2021-2022学年人教版数学八年级下册18.2.3 正方形（性质和判定）课件 (2课时、共23张PPT)

(共23张PPT)
18.2.3 正方形
(1)正方形的性质
(2)正方形的判定
人教版数学八级下册
正方形的性质
矩形
角:
四个角是直角
对角线:
对角线相等且互相平分
对边平行且相等
矩形的性质
导入
(1)矩形有哪些性质
边:
(2)平行四边形有哪些性质 菱形与平行四边形比较有哪些特殊的性质
平行四边形
边:
角:
对角线:
对边平行且相等
对角相等,邻角互补
对角线互相平分
菱形的性质
边:
四条边相等
对角线:
互相垂直平分
分别平分两组对角
角: 对角相等,邻角互补
具有平行四边形一切性质
导入
问题:
从这图形中你能得到什么？
┓
90°
有一组邻边相等，并且有一个角是直角是正方形.
2.5
2.5
3
3
2
2
知识讲解
由正方形的定义可知，正方形既是有一组邻边相等的矩形，又是有一个角为直角的菱形．如图(1)．
有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形.
正方形是特殊的平行四边形，也是特殊的矩形，也是特殊的菱形．
【定义】
定理:正方形的四个角都是直角,四条边都相等.
求证:(1)∠A=∠B=∠C=∠D=90°.
(2)AB=BC=CD=DA.
分析:因为正方形具有矩形和菱形的所有性质,所以结论易证.
A
B
C
D
已知:四边形ABCD是正方形.
证明:
∵四边形ABCD是正方形,
∴四边形ABCD是平行四边形,也是矩形,也是菱形.
∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°
∴ AB=BC=CD=DA
定理:正方形的两条对角线相等,并且互相垂直平分.
求证:AC=BD,AC⊥BD,AO=CO,BO=DO.
已知:四边形ABCD是正方形,AC,BD是它的两条对角线.
A
B
C
D
O
分析:因为正方形具有矩形和菱形的所有性质,所以结论易证.
证明:
∴四边形ABCD是平行四边形,也是矩形,也是菱形.
∴AC=BD ;
∵四边形ABCD是正方形,
AC⊥BD;
AO=CO,BO=DO;
课堂练习
1、正方形具有而菱形不一定具有的性质是（ ）
（A）四条边相等 （B）对角线互相垂直平分
（C）对角线平分一组对角 （D）对角线相等
2、正方形具有而矩形不一定具有的性质是（ ）
（A）四个角相等 （B）对角线互相垂直平分
（C）对角线相等 （D）对角互补
D
B
本节课学会了哪些内容？
正方形的性质：正方形的四个角都是直角，四条边相等，正方形的对角线相等且互相垂直平分。[
课堂小结 　　　
正方形的判定
问题：什么是正方形？正方形有哪些性质？
A
B
C
D
正方形：有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形.
正方形性质：①四个角都是直角;
②四条边都相等;
③对角线相等且互相垂直平分.
O
复习引入
活动1：准备一张矩形的纸片，按照下图折叠,然后展开，得到一个四边形.
问题1：折叠后得到的特殊四边形是什么四边形？为什么？
正方形
讲授新课
活动2：把可以活动的菱形框架的一个角变为直角，观察这时菱形框架的形状.
问题2：经过变化后得到特殊四边形是什么四边形？
正方形
总结归纳
你能总结出正方形有哪些判定方法吗？
矩形法： 正方形 = 一邻边相等 + 矩形
2
定义法： 正方形 = 一邻边相等 + 一个直角 + 平行四边形
1
菱形法： 正方形 = 一个直角 + 菱形
3
对角线法： 正方形 = 互相垂直 + 互相平分 + 相等
4
例1 在正方形ABCD中，点E、F、G、H分别在各边上，且AE=BF=CM=DN．四边形EFMN是正方形吗 为什么
M
N
证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC=CD=DA，∠A=∠B=∠C=∠D=90°，
∵AE=BF=CM=DN，∴AN=BE=CF=DM.
分析：由已知可证△AEN≌△BFE≌
△CMF≌△DNM，得四边形EFMN是菱形，再证有一个角是直角即可.
典例精析
在△AEN、△BFE、△CMF、△DNM中，
AE=BF=CM=DN
∠A=∠B=∠C=∠D
AN=BE=CF=DM
∴△AEN≌△BFE≌△CMF≌△DNM
∴EN=FE=MF=NM，∠ANE=∠BEF
∴四边形EFMN是菱形，
∠NEF=180°-（∠AEN+∠BEF）
=180°-（∠AEN+∠ANE）=180°-90°=90°.
∴四边形EFMN是正方形 .
M
N
证明：∵ DE⊥AC，DF⊥AB
∴∠DEC= ∠DFC=90°.
又∵ ∠C=90 °
∴四边形ADFC是矩形.
过点D作DG⊥AB，垂足为G
∵AD是∠CAB的平分线
DE⊥AC，DG⊥AB
∴ DE=DG
同理：DG=DF
∴ED=DF
∴四边形ADFC是正方形.
例2 如图，在直角三角形中，∠C=90°，∠A、∠B的平分线交于点D.DE⊥AC，DF⊥AB.求证:四边形CEDF为正方形.
A
B
C
D
E
F
G
例3 如图，EG,FH过正方形ABCD的对角线的交点O,且EG⊥FH.求证：四边形EFGH是正方形.
证明：∵四边形ABCD为正方形,
∴OB=OC,∠ABO=∠BCO =45°,
∠BOC=90°=∠COH+∠BOH.
∵EG⊥FH,
∴∠BOE+∠BOH=90°,
∴∠COH=∠BOE,
∴△CHO ≌△BEO,∴OE=OH.
同理可证：OE=OF=OG,
B
A
C
B
O
E
H
G
F
∴OE=OF=OG=OH.
又∵EG⊥FH,
∴四边形EFGH为菱形.
∵EO+GO=FO+HO ,即EG=HF,
∴四边形EFGH为正方形.
B
A
C
B
O
E
H
G
F
做一做：顺次连接任意四边形各边中点所得的四边形是平行四边形.顺次连接矩形、正方形各边中点能得到怎样的特殊平行四边形？
A
B
C
D
A
B
C
D
A
B
C
D
矩形
正方形
任意四边形
平行四边形
菱形
正方形
E
F
G
H
E
F
G
H
E
F
G
H
5种判定方法
三个角是直角
四条边相等
一个角是直角
或对角线相等
一组邻边相等
或对角线垂直
一组邻边相等
或对角线垂直
一个角是直角
或对角线相等
一个角是直角且一组邻边相等
平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定小结
课堂小结
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