一元二次函数
新课程标准解读 核心素养
1.掌握一元二次函数的图象及图象变换 直观想象
2.会求一元二次函数的最值及相关问题 数学运算
某校运动会上，某运动员掷铅球时，他所掷的铅球的高度y(m)与水平距离x(m)之间的函数关系式为y＝－x2＋x＋.
[问题] (1)此函数是一元二次函数吗？
(2)当x满足什么条件时，图象在x轴的上方？
知识点一 一元二次函数的图象变换
1．抛物线
通常把一元二次函数的图象叫作抛物线．
2．一元二次函数的图象变换
一元二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象可以由y＝ax2的图象经过向左(或向右)平移|h|个单位长度，再向上(或向下)平移|k|个单位长度而得到．
一元二次函数图象变换
一元二次函数y＝a(x＋h)2＋k(a≠0)，a决定了函数图象的开口大小及方向；h决定了函数图象的左、右平移，而且“h正左移，h负右移”；k决定了函数图象的上、下平移，而且“k正上移，k负下移”．
知识点二 一元二次函数的性质
一元二次函数y＝a(x－h)2＋k(a≠0)有如下性质：
(1)函数y＝a(x－h)2＋k的图象是一条抛物线，顶点坐标是(h，k)，对称轴是直线x＝h；
(2)当a＞0时，抛物线开口向；在区间(－∞，h]上，函数值y随自变量x的增大而减小；在区间[h，＋∞)上，函数值y随自变量x的增大而增大；函数在x＝h处有最小值，记作ymin＝．
当a＜0时，抛物线开口向；在区间(－∞，h]上，函数值y随自变量x的增大而增大；在区间[h，＋∞)上，函数值y随自变量x的增大而减小；函数在x＝h处有最大值，记作ymax＝．
1．已知某一元二次函数的图象与函数y＝2x2的图象的形状一样，开口方向相反，且其顶点为(－1，3)，则此函数的解析式为( )
A．y＝2(x－1)2＋3 B．y＝2(x＋1)2＋3
C．y＝－2(x－1)2＋3 D．y＝－2(x＋1)2＋3
解析：选D 设所求函数的解析式为y＝－2(x＋h)2＋k，根据顶点为(－1，3)，可得h＝1，且k＝3，故所求的函数解析式为y＝－2(x＋1)2＋3，故选D.
2．如果将一元二次函数y＝a(x＋m)2＋n的图象向右平移2个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到的函数图象的对称轴为x＝3，最大值为1，则m，n的值为( )
A. B．
C. D.
解析：选D 由题意知，变换后所得函数的解析式为y＝a(x－3)2＋1，且a＜0，然后将函数y＝a(x－3)2＋1的图象先向上平移2个单位长度，得到函数y＝a(x－3)2＋3，再将所得函数图象向左平移2个单位长度，可得到函数y＝a(x－1)2＋3的图象，因此故选D.
一元二次函数解析式的求法
[例1] 已知一元二次函数的最大值是8，且当x＝2时，y＝－1；当x＝－1时，y＝－1.求此一元二次函数的解析式．
[解] 法一(利用一般式)：设y＝ax2＋bx＋c(a≠0)．
由题意得解得
∴所求一元二次函数的解析式为y＝－4x2＋4x＋7.
法二(利用顶点式)：设y＝a(x－m)2＋n.
∵当x＝2时，y＝－1，且x＝－1时，y＝－1.
∴抛物线的对称轴为x＝＝.
∴m＝.又根据题意知函数有最大值8，∴n＝8.
∴y＝a＋8.
又抛物线过点(2，－1)，
∴a＋8＝－1，解得a＝－4，
∴y＝－4＋8＝－4x2＋4x＋7.
求一元二次函数解析式时，应根据已知条件的特点，选用解析式的形式，利用待定系数法求解．
(1)若已知条件是图象上的三个点，则设所求一元二次函数为一般式y＝ax2＋bx＋c，a，b，c为常数，a≠0的形式；
(2)若已知一元二次函数图象的顶点坐标或对称轴方程与最大(小)值，则设所求一元二次函数为顶点式y＝a(x－h)2＋k(其中顶点(h，k)，a为常数，a≠0)；
(3)若已知一元二次函数图象与x轴的两个交点的坐标为(x1，0)，(x2，0)，则设所求一元二次函数为两根式y＝a(x－x1)(x－x2)(a为常数，且a≠0)．
[跟踪训练]
根据下列条件，求一元二次函数的解析式：
(1)过点(1，1)，(0，2)，(3，5)；
(2)图象顶点为(1，2)并且过点(0，4)；
(3)图象过点(2，0)，(4，0)，(0，3)．
解：(1)设函数解析式为y＝ax2＋bx＋c，
由题设知
∴函数解析式为y＝x2－2x＋2.
(2)设所求函数解析式为y＝a(x－1)2＋2.
整理得y＝ax2－2ax＋a＋2，∴a＋2＝4，∴a＝2.
∴解析式为y＝2x2－4x＋4.
(3)设所求函数解析式为y＝a(x－2)(x－4)，
整理得y＝ax2－6ax＋8a，∴8a＝3，∴a＝.
∴解析式为y＝(x－2)(x－4).
一元二次函数图象间的变换
[例2] (链接教科书第33页例1)抛物线y＝2(x－1)2＋3可以看作是由抛物线y＝2x2经过以下哪种变换得到的( )
A．向左平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度
B．向右平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度
C．向左平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度
D．向右平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度
[解析] ∵抛物线y＝2(x－1)2＋3顶点坐标为(1，3)，抛物线y＝2x2顶点坐标为(0，0)，∴抛物线y＝2(x－1)2＋3可以看作由抛物线y＝2x2向右平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度得到的．
[答案] B
一元二次函数图象平移问题的解题策略
(1)要注意平移的方向，即由哪个函数变换到另一个函数；
(2)将函数化为y＝a(x－h)2＋k(a≠0)的形式；
(3)判定h与k的正负，利用“左加右减，上加下减”的规则判定平移的方向和大小．
[跟踪训练]
将抛物线y＝x2－6x＋21向左平移2个单位长度后，再向上平移2个单位长度，得到新抛物线的解析式为( )
A．y＝(x－8)2＋5 B．y＝(x－4)2＋5
C．y＝(x－8)2＋3 D．y＝(x－4)2＋3
解析：选B 抛物线y＝x2－6x＋21＝(x－6)2＋3，它的顶点坐标是(6，3)．将其向左平移2个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到新抛物线的顶点坐标(4，5)，所以新抛物线的解析式是y＝(x－4)2＋5.
一元二次函数的最值问题
[例3] (链接教科书第33页练习1题)(1)求函数y＝x2－3x－7(x∈R)的最小值；
(2)在区间[2，3]上，求函数y＝x2－3x－7的最大值与最小值．
[解] (1)由y＝x2－3x－7＝－，
∵x∈R，
∴当且仅当x＝时，ymin＝－.
(2)由(1)知，该函数的对称轴为直线x＝ [2，3]，图象开口向上，在区间[2，3]上，函数值y随x的增大而增大，
∴函数在区间[2，3]上，函数在x＝3处取最大值，即ymax＝－7，在x＝2时取最小值，即ymin＝－9.
[母题探究]
(变条件)若本例 (2)条件变为x∈[－1，3]，求函数的最大值与最小值．
解：由函数的对称轴为直线x＝∈[－1，3]，图象开口向上，∴当x＝时，函数取得最小值，ymin＝－，函数在上函数值y随x的增大而减小，在上函数值y随x的增大而增大．
∴当x＝3时，ymax＝－7.
求一元二次函数在闭区间上的最值的方法
一看开口方向；
二看对称轴和区间的相对位置，简称“两看法”．
[跟踪训练]
一元二次函数y＝－x2＋2x－5，当x取全体实数时，有( )
A．最大值－5 B．最小值－5
C．最大值－4 D．最小值－4
解析：选C 配方，得y＝－(x－1)2－4，所以当x＝－1时，ymax＝－4.
一元二次函数的图象
[例4] 已知一元二次函数y＝2x2－4x－6.
(1)求此函数图象的开口方向、对称轴、顶点坐标，并画出函数图象；
(2)求此函数图象与x轴，y轴的交点坐标，并求出以此三点为顶点的三角形面积；
(3)x为何值时，y>0，y＝0，y<0
[解] (1)配方，得y＝2(x－1)2－8.
∵a＝2>0，
∴函数图象开口向上，对称轴是直线x＝1，顶点坐标是(1，－8)．
列表：
x －1 0 1 2 3
y 0 －6 －8 －6 0
描点并画图，得函数y＝2x2－4x－6的图象，如图所示．
(2)由图象得，函数图象与x轴的交点坐标为A(－1，0)，B(3，0)，与y轴的交点坐标为C(0，－6)．
S△ABC＝|AB|·|OC|＝×4×6＝12.
(3)由函数图象知，当x<－1或x>3时，y>0；当x＝－1或x＝3时，y＝0；当－1观察图象主要是把握其本质特征：开口方向决定a的符号，在y轴上的交点决定c的符号(值)，对称轴的位置决定－的符号，另外还要注意与x轴的交点、函数的单调性等．
[跟踪训练]
如图是一元二次函数y＝ax2＋bx＋c图象的一部分，图象过点A(－3，0)，对称轴为x＝－1.给出下面四个结论：
①b2＞4ac；②2a－b＝1；
③a－b＋c＝0；④5a＜b.
其中正确的是( )
A．②④ B．①④
C．②③ D．①③
解析：选B 因为图象与x轴交于两点，所以b2－4ac＞0，即b2＞4ac，①正确；
对称轴为x＝－1，即－＝－1，2a－b＝0，②错误；
结合图象，当x＝－1时，y＞0，即a－b＋c＞0，③错误；
由对称轴为x＝－1知，b＝2a.又函数图象开口向下，所以a＜0，所以5a＜2a，即5a＜b，④正确．
1．已知函数y＝ax2＋bx＋1(a≠0)的图象的对称轴是直线x＝1，并且函数的图象经过点A(－1，7)，则a，b的值分别是( )
A．2，4 B．－2，4
C．2，－4 D．－2，－4
解析：选C 由题意，可得 故选C.
2．将抛物线y＝x2＋1先向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的新抛物线的表达式为( )
A．y＝(x＋2)2＋4 B．y＝(x－2)2－2
C．y＝(x－2)2＋4 D．y＝(x＋2)2－2
解析：选D ∵一元二次函数解析式为y＝x2＋1，
∴顶点坐标(0，1)．将其顶点坐标向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度得到新的顶点坐标为(－2，－2)，可设新函数的解析式为y＝(x－h)2＋k，代入新的顶点坐标得y＝(x＋2)2－2.
3．下列一元二次函数的图象通过平移能与一元二次函数y＝x2－2x－1的图象重合的是( )
A．y＝2x2－x＋1 B．y＝x2＋2x＋1
C．y＝x2－2x－1 D．y＝x2＋2x＋1
解析：选B ∵经过平移后能与一元二次函数y＝x2－2x－1的图象重合，∴a＝1，观察选项，只有选项B符合题意．
4．已知抛物线y＝x2－4x＋3，当0≤x≤m时，y的最小值为－1，最大值为3，则m的取值范围为( )
A．[2，＋∞) B．[0，2]
C．[2，4] D．(－∞，4]
解析：选C ∵y＝x2－4x＋3＝(x－2)2－1，
∴当x＝2时，y取得最小值，最小值为－1；
当y＝3时，有x2－4x＋3＝3，解得x1＝0，x2＝4，
∴当x＝0或4时，y＝3.
又∵当0≤x≤m时，y的最小值为－1，最大值为3，
∴2≤m≤4.
5．已知函数y＝x2＋mx＋1，在区间[1，＋∞)上函数值y随自变量x的增大而增大，则实数m的取值范围为( )
A．[－2，＋∞) B．[－1，＋∞)
C．(－∞，－2] D．(－∞，－1]
解析：选A y＝x2＋mx＋1的图象的对称轴为直线x＝－，由题意，可得－≤1，解得m≥－2，故选A.
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7一元二次不等式及其解法
新课程标准解读 核心素养
1.会结合一元二次函数的图象，判断一元二次方程实数根的存在性及实数根的个数 数学抽象、直观想象、逻辑推理
2.经历从实际情境中抽象出一元二次不等式的过程，了解一元二次不等式的现实意义．能借助一元二次函数求解一元二次不等式，并能用集合表示一元二次不等式的解集 数学抽象、数学运算
3.借助一元二次函数的图象，了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系 直观想象、数学建模
城市人口的急剧增加使车辆日益增多，需要通过修建立交桥和高架道路，以提高车速和通过能力．城市环线和高速公路网的连结也必须通过大型互通式立交桥进行分流和引导，保证交通的畅通．城市立交桥已成为现代化城市的重要标志．为了保证安全，交通部门规定，在立交桥的某地段的运行汽车的车距d正比于速度v的平方与车身长(单位：m)的积，且车距不得少于半个车身，假定车身长均为l(单位：m)，当车速为60(单位：km/h)时，车距为1.44个车身长．
[问题] 在交通繁忙时，应规定怎样的车速，才能使此处的车流量最大？
知识点一 一元二次不等式的概念
1．定义：形如ax2＋bx＋c>0，或ax2＋bx＋c<0，或ax2＋bx＋c≥0，或ax2＋bx＋c≤0(其中x为未知数，a，b，c均为常数，且a≠0)的不等式叫作一元二次不等式．
2．解集：使一元二次不等式成立的所有未知数的值组成的集合叫作这个一元二次不等式的解集．
一元二次不等式概念中的关键词
(1)一元，即只含一个未知数，其他元素均为常数(或参数)；
(2)二次，即未知数的最高次数必须为2，且其系数不能为0.
下面所给关于x的几个不等式：①3x＋4<0；②x2＋mx－1>0；③ax2＋4x－7>0；④x2<0.其中一定为一元二次不等式的有________．(填序号)
答案：②④
知识点二 一元二次不等式的求解方法
函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象与方程ax2＋bx＋c＝0的实数根、不等式ax2＋bx＋c＞0和ax2＋bx＋c＜0的解集之间的关系：
y＝ax2＋bx＋c(a＞0)
方程ax2＋bx＋c＝0的判别式Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0
方程ax2＋bx＋c＝0的实数根 x1，2＝(x1函数y＝ax2＋bx＋c的图象
不等式ax2＋bx＋c>0的解集 {x|xx2}
不等式ax2＋bx＋c<0的解集 {x|x1从两个角度看三个“二次”之间的内在联系
(1)函数的角度：一元二次不等式ax2＋bx＋c>0表示一元二次函数y＝ax2＋bx＋c的函数值大于0，图象在x轴的上方；一元二次不等式ax2＋bx＋c>0的解集即一元二次函数图象在x轴上方部分的自变量的取值范围；
(2)方程的角度：一元二次不等式ax2＋bx＋c>0的解集的端点值是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根．
当Δ＝0时，不等式ax2＋bx＋c≥0(a>0)与ax2＋bx＋c≤0(a>0)的解集分别是什么？
提示：R，.
1．不等式3＋5x－2x2≤0的解集为( )
A.
B.
C.
D．R
答案：C
2．不等式3x2－2x＋1＞0的解集为( )
A. B.
C． D．R
答案：D
3．不等式x2－2x－5＞2x的解集是________．
答案：{x|x＞5或x＜－1}
不含参数的一元二次不等式的解法
[例1] (链接教科书第37页练习2题)求下列不等式的解集：
(1)2x2＋7x＋3＞0；
(2)－4x2＋18x－≥0；
(3)－2x2＋3x－2＜0.
[解] (1)因为Δ＝72－4×2×3＝25＞0，所以方程2x2＋7x＋3＝0有两个不等实根x1＝－3，x2＝－.又一元二次函数y＝2x2＋7x＋3的图象开口向上，所以原不等式的解集为.
(2)原不等式可化为≤0，所以原不等式的解集为.
(3)原不等式可化为2x2－3x＋2＞0，因为Δ＝9－4×2×2＝－7＜0，所以方程2x2－3x＋2＝0无实根，又一元二次函数y＝2x2－3x＋2的图象开口向上，所以原不等式的解集为R.
解不含参数的一元二次不等式的一般步骤
(1)化标准：通过对不等式的变形，使不等式右侧为0，二次项系数为正；
(2)判别式：对不等式左侧因式分解，若不易分解，则计算对应方程的判别式；
(3)求实根：求出相应的一元二次方程的根或根据判别式说明方程有无实根；
(4)画草图：根据一元二次方程根的情况画出对应的二次函数的草图；
(5)写解集：根据图象写出不等式的解集．
[跟踪训练]
1．不等式x(x－9)＜x－21的解集为( )
A．(3，7) B．(－∞，3)∪(7，＋∞)
C．(－7，－3) D．(－∞，－7)∪(－3，＋∞)
解析：选A x(x－9)＜x－21，即x2－10x＋21＜0，即(x－3)(x－7)＜0，解得3＜x＜7.故选A.
2．下列四个不等式中解集为R的是( )
A．－x2＋x＋1≥0 B．x2－2x＋5＞0
C．x2＋6x＋10＞0 D．2x2－3x＋4＜0
解析：选C 利用“Δ”判断，在不等式x2＋6x＋10＞0中，Δ＝62－40＜0，∴不等式x2＋6x＋10＞0的解集为R，其他可类似判断．故选C.
含参数的一元二次不等式的解法
[例2] (链接教科书第37页例4)解关于x的不等式：x2－2ax＋2≤0(a∈R)．
[解] 因为Δ＝4a2－8，当Δ＜0，即－＜a＜时，原不等式对应的方程无实根．又一元二次函数y＝x2－2ax＋2的图象开口向上，所以原不等式的解集为 .
当Δ＝0，即a＝±时，原不等式对应的方程有两个相等实根．
当a＝时，原不等式的解集为；
当a＝－时，原不等式的解集为.
当Δ＞0，即a＞或a＜－时，原不等式对应的方程有两个不等实根，分别为x1＝a－，x2＝a＋，且x1＜x2，所以原不等式的解集为{x|a－≤x≤a＋}．
综上所述，当－＜a＜时，原不等式的解集为 ；
当a＝时，原不等式的解集为{x|x＝}；
当a＝－时，原不等式的解集为{x|x＝－}；
当a＞或a＜－时，原不等式的解集为{x|a－≤x≤a＋}．
含参一元二次不等式的解法
[跟踪训练]
解关于x的不等式：ax2－2≥2x－ax(a＜0)．
解：原不等式移项得ax2＋(a－2)x－2≥0，化简为(x＋1)(ax－2)≥0.
∵a＜0，∴(x＋1)≤0.
当－2＜a＜0时，≤x≤－1；
当a＝－2时，x＝－1；
当a＜－2时，－1≤x≤.
综上所述，当－2＜a＜0时，原不等式的解集为；
当a＝－2时，原不等式的解集为{x|x＝－1}；
当a＜－2时，原不等式的解集为.
一元二次不等式解集的逆向应用
[例3] 已知关于x的不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为{x|2＜x＜3}，求关于x的不等式cx2＋bx＋a＜0的解集．
[解] 法一：由不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为{x|2＜x＜3}可知，a＜0，且2和3是方程ax2＋bx＋c＝0的两根，由根与系数的关系可知＝－5，＝6.由a＜0知c＜0，＝，故不等式cx2＋bx＋a＜0，即x2＋x＋＞0，即x2－x＋＞0，解得x＜或x＞，所以不等式cx2＋bx＋a＜0的解集为.
法二：由不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为{x|2＜x＜3}可知，a＜0，且2和3是方程ax2＋bx＋c＝0的两根，所以ax2＋bx＋c＝a(x－2)(x－3)＝ax2－5ax＋6a b＝－5a，c＝6a，故不等式cx2＋bx＋a＜0，即6ax2－5ax＋a＜0 6a·＜0，故原不等式的解集为.
[母题探究]
1．(变设问)本例中的条件不变，求关于x的不等式cx2－bx＋a＞0的解集．
解：由根与系数的关系知＝－5，＝6且a＜0.
∴c＜0，＝－，故不等式cx2－bx＋a＞0，
即x2－x＋＜0，即x2＋x＋＜0.解得－2．(变条件)若将本例中的条件“关于x的不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为{x|2＜x＜3}”变为“关于x的不等式ax2＋bx＋c≥0的解集是”．求不等式cx2＋bx＋a＜0的解集．
解：由ax2＋bx＋c≥0的解集为知a＜0.又×2＝＜0，则c＞0.
∵－，2为方程ax2＋bx＋c＝0的两个根，
∴－＝，∴＝－.
又＝－，∴b＝－a，c＝－a，
∴不等式变为x2＋x＋a＜0，
即2ax2＋5ax－3a＞0.
∵a＜0，∴2x2＋5x－3＜0，解得－3所求不等式的解集为.
一元二次不等式解集逆向应用问题的解法及步骤
(1)求解方法：
由已知不等式的解可转化为一元二次方程的两根，从而由根与系数的关系，找出系数a，b，c之间的关系，写出不等式的解集．
(2)求解步骤：
第一步：审结论——明确解题方向
如要解ax2＋bx＋c<0，首先确定a的符号，最好能确定a，b，c的值．
第二步：审条件——挖掘题目信息
利用一元二次方程的根与一元二次不等式的解集的关系列出关于a，b，c的方程组，用c表示a，b.
第三步：建联系——找解题突破口
由给定不等式的解集形式→确定关于a，b，c的方程组→用c表示a，b→代入所求不等式→求解ax2＋bx＋c<0的解集．
[跟踪训练]
关于x的不等式ax－b＞0的解集是{x|x＞1}，则关于x的不等式(ax＋b)(x－3)＞0的解集是( )
A．{x|－1＜x＜3} B．{x|1＜x＜3}
C．{x|x＜1或x＞3} D．{x|x＜－1或x＞3}
解析：选D 因为不等式ax－b＞0的解集是{x|x＞1}，所以a＞0，＝1，所以(ax＋b)(x－3)＞0等价于a(x＋1)(x－3)＞0，其解集应为{x|x＞3或x＜－1}，故选D.
1．(多选)下列不等式是一元二次不等式的是( )
A．x2＋x＜－1 B．x2＋＋1＜0
C．x2＋＋1＜0 D．x2＋1＜0
解析：选AD 由于x2＋＋1＜0，x2＋＋1＜0不符合一元二次不等式的定义，只有x2＋x＜－1，x2＋1＜0是一元二次不等式，故选A、D
2．不等式(x－1)2＜x＋5的解集为( )
A．{x|1＜x＜4} B．{x|－1＜x＜4}
C．{x|－4＜x＜1} D．{x|－1＜x＜3}
解析：选B 原不等式可化为x2－3x－4＜0，即(x＋1)(x－4)＜0，故其解集为{x|－1＜x＜4}．故选B.
3．设m＋n＞0，则关于x的不等式(m－x)(n＋x)＞0的解集是( )
A．(－∞，－n)∪(m，＋∞)
B．(－n，m)
C．(－∞，－m)∪(n，＋∞)
D．(－m，n)
解析：选B 方程(m－x)(n＋x)＝0的两根为m，－n.
∵m＋n＞0，∴m＞－n.结合函数y＝(m－x)(n＋x)的图象(图略)，得原不等式的解集是(－n，m)．故选B.
4．若关于x的不等式mx2＋8mx＋28＜0的解集是{x|－7＜x＜－1}，则实数m的值是( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：选D 因为关于x的不等式mx2＋8mx＋28＜0的解集为{x|－7＜x＜－1}，所以方程mx2＋8mx＋28＝0的两根为－7，－1，且m>0.由根与系数的关系得(－7)×(－1)＝，－7＋(－1)＝－，解得m＝4，故选D.
5．已知一元二次不等式x2＋px＋q＜0的解集为，求不等式qx2＋px＋1＞0的解集．
解：因为x2＋px＋q＜0的解集为，
所以x1＝－与x2＝是方程x2＋px＋q＝0的两个实数根，
由根与系数的关系得
解得
所以不等式qx2＋px＋1＞0即为－x2＋x＋1＞0，整理得x2－x－6＜0，解得－2＜x＜3.
即不等式qx2＋px＋1＞0的解集为{x|－2＜x＜3}．
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8一元二次不等式的应用
新课程标准解读 核心素养
1.经历从实际情境中抽象出一元二次不等式的过程．了解一元二次不等式的现实意义 数学抽象
2.能够构建一元二次函数模型，解决实际问题 数学建模、数学运算
汽车在行驶中，由于惯性的作用，刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停住，我们称这段距离为“刹车距离”，刹车距离是分析事故的一个重要因素．
在一个限速为40 km/h的弯道上，甲、乙两辆汽车相向而行，发现情况不对，同时刹车，但还是相撞了．事后现场勘查测得甲车的刹车距离略超过12 m，乙车的刹车距离略超过10 m．又知甲、乙两种车型的刹车距离s(m)与车速x(km/h)之间分别有如下关系：s甲＝0.1x＋0.01x2，s乙＝0.05x＋0.005x2.
[问题] 如何判断甲、乙两车是否超速？
知识点 利用一元二次不等式解决实际问题的步骤
1．选取合适的字母表示题中的未知数．
2．由题中给出的不等关系，列出关于未知数的不等式(组)．
3．求解所列出的不等式(组)．
4．结合题目的实际意义确定答案．
1．某地每年销售木材约20万立方米，每立方米价格为2 400 元，为了减少木材消耗，决定按销售收入的t%征收木材税，这样每年的木材销售量减少t万立方米．为了既减少木材消耗又保证税金收入每年不少于900万元，则t的取值范围是( )
A．{t|1≤t≤3} B．{t|3≤t≤5}
C．{t|2≤t≤4} D．{t|4≤t≤6}
解析：选B 设按销售收入的t%征收木材税时，税金收入为y万元，则y＝2 400×t%＝60(8t－t2)．
令y≥900，即60(8t－t2)≥900，解得3≤t≤5.
2．某产品的总成本y(万元)与产量x(台)之间的函数关系是y＝3 000＋20x－0.1x2(0解析：依题意得25x≥3 000＋20x－0.1x2，
整理得x2＋50x－30 000≥0，
解得x≥150或x≤－200(舍去)．
因为0＜x＜240，所以150≤x＜240，即最低产量是150台．
答案：150
简单的分式不等式的解法
[例1] 解下列不等式：
(1)＜0；(2)≥0；(3)＞1.
[解] (1)原不等式可化为(x＋1)(2x－1)＜0，
∴－1＜x＜，
故原不等式的解集为.
(2)原不等式可化为≤0，
∴
∴即－＜x≤1.
故原不等式的解集为.
(3)原不等式可化为－1＞0，
∴＞0，
∴＞0，则x＜－2.
故原不等式的解集为{x|x＜－2}．
简单分式不等式的解法
(1)对于比较简单的分式不等式，可直接转化为一元二次不等式或一元一次不等式组求解，但要注意分母不为零；
(2)对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式，先移项再通分(不要去分母)，使之转化为不等号右边为零，然后再用上述方法求解．
[跟踪训练]
解下列不等式：
(1)≥0；(2)＞1.
解：(1)原不等式可化为
解得
∴x＜－或x≥，
∴原不等式的解集为.
(2)原不等式可化为＞0，
化简得＞0，即＜0，
∴(2x＋1)(x＋3)＜0，解得－3＜x＜－.
∴原不等式的解集为.
不等式恒成立问题
[例2] 若不等式2kx2＋kx－＜0对一切实数x都成立，则k的取值范围为( )
A．(－3，0] B．[－3，0)
C．[－3，0] D．(－3，0)
[解析] (1)k＝0时，－＜0不等式恒成立．
(2)k≠0时，不等式恒成立应满足
即－3＜k＜0.
由(1)(2)知－3＜k≤0.
[答案] A
[母题探究]
1．(变条件)若把本例条件变为“不等式2kx2＋kx＋＞0对一切实数x都成立”，试求k的取值范围．
解：当k＝0时，不等式为＞0，显然成立；
当k≠0时，则有解得0＜k＜3.所以k的取值范围为[0，3)．
2．(变条件)本例条件变为“对 x∈[－1，2]，x2－2x＋k＜0恒成立”．求k的取值范围．
解：由已知得只需函数y＝x2－2x＋k在[－1，2]上的图象恒在x轴下方，如图，
所以
解得k＜－3.
所以k的取值范围为(－∞，－3)．
一元二次不等式在R上的恒成立问题
(1)一元二次不等式ax2＋bx＋c>0，对任意实数x∈R恒成立的条件是
(2)一元二次不等式ax2＋bx＋c≥0，对任意实数x∈R恒成立的条件是
(3)一元二次不等式ax2＋bx＋c<0，对任意实数x∈R恒成立的条件是
(4)一元二次不等式ax2＋bx＋c≤0，对任意实数x∈R恒成立的条件是
[提醒] 当不等式ax2＋bx＋c>0未说明为一元二次不等式时，对任意实数x∈R恒成立时满足的条件为或
[跟踪训练]
1．若不等式ax2＋2ax－4＜2x2＋4x对任意实数x均成立，则实数a的取值范围是( )
A．{a|－2＜a≤2} B．{a|－2＜a＜2}
C．{a|a≠2} D．{a|a≤2}
解析：选A 不等式ax2＋2ax－4＜2x2＋4x，可化为(a－2)x2＋2(a－2)x－4＜0.
当a－2＝0时，即a＝2时，不等式恒成立，符合题意；
当a－2≠0时，要使不等式恒成立，需
解得－2＜a＜2.
综上所述，－2＜a≤2.故选A.
2．已知不等式－x2＋4x≥a2－3a在R上有解，则实数a的取值范围为( )
A．{a|－1≤a≤4} B．{a|－1＜a＜4}
C．{a|a≥4或a≤－1} D．{a|－4≤a≤1}
解析：选A 由题意知，原不等式可化为－(x－2)2＋4≥a2－3a在R上有解，
∴a2－3a≤4，即(a－4)(a＋1)≤0，
∴－1≤a≤4，故选A.
一元二次不等式的实际应用
[例3] (链接教科书第38页例5、例6)某摩托车生产企业，上年度生产摩托车的投入成本为1万元/辆，出厂价为1.2万元/辆，年销售量为1 000辆．本年度为适应市场需求，计划提高产品档次，适度增加投入成本．若每辆车投入成本增加的比例为x(0(1)写出本年度预计的年利润y与投入成本增加的比例x的关系式；
(2)为使本年度的年利润比上年度有所增加，问投入成本增加的比例x应在什么范围内？
[解] (1)由题意，得y＝[1.2×(1＋0.75x)－1×(1＋x)]×1 000×(1＋0.6x)(0(2)要保证本年度的利润比上年度有所增加，当且仅当
即
解不等式组，得0所以为保证本年度的年利润比上年度有所增加，投入成本增加的比例x的取值范围为.
解不等式应用题的步骤
[跟踪训练]
北京、张家口2022年冬奥会申办委员会在俄罗斯索契举办了发布会，某公司为了竞标配套活动的相关代言，决定对旗下的某商品进行一次评估．该商品原来每件售价为25元，年销售8万件．
(1)据市场调查，若价格每提高1元，销售量将相应减少2 000件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为多少元？
(2)为了抓住冬奥会契机，扩大该商品的影响力，提高年销售量．公司决定立即对该商品进行全面技术革新和营销策略改革，并提高定价到x元．公司拟投入(x2－600)万元作为技改费用，投入50万元作为固定宣传费用，投入万元作为浮动宣传费用．试问：当该商品改革后的销售量a至少应达到多少万件时，才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和？此时该商品每件定价多少元？
解：(1)设每件定价为t元，依题意得t≥25×8，
整理得t2－65t＋1 000≤0，解得25≤t≤40.
所以要使销售的总收入不低于原收入，每件定价最多为40元．
(2)依题意得当x＞25时，不等式ax≥25×8＋50＋(x2－600)＋有解，
等价于当x＞25时，a≥＋＋有解．
由于＋≥2 ＝10，当且仅当＝，即x＝30时等号成立，所以a≥10.2.
故当该商品改革后的销售量a至少达到10.2万件时，才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和，此时该商品的每件定价为30元．
1．不等式≥0的解集为( )
A．{x|0≤x≤2} B．{x|0＜x≤2}
C．{x|x＜0或x≥2} D．{x|x＜0或x＞2}
解析：选B 由原式得x(x－2)≤0且x≠0，解得0＜x≤2，故选B.
2．已知不等式x2＋ax＋4＜0的解集为空集，则实数a的取值范围是( )
A．[－4，4] B．(－4，4)
C．(－∞，－4]∪[4，＋∞) D．(－∞，－4)∪(4，＋∞)
解析：选A 欲使不等式x2＋ax＋4＜0的解集为空集，则Δ＝a2－16≤0，∴－4≤a≤4，即实数a的取值范围是[－4，4]．
3．某文具店购进一批新型台灯，若按每盏台灯15元的价格销售，每天能卖出30盏；若售价每提高1元，日销售量将减少2盏，现决定提价销售，为了使这批台灯每天获得400元以上(不含400元)的销售收入．则这批台灯的销售单价x(单位：元)的取值范围是( )
A．{x|10≤x＜16} B．{x|12≤x＜18}
C．{x|15＜x＜20} D．{x|10≤x＜20}
解析：选C 设这批台灯的销售单价为x元，
由题意得，[30－(x－15)×2]x＞400，
即x2－30x＋200＜0，∴10＜x＜20，
又∵x＞15，∴15＜x＜20.故选C.
4．若对x∈[－3，－1]上恒有x2－ax－3＜0成立，则a的取值范围是________．
解析：要使x2－ax－3＜0在[－3，－1]上恒成立，
则必使函数y＝x2－ax－3在[－3，－1]上的图象在x轴的下方，由于函数的图象开口向上，此时a应满足：
即解得a＜－2.
故当a∈(－∞，－2)时，有x2－ax－3＜0在x∈[－3，－1]时恒成立．
答案：(－∞，－2)
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