10.2.3含30°角的直角三角形的性质及反证法 同步练习（含答案）

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第十章 三角形的有关证明
2 等腰三角形
第3课时 含30°角的直角三角形的性质及反证法
知识梳理
1.定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的＿＿＿＿＿.
2.反证法：在证明时，先假设_____________不成立，然后推导出与_________、＿＿＿＿＿、___________或___________相矛盾的结果，从而证明命题的___________一定成立.这种证明方法称为反证法.
基础练习
1.如图，在∠ABC中，∠C=90°，AC=3，∠B=30°，P是边BC上的动点，则AP的长不可能是( )
A.3.5 B.4.2 C.5.8 D.7
2.用反证法证明“任意三角形中，至少有一个内角不小于60°”，第一步应假设在一个三角形中( )
A.每一个内角都大于60° B.有一个内角大于60°
C.有一个内角小于60° D.每一个内角都小于60°
3.如图，△ABC是等边三角形，AB=10，D是边BC上任意一点，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，则BE+CF的长是( )
A.5 B.6 C.8 D. 10
第3题图 第4题图
4.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，CD是斜边AB上的高，AD=3，则BD=_______.
5.小明在解答“已知在△ABC中，AB=AC，求证：∠B＜90°”这道题时，写出了下列用反证法证明这个命题过程中的四个推理步骤：①∴∠B+∠C+∠A＞180°，这与三角形内角和定理相矛盾；②∴∠B＜90°；③假设∠B≥90°；④那么，由AB=AC，得∠B＋∠C≥90°，即∠B+∠C≥180°.这四个步骤正确的顺序为_______________(填序号）.
6.如图是屋架设计图的一部分，其中∠A=30°，D是斜梁AB的中点，BC，DE垂直于横梁AC，
AB=8m，则立柱BC，DE有多长
巩固提高
7.如图，AD，BE为△ABC的两条高，∠1=30°，则下列结论不正确的是( )
A.AC=2CD B.BC=2CE C.CD=CE D.AF=2EF
第7题图 第8题图
8.如图，∠AOB=60°，点P在OA上，OP=8cm，点M，N在OB上，PM=PN.若MN=2cm，则OM的长为( )
A.2cm B.3cm C.4cm D.1cm
9.如图，在等边三角形ABC中，AD⊥BC于点D，P，Q分别是AC，BC上的动点，且PQ∥AD，当∠PDQ=30°时，若CQ=0.5，则AB=____________.
10.如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，D为边BC的中点，DE⊥AC，垂足为E.求证：
CE=3AE.
11.如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，AD是边BC上的中线，E，F分别是AB，AC的中点，连接DE，DF.
(1)求证：△AED是等边三角形；
(2)若AB=2，求四边形AEDF的周长.
12.如图，在△ABC中，∠A=90°，∠B=30°，AC=6cm，点D从点A出发以1cm/s的速度向点C运动，同时点E从点C出发以2cm/s的速度向点B运动，运动的时间为ts，解答下面的问题：
(1)当t为何值时，△DEC为等边三角形
(2)当t为何值时，△DEC为直角三角形
参考答案
[知识梳理]
1.一半 2.命题的结论 定义 基本事实 已有定理 已知条件 结论
[基础练习]
1.D 2.D 3.A 4.9 5.③④①②
6.∵BC⊥AC，∠A=30°，∴∵D是AB的中点，∴AB=4m.又∵DE⊥AC，∠A=30°，∴ .立柱BC长4m，DE长2m.
[巩固提高]
7.C 8.B 9.4
10.如图，连接AD.∵AB=AC，D是BC的中点，∴AD⊥BC.∵∠BAC=120°, 120°)=30°.∵DE⊥AC，∴易得∠ADE＝∠C=30°.在Rt△ADE中，AD=2AE.在Rt△ACD中，AC=2AD=4AE.∴CE=AC-AE=4AE-AE=3AE，即CE=3AE.
11.(1)∵AB=AC,∠BAC=120°,∴∠B=∠C=30°.∵AD是边BC上的中线，∴AD⊥BC，∠BAD=
∠BAC=60°. AB.∵E是AB的中点，.∴AE=AD.∴△AED是等边三角形.
(2)由(1)，知△AED是等边三角形.同理，可得△ADF也是等边三角形.∴AE=DE=AD=AF=DF.∵1，∴四边形AEDF的周长是4.
12.(1)根据题意，可得AD=t m，CD=(6-t) cm，CE=2t cm.∵∠B=30°,AC=6cm,∴BC=2AC=12cm.B= =60°，△DEC为等边三角形，
∴CD=CE，即6-t=2t，解得t=2.∴当t=2时，∠DEC为等边三角形
(2)①当∠DEC为直角时，∠EDC=30°， 即 解得
②当∠EDC为直角时， 即 解得t=3.综上所述，当 或3时，△DEC为直角三角形.
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