式可以是，
故答案为：．
16．y=x2-4x+3
解：将A（1，0），B（3，0），C（0，3）代入函数解析式得，
，
解得：，
所以二次函数的解析式为y=x2-4x+3，
故答案为：y=x2-4x+3．
17． -2 -12 0
解：∵抛物线y=ax2+bx+c的开口方向，形状与抛物线y=-2x2相同，
∴a=-2，
∵抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是直线x=-3，
∴-=-3，即-=-3，解得b=-12；
∵抛物线过原点，
∴c=0．
故答案为：-2，-12；0．
18．
解：设该抛物线解析式为
∵AB=AC，∠BAC=90°
∴△ABC为等腰直角三角形
∴A点横坐标为；
∵△ABC为等腰直角三角形
∴A点距离x轴距离为=2
故A坐标（3，-2）
将A（3,-2）代入交点式解析式得：
解得
故解析式为
19．(1)y=x2﹣2x﹣3
(2)4
(1)
解：将A（﹣1，0），点B（3，0），代入y=ax2+bx﹣3，
得．
解得 ．
故二次函数的解析式为y=x2-2x-3；
(2)
解：过点Q作x轴的平行线交过点P与y轴的平行线与点N，交过点A与y轴的平行线于点M．
，
，
，
∴△AMQ∽△QNP．
∴．
该抛物线的对称轴所在的直线为，
故设点Q的坐标为（1，t），
由于点P的坐标为（m，m2﹣2m﹣3），
所以AM=t，QN=m﹣1，MQ=2，
NP=t﹣m2+2m+3．
∴．
解得，m=0（舍去）或4．
所以，m=4．
20．(1)；；
(2)
(3)
(1)
解：由表中、的对应值可知，当与时的值相等，
对称轴是直线，
由二次函数的对称性可知，当与时的值相等，
；
故答案为：；；
(2)
解：当时，，
设，
代入，，
，
，
抛物线的解析式为：；
(3)
解：，理由如下：
抛物线的解析式为：，开口向上，对称轴为直线，
，
，
此时，抛物线随的增大而减小，
．
21．(1)x=1
(2)或
(3)当a＞0时-1＜m＜3；当a＜0时，m＜-1或m＞3
(1)
∵抛物线，
∴抛物线的对称轴是直线x=1；
(2)
∵抛物线的顶点在x轴上，由（1）可知，该抛物线的顶点坐标为（1，2a2-a-3），
∴2a2-a-3=0，
解得或a=-1，
∴抛物线的关系式为或；
(3)
∵抛物线的对称轴为直线x=1，
∴点Q（3，y2）关于直线x=1对称的点的坐标为（-1，y2），
∴当a＞0，-1＜m＜3时，y1＜y2，当a＜0，m＜-1或m＞3时，y1＜y2．
22．(1)
(2)存在，点P的坐标为（﹣2﹣2，1+）或（﹣2+2，1﹣）或（﹣2，﹣3）
(3)3+2
(1)
解：把,点代入抛物线解析式y＝x2＋bx＋c得，
，解得，
故抛物线的表达式为：．
(2)
解：存在，理由如下：
过点O作直线m∥AB，在直线AB下方和直线m等间隔作直线n，则直线m、n和抛物线的交点即为点P，
由点、得，直线AB的表达式为y＝﹣x﹣2，
则直线m的表达式为y＝﹣x②，直线n的表达式为y＝﹣x﹣4③，
联立①②、①③并解得：x＝﹣2±2或x＝﹣2，
故点P的坐标为（﹣2﹣2，1+）或（﹣2+2，1﹣）或（﹣2，﹣3）；
(3)
解：过点M作轴交AB于点K，
设点M的坐标为（x，x2+x﹣2），点K（x，﹣x﹣2），
则△MAB的面积＝×MK×OA＝2（﹣x﹣2﹣x2﹣x+2）＝﹣x2﹣4x，
∵﹣1＜0，故△MAB的面积存在最大值，
此时x＝﹣2，则点M的坐标为（﹣2，﹣3），
过点O作直线l使直线l与y轴负半轴的夹角为30°，过点M作MH⊥l，交y轴于点N，
则点N为所求点，此时2MN+ON最小，
理由：HN＝ONsin30°＝ON，
则2MN+ON＝2（MN+ON）＝2MH为最小，
过点M作MT⊥y轴于点T，则∠NMT＝∠NOH＝30°，
则设MH的表达式为y＝x+t，
直线MH过点M（﹣2，﹣3），代入上式得：y＝（x+2）﹣3，
令x＝0，则y＝﹣3，则点N的坐标为（0，﹣3），
则ON＝3﹣，则NH＝，
由点M、N的坐标得，MN＝＝，
则2MN+ON的最小值为：+3﹣＝3+2．
答案第1页，共2页