河南省2021-2022学年高二下学期3月开学考试文科数学试题（Word版含答案）

河南省2021-2022学年高二下学期3月开学考试
数学（文科）
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．命题“，”的否定是（ ）．
A．， B．，
C．， D．，
2．已知函数，则（ ）．
A．4 B．6 C．2 D．3
3．若“”是“”的充分不必要条件，则实数a的取值范围是（ ）．
A． B． C． D．
4．已知函数，若，则（ ）．
A． B． C． D．1
5．下列求导不正确的是（ ）．
A． B．
C． D．
6．曲率半径可用来描述曲线在某点处的弯曲变化程度，曲率半径越大则曲线在该点处的弯曲程度越小．已知椭圆上点处的曲率半径公式为．若椭圆C上所有点相应的曲率半径的最大值为4，最小值为，则椭圆C的标准方程为（ ）．
A． B．
C． D．
7．函数在上的最小值为（ ）．
A．2 B．3 C．4 D．5
8．已知，，若，则的最大值为（ ）．
A． B． C． D．1
9．已知，，，，若为真，则实数a的取值范围是（ ）．
A． B． C． D．
10．黄金分割是指将整体一分为二，较大部分与整体的比值等于较小部分与较大部分的比值，其比值约为0.618．这个比例被公认为是最能引起美感的比例，因此被称为黄金分割．一些名画、雕塑、摄影作品的主题，大多在画面的0.618处．离心率为黄金比的倒数的双曲线称为黄金双曲线．若黄金双曲线的右顶点为A，虚轴的上端点为B，左焦点为F，则（ ）．
A． B．0 C． D．
11．已知双曲线的左、右焦点分别为，，抛物线的准线与双曲线C的一支交于A，B两点，若以AB为直径的圆与双曲线C的另一支没有公共点，则双曲线C的渐近线的斜率可能是（ ）．
A．2 B． C． D．
12．已知函数，，对于任意的，存在，使，则实数a的取值范围为（ ）．
A． B．
C． D．
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13．若实数x，y满足约束条件，则的最小值为______．
14．已知椭圆C的一个焦点为，椭圆C上的点到F的距离的最小值为1，则椭圆C的标准方程为______；若P为椭圆C上一动点，，则的最小值为______．（本题第一空2分，第二空3分）
15．如图1所示，拋物面天线是指由抛物面（抛物线绕其对称轴旋转形成的曲面）反射器和位于焦点上的照射器（馈源，通常采用喇叭天线）组成的单反射面型天线，广泛应用于微波和卫星通讯等领域，具有结构简单、方向性强、工作频带宽等特点．图2是图1的轴截面，A，B两点关于抛物线的对称轴对称，F是抛物线的焦点，是馈源的方向角，记为，焦点F到顶点的距离f与口径d的比值称为抛物面天线的焦径比，它直接影响天线的效率与信噪比等．如果某抛物面天线馈源的方向角，则其焦径比为______．
16．已知函数，若有极大值，则______．
三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）
已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．
（1）求A；
（2）若，求．
18．（12分）
已知抛物线的焦点为F，是抛物线C上在第一象限内的点，且．
（1）求抛物线C的方程；
（2）已知直线l交抛物线C于M，N两点，若MN的中点坐标为，，求的面积．
19．（12分）
在等差数列中，，．
（1）求的通项公式；
（2）设，求数列的前n项和．
20．（12分）
已知函数．
（1）若，求曲线在点处的切线方程；
（2）若方程有两个根，求a的取值范围．
21．（12分）
已知椭圆的上顶点为B，左焦点为F，P为椭圆C上一点，，且，．
（1）求椭圆C的方程．
（2）若直线与椭圆C相切，过A作l的垂线，垂足为Q，试问是否为定值？若是定值，求的值；若不是，请说明理由．
22．（12分）
已知函数．
（1）讨论的单调性．
（2）当时，证明：对恒成立．
河南省2021-2022学年高二下学期3月开学考试
数学参考答案（文科）
1．D 全称命题的否定是特称命题．
2．A
，，
．
3．A 由，解得，即实数a的取值范围是．
4．D 因为，所以，所以．
5．C 因为，所以C错误．
6．B
因为曲率半径越大，曲线在该点处的弯曲程度越小，
所以椭圆C在处的曲率半径最小，则，，
椭圆C在处的曲率半径最大，则，，
则，，故椭圆C的标准方程为．
7．C
因为，
所以在上单调递减，在上单调递增，
故．
8．A
，
当且仅当，即，时，等号成立．
9．A
若p为真，则，解得；
若q为真，则，解得．
因为为真，所以p，q均为真，故实数a的取值范围是．
10．B
因为，，，
所以．
因为，所以．
因为，所以．
11．D
因为抛物线的准线为，
所以以AB为直径的圆的圆心为，半径为．
因为抛物线与双曲线C的另一支没有公共点，所以．
因为，所以，
所以，解得．
因为，所以．
12．A
因为对于任意的，存在，使，
所以．
因为在上单调递减，所以．
因为，所以在上单调递增，
所以．
由，得．
13．
作出不等式组对应的可行域（图略）可知，
当直线，经过时，z取得最小值．
14．；1
因为椭圆C的一个焦点为，所以椭圆C的焦点在y轴上，且．
因为椭圆C上的点到F的距离的最小值为1，所以，得．
因为，所以椭圆C的标准方程为．
设椭圆C的另一个焦点为，则，
所以．
当，P，M三点共线时，取得最小值，
且最小值为，
所以的最小值为1．
15．
设抛物线的方程为，则．
设，因为，所以，所以，
所以，所以，故其焦径比．
16．
，
当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
此时只有极小值，没有极大值，故．
当时，在，上单调递增，在上单调递减，
所以在处取得极大值；
当时，在R上单调递增，没有极值；
当时，在，上单调递增，在上单调递减，
所以的极大值为，得．
17．解：（1）因为，
所以，解得．
因为，所以．
（2）由（1）知，．
因为，所以，
即．
因为，所以，
所以．
18．解：（1）因为，所以，
故抛物线C的方程为．
（2）设，，则，
两式相减得，所以．
因为MN的中点坐标为，
所以，即直线l的斜率为．
因为直线l过点，所以直线l的方程为，
即．
联立方程组，得，
则，．
因为，
且点到直线l的距离，
所以的面积为．
19．解：（1）设数列的首项为，公差为d，
所以，解得，，
故的通项公式为．
（2）因为，
所以， ①
， ②
由①－②，得
，
故数列的前n项和
20．解：（1）因为，所以，．
因为，，
所以所求切线方程为，即．
（2）因为，
所以方程的根即直线与曲线的交点的横坐标．
令，则．
由，得．
因为在上单调递增，在上单调递减，
所以．
因为，且当时，，所以a的取值范围是．
21．解：（1）设，易知，
因为，所以，
所以，．
因为P在椭圆C上，所以，所以．
因为，所以，所以．
因为，所以，，
故椭圆C的方程为．
（2）联立方程组，得，
则，得．
当时，直线l的方程为，．
当时，直线AQ的方程为，
联立方程组，得Q的坐标为，
所以．
因为，所以，所以，
故为定值，且．
22．（1）解：因为．
当时，因为，
所以在上单调递增，在上单调递减．
当时，令，得；令，得或．
所以在和上单调递减，在上单调递增．
当时，在R上单调递减．
当时，令，得；令，得或．
所以在和上单调递减，在上单调递增．
（2）证明：当时，要证，即证．
因为，所以即要证．
令，则．
因为在上单调递增，且，
当时，，
所以存在，使得，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以．
因为，所以，
所以．
因为，所以，所以对恒成立．