指数幂的拓展 指数幂的运算性质
新课程标准解读 核心素养
通过对有理数指数幂a(a>0，且a≠1；m，n为整数，且n>0)，实数指数幂ax(a>0，且a≠1；x∈R)含义的认识，了解指数幂的拓展过程，掌握指数幂的运算性质 数学抽象、数学运算
薇甘菊是热带、亚热带地区危害最严重的杂草之一，它侵害田地的面积S(单位：hm2)与年数t(年)满足关系式S＝S0·1.057t，其中S0(单位：hm2)为侵害面积的初始值．
如果求10年后侵害的面积，则S＝S0·1.05710；如果求15.5年后侵害的面积，就需要计算S＝S0·1.05715.5.
[问题] 这个指数运算与初中所学的指数运算有什么差异呢？
知识点 指数幂及其运算性质
1．正分数指数幂
(1)定义：给定正数a和正整数m，n(n＞1，且m，n互素)，若存在唯一的正数b，使得bn＝am，则称b为a的次幂，记作b＝a.这就是正分数指数幂．
(2)性质：①当k是正整数时，分数指数幂a满足：a＝a；
②a＝．
2．负分数指数幂
给定正数a和正整数m，n(n＞1，且m，n互素)，定义a－＝＝ .
3．0的正分数指数幂等于，0的负分数指数幂没有意义．
4．指数幂的运算性质
(1)aαaβ＝aα＋β(a>0，α，β∈R)；
(2)(aα)β＝aαβ(a>0，α，β∈R)；
(3)(ab)α＝aαbα(a>0，b>0，α∈R)．
1．分数指数幂a不可理解为个a相乘，它是根式的一种写法．
2．正数的负分数指数幂总表示正数，而不是负数．
3．把根式 化成分数指数幂的形式时，不要轻易对进行约分．
4．在幂和根式的化简运算中，一般将根式化为分数指数幂的形式，再利用幂的运算性质进行计算．
为什么分数指数幂的底数规定a>0
提示：①当a<0时，若n为偶数，m为奇数，则a，aeq \s\up6(－)无意义；
②当a＝0时，a0无意义．
1.可化为( )
A．aeq \s\up6(－) B．a
C．a D．－a
解析：选A ＝aeq \s\up6(－).
2．3可化为( )
A. B．
C. D.
解析：选C 3＝＝.
3．计算：×(2)－2＝________．
解析：×(2)－2＝(2－3) ×＝2eq \s\up12(－3×)×＝2×2－3＝21－3＝2－2＝＝.
答案：
4．若10α＝2，10β＝3，则10α＋β＝________，10α－β＝________，10－3α＝________．
解析：10α＋β＝10α·10β＝2×3＝6.10α－β＝＝.10－3α＝(10α)－3＝2－3＝.
答案：6
根式与分数指数幂的互化
[例1] (链接教科书第77页习题B组1题)用分数指数幂表示下列各式：
①·(a<0)；
②(b<0)；
③(x≠0)．
[解] ①原式＝a·(－a)＝－(－a)·(－a)＝－(－a)(a<0)．
②原式＝(－b) eq \s\up6(××)＝(－b)(b<0)．
③原式＝eq \f(1,x\s\up6(\f(1,3))·xeq \s\up6(×))＝＝xeq \s\up6(－) (x≠0)．
根式与分数指数幂互化的规律
(1)根指数分数指数的分母，被开方数(式)的指数分数指数的分子；
(2)在具体计算时，通常会把根式转化成分数指数幂的形式，然后利用有理数指数幂的运算性质解题．)
[跟踪训练]
1．计算 的结果为( )
A．8 B．4
C．2 D.
解析：选A 由题意可得 ＝16＝(24)＝23＝8.故选A.
2.用分数指数幂表示为( )
A．a B．a
C．a D．a
解析：选A ＝＝aeq \s\up6(×)＝a，故选A.
指数幂的运算
[例2] (链接教科书第78页例1)计算下列各式：
(1)＋(0.002)eq \s\up6(－)－10(－2)－1＋(－)0；
(2)(a－2b－3)·(－4a－1b)÷(12a－4b－2c)．
[解] (1)原式＝(－1)－×＋－＋1＝＋500－10(＋2)＋1＝＋10－10－20＋1＝－.
(2)原式＝－4a－2－1b－3＋1÷(12a－4b－2c)＝－·a－3－(－4)·b－2－(－2)c－1＝－ac－1＝－.
指数幂运算的解题通法
(1)有括号的先算括号里的，无括号的先做指数运算；
(2)先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数；
(3)底数是负数，先确定符号，底数是小数，先化成分数，底数是带分数，先化成假分数；
(4)若是根式，应化为分数指数幂，并尽可能用幂的形式表示，运用指数幂的运算性质来解答；
(5)运算结果不能同时含有根式和分数指数幂，也不能既有分母又含有负指数幂，形式力求统一．
[跟踪训练]
计算下列各式(式子中字母都是正数)：
(1)0.027＋－；
(2)÷.
解：(1)0.027＋－＝()2＋－＝0.09＋－＝0.09.
(2)原式＝[2×(－6)÷(－3)]aeq \s\up12(＋－)beq \s\up12(＋－)＝4ab0＝4a.
条件求值问题
[例3] (链接教科书第80页习题B组3题)已知a＋aeq \s\up6(－)＝，求下列各式的值；
(1)a＋a－1；(2)a2＋a－2.
[解] (1)将a＋aeq \s\up6(－)＝两边平方，
得a＋a－1＋2＝5，即a＋a－1＝3.
(2)将a＋a－1＝3两边平方，得a2＋a－2＋2＝9，
∴a2＋a－2＝7.
[母题探究]
(变设问)在本例条件下，则a2－a－2＝________．
解析：令y＝a2－a－2，两边平方，得y2＝a4＋a－4－2＝(a2＋a－2)2－4＝72－4＝45，∴y＝±3，即a2－a－2＝±3.
答案：±3
解决条件求值问题的一般方法
对于条件求值问题，一般先化简代数式，再将字母取值代入求值．但有时字母的取值未知或不易求出，这时可将所求代数式恰当地变形，构造出与已知条件相同的结构，从而通过“整体代入法”巧妙地求出代数式的值．利用“整体代入法”求值时常用的变形公式如下：
(1)a±2ab＋b＝；
(2)a－b＝；
(3)a＋b＝；
(4)a－b＝.(其中a>0，b>0)．
[跟踪训练]
已知x＋y＝12，xy＝9，且x
解：∵x＋y＝12，xy＝9，
∴(x－y)2＝(x＋y)2－4xy＝122－4×9＝108.
∵x∴＝
＝＝＝－.
1．(多选)下列运算结果中，一定正确的是( )
A．a3·a4＝a7 B．(－a2)3＝a6
C.＝a D.＝－π
解析：选AD a3a4＝a3＋4＝a7，故A正确；当a＝1时，(－12)3＝－1，显然不成立，故B不正确；＝|a|，故C不正确； ＝－π，故D正确．故选A、D.
2．计算：(－27)×9eq \s\up6(－)＝( )
A．－3 B．－
C．3 D.
解析：选D (－27)×9eq \s\up6(－)＝[(－3)3]×(32) eq \s\up6(－)＝(－3)2×3－3＝9×＝，故选D.
3．若a2x＝－1，则等于( )
A．2－1 B．2－2
C．2＋1 D.＋1
解析：选C ＝＝a2x＋a－2x＋1＝－1＋＋1＝2＋1.
4．若10x＝3eq \s\up6(－)，10y＝，则102x－y＝________．
解析：102x－y＝＝eq \f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3eq \s\up6(－)))\s\up12(2),\r(4,27))＝eq \f(3,3\s\up6(\f(3,4)))＝3－1＝.
答案：
5．已知＋b＝1，则＝________．
解析：由＋b＝1，得＝32a×31eq \s\up6(－)×3eq \s\up6(－)＝3eq \s\up6(2a＋1－－)＝3.
答案：3
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7指数函数的概念 数函数的图象和性质
新课程标准解读 核心素养
1.通过具体实例，了解指数函数的实际意义，理解指数函数的概念 数学抽象
2.能用描点法或借助计算工具画出具体指数函数的图象，探索并理解指数函数的性质并会运用 直观想象、数学运算
第1课时 指数函数的概念、图象与性质
将一张报纸连续对折，折叠次数x与对应的层数y之间存在什么关系？对折后的面积S(设原面积为1)与折叠的次数有怎样的关系？
折叠次数 对应层数 对折后的面积S
x＝1 y＝2＝21 S＝
x＝2 y＝4＝22 S＝＝
x＝3 y＝8＝23 S＝＝
…… …… ……
由上面的对应关系，我们可以归纳出第x次折叠后对应的层数为y＝2x(x∈N＋)，对折后的面积S＝(x∈N＋)．
[问题] 实例中得到的两个函数解析式有什么共同特征？
知识点一 指数函数的概念
1．定义：当给定正数a，且a≠1时，对于任意的实数x，都有唯一确定的正数y＝ax与之对应，因此，y＝ax是一个定义在实数集上的函数，称为指数函数．
2．性质：(1)定义域是，函数值大于0；
(2)图象过定点(0，1)．
对指数函数概念的再理解
1．为什么指数函数的底数a>0，且a≠1
提示：①如果a＝0，当x>0时，ax恒等于0，没有研究的必要；当x≤0时，ax无意义．
②如果a<0，例如y＝(－4)x，这时对于x＝，，…，该函数无意义．
③如果a＝1，则y＝1x是一个常量，没有研究的价值．
为了避免上述各种情况，所以规定a>0，且a≠1.
2．指数函数的解析式有什么特征？
提示：①a>0，且a≠1；②ax的系数为1；③自变量x的系数为1.
1．给出下列函数：①y＝2·3x；②y＝3x＋1；③y＝2－x；④y＝x3；⑤y＝(－2)x.其中，指数函数的个数是( )
A．0 B．1
C．2 D．4
解析：选B ①中，3x的系数是2，故①不是指数函数；②中，y＝3x＋1的指数是x＋1，不是自变量x，故②不是指数函数；③中，y＝2－x＝是以为底的指数函数；④中，y＝x3的底为自变量，指数为常数，故④不是指数函数；⑤中，底数－2<0，不是指数函数，故选B.
2．已知函数f(x)是指数函数，且f＝，则f(3)＝________．
解析：设f(x)＝ax(a>0，且a≠1)，由f＝a－＝＝2－，得a＝2，所以f(x)＝2x，所以f(3)＝23＝8.
答案：8
知识点二 指数函数的图象和性质
a＞1 0＜a＜1
图象
性质 定义域：
值域：(0，＋∞)
过定点(0，1)，即x＝0时，y＝
当x＜0时，＜y＜；当x＞0时，y＞ 当x＜0时，y＞；当x＞0时，＜y＜
在R上是函数，当x值趋近于正无穷大时，函数值趋近于正无穷大；当x值趋近于负无穷大时，函数值趋近于0 在R上是函数，当x值趋近于正无穷大时，函数值趋近于0；当x值趋近于负无穷大时，函数值趋近于正无穷大
指数函数图象的特征
同一坐标系中，画出不同底数的指数函数的图象如图所示．
直线x＝1与四个指数函数y＝ax，y＝bx，y＝cx，y＝dx的交点依次为(1，a)，(1，b)，(1，c)，(1，d)，所以有0 在直角坐标系中指数函数图象不可能出现在第几象限？
提示：指数函数的图象只能出现在第一、二象限，不可能出现在第三、四象限．
1．函数y＝2x＋1的图象是( )
解析：选A 函数y＝2x的图象是经过定点(0，1)，在x轴上方且单调递增的曲线，依据函数图象的画法可得函数y＝2x＋1的图象单调递增且过点(0，2)，故选A.
2．函数y＝1－2x，x∈[0，1]的值域是( )
A．[0，1] B．[－1，0]
C. D.
解析：选B 由指数函数y＝2x在x∈[0，1]上是递增的知1≤2x≤2，∴y＝1－2x∈[－1，0]．
3．下列函数中，在R上是增函数的是________(填上你认为正确的序号)．
①y＝；②y＝(＋1)x；③y＝2－x；④y＝(a2＋2)x.
答案：②④
指数函数的概念
[例1] (多选)下列函数是指数函数的是( )
A．y＝2x＋1 B．y＝3－x
C．y＝4x D．y＝23x
[解析] 指数函数是形如y＝ax(a>0且a≠1)的函数．对于A，y＝2x＋1＝2×2x，系数不是1，所以不是指数函数；对于B；y＝3－x＝，符合指数函数的定义，所以是指数函数；对于C，y＝4x，符合指数函数的定义，所以是指数函数；对于D，y＝23x＝8x，符合指数函数的定义，所以是指数函数．故选B、C、D.
[答案] BCD
判断一个函数是否为指数函数的方法
(1)看形式：判断其解析式是否符合y＝ax(a>0，且a≠1)这一结构特征；
(2)明特征：看是否具备指数函数解析式具有的三个特征．只要有一个特征不具备，该函数就不是指数函数．
[跟踪训练]
若函数y＝(2a－1)x(x是自变量)是指数函数，则a的取值范围是( )
A．(0，1)∪(1，＋∞) B．[0，1)∪(1，＋∞)
C.∪(1，＋∞) D.
解析：选C 依题意得2a－1>0，且2a－1≠1，解得a>，且a≠1，故选C.
求指数函数的解析式或函数值
[例2] (1)若函数f(x)＝·ax是指数函数，则f的值为( )
A．2 B．－2
C．－2 D．2
(2)若函数f(x)是指数函数，且f(2)＝9，则f(x)＝________．
[解析] (1)因为函数f(x)是指数函数，所以a－3＝1，且a>0，a≠1，所以a＝8，
所以f(x)＝8x，f＝8＝2.
(2)由题意设f(x)＝ax(a>0且a≠1)，因为f(2)＝a2＝9，所以a＝3，所以f(x)＝3x.
[答案] (1)D (2)3x
1．求指数函数的解析式时，一般采用待定系数法，即先设出函数的解析式，然后利用已知条件，求出解析式中的参数，从而得到函数的解析式，其中掌握指数函数的概念是解决这类问题的关键．
2．求指数函数的函数值的关键是掌握指数函数的解析式．
[跟踪训练]
已知函数f(x)为指数函数，且f＝，求f(－2)的值．
解：设f(x)＝ax(a>0且a≠1)，
由f＝得，a－＝，
所以a＝3，
所以f(x)＝3x，
所以f(－2)＝3－2＝.
指数函数的定义域和值域
[例3] (链接教科书第86页例4)求下列函数的定义域和值域：
(1)y＝ ；
(2)y＝；
(3)y＝4x＋2x＋1＋2.
[解] (1)要使函数式有意义，则1－3x≥0，即3x≤1＝30，因为函数y＝3x在R上是增函数，所以x≤0，故函数y＝ 的定义域为(－∞，0]．
因为x≤0，所以0<3x≤1，所以0≤1－3x<1，
所以 ∈[0，1)，即函数y＝ 的值域为[0，1)．
(2)定义域为R.
因为x2－2x－3＝(x－1)2－4≥－4，
所以≤＝16.
又因为>0，
所以函数y＝的值域为(0，16]．
(3)因为对于任意的x∈R，函数y＝4x＋2x＋1＋2都有意义，所以函数y＝4x＋2x＋1＋2的定义域为R.因为2x>0，所以4x＋2x＋1＋2＝(2x)2＋2×2x＋2＝(2x＋1)2＋1>1＋1＝2.
即函数y＝4x＋2x＋1＋2的值域为(2，＋∞)．
[母题探究]
1．(变条件)若将本例(1)的函数换为“y＝ ”，求其定义域．
解：由－1≥0得≥，∴x≤0，即函数的定义域为(－∞，0]．
2．(变条件)若将本例(3)的函数增加条件“0≤x≤2”，再求函数的值域．
解：∵0≤x≤2，∴1≤2x≤4，∴y＝4x＋2x＋1＋2＝(2x)2＋2×2x＋2＝(2x＋1)2＋1.
令2x＝t，则t∈[1，4]，且f(t)＝(t＋1)2＋1，易知f(t)在[1，4]上单调递增，
∴f(1)≤f(t)≤f(4)，即5≤f(t)≤26，
即函数y＝4x＋2x＋1＋2的值域为[5，26]．
函数y＝af(x)定义域、值域的求法
(1)定义域：形如y＝af(x)形式的函数的定义域是使得f(x)有意义的x的取值集合；
(2)值域：①换元，令t＝f(x)；
②求t＝f(x)的定义域x∈D；
③求t＝f(x)的值域t∈M；
④利用y＝at的单调性求y＝at，t∈M的值域．
[提醒] (1)通过建立不等关系求定义域时，要注意解集为各不等关系解集的交集；
(2)当指数型函数的底数含字母时，在求定义域、值域时要注意分类讨论．
[跟踪训练]
1．函数f(x)＝＋ 的定义域是( )
A．[2，4) B．[2，4)∪(4，＋∞)
C．(2，4)∪(4，＋∞) D．[2，＋∞)
解析：选B 依题意有解得x∈[2，4)∪(4，＋∞)．
2．函数y＝－1的值域为( )
A．[1，＋∞) B．(－1，1)
C．[－1，＋∞) D．[－1，1)
解析：选D ∵2x>0，∴4－2x<4.又∵4－2x≥0，∴0≤4－2x<4.令t＝4－2x，则t∈[0，4)，∴∈[0，2)，∴y∈[－1，1)，即函数的值域是[－1，1)，故选D.
3．若函数f(x)＝ 的定义域是[1，＋∞)，则a的取值范围是________．
解析：∵ax－a≥0，∴ax≥a，∴当a>1时，x≥1.故函数定义域为[1，＋∞)时，a>1.
答案：(1，＋∞)
指数函数的图象及应用
[例4] (1)(多选)函数y＝ax－(a>0，a≠1)的图象可能是( )
(2)若直线y＝2a与函数y＝|ax－1|＋1(a>0，且a≠1)的图象有两个公共点，则实数a的取值范围是________．
[解析] (1)当a>1时，∈(0，1)，因此x＝0时，01，因此x＝0时，y<0，且y＝ax－在R上是减函数，故D符合．故选C、D.
(2)当a>1时，函数y＝|ax－1|＋1的图象如图①所示，则由图可知1<2a<2，解得1矛盾；
当0[答案] (1)CD (2)
处理函数图象问题的策略
(1)抓住特殊点：指数函数的图象过定点(0，1)，求指数型函数图象所过的定点时，只要令指数为0，求出对应的y的值，即可得函数图象所过的定点；
(2)巧用图象变换：函数图象的平移变换(左右平移、上下平移)；
(3)利用函数的性质：奇偶性确定函数的对称情况，单调性决定函数图象的走势．
[跟踪训练]
1.函数f(x)＝ax－b的图象如图所示，其中a，b为常数，则下列结论正确的是( )
A．a>1，b<0
B．a>1，b>0
C．00
D．0解析：选D 从曲线的变化趋势，可知函数f(x)为减函数，则00，即b<0.综上可知， 02．函数y＝ax－3＋3(a>0，且a≠1)的图象过定点________．
解析：法一：因为指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象过定点(0，1)，所以在函数y＝ax－3＋3中，令x＝3，得y＝1＋3＝4，即函数的图象过定点(3，4)．
法二：将原函数解析式变形，得y－3＝ax－3，把y－3看成x－3的指数函数，所以当x－3＝0时，y－3＝1，即x＝3时，y＝4，所以原函数的图象过定点(3，4)．
答案：(3，4)
指数函数图象变换问题探究
为研究函数图象的变换规律，某数学兴趣小组以指数函数f(x)＝2x为例，借助几何画板画出了下面4组函数的图象：
(1)y＝f(x－1)；(2)y＝f(|x|)＋1；(3)y＝－f(x)；(4)y＝|f(x)－1|.
[问题探究]
1．请分别写出这4组函数的解析式．
提示：(1)y＝f(x－1)＝2x－1；
(2)y＝f(|x|)＋1＝2|x|＋1；
(3)y＝－f(x)＝－2x；
(4)y＝|f(x)－1|＝|2x－1|.
2．若给出函数f(x)＝4x的图象，能否由图象变换的方法得到上面这4组函数的图象？若能，试分别写出图象的变换过程．
提示：能．(1)将函数y＝f(x)＝4x的图象向右平移1个单位长度得到函数y＝f(x－1)＝4x－1的图象．
(2)保留函数y＝f(x)＝4x在y轴右侧的图象，并对称至y轴左侧，再向上平移1个单位长度得到y＝f(|x|)＋1＝4|x|＋1的图象．
(3)函数y＝－f(x)＝－4x与y＝f(x)＝4x的图象关于x轴对称．
(4)将函数y＝f(x)＝4x的图象向下平移1个单位长度得到函数y＝f(x)－1＝4x－1的图象，再将x轴下方的图象沿x轴翻折到x轴的上方，便得到函数|f(x)－1|＝|4x－1|的图象．
[总结] 利用指数函数图象作有关函数图象的基本方法
对于与指数函数有关的函数的作图问题，一般宜用变换作图法作图，这样有利于从整体上把握函数的性质．
利用变换作图法作图要注意：
(1)选择哪个指数函数作为起始函数；
(2)平移的方向及单位长度．
常用的变换作图法主要有：
此外，函数y＝a|x|的图象关于y轴对称；函数y＝|ax－b|的图象可由函数y＝ax－b的图象保持在x轴上及x轴上方的部分不动，把x轴下方的部分翻折到x轴上方得到．
[迁移应用]
1．函数y＝的图象是( )
解析：选B 因为y＝＝所以选B.
2．若函数y＝|3x－2|＋m的图象不经过第二象限，则实数m的取值范围是________．
解析：作出函数y＝|3x－2|的图象如图所示．
由图可知若函数y＝|3x－2|＋m的图象不经过第二象限，则m≤－2.
答案：(－∞，－2]
1．函数f(x)＝3－x－1的定义域、值域分别是( )
A．R，R B．R，(0，＋∞)
C．R，(－1，＋∞) D．以上都不对
解析：选C 因为函数f(x)＝3－x－1＝－1，所以其定义域为R，因为>0，所以－1>－1，所以函数的值域为(－1，＋∞)．故选C.
2．已知函数y＝的图象与指数函数y＝ax的图象关于y轴对称，则实数a的值是( )
A．1 B．2
C．4 D．8
解析：选C 由两函数的图象关于y轴对称，可知与a互为倒数，即＝1，解得a＝4.
3．指数函数①f(x)＝mx，②g(x)＝nx满足不等式1>n>m>0，则它们的图象是( )
解析：选C 由04．函数①y＝ax，②y＝bx，③y＝cx，④y＝dx的图象如图所示，a，b，c，d分别是下列四个数：，，，中的一个，则a，b，c，d的值分别是( )
A.，，， B．，，，
C.，，， D.，，，
解析：选B 直线x＝1与函数图象的交点的纵坐标从上到下依次为c，d，a，b，而 >>>，故选B.
5．若函数y＝(4－3a)x是指数函数，则实数a的取值范围为________．
解析：若函数y＝(4－3a)x是指数函数，则4－3a>0且4－3a≠1，所以a<且a≠1，所以实数a的取值范围为(－∞，1)∪.
答案：(－∞，1)∪
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11第2课时 指数函数及其性质的应用(习题课)
指数式的大小比较
[例1] (链接教科书第86页例3)比较下列各组数的大小：
(1)1.52.5和1.53.2；
(2)与；
(3)1.50.3和0.81.2.
[解] (1)∵函数y＝1.5x在R上是增函数，2.5＜3.2，
∴1.52.5＜1.53.2.
(2)指数函数y＝与y＝的图象(如图)，
由图知>.
(3)由指数函数的性质知1.50.3＞1.50＝1，
而0.81.2＜0.80＝1，
∴1.50.3＞0.81.2.
比较指数式大小的3种类型及处理方法
[跟踪训练]
比较下列各题中两个值的大小：
(1)0.8－0.1，1.250.2；
(2)1.70.3，0.93.1；
(3)a0.5与a0.6(a>0，且a≠1)．
解：(1)∵0＜0.8＜1，
∴y＝0.8x在R上是减函数．
∵－0.2＜－0.1，∴0.8－0.2＞0.8－0.1，
而0.8－0.2＝＝1.250.2，
即0.8－0.1＜1.250.2.
(2)∵1.70.3＞1.70＝1，0.93.1＜0.90＝1，
∴1.70.3＞0.93.1.
(3)a0.5与a0.6可看做指数函数y＝ax的两个函数值．
当0a0.6.当a>1时，函数y＝ax在R上是增函数．∵0.5<0.6，∴a0.5a0.6；当a>1时，a0.5解含指数型不等式或方程
[例2] (链接教科书第83页例2)求解下列不等式：
(1)已知3x≥，求实数x的取值范围；
(2)若a－5x＞ax＋7(a＞0且a≠1)，求x的取值范围．
[解] (1)因为＝30.5，所以由3x≥可得：3x≥30.5，因为y＝3x为增函数，故x≥0.5.
(2)①当0＜a＜1时，函数y＝ax是减函数，则由a－5x＞ax＋7可得－5x＜x＋7，解得x＞－.
②当a＞1时，函数y＝ax是增函数，则由a－5x＞ax＋7可得－5x＞x＋7，解得x＜－.
综上，当0＜a＜1时，x＞－；当a＞1时，x＜－.
1．指数型不等式的解法
(1)指数型不等式af(x)＞ag(x)(a＞0，且a≠1)的解法：
当a＞1时，f(x)＞g(x)；
当0＜a＜1时，f(x)＜g(x)．
(2)如果不等式的形式不是同底指数式的形式，要首先进行变形将不等式两边的底数进行统一，此时常用到以下结论：1＝a0(a＞0，且a≠1)，a－x＝(a＞0，且a≠1)等．
2．指数方程的求解方法
(1)同底法：形如af(x)＝ag(x)(a>0，且a≠1)的方程，化为f(x)＝g(x)求解；
(2)换元法：形如a2x＋b·ax＋c＝0(a>0，且a≠1)的方程，用换元法求解，求解时应特别注意ax>0.
[跟踪训练]
1．方程81×32x＝的解为________．
解析：∵81×32x＝，∴32x＋4＝3－2(x＋2)，∴2x＋4＝－2(x＋2)，解得x＝－2.
答案：－2
2．设01的解集为________．
解析：因为01＝a0变为2x2－7x＋3<0，解得答案：
指数型函数的单调性
[例3] 判断f(x)＝的单调性，并求其值域．
[解] 令u＝x2－2x，则原函数变为y＝.
∵u＝x2－2x＝(x－1)2－1在(－∞，1]上递减，在[1，＋∞)上递增，又∵y＝在(－∞，＋∞)上递减，
∴y＝在(－∞，1]上递增，在[1，＋∞)上递减．
∵u＝x2－2x＝(x－1)2－1≥－1，
∴y＝，u∈[－1，＋∞)，
∴0＜≤＝3，
∴原函数的值域为(0，3]．
[母题探究]
1．(变条件，变设问)若函数y＝|2x－1|在(－∞，m]上单调递减，则m的取值范围是________．
解析：在平面直角坐标系中作出y＝2x的图象，把图象沿y轴向下平移1个单位得到y＝2x－1的图象，再把y＝2x－1的图象在x轴下方的部分关于x轴翻折，其余部分不变．如图，得到y＝|2x－1|的图象，由图可知y＝|2x－1|在(－∞，0]上单调递减，∴m∈(－∞，0]．
答案：(－∞，0]
2．(变条件)把本例的函数变为“f(x)＝2”，求其单调区间．
解：函数y＝2的定义域为R.
令u＝－x2＋2x，则y＝2u.
当x∈(－∞，1]时，函数u＝－x2＋2x为增函数，函数y＝2u是增函数，
所以函数y＝2在(－∞，1]上是增函数．
当x∈[1，＋∞)时，函数u＝－x2＋2x为减函数，函数y＝2u是增函数，所以函数y＝2在[1，＋∞)上是减函数．
综上，函数y＝2－x2＋2x的单调减区间是[1，＋∞)，单调增区间是(－∞，1]．
函数y＝af(x)(a＞0，a≠1)的单调性的处理技巧
(1)关于指数型函数y＝af(x)(a＞0，且a≠1)的单调性由两点决定，一是底数a＞1还是0＜a＜1；二是f(x)的单调性，它由两个函数y＝au，u＝f(x)复合而成；
(2)求复合函数的单调区间，首先求出函数的定义域，然后把函数分解成y＝f(u)，u＝φ(x)，通过考查f(u)和φ(x)的单调性，求出y＝f(φ(x))的单调性．
[跟踪训练]
1．画出函数y＝2－|x|的图象，并根据图象求函数的单调区间．
解：y＝2－|x|＝的图象如图所示．
由图象可得函数y＝2－|x|的单调递增区间为(－ ∞，0]，单调递减区间为(0，＋∞)．
2．函数f(x)＝ax(a>0，a≠1)在区间[1，2]上的最大值比最小值大，求a的值．
解：①若a>1，则f(x)在[1，2]上单调递增，最大值为a2，最小值为a.
所以a2－a＝，解得a＝或a＝0(舍去)．
②若0所以a－a2＝，解得a＝或a＝0(舍去)．
综上所述，a的值为或.
指数函数性质的综合应用
[例4] 已知定义在R上的函数f(x)＝a＋是奇函数．
(1)求a的值；
(2)判断f(x)的单调性(不需要写出理由)；
(3)若对任意的t∈R，不等式f(t2－2t)＋f(2t2－k)<0恒成立，求实数k的取值范围．
[解] (1)∵f(x)的定义域为R，且f(x)为奇函数，
∴f(0)＝0，即a＋＝0，∴a＝－.
(2)由(1)知f(x)＝－＋，
故f(x)在R上为减函数．
(3)∵f(x)为奇函数，
∴f(t2－2t)＋f(2t2－k)<0可化为f(t2－2t)由(2)知f(x)在R上单调递减，
∴t2－2t>k－2t2，
即3t2－2t－k>0对于一切t∈R恒成立，
∴Δ＝4＋12k<0，得k<－，
∴k的取值范围是.
解决指数函数性质的综合问题的注意点
(1)注意代数式的变形，如分式通分、因式分解、配方法、分母(或分子)有理化等变形技巧；
(2)解答函数问题注意应在函数定义域内进行；
(3)由于指数函数单调性与底数有关，因此要注意是否需要讨论．
[跟踪训练]
已知函数f(x)＝·x3.
(1)求f(x)的定义域；
(2)讨论f(x)的奇偶性；
(3)证明：f(x)>0.
解：(1)由题意得2x－1≠0，即x≠0，
∴f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)．
(2)由(1)知，f(x)的定义域关于原点对称．
令g(x)＝＋＝，φ(x)＝x3，
则f(x)＝g(x)·φ(x)．
∵g(－x)＝＝＝－g(x)，
φ(－x)＝(－x)3＝－x3＝－φ(x)，
∴f(－x)＝g(－x)·φ(－x)＝[－g(x)]·[－φ(x)]＝g(x)·φ(x)＝f(x)，
∴f(x)＝·x3为偶函数．
(3)证明：当x>0时，2x>1，
∴2x－1>0，∴＋>0.
∵x3>0，∴f(x)>0.
由偶函数的图象关于y轴对称，知当x<0时，f(x)>0也成立．故对于x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，恒有f(x)>0.
1．下列判断正确的是( )
A．2.52.5＞2.53 B．0.82＜0.83
C．π2＜π D．0.90.3＞0.90.5
解析：选D ∵y＝0.9x是减函数，且0.5＞0.3，
∴0.90.3＞0.90.5.
2．函数y＝的单调增区间为( )
A．(－∞，＋∞) B．(0，＋∞)
C．(1，＋∞) D．(0，1)
解析：选A 由已知得，f(x)的定义域为R.
设u＝1－x，则y＝.
因为u＝1－x在R上为减函数，
又因为y＝在(－∞，＋∞)上为减函数，
所以y＝在(－∞，＋∞)上为增函数，故选A.
3．若函数f(x)＝3eq \s\up6()在R上是减函数，则实数a的取值范围是( )
A. B．
C.∪(1，＋∞) D.
解析：选A 由于底数3∈(1，＋∞)，所以函数f(x)＝3eq \s\up6()的单调性与y＝(2a－1)x＋3的单调性相同．因为函数f(x)＝3eq \s\up6()在R上是减函数，所以y＝(2a－1)x＋3在R上是减函数，所以2a－1<0，即a<，从而实数a的取值范围是，故选A.
4．已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)＝1－2－x，则不等式f(x)<－的解集是________．
解析：设x<0，则－x>0.因为f(x)是奇函数，所以f(x)＝－f(－x)＝－(1－2x)＝2x－1.当x>0时，1－2－x∈(0，1)，所以不等式f(x)<－不成立，即当x>0时，无解；当x<0时，2x－1<－，解得x<－1.
答案：x<－1
5．不等式52>5x＋1的解集是________．
解析：由52>5x＋1得2x2>x＋1，
解得x<－或x>1.
答案：
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6章末复习与总结
一、数学运算
数学运算核心素养在本章中主要体现在指数幂的运算、幂的运算及函数求值(最值)等问题中．
指数与指数幂的运算
[例1] (1)若x>0，则－4xeq \s\up6(－)·＝________；
(2)已知a＝－，b＝，则÷＝________．
[解析] (1)原式＝4x－33－4x＋4＝－27＋4＝－23.
(2)原式＝÷
＝×
＝＝＝aeq \s\up6(－).
由题意得，a＝－，∴aeq \s\up6(－)＝.
[答案] (1)－23 (2)
条件求值问题
[例2] 已知2x＋2－x＝a(常数)，求8x＋8－x的值．
[解] 8x＋8－x＝(2x)3＋(2－x)3＝(2x＋2－x)[(2x)2－2x·2－x＋(2－x)2]
＝(2x＋2－x)[(2x＋2－x)2－3]＝a(a2－3)．
与指数函数有关的最值问题
[例3] 已知函数y＝4x－2x＋1＋5的定义域为[－1，3]．
(1)求函数在[－1，3]的单调区间；
(2)求函数在[－1，3]的最大值和最小值．
[解] 由题意得，y＝4x－2x＋1＋5＝(2x)2－2×2x＋5.
(1)令t＝2x，故y＝t2－2t＋5，对称轴为t＝1，
由于－1≤x≤3，所以t∈，根据复合函数单调性可知，函数y＝(2x)2－2×2x＋5在t∈，即x∈[－1，0)上递减，在t∈[1，8]，即x∈[0，3]上递增．
(2)由(1)知，当x＝0时，函数y＝(2x)2－2×2x＋5有最小值为4；当x＝－1时，y＝；当x＝3时，y＝53.所以函数y＝(2x)2－2×2x＋5的最大值为53.
二、直观想象
直观想象核心素养在本章中主要体现在指数函数图象的识别与应用问题中．
指数函数图象的识别
[例4] 定义运算a b＝则函数f(x)＝1 2x的图象是( )
[解析] 由题意，知f(x)＝1 2x＝只有选项A中的图象符合要求．故选A.
[答案] A
指数函数图象的应用
[例5] (1)若函数f(x)＝(x－a)(x－b)(a>b)的图象如图所示，则g(x)＝a－x＋b的图象可能是( )
(2)已知f(x)＝|3x－1|＋1，若关于x的方程[f(x)]2－(2＋a)f(x)＋2a＝0有三个实根，则实数a的取值范围是( )
A．12
C．21
[解析] (1)根据函数f(x)＝(x－a)(x－b)(a>b)的图象知a>1，－1根据函数平移变换知选项C满足条件，故选C.
(2)
由题得[f(x)－2]·[f(x)－a]＝0，所以f(x)＝2或f(x)＝a，
所以|3x－1|＋1＝2或|3x－1|＋1＝a，
所以|3x－1|＝1或|3x－1|＝a－1，|3x－1|＝1有一个根，所以方程|3x－1|＝a－1有两个不同的实根，函数y＝|3x－1|的图象如图所示，所以0所以1[答案] (1)C (2)A
三、逻辑推理
逻辑推理核心素养在本章中主要体现在性质判断、比较大小和不等式的求解问题中．
性质的判断
[例6] (多选)设y＝[x]，x∈R，[x]表示不超过x的最大整数，例如：[－3.5]＝－4，[2.1]＝2.已知函数f(x)＝－，则关于函数g(x)＝[f(x)]的叙述中正确的是( )
A．f(x)是偶函数
B．f(x)是奇函数
C．f(x)在R上是增函数
D．g(x)的值域是{－1，0}
[解析] ∵f(x)＝，f(－x)＝＝－f(x)，
∴f(x)为奇函数，∵函数f(x)＝－，∴f(x)＝－，又y＝ex＋1在R上为增函数，∴f(x)＝－在R上为增函数．∵ex＋1>1，∴0<<1，∴－<－<，∴当f(x)∈时，[f(x)]＝－1，当f(x)∈时，[f(x)]＝0，当f(x)＝0时，[f(x)]＝0，∴函数g(x)＝[f(x)]的值域为{－1，0}．综上，可知B、C、D正确．
[答案] BCD
[例7] 若实数x，y满足4x＋4y＝2x＋1＋2y＋1，则S＝2x＋2y的取值范围是________．
[解析] 4x＋4y＝2x＋1＋2y＋1 (2x)2＋(2y)2＝2(2x＋2y) (2x＋2y)2－2×2x×2y＝2(2x＋2y)，即S2－2S＝2×2x×2y，又0<2×2x×2y≤＝，即0[答案] (2，4]
比较大小
[例8] 已知a＝0.3－2，b＝，c＝，则a，b，c的大小关系是( )
A．a>b>c B．a>c>b
C．c>b>a D．b>a>c
[解析] ∵b＝1，∴a>c>b.故选B.
[答案] B
解不等式
[例9] 若2≤的解集是函数y＝2x的定义域，则函数y＝2x的值域是( )
A. B．
C. D．[2，＋∞)
[解析] 由2≤得2≤2－2x＋4，即x2＋1≤－2x＋4，x2＋2x－3＝(x＋3)(x－1)≤0，解得－3≤x≤1，即函数y＝2x的定义域为[－3，1]．
由于函数y＝2x在R上递增，故当x＝－3时，取得最小值，
当x＝1时，取得最大值2，所以函数的值域为.
故选B.
[答案] B
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