10.2.1等腰三角形的性质与判定 同步练习（含答案）

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第十章 三角形的有关证明
2 等腰三角形
第1课时 等腰三角形的性质与判定
知识梳理
1.定理：等腰三角形的两个____________相等.简述为等边对等角.
2.定理：等腰三角形________角的平分线、_________的中线及__＿＿＿的高互相重合.
3.定理：有两个角相等的三角形是____________三角形.简述为等角对等边.
基础练习
1.如图，AB//CD，点E在线段BC上，CD=CE.若∠ABC=30°，则∠D的度数为( )
A.85° B.75° C.65° D.30°
第1题图 第2题图
2.如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD平分∠ABC交AC于点E，CD平分∠ACB交BE于点D，则图中等腰三角形的个数是( )
A.3 B.4 C.5 D.6
3.如图，AD，CE分别是△ABC的中线和角平分线.若AB=AC，∠CAD=20°，则∠ACE的度数为( )
A.20° B.35° C.40° D.70°
第3题图 第4题图
4.如图，在△ABC中，点D在边BC上，AB=AD=DC，∠C=35°，则∠BAD=_________.
5.如图，在△ABC中，AB=AC，D是边BC上的中点，连接AD，BE平分∠ABC交AC于点E，
过点E作EF∥BC交AB于点F.
(1)若∠C=36°，求∠BAD的度数；
(2)求证：FB=FE.
6.如图，在△ABC中，AB=AC，BD，CE是高，BD与CE相交于点O.
(1)求证：OB=OC；
(2)若∠ABC=50°，求∠BOC的度数.
7.如图，在△ABC中，AB=AC=10，BC=8，AD平分∠BAC，交BC于点D，E为AC上一点，且DE=AE=EC，则△CDE的周长为( )
A. 20 B. 12 C. 14 D. 13
第7题图 第8题图
8.如图，在△ABC中，AB=AC=6，点D在BC上，DE∥AC交AB于点E，DF∥AB交AC于点F，则四边形DEAF的周长是( )
A.6 B.8 C. 10 D. 12
9.如图，在等腰三角形ABC中，BD为∠ABC的平分线，∠A=36°，AB=AC=a，BC=b，则CD的长为( )
C.a-b D.b-a
第9题图 第10题图
10.如图，在△ABC中，点D在边BC上，BD=AD=AC，E为CD的中点.若∠CAE=16°，则∠B的度数为___________.
11.在如图所示的4个三角形中，均有AB=AC，则经过三角形的一个顶点的一条直线不能够将这个三角形分成两个小等腰三角形的是＿___________（填序号）.
12.如图，在△ABC中，∠ACB=110°，∠B＞∠A，D，E为边AB上的两个点，且BD=BC，AE=AC.
(1)若∠A=30°，求∠DCE的度数.
(2)∠DCE的度数会随着∠A度数的变化而变化吗？请说明理由.
13.如图①，在△ABC中，AB=AC，∠ABC,∠ACB的平分线交于点O，过点O作EF∥BC，分别交AB，AC于点E，F.
(1)图①中的等腰三角形有______________________猜想：EF与BE，CF之间的数量关系是＿＿＿＿＿＿＿.请说明理由.
(2)如图②，若AB≠AC，图中的等腰三角形有_________________.(1)中EF与BE，CF之间的数量关系还成立吗？
(3)如图③，在∠ABC中，ABC的平分线；BO与∠ABC的外角平分线CO交于点O，过点O作OE∥BC，交AB于点E，交AC于点F.这时图中还有等腰三角形吗 EF与BE，CF之间的数量关系又如何 请说明理由.
参考答案
[知识梳理]
1.底角 2.顶 底边上 底边上 3.等腰
[巩固提高]
1.B 2.C 3.B 4.40°
5.(1)∵AB=AC,∴∠C=∠ABC.∵∠C=36°,∴∠ABC=36°.∵D是BC的中点，∴BD=CD.∵AB=
AC,∴AD⊥BC.∴∠ADB=90°.∴∠BAD=90°-36°=54°.
（2）∵BE平分∠ABC，∴∠ABE=∠CBE= ∠ABC.∵EF∥BC,∴∠FEB=∠CBE.∴∠FBE=∠FEB.∴FB=FE.
6.(1)∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB.∵BD，CE是△ABC的两条高，∴∠BEC=∠BDC=90°.
∴易得△BEC≌△CDB.∴∠DBC=∠ECB.∴OB=OC.
(2)∵∠ABC=50°,AB=AC,∴∠A=180°-2×50°=80°.∵∠DOE+∠A=180°,∴∠BOC=∠DOE=180°-80°=100°.
[巩固提高]
7.C 8.D 9.C 10.37° 11.②
12.(1)设∠DCE=x，∠ACD=y，则∠ACE=x+y，∠BCE=110°-∠ACE=110°-x-y.∵AE=AC,∴∠ACE=∠AEC=x+y.∵BD=BC,∴∠BDC=∠BCD=∠BCE+∠DCE＝110°-x-y+x=110°-y.在
△DCE中，∵∠DCE+∠CDE+∠DEC=180°，∴x+(110°-y)+(x+y)=180°，解得x=35°.∴∠DCE=35°
(2)∠DCE的度数不会随着∠A度数的变化而化理由：由(1)，知∠DCE的度数计算过程中并未用到的度数，故∠DCE的度数不会随着∠A度数的变化而变化.
13.(1)△AEF,△OEB,△OFC,△OBC,△ABC EF=BE+CF
理由：∵OB，OC分别平分∠ABC，∠ACB.∴∠ABO=∠OBC，∠ACO=∠OCB.又∵EF∥BG，∴∠EOB=∠OBC=∠EBO,∠FOC=∠OCB-∠FCC.∴OE=BE,OF=CF.∴EF=OE+OF=BE+CF.
(2)△OEB，△OFC 成立
(3)有，△EOB和△FOC仍等腰三角形EF=BE-CF 理由：∵BO，CO分别平∠ABC,∠ACG,∴∠ABO=∠OBC,∠ACO=∠OCG.又∵OE∥BC,∴∠EOB=∠OBC,∠FOC=∠OCG.∴∠ABO=∠EOB,∠ACO=∠FOC.∴BE=OE,OF＝CF.∴EF=OE-OF-BE-CF.
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