北师大版八年级数学下册 1.1 等边三角形的判定 教案

《等边三角形的判定》教学设计
教学目标：1.探索并证明等边三角形的判定定理；
2.探索并证明，在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。
3.让学生通过数学活动发现结论，并能解释结论的合理性。
教学重点：探索并证明，在直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。以及这个定理的应用。
教学难点：探索并证明，在直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。
教学方法：探索---发现—交流---证明----应用。
教学过程：
1． 创设情境，引入新课
1.什么是等边三角形？
定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形。
如图1，△ABC中，∵AB=BC=CA ∴△ABC是等边三角形。
2.一个三角形满足什么条件时是等边三角形？一个等腰三角形满足什么条件时是等边三角形？猜一猜，请写出你的结论。
活动目的：引导学生回顾等边三角形的定义，思考等边三角形的判定方法。
二．探究新知：
求证：三个角都相等的三角形是等边三角形。
已知：如图1：△ABC中，∠A=∠B=∠C.
求证：△ABC是等边三角形。
证明：∵∠A=∠B
∴BC=AC（等角对等边）
∵∠B=∠C
∴AB=AC（等角对等边）
∴AB=BC=AC
∴△ABC是等边三角形。
定理：三个角都相等的三角形是等边三角形。
如图1，△ABC中，∵∠A=∠B=∠C
∴AB=BC=AC
即，△ABC是等边三角形。
活动目的：引导学生根据条件正确、规范地写出“已知”、“求证”。有意识地培养学生对文字语言和图形语言的转换能力，关注证明过程及其表达的合理性；能用定义判定一个三角形是等边三角形。
求证：有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形。
已知：如图3，在△ABC中，AB=AC, ∠A=60°。
求证：△ABC是等边三角形。
证明: ∵AB=AC
∴∠B=∠C（等边对等角）
∵∠A+∠B+∠C=180° ∠A=60°
∴∠A=∠B=∠C
∴△ABC是等边三角形。
定理：有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形。
如图3，△ABC中，∵AB=AC, ∠A=60°。
∴△ABC是等边三角形。
活动目的：进一步强化证明过程及其表达的合理性，能用前面的判定定理证明一个三角形是等边三角形。
等边三角形的判定方法：
定义: 三条边相等的三角形是等边三角形。
定理1三个角都相等的三角形是等边三角形。
定理2有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形。
活动目的：对等边三角形的判定方法进行简单的小结。
做一做：
用两个含有30°角的三角尺，你能拼成一个怎样的三角形？能拼出一个等边三角形吗？由此你能发现什么结论？说说你的理由。
活动目的：通过拼图活动，学生在操作中会发现这两个三角尺恰好可以拼出一个等边三角形，从而将直角三角形中的问题转化为“半个”等边三角形中的问题，让学生在活动中不仅收获数学知识，同时还可以感悟转化的思想，丰富学生探索几何图形性质的经验。
定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。
已知：如图4，△ABC是直角三角形，∠C=90°，∠A=30°。
求证：
证明：如图4，延长BC至点D，使CD=BC,连接AD.
∵∠ACB=90°，∠BAC=30°，
∴∠ACD=90°, ∠B=60°。
∵AC=AC
∴△ABC≌△ADC
∴AB=AD
∴△ABD是等边三角形。
∴
活动目的：会把直角三角形的问题转化成等边三角形的问题；能够提出不同的证题思路，解决几何问题。
三．应用新知
例：求证：如果等腰三角形的底角为15°，那么腰上的高是腰长的一半。
已知：如图5，在△ABC中，AB=AC，∠B=15°，CD是腰AB上的高。
求证：
证明：在△ABC中，
∵AB=AC，∠B=15°，
∴∠ACB=∠B=15°（等边对等角）
∴∠DAC=∠B+∠ACB=15°+15°= 30°
∵CD是腰上的高，∴∠ADC=90°
∴（在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半）
∴
活动目的：会分析定理使用的条件以及定理的作用，加深对定理的理解，提高学生的推理能力。
练一练
（1） （2）
1. 如图1，△ABC是等边三角形，AD∥BC,CD⊥AD,若AD=2cm,则△ABC的周长为___.
2. 如图2，△ABC中，∠B=30°，∠C=45°，AD⊥BC,垂直为D,若CD=1,则AB=___.
3. 如图3，在R t △ ABC中，∠ACB=90°, ∠B=30°,CD是△ABC的高，且BD=1,则AD=___.
（3）
活动目的：巩固本节课的知识，利用本节课学习的知识解决实际问题。
四.归纳小结
（一）等边三角形的判定方法：
1. 定义：三条边都相等的三角形是等边三角形。
2. 定理：三个角都相等的三角形是等边三角形。
3. 定理：有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形
（二）有一个角等于30°的直角三角形的性质：
定理：在直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。
活动目的：归纳知识点，对所学知识系统化，条理化。
五．课后作业
必做题：习题1.4 1, 2
选做题：习题1.4 3, 4