苏科版八年级数学下册 第11章 反比例函数 教学设计

基于构建“互动生成的数学课堂”的实践与思考
——以《反比例函数小结与思考》为例
1 背景描述
提高数学课的课堂效益，一直是每位教师永恒的教学追求．如何在数学的课堂，实现“以教为主”向“以学为生”转变，突显“学生主体、教师主导”，使教学最大限度为学生的发展服务，是当前多数教师在数学的课堂教学中最想做的．
而在当下的课堂教学中，存在着诸多的问题，可概括为六多六少：1．教师关注知识的多；关注学生能力发展的少．2．关注知识点的多；关注知识结构的少．3．教师占有时间多；学生主动学习时间少．4．师生问答式活动多；生生有效互动少．5．教师关注预设多；关注动态生成少．6．关注学生知识掌握多；关注学生探究发现少．
“构建互动生成的数学课堂”正是在《教育规划纲要》与《课程标准》的背景下应运而生，正是切中当下课堂教学的“顽疾”，直击课堂学习的核心．学习是学生自主建构的过程，在这一过程中，它需要多种学习方式的迭加，而“互动”则是有效的学习形式之一，学生个体在互动中迸发出的思维火花，是生成的过程，是产生新问题的过程．
互动是师生和生生相互影响、相互作用的过程．生成是预设的过程转变为有活力的、动态的、开放的过程，相对于教师的预设而言，在教学过程中，学生所迸发出的智慧火花及问题意识．生成是互动的目标之一，只有在师生互动的数学课堂上，才能释放出创造的潜能．
笔者认为互动生成的数学课堂至少应具备以下四个要素：1．以学生的认知与经验作为教学起点；2．以学生独立思考的小组合作作为教学常态；3．以“问题串”促进知识的生成作为教学策略；4．以建立在师生共同“倾听”基础上的有效回应作为教学追求．
选择《反比例函数小结与思考》作为研讨课题，是基于以下两点想法．
第一，“复习课难上” 是教师们经常发出的感慨．带着这样的困惑，想借这节课与大家共同探讨小结思考课到底该小结什么？又如何进行小结？该思考什么？又如何引发学生思考？
第二，想借构建“互动生成的数学课堂”这个话题，思考在小结思考课中如何设计“互动”环节，使学生在已有研究函数经验的基础上有所“生成”，能生成什么？又如何生成？现有知识经验又要生长到怎样的一个高度？
小结思考课具有重复、概括、系统、综合、反思的特点，结合《课程标准（2011年版）》，笔者认为单元复习课应具备以下的特点：1．为学生继续学习新的知识积累经验；2．所有的数学知识仍然要通过学生自身的“再创造”活动，并纳入现有的知识结构中；3．形成完整的单元知识结构，并能运用到解决问题中；4．要让学生成为复习课的主人，教师仅是充当组织、引导学生参与.
通过这节课的教学，有以下三个课堂愿景：一要站在系统的高度组织复习内容．通过精心设计的“问题串”引导学生回顾研究函数性质的过程和方法，在实际问题中构建具体的函数模型，运用数形结合的手段展开性质研究，帮助学生形成完整的知识结构.
二要站在学生的角度组织教学活动．根据学生的思维特点和认知基础，尽可能多的给学生提供课堂参与的机会，通过师生互提问题，使学生在分析、尝试和探索中掌握方法，体会思想，形成能力.
三要站在学科的高度提炼数学思想方法．通过典型例题及其变式的教学，由浅入深，逐层递进，不断给学生提供比较、分析、归纳、综合的机会，使学生保持积极的思维状态，在总结和反思中领悟转化与归纳、分类讨论、数形结合等数学思想方法.
2 教学设计及部分课堂实录
［教学目标］
　 1.通过问题串勾起学生对函数问题研究方法与反比例函数知识的回顾，形成反比例函数的知识结构，并能用反比例函数的知识解决问题.
　 2.借助学生已有函数研究的经验，研究新的函数，培养学生的问题意识，感受科学研究问题的方法.
　 3.通过反比例函数的复习，借助于自主探究与互动合作的融合，激发学生的探究兴趣，发展学生的核心素养.
［教学重、难点］
自主建构知识网络，并能运用反比例函数解决实际问题；积累研究函数的经验，探索新函数的图像与性质.
［教学过程］
一、情境创设．
下列表格列出了几个函数的两个变量之间的关系，你认为哪一个表示的可能是反比例函数
x … 　2 3 4 …
y … 　2 3 4 …
表1:
x … 　2 3 4 …
y … 　3 2 1.5 …
表2:
x … 2 3 4 …
y … 3 4 5 …
表3:
设计意图：通过三个表格中x、y的值的呈现，让学生感知函数的意义，由于x、y值的积不变，学生很快发现反比例函数的特征，在与新授课不同的情境中重新认识了反比例函数，发展了学生的数学抽象．也曾想过仍用生活实例引入，如：面积为6的矩形的两边x、y之间的函数表达式，引入话题，但这样的引入仍走“老路”，不新颖，没难度，不能有效调动学生的兴趣．其实，这里表格中的数值，除了“可能”具备反比例函数特征外，另外两个表格中呈现的“可能”是一次函数y=x和y=x+1，这样把反比例函数置于“大函数”观下重新认识．
一个好的问题情境，应符合学生的认知规律和生活体验。能起到有效激发学生思维，激发学生的挑战意识。新的情境，也是学生预学的过程，预学是学生学习的前提。预学是互动生成的前提。
二、知识梳理．
通过对反比例函数图像与性质知识的回忆，结合同学相互的纠错、矫正和完善，再由板书和表格的呈现，使学生原有的“知识碎片”形成了知识网络．
设计意图：知识回顾是复习课的起点，学生在原先的学习过程中，已经经历了知识的形成过程，但学到的知识点大多成零散的、碎片状的留在脑海中．学生需要在教师引导下，借助对函数相关知识的回忆，经过梳理，形成系统化知识．
数学复习时，首先要帮助学生自主、顺利地完成对知识的回顾，一般是：通过问题（或任务）引导学生回顾相关知识，让学生在解决问题的过程中自主唤起对知识的回忆，自觉将“碎片知识”梳理成网．
揭示内在联系、构建知识网络是复习课教学的重要原则之一．自主构建知识网络体系，不仅有助于掌握知识、技能和方法，整体把握知识之间的内在联系，而且加深了对数学中通性通法的认识，提升了学生的能力．
三、活动探究．
这是本节课的中心环节，通过一系列的问题串和探究活动，串联所学的知识并固化解决问题的方法．
探究1：请结合函数提出并解决问题
设计意图：这个活动又分为4个小环节．一是独立思考想问题，二是合作交流编问题，三是登台展示讲问题，四是回应生成提问题．
第1个小环节：独立思考想问题．教师在提出问题后，并没有急于让学生讨论，而是留有让学生独立思考的时间．独立思考是学生获取知识、提高能力、发展智力、生长智慧的必要手段．学习离不开独立思考，独立思考是学习数学的有效方式．
教师是学生独立思考权的维护者、促进者和引导者，要让学生享有独立思考的权利．独立思考，是个体心灵的对话，是互动生成的基础．
第2小环节：合作交流编问题．在学生经过独立思考后展开讨论，共同编写问题，能让学生“在深层互动中学”． 通过同伴对编题和解题的质疑讨论，会让学生解决问题的思路逐步清晰，对问题的认识更加深刻．同伴合作是展开讨论的前提，讨论则是学生合作的过程，在讨论中学会倾听，学会表达，又是提升素养的有效途径．合作交流是生生交往互动的过程，是互动生成的重要方式．
这里我们还应关注的是，学生在编制问题、完善问题、解决问题的一系列操作中，经历了数学思维逐步完善的过程，使已有知识得到了广泛的运用与检验，这远比“教师出示练习题、学生自主完成后集体点评”的热情来得高涨．
第3小环节：登台展示讲问题．学生在同伴合作完成编题和解题后，让学生走上讲台，展示编写的问题并讲解问题，这是学生个体或小组的展示过程．我们认为：“教学过程是展示学生的过程，是让学生展示的过程”．“课堂是学生展示学习成果、获得学习成就感和自我效能感的平台”．“每个学生都可以在别人展示学习成果的时候有所收获”．
展示是一种了解，是对学生的基础知识的掌握、思维的创新等的综合了解．展示一种需要，是学生展示思维过程的需要，展示自己独特的解法的需要，实现自我成就的需要．展示还是一种检测，既让其他同学检测自己的展示是否正确，同时也对同伴的展示作出判断．因此可以说，展示是互动生成的有效检测．
另外，我们还得关注的是“问题”由谁来提，如果问题是教师设计好的，学生按问题链一个一个探究，学生有被“牵着鼻子走”的感觉；如果问题是在教师引导启发下，学生自己提出，那么学生不仅知道了研究什么问题，而且还知道了为什么要研究这些问题，这对学生数学素养的发展无疑是重要的．
第4小环节：回应生成提问题．在学生讲解问题后，教师作出了积极评价，并在学生提出的问题的基础上，再次提出新问题．如，这样平行四边形的面积等于多少？这里的0有什么作用？等等．从而引发学生对问题的再思考、再认识，可以及时引导学生进行反思、提炼，使学生在最近发展区丰富和改造已有经验——画图是方法，脑中有图是本质，从而使学生的思维获得再提升．
既然互动的目的在于“生成”，课堂的精彩也在于生成的精彩，那么对“生成”的回应就必不可少，这里的回应就需要对学生的展示作出评价，而且这种评价应该更精准，应该充满正能量．回应的前提是师生的共同倾听，教师再提问题是回应的载体，是回应的再升华、再探究，而教师的评价是互动生成的积极回应．
探究2：如图，直线与反比例函数的图像交于A、B两点．
（1）若A(1，6)，你能说出点B的坐标吗？
（2）在(1)的条件下，结合图像，
你能说出方程的解吗？
你能说出不等式中x的取值范围吗？
设计意图：活动二是结合函数的图像展开讨论，活动三是用反比例函数解决实际问题．这两个活动是通过问题串展开的，这里更多依赖教师的引导和师生的共同思考．
现代教育观下，学生的学习强调自主与合作，尊重学生自己的感受、体验与发现，但这并不是说不要教师的引导和讲解，相反更要求教师在学生“学习需求”的前提下加以引导和讲解．
问题驱动是激发学生兴趣、培养学生创新意识的源泉，以问题串的形式引发学生思考，要求教师在学生的“最近发展区”搭好“支架”：你是如何确定的范围的？在图像上又是怎么体现的？在图上画画看？最终得到教师在课堂教学时提出的方法——找准三个点、落地生根定范围．
探究3：为了预防流感,某学校对教室采用药薰法进行消毒,已知药物燃烧时,室内每立方米空气中的含药量y（mg）与时间x（min）成正比例,药物燃烧后,y与x成反比例,现测药物8min燃毕,此时室内空气中每立方米含药量为6mg．
（1）写出药物燃烧前后,y与x的函数表达式；　
（2）研究表明,当空气中的每立方米的含药量低于1.6mg时，人方可进教室,从消毒开始,至少需要经过多少时间,学生才能进入教室？
（3）研究表明,当空气中每立方米的含药量不低于3毫克且持续时间不低于10分钟时,才能有效地杀灭空气中的病菌,那么此次消毒是否有效？
设计意图：在活动三中，设计了这样问题串展开教学：药物燃烧时，空气中的含药量会怎样？药物燃烧后，空气中的含药量又会怎样？你能说说8min，6mg的意义吗？伸出你的手，比画一下药物燃烧前后的大致图像？这个问题的关键词是什么？你准备在图像上如何表示？你能结合图像理解小于和至少的含义吗？等等这样的问题，让学生通过问题的解决，进一步理解函数图像在函数学习中的地位．
该讲时要大胆讲，要讲深、讲透，讲清数学本质，讲清知识的来龙去脉，讲清方法产生的根源，讲出“前世今生”，使学生一清二楚．只有教师“针对性地讲”、“启发性地讲”、“发展性地讲”、“创造性地讲”，学生才能主动地学、独立地学、合作地学、有深度地学．因此，课堂讲解是互动生成的升华．
探究4：（1）若把函数与函数的图像放在同一平面直角坐标系中，你能说说它们之间的位置关系吗？
（2）函数y=x的图像经过怎样的变换得到函数y=x+1的图像？
（3）你能猜想函数的图像与函数的图像有怎样的位置关系？你准备如何验证？
（4）请你结合函数的图像，说说它的性质.
设计意图：这个活动又分为2个小环节．一是通过类比猜想并验证的图像可以通过的图像平移得到；二是通过观察的图像说出性质．如果说前三个活动是小结与思考的规定动作的话，那么这个活动的设计应是本节课的升华．这里所说的升华又有两层含义，一是观察新函数的图像说出特征，二是整体理解新函数的图像与性质，尽管课中教师没有提到函数性质要从哪些方面进行描述，但学生会从已知函数的图像特征与性质的描述中学会“说话”．
第1小环节，类比猜想并验证图像的平移．课标指出：数学活动经验需要在“做”的过程和“思考”的过程中积淀，是在数学学习活动过程中逐步积累的．数学活动经验的积累是提高学生数学素养的重要标志．本节课中，验证图像的平移方法有很多，用学生的话说，先画图再比较，是最直观的方法，而在本课中教师借助几何画板的操作，极大地调动了学生的学习兴趣．因此说：媒体应用是互动生成的助手．
第2小环节：观察图像读性质．函数的图像与性质是学习函数的主体知识，通过对一次函数和反比例函数图像与性质的学习，从数与形的两个方面，以及数形联系中，显示出函数的本质特征是联系和变化，这应该是学生学习函数的主线．这是设计这一活动的初衷．
这一环节的教学采用“追问”这一形式展开．如：得到函数的图像后，教师提出：有了图像我们就可以说话了，你能对它说一说吗？学生说：图像与y轴有了交点．教师追问：还有吗？学生说：图像不经过第四象限．教师再追问：还可以怎么说？学生回答：图像经过第一、二、三象限．教师进一步追问：图像能在第二象限任意“遨游”吗？这时教师在图上多次比划，引发学生思考，学生回答；不能？教师又追问：为什么？学生说：受到条件的限制？继续追问：怎么个限制法？学生回答：x要大于－1．再次追问：这个x要大于－1，又怎么体现呢？教师提示道：由数能想到形，这个形又是怎样的？学生回答道：把坐标轴作了一个平移等等．
经过多个追问，引发学生的深层次思考，这样的追问会逐步逼近问题的真相．因此，追问是在提出问题后，与学生交流的重要环节，好的追问应该问在关键处，才能将学生的思维逼向更广阔的空间或更高的层次．因此说，追问是互动生成的有效方法．
四、小结与思考．
同学们，今天我们一起回顾了反比例函数的图像与性质，构建完整的知识网络，并大致了解了研究函数的一般路径，同时，我们可以发现由函数的图像经过翻折、平移等变换可得到其他函数的图像，这就说明了知识之间是相互关联的，研究问题的方法又是互通的.
同学们，提出问题和解决问题一样重要哦！加油吧，孩子们！
设计意图：用一段简短的话总结本节课，同时对学生的学习提出要求并充满着新的期待．
五、课后延伸.
1．必做题：课书：第143页第5、6题，第144页第8 、9题；
2．选做题：完成探究报告；
3．请你把在这节课上的想法与收获记在数学日记上.
设计意图：设置分层作业，选做完成探究报告，在探究报告中提供的备选的函数仍可选择，让不同能力的学生都得到提高，体现了课标所提倡的“不同的人在数学上有不同的发展”．
教学环节的设计意图
4 附：探究报告
设计探究函数_________图像与性质的方案，并完成探究报告
探究人姓名 探究方式 自主探索 □ 小组合作 □
探究主题 函数______图像与性质 □ □ □□ □ 其它□
探究方案
探究过程 …………1.自变量的取值范围是:______________.2.列表：3.描点、连线
探究结论
5 实施“互动生成的数学课堂”教学主张的实践与思考
一、尊重学生，捕捉学生智慧，是促进互动生成的根本．促进教学的生成，首先要求教师尊重学生的学习权利和创造性．特别地，教师要正确面对学生的错误，因为“错误”也是一种学习资源，在“出错”和“改错”的探究过程中，课堂才是活的，教学才是美的，学生的学习才是有价值的．其次，教师要转变角色和教学行为．教师要成为学生学习活动的组织者以及课堂信息的重组者，不断捕捉、判断、重组课堂教学中，从学生那里涌现的各类信息，把有价值的新信息和新问题纳入教学过程，使之成为教学的亮点，成为学生智慧的火种．
二、联系实际，关注知识水平，是促进互动生成的基石．课堂生成需要教师的科学分析、灵活指导，需要关注学生的学和生活经验．如果忽视学生的已有知识水平，那教学充其量是一厢情愿；如果离开了学生的生活经验，那课堂只能是无源之水、无本之木．教师不能简单按照自己或教材中的逻辑来理解学生，做出非对即错的评价，而应紧密联系学生生活实际，关注知识水平，透视学生对知识的理解，洞察他们的思考方式和经验背景，做出相应的教学引导，从而引发学生对问题的进一步生成和思考．
三、发现问题，鼓励生疑质疑，是促进互动生成的源泉．“学贵有疑，疑而出新”．课堂教学中教师要善于鼓励学生发现问题，学生有了疑问才会去思考，才会有所发展、有所创造．在传统教学中，学生被束缚，在教师的教案和课堂的圈子中，其创造性得不到发挥，因此，在教学中我们要创造质疑情境，鼓励学生自主生疑，大胆发问，让学生由过去被动接受知识转变为主动探求知识．
四、巧抓机遇，灵活选择预设，是促进互动生成的关键．一个具有生命力的课堂总是在互动中生成．课前即使预设得再“完美”，当面对课堂上鲜活的生命体时，也会发现存在“危机”，从而寻找转化为“生机”的可能．因为课堂上生成的教育资源具有方向的不确定性，所以，教师应给予学生充分表达的机会，引导学生就不同的观点展开讨论，也让其他学生对其所说有一个理解与评价的机会．教师要善于发现其中的有效生成，摒弃无效生成，把握好方向，对预设适时地做出反应和调整．
五、把握契机，善待课堂意外，是促进互动生成的保障．叶澜教授说：“课堂应是向未知方向挺进的旅程，是随时都有可能发现意外的通道和美丽的图景，而不是一切都必须遵循固定线路而没有激情的行程．”这说明课堂教学不是一成不变地按照原来设定的思路进行的，而是在师生互动、对话交流中不断地互动生成的．真实的课堂虽然可以预设，但常常带有偶发性、不确定性、随机性等特点，产生一些意料之外而又具有意义的信息材料， 也就是互动生成资源，教师在课堂上如果善于捕捉，并精妙点拨，引导学生深入思考，就会迸发出很多火花，从而激活学生的思维，提高学生的认知水平．
课堂互动生成是课前预设的生长和形成，是课前预设的丰富和拓展，是课前预设的批判和改变．课的结构可以预设，某一个具体的教学细节也可以预设，但是，学生的真实思考，无法预设．教师可以站在自己的知识结构平台上，按照个人意愿预设学生的思维及发展方向，但未必就符合学生的真实情况．因此，作为教师，要勇于直面学生的非预设生成，积极对待，冷静处理，把学生的这些非预设生成尽可能转化为自己的教学资源，使之成为激发数学课堂活力的源泉．
预 学是互动生成的前提
独立思考是互动生成的基础
合作交流是互动生成的重要方式
展 示是互动生成的有效检测
评 价是互动生成的积极回应
课堂讲解是互动生成的升华
媒体应用是互动生成的助手
追 问是互动生成的有效方法
活动一
活动二活动三
活动四
创设情境
知识建构
活动探究
小结思考
课后延伸
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