河南省2021-2022学年高二下学期3月开学考试理科数学试题（Word版含解析）

河南省2021-2022学年高二下学期3月开学考试
数学（理科）
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．命题“，”的否定是（ ）．
A．， B．，
C．， D．，
2．已知空间三点，，，若A，B，C三点共线，则（ ）．
A． B．1 C． D．2
3．若“”是“”的充分不必要条件，则实数a的取值范围是（ ）．
A． B． C． D．
4．曲率半径可用来描述曲线在某点处的弯曲变化程度，曲率半径越大则曲线在该点处的弯曲程度越小．已知椭圆上点处的曲率半径公式为．若椭圆C上所有点相应的曲率半径的最大值为4，最小值为，则椭圆C的标准方程为（ ）．
A． B．
C． D．
5．已知抛物线的焦点为F，准线为l，过抛物线上一点P作准线l的垂线，垂足为Q，若，则（ ）．
A． B．2 C． D．
6．在如图所示的正四面体OABC中，E，F，G，H分别是OA，AB，BC，OC的中点．设，，，则下列说法不正确的是（ ）．
A． B．
C． D．
7．已知，，若，则的最大值为（ ）．
A． B． C． D．1
8．已知，，，，若为真，则实数a的取值范围是（ ）．
A． B． C． D．
9．黄金分割是指将整体一分为二，较大部分与整体的比值等于较小部分与较大部分的比值，其比值约为0.618．这个比例被公认为是最能引起美感的比例，因此被称为黄金分割．一些名画、雕塑、摄影作品的主题，大多在画面的0.618处．离心率为黄金比的倒数的双曲线称为黄金双曲线．若黄金双曲线的右顶点为A，虚轴的上端点为B，左焦点为F，则（ ）．
A． B．0 C． D．
10．如图，已知四棱锥的底面ABCD是边长为2的菱形，且，底面ABCD，，则点D到平面PAC的距离为（ ）．
A． B． C．1 D．2
11．已知双曲线的左、右焦点分别为，，抛物线的准线与双曲线C的一支交于A，B两点，若以AB为直径的圆与双曲线C的另一支没有公共点，则双曲线C的渐近线的斜率可能是（ ）．
A．2 B． C． D．
12．已知A，B为抛物线，上的两点，且，则AB的中点横坐标的最小值为（ ）．
A． B． C． D．1
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13．若实数x，y满足约束条件，则的最小值为______．
14．如图1所示，拋物面天线是指由抛物面（抛物线绕其对称轴旋转形成的曲面）反射器和位于焦点上的照射器（馈源，通常采用喇叭天线）组成的单反射面型天线，广泛应用于微波和卫星通讯等领域，具有结构简单、方向性强、工作频带宽等特点．图2是图1的轴截面，A，B两点关于抛物线的对称轴对称，F是抛物线的焦点，是馈源的方向角，记为，焦点F到顶点的距离f与口径d的比值称为抛物面天线的焦径比，它直接影响天线的效率与信噪比等．如果某抛物面天线馈源的方向角，则其焦径比为______．
15．如图，在棱长为1的正方体中，，则______；异面直线DM与所成角的余弦值为______．（本题第一空2分，第二空3分）
16．已知椭圆的右焦点为F，直线与椭圆C交于A，B两点，AB的中点为P，若O为坐标原点，直线OP，AF，BF的斜率分别为，，，且，则k＝______．
三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）
已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．
（1）求A；
（2）若，求．
18．（12分）
在等差数列中，，．
（1）求的通项公式；
（2）设，求数列的前n项和．
19．（12分）
如图，在直三棱柱中，，，D为的中点，，．
（1）证明：平面．
（2）求直线与平面所成角的正弦值．
20．（12分）
在如图所示的几何体中，平面平面ABCD，四边形ABCD是边长为1的正方形，四边形ADEF为梯形，，，且．
（1）证明：平面CDE．
（2）求平面BCE与平面ADE所成锐二面角的余弦值．
21．（12分）
已知椭圆的上顶点为B，左焦点为F，P为椭圆C上一点，，且，．
（1）求椭圆C的方程．
（2）若直线与椭圆C相切，过A作l的垂线，垂足为Q，试问是否为定值？若是定值，求的值；若不是，请说明理由．
22．（12分）
已知双曲线与抛物线有共同的焦点F，双曲线C与抛物线E交于A，B两点，且（O为坐标原点）．
（1）求双曲线C的离心率．
（2）过F的直线（斜率存在）与双曲线的右支交于M，N两点，MN的垂直平分线交x轴于P，证明：．
数学参考答案（理科）
1．D 全称命题的否定是特称命题．
2．A
因为，，且A，B，C三点共线，
所以，得．
3．A 由，解得，即实数a的取值范围是．
4．B
因为曲率半径越大，曲线在该点处的弯曲程度越小，
所以椭圆C在处的曲率半径最小，则，，
椭圆C在处的曲率半径最大，则，，
则，，故椭圆C的标准方程为．
5．C
因为，所以．
因为，所以．
因为，所以，所以．
6．D
因为E，F分别是OA，AB的中点，所以，故A正确；
因为F，G分别是AB，BC的中点，所以，故B正确；
因为四边形EFGH为平行四边形，所以，故C正确；
因为，所以D不正确．
7．A
，
当且仅当，即，时，等号成立．
8．A
若p为真，则，解得；
若q为真，则，解得．
因为为真，所以p，q均为真，故实数a的取值范围是．
9．B
因为，，，
所以．
因为，所以．
因为，所以．
10．B
以D为坐标原点，以，的方向分别为x，z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，．
设是平面PAC的法向量，
因为，，
所以，令，得．
设点D到平面PAC的距离为d．
因为，所以．
11．D
因为抛物线的准线为，
所以以AB为直径的圆的圆心为，半径为．
因为抛物线与双曲线C的另一支没有公共点，所以．
因为，所以，
所以，解得．
因为，所以．
12．C
设直线AB的方程为，，，
联立方程组，得，
则，，．
因为，所以，得．
因为，
所以AB的中点的横坐标．
因为，
当且仅当，即时，等号成立，
所以当时，取得最小值．
13．
作出不等式组对应的可行域（图略）可知，
当直线，经过时，z取得最小值．
14．
设抛物线的方程为，则．
设，因为，所以，所以，
所以，所以，故其焦径比．
15．1；
以D为坐标原点，以，，的方向分别为x，y，z轴的正方向
建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，．
因为，所以，
所以．
设异面直线与DM所成的角为，
因为，所以．
16．
设，，，
则，，．
由，得，即，
所以，得．
联立方程组，得，
则，．
因为
，
所以，故．
17．解：（1）因为，
所以，解得．
因为，所以．
（2）由（1）知，．
因为，所以，
即．
因为，所以，
所以．
18．解：（1）设数列的首项为，公差为d，
所以，解得，，
故的通项公式为．
（2）因为，
所以， ①
， ②
由①－②，得
，
故数列的前n项和
19．（1）证明：因为三棱柱为直三棱柱，
所以平面ABC，所以．
因为，点D为AB的中点，所以．
因为，所以平面．
（2）解：以C为坐标原点，以，，的方向分别为x，y，z轴的正方向
建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，
设平面的法向量为，
因为，，
所以，令，得．
因为，所以，
所以直线与平面所成角的正弦值为，
20．（1）证明：设DE的中点为M，连接FM，MC，
则，且．
因为，且，所以，且，
所以四边形BCMF为平行四边形，所以．
因为平面CDE，平面CDE，
所以平面CDE．
（2）解：以D为坐标原点，以，，的方向分别为x，y，z轴的正方向
建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，．
设平面BCE的法向量为，
则，令，得．
因为平面ADEF的一个法向量为，
所以，
故平面BCE与平面ADE所成锐二面角的余弦值为．
21．解：（1）设，易知，
因为，所以，
所以，．
因为P在椭圆C上，所以，所以．
因为，所以，所以．
因为，所以，，
故椭圆C的方程为．
（2）联立方程组，得，
则，得．
当时，直线l的方程为，．
当时，直线AQ的方程为，
联立方程组，得Q的坐标为，
所以．
因为，所以，所以，
故为定值，且．
22．（1）解：因为A，B关于x轴对称，所以．
设A的横坐标为，则，所以，
所以．
由双曲线的定义知，
得．
因为，所以双曲线C的离心率．
（2）证明：由（1）知，，，
所以双曲线C的方程为．
设直线MN的方程为，
，，，
联立方程组，得，
则，．
因为，
所以MN的中点坐标为．
因为MN的垂直平分线的方程为，
所以P的坐标为，
所以．
因为，
所以．