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1.6 完全平方公式
第一章 整式的乘除
北师大版数学七年级下册
回顾与思考
公式的结构特征:
左边是
a2 b2
(a+b)(a b)=
两数和与这两数差的积.
右边是
这两数的平方差.
平方差公式：
学习目标:
1.经历探索完全平方公式的过程，
进一步发展符号感和推理能力。
2.会推导完全平方公式，
并能运用公式进行简单的计算。
3.了解 的
几何背景.
一块边长为a米的正方形实验田，
因需要将其边长增加b米。形成四块实验
田，以种植不同的新品种(如图）.
a
a
b
b
你能用不同的形式表示实验田的总面积,并进行比较吗？
交流合作，探索发现
a
a
b
b
直接求法一
总面积
(a+b)2
间接求法二
总面积
a2+
ab+
ab+
b2.
(a+b)2=
a2+
ab
+
b2.
你发现了什么
探索:
2
等式:
a2
ab
ab
b2
完全平方公式
(1) 你能用多项式的乘法法则来 说明它成立吗
想一想
(a+b)2=a2+2ab+b2；
(a+b)2 =
推证
(a+b)
(a+b)
=a2+ab+
ab+b2
=a2+2ab+ b2
(a b)2=
利用两数和的
平方
(a b)2=
[a+( b)]2
= 2 + + 2
a
2a
=
a2
2ab
b2.
(2)
某同学写出了如下的算式:
(a b)2=
[a+( b)]2
他是怎么想的
推证
( b)
( b)
+
完全平方公式
(a+b)2=a2+2ab+b2；
a2 2ab+b2.
(a b)2=
想一想
结构特征:
左边是
的平方;
右边是
两数和
(差)
两数的平方和
加上
(减去)
这两数乘积的两倍.
用自己的语言叙述上面的公式
语言表述:
两数和 的平方
等于这两数的平方和
加上 这两数乘积的两倍.
(差)
(减去)
(a+b)2=a2+2ab+b2
(a b)2=
a2 2ab+b2
(a b)2=
a2 2ab+b2
口诀
首平方，尾平方，
两倍乘积放中央，
同加异减看前方。
(a+b)2=
a2 +2ab+b2
注意：
1.完全平方公式和平方差公式的区别！
2. (a + b )2≠a2 + b2
(a – b )2 ≠a2 - b2
3.完全平方公式的几何意义？
a
a
b
b
a2
ab
ab
b2
(a+b)2 =
a b
a b
a
a
ab
b(a b)
b
b
(a b)2
a2+2ab+b2
即 (a b)2 = a2 2ab+b2
(a b)2 = a 2 a b b(a b)
例题解析(1)
例1利用完全平方公式计算（1）(2x 3)2
注意
先明确用哪个完全平方公式
再把计算的式子与完全平方公式对照, 明确哪个是 a , 哪个是 b.
=4x2
=( 2x )2 2 2x 3 +32
12x
+
9 ;
解：(1) (2x 3)2
( a b )2= a2 2 a b + b2
( 2 x 3 )2
=
(2x)2
2·2x· 3
+ 32
第一数
2x
4x2
2x
的平方,
( )2
减去
2x
第一数
与第二数
2x
3
乘积
的2倍,
2
加上
+
第二数
3
的平方.
2
=
12x
+
9 ;
解：(1) (2x 3)2
做题时要边念边写：
=
3
（2）（4x + 5y )2
= (4x)2+2·4x·5y+(5y)2
=16x2+40xy+25y2
(3) (mn a )2
= (mn)2 2·mn·a+a2
= m2n2 2mna+a2
1.运用完全平方公式计算：
(1) 962 ； (2) 2032 .
当堂练习
解：原式=（100－4）2
=1002+42－2×100×4
=10000+16－800
=9216；
解：原式=（200+3）2
=2002+32++2×200×3
=40000+9+1200
=41209.
2.若a+b=5,ab=－6, 求a2+b2,a2－ab+b2.
3.已知x2+y2=8,x+y=4,求x－y.
解：a2+b2=（a+b)2－2ab=52-2×(－6)=37；
a2－ab+b2=a2+b2－ab=37－(－6)=43.
解：∵x+y=4, ∴(x+y)2=16,即x2+y2+2xy=16①;
∵x2+y2=8②;
由①－②得2xy=8 ，
②－ 得x2+y2－2xy=0.即(x－y)2=0，故x－y=0
解题时常用结论：
a2+b2=(a+b)2-2ab=(a-b)2+2ab; 4ab=(a+b)2-(a-b)2.
本节课你学到了什么
注意完全平方公式和平方差公式不同：
完全平方公式的结果 是三项，
即 (a + b)2＝a2 + 2ab + b2;
(a b)2＝a2 2ab + b2
平方差公式的结果 是两项，
即 (a+b)(a b)＝a2 b2.
形式不同．
结果不同：
有时需要进行变形，使变形后的式子符合应用完全平方公式的条件，即为“两数和(或差)的平方”，然后应用公式计算.
在解题过程中要准确确定a和b、对照公式原形的两边, 做到不丢项、不弄错符号、2ab时不少乘2；首项、末项被平方时要注意添括号,是运用完全平方公式的关键.
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1.6 完全平方公式
◇教学目标◇
【知识与技能】
1.理解并能说出完全平方公式的表达式及语言概述;
2.能推导完全平方公式,并能用完全平方公式进行计算.
【过程与方法】
经历完全平方公式的推导过程,能用符号表示完全平方公式,在拼图游戏中了解完全平方公式的几何背景.
【情感、态度与价值观】
在学习完全平方公式的过程中,体验符号运算对猜想的作用,享受数学符号表示运算规律的简洁美.
◇教学重难点◇
【教学重点】
完全平方公式的理解与应用.
【教学难点】
对完全平方公式几何背景的了解及综合应用完全平方公式和平方差公式进行计算.
◇教学过程◇
一、情境导入
请用公式表示上图的关系.
二、合作探究
探究点1 完全平方公式
典例1 利用完全平方公式计算:
(1)(5-a)2;
(2)(-3m-4n)2;
(3)(-3a+b)2;
(4)(a-2b+c)2.
[解析] (1)(5-a)2=25-10a+a2.
(2)(-3m-4n)2=9m2+24mn+16n2.
(3)(-3a+b)2=9a2-6ab+b2.
(4)(a-2b+c)2=(a-2b)2+2(a-2b)c+c2=a2-4ab+4b2+2ac-4bc+c2.
应用完全平方公式计算时,应注意以下几点:
(1)左边是两数和或两数差的完全平方;
(2)右边是这两个数的平方的和,再加上或减去这两个数乘积的2倍;
(3)公式中的a和b可以是具体的数,也可以是单项式或多项式.
变式训练 下列各式利用完全平方公式计算正确的是 ( )
A.(x+3)2=x2+9
B.(-2a+b)2=4a2+4ab+b2
C.(a-2b)2=a2-2ab+4b2
D.=x2-x+
[答案] D
探究点2 应用完全平方公式简化计算
典例2 利用完全平方公式简化计算:
(1)1022;
(2)1972.
[解析] (1)1022=(100+2)2=1002+2×100×2+22=10000+400+4=10404.
(2)1972=(200-3)2=2002-2×200×3+32=40000-1200+9=38809.
变式训练 利用完全平方公式计算:
(1);
(2)19992.
[解析] (1)=2500+2+=2502.
(2)19992=(2000-1)2=4000000-4000+1=3996001.
探究点3 完全平方公式的变形应用
典例3 若(a+b)2=(a-b)2+A,则A为 ( )
A.2ab B.-2ab C.4ab D.-4ab
[解析] 因为(a+b)2=a2+2ab+b2,(a-b)2=a2-2ab+b2,所以A=(a+b)2-(a-b)2=4ab.
[答案] C
【技巧点拨】完全平方公式:(a+b)2=a2+2ab+b2,(a-b)2=a2-2ab+b2.两公式的联系:(a+b)2-(a-b)2=4ab,另外a2+b2=(a+b)2-2ab=(a-b)2+2ab.
探究点4 完全平方公式与平方差公式的综合应用
典例4 计算:
(1)(a-2b+3c)(a+2b-3c);
(2)(3x-2y+1)2.
[解析] (1)(a-2b+3c)(a+2b-3c)=[a-(2b-3c)][a+(2b-3c)]=a2-(2b-3c)2=a2-4b2+12bc-9c2.
(2)(3x-2y+1)2=[(3x-2y)+1]2=(3x-2y)2+2·(3x-2y)·1+12=9x2-12xy+4y2+6x-4y+1.
变式训练 计算:
(1)(x+3)2-x2;
(2)(a+b+3)(a+b-3).
[解析] (1)(x+3)2-x2=x2+6x+9-x2=6x+9.
(2)(a+b+3)(a+b-3)=[(a+b)+3][(a+b)-3]=(a+b)2-32=a2+2ab+b2-9.
探究点5 完全平方公式的实际背景
典例5 如图,将完全相同的四个长方形纸片拼成一个大的正方形,用两种不同的方法表示这个大正方形的面积,则可以得出一个等式为 ( )
A.(a+b)2=a2+2ab+b2
B.(a-b)2=a2-2ab+b2
C.a2-b2=(a+b)(a-b)
D.(a+b)2=(a-b)2+4ab
[解析] 由图形可得大正方形的边长为a+b,则其面积为(a+b)2,小正方形的边长为(a-b),则其面积为(a-b)2,一个小长方形的面积为ab,故(a+b)2=(a-b)2+4ab.
[答案] D
三、板书设计
完全平方公式
完全平方公式:(a±b)2=a2±2ab+b2
◇教学反思◇
引导学生进行活动探究,通过探究总结出完全平方公式.在开始设计这节课时,还担心前面的导入过程较长而冲淡了公式的应用,曾想着自己设定固定的“圈子”,将学生引入预设的轨道上来,以节省时间,将重点放在完全平方公式的练习上.但是公式的探究活动本身既是对学生能力的培养,又是对公式的识记过程,而且还可以提高他们应用公式的本领,因此,还是在推导公式的过程中决定“放手”给学生,任他们“自由发展”.在习题的选择中,从例题、辨析正误、填空几个方面层层递进,目的是通过不同题型的设置使学生能够更好地掌握完全平方公式.虽然本节课内容较多,可能在公式的应用方面会略显仓促,但教学中既要注重知识的掌握,更应把关注学生的发展放在首位来考虑,而不能人为地“扼杀”学生的思维,限制学生的发展,从这一点来看,这节课还是达到了预期效果的.
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