必要条件与充分条件
新课程标准解读 核心素养
1.通过对典型数学命题的梳理，理解必要条件的意义，理解性质定理与必要条件的关系 数学抽象、逻辑推理
2.通过对典型数学命题的梳理，理解充分条件的意义，理解判定定理与充分条件的关系 数学抽象、逻辑推理
3.通过对典型数学命题的梳理，理解充要条件的意义，理解数学定义与充要条件的关系 数学抽象、逻辑推理
第1课时 必要条件与充分条件
某居民的卧室里安有一盏灯，在卧室门口和床头各有一个开关，任意一个开关都能够独立控制这盏灯．这就是电器上常用的“双刀”开关，如图所示．
[问题] (1)A开关闭合时B灯一定亮吗？
(2)B灯亮时A开关一定闭合吗？
预备知识 命题的概念、分类及结构形式
1．定义：一般地，我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫作命题．
2．分类：判断为的语句是真命题；判断为的语句是假命题．
3．结构形式：“若p，则q”形式的命题中，称为命题的条件，称为命题的结论．
用符号“ ”与“ ”填空：
(1)x2＞1________x＞1；
(2)a，b都是偶数________a＋b是偶数．
解析：(1)若x2＞1，则x<－1或x>1，故x2＞1 x＞1.
(2)若a，b都是偶数，则a＋b一定是偶数，故a，b都是偶数 a＋b是偶数．
答案：(1) (2)
知识点一 必要条件与性质定理
一般地，当命题“若p，则q”是真命题时，称是的必要条件．也就是说，一旦q不成立，p一定也不成立，即对于的成立是必要的．
知识点二 充分条件与判定定理
一般地，当命题“若p，则q”是真命题时，称是的充分条件．
综上，对于真命题“若p，则q”，即p q时，称q是p的必要条件，也称p是q的充分条件．
充分条件、必要条件的理解
(1)对“推出”的正确理解，对于命题p：x>2，q：x>1.显然p可以推出q，记为p q，而q是不能推出p的；
(2)若p q，则p是q的充分条件．所谓充分，就是说条件是充分的，也就是说条件是充足的，条件是足够的，条件是足以保证的．“有之必成立，无之未必不成立”；
(3)若p q，则q是p的必要条件．所谓必要，就是条件是必须有的，必不可少的，缺其不可．“有之未必成立，无之必不成立”；
(4)若p q，但qp，则称p是q的充分不必要条件；
(5)若q p，但p q，则称p是q的必要不充分条件；
(6)若p q，且q p，则称p是q的既不充分也不必要条件．
(多选)下列条件中是x2＞4的充分条件的是( )
A．x＞－2 B．x＜－2
C．x＜－3 D．x＞4
解析：选BCD 当x＝0时，x＞－2，但x2＜4，故A错，B、C、D都对．
必要条件的判断
[例1] (链接教科书第15页例1)下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题中的q是p的必要条件？
(1)若一个四边形是等腰梯形，则这个四边形两条对角线相等；
(2)若△ABC是直角三角形，则△ABC是等腰三角形；
(3)若＝，则x＝y；
(4)若关于x的方程ax＋b＝0(a，b∈R)有唯一解，则a＞0.
[解] (1)等腰梯形的两条对角线相等．因此p q，所以q是p的必要条件．
(2)直角三角形不一定是等腰三角形．因此p q，所以q不是p的必要条件．
(3)若＝，则x＝y是真命题，因此p q，所以q是p的必要条件．
(4)命题“若关于x的方程ax＋b＝0(a，b∈R)有唯一解，则a＞0”为假命题，因此p q，所以q不是p的必要条件．
必要条件的两种判断方法
(1)定义法：
(2)命题判断方法：
如果命题：“若p，则q”是真命题，则q是p的必要条件；如果命题：“若p，则q”是假命题，则q不是p的必要条件．
[跟踪训练]
设集合A＝{x|x≤1}，B＝{x|x≥a}，则“A∪B＝R”是“a＝1”的________条件．(填“充分”或“必要”)
解析：因为集合A＝{x|x≤1}，B＝{x|x≥a}，当A∪B＝R时，a≤1，因为a≤1不一定得到a＝1，当a＝1时一定可以得到a≤1，所以“A∪B＝R”是“a＝1”的必要条件．
答案：必要
充分条件的判断
[例2] (链接教科书第16页例2)下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题中的p是q的充分条件？
(1)若a∈Q，则a∈R；
(2)若a＜b，则＜1；
(3)若x，y∈R，|x|＝|y|，则x＝y；
(4)若(a－2)(a－3)＝0，则a＝3；
(5)在△ABC中，若A＞B，则BC＞AC；
(6)若四边形ABCD是正方形，则四边形ABCD是菱形．
[解] (1)由于Q?R，所以p q，所以p是q的充分条件．
(2)由于a＜b，当b＜0时，＞1；当b＞0时，＜1.因此p q，所以p不是q的充分条件．
(3)若x＝1，y＝－1，则|x|＝|y|，但x≠y，所以p q，所以p不是q的充分条件．
(4)由(a－2)(a－3)＝0可以推出a＝2或a＝3，不一定有a＝3，因此p q，所以p不是q的充分条件．
(5)由三角形中大角对大边可知，若A＞B，则BC＞AC.因此p q，所以p是q的充分条件．
(6)由菱形和正方形的定义可知，所有的正方形都是菱形，所以p q，所以p是q的充分条件．
充分条件的两种判断方法
(1)定义法：
(2)命题判断方法：
如果命题：“若p，则q”是真命题，则p是q的充分条件；如果命题：“若p，则q”是假命题，则p不是q的充分条件．
[跟踪训练]
设集合M＝{x|0＜x≤2}，N＝{x|0＜x≤3}，那么“a∈M”是“a∈N”的________条件．(填“充分”或“必要”)
解析：由题意得，M∪N＝N，所以“a∈M” “a∈N”，所以“a∈M”是“a∈N”的充分条件．
答案：充分
根据必要条件、充分条件求参数的取值范围
[例3] 已知p：实数x满足3a＜x＜a，其中a＜0，q：实数x满足－2≤x≤3.若p是q的充分条件，求实数a的取值范围．
[解] p：3a＜x＜a，即集合A＝{x|3a＜x＜a}．
q：－2≤x≤3，即集合B＝{x|－2≤x≤3}．
因为p q，所以A B，
所以 －≤a＜0，
所以a的取值范围是.
[母题探究]
1．(变条件)若本例中条件p改为“实数x满足a＜x＜3a，其中a＞0”，若p是q的必要条件，求实数a的取值范围．
解：p：a＜x＜3a，即集合A＝{x|a＜x＜3a}．
q：－2≤x≤3，即集合B＝{x|－2≤x≤3}．
因为q p，所以B A，
所以
2．(变条件)若本例中的条件“q：实数x满足－2≤x≤3”改为“q：实数x满足－3≤x≤0”其他条件不变，求实数a的取值范围．
解：p：3a＜x＜a，其中a＜0，即集合A＝{x|3a＜x＜a}．
q：－3≤x≤0，即集合B＝{x|－3≤x≤0}．
因为p是q的充分条件，所以p q，所以A B，
所以 －1≤a＜0.
所以a的取值范围是[－1，0)．
利用充分(必要)条件确定参数的值(范围)的步骤
(1)记集合M＝{x|p(x)}，N＝{x|q(x)}；
(2)若p是q的充分条件，则M N；若p是q的必要条件，则N M；
(3)根据集合的关系列不等式(组)；
(4)解不等式(组)得结果．
[跟踪训练]
已知全集U＝R，非空集合A＝{x|2＜x＜3a＋1}，B＝{x|a＜x＜a＋2}．记p：x∈A，q：x∈B，若q是p的必要条件，求实数a的取值范围．
解：∵A≠ ，∴3a＋1＞2，即a＞.
∵q是p的必要条件，∴A B，
∴解得a≤，
又a＞，∴＜a≤，
即实数a的取值范围是.
1．a＜b，b＜0的一个必要条件是( )
A．a＋b＜0 B．a－b＞0
C.＜1 D.＜－1
解析：选A 因为a＜b，b＜0 a＜0，b＜0 a＋b＜0.所以a＋b＜0是a＜b，b＜0的一个必要条件．
2．若a∈R，则“a＝1”是“|a|＝1”的( )
A．充分条件
B．必要条件
C．既不是充分条件，也不是必要条件
D．无法判断
解析：选A 当a＝1时，|a|＝1成立，但|a|＝1时，a＝±1，所以a＝1不一定成立．所以“a＝1”是“|a|＝1”的充分条件．
3．若p：a∈M∪N，q：a∈M，则p是q的( )
A．充分条件但不是必要条件
B．必要条件但不是充分条件
C．既是充分条件，也是必要条件
D．既不是充分条件，也不是必要条件
解析：选B 由a∈M∪N a∈M，但a∈M a∈M∪N，即p q，但q p.
4．若集合A＝{1，m2}，B＝{2，4}，则“m＝2”是“A∩B＝{4}”的________条件．(填“充分”或“必要”)
解析：当A∩B＝{4}时，m2＝4，所以m＝±2.所以“m＝2”是“A∩B＝{4}”的充分条件．
答案：充分
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6第2课时 充要条件
主人邀请张三、李四、王五三个人吃饭，时间到了，只有张三、李四准时赴约，王五打电话说：“临时有急事，不能去了．”主人听了，随口说了句：“该来的没有来．”张三听了脸色一沉，起来一声不吭地走了．主人愣了片刻，又道了句：“不该走的又走了．”李四听了大怒，拂袖而去．
[问题] (1)张三为什么走了？
(2)李四为什么也走了？
知识点 充要条件
1．一般地，如果p q，且q p，那么称p是q的充分且必要条件，简称p是q的充要条件，记作p q．
2．p是q的充要条件也常常说成“p成立当且仅当q成立”，或“p与q等价”．
3．当p是q的充要条件时，q也是p的充要条件．
“p是q的充要条件”也可以说成“p与q是等价的”“p成立当且仅当q成立”“q成立当且仅当p成立”．
1．若p是q的充要条件，则命题p和q是两个相互等价的命题，这种说法对吗？
提示：正确．若p是q的充要条件，则p q，即p等价于q.
2．“p是q的充要条件”与“p的充要条件是q”的区别在哪里？
提示：①p是q的充要条件说明p是条件，q是结论．
②p的充要条件是q说明q是条件，p是结论．
1．“a＋b＜0”是“a＜0，b＜0”的( )
A．充分而不必要条件 B．充要条件
C．必要而不充分条件 D．既不充分也不必要条件
答案：C
2．点P(x，y)是第二象限的点的充要条件是( )
A．x＜0，y＜0 B．x＜0，y＞0
C．x＞0，y＞0 D．x＞0，y＜0
答案：B
3．从“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分又不必要条件”中选一个合适的填空．
(1)“x2－1＝0”是“|x|－1＝0”的________；
(2)“x＜5”是“x＜3”的________．
解析：(1)设A＝{x|x2－1＝0}＝{－1，1}，B＝{x||x|－1＝0}＝{－1，1}，所以A＝B，即“x2－1＝0”是“|x|－1＝0”的充要条件．
(2)设A＝{x|x＜5}，B＝{x|x＜3}，因为A?B，所以“x＜5”是“x＜3”的必要不充分条件．
答案：(1)充要条件 (2)必要不充分条件
充要条件的判断
[例1] (链接教科书第17页例3)判断下列各题中，p是否为q的充要条件？
(1)若a，b∈R，p：a2＋b2＝0，q：a＝b＝0；
(2)p：|x|＞3，q：x2＞9.
[解] (1)若a2＋b2＝0，则a＝b＝0，即p q；
若a＝b＝0，则a2＋b2＝0，即q p，故p q，
所以p是q的充要条件．
(2)由于p：|x|＞3 q：x2＞9，所以p是q的充要条件．
1．判断p是q的充要条件，主要是判断p q及q p这两个命题是否成立．若p q成立，则p是q的充分条件，同时q是p的必要条件；若q p成立，则p是q的必要条件，同时q是p的充分条件．
2．在已知充要条件的前提下，充分条件是不确定的，只要保证是充要条件的一个子集即可，而充分不必要条件应为充要条件的一个真子集．
[跟踪训练]
1．a，b中至少有一个不为零的充要条件是( )
A．ab＝0 B．ab＞0
C．a2＋b2＝0 D．a2＋b2＞0
解析：选D a2＋b2＞0，则a，b不同时为零；a，b中至少有一个不为零，则a2＋b2＞0.
2．设集合A＝{x|2a＋1≤x≤3a－5}，B＝{x|3≤x≤22}，则A (A∩B)的充要条件为________；一个充分不必要条件可为________．
解析：A (A∩B) A B，B＝{x|3≤x≤22}．
若A＝ ，则2a＋1＞3a－5，解得a＜6；
若A≠ ，则A B 6≤a≤9.
综上可知，A (A∩B)的充要条件为a≤9；一个充分不必要条件可为6≤a≤9.
答案：a≤9 6≤a≤9(答案不唯一)
充要条件的证明
[例2] 证明：如图梯形ABCD为等腰梯形的充要条件是AC＝BD.
[证明] (1)必要性：在等腰梯形ABCD中，AB＝DC，∠ABC＝∠DCB，
又∵BC＝CB，∴△BAC≌△CDB，∴AC＝BD.
(2)充分性：如图，过点D作DE∥AC，交BC的延长线于点E.
∵AD∥BE，DE∥AC，
∴四边形ACED是平行四边形．
∴DE＝AC.
∵AC＝BD，∴BD＝DE，∴∠E＝∠1.
又∵AC∥DE.∴∠2＝∠E，∴∠1＝∠2.
在△ABC和△DCB中，
∴△ABC≌△DCB.∴AB＝DC.
∴梯形ABCD为等腰梯形．
由(1)(2)可得，梯形ABCD为等腰梯形的充要条件是AC＝BD.
充要条件的证明策略
(1)要证明一个条件p是不是q的充要条件，需要从充分性和必要性两个方向进行，即证明两个命题“若p，则q”为真且“若q，则p”为真；
(2)在证明的过程中也可以利用集合的思想来证明，证明p与q的解集是相同的，证明前必须分清楚充分性和必要性，即搞清楚由哪些条件推证到哪些结论．
[提醒] 证明时一定要注意分清充分性与必要性的证明方向．
[跟踪训练]
求证：关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一个根是1的充要条件是a＋b＋c＝0.
证明：设p：方程ax2＋bx＋c＝0有一个根是1，q：a＋b＋c＝0.
①必要性．
∵x＝1是方程ax2＋bx＋c＝0的根，
∴a·12＋b·1＋c＝0，即a＋b＋c＝0.
②充分性．
由a＋b＋c＝0，得c＝－a－b.
∵ax2＋bx＋c＝0，∴ax2＋bx－a－b＝0，
即a(x2－1)＋b(x－1)＝0.
故(x－1)(ax＋a＋b)＝0.
∴x＝1是方程的一个根．
故方程ax2＋bx＋c＝0有一个根是1的充要条件是a＋b＋c＝0.
充分、必要及充要条件的应用
[例3] 已知p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m>0)，若p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围．
[解] p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m>0)．
因为p是q的必要不充分条件，
所以q是p的充分不必要条件，
即{x|1－m≤x≤1＋m}?{x|－2≤x≤10}，
故有或
解得m≤3.
又m>0，所以实数m的取值范围为{m|0
[母题探究]
1．(变条件)若本例中“p是q的必要不充分条件”改为“p是q的充分不必要条件”，其他条件不变，求实数m的取值范围．
解：p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m>0)．
因为p是q的充分不必要条件，
设p代表的集合为A，q代表的集合为B，所以A?B.
所以或
解得m≥9，
即实数m的取值范围是{m|m≥9}．
2．(变设问)本例中p，q不变，是否存在实数m使p是q的充要条件？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由．
解：因为p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m>0)．
若p是q的充要条件，则方程组无解．
故不存在实数m，使得p是q的充要条件．
充分条件与必要条件的应用技巧
(1)应用：可利用充分性与必要性进行相关问题的求解，特别是求参数的值或取值范围问题；
(2)求解步骤：先把p，q等价转化，利用充分条件、必要条件与集合间的包含关系，建立关于参数的不等式(组)进行求解．
[跟踪训练]
已知a＞0，设p：－a≤x≤3a，q：－1＜x＜6.若p是q的充分不必要条件，则实数a的取值范围是( )
A．{a|1＜a＜2} B．{a|1≤a≤2}
C．{a|0＜a＜1} D．{a|0＜a≤2}
解析：选C 因p是q的充分不必要条件，即解得01．设A，B是两个集合，则“A∩B＝A”是“A B”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：选C 结合Venn图(图略)可知，A∩B＝A，得A B，反之，若A B，即集合A为集合B的子集，则A∩B＝A，故“A∩B＝A”是“A B”的充要条件．故选C.
2．使不等式2x－4≥0成立的一个充分不必要条件是( )
A．x＜2 B．x≤0或x≥2
C．x∈{2，3，5} D．x≥2
解析：选C 由2x－4≥0得x≥2，所以选项中只有{2，3，5}?{x|x≥2}，故只有C选项中的条件是使不等式2x－4≥0成立的一个充分不必要条件．
3．函数y＝x2＋mx＋1的图象关于直线x＝1对称的充要条件是________．
解析：函数y＝x2＋mx＋1的对称轴为x＝－＝1，所以m＝－2.
答案：－2
4．下列各题中，哪些p是q的充要条件？
(1)p：三角形为等腰三角形，q：三角形存在两角相等；
(2)p：⊙O内两条弦相等，q：⊙O内两条弦所对的圆周角相等；
(3)p：A∩B为空集，q：A与B之一为空集．
解：(1)因为p q，所以p是q的充要条件．
(2)⊙O内两条弦相等，它们所对的圆周角相等或互补，因此p q，所以p不是q的充要条件．
(3)取A＝{1，2}，B＝{3}，显然，A∩B＝ ，但A与B均不为空集，因此，p q，所以p不是q的充要条件．
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5全称量词与存在量词
新课程标准解读 核心素养
1.通过已知的数学实例，理解全称量词与存在量词的意义 数学抽象、逻辑推理
2.能正确使用存在量词对全称量词命题进行否定 数学抽象
3.能正确使用全称量词对存在量词命题进行否定 数学抽象
第1课时 全称量词命题与存在量词命题
在某个城市中有一位理发师，他的广告词是这样写的：“本人的理发技艺十分高超，誉满全城．我将为本城所有不给自己刮脸的人刮脸，我也只给这些人刮脸．我对各位表示热诚欢迎！”来找他刮脸的人络绎不绝，自然都是那些不给自己刮脸的人．可是，有一天，这位理发师从镜子里看见自己的胡子长了，他本能地抓起了剃刀，你们看他能不能给他自己刮脸呢？如果他不给自己刮脸，他就属于“不给自己刮脸的人”，他就要给自己刮脸，而如果他给自己刮脸呢？他又属于“给自己刮脸的人”，他就不该给自己刮脸．这就是著名的“罗素理发师悖论”．
[问题] 你能对上述问题进行逻辑分析吗？
知识点一 全称量词命题与全称量词
1．全称量词命题
在给定集合中，断言所有元素都具有同一种性质的命题叫作全称量词命题．
2．全称量词
在命题中，诸如“所有”“每一个”“任意”“任何”“一切”这样的词叫作全称量词，用符号“ ”表示，读作“对任意的”．
1．一个全称量词命题可以包含多个变量，如“ x，y∈R，x2＋y2≥0”．
2．全称量词命题含有全称量词，有些全称量词命题中的全称量词是省略的，理解时需把它补充出来．例如，命题“平行四边形的对角线互相平分”应理解为“所有的平行四边形的对角线都互相平分”．
1．判断正误．(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)命题“任意一个自然数都是正整数”是全称量词命题．( )
(2)命题“三角形的内角和是180°”是全称量词命题．( )
(3)命题“梯形有两边平行”不是全称量词命题．( )
答案：(1)√ (2)√ (3)×
2．将命题“x2＋y2≥2xy”改写为全称量词命题为________．
解析：命题“x2＋y2≥2xy”是指对任意x，y∈R，都有x2＋y2≥2xy成立，故命题“x2＋y2≥2xy”改写成全称量词命题为：对任意x，y∈R，都有x2＋y2≥2xy成立．
答案：对任意x，y∈R，都有x2＋y2≥2xy成立
知识点二 存在量词命题与存在量词
1．存在量词命题
在给定集合中，断言某些元素具有一种性质的命题叫作存在量词命题．
2．存在量词
在命题中，诸如“有些”“有一个”“存在”这样的词叫作存在量词，用符号“”表示，读作“存在”．
1．一个存在量词命题可以包含多个变量，如“ a，b∈R，使(a＋b)2＝(a－b)2”．
2．含有存在量词“存在”“有一个”等的命题，或虽没有写出存在量词，但其意义具备“存在”“有一个”等特征的命题都是存在量词命题．
1．以下四个命题既是存在量词命题又是真命题的是( )
A．锐角三角形的内角是锐角或钝角
B．至少有一个实数x，使x2≤0
C．两个无理数的和必是无理数
D．存在一个负数x，使>2
解析：选B A是全称量词命题．
B项为存在量词命题，当x＝0时，x2＝0成立，所以B正确．
因为＋(－)＝0，所以C为假命题．
对于任何一个负数x，都有<0，所以D错误．故选B.
2．下列语句是存在量词命题的是________．(填序号)
①任意一个自然数都是正整数；
②存在整数n，使n能被11整除；
③若3x－7＝0，则x＝；
④有些函数为奇函数．
答案：②④
全称量词命题与存在量词命题的判断
[例1] (链接教科书第19页例4)(1)下列命题：①有的平行四边形是菱形；②任何一个实数乘以0都等于0；③有一个角α，使sin α＝；④凸多边形的外角和等于360°；⑤所有正数都是实数．其中是全称量词命题的为____________，是存在量词命题的为____________．(填序号)
(2)用量词符号“ ”“ ”表述下列命题：
①所有实数x都能使x2＋x＋1＞0成立；
②对所有实数a，b，方程ax＋b＝0恰有一个解；
③一定有整数x，y，使得3x－2y＝10成立．
(1)[解析] ①含有存在量词“有的”，故为存在量词命题；②含有全称量词“任何一个”，故为全称量词命题；③含有存在量词“有一个”，故为存在量词命题；④可以改写为“所有的凸多边形的外角和等于360°”，含有全称量词“所有”，故为全称量词命题；⑤含有全称量词“所有”，故为全称量词命题．
[答案] ②④⑤ ①③
(2)[解] ① x∈R，x2＋x＋1＞0.
② a，b∈R，ax＋b＝0恰有一解．
③ x，y∈Z，3x－2y＝10.
判断一个语句是全称量词命题还是存在量词命题的思路
[提醒] 全称量词命题可能省略全称量词，存在量词命题的存在量词一般不能省略．
[跟踪训练]
判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题：
(1)矩形有一个外接圆；
(2)非负实数有两个平方根；
(3)有一对实数(x，y)，使2x－y＋1＜0成立．
解：(1)可以改写为“所有的矩形都有一个外接圆”，是全称量词命题．
(2)可以改写为“所有的非负实数都有两个平方根”，是全称量词命题．
(3)可以改写为“ x∈R，y∈R，使2x－y＋1＜0成立”，是存在量词命题.
全称量词命题与存在量词命题的真假判断
[例2] 判断下列命题的真假：
(1)在平面直角坐标系中，任意有序实数对(x，y)都对应一点P；
(2)每一条线段的长度都能用正有理数来表示；
(3)至少有一个直角三角形不是等腰三角形；
(4) x∈R，x2－3x＋2＝0；
(5) x，y∈Z，(x－y)2＝x2－2xy＋y2.
[解] (1)是真命题．
(2)是假命题，如边长为1的正方形，对角线长度为，就不能用正有理数表示．
(3)是真命题，如有一个内角为30°的直角三角形就不是等腰三角形．
(4)是真命题，x＝2或x＝1都能使x2－3x＋2＝0成立．
(5)是真命题，因为完全平方公式对任意实数都成立，显然对整数成立．
全称量词命题与存在量词命题真假的判断技巧
(1)全称量词命题真假的判断：要判断一个全称量词命题是真命题，必须对限定集合M中的每个元素x验证p(x)成立；但要判定全称量词命题是假命题，只需举出限定集合M中的一个x0，使得p(x0)不成立即可(这就是通常所说的“举出一个反例”)；
(2)存在量词命题真假的判断：要判定一个存在量词命题是真命题，只要在限定集合M中，找到一个x0，使p(x0)成立即可；否则，这一存在量词命题就是假命题．
[跟踪训练]
指出下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并判断真假：
(1) x∈Q，x2＝3；
(2)每一个三角形的内角和都是180°；
(3)钝角三角形有的高在三角形外部；
(4)对任意的a，b∈R，都有a2＋b2－2a－2b＋2＜0.
解：(1)存在量词命题．由于使x2＝3成立的实数只有±，且它们都不是有理数．因此没有任何一个有理数的平方能等于3，所以该命题是假命题．
(2)全称量词命题．由三角形的内角和定理可知，该命题是真命题．
(3)存在量词命题．钝角三角形的高有可能在三角形外部，所以该命题是真命题．
(4)全称量词命题．a2＋b2－2a－2b＋2＝(a－1)2＋(b－1)2≥0，所以该命题是假命题.
由含量词命题的真假求参数的范围
[例3] (1)已知集合A＝{x|1≤x≤2}，若命题“ x∈A，一次函数y＝x＋m的图象在x轴上方”是真命题，则实数m的取值范围是____________．
(2)若命题“ x∈R，使得方程ax2＋2x－1＝0成立”是真命题，求实数a的取值范围．
(1)[解析] 当1≤x≤2时，1＋m≤x＋m≤2＋m，因为一次函数y＝x＋m的图象在x轴上方，所以1＋m＞0，即m＞－1，所以实数m的取值范围是{m|m＞－1}．
[答案] {m|m＞－1}
(2)[解] 由题意得，关于x的方程ax2＋2x－1＝0有实数根，当a＝0时，方程为2x－1＝0，显然有实数根，满足题意；当a≠0时，Δ＝4＋4a≥0，解得a≥－1，且a≠0.
综上知，实数a的取值范围是{a|a≥－1}．
[母题探究]
(变条件)本例(2)中的方程改为“x2＋2x＋2＝m”，求实数m的取值范围．
解：依题意，方程x2＋2x＋2－m＝0有实数解，所以Δ＝4－4(2－m)≥0，解得m≥1，故实数m的取值范围是{m|m≥1}．
利用含量词的命题的真假求参数的取值范围
(1)含参数的全称量词命题为真时，常与不等式恒成立有关，可根据有关代数恒等式(如x2≥0)，确定参数的取值范围；
(2)含参数的存在量词命题为真时，常转化为方程或不等式有解问题来处理，可借助根的判别式等知识解决．
[跟踪训练]
若“存在x∈{x|3≤x≤5}，x≥m”是真命题，则实数m的取值范围是________．
解析：当m≤5时，“存在x∈{x|3≤x≤5}，x≥m”是真命题．
答案：(－∞，5]
1．下列命题：
①至少有一个x，使x2＋2x＋1＝0成立；
②对任意的x，都有x2＋2x＋1＝0成立；
③对任意的x，都有x2＋2x＋1＝0不成立；
④存在x，使x2＋2x＋1＝0不成立．
其中是全称量词命题的个数为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：选B 由定义知②③正确．故选B.
2．下列各命题中，真命题是( )
A． x∈R，1－x2＜0 B． x∈N，x2≥1
C． x∈Z，x3＜1 D． x∈Q，x2＝2
解析：选C x∈Z，x3＜1正确．A、B、D不正确．
3．下列命题中，是全称量词命题的是________；是存在量词命题的是________．(填序号)
①正方形的四条边相等；
②有两个角相等的三角形是等腰三角形；
③正数的平方根不等于0；
④至少有一个正整数是偶数．
解析：①可表述为“每一个正方形的四条边相等”，是全称量词命题；②是全称量词命题，即“凡是有两个角相等的三角形都是等腰三角形”；③可表述为“所有正数的平方根不等于0”是全称量词命题；④是存在量词命题．
答案：①②③ ④
4．指出下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并判断真假：
(1)存在一个实数，使等式x2＋x＋8＝0成立；
(2)每个二次函数的图象都与x轴相交．
解：(1)存在量词命题．因为x2＋x＋8＝＋＞0.所以该命题为假命题．
(2)全称量词命题．如函数y＝x2＋1的图象与x轴不相交，所以该命题为假命题．
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6第2课时 全称量词命题和存在量词命题的否定
一位探险家被土人抓住，土人首领说：“如果你说真话，你将被烧死，说假话，将被五马分尸．”
[问题] 请问探险家该如何保命？
知识点 全称量词命题与存在量词命题的否定
1．全称量词命题的否定
(1)全称量词命题的否定是存在量词命题；
(2)对于全称量词命题p： x∈M，x具有性质p(x)，通常把它的否定表示为 x∈M，x不具有性质p(x)．
2．存在量词命题的否定
(1)存在量词命题的否定是全称量词命题；
(2)对于存在量词命题p： x∈M，x具有性质p(x)，通常把它的否定表示为 x∈M，x不具有性质p(x)．
全称量词命题与存在量词命题的否定
(1)要否定全称量词命题“ x∈M，x具有性质p(x)”，只需在M中找到一个x，使得p(x)不成立，也就是命题“ x∈M，x不具有性质p(x)”成立；
(2)要否定存在量词命题“ x∈M，x具有性质p(x)”，需要验证对M中的每一个x，均有p(x)不成立，也就是命题“ x∈M，x不具有性质p(x)”成立；
(3)一般命题的否定通常是在条件成立的前提下否定其结论，得到真假性完全相反的两个命题；全称量词命题和存在量词命题的否定，是在否定结论p(x)的同时，改变量词的属性，即将全称量词改为存在量词，存在量词改为全称量词．
如何对省略量词的命题进行否定？
提示：对于含有一个量词的命题，容易知道它是全称量词命题或存在量词命题．一般地，省略了量词的命题是全称量词命题，可加上“所有的”或“对任意”，它的否定是存在量词命题．反之亦然．
1．若命题p： x＞0，x2－3x＋2＞0，则命题p的否定为( )
A． x＞0，x2－3x＋2≤0 B． x≤0，x2－3x＋2≤0
C． x＞0，x2－3x＋2≤0 D． x≤0，x2－3x＋2≤0
答案：C
2．已知命题p： x＞2，x3－8＞0，那么p的否定是________．
答案： x＞2，x3－8≤0
全称量词命题的否定
[例1] (链接教科书第21页例6)(1)命题“ x∈A，|x|＋1≥1”的否定是________．
(2)写出下列全称量词命题的否定，并判断真假：
① x∈R，1－≤1；
②对任意x∈Z，x2的个位数字不等于3；
③正数的绝对值是它本身．
(1)[解析] 命题“ x∈A，|x|＋1≥1”是全称量词命题，它的否定是“ x∈A，|x|＋1＜1”．
[答案] x∈A，|x|＋1＜1
(2)[解] ①该命题的否定： x∈R，1－＞1，因为 x∈R，≥0，所以－≤0，1－≤1恒成立，所以这是一个假命题．
②该命题的否定：至少存在一个x∈Z，x2的个位数等于3，因为02＝0，12＝1，22＝4，32＝9，42＝16，52＝25，62＝36，72＝49，82＝64，92＝81，…，所以这是一个假命题．
③该命题省略了量词“所有的”，该命题是全称量词命题，它的否定：有的正数的绝对值不是它本身．这是一个假命题．
1．对全称量词命题否定的两个步骤
(1)改变量词：把全称量词换为恰当的存在量词；
(2)否定结论：原命题中的“是”“成立”等改为“不是”“不成立”等．
2．全称量词命题否定后的真假判断
全称量词命题的否定是存在量词命题，其真假性与全称量词命题相反；要说明一个全称量词命题是假命题，只需举一个反例即可．
[跟踪训练]
1．命题“ x∈R，|x|＋x2≥0”的否定是( )
A． x∈R，|x|＋x2＜0 B． x∈R，|x|＋x2≤0
C． x∈R，|x|＋x2＜0 D． x∈R，|x|＋x2≥0
解析：选C 对于全称量词命题的否定，要将命题中“ ”变为“ ”，则命题“ x∈R，|x|＋x2≥0”的否定是“ x∈R，|x|＋x2＜0”．故选C.
2．命题“负数的平方是正数”的否定是( )
A．负数的平方不是正数
B．有些负数的平方是正数
C．所有负数的平方是正数
D．有些负数的平方不是正数
解析：选D 该命题为省略了全称量词的全称命题，故其否定：有些负数的平方不是正数．
存在量词命题的否定
[例2] (链接教科书第22页例7)写出下列存在量词命题的否定，并判断真假：
(1)某些平行四边形是菱形；
(2) x∈R，x2＋1＜0；
(3) x，y∈Z，使得x＋y＝3.
[解] (1)该命题的否定：“没有一个平行四边形是菱形”，也即“每一个平行四边形都不是菱形”．假命题．
(2)该命题的否定：“不存在x∈R，x2＋1＜0”，也即“ x∈R，x2＋1≥0”．真命题．
(3)该命题的否定：“ x，y∈Z，x＋y≠3”．假命题．
1．对存在量词命题否定的两个步骤
(1)改变量词：把存在量词换为恰当的全称量词；
(2)否定结论：原命题中的“有”“存在”等更改为“没有”“不存在”等．
2．存在量词命题否定后的真假判断
存在量词命题的否定是全称量词命题，其真假性与存在量词命题相反；要说明一个存在量词命题是真命题，只需要找到一个实例即可．
[跟踪训练]
1．命题“有些实数的绝对值是正数”的否定是( )
A． x∈R，|x|>0 B． x∈R，|x|>0
C． x∈R，|x|≤0 D． x∈R，|x|≤0
解析：选C 由词语“有些”知原命题为存在量词命题，故其否定为全称量词命题，因为命题的否定只否定结论，所以选C.
2．判断下列命题的真假，并写出这些命题的否定：
(1)某些梯形的对角线互相平分；
(2) x∈{x|x是无理数}，x2是无理数；
(3)在同圆中，存在两段相等的弧，它们所对的圆周角不相等．
解析：(1)假命题．该命题的否定为：任意一个梯形的对角线都不互相平分．
(2)真命题．该命题的否定为： x∈{x|x是无理数}，x2是有理数．
(3)假命题．该命题的否定为：在同圆中，任意两段相等的弧所对的圆周角相等．
根据命题的真假求参数的取值范围
[例3] 已知命题p： x∈R，m＋x2－2x＋5＞0，若p的否定为假命题，求实数m的取值范围．
[解] 因为p的否定为假命题，所以命题p： x∈R，m＋x2－2x＋5＞0为真命题，m＋x2－2x＋5＞0可化为m＞－x2＋2x－5＝－(x－1)2－4，即m＞－(x－1)2－4对任意x∈R恒成立，只需m＞－4即可，故实数m的取值范围为{m|m＞－4}．
[母题探究]
1．(变条件)本例条件中“ x∈R，m＋x2－2x＋5>0”变为“ x∈R，m－x2＋2x－5>0”其余条件不变，求实数m的取值范围．
解：因为p的否定为假命题，所以命题p： x∈R，m－x2＋2x－5＞0为真命题，m－x2＋2x－5＞0可化为m＞x2－2x＋5＝(x－1)2＋4，即 x∈R，m＞(x－1)2＋4成立，只需m＞4即可，故实数m的取值范围为{m|m＞4}．
2．(变条件)本例条件变为“ x∈R，m－x2＋2x－5＜0且为真命题”，求m的取值范围．
解：因为为真命题，所以m－x2＋2x－5＜0可化为m＜x2－2x＋5，即m＜(x－1)2＋4，所以m＜4，故实数m的取值范围为{m|m<4}．
1．注意p与p的否定的真假性只能一真一假，解决问题时可以相互转化．
2．对求参数范围问题，往往分离参数，转化成求函数的最值问题．
[跟踪训练]
(2021·烟台高一联考)命题“ x∈R，2x2－3ax＋9＜0”为假命题，则实数a的取值范围为________．
解析：“ x∈R，2x2－3ax＋9＜0”为假命题，
则其否定：“ x∈R，2x2－3ax＋9≥0”为真命题，
∴Δ＝(－3a)2－4×2×9≤0，
∴－2≤a≤2.
答案：[－2，2]
1．(多选)下列命题是假命题的是( )
A． x∈{－1，1}，2x＋1>0 B． x∈Q，x2＝3
C． x∈R，x2－1>0 D． x∈N，|x|≤0
解析：选ABC 对于A，x＝－1时，不合题意，A是假命题；
对于B，x＝±，B是假命题；
对于C，比如x＝0时，－1<0，C是假命题；D是真命题．
2．命题p：“存在实数m，使方程x2＋mx＋1＝0有实数根”，则p的否定是( )
A．存在实数m，使方程x2＋mx＋1＝0无实数根
B．不存在实数m，使方程x2＋mx＋1＝0无实数根
C．对任意的实数m，方程x2＋mx＋1＝0无实数根
D．至多有一个实数m，使方程x2＋mx＋1＝0有实数根
解析：选C 命题p是存在量词命题，其否定形式为全称量词命题，即对任意的实数m，方程x2＋mx＋1＝0无实数根．
3．已知命题p：“ x∈R，ax2＋2x＋1≠0”为假命题，求实数a的取值范围．
解：由题意可知，p的否定： x∈R，ax2＋2x＋1＝0，为真命题，
等价于方程ax2＋2x＋1＝0在R上有解，
即a＝0或故a≤1.
故实数a的取值范围是{a|a≤1}．
4．写出下列命题的否定，并判断其真假：
(1)对任意x∈R，x2－x＋≥0；
(2)所有的正方形都是矩形；
(3)至少有一个实数x，使x3＋1＝0.
解：(1)存在x∈R，x2－x＋＜0，假命题．
(2)至少存在一个正方形不是矩形，假命题．
(3)对任意x∈R，x3＋1≠0，假命题．
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