青岛版八年级下册数学平行四边形的性质的应用 教学设计

平行四边形的性质的应用
　　一、求平行四边形的周长
【例1】 如图所示，在□ABCD中，AB=18cm，PC＝6cm，AP是∠DAB的平分线，求□ABCD的周长.
【思考与分析1】 欲求□ABCD的周长，已知AB=18cm，PC＝6cm，只需求出AD、BC的长.我们可以过点P作PQ∥BC交AB于Q，构造△AQP与△ADP全等.
　
方法1： 过点P作PQ∥BC交AB于Q，由平行四边形的定义可知四边形ADPQ，BCPQ也是平行四边形．
　　∴AQ＝DP，QB=PC．
　　∴AQ＝AB-PC=18cm-6cm=12cm．
　　∵AP是∠DAB的平分线，
　　∴∠1=∠2．
　　又∵∠D=∠AQP，AP=AP，
　　∴△ADP≌△AQP．
　　∴AD=AQ=12cm．
　　∴□ABCD的周长为：
　　2（AB＋AD）＝60cm.
　　【思考与分析2】 欲求□ABCD的周长，我们可以延长AP交BC的延长线于Q，构造等腰三角形ABQ.
　
　　方法2： 延长AP交BC的延长线于Q．
　　在□ABCD中，AD∥BC，AB∥CD，
　　∴∠1=∠Q，∠2＝∠3．
　　又∵∠1=∠2，
　　∴∠Q=∠2＝∠3．
　　∴AB=BQ,PC＝CQ．
　　∴BC＝BQ－CQ＝AB－PC
　　＝18cm－6cm＝12cm．
　　∴□ABCD的周长为：
　　2（AB＋BC）＝60cm.
　　【小结】求平行四边形的周长时往往只需要求出平行四边形的相邻两边长，在求解过程中可以构造特殊的三角形，如等腰三角形、全等三角形等等.
　　二、等分面积
　　【例2】如图，ABCD是王老六家的一块平行四边形田地，P为水井，现要把这块田平均分给两个儿子,为了方便用水，要求两个儿子分到的地都与水井相邻，请你来设计一下，并说明你的理由.
　
　　【思考与分析】　我们说只要满足所分的两块地面积相等，且都与水井相邻就可以.那么可以考虑利用平行四边形的性质（平行四边形的对角线互相平分）来解题.找到两条对角线的交点，则交点和水井所在的直线将田地分成面积相等的两块.
　　解：设对角线AC，BD交于O，如下图，过O、P作直线交BC，AD于E、F，则线段EF分割的这两块田地符合要求.理由如下：易证OE=OF，BE=DF，AF=CE（把证线段相等转化为证三角形全等），四边形ABEF绕点O旋转180°，就与四边形CDFE重合，这两部分面积相等,又点P（井）在EF上，符合水井和两块地相邻的要求，故此种分法符合要求.
　　
　　【反思】实际生活中有很多需要直接或间接用平行四边形的性质来解决的问题，我们要牢牢把握住性质以便可以灵活地运用它来解题.
　　三、探究相等的线段
　　【例3】如图，在平行四边形ABCD中，点E、F在对角线AC上，且AE=CF，请你以F为一个端点，和图中已标明字母的某一点连成一条新线段，猜想并说明它和图象中已有的某一条线段相等 （只需说明一组线段相等即可）.
　
　　（1） 连接 .
　　（2） 猜想：　　　　　　　　　=___________.
　　（3） 理由：　　　　　　　　　　.
　　【思考与分析】 本题立足于一个常见的基本图形，把传统的几何题，改造成一个发现猜想、说明理由的几何题，对平面几何的学习有着重要的意义.
　　解：答案1：（1） 连接BF.
　　（2） 猜想：BF=DE.
　　（3） 理由1：
　　∵ 四边形ABCD为平行四边形，
　　∴ AD=BC，AD∥BC.
　　∴∠DAE=∠BCF.
　　在△BCF与△DAE中，
　　
　　∴ △BCF≌△DAE.　∴ BF=DE.
　　理由2：
　　如图，连接DB、DF，设DB、CA交于点O.
　
　　∵ 四边形ABCD是平行四边形，
　　∴ AO=OC，DO=OB.
　　∵ AE=FC，
　　∴ AO-AE=OC-FC.
　　即EO=OF.
　　∴四边形EBFD为平行四边形.
　　∴BF=DE.
　　答案2：（1） 连接DF.
　　（2） 猜想：DF=BE.
　　（3） 理由：略.
　　【小结】 理由1中把线段相等问题转化为求三角形全等问题；理由2中把线段相等问题转化为平行四边形判定的问题.通过解转化后的问题，线段相等成为明显的事实.
　　四、证明角相等
　　【例4】　如图,已知点M、N分别是□ABCD的边AB、DC的中点，试说明：∠DAN=∠BCM.
　
　　【思考与分析】 先找这两个角的位置，但没有什么联系.题中给出点M、N分别是平行四边形ABCD的边AB、DC的中点，很容易想到连接MN，得到三个四边形AMCN、AMND、BCNM是平行四边形，推出∠DAN＝∠ANM，∠BCM＝∠CMN，而只要能推出∠ANM=∠CMN，题中结论即可证明.
　　解：连接MN.
　　∵ M、N分别是平行四边形ABCD的边AB、DC的中点，
　　∴ AM、CN平行且相等.
　　∴四边形AMCN是平行四边形.
　　同理，四边形AMND、四边形BCNM是平行四边形.
　　∴ ∠DAN＝∠ANM=∠CMN=∠BCM.
　　五、证明线段平行
　　【例5】　已知：如图，E、F是平行四边形ABCD的对角线AC上的两点，AE=CF.试说明：（1）△ADF≌△CBE；（2）EB∥DF.
　
　　【思考与分析】要说明△ADF≌△CBE，就要找全等的条件.猛一看，题中只有AE=CF一个条件，其实还有一个条件四边形ABCD是平行四边形，则AD=BC，∠DAF=∠BCE，所以△ADF≌△CBE.所以∠DFA=∠BEC，所以（2）的结论成立 .
　　解： （1）∵ AE=CF，
　　∴ AE+EF=CF+FE
　　即AF=CE .
　　又四边形ABCD是平行四边形，
　　∴ AD=CB，AD∥BC .
　　∴ ∠DAF=∠BCE .
　　在△ADF与△CBE中
　　
　　∴ △ADF≌△CBE（SAS）.
　　（2）∵ △ADF≌△CBE，
　　∴ ∠DFA=∠BEC .
　　∴ DF∥EB .
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