2.1.2 垂线的定义及性质基础训练（含解析）

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《2.1.2垂线的定义及性质》
知识点一 垂线的定义及作法
1.两条直线相交成四个角，下列说法中错误的有（ ）
①若对顶角相等，则这两条直线垂直；
②若有三个角相等，则这两条直线垂直；
③若有四个角相等，则这两条直线垂直
A.0个
B.1个
C.2个
D.3个
2.如图，分别过点P作直线AB的垂线.
（1）
（2）
（3）
（4）
知识点二 垂线的性质及点到直线的距离
3.下列图形中，是对顶角的是（ ）
A.
B.
C.
D.
4.如图，已知直线a、b、c相交于点O，∠1=30°，∠2=70°，则∠3=__________.
5.如图，AB、CD、EF相交于点O，如果∠AOC=65°，∠DOF=50°.
（1）求∠BOE的度数；
（2）通过计算∠AOF的度数，你能发现射线OA有什么特殊性？
6.如图，在立定跳远中，体育老师是这样测量运动员的成绩的，将一块三角尺的一边紧贴在起跳线上，另一边与拉直的皮尺重合，这样做的理由是（ ）
A.两点之间，线段最短
B.过两点有且只有一条直线
C.过一点可以作无数条直线
D.直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短
7.如图，P为直线外一点，点A，B，C在直线上，且PB⊥，AP⊥PC，有下列说法：①PA，PB，PC三条线段中，PB的长度最短；②线段PB的长叫做点P到直线的距离；③线段AB的长是点A到PB的距离；④线段AC的长是点A到PC的距离.其中正确的个数是（ ）
A.1
B.2
C.3
D.4
8.如图，为了把河中的水引到C处，可过点C作CD⊥AB于D，然后沿CD开渠，这样做可使所开的渠道最短，这种设计的依据是 .
9.如图所示，平原上有A，B，C，D四个村庄，为解决当地缺水问题，政府准备投资修建一个蓄水池.
（1）不考虑其他因素，请你画图确定蓄水池H点的位置，使它到四个村庄距离之和最小.
（2）政府计划把河水引入蓄水池H中，在（1）的条件下，怎样开渠最短？并说明根据.
知识点三 与垂直有关的角度
10.如图，直线AB，EF相交于O点，CD⊥AB于O点，∠EOD=135°，则∠BOF的度数为（ ）
A.35°
B.40°
C.45°
D.50°
11.如图，直线AB，CD相交于点O，OE平分∠BOD，过点O作OF⊥OE，若∠AOC=42°，则∠BOF的度数为（ ）
A.48°
B.52°
C.64°
D.69°
12.如图，直线AB，CD相交于点O，若∠EOD=40°，∠BOC=130°，那么射线OE与直线AB的位置关系是 .
13.如图，直线AB，CD相交于点O，OM⊥AB.
（1）若∠1=40°，求∠BOD的度数.
（2）如果∠1=∠2，那么ON与CD互相垂直吗？为什么？
14.下列选项中，过点P画AB的垂线CD，三角板放法正确的是（ ）
A.
B.
C.
D.
15.如图，OM⊥NP，ON⊥NP，所以ON与OM重合，理由是（ ）
A.两点确定一条直线
B.在同一平面内，经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
C.过一点只能作一条直线
D.垂线段最短
16.如图，∠ACB=90°，CD⊥AB，则点A到线段CD的距离是线段_________的长，点A到线段CB的距离是线段_________的长，点B到线段CA的距离是线段_________的长，点C到线段AB的距离是线段_________的长.
参考答案
1.答案：B
解析：若有三个角相等，必有两个邻角相等，可以推出两个邻角都为直角，则这两条直线垂直，所以②正确.若四个角相等，则每个角都是90°，此时这两条直线垂直，所以③正确，①显然错误.故选B.
2.答案：如图所示：
解析：
3.答案：C
解析：根据对顶角的定义，A中∠1和∠2没有公共顶点，故不是对顶角；B中∠1和∠2两边不互为反向延长线，故不是对顶角；C中∠1和∠2有公共顶点，且两边互为反向延长线，故是对顶角；D中∠1和∠2两边不互为反向延长线，故不是对顶角，故选C.
4.答案：80°
解析：如图，∠1与∠4，∠2与∠5，∠3与∠6是对顶角，由对顶角相等，得2（∠1+∠2+∠3）=360°，所以∠1+∠2+∠3=180°，又因为∠1=30°，∠2=70°，所以∠3=180°-（30°+70°）=80°.
5.答案：见解析
解析：（1）因为∠AOC=65°，所以∠BOD=∠AOC=65°，
又因为∠BOE+∠BOD+∠DOF=180°，∠DOF=50°，
所以∠BOE=180°-65°-50°=65°.
（2）因为∠AOF=∠BOE=65°，且∠AOC=65°，
所以∠AOF=∠AOC，所以射线OA是∠COF的平分线.
6.答案：D
解析：这样做的理由是，直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短.故选D.
7.答案：C
解析：①②③正确；线段AP的长是点A到PC的距离，故④错误.故选C.
8.答案：垂线段最短
解析：过D点作CD⊥AB于D，然后沿CD开渠，可使所开渠道最短，这种设计的依据是垂线段最短.故答案为垂线段最短.
9.答案：（1）因为两点之间线段最短，所以连接AD，BC交于点H，则点H为蓄水池的位置，如图所示，它到四个村庄距离之和最小.
（2）过点H作HG⊥EF，垂足为G，如图所示.根据“过直线外一点与直线上各点的连线中，垂线段最短”知，把河水引入蓄水池H中沿HG开渠最短.
解析：
10.答案：C
解析：因为CD⊥AB，所以∠AOD=90°.因为∠DOE=135°，所以∠AOE=∠DOE-∠AOD=135°-90°=45°，所以∠BOF=∠AOE=45°.故选C.
11.答案：D
解析：因为∠BOD=∠AOC（对顶角相等），∠AOC=42°（已知），所以∠BOD=42°.因为OE平分∠BOD（已知），所以∠BOE=∠BOD=21°（角平分线的性质）.因为OF⊥OE（已知），所以∠EOF=90°（垂直定义）.因为∠BOF+∠BOE=∠EOF，所以∠BOF=∠EOF-∠BOE=90°-21°=69°，所以∠BOF=69°.故选D.
12.答案：互相垂直
解析：因为∠BOC=130°，∠EOD=40°，所以∠AOD=∠BOC=130°，所以∠AOE=∠AOD-∠EOD=130°-40°=90°，所以OE⊥AB.
13.答案：（1）因为OM⊥AB，所以∠AOM=90°，所以∠AOC=90°-∠1=90°-40°=50°，所以∠BOD=∠AOC=50°.
（2）ON⊥CD.理由如下：
因为∠1=∠2，所以∠2+∠AOC=∠1+∠AOC=90°，所以ON⊥CD.
14.答案：C
解析：根据垂线的作法，将直角三角板的一条直角边与直线AB重合，另一条直角边过点P后沿该直角边画直线即可.
15.答案：B
解析：根据在同一平面内，经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直可知，若OM⊥NP，ON⊥NP，则ON与OM重合.故选B.
16.答案：AD；AC；BC；CD
解析：
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