函数概念
新课程标准解读 核心素养
1.在初中用变量之间的依赖关系描述函数的基础上，用集合语言和对应关系刻画函数，建立完整的函数概念，会判断两个函数是否为同一函数 数学抽象
2.体会集合语言和对应关系在刻画函数概念中的作用 数学抽象、数学建模
3.了解构成函数的要素，能求简单函数的定义域、值域 数学抽象、数学运算
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[问题] 你知道这种对应关系在数学中叫什么吗？
知识点一 生活中的变量关系
1．在现实生活中，凡是要确定两个变量具有函数关系，就要判断“对于变量x的每一个值，变量y都有唯一确定的值和它对应”．
2．函数关系可用表格、表达式、图象及分段函数形式表达．
1.(多选)如图是反映某市某一天的温度随时间变化情况的图象．由图象可知，下列说法中正确的有( )
A．这天15时的温度最高
B．这天3时的温度最低
C．这天的最高温度与最低温度相差13 ℃
D．这天21时的温度是30 ℃
解析：选ABD 这天的最高温度与最低温度相差36－22＝14(℃)，故C错．A、B、D均正确．
2．如图，将一个“瘦长”的圆柱钢锭经过多次锻压，使之成为一个“矮胖”的圆柱钢锭(不计损耗)，则在锻压过程中，圆柱体积与高的关系可用图象表示为( )
解析：选B 圆柱钢锭的体积不随高的变化而变化．
知识点二 函数的有关概念
函数的定义 给定实数集R中的两个非空数集A和B，如果存在一个对应关系f，使对于集合A中的每一个数x，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就把对应关系f称为定义在集合A上的一个函数
函数的记法 y＝f(x)，x∈A
定义域 集合A称为函数的定义域，x称为自变量
值域 与x值对应的y值称为函数值，集合{f(x)|x∈A}称为函数的值域
对函数概念的再理解
(1)函数定义中强调“三性”：任意性、存在性、唯一性，即对于非空数集A中的任意一个(任意性)数x，在非空数集B中都有(存在性)唯一(唯一性)的数y与之对应．这三性只要有一个不满足，便不能构成函数；
(2)y＝f(x)仅仅是函数符号，不是表示“y等于f与x的乘积”，f(x)也不一定就是解析式；
(3)除f(x)外，有时还用g(x)，u(x)，F(x)，G(x)等符号来表示函数．
f(x)与f(a)有何区别与联系？
提示：f(x)与f(a)的区别与联系：f(a)表示当x＝a时，函数f(x)的值，是一个常量，而f(x)是自变量x的函数，一般情况下，它是一个变量，f(a)是f(x)的一个特殊值，如一次函数f(x)＝3x＋4，当x＝8时，f(8)＝3×8＋4＝28是一个常数．
1．下图中能表示函数关系的是________(填序号)．
解析：由于③中的2与1和3同时对应，故③不是函数．
答案：①②④
2．函数f(x)＝的定义域是________．
解析：由4－x＞0，解得x＜4，所以原函数的定义域为{x|x<4}．
答案：{x|x<4}
3．已知f(x)＝3x＋2，则f(2)＝________；若f(a)＝－4，则a＝________．
答案：8 －2
知识点三 同一个函数
一个函数的构成要素为：定义域、对应关系和值域．如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，即相同的自变量对应的函数值也相同，那么这两个函数是同一个函数．
1．函数有定义域、对应关系和值域三要素，为什么判断两个函数是否是同一个函数只看定义域和对应关系？
提示：由函数的定义域和对应关系可以求出函数的值域，所以判断两个函数是否是同一个函数，只看定义域和对应关系即可．
2．定义域和值域分别相同的两个函数是同一个函数吗？
提示：不一定，如果对应关系不同，这两个函数一定不是同一个函数．
给出下列三组函数，其中表示同一个函数的是________(填序号)．
①f(x)＝x，g(x)＝；
②f(x)＝2x＋1，g(x)＝2x－1；
③f(x)＝x，g(x)＝.
解析：①中f(x)＝x与g(x)＝的定义域不同；②中f(x)＝2x＋1，g(x)＝2x－1的对应关系不同．
答案：③
函数的概念与判断
[例1] (链接教科书第52页例1)(1)下列各组式子是否表示同一个函数？为什么？
①f(x)＝|x|，φ(t)＝；
②y＝·，y＝；
③y＝，y＝x－3.
(2)判断下列对应关系f是否为定义在集合A上的函数：
①A＝R，B＝R，对应关系f：y＝；
②A＝{1，2，3}，B＝R，f(1)＝f(2)＝3，f(3)＝4；
③A＝{1，2，3}，B＝{4，5，6}，对应关系如图所示：
[解] (1)①f(x)与φ(t)的定义域相同，
又φ(t)＝＝|t|，
即f(x)与φ(t)的对应关系也相同，
∴f(x)与φ(t)是同一个函数．
②y＝·的定义域为{x|－1≤x≤1}，
y＝的定义域为{x|－1≤x≤1}，
即两者定义域相同．
又∵y＝·＝ ，
∴两函数的对应关系也相同．
故y＝·与y＝ 是同一个函数．
③∵y＝＝|x－3|与y＝x－3的定义域相同，但对应关系不同，
∴y＝与y＝x－3不是同一个函数．
(2)①A＝R，B＝R，对于集合A中的元素x＝0，在对应关系f：y＝的作用下，在集合B中没有元素与之对应，故所给对应不是定义在A上的函数．
②由f(1)＝f(2)＝3，f(3)＝4，知集合A中的每一个元素在对应关系f的作用下，在集合B中都有唯一的元素与之对应，故所给对应关系是定义在A上的函数．
③集合A中的元素3在集合B中没有与之对应的元素，且集合A中的元素2在集合B中有两个元素(5和6)与之对应，故所给对应关系不是定义在A上的函数．
1．判断对应关系是否为函数的2个条件
(1)A，B必须是非空数集；
(2)A中任意一元素在B中有且只有一个元素与之对应；
对应关系是“一对一”或“多对一”的是函数关系，“一对多”的不是函数关系．
2．根据图形判断是否为函数的方法
(1)任取一条垂直于x轴的直线l；
(2)在定义域内平行移动直线l；
(3)若l与图形有且只有一个交点，则是函数；若在定义域内没有交点或有两个或两个以上的交点，则不是函数．
3．判断同一个函数的方法
判断函数是否是同一个函数，关键是树立定义域优先的原则：
(1)先看定义域，若定义域不同，则不是同一个函数；
(2)若定义域相同，再化简函数的解析式，看对应关系是否相同．
[跟踪训练]
1．下列图象中不能表示函数的图象的是( )
解析：选D D项中，当x>0时，任意一个x对应着两个y的值，因此选项D不是函数的图象．
2．下列函数中，与函数y＝x(x≥0)是同一个函数的是( )
A．y＝ B．y＝
C．y＝ D．y＝()2
解析：选D y＝的定义域为R，定义域不相同，故不是同一个函数；y＝的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，定义域不相同，故不是同一个函数；y＝的定义域为R，定义域不相同，故不是同一个函数；y＝()2的定义域为[0，＋∞)，定义域相同，且y＝()2＝x，x∈[0，＋∞)，函数对应关系也相同，故是同一个函数．故选D.
函数的定义域
[例2] (链接教科书第53页例2)求下列函数的定义域：
(1)y＝－2x＋3；(2)f(x)＝；
(3)y＝＋；(4)y＝.
[解] (1)函数y＝－2x＋3的定义域为{x|x∈R}．
(2)要使函数式有意义，即分式有意义，则－x＋1≠0，x≠1.故函数的定义域为{x|x≠1}．
(3)要使函数式有意义，则即所以x＝1，从而函数的定义域为{x|x＝1}．
(4)因为当x2－1≠0，即x≠±1时，有意义，所以函数的定义域是{x|x≠±1}．
求函数定义域的常用方法
(1)若f(x)是分式，则应考虑使分母不为零；
(2)若f(x)是偶次根式，则被开方数大于或等于零；
(3)若f(x)是指数幂，则函数的定义域是使幂运算有意义的实数集合；
(4)若f(x)是由几个式子构成的，则函数的定义域是几个部分定义域的交集；
(5)若f(x)是实际问题的解析式，则应符合实际问题，使实际问题有意义．
[跟踪训练]
1．函数f(x)＝＋的定义域为( )
A．(－∞，－1)∪(－1，3] B．(－∞，3]
C．(－1，3] D．(－∞，－1)
解析：选A 要使函数f(x)＝＋有意义，则解得x≤3且x≠－1，所以函数f(x)的定义域为(－∞，－1)∪(－1，3]．故选A.
2．f(x)＝(x－1)0＋ 的定义域是( )
A．(－1，＋∞) B．(－∞，－1)
C．R D．(－1，1)∪(1，＋∞)
解析：选D 要使函数有意义，需满足∴x>－1且x≠1，∴定义域为(－1，1)∪(1，＋∞)．
函数值(值域)问题
[例3] (链接教科书第53页练习1题)(1)已知f(x)＝(x∈R，且x≠－1)，g(x)＝x2＋2(x∈R)，则f(2)＝________，f(g(2))＝________．
(2)求下列函数的值域：
①y＝x＋1；②y＝x2－2x＋3，x∈[0，3)；
③y＝；④y＝2x－.
（1）[解析] ∵f(x)＝，∴f(2)＝＝.
又∵g(x)＝x2＋2，∴g(2)＝22＋2＝6，
∴f(g(2))＝f(6)＝＝.
[答案]
（2）[解] ①(观察法)因为x∈R，所以x＋1∈R，即函数值域是R.
②(配方法)y＝x2－2x＋3＝(x－1)2＋2，由x∈[0，3)，再结合函数的图象(如图)，可得函数的值域为[2，6)．
③(分离常数法)y＝＝＝3－.
∵≠0，∴y≠3，
∴y＝的值域为(－∞，3)∪(3，＋∞)．
④(换元法)设t＝，则t≥0且x＝t2＋1，所以y＝2(t2＋1)－t＝2＋，由t≥0，再结合函数的图象(如图)，可得函数的值域为.
[母题探究]
1．(变条件)在本例(1)条件下，若f(b)＝，求b的值．
解：由f(b)＝＝，得b＝1.
2．(变设问)在本例(1)条件下，判断点是否在函数f(x)的图象上？
解：由f(x)＝知f(3)＝，故点在f(x)的图象上．
1．函数求值的方法
(1)已知f(x)的表达式时，只需用a替换表达式中的x即得f(a)的值；
(2)求f(g(a))的值应遵循由里往外的原则．
2．求函数值域常用的4种方法
(1)观察法：对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到；
(2)配方法：当所给函数是二次函数或可化为二次函数处理的函数时，可利用配方法求其值域；
(3)分离常数法：此方法主要是针对有理分式，即将有理分式转化为“反比例函数类”的形式，便于求值域；
(4)换元法：即运用新元代换，将所给函数化成值域易确定的函数，从而求得原函数的值域．对于f(x)＝ax＋b＋(其中a，b，c，d为常数，且a≠0)型的函数常用换元法．
[跟踪训练]
1．设f(x)＝，则＝( )
A．1 B．－1
C. D．－
解析：选B ＝＝＝×＝－1.
2．函数f(x)＝(x∈R)的值域是( )
A．[0，1] B．[0，1)
C．(0，1] D．(0，1)
解析：选C 因为x2≥0，所以x2＋1≥1，所以0<≤1，所以函数的值域为(0，1]，故选C.
3．函数f(x)＝的值域为________．
解析：f(x)＝＝
＝＝1－(x≠±1)．
∵≠0，∴y≠1，
又∵x≠1，∴y≠－，
∴函数值域为.
答案：
抽象函数与复合函数
一、概念
1．抽象函数的概念
没有给出具体解析式的函数，称为抽象函数．
2．复合函数的概念
若函数y＝f(t)的定义域为A，函数t＝g(x)的定义域为D，值域为C，则当C A时，称函数y＝f(g(x))为f(t)与g(x)在D上的复合函数，其中t叫作中间变量，t＝g(x)叫作内层函数，y＝f(t)叫作外层函数．
[说明] 由复合函数的定义可知，内层函数的值域是外层函数的定义域或定义域的子集，外层函数的定义域和内层函数的值域共同确定了复合函数的定义域．
二、结论
定义域
理解抽象函数或复合函数的定义域，要明确以下几点：
(1)函数f(x)的定义域是指x的取值所组成的集合；
(2)函数f(φ(x))的定义域是指x的取值范围，而不是φ(x)的范围；
(3)f(t)，f(φ(x))，f(h(x))三个函数中的t，φ(x)，h(x)在对应关系f下的范围相同；
(4)已知f(x)的定义域为A，求f(φ(x))的定义域，其实质是已知φ(x)的范围(值域)为A，求出x的取值范围；
(5)已知f(φ(x))的定义域为B，求f(x)的定义域，其实质是已知f(φ(x))中的x的取值范围为B，求出φ(x)的范围(值域)，此范围就是f(x)的定义域．
[迁移应用]
1．已知f(x)的定义域，求f(g(x))的定义域
[例1] 已知函数f(x)＝，则函数f(3x－2)的定义域为( )
A. B.
C．[－3，1] D.
[思路点拨] 解题的关键是求出函数y＝f(x)中x的范围，这个范围即为3x－2的范围，建立不等式求出自变量x的范围即可．
[解析] 由－x2＋2x＋3≥0，
解得－1≤x≤3，
即函数f(x)的定义域为[－1，3]．
由－1≤3x－2≤3，解得≤x≤，
则函数f(3x－2)的定义域为.
[答案] A
2．已知f(g(x))的定义域，求f(x)的定义域
[例2] 已知f(x2－1)定义域为[0，3]，则f(x)的定义域为________．
[思路点拨] 定义域是指自变量的取值范围，则f(x2－1)中x∈[0，3]，求出x2－1的范围，这个范围即为f(x)的定义域．
[解析] 根据f(x2－1)定义域为[0，3]，得x∈[0，3]，
∴x2∈[0，9]，∴x2－1∈[－1，8]．
故f(x)的定义域为[－1，8]．
[答案] [－1，8]
3．已知f(g(x))的定义域，求f(h(x))的定义域
[例3] 若函数f(x＋1)的定义域为，则函数f(x－1)的定义域为________．
[思路点拨] 由f(x＋1)的定义域为，即－≤x≤2，可求得≤x＋1≤3，也就是f(x)的定义域为，由此可推出≤x－1≤3，进而求出x的范围即为f(x－1)的定义域．
[解析] 由题意知－≤x≤2，则≤x＋1≤3，即f(x)的定义域为，∴≤x－1≤3，解得≤x≤4.
故f(x－1)的定义域是.
[答案]
1．设集合M＝{x|(x＋1)(x－3)≤0}，N＝{y|y(y－3)≤0}，函数f(x)的定义域为M，值域为N，则函数f(x)的图象可以是( )
解析：选B 集合M＝{x|(x＋1)(x－3)≤0}＝{x|－1≤x≤3}，N＝{y|y(y－3)≤0}＝{y|0≤y≤3}．由此排除选项A、D.由函数的定义知，每一个x的值只能唯一对应一个y值，故排除选项C.故选B.
2．设f(x)＝|x－1|－|x|，则f等于( )
A．－ B．0
C．1 D.
解析：选C f＝f＝f(0)＝|0－1|－|0|＝1.
3．已知函数y＝f(x)的图象如图所示，则该函数的值域为________．
解析：由题图易知函数的值域为[－4，3]．
答案：[－4，3]
4．函数f(x)＝的定义域为________，值域为________．
解析：函数有意义，则x≠1，故定义域为{x∈R|x≠1}．
∵f(x)＝＝＝5＋，且≠0，
∴y≠5，∴函数的值域是{y∈R|y≠5}．
答案：{x∈R|x≠1} {y∈R|y≠5}
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11函数的表示法
新课程标准解读 核心素养
1.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(图象法、列表法、解析法)表示函数，理解函数图象的作用 数学抽象、直观想象
2.通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用 数学抽象、数学运算
第1课时 函数的表示法
(1)已建成的京沪高速铁路总长约1 318千米，设计速度目标值380千米/时，若京沪高速铁路时速按300千米/时计算，火车行驶x小时后，路程为y千米，则y是x的函数，可以用y＝300x来表示，其中y＝300x叫作该函数的解析式．
(2)如图是我国人口出生率变化曲线：
(3)下表是大气中氰化物浓度与污染源距离的关系表：
污染源距离 50 100 200 300 500
氰化物浓度 0.678 0.398 0.121 0.05 0.01
[问题] 根据初中所学知识，说出上述3个实例分别是用什么方法表示函数的？
知识点 函数的表示方法
函数三种表示法的优缺点比较
所有的函数都能用解析法、列表法和图象法表示吗？为什么？
提示：并不是所有的函数都能用解析式表示；事实上，图象法也不适用于所有函数，如狄利克雷函数：D(x)＝
列表法虽在理论上适用于所有函数，但对于自变量有无数个取值的情况，列表法只能表示函数的一个概况或片段．
1．已知函数f(x)由下表给出，则f(3)等于( )
x 1≤x<2 2 2
f(x) 1 2 3
A.1 B．2
C．3 D．不存在
解析：选C ∵当22．已知函数y＝f(x)的图象如图所示，则其定义域是________．
解析：由题图可知f(x)的定义域为[－2，3]．
答案：[－2，3]
3．已知函数f(2x＋1)＝6x＋5，则f(x)的解析式是________．
解析：法一：令2x＋1＝t，则x＝.
所以f(t)＝6×＋5＝3t＋2，
所以f(x)＝3x＋2.
法二：因为f(2x＋1)＝3(2x＋1)＋2，
所以f(x)＝3x＋2.
答案：f(x)＝3x＋2
函数的表示法
[例1] (链接教科书第56页练习3题)某商场新进了10台彩电，每台售价3 000元，试求售出台数x与收款数y之间的函数关系，分别用列表法、图象法、解析法表示出来．
[解] ①列表法：
x/台 1 2 3 4 5
y/元 3 000 6 000 9 000 12 000 15 000
x/台 6 7 8 9 10
y/元 18 000 21 000 24 000 27 000 30 000
②图象法：
③解析法：y＝3 000x，x∈{1，2，3，…，10}．
理解函数表示法的三个关注点
(1)列表法、图象法、解析法均是函数的表示法，无论是哪种方式表示函数，都必须满足函数的概念；
(2)列表法更直观形象，图象法从形的角度描述函数，解析法从数的角度描述函数；
(3)函数的三种表示法互相兼容或补充，许多函数是可以用三种方法表示的，但在实际操作中，仍以解析法为主．
[跟踪训练]
将一条长为10 cm的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长各做一个正方形．试用三种方法表示两个正方形的面积之和S与其中一段铁丝长x(x∈N＋)的函数关系．
解：这个函数的定义域为{x|1≤x<10，x∈N＋}．
①解析法：S＝＋.
将上式整理得S＝x2－x＋，x∈{x|1≤x<10，x∈N＋}．
②列表法：
一段铁丝长x(cm) 1 2 3 4 5 6 7 8 9
两个正方形的面积之和S(cm2)
③图象法：
函数的图象的作法及应用
[例2] (链接教科书第54页例3)作出下列函数的图象，并根据图象求其值域：
(1)
x －4 －2 2 4
y 1 －3 2 3
(2)y＝－，x∈[－3，0)∪(0，1]；
(3)y＝x2＋4x＋1，x∈[－3，0]．
[解] (1)该函数的图象如图①所示，由图可知值域为{－3，1，2，3}．
(2)作出函数y＝－，x∈[－3，0)∪(0，1]的图象，如图②所示，由图象可知值域为(－∞，－4]∪.
(3)作出函数y＝x2＋4x＋1，x∈[－3，0]的图象，如图③所示，由图象可知值域为[－3，1]．
画函数图象的两种常见方法
(1)描点法
一般步骤：
①列表——先找出一些(有代表性的)自变量x，并计算出与这些自变量相对应的函数值f(x)，用表格的形式表示出来；
②描点——从表中得到一系列的点(x，f(x))，在坐标平面上描出这些点；
③连线——用光滑曲线把这些点按自变量由小到大的顺序连接起来．
(2)变换作图法：常用的有水平平移变换、竖直平移变换、翻折变换等．
[跟踪训练]
画出函数y＝x－[x]的图象，其中[x]表示实数x的整数部分．
解：依题意知y＝x－[x]的定义域为R，值域[0，1)，它的图象如图所示．
函数解析式的求法
角度一 用待定系数法求函数解析式
[例3] 已知f(x)是二次函数，且f(x＋1)＋f(x－1)＝2x2－4x，求f(x)．
[解] 设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，
则f(x＋1)＋f(x－1)＝a(x＋1)2＋b(x＋1)＋c＋a(x－1)2＋b(x－1)＋c＝2ax2＋2bx＋2a＋2c＝2x2－4x，
∴∴
∴f(x)＝x2－2x－1.
待定系数法求函数解析式
已知函数的类型，如是一次函数、二次函数等，即可设出f(x)的解析式，再根据条件列方程(或方程组)，通过解方程(组)求出待定系数，进而求出函数解析式．
角度二 利用换元法(配凑法)求函数解析式
[例4] 求下列函数的解析式：
(1)已知f(＋1)＝x＋2，求f(x)；
(2)已知f(x＋2)＝2x＋3，求f(x)．
[解] (1)法一(换元法)：令t＝＋1，则x＝(t－1)2，t≥1，所以f(t)＝(t－1)2＋2(t－1)＝t2－1(t≥1)，
所以f(x)的解析式为f(x)＝x2－1(x≥1)．
法二(配凑法)：f(＋1)＝x＋2＝x＋2＋1－1＝(＋1)2－1.
因为＋1≥1，
所以f(x)的解析式为f(x)＝x2－1(x≥1)．
(2)f(x＋2)＝2x＋3＝2(x＋2)－1，∴f(x)＝2x－1.
换元法、配凑法求函数解析式
已知f(g(x))＝h(x)，求f(x)，有两种方法：
(1)换元法，即令t＝g(x)，解出x，代入h(x)中，得到一个含t的解析式，再用x替换t，便得到f(x)的解析式．
利用换元法解题时，换元后要确定新元t的取值范围，即函数f(x)的定义域．
(2)配凑法，即从f(g(x))的解析式中配凑出g(x)，用g(x)来表示h(x)，然后将解析式中的g(x)用x代替即可．
角度三 用方程组法求函数解析式
[例5] 已知函数f(x)对于任意的x都有f(x)－2f(－x)＝1＋2x，求f(x)的解析式．
[解] 在f(x)－2f(－x)＝1＋2x中，以－x代换x，可得f(－x)－2f(x)＝1－2x，
则
消去f(－x)，可得f(x)＝x－1.
用方程组法求函数的解析式
方程组法(消去法)，适用于自变量具有对称规律的函数表达式，如互为相反数的f(－x)，f(x)的函数方程，通过对称规律再构造一个关于f(－x)，f(x)的方程，联立解出f(x)．
[跟踪训练]
1．(2021·三明一中高一月考)已知一次函数f(x)满足f(－1)＝0，f(0)＝－2，则f(x)的解析式为( )
A．f(x)＝2x＋2 B．f(x)＝－2x－2
C．f(x)＝2x－2 D．f(x)＝－2x＋2
解析：选B 设一次函数f(x)＝kx＋b(k≠0)，依题意得解得k＝b＝－2，所以f(x)＝－2x－2.故选B.
2．已知f＝＋，求f(x)的解析式．
解：令t＝＝＋1，则x＝(t≠1)，
把x＝代入f＝＋，得
f(t)＝＋＝(t－1)2＋1＋(t－1)＝t2－t＋1，∴f(x)＝x2－x＋1(x≠1)．
函数图象的变换(探究型)
1．函数图象的平移变换
函数y＝f(x)的图象与y＝f(x＋a)及y＝f(x)＋a(a≠0)的图象有怎样的关系呢？我们先来看一个例子：
作出函数y＝x2，y＝(x＋1)2，y＝x2－1的图象，观察它们之间有怎样的关系．
在同一平面直角坐标系中，它们的图象如图所示．
观察图象可知，y＝(x＋1)2的图象可由y＝x2的图象向左平移1个单位长度得到；y＝x2－1的图象可由y＝x2的图象向下平移1个单位长度得到．
由此得到如下规律：
(1)函数y＝f(x＋a)的图象是由函数y＝f(x)的图象沿x轴方向向左(a>0)或向右(a<0)平移|a|个单位长度得到的，即“左加右减”；
(2)函数y＝f(x)＋a的图象是由函数y＝f(x)的图象沿y轴方向向上(a>0)或向下(a<0)平移|a|个单位长度得到的，即“上加下减”．
2．函数图象的对称变换
函数y＝f(x)的图象与y＝f(－x)，y＝－f(x)及y＝－f(－x)的图象又有怎样的关系呢？我们来看一个例子：
作出函数y＝，y＝，y＝，y＝－的图象，观察它们之间有怎样的关系．
在同一平面直角坐标系中作出①y＝，②y＝，③y＝与④y＝的图象的一部分，如图所示．
观察图象可知，y＝的图象可由y＝的图象作关于y轴的对称变换得到；y＝的图象可由y＝的图象作关于x轴的对称变换得到；y＝的图象可由y＝的图象作关于原点的对称变换得到．
由此可得如下规律：
函数图象的对称变换包括以下内容：
(1)y＝f(－x)的图象可由y＝f(x)的图象作关于y轴的对称变换得到；
(2)y＝－f(x)的图象可由y＝f(x)的图象作关于x轴的对称变换得到；
(3)y＝－f(－x)的图象可由y＝f(x)的图象作关于原点的对称变换得到．
3．函数图象的翻折变换
函数图象的翻折变换是指函数y＝f(x)与y＝|f(x)|，y＝f(|x|)的图象间的关系．
函数y＝f(x)的图象与y＝|f(x)|及y＝f(|x|)的图象又有怎样的关系呢？我们再来看一个例子：
作出函数y＝|x2－2x－3|及y＝x2－2|x|－3的图象，观察它们与函数y＝x2－2x－3的图象之间有怎样的关系．
事实上，y＝|x2－2x－3|＝
y＝x2－2|x|－3＝
在不同的平面直角坐标系中，分别作出y＝|x2－2x－3|与y＝x2－2|x|－3的图象，如图(1)(2)所示．
通过观察两个图象可知，y＝|x2－2x－3|的图象可由y＝x2－2x－3的图象经过下列变换得到：保持y＝x2－2x－3的图象在x轴上方的部分不变，将x轴下方的部分沿x轴翻折上去，即可得到y＝|x2－2x－3|的图象．y＝x2－2|x|－3的图象可由y＝x2－2x－3的图象经过下列变换得到：保持y＝x2－2x－3的图象在y轴上及其右侧的部分不变，y轴左侧的图象换成将y轴右侧的图象沿y轴翻折而成的图象，则这两部分就构成了y＝x2－2|x|－3的图象．
由此可得如下规律：
(1)要作y＝|f(x)|的图象，可先作y＝f(x)的图象，然后将x轴上及其上方的部分保持不变，x轴下方的部分沿x轴对称地翻折上去即可；
(2)要作y＝f(|x|)的图象，可先作y＝f(x)的图象，然后将y轴上及其右侧的图象不动，y轴左侧的图象换成将y轴右侧的图象沿y轴翻折而成的图象即可．
[迁移应用]
1．已知函数y＝f(x)的图象如图所示，则y＝f(1－x)的图象为( )
解析：选A 将变换分为两个过程：f(x)的图象f(－x)的图象f(－(x－1))的图象．即将函数y＝f(x)的图象先作关于y轴的对称变换得到函数y＝f(－x)的图象，再将函数y＝f(－x)的图象向右平移1个单位长度得到y＝f(1－x)的图象．
2．作出函数f(x)＝|x2－4x－5|在区间[－2，6]上的图象．
解：先作出二次函数y＝x2－4x－5的图象，再把图象在x轴下方的部分沿x轴翻折到x轴上方，保留x轴上及其上方的部分，并保留在区间[－2，6]上的部分，如图所示．
1．(多选)(2021·佛山一中高一月考)下列四个图形中可能是函数y＝f(x)图象的是( )
解析：选AD 在A、D中，对于定义域内每一个x都有唯一的y与之相对应，满足函数关系；在B、C中，存在一个x有两个y与x对应，不满足函数对应的唯一性．
2．已知f＝x，则f(x)＝( )
A. B.
C. D.
解析：选B 令＝t，则x＝，故f(t)＝，即f(x)＝.
3．若f(x)对于任意实数x恒有3f(x)－2f(－x)＝5x＋1，则f(x)＝( )
A．x＋1 B．x－1
C．2x＋1 D．3x＋3
解析：选A 因为3f(x)－2f(－x)＝5x＋1，
所以3f(－x)－2f(x)＝－5x＋1，解得f(x)＝x＋1.
4．已知函数f(x)＝x－，且此函数图象过点(5，4)，则实数m的值为________．
解析：将点(5，4)代入f(x)＝x－，得m＝5.
答案：5
5．已知二次函数f(x)满足f(0)＝1，f(1)＝2，f(2)＝5，求f(x)的解析式．
解：设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，
所以解得
所以f(x)＝x2＋1.
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10第2课时 分段函数
根据我国地理学家的估算，我国的水资源总量约为27 000亿(m3)，而可利用的水资源不足总量的1%，现我国属于水资源贫困的国家，为了加强公民的节水意识，某城市制定每户月用水收费(含用水费和污水处理费)标准：
用水量 不超过10 m3部分 超过10 m3部分
水费(元/m3) 2.27 3.40
污水处理费(元/m3) 0.30 0.80
[问题] (1)如果小明家上个月用水量为8.9 m3，这个月用水量为12 m3，他家两个月分别应该交多少水费？
(2)每月用水量x(m3)与应交水费y(元)之间的关系是否可以用函数解析式表示出来？这个解析式有什么特点？
知识点 分段函数
1．分段函数
如果函数y＝f(x)，x∈A，根据自变量x在A中不同的取值范围，有着不同的对应关系，则称这样的函数为分段函数．
2．分段函数的图象
分段函数有几段，它的图象就由几条曲线组成．在同一直角坐标系中，根据每段的定义区间和表达式依次画出图象，要注意每段图象的端点是空心点还是实心点，组合到一起就得到整个分段函数的图象．
理解分段函数应关注4点
(1)分段函数是一个函数，而不是几个函数．处理分段函数问题时，要先确定自变量的取值在哪个区间，从而选取相应的对应关系；
(2)分段函数在书写时用大括号把各段函数合并写成一个函数的形式，并且必须指明各段函数自变量的取值范围；
(3)分段函数的定义域是所有自变量取值区间的并集．分段函数的定义域只能写成一个集合的形式，不能分开写成几个集合的形式；
(4)分段函数的值域是各段函数在对应自变量的取值范围内值域的并集．
1．f(x)＝|x－1|的图象是( )
解析：选B ∵f(x)＝|x－1|＝当x＝1时，f(1)＝0，可排除A、C.又x＝－1时，f(－1)＝2，排除D.故选B.
2．若函数f(x)＝则f(f(f(－2 021)))＝________．
解析：∵f(－2 021)＝0，∴f(f(－2 021))＝f(0)＝π，
∴f(f(f(－2 021)))＝f(π)＝π2＋1.
答案：π2＋1
3．函数y＝的定义域为________，值域为________．
答案：(－∞，0)∪(0，＋∞) {－2}∪(0，＋∞)
分段函数的定义域、值域
[例1] (1)已知函数f(x)＝，则其定义域为( )
A．R B．(0，＋∞)
C．(－∞，0) D．(－∞，0)∪(0，＋∞)
(2)函数f(x)＝的定义域为________，值域为________．
[解析] (1)要使f(x)有意义，需x≠0，
故定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)．
(2)由已知定义域为{x|0＜x＜1}∪{0}∪{x|－1＜x＜0}＝{x|－1＜x＜1}，即(－1，1)．又0＜x＜1时，0＜－x2＋1＜1，－1＜x＜0时，－1＜x2－1＜0，x＝0时，f(x)＝0，故值域为(－1，0)∪{0}∪(0，1)＝(－1，1)．
[答案] (1)D (2)(－1，1) (－1，1)
1．分段函数定义域、值域的求法
(1)分段函数的定义域是各段函数定义域的并集；
(2)分段函数的值域是各段函数值域的并集．
2．绝对值函数的定义域、值域通常要转化为分段函数来解决．
[跟踪训练]
函数f(x)＝的值域是( )
A．R B．[0，＋∞)
C．[0，3] D．[0，2]∪{3}
解析：选D 当x∈[0，1]时，f(x)＝2x2∈[0，2]，所以函数f(x)的值域为[0，2]∪{2，3}＝[0，2]∪{3}.
分段函数求值问题
[例2] 已知函数f(x)＝
(1)求f(f(f(－2)))的值；
(2)若f(a)＝，求a.
[解] (1)∵－2<－1，∴f(－2)＝2×(－2)＋3＝－1，
∴f(f(－2))＝f(－1)＝2，
∴f(f(f(－2)))＝f(2)＝1＋＝.
(2)当a>1时，f(a)＝1＋＝，∴a＝2>1；
当－1≤a≤1时，f(a)＝a2＋1＝，∴a＝±∈[－1，1]；
当a<－1时，f(a)＝2a＋3＝，∴a＝－>－1(舍去)．
综上，a＝2或a＝±.
1．求分段函数的函数值的方法
(1)先确定要求值的自变量属于哪一段区间；
(2)代入该段的解析式求值，直到求出值为止．当出现f(f(x0))的形式时，应从内到外依次求值．
2．已知函数值求字母取值的步骤
(1)先对字母的取值范围分类讨论；
(2)代入到不同的解析式中；
(3)通过解方程求出字母的值；
(4)检验所求的值是否在所讨论的区间内．
[跟踪训练]
1．已知函数f(x)＝设f(0)＝a，则f(a)＝( )
A．－2 B．－1
C. D．0
解析：选A ∵a＝f(0)＝03－1＝－1，
∴f(a)＝f(－1)＝2×(－1)＝－2，故选A.
2．设f(x)＝若f(a)＝f(a＋1)，则f＝( )
A．2 B．4
C．6 D．8
解析：选C 当01，则f(a)＝，
f(a＋1)＝2(a＋1－1)＝2a，
∵f(a)＝f(a＋1)，∴＝2a，解得a＝.
∴f＝f(4)＝2×(4－1)＝6.
当a≥1时，a＋1≥2，∴f(a)＝2(a－1)，f(a＋1)＝2(a＋1－1)＝2a，则2(a－1)＝2a，无解．
综上，f＝6.
分段函数的图象及应用
[例3] (链接教科书第54页例3)已知函数f(x)＝1＋(－2(1)用分段函数的形式表示该函数；
(2)画出函数的图象；
(3)写出该函数的值域．
[解] (1)当0≤x≤2时，f(x)＝1＋＝1，
当－2∴f(x)＝
(2)函数f(x)的图象如图所示：
(3)由(2)知，f(x)在(－2，2]上的值域为[1，3)．
[母题探究]
(变条件)若本例条件变为“已知函数f(x)＝|x|－2”，如何求解？
解：(1)f(x)＝|x|－2＝
(2)函数的图象如图所示：
(3)由图可知，f(x)的值域为[－2，＋∞)．
分段函数图象的画法
(1)对含有绝对值的函数，要作出其图象，首先应根据绝对值的意义去掉绝对值符号，将函数转化为分段函数，然后分段作出函数图象；
(2)作分段函数的图象时，分别作出各段的图象，在作每一段图象时，先不管定义域的限制，作出其图象，再保留定义域内的一段图象即可，作图时要特别注意接点处点的虚实，保证不重不漏．
[跟踪训练]
1．设x∈R，定义符号函数sgn x＝则函数f(x)＝|x|sgn x的图象大致是( )
解析：选C 函数f(x)＝|x|sgn x＝故函数f(x)＝|x|sgn x的图象为y＝x所在的直线，故选C.
2．(多选)已知f(x)＝则不等式xf(x)＋x≤2的解可以是( )
A．1 B．2
C．－1 D．3
解析：选AC 当x≥0时，原不等式可化为x＋x≤2，
∴x≤1，∴0≤x≤1；
当x<0时，原不等式可化为x≤2，
∴x<0.
综上，不等式的解集为(－∞，1]．故可选A、C.
分段函数的应用问题
[例4] (链接教科书第56页练习5题)某市有A，B两家羽毛球俱乐部，两家设备和服务都很好，但收费方式不同，A俱乐部每块场地每小时收费6元；B俱乐部按月计费，一个月中20小时以内(含20小时)每块场地收费90元，超过20小时的部分，每块场地每小时2元，某企业准备下个月从这两家俱乐部中的一家租用一块场地开展活动，其活动时间不少于12小时，也不超过30小时．
(1)设在A俱乐部租一块场地开展活动x小时的收费为f(x)元(12≤x≤30)，在B俱乐部租一块场地开展活动x小时的收费为g(x)元(12≤x≤30)，试求f(x)与g(x)的解析式；
(2)问该企业选择哪家俱乐部比较合算，为什么？
[解] (1)由题意f(x)＝6x，x∈[12，30]，
g(x)＝
(2)①12≤x≤20时，6x＝90，解得：x＝15，
即当12≤x<15时，f(x)当x＝15时，f(x)＝g(x)，
当15g(x)．
②当20g(x)，
故当12≤x<15时，选A俱乐部合算，
当x＝15时，两家俱乐部一样合算，
当15分段函数的实际应用
(1)当目标在不同区间有不同的计算表达方式时，往往需要用分段函数模型来表示两变量间的对应关系，而分段函数图象也需要分段画；
(2)分段函数模型应用的关键是确定分段的各分界点，即明确自变量的取值区间，对每一个区间进行分类讨论，从而写出相应的函数解析式．
[跟踪训练]
小王家在县城A地，现在主城B地上学，周六小王的父母早上8时从家出发，驾车3 h到达主城B地，由于交通等原因，小王父母的车所走的路程s(单位：km)与离家的时间t(单位：h)的函数关系为s(t)＝－5t(t－13)，到达主城B地后，小王父母把车停在B地，在学校陪小王玩到16时，然后开车从B地以60 km/h的速度沿原路返回．
(1)求这天小王父母的车所走路程y(单位：km)与离家时间t(单位：h)的函数解析式；
(2)在距离小王家60 km处有一加油站，求这天小王父母的车途经加油站的时间．
解：(1)依题意得当0≤t≤3时，s(t)＝－5t(t－13)．
∴s(3)＝－5×3×(3－13)＝150.即小王家距B地150 km.
小王父母的车在B地逗留时间为16－8－3＝5(h)，
∴当3小王父母从B地回家所花时间为＝2.5(h)，
∴当8故y＝
(2)当0≤t≤3时，令－5t(t－13)＝60，得t2－13t＋12＝0，解得t＝1或t＝12(舍去)，当t＝1时，小王父母的车经过加油站的时间为9时；
当8∴这天小王父母的车途经加油站的时间为9时和17时30分．
1．一列货运火车从某站出发，匀加速行驶一段时间后开始匀速行驶，过了一段时间，火车到达下一站停车，装完货以后，火车又匀加速行驶，一段时间后再次匀速行驶，下列图示可以近似地刻画出这列火车的速度变化情况的是( )
解析：选B 根据题意，知这列火车从静止开始匀加速行驶，所以排除A、D，然后匀速行驶一段时间后又停止了一段时间，排除C，故选B.
2．若函数f(x)＝则f的值为( )
A. B．－
C. D．18
解析：选A f(2)＝22＋2－2＝4，f＝f＝1－＝，故选A.
3．(多选)下列给出的函数是分段函数的是( )
A．f(x)＝
B．f(x)＝
C．f(x)＝
D．f(x)＝
解析：选AD 对于B，取x＝2，得f(2)＝3或4，对于C，取x＝1，f(1)＝5或1，所以B、C都不合题意，故选A、D.
4．已知函数f(x)的图象如图所示，则f(x)的解析式是________．
解析：由题图可知，f(x)的图象是由两条线段组成的．当－1≤x<0时，设f(x)＝ax＋b，将(－1，0)，(0，1)代入解析式，
得解得
当0≤x≤1时，设f(x)＝kx，将(1，－1)代入，得k＝－1.
所以f(x)的解析式为f(x)＝
答案：f(x)＝
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8函数的单调性和最值
新课程标准解读 核心素养
1.借助函数图象，会用符号语言表达函数的单调性 数学抽象
2.理解单调性的作用和实际意义 逻辑推理、数学运算
3.借助函数图象，会用符号语言表达函数的最大值、最小值，理解它们的作用和意义 数学抽象、数学运算
第1课时 函数的单调性
德国有一位著名的心理学家艾宾浩斯，对人类的记忆牢固程度进行了有关研究．他经过测试，得到了以下一些数据：
时间间隔t 刚记忆完毕 20分钟后 60分钟后 8～9小时后 1天后 2天后 6天后 一个月后
记忆量y (百分比) 100 58.2 44.2 35.8 33.7 27.8 25.4 21.1
以上数据表明，记忆量y是时间间隔t的函数．艾宾浩斯根据这些数据描绘出了著名的“艾宾浩斯遗忘曲线”．
[问题] 当时间间隔t逐渐增大，你能看出对应的函数值y有什么变化趋势？
知识点一 增函数、减函数的概念
设函数y＝f(x)的定义域是D：
(1)如果对于任意的x1，x2∈D，当x1(2)如果对于任意的x1，x2∈D，当x1f(x2)，那么就称函数y＝f(x)是减函数．特别地，当I是定义域D上的一个区间时，也称函数y＝f(x)在区间I上单调递减．
1．对区间D的要求
函数的单调性是函数在某个区间上的性质，这个区间可以是整个定义域，也可以是定义域的一部分．
2．x1，x2的三个特征
(1)同区间性，即x1，x2∈D；
(2)任意性，即不可用区间D上的两个特殊值代替x1，x2；
(3)有序性，即需要区分大小，通常规定x13．自变量的大小与函数值的大小关系
(1)单调递增：x1(2)单调递减：x1f(x2)．
下列函数f(x)中，满足对任意x1，x2∈(0，＋∞)，当x1①f(x)＝x2；②f(x)＝；
③f(x)＝|x|；④f(x)＝2x＋1.
答案：②
知识点二 函数的单调性与单调区间
如果函数y＝f(x)在区间I上单调递增或单调递减，那么就称函数y＝f(x)在区间I上具有单调性，区间I为函数y＝f(x)的单调区间．
1．函数在某个区间上是单调增(减)函数，但是在整个定义域上不一定是单调增(减)函数．如函数y＝(x≠0)在区间(－∞，0)和(0，＋∞)上都是减函数，但是在整个定义域上不具有单调性．
2．一个函数出现两个或者两个以上的单调区间时，不能用“∪”连接，而应该用“和”或“，”连接．如函数y＝(x≠0)在区间(－∞，0)和(0，＋∞)上都是减函数，不能认为y＝(x≠0)的单调减区间为(－∞，0)∪(0，＋∞)．
1．区间A一定是函数的定义域吗？
提示：不一定，可能是定义域的一部分．
2．函数y＝在定义域上是减函数吗？
提示：y＝在定义域上不是减函数，但是它有两个单调递减区间(－∞，0)，(0，＋∞)．
1．下列函数中，在R上是增函数的是( )
A．y＝|x| B．y＝x
C．y＝x2 D．y＝
解析：选B 根据题意，依次分析选项：对于A，y＝|x|＝在R上不是增函数，不符合题意；对于B，y＝x是正比例函数，在R上是增函数，符合题意；对于C，y＝x2是二次函数，在R上不是增函数，不符合题意；对于D，y＝是反比例函数，在R上不是增函数，不符合题意．
2．如图所示的是定义在区间[－5，5]上的函数y＝f(x)的图象，则函数的单调递减区间是________，在区间________上是增函数．
解析：观察图象可知单调递增区间为[－5，－2]，[1，3]，单调递减区间为[－2，1]，[3，5]．
答案：[－2，1]和[3，5] [－5，－2]和[1，3]
3．若函数f(x)＝ax－3在R上单调递增，则a的取值范围为________．
答案：(0，＋∞)
利用定义判断或证明函数的单调性
[例1] 判断函数f(x)＝在区间(1，＋∞)上的单调性，并用单调性的定义证明．
[解] 函数f(x)＝在区间(1，＋∞)上是减函数．
证明如下：
任取x1，x2∈(1，＋∞)，且x1则f(x1)－f(x2)＝eq \f(1,x－1)－eq \f(1,x－1)
＝eq \f(x－x,（x－1）（x－1）)＝eq \f(（x2＋x1）（x2－x1）,（x－1）（x－1）).
∵x10，
又x1，x2∈(1，＋∞)，
∴x2＋x1>0，x－1>0，x－1>0.
∴eq \f(（x2＋x1）（x2－x1）,（x－1）（x－1）)>0，
即f(x1)>f(x2)．
∴f(x)在区间(1，＋∞)上单调递减．
利用定义证明函数单调性的步骤
[跟踪训练]
1．(多选)下列函数在(－∞，0)上为增函数的是( )
A．y＝|x|＋1 B．y＝
C．y＝－ D．y＝x＋
解析：选CD y＝|x|＋1＝－x＋1(x<0)在(－∞，0)上为减函数；y＝＝－1(x<0)在(－∞，0)上既不是增函数也不是减函数；y＝－＝x(x<0)在(－∞，0)上是增函数；y＝x＋＝x－1(x<0)在(－∞，0)上也是增函数，故选C、D.
2．利用单调性的定义，证明函数y＝在(－1，＋∞)上是减函数．
证明：任取x1，x2∈(－1，＋∞)，且x1则f(x1)－f(x2)＝－＝.
因为－10，x1＋1>0，x2＋1>0，
所以>0，即f(x1)－f(x2)>0，f(x1)>f(x2)．
所以y＝在(－1，＋∞)上是减函数.
求函数的单调区间
[例2] (链接教科书第63页B组2题)已知函数f(x)＝x2－4|x|＋3，x∈R.
(1)画出函数的图象；
(2)根据图象写出它的单调区间．
[解] (1)f(x)＝x2－4|x|＋3＝
图象如图所示：
(2)由图象可知函数f(x)的单调递增区间为(－2，0)，(2，＋∞)，单调递减区间为(－∞，－2]，[0，2]．
求函数单调区间的2种方法
(1)定义法：即先求出定义域，再利用定义法进行判断求解；
(2)图象法：即先画出图象，根据图象求单调区间．
[跟踪训练]
求函数f(x)＝的单调减区间．
解：函数f(x)＝的定义域为(－∞，1)∪(1，＋∞)，
设x1，x2∈(－∞，1)，且x1f(x1)－f(x2)＝－＝.
因为x10，x1－1<0，x2－1<0，
所以f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)．
所以函数f(x)在(－∞，1)上单调递减，同理函数f(x)在(1，＋∞)上单调递减．
综上，函数f(x)的单调递减区间是(－∞，1)，(1，＋∞).
函数单调性的应用
[例3] (1)若函数f(x)＝－x2－2(a＋1)x＋3在区间(－∞，3]上是增函数，则实数a的取值范围是________；
(2)已知函数y＝f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，且f(2x－3)>f(5x－6)，则实数x的取值范围为________．
[解析] (1)∵f(x)＝－x2－2(a＋1)x＋3的开口向下，要使f(x)在(－∞，3]上是增函数，只需－(a＋1)≥3，即a≤－4.∴实数a的取值范围为(－∞，－4]．
(2)∵f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，
且f(2x－3)>f(5x－6)，
∴2x－3>5x－6，即x<1.
∴实数x的取值范围为(－∞，1)．
[答案] (1)(－∞，－4] (2)(－∞，1)
[母题探究]
1．(变条件)若本例(1)的函数f(x)在(1，2)上是单调函数，求a的取值范围．
解：由题意可知－(a＋1)≤1或－(a＋1)≥2，即a≤－3或a≥－2.
所以a的取值范围为(－∞，－3]∪[－2，＋∞)．
2．(变条件)若本例(2)的函数f(x)是定义在(0，＋∞)上的减函数，求x的范围．
解：由题意可知，解得x>.
∴x的取值范围为.
1．利用单调性比较大小或解不等式的方法
(1)利用函数的单调性可以比较函数值或自变量的大小．在解决比较函数值的问题时，要注意将对应的自变量转化到同一个单调区间上；
(2)在求解与抽象函数有关的不等式时，往往是利用函数的单调性将“f”符号脱掉，使其转化为具体的不等式求解．此时应特别注意函数的定义域．
2．已知函数的单调性求参数的取值范围的一般方法
(1)将参数看成已知数，求函数的单调区间，再与已知的单调区间比较，求出参数的取值范围；
(2)运用函数单调性的定义建立关于参数的不等式(组)，解不等式(组)求出参数的取值范围．
[跟踪训练]
1．若函数f(x)在(－∞，－1]上是增函数，则下列关系式中成立的是( )
A．fB．f(－1)C．f(－2)D．f(－2)解析：选D ∵f(x)在(－∞，－1]上是增函数，
且－2<－<－1，
∴f(－2)2．若f(x)是定义在[0，＋∞)上的减函数，则不等式f(x)解析：依题意，得不等式组
解得答案：
复合函数y＝f(g(x))的单调性
[典例] 已知函数f(x)＝，x∈[2，6]．
(1)试判断此函数在x∈[2，6]上的单调性；
(2)根据(1)的判断过程，归纳出解题步骤．
提示：(1)函数f(x)＝可分解为函数y＝和函数u＝x－1.
因为x∈[2，6]，所以u∈[1，5]，显然函数u＝x－1在x∈[2，6]上单调递增，函数y＝在u∈[1，5]上单调递减，由复合函数的单调性，知f(x)＝在x∈[2，6]上单调递减．
(2)解题步骤为：先求函数的定义域，接着分解复合函数，再判断每一层函数的单调性，最后根据复合函数的单调性确定函数的单调性．
[结论] 复合函数的单调性：一般地，对于复合函数y＝f(g(x))，单调性如表所示，简记为“同增异减”.
g(x) f(x) f(g(x))
增 增 增
增 减 减
减 增 减
减 减 增
[迁移应用]
求函数f(x)＝的单调区间．
解：由题意可知8－2x－x2≥0，解得－4≤x≤2，
∴函数f(x)的定义域为[－4，2]．
设y＝，u＝8－2x－x2.
二次函数u＝8－2x－x2＝－(x＋1)2＋9的单调递增区间是(－∞，－1]，单调递减区间是(－1，＋∞)．
∴函数y＝f(x)的单调递增区间是[－4，－1]，单调递减区间是(－1，2]．
1．函数f(x)在R上是减函数，则有( )
A．f(3)C．f(3)>f(5) D．f(3)≥f(5)
解析：选C 因为函数f(x)在R上是减函数，3<5，所以f(3)>f(5)．
2．函数f(x)＝－x2＋2x＋3的单调减区间是( )
A．(－∞，1) B．(1，＋∞)
C．(－∞，2) D．(2，＋∞)
解析：选B 易知函数f(x)＝－x2＋2x＋3是图象开口向下的抛物线，其对称轴为x＝1，所以其单调减区间是(1，＋∞)．
3．若函数y＝ax与y＝－在(0，＋∞)上都单调递增，则函数y＝ax2＋bx在(0，＋∞)上( )
A．单调递增 B．单调递减
C．先增后减 D．先减后增
解析：选A 由于函数y＝ax与y＝－在(0，＋∞)上均单调递增，故a>0，b>0，故二次函数f(x)＝ax2＋bx的图象开口向上，且对称轴为直线x＝－<0，故函数y＝ax2＋bx在(0，＋∞)上单调递增．
4．(多选)如果函数f(x)在[a，b]上单调递增，则对于任意的x1，x2∈[a，b](x1≠x2)，下列结论中正确的是( )
A.>0
B．(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0
C．f(a)≤f(x1)D．f(x1)≠f(x2)
解析：选ABD 由函数单调性的定义可知，若函数y＝f(x)在给定的区间上单调递增，则x1－x2与f(x1)－f(x2)同号，由此可知，选项A、B正确；对于C，若x1>x2，则f(x1)>f(x2)，故C不正确；对于D，因为f(x)在区间[a，b]上单调，且x1≠x2，所以f(x1)≠f(x2)，故D正确．
5．已知函数y＝－x2＋4ax在区间[－1，2]上单调递减，则实数a的取值范围是________．
解析：根据题意，知函数y＝－x2＋4ax为二次函数，且开口向下，其对称轴为x＝2a，
若其在区间[－1，2]上单调递减，则2a≤－1，
所以a≤－，即a的取值范围为.
答案：
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9第2课时 函数的最大(小)值
科考队对“早穿棉袄午穿纱，围着火炉吃西瓜”这一独特的沙漠气候进行科学考查，如图是某天气温随时间的变化曲线．
[问题] (1)该天的最高气温和最低气温分别是多少？
(2)设该天某时刻的气温为f(x)，则f(x)在哪个范围内变化？
(3)从函数图象上看，气温的最大值(最小值)在什么时刻取得？
知识点 函数的最大值与最小值
最大值 最小值
条件 若存在实数M，对所有的x∈D，都有
f(x)≤M f(x)≥M
存在x0∈A，使得f(x0)＝M
结论 称M为函数y＝f(x)的最大值 称M为函数y＝f(x)的最小值
几何意义 f(x)图象上最高点的纵坐标 f(x)图象上最低点的纵坐标
对函数最大值和最小值定义的再理解
(1)M首先是一个函数值，它是值域中的一个元素；
(2)最大(小)值定义中的“对所有的”是说对于定义域内的每一个值都必须满足不等式，即对于定义域内的全部元素，都有f(x)≤M(f(x)≥M)成立，也就是说，函数y＝f(x)的图象不能位于直线y＝M的上(下)方．
1.函数y＝f(x)在[－2，2]上的图象如图所示，则此函数的最小值、最大值分别是( )
A．－1，0 B．0，2
C．－1，2 D.，2
解析：选C 由题图可知，f(x)的最大值为f(1)＝2，f(x)的最小值为f(－2)＝－1.
2．设函数f(x)＝3x－1(x<0)，则f(x)( )
A．有最大值
B．有最小值
C．既有最大值又有最小值
D．既无最大值又无最小值
解析：选D ∵f(x)在(－∞，0)上单调递增，∴f(x)3．函数f(x)＝，x∈[1，2]，则f(x)的最大值为________，最小值为________．
解析：∵f(x)＝在区间[1，2]上为减函数，
∴f(2)≤f(x)≤f(1)，即≤f(x)≤1.
答案：1
图象法求函数的最值
[例1] (链接教科书第60页例2)已知函数f(x)＝求f(x)的最大值、最小值．
[解] 作出函数f(x)的图象(如图)．由图象可知，当x＝±1时，f(x)取最大值为f(1)＝f(－1)＝1.
当x＝0时，f(x)取最小值为f(0)＝0，
故f(x)的最大值为1，最小值为0.
用图象法求最值的3个步骤
[跟踪训练]
已知函数f(x)＝
(1)画出f(x)的图象；
(2)利用图象写出该函数的最大值和最小值．
解：(1)函数f(x)的图象如图所示．
(2)由图象可知f(x)的最小值为f(1)＝1，无最大值.
单调性法求最值
[例2] (链接教科书第60页练习3题)已知函数f(x)＝.
(1)判断函数f(x)在区间[0，＋∞)上的单调性，并用定义证明；
(2)求函数f(x)在区间[2，9]上的最大值与最小值．
[解] (1)f(x)在区间[0，＋∞)上单调递增．
证明：任取x1，x2∈[0，＋∞)，且x1则f(x1)－f(x2)＝－＝－＝.
因为x1－x2<0，(x1＋1)(x2＋1)>0，
所以f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)所以函数f(x)在区间[0，＋∞)上单调递增．
(2)由(1)知函数f(x)在区间[2，9]上是单调递增的，
故函数f(x)在区间[2，9]上的最大值为f(9)＝＝，最小值为f(2)＝＝.
1．利用单调性求函数的最大(小)值的一般步骤
(1)判断函数的单调性；
(2)利用单调性求出最大(小)值．
2．函数的最大(小)值与单调性的关系
(1)若函数f(x)在区间[a，b]上单调递增(减)，则f(x)在区间[a，b]上的最小(大)值是f(a)，最大(小)值是f(b)；
(2)若函数f(x)在区间[a，b]上单调递增(减)，在区间[b，c]上单调递减(增)，则f(x)在区间[a，c]上的最大(小)值是f(b)，最小(大)值是f(a)与f(c)中较小(大)的一个．
[跟踪训练]
1．定义在R上的函数f(x)对任意两个不等实数a，b，总有>0成立，且f(－3)＝－1，f(1)＝2，则f(x)在[－3，1]上的最大值是________．
解析：由题意可知函数f(x)在R上为增函数，则其在[－3，1]上的最大值应为f(1)＝2.
答案：2
2．已知函数f(x)＝，x∈[3，5]．
(1)判断函数f(x)的单调性并证明；
(2)求函数f(x)的最大值和最小值．
解：(1)f(x)是增函数，证明如下：
任取x1，x2∈[3，5]且x1＜x2，
则f(x1)－f(x2)＝－＝，
因为3≤x1所以x1－x2＜0，(x1＋2)(x2＋2)＞0，
所以f(x1)－f(x2)＜0，即f(x1)＜f(x2)．
所以f(x)在[3，5]上为增函数．
(2)由(1)知，f(x)在[3，5]上为增函数，
则f(x)max＝f(5)＝，
f(x)min＝f(3)＝.
利用函数的最值解决恒成立问题
[例3] 已知函数f(x)＝，x∈[1，＋∞)．
(1)当a＝时，求函数f(x)的最小值；
(2)若对任意x∈[1，＋∞)，f(x)>0恒成立，试求实数a的取值范围．
[解] (1)当a＝时，f(x)＝＝x＋＋2.任取x1，x2∈[1，＋∞)，且x1则f(x1)－f(x2)＝(x1－x2)<0，
所以f(x1)所以函数f(x)在[1，＋∞)上的最小值为f(1)＝1＋＋2＝.
(2)法一：依题意f(x)＝>0在[1，＋∞)上恒成立，
即x2＋2x＋a>0在[1，＋∞)上恒成立．
记y＝x2＋2x＋a，x∈[1，＋∞)，
由y＝(x＋1)2＋a－1在[1，＋∞)上为增函数，
知当x＝1时，y取得最小值3＋a.
所以当3＋a>0即a>－3时，f(x)>0恒成立．
于是实数a的取值范围为(－3，＋∞)．
法二：依题意f(x)＝>0在[1，＋∞)上恒成立，即x2＋2x＋a>0在[1，＋∞)上恒成立．
所以a>－x2－2x在[1，＋∞)上恒成立．
令g(x)＝－x2－2x，x∈[1，＋∞)，
因为g(x)＝－x2－2x在[1，＋∞)上为减函数，
所以g(x)max＝g(1)＝－1－2＝－3，
所以a>－3，
故实数a的取值范围为(－3，＋∞)．
分离参数法解决恒成立的问题
在求参数a的取值范围时，可将参数a单独分离出来求解：若对区间D上的任意x，a>f(x)恒成立，则a>f(x)max；若对于区间D上的任意x，af(x)成立，则a>f(x)min；若在区间D上存在x使a[跟踪训练]
设函数f(x)＝x－，x∈[1，＋∞)，则使f(mx)＋mf(x)<0恒成立的实数m的取值范围是________．
解析：易知f(x)为增函数，且m≠0.若m>0，由函数f(x)的单调性可知f(mx)和mf(x)均为增函数，此时不符合题意．若m<0，则f(mx)＋mf(x)<0可化为mx－＋mx－<0，所以2mx－·<0，即1＋<2x2.因为y＝2x2在x∈[1，＋∞)上的最小值为2，所以1＋<2，即m2>1，得m<－1.
答案：(－∞，－1)
1．二次函数y＝ax2＋4x＋a的最大值是3，则a＝( )
A．－1 B．1
C．－2 D．－
解析：选A 二次函数y＝ax2＋4x＋a的最大值是3，则解得a＝－1.
2．设函数f(x)＝在区间[3，4]上的最大值和最小值分别为M，m，则＝( )
A. B.
C. D.
解析：选D 易知f(x)＝＝2＋，所以f(x)在区间[3，4]上单调递减，所以M＝f(3)＝2＋＝6，m＝f(4)＝2＋＝4，所以＝＝.
3．若函数f(x)＝在区间[1，a]上的最小值为，则a＝________．
解析：∵f(x)＝在区间[1，a]上单调递减，
∴函数f(x)的最小值为f(a)＝＝，∴a＝4.
答案：4
4．函数f(x)＝kx＋2x＋3k－1，若对于任意x∈[－4，1]，不等式f(x)≤0恒成立，则实数k的取值范围是________．
解析：f(x)＝kx＋2x＋3k－1＝(k＋2)x＋3k－1.由对于任意x∈[－4，1]，不等式f(x)≤0恒成立，可得解得－9≤k≤－.所以k的取值范围是.
答案：
PAGE
6函数的奇偶性
新课程标准解读 核心素养
1.结合具体函数，了解奇偶性的概念和几何意义 数学抽象
2.了解奇偶函数的图象的对称性，掌握函数奇偶性的简单应用 直观想象、逻辑推理
在我们的日常生活中，可以观察到许多对称现象，如六角形的雪花晶体、建筑物和它在水中的倒影……
[问题] 我们知道函数的图象能够反映函数的性质，那么函数图象的对称性反映了函数的什么性质呢？
知识点 函数的奇偶性
1．奇函数
(1)定义：一般地，设函数f(x)的定义域是A，如果对任意的x∈A，有－x∈A，且f(－x)＝－f(x)，那么称函数f(x)为奇函数；
(2)图象特征：图象关于原点对称，反之亦然．
2．偶函数
(1)定义：设函数f(x)的定义域是A，如果对任意的x∈A，有－x∈A，且f(－x)＝f(x)，那么称函数f(x)为偶函数；
(2)图象特征：图象关于y轴对称，反之亦然．
3．奇偶性
当函数f(x)是奇函数或偶函数时，称f(x)具有奇偶性．
对函数奇偶性的再理解
(1)定义域I具有对称性，即 x∈I，－x∈I.定义域不关于原点对称时，f(x)是非奇非偶函数；
(2)当f(x)的定义域关于原点对称时，要看f(x)与f(－x)的关系．特别地，若f(－x)≠－f(x)且f(－x)≠f(x)是非奇非偶函数；若f(－x)＝－f(x)且f(－x)＝f(x)既是奇函数又是偶函数．
1．下列图象表示的函数中具有奇偶性的是( )
解析：选B 选项A中的图象关于原点或y轴均不对称，故排除；选项C、D中的图象所示的函数的定义域不关于原点对称，不具有奇偶性，故排除；选项B中的图象关于y轴对称，其表示的函数是偶函数．故选B.
2．下列函数是偶函数的是________(填序号)．
①y＝x；②y＝2x2－3；③y＝；④y＝x2，x∈[0，1]．
答案：②
3．若函数y＝f(x)，x∈[－1，a]是奇函数，则a＝________．
答案：1
4．若f(x)是定义在R上的奇函数，f(3)＝2，则f(－3)＝________，f(0)＝________．
解析：因为f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(－3)＝－f(3)＝－2，f(0)＝0.
答案：－2 0
判断函数的奇偶性
[例1] (链接教科书第65页例2)判断下列函数的奇偶性：
(1)f(x)＝；
(2)f(x)＝|x－2|－|x＋2|；
(3)f(x)＝x2＋(x≠0，a∈R)．
[解] (1)∵函数f(x)＝的定义域为{x|x∈R且x≠1}，定义域不关于原点对称，∴该函数既不是奇函数也不是偶函数．
(2)法一(定义法)：函数f(x)＝|x－2|－|x＋2|的定义域为R，关于原点对称．
∵f(－x)＝|－x－2|－|－x＋2|＝|x＋2|－|x－2|＝－(|x－2|－|x＋2|)＝－f(x)，∴函数f(x)＝|x－2|－|x＋2|是奇函数．
法二(根据图象进行判断)：f(x)＝|x－2|－|x＋2|＝画出图象如图所示，图象关于原点对称，因此函数f(x)是奇函数．
(3)当a＝0时，f(x)＝x2为偶函数．
当a≠0时，f(x)＝x2＋(x≠0)，取x＝±1，得f(－1)＋f(1)＝2≠0，f(－1)－f(1)＝－2a≠0，即f(－1)≠－f(1)，f(－1)≠f(1)，∴函数f(x)既不是奇函数也不是偶函数．
综上所述，当a∈R且a≠0时，函数f(x)既不是奇函数也不是偶函数；当a＝0时，函数f(x)为偶函数．
判断函数奇偶性的两种方法
(1)定义法
(2)图象法
[提醒] 对于分段函数奇偶性的判断，应分段讨论，要注意根据x的范围取相应的函数解析式．
[跟踪训练]
下列四个函数中为偶函数的是( )
A．y＝2x B．y＝
C．y＝x2－2x D．y＝|x|
解析：选D 由题易知A为奇函数；B中，函数的定义域为{x|x≠1}，故y＝为非奇非偶函数；C中，f(－x)≠－f(x)，f(x)≠f(－x)，故y＝x2－2x为非奇非偶函数；D中，函数的定义域为R，f(－x)＝|－x|＝|x|＝f(x)，故y＝|x|为偶函数．
利用函数奇偶性求参数
[例2] (链接教科书第71页B组7题)(1)若函数f(x)＝ax2＋bx＋3a＋b是偶函数，定义域为[a－1，2a]，则a＝________，b＝________；
(2)若f(x)＝(x＋a)(x－4)为偶函数，则实数a＝________；
(3)已知函数f(x)＝为奇函数，则a＝________．
[解析] (1)因为偶函数的定义域关于原点对称，所以a－1＝－2a，解得a＝.
易知函数f(x)＝x2＋bx＋b＋1为二次函数，结合偶函数图象的特点，易得b＝0.
(2)f(x)＝(x＋a)(x－4)＝x2＋(a－4)x－4a，f(－x)＝x2－(a－4)x－4a，因为f(x)为偶函数，所以两式恒相等，则a－4＝0，即a＝4.
(3)因为f(x)是奇函数，f(－1)＝0，所以f(－1)＝－f(1)＝0，所以f(1)＝0，即＝0，解得a＝－1.经检验，a＝－1符合题意．
[答案] (1) 0 (2)4 (3)－1
利用奇偶性求参数的常见类型
(1)定义域含参数：奇偶函数f(x)的定义域为[a，b]，根据定义域关于原点对称，利用a＋b＝0求参数；
(2)解析式含参数：根据f(－x)＝－f(x)或f(－x)＝f(x)列式，比较系数利用待定系数法求解．
[跟踪训练]
若函数f(x)＝为奇函数，则a＝( )
A． B．
C． D．1
解析：选A 因为f(x)为奇函数，
所以f(－1)＝－f(1)，
所以＝－，
所以1＋a＝3(1－a)，解得a＝.
利用函数的奇偶性求解析式(值)
角度一 定义法求函数解析式
[例3] 已知f(x)为R上的奇函数，当x>0时，f(x)＝－2x2＋3x＋1.
(1)求f(－1)；
(2)求f(x)的解析式．
[解] (1)因为函数f(x)为奇函数，
所以f(－1)＝－f(1)＝－(－2×12＋3×1＋1)＝－2.
(2)当x<0时，－x>0，则f(－x)＝－2(－x)2＋3(－x)＋1＝－2x2－3x＋1.
由于f(x)是奇函数，则f(x)＝－f(－x)，
所以f(x)＝2x2＋3x－1.当x＝0时，f(－0)＝－f(0)，
则f(0)＝－f(0)，即f(0)＝0.
所以f(x)的解析式为f(x)＝
[母题探究]
(变条件)若将本例中的“奇”改为“偶”，“x>0”改为“x≥0”，其他条件不变，求f(x)的解析式．
解：当x<0时，－x>0，此时f(－x)＝－2(－x)2＋3(－x)＋1＝－2x2－3x＋1.由于f(x)是偶函数，则f(x)＝f(－x)＝－2x2－3x＋1，所以f(x)的解析式为
f(x)＝
利用函数奇偶性求函数解析式的3个步骤
(1)“求谁设谁”，即在哪个区间上求解析式，x就应在哪个区间上设；
(2)转化到已知区间上，代入已知的解析式；
(3)利用f(x)的奇偶性写出－f(－x)或f(－x)，从而解出f(x)．
角度二 方程组法求函数解析式
[例4] 设f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，且f(x)＋g(x)＝，求函数f(x)，g(x)的解析式．
[解] ∵f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，∴f(－x)＝f(x)，g(－x)＝－g(x)，
由f(x)＋g(x)＝， ①
用－x代替x，
得f(－x)＋g(－x)＝，
∴f(x)－g(x)＝， ②
(①＋②)÷2，得f(x)＝；
(①－②)÷2，得g(x)＝.
已知函数f(x)，g(x)组合运算与奇偶性，则把x换为－x，构造方程组求解．
[跟踪训练]
1．已知f(x)＝x5＋ax3＋bx－8，且f(－2)＝10，则f(2)等于( )
A．－26 B．－18
C．－10 D．10
解析：选A 法一：令g(x)＝x5＋ax3＋bx，易知g(x)是R上的奇函数，从而g(－2)＝－g(2)，又f(x)＝g(x)－8，∴f(－2)＝g(－2)－8＝10，∴g(－2)＝18，∴g(2)＝－g(－2)＝－18，
∴f(2)＝g(2)－8＝－18－8＝－26.
法二：由已知条件，得
①＋②得f(2)＋f(－2)＝－16.
又f(－2)＝10，∴f(2)＝－26.
2．已知函数f(x)为偶函数，且当x<0时，f(x)＝x＋1，则x>0时，f(x)＝________．
解析：当x>0时，－x<0，∴f(－x)＝－x＋1，又f(x)为偶函数，∴f(x)＝－x＋1.
答案：－x＋1
奇偶性与单调性的综合应用
[例5] (1)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x－4)＝－f(x)，且在区间[0，2]上单调递增，则( )
A．f(－1)C．f(3)(2)已知函数y＝f(x)在定义域[－1，1]上既是奇函数，又是减函数，若f(1－a2)＋f(1－a)<0，则实数a的取值范围为________；
(3)定义在[－2，2]上的偶函数f(x)在区间[0，2]上单调递减，若f(1－m)[解析] (1)因为f(x)满足f(x－4)＝－f(x)，则f(－4)＝－f(0)，
又f(x)在R上是奇函数，所以f(0)＝0，故f(－4)＝－f(0)＝0，所以f(4)＝－f(－4)＝0.
由f(x)＝－f(－x)及f(x－4)＝－f(x)，得f(3)＝－f(－3)＝－f(1－4)＝f(1)，又f(x)在区间[0，2]上单调递增，所以f(1)>f(0)，即f(1)>0，所以f(－1)＝－f(1)<0，f(3)＝f(1)>0，于是f(－1)(2)由f(1－a2)＋f(1－a)<0，
得f(1－a2)<－f(1－a)．
∵y＝f(x)在[－1，1]上是奇函数，
∴－f(1－a)＝f(a－1)，∴f(1－a2)又f(x)在[－1，1]上单调递减，
∴解得0≤a<1.
∴a的取值范围是[0，1)．
(3)∵函数f(x)是偶函数，∴f(x)＝f(|x|)．
∴f(1－m)＝f(|1－m|)，f(m)＝f(|m|)．
∴原不等式等价于解得－1≤m<.
∴实数m的取值范围是.
[答案] (1)D (2)[0，1) (3)
奇偶性与单调性综合问题的两种题型及解法
(1)比较大小问题，一般解法是先利用奇偶性，将不在同一单调区间上的两个或多个自变量的函数值，转化为同一单调区间上的自变量的函数值，然后利用单调性比较大小；
(2)抽象不等式问题，解题步骤是：①将所给的不等式转化为两个函数值的大小关系；②利用奇偶性得出区间上的单调性，再利用单调性“脱去”函数的符号“f”，转化为解不等式(组)的问题．
需要注意的是：在转化时，自变量的取值必须在同一单调区间上；当不等式一边没有符号“f”时，需转化为含符号“f”的形式，如0＝f(1)，f(x－1)<0，则f(x－1)[跟踪训练]
1．设偶函数f(x)的定义域为R，当x∈[0，＋∞)时，f(x)是增函数，则f(－2)，f(π)，f(－3)的大小关系是( )
A．f(π)>f(－3)>f(－2)
B．f(π)>f(－2)>f(－3)
C．f(π)D．f(π)解析：选A 由偶函数与单调性的关系知，若x∈[0，＋∞)时，f(x)是增函数，则x∈(－∞，0)时，f(x)是减函数，故其图象的几何特征是自变量的绝对值越小，则其函数值越小，∵|－2|<|－3|<π，∴f(π)>f(－3)>f(－2)，故选A.
2．函数f(x)是定义在实数集上的偶函数，且在[0，＋∞)上是增函数，f(3)A．a>1 B．a<－2
C．a>1或a<－2 D．－1解析：选C 因为函数f(x)在实数集上是偶函数，且f(3)1或a<－2.故选C.
1．(多选)下列函数是奇函数的有( )
A．y＝ B．y＝－3x
C．y＝x－ D．y＝πx3－x
解析：选BCD 先判断函数的定义域是否关于原点对称，再确定f(－x)与f(x)的关系．选项A中函数的定义域为(－∞，1)∪(1，＋∞)，不关于原点对称，所以排除A；选项B、D中函数定义域均为R，且f(－x)＝－f(x)，故为奇函数；选项C中函数定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，且f(－x)＝－f(x)，也是奇函数．
2．已知y＝f(x)是偶函数，其图象与x轴有4个交点，则方程f(x)＝0的所有实数根之和是( )
A．4 B．2
C．1 D．0
解析：选D 因为y＝f(x)是偶函数，所以y＝f(x)的图象关于y轴对称，所以f(x)＝0的所有实数根之和为0.
3．若函数f(x)＝2x2－|3x＋a|为偶函数，则a＝( )
A．1 B．2
C．3 D．0
解析：选D ∵f(x)＝2x2－|3x＋a|为偶函数，∴f(－x)＝f(x)对于任意x∈R都成立．∴f(－1)＝f(1)，即2－|a－3|＝2－|a＋3|，解得a＝0.故选D.
4．已知奇函数f(x)在R上单调递减，且f(2)＝－1，则满足－1≤f(x－2)≤1的x的取值范围是( )
A．[－2，2] B．[－1，1]
C．[0，4] D．[1，3]
解析：选C 由函数f(x)为奇函数，f(2)＝－1，知f(－2)＝1，∵－1≤f(x－2)≤1，∴f(2)≤f(x－2)≤f(－2)，又函数f(x)在R上单调递减，∴－2≤x－2≤2，解得0≤x≤4.故选C.
5．已知二次函数f(x)＝x2＋bx＋c满足f(1)＝f(3)＝－3.
(1)求b，c的值；
(2)若函数g(x)是奇函数，当x≥0时，g(x)＝f(x)．
①直接写出g(x)的单调递减区间为________；
②若g(a)>a，求a的取值范围．
解：(1)由f(1)＝f(3)＝－3，得
解得
(2)①[－2，2]．
②由(1)知f(x)＝x2－4x，
则当x≥0时，g(x)＝x2－4x；
当x<0时，－x>0，
则g(－x)＝(－x)2－4(－x)＝x2＋4x，
因为g(x)是奇函数，所以g(x)＝－g(－x)＝－x2－4x.
若g(a)>a，则或
解得a>5或－5综上，a的取值范围为(－5，0)∪(5，＋∞)．
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9简单幂函数的图象和性质
新课程标准解读 核心素养
通过具体实例，结合y＝x，y＝，y＝x2，y＝，y＝x3的图象，理解它们的变化规律，了解幂函数，会求幂函数的解析式 数学抽象、直观想象、逻辑推理
我们以前学过函数y＝x，y＝x2，y＝.
[问题] (1)这三个函数的解析式有什么共同的特点吗？
(2)你能根据初中学过的整数指数幂的运算，把这三个函数的解析式改写成统一的形式吗？
知识点一 幂函数的概念
一般地，形如y＝xα(α为常数)的函数，即底数是自变量、指数是常数的函数称为幂函数．
幂函数的特征
(1)xα的系数为1；
(2)xα的底数是自变量x，指数α为常数；
(3)项数只有一项．
1．在函数y＝，y＝3x2，y＝x2＋2x，y＝1中，幂函数的个数为________．
解析：函数y＝＝x－4为幂函数；
函数y＝3x2中x2的系数不是1，所以它不是幂函数；
函数y＝x2＋2x不是y＝xα(α为常数)的形式，所以它不是幂函数；
函数y＝1与y＝x0＝1(x≠0)不相等，所以y＝1不是幂函数．
答案：1
2．已知f(x)＝(m＋1)xm＋2是幂函数，则m＝________．
解析：∵函数f(x)＝(m＋1)xm＋2是幂函数，
∴m＋1＝1，即m＝0.
答案：0
知识点二 五个幂函数的图象与性质
1．五个常见幂函数的图象
2．五个常见幂函数的性质
解析式 y＝x y＝x2 y＝x3 y＝ y＝x
图象
定义域 {x|x≠0} [0，＋∞)
值域 [0，＋∞) {y|y≠0} [0，＋∞)
奇偶性 函数 函数 函数 函数 非奇非偶函数
单调性 在(－∞，＋∞)上单调递增 在(－∞，0]上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增 在(－∞，＋∞)上单调递增 在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递减 在[0，＋∞)上单调递增
公共点 都经过点(1，1)
观察五种特殊的幂函数在第一象限内的图象，可知，幂函数y＝xα的图象在第一象限内具有如下特征：直线y＝1，y＝x将直角坐标平面的第一象限在直线x＝1的右侧部分分为(Ⅰ)(Ⅱ)(Ⅲ)三个区域，如图所示，若α∈(1，＋∞) y＝xα的图象经过区域(Ⅰ)；若α∈(0，1) y＝xα的图象经过区域(Ⅱ)；若α∈(－∞，0) y＝xα的图象经过区域(Ⅲ)，并且在直线x＝1的右侧，从x轴起，幂函数y＝xα的指数α由小到大递增，即“指大图高”“指小图低”．
1．已知幂函数的图象过点(2，4)，则其解析式为( )
A．y＝x＋2 B．y＝x2
C．y＝ D．y＝x3
解析：选B 设幂函数的解析式为y＝xα，当x＝2时，y＝4，故2α＝4，即α＝2.
2．在下列四个图形中，y＝xeq \s\up6(－)的图象大致是( )
解析：选D 函数y＝xeq \s\up6(－)的定义域为(0，＋∞)，是减函数．
3．当x∈(0，1)时，x2________x3.(填“>”“＝”或“<”)
答案：>
幂函数的概念
[例1] (1)在函数y＝x－2，y＝(x＋1)2，y＝3x中，幂函数的个数为( )
A．0 B．1
C．2 D．3
(2)若f(x)＝(m2－4m－4)xm是幂函数，则m＝________．
[解析] (1)根据幂函数定义可知，只有y＝x－2是幂函数，所以选B.
(2)因为f(x)是幂函数，所以m2－4m－4＝1，即m2－4m－5＝0，解得m＝5或m＝－1.
[答案] (1)B (2)5或－1
判断一个函数是否为幂函数的方法
判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为y＝xα(α为常数)的形式，即函数的解析式为一个幂的形式，且需满足：(1)指数为常数；(2)底数为自变量；(3)系数为1.
[跟踪训练]
(多选)下列函数中是幂函数的是( )
A．y＝ B．y＝2x2
C．y＝2x＋1 D．y＝xeq \s\up6(－)
解析：选AD 幂函数是形如y＝xα(α为常数)的函数，A是α＝－1的情形，D是α＝－的情形，所以A和D都是幂函数；B中x2的系数是2，不是幂函数；易知C不是幂函数.
幂函数的图象及应用
[例2] (链接教科书第66页思考交流)如图，函数y＝，y＝x，y＝1的图象和直线x＝1将平面直角坐标系的第一象限分成八个部分：①②③④⑤⑥⑦⑧.若幂函数f(x)的图象经过的部分是④⑧，则f(x)可能是( )
A．y＝x2 B．y＝
C．y＝x D．y＝x－2
[解析] ∵函数y＝xα的图象过④⑧部分，∴函数y＝xα在第一象限内单调递减，∴α<0.又易知x＝2时，y>，∴只有B选项符合题意．故选B.
[答案] B
解决幂函数图象问题应把握的两个原则
(1)依据图象高低判断幂指数大小，相关结论为：在(0，1)上，指数越大，幂函数图象越靠近x轴(简记为指大图低)；在(1，＋∞)上，指数越大，幂函数图象越远离x轴(简记为指大图高)；
(2)依据图象确定幂指数α与0，1的大小关系，即根据幂函数在第一象限内的图象来判断．
[跟踪训练]
点(，2)与点分别在幂函数f(x)，g(x)的图象上，问当x为何值时，有：
(1)f(x)>g(x)；(2)f(x)＝g(x)；(3)f(x)解：设f(x)＝xα，g(x)＝xβ.
∵()α＝2，(－2)β＝－，
∴α＝2，β＝－1，
∴f(x)＝x2，g(x)＝x－1.分别作出它们的图象，如图所示．由图象知，
(1)当x∈(－∞，0)∪(1，＋∞)时，f(x)>g(x)；
(2)当x＝1时，f(x)＝g(x)；
(3)当x∈(0，1)时，f(x)幂函数的性质及应用
[例3] (1)已知幂函数f(x)＝xα的图象过点P，试求f(x)的解析式，作出图象，写出定义域及单调区间．
(2)比较下列各组数的大小：
①2.3，2.4；
②()eq \s\up6(－)，()eq \s\up6(－)；
③(－0.31)，0.35.
[解] (1)因为f(x)＝xα的图象过点P，所以f(2)＝，即2α＝，得α＝－2，即f(x)＝x－2，f(x)的图象如图所示，定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，单调递减区间为(0，＋∞)，单调递增区间为(－∞，0)．
(2)①∵y＝x为[0，＋∞)上的增函数，且2.3<2.4，
∴2.3<2.4.
②∵y＝xeq \s\up6(－)为(0，＋∞)上的减函数，且<，
∴()eq \s\up6(－)>()eq \s\up6(－).
③∵y＝x为R上的偶函数，∴(－0.31)＝0.31.
又函数y＝x在[0，＋∞)上单调递增，且0.31<0.35，
∴0.31<0.35，即(－0.31)<0.35.
[母题探究]
1．(变设问)本例(1)条件不变，试判断f(x)的奇偶性．
解：由f(x)＝x－2，
则f(－x)＝(－x)－2＝f(x)，
∴f(x)为偶函数．
2．(变条件)本例(1)中点P变为，其他条件不变．
(1)判断函数f(x)的奇偶性；
(2)判断函数f(x)的单调性．
解：∵f(x)的图象过点P，
∴8α＝，即23α＝2－1，
∴3α＝－1，即α＝－，
∴函数f(x)的解析式为f(x)＝xeq \s\up6(－) (x≠0)．
(1)∵f(－x)＝(－x) eq \s\up6(－)＝＝－＝－f(x)，
又f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称，
∴f(x)是奇函数．
(2)∵－<0，∴f(x)＝xeq \s\up6(－)在(0，＋∞)上是减函数．
由(1)知f(x)是奇函数，
∴f(x)＝xeq \s\up6(－)在(－∞，0)上也是减函数．
∴f(x)＝xeq \s\up6(－)eq \f(1,3)在(0，＋∞)和(－∞，0)上都是减函数．
1．幂函数的常用性质
(1)幂函数y＝xα奇偶性的判断方法：
①若p，q同为奇数，则y＝xα为奇函数；
②若p为奇数，q为偶数，则y＝xα为偶函数；
③若p为偶数，则y＝xα为非奇非偶函数．
(2)幂函数单调性判断：幂函数y＝xα在区间(0，＋∞)上，当α>0时，y＝xα是增函数；当α<0时，y＝xα是减函数．
2．比较幂值大小的2种方法
[跟踪训练]
1．已知a＝3，b＝4，c＝25，则( )
A．bC．b解析：选C 因为a＝3＝9，b＝4，c＝25＝5，由幂函数y＝x的单调性，所以b2．若幂函数f(x)过点(2，8)，则满足不等式f(a－3)>f(1－a)的实数a的取值范围是________．
解析：设幂函数为f(x)＝xα，因为其图象过点(2，8)，所以2α＝8，解得α＝3，所以f(x)＝x3.因为f(x)＝x3在R上为增函数，所以由f(a－3)>f(1－a)，得a－3>1－a，解得a>2.
所以满足不等式f(a－3)>f(1－a)的实数a的取值范围是(2，＋∞)．
答案：(2，＋∞)
函数y＝x＋的图象与性质的探究
学习了幂函数的图象，类比实数的加、减、乘、除运算，我们对幂函数也进行了相关运算，得到了新的函数f(x)＝x＋，利用计算机软件，我们绘制出它的图象，如图．
[问题探究]
参考幂函数的性质，探究函数f(x)＝x＋的定义域、值域、奇偶性、单调性等性质．
提示：(1)定义域：∵x≠0，
∴函数f(x)＝x＋的定义域为{x|x≠0}；
(2)函数f(x)＝x＋的值域为(－∞，－2]∪[2，＋∞)；
(3)奇偶性：∵f(－x)＝－x－＝－＝－f(x)，
∴函数f(x)＝x＋为奇函数；
(4)单调性：由函数f(x)＝x＋的图象可知，函数f(x)＝x＋在(－∞，－1)，(1，＋∞)上为增函数，在(－1，0)，(0，1)上为减函数．
[迁移应用]
试探究函数f(x)＝x＋(a<0)的定义域、值域、奇偶性、单调性，并画出它的简图．
解：(1)定义域：{x|x≠0}；
(2)值域：R；
(3)奇偶性：奇函数；
(4)函数f(x)在区间(－∞，0)，(0，＋∞)上是增函数．
证明：任取x1，x2∈(0，＋∞)，且x1则f(x1)－f(x2)＝x1＋－
＝(x1－x2)，
因为0又a<0，所以1－>0，
所以f(x1)－f(x2)<0，
即f(x1)所以函数f(x)在区间(0，＋∞)上是增函数；
同理可证，函数f(x)在区间(－∞，0)上是增函数．
其简图如图所示．
1．下列函数中，既是偶函数，又在区间(0，＋∞)上是减函数的是( )
A．y＝x－2 B．y＝x－1
C．y＝x2 D．y＝x
解析：选A 所给选项都是幂函数，其中y＝x－2和y＝x2是偶函数，y＝x－1和y＝x不是偶函数，故排除选项B、D，又y＝x2在区间(0，＋∞)上是增函数，不合题意，y＝x－2在区间(0，＋∞)上是减函数，符合题意．故选A.
2．已知幂函数f(x)＝xα，当x>1时，恒有f(x)A．(0，1) B．(－∞，1)
C．(0，＋∞) D．(－∞，0)
解析：选B 当x>1时，恒有f(x)1时，函数f(x)＝xα的图象在y＝x的图象的下方，作出幂函数f(x)＝xα在第一象限的图象(图略)．由图象可知α<1时满足题意，故选B.
3．若a＝(－1.2)，b＝1.1，c＝0.9，它们的大小关系是( )
A．cC．b解析：选D a＝(－1.2)＝1.2，
∵当α>0时，y＝xα在(0，＋∞)上递增，∴1.2>1.1>1，
即a>b>1.而c<1，∴a>b>c.
4．已知幂函数y＝(m2＋m－5)x，当x∈(0，＋∞)时，y随x的增大而减小，则实数m的值为________．
解析：∵y＝(m2＋m－5)x是幂函数，
∴m2＋m－5＝1，即(m－2)(m＋3)＝0，∴m＝2或m＝－3.
当m＝2时，m2－2m－3＝－3，y＝x－3是幂函数，且满足当x∈(0，＋∞)时，y随x的增大而减小；
当m＝－3时，m2－2m－3＝12，y＝x12是幂函数，但不满足当x∈(0，＋∞)时，y随x的增大而减小，故舍去．
∴实数m的值为2.
答案：2
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10章末复习与总结
一、数学运算
数学运算是解决数学问题的基本手段，又是计算机解决问题的基础．本章中求函数的定义域、值域及解析式都体现了学科素养中的数学运算.
函数的定义域
[例1] (1)f(x)＝(x－1)0＋的定义域是( )
A．(－1，＋∞) B．(－∞，－1)
C．R D．(－1，1)∪(1，＋∞)
(2)若函数y＝f(x)的定义域是[0，2]，则函数g(x)＝的定义域是( )
A. B．
C．(1，3] D．[1，3]
[解析] (1)要使函数f(x)有意义，需满足∴x>－1，且x≠1，所以定义域为(－1，1)∪(1，＋∞)．
(2)由函数y＝f(x)的定义域是[0，2]，得0≤2x－1≤2，解得≤x≤.再由x－1>0成立，解得x>1.综上，可得1[答案] (1)D (2)A
函数的值域(值)
[例2] (1)已知函数f(x)＝，则f＝( )
A．5 B．3
C. D.
(2)函数f(x)＝x2＋2x(x∈[－2，1])的值域是( )
A．[0，3] B．[－1，3]
C．[－1，0] D．[－1，＋∞)
(3)函数y＝的值域是________．
[解析] (1)由题意，函数f(x)＝，可得f＝＝.
(2)∵函数f(x)＝x2＋2x＝(x＋1)2－1，其图象开口向上，对称轴为直线x＝－1，且x∈[－2，1]．如图，当x＝－1时，函数f(x)取得最小值为f(－1)＝－1；
当x＝1时，函数f(x)取得最大值为f(1)＝3.
因此，函数f(x)＝x2＋2x(x∈[－2，1])的值域为[－1，3]．
(3)法一(判别式法)：∵y＝，
∴y＋yx2＝1－x2，整理，得(y＋1)x2＋y－1＝0.
当y＋1≠0时，Δ＝－4(y＋1)(y－1)≥0，解得－1当y＋1＝0时，－2＝0不成立，∴y≠－1.
故函数的值域为(－1，1]．
法二(分离常数法)：∵y＝＝＝－1＋，
又∵x2≥0，∴1＋x2≥1，
∴∈(0，2]，
∴－1＋∈(－1，1]．
故函数的值域为(－1，1]．
[答案] (1)D (2)B (3)(－1，1]
函数的解析式
[例3] (1)已知f(＋1)＝x＋2，则f(x)的解析式是( )
A．f(x)＝x2－1 B．f(x)＝x2－1(x≥1)
C．f(x)＝x2－4x－1(x≥1) D．f(x)＝x2＋1
(2)已知对于任意的x，函数f(x)满足f(x)＋2f(2－x)＝x，则f(x)的解析式为________．
[解析] (1)法一：∵(＋1)2＝x＋2＋1，∴x＋2＝(＋1)2－1.
∴f(＋1)＝(＋1)2－1，其中＋1≥1.
∴f(x)＝x2－1(x≥1)．
法二：令＋1＝t，则t≥1，x＝(t－1)2，
∴f(t)＝(t－1)2＋2(t－1)＝t2－1，
∴f(x)＝x2－1(x≥1)．
(2)∵f(x)＋2f(2－x)＝x， ①
将原式中的x替换为2－x，得f(2－x)＋2f(x)＝2－x. ②
②×2－①，得3f(x)＝4－2x－x，即f(x)＝－x＋.
[答案] (1)B (2)f(x)＝－x＋
[例4] 如图所示，在直角梯形ABCD中，动点P从点B出发，由B→C→D→A的顺序沿梯形各边运动．设点P运动的路程为x，△ABP的面积为f(x)，如果AB＝8，BC＝4，CD＝5，DA＝5，求函数f(x)的解析式．
[解] 分三种情况：
(1)当点P在线段BC上，即0≤x≤4时，
f(x)＝AB·BP＝×8·x＝4x.
(2)当点P在线段CD上，即4f(x)＝AB·BC＝×8×4＝16.
(3)当点P在线段DA上，即9∴PE＝.∴f(x)＝AB·PE＝×8×＝－x＋.
综上所述，f(x)＝
二、直观想象
直观想象是指借助几何直观和空间想象感知事物的形态与变化，利用空间形式特别是图形，理解和解决数学问题的素养，主要表现为：建立形与数的联系，利用几何图形描述问题，借助几何直观理解问题，运用空间想象认识事物．本章主要体现在利用函数的图象研究函数的性质.
函数图象的识别及应用
[例5] 已知a≠0，b>0，一次函数y＝ax＋b，二次函数y＝ax2，则下列图象中可以成立的是( )
[解析] 因为b>0，所以一次函数y＝ax＋b的图象与y轴正半轴相交，故排除A、C.
当a>0时，一次函数的函数值随x的增大而增大；二次函数图象开口向上，B符合．
当a<0时，一次函数的函数值随x的增大而减小；二次函数图象开口向下，D不符合．故选B.
[答案] B
[例6] 对于函数f(x)＝x2－2|x|.
(1)判断其奇偶性，并指出图象的对称性；
(2)画此函数的图象，并指出单调区间和最小值．
[解] (1)函数的定义域为R，关于原点对称，
f(－x)＝(－x)2－2|－x|＝x2－2|x|.
则f(－x)＝f(x)，
所以f(x)是偶函数，图象关于y轴对称．
(2)f(x)＝x2－2|x|
＝
画出图象如图所示，
根据图象知，函数f(x)的最小值是－1.单调递增区间是[－1，0]，[1，＋∞)；单调递减区间是(－∞，－1]，[0，1]．
三、逻辑推理
逻辑推理是得到数学结论、构建数学体系的重要方式，是数学严谨性的基本保证，本章中函数单调性、奇偶性的判断及应用体现了学科素养中的逻辑推理.
函数单调性、奇偶性的应用
[例7] (1)若函数y＝f(x)在(0，2)上是增函数，函数y＝f(x＋2)是偶函数，则下列结论正确的是( )
A．f(1)B．fC．fD．f(2)已知定义域为R的函数f(x)在[1，＋∞)上单调递增，且f(x＋1)为偶函数，若f(3)＝1，则不等式f(2x＋1)<1的解集为( )
A．(－1，1) B．(－1，＋∞)
C．(－∞，1) D．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
[解析] (1)∵y＝f(x＋2)是偶函数，∴f(2－x)＝f(2＋x)，
故y＝f(x)的图象关于直线x＝2对称，∴f(1)＝f(3)．
又f(x)在(0，2)上为增函数，∴f(x)在(2，4)上为减函数．
又2<<3<<4，∴f>f(3)>f，
即f(2)∵f(x＋1)是偶函数，∴f(1－x)＝f(1＋x)，
故y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称．
又∵f(x)在[1，＋∞)上单调递增，
∴f(x)在(－∞，1)上单调递减．
∵f(3)＝1，∴f(－1)＝f(3)＝1，
∴f(2x＋1)<1 －1<2x＋1<3，
解得－1[答案] (1)B (2)A
[例8] 已知函数f(x)＝是奇函数．
(1)求实数m的值；
(2)若函数f(x)在区间[－1，a－2]上单调递增，求实数a的取值范围．
[解] (1)设x<0，则－x>0，
所以f(－x)＝－(－x)2＋2(－x)＝－x2－2x.
又f(x)为奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，
所以x<0时，f(x)＝x2＋2x＝x2＋mx，
所以m＝2.
(2)要使f(x)在[－1，a－2]上单调递增，结合f(x)的图象(如图所示)，知
所以1故实数a的取值范围是(1，3]．
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